Giáo trình giải tích thực và đại số tuyến tính

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM −−−?−−− PHAN QUANG NHƯ ANH - NGUYỄN THỊ HÀ PHƯƠNG NGUYỄN THỊ SINH - PHAN ĐỨC TUẤN - NGƠ THỊ BÍCH THỦY Giáo trình GIẢI TÍCH THỰC VÀ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Đà Nẵng - 2017 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! 16990021613381000000 Lời nói đầu “Đại số” xem ngành toán học mở rộng trừu tượng hóa mơn số học, giảng dạy chương trình phổ thơng với phép tính số thực, hàm số, phương trình đồ thị sơ cấp “Giải tích” ngành tốn học nghiên cứu hàm số, thiết lập ngành đại số, lượng giác, hình học giải tích để giải toán mà phương pháp đại số thông thường tỏ không hiệu Hiện nay, “Giải tích” “Đại số” hai ngành tốn học có ứng dụng rộng rãi khoa học kỹ thuật, có vai trò chủ đạo hệ thống giáo dục Đây mơn học bắt buộc khung chương trình đào tạo Đại học, Cao đẳng toàn quốc Để phục vụ công tác giảng dạy học tập sinh viên khối ngành khơng chun tốn thuộc Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng, biên soạn giáo trình “Giải tích thực Đại số tuyến tính” Nội dung giáo trình gồm 05 chương, cụ thể sau: Chương 1: Hàm số - Giới hạn hàm số - Hàm số liên tục; Chương 2: Phép tính vi phân hàm biến; Chương 3: Tích phân hàm biến; Chương 4: Ma trận - Định thức; Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính Sau nghiên cứu giáo trình này, bạn đọc hệ thống lại kiến thức toán học chương trình phổ thơng, như: hàm số, vi phân, tích phân tìm hiểu kiến thức về: ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính Vì giáo trình dành cho khối ngành khơng chun tốn nên nội dung chương trình bày đọng, khơng giải thích tỉ mỉ khái niệm tốn học túy Một số tính chất, định lý không chứng minh, chủ yếu giới thiệu kiến thức toán học cần thiết để bạn sinh viên ứng dụng học tập môn học chuyên ngành Các chương 1, 2, có phần học chương trình phổ thơng nên chúng tơi trình bày sơ lược dạng tóm tắt Mặc dù có nhiều cố gắng cơng tác biên soạn, song giáo trình khó tránh khỏi thiếu sót Nhóm tác giả mong nhận đóng góp ý kiến bạn đọc để giáo trình hồn thiện Mọi góp ý xin gửi địa chỉ: Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng Đà Nẵng, tháng 12 năm 2017 Nhóm tác giả Mục lục Lời nói đầu CHƯƠNG HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ - HÀM SỐ LIÊN TỤC 1.1 Hàm số biến số thực 1.1.1 Định nghĩa ví dụ 1.1.2 Hàm số hợp hàm số ngược 1.1.3 Đặc tính hàm số 1.1.4 Các hàm số sơ cấp 1.1.5 Các hàm số sơ cấp 1.2 Giới hạn hàm số 1.2.1 Các định nghĩa giới hạn hàm số 1.2.2 Các tính chất giới hạn 1.2.3 Các phép toán giới hạn hàm số 1.2.4 Các tiêu chuẩn tồn giới hạn 1.3 Vô lớn vô bé 1.3.1 Vô bé 1.3.2 Vô lớn 1.3.3 Một số giới hạn đặc biệt hàm sơ cấp 1.3.4 Các dạng vô định 1.4 Sự liên tục hàm số biến 1.4.1 Hàm số liên tục 1.4.2 Các phép toán hàm số liên tục 1.4.3 Tính chất hàm số liên tục đoạn 1.4.4 Điểm gián đoạn hàm số 9 9 10 11 14 15 15 17 18 19 20 20 22 23 23 25 25 26 26 27 CHƯƠNG PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 2.1 Đạo hàm hàm số biến 2.1.1 Đạo hàm (cấp 1) hàm số 2.1.2 Đạo hàm cấp cao 2.2 Vi phân hàm biến 2.2.1 Định nghĩa vi phân hàm số 2.2.2 Ý nghĩa hình học vi phân 2.2.3 Cách tính vi phân 2.2.4 Ứng dụng vi phân vào tính gần 2.2.5 Vi phân cấp cao 31 31 31 37 39 39 40 40 41 42 Các định lý hàm khả vi 2.3.1 Các định lý giá trị trung bình 2.3.2 Quy tắc L’Hospital 2.3.3 Công thức Taylor Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đồ thị hàm số 2.4.1 Các định lý tính đơn điệu cực trị hàm số 2.4.2 Tìm GTLN GTNN hàm số 2.4.3 Tính lồi lõm, điểm uốn hàm số 2.4.4 Xác định tiệm cận - Sơ đồ khảo sát hàm số 43 43 46 49 51 51 52 53 54 CHƯƠNG TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN 3.1 Nguyên hàm tích phân bất định 3.1.1 Khái niệm nguyên hàm 3.1.2 Tích phân bất định 3.1.3 Các tính chất tích phân bất định 3.1.4 Bảng tích phân hàm số thường gặp 3.1.5 Các phương pháp tính tích phân bất định 3.1.6 Tích phân hàm thường gặp 3.2 Tích phân xác định 3.2.1 Bài tốn diện tích hình thang cong 3.2.2 Định nghĩa tích phân xác định 3.2.3 Các tính chất tích phân xác định 3.2.4 Một số định lý tích phân xác định 3.2.5 Phương pháp đổi biến tích phân xác định 3.2.6 Phương pháp tích phân phần 3.3 Tích phân suy rộng 3.3.1 Tích phân suy rộng với cận hữu hạn 3.3.2 Tích phân suy rộng với cận vơ hạn 3.3.3 Một số tiêu chuẩn hội tụ 3.4 Ứng dụng tích phân xác định 3.4.1 Diện tích hình phẳng 3.4.2 Thể tích vật thể 3.4.3 Độ dài cung phẳng 60 60 60 60 60 61 62 64 72 72 73 74 75 76 78 79 79 81 82 84 84 86 87 CHƯƠNG MA TRẬN - ĐỊNH THỨC 4.1 Ma trận 4.1.1 Định nghĩa 4.1.2 Các phép toán ma trận 4.1.3 Ma trận đối xứng ma trận phản xứng 4.1.4 Đa thức ma trận 4.2 Định thức 4.2.1 Phép - Nghịch 4.2.2 Định thức 94 94 94 96 98 98 99 99 99 2.3 2.4 4.3 4.4 Ma trận khả nghịch 106 Hạng ma trận 111 CHƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 5.1 Hệ phương trình tuyến tính tổng qt 5.1.1 Các khái niệm chung 5.1.2 Giải hệ phương trình tuyến tính 5.2 Hệ phương trình tuyến tính 5.2.1 Định nghĩa tính chất 5.2.2 Hệ nghiệm 5.2.3 Cấu trúc nghiệm hệ phương trình tuyến tính Tài liệu tham khảo 117 117 117 119 124 124 125 126 131 Chương Hàm số - Giới hạn hàm số - Hàm số liên tục 1.1 1.1.1 Hàm số biến số thực Định nghĩa ví dụ Định nghĩa 1.1 Cho tập hợp khác rỗng D ⊆ R Một hàm số f xác định D quy tắc, nhờ với số x ∈ D xác định số thực y gọi giá trị hàm số f x, kí hiệu y = f (x) D gọi tập xác định (hay miền xác định), x gọi biến số độc lập (gọi tắt biến số) hay đối số hàm số f Để biểu thị hàm số ta viết f : D → R x 7→ y = f (x) Tuy nhiên, ta thường gọi tắt hàm số y = f (x) hàm số f (x) √ Ví dụ 1.1 Hàm số y = f (x) = 2x2 + x − có tập xác định D = [3, +∞) tập giá trị T = R+ 1.1.2 Hàm số hợp hàm số ngược a Hàm số hợp Cho X, Y, Z ⊆ R, cho hàm số f : X → Y hàm số g : Y → Z, xét hàm số h : X → Z định nghĩa bởi: h(x) = g[ f (x)], x ∈ X Khi h gọi hàm số hợp hàm số f hàm số g, người ta thường kí hiệu: h(x) = g[ f (x)] hay h(x) = (g ◦ f )(x), x ∈ X Ví dụ 1.2 Cho X = Y = Z = R, xét ánh xạ: f : x 7→ x2 + 2, g : x 7→ 3x + Khi đó: f [g(x)] = [g(x)]2 + = (3x + 1)2 + g[ f (x)] = f (x) + = 3(x2 + 2) + Giải tích thực Đại số tuyến tính b Hàm số ngược Cho X,Y ⊆ R ; cho song ánh f : X → Y, x 7→ y = f (x) Vì f song ánh nên f toàn ánh, nghĩa f (X) = Y f đơn ánh, tức với x1 6= x2 , x1 , x2 ∈ X f (x1 ) 6= f (x2 ) Khi phần tử y ∈ Y ảnh phần tử x ∈ X nên đặt tương ứng phần tử y ∈ Y với phần tử x ∈ X; phép tương ứng xác định hàm số từ Y sang X, hàm số gọi hàm số ngược f , kí hiệu f −1 : Y → X, tức là: f −1 : y 7→ x = f −1 (y) y biến độc lập x hàm số phụ thuộc Ví dụ 1.3 Xét hàm số f : R+ → R+ , x 7→ x2 √ Vì với y ∈ R+ phương trình x2 = y ln có nghiệm x = y ∈ R+ nên f √ song ánh có hàm số ngược f −1 (y) = y 1.1.3 Đặc tính hàm số Cho hàm số f : D → R tập I ⊂ D Khi ta có: a Hàm số chẵn, hàm số lẻ Hàm số f : D → R gọi chẵn I ∀ x ∈ I −x ∈ I f (−x) = f (x) Hàm số f : D → R gọi lẻ I ∀ x ∈ I −x ∈ I f (−x) = − f (x) Đồ thị hàm số chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng, đồ thị hàm số lẻ nhận gốc O làm tâm đối xứng b Hàm số tuần hoàn Hàm số f : D → R gọi tuần hoàn tồn số T > cho ∀x ∈ D x + T ∈ D f (x + T ) = f (x), ∀ x ∈ D Số T nhỏ thỏa mãn đẳng thức gọi chu kỳ f c Hàm số đơn điệu Hàm số f : D → R gọi tăng I nếu: ∀x1 , x2 ∈ I, x1 < x2 , suy f (x1 ) ≤ f (x2 ) Hàm số f : D → R gọi tăng nghiêm ngặt I nếu: ∀x1 , x2 ∈ I, x1 < x2 , suy f (x1 ) < f (x2 ) Hàm số f : D → R gọi giảm I nếu: ∀x1 , x2 ∈ I, x1 < x2 , suy f (x1 ) ≥ f (x2 ) 10 +C = ln 2 +C = ln x x x − tan