Hàm số một biến số thực
Định nghĩa và ví dụ
Định nghĩa 1.1 Cho tập hợp khác rỗngD⊆R.
Hàm số f được xác định trên tập D là một quy tắc cho phép xác định một giá trị thực duy nhất cho mỗi số x thuộc D Giá trị này được gọi là giá trị của hàm số f tại x, được ký hiệu là y = f(x).
Tập xác định, hay miền xác định, là tập hợp các giá trị mà biến số độc lập x có thể nhận Biến số này, còn được gọi tắt là biến số, là đối số của hàm số f Để biểu diễn hàm số, ta sử dụng ký hiệu f : D→R với x7→y= f(x).
Tuy nhiên, ta thường gọi tắt là hàm sốy= f(x)hoặc hàm số f(x).
Ví dụ 1.1 Hàm số y= f(x) =2x 2 +√ x−3 có tập xác định D= [3,+∞) và tập giá trị
Hàm số hợp và hàm số ngược
Cho X, Y, Z⊆R, với hàm số f : X → Y và hàm số g : Y → Z, ta định nghĩa hàm số h : X → Z bởi h(x) = g[f(x)], với x thuộc X Hàm số h được gọi là hàm số hợp của f và g, thường được ký hiệu là h(x) = g[f(x)] hoặc h(x) = (g◦f)(x), với x thuộc X.
Ví dụ 1.2 ChoX =Y =Z=R,xét các ánh xạ: f : x7→x 2 +2, g : x7→3x+1.
Khi đó: f[g(x)] = [g(x)] 2 +2= (3x+1) 2 +2. g[f(x)] ?(x) +1=3(x 2 +2) +1. b Hàm số ngược
Cho hai tập hợp X, Y ⊆ R và một hàm song ánh f: X → Y với x ↦ y = f(x) Do f là song ánh, nên f cũng là toàn ánh, nghĩa là f(X) = Y Đồng thời, f là đơn ánh, tức là với x1 ≠ x2 (x1, x2 ∈ X), thì f(x1) ≠ f(x2) Vì vậy, mỗi phần tử y ∈ Y đều tương ứng với một phần tử duy nhất x ∈ X Từ đó, ta có thể xác định một hàm số ngược f⁻¹: Y → X, với f⁻¹: y ↦ x = f⁻¹(y), trong đó y là biến độc lập và x là biến phụ thuộc.
Ví dụ 1.3 Xét hàm số f : R+→R+, x7→x 2
Vì với mọi y∈R+ phương trình x 2 =y luôn có nghiệm duy nhất x=√ y∈R+ nên f là song ánh và do đó có hàm số ngược f −1 (y) =√ y.
Đặc tính của hàm số
Cho hàm số f : D→R và tập I⊂D Khi đó ta có: a Hàm số chẵn, hàm số lẻ
Hàm số f : D→Rđược gọi là chẵn trênInếu∀x∈I thì−x∈Ivà f(−x) = f(x).
Hàm số f : D→R được gọi là hàm lẻ trên I nếu với mọi x ∈ I, ta có −x ∈ I và f(−x) = −f(x) Đồ thị của hàm số chẵn có trục OY là trục đối xứng, trong khi đồ thị của hàm số lẻ có gốc O là tâm đối xứng Hàm số tuần hoàn là một khái niệm quan trọng trong toán học.
Hàm số f : D→R được gọi là tuần hoàn nếu tồn tại hằng số T >0 sao cho ∀x∈D thì x+T ∈Dvà f(x+T) = f(x), ∀x∈D.
Số T nhỏ nhất thỏa mãn đẳng thức trên được gọi là chu kỳ của f. c Hàm số đơn điệu
Hàm số f : D→Rđược gọi là tăng trênInếu:
Hàm số f : D→Rđược gọi là tăng nghiêm ngặt trênI nếu:
Hàm số f : D→Rđược gọi là giảm trênInếu:
Hàm số f : D→Rđược gọi là giảm nghiêm ngặt trênInếu:
Hàm số tăng hay giảm trênIđược gọi là đơn điệu trênI. d Hàm số bị chặn
Hàm số f : D→Rđược gọi là bị chặn trên (dưới) trong tậpI nếu tồn tạik∈Rsao cho với mọix∈Ita có f(x)≤k (f(x)≥k)
Hàm số f : D→Rđược gọi là bị chặn trong tập I nếu nó vừa bị chặn trên và vừa bị chặn dưới.
Các hàm số sơ cấp cơ bản
Hàm số có dạngy= f(x) =C, Clà hằng số,∀x∈R. Đồ thị của hàm số hằngy=Clà đường thẳng vuông góc với trụcOytại điểm(0,C). b Hàm số lũy thừa
Tập xác định của hàm lũy thừa phụ thuộc vàoα. Đồ thị của hàm sốy=x α luôn luôn đi qua điểm(1,1). c Hàm số mũ
Hàm số mũ có tập xác địnhD=Rvà tập giá trịT = (0,+∞).
Hàm số mũ y = a^x có tính chất tăng khi a > 1 và giảm khi 0 < a < 1 Đồ thị của hàm số này luôn nằm phía trên trục Ox và đi qua điểm (0, 1).
Hàm số có dạngy= f(x) =log a x, 00, 0 1 và giảm khi 0 < a < 1 Đồ thị của hàm số này luôn nằm bên phải trục Oy và đi qua điểm (1,0) Đặc biệt, khi a = 10, chúng ta có thể viết log 10 x = lg x.
Nếua=ethì ta viết log e x=lnx.
2x e Các hàm số lượng giác i Hàm sốy= f(x) =sinxvà hàm sốy= f(x) =cosx
Tập xác định D=R, tập giá trị T = [−1,1].
Hàm sốy=sinxvày=cosxlà các hàm số bị chặn, tuần hoàn với chu kìT =2π Hàm số y=sinxlà hàm số lẻ và hàm sốy=cosxlà hàm số chẵn (xem Hình 1.5).
Hình 1.5: ii Hàm sốy= f(x) =tanxvà hàm sốy= f(x) =cotx
Hàm sốy=tanxxác định với mọix6= π
2+kπ, k∈Z. Hàm sốy=cotxxác định với mọix6=kπ, k∈Z.
Hàm sốy=tanxvày=cotxlà các hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kìT =π(xem Hình 1.6).
Hình 1.6: f Các hàm số lượng giác ngược i Hàm sốy= f(x) =arcsinx(xem Hình 1.7)
Tập xác định D= [−1,1], tập giá trị T =h
2,π 2 i Hàm sốy=arcsinxhàm số bị chặn và là hàm số lẻ.
Hàm sốy=arcsinxlà hàm ngược của hàm sốy=sinxtrênh
2,π 2 i ii Hàm sốy= f(x) =arccosx(xem Hình 1.8)
Tập xác định D= [−1,1], tập giá trị T = [0,π].
Hàm sốy=arccosxhàm số bị chặn, không chẵn, không lẻ.
Hàm sốy=arccosxlà hàm ngược của hàm sốy=cosxtrên[0,π], tức là: y=arccosx⇔x=cosy, ∀x∈[−1,1],y∈[0,π].
2 , ∀x∈[−1,1]. iii Hàm sốy= f(x) =arctanx(xem Hình 1.9)
Tập xác định D=R, tập giá trị T −π
.Hàm sốy=arctanxhàm số bị chặn và là hàm số lẻ.
Hàm sốy=arctanxlà hàm ngược của hàmy=tanxtrên
iv Hàm sốy= f(x) =arccotx(xem Hình 1.10)
Tập xác định D=R, tập giá trị T = (0,π).
Hàm sốy=arccotxhàm số bị chặn, không chẵn, không lẻ.
Hàm sốy=arccotxlà hàm ngược của hàm sốy=cotxtrên(0,π), tức là: y=arccotx⇔x=coty, ∀x∈R, y∈(0,π).
Các hàm số sơ cấp
Hàm số sơ cấp được hình thành từ các hàm sơ cấp cơ bản thông qua các phép toán như tổng, hiệu, tích, thương, lũy thừa, căn số và hàm hợp.
Ví dụ 1.4. y=p x 2 +3+sin 3x−7 b Hàm đa thức
Hàm đa thức bậcnlà hàm sơ cấp có dạng: y= f(x) =a n x n +a n−1 x n−1 + .+a 1 x+a 0 với n∈N, a n 6=0,a i ∈R, i=0, ,n.
Hàm đa thức bậcnthường ký hiệu làP n (x)hayQ n (x). c Hàm hữu tỉ (Hàm phân thức)
Hàm số hữu tỉ là hàm số có dạng thương của hai hàm đa thức y= P n (x)
Giới hạn hàm số
Các định nghĩa giới hạn hàm số
Cho điểm \( x_0 \in \mathbb{R} \) và \( \alpha > 0 \), khoảng số thực có dạng \( (x_0 - \alpha, x_0 + \alpha) \) được gọi là α-lân cận của \( x_0 \) Một tập hợp chứa một α-lân cận của \( x_0 \) được gọi là lân cận của \( x_0 \), ký hiệu là \( U(x_0) \) Định nghĩa giới hạn tại một điểm: Cho hàm số \( f(x) \) xác định trong lân cận \( U(x_0) \) (có thể trừ \( x_0 \)) Số \( L \) được gọi là giới hạn của hàm số \( f(x) \) khi \( x \in U(x_0) \) và \( x \) biến thiên dần đến \( x_0 \) nếu với mọi \( \epsilon > 0 \) cho trước, luôn tồn tại \( \delta = \delta(x_0, \epsilon) > 0 \) sao cho với mọi \( x \in U(x_0) \), \( 0 < |x - x_0| < \delta \) thì \( |f(x) - L| < \epsilon \).
Kí hiệu: lim x→x 0 f(x) =Lhay f(x)→Lkhix→x 0
Ví dụ 1.5 Dùng định nghĩa chứng minh rằng lim x→2(3x+4)
Để xác định giới hạn của hàm số khi x tiến đến 2, ta có điều kiện: nếu 0 < |x−2| < δ thì |(3x+4)−10| < ε, từ đó suy ra lim x→2(3x+4) Theo định nghĩa giới hạn một phía, với hàm số f(x) xác định trong nửa khoảng (a, x₀] (có thể trừ x₀), số L₁ được gọi là giới hạn trái của hàm f(x) khi x thuộc (a, x₀) và x biến thiên dần tới x₀ nếu với mọi ε > 0 cho trước, luôn tồn tại δ = δ(x₀, ε) > 0 sao cho với mọi x thuộc (a, x₀], 0 < x₀ − x < δ thì |f(x)−L₁| < ε.
Kí hiệu giới hạn trái của hàm số f(x) khi x tiến tới x₀ từ bên trái được biểu diễn là lim x→x₀⁻ f(x) = L₁ Định nghĩa 1.4 nêu rõ rằng nếu hàm f(x) được xác định trong nửa đoạn [x₀, b) (có thể không bao gồm x₀), thì số L₂ được xem là giới hạn trái của hàm f(x) khi x nằm trong khoảng (x₀, b) và x tiến dần tới x₀ Điều này có nghĩa là với mọi ε > 0 đã cho, luôn tồn tại một δ > 0 sao cho khi 0 < |x - x₀| < δ, giá trị f(x) sẽ nằm trong khoảng (L₂ - ε, L₂ + ε).
Ký hiệu lim x→x + 0 f(x) = L 2 hay f(x) → L 2 khi x → x + 0 Định lý 1.1 nêu rõ điều kiện cần và đủ để lim x→x 0 f(x) = L là lim x→x − 0 f(x) = lim x→x + 0 f(x) = L Định nghĩa 1.5 về giới hạn ở vô cùng cho biết rằng số L được gọi là giới hạn của f(x) khi x → +∞ (−∞) nếu với mọi ε > 0 cho trước, luôn tồn tại M > 0 đủ lớn sao cho khi x > M (x < −M) thì |f(x) − L| < ε.
Nếu lim x→+∞f(x) = lim x→−∞f(x) =Lthì ta viết: x→∞lim f(x) =L.
Ví dụ 1.6 Chứng minh lim x→∞
1 ε ⇔
Do đó với ε>0 cho trước (nhỏ tùy ý) ta chọn M =M(ε) r1 ε, khi đó ∀x, x>M hay xM r1 ε ⇔x 2 +1> 1 ε ⇔
Giới hạn vô cùng được định nghĩa như sau: Cho hàm số f(x) xác định trong một lân cận U(x₀) ngoại trừ x₀, hàm số f(x) có giới hạn là +∞ (hoặc -∞) khi x tiến tới x₀ nếu với mỗi số A > 0 tùy ý, luôn tồn tại δ = δ(A) > 0 sao cho
Ví dụ 1.7 Chứng minh lim x→1
Với mỗi sốA>0lớn tùy ý, ta có:
Do đó, vớiA>0ta chỉ cần chọnδ=δ(A) r1
Hàm số f(x) được coi là có giới hạn vô cùng (±∞) khi x tiến tới +∞ hoặc -∞ Cụ thể, với mỗi số A > 0 tùy ý, tồn tại một số M = M(A) > 0 sao cho mọi x thỏa mãn |x| > M, thì f(x) sẽ lớn hơn A (hoặc nhỏ hơn -A).
Ví dụ 1.8 Chứng minh lim x→±∞x 2 = +∞.
Với mọiA>0cho trước lớn tùy ý, ta cóx 2 >A⇔ |x|>√
A, khi đó∀x thỏa mãn|x|>Mthìx 2 >A Vậy lim x→±∞x 2 = +∞.
Các tính chất của giới hạn
Tính chất 1.1 Nếu f(x) =C(hằng số) thì lim x→x 0 (∞)f(x) = lim x→x 0 (∞)C=C.
Tính chất 1.2 Nếu f(x)có giới hạn hữu hạn khix→x 0 (∞)thì giới hạn hữu hạn đó tồn tại duy nhất.
Tính chất 1.3 Nếu lim x→x 0 f(x) =L và L>0(0,(f(x) 0 sao cho f(x) ≤ M Do đó, khi x tiến tới +∞, hàm f(x) sẽ có giới hạn hữu hạn.
Nhận xét 1.1 Dựa vào tiêu chuẩn trên người ta đã chứng minh được: i lim n→+∞
Vô cùng lớn và vô cùng bé
Vô cùng bé
a Định nghĩa và ví dụ Định nghĩa 1.8 Hàm f(x)được gọi là một vô cùng bé (VCB) khix→x 0 (x 0 có thể hữu hạn hoặc vô cùng) nếu lim x→x 0 f(x) =0.
Ví dụ 1.10. i f(x) =sinxlà một VCB khix→0vìlim x→0sinx=0. ii f(x) = 1 x là một VCB khix→∞vì lim x→∞
Định lý 1.4 chỉ ra rằng điều kiện cần và đủ để hàm f(x) có giới hạn L khi x tiến tới x0 (x0 có thể là một số hữu hạn hoặc vô cùng) là f(x) - L phải là một biến cố (VCB) khi x tiến tới x0 Cụ thể, điều này có nghĩa là f(x) có thể được biểu diễn dưới dạng L + α(x), trong đó α(x) cũng là một VCB khi x tiến tới x0.
Để chứng minh cho trường hợp x tiến tới 0 hữu hạn và x tiến tới ±∞, ta sẽ áp dụng phương pháp tương tự Điều kiện cần để thực hiện chứng minh là giả sử giới hạn lim x→0 f(x) = L, theo định nghĩa về giới hạn.
Khi lim x→x 0 α(x) = 0, tức là α(x) = f(x) − L là một VCB khi x tiến gần đến x 0 Điều kiện đủ để khẳng định điều này là: nếu α(x) = f(x) − L là một VCB khi x → x 0, thì lim x→x 0 α(x) = 0 tương đương với việc ∀ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho 0 < |x − x 0| < δ thì |α(x)| < ε, hay nói cách khác, |f(x) − L| < ε Do đó, ta có thể kết luận rằng f(x) → L khi x tiến gần đến x 0 Các tính chất của VCB cũng cần được xem xét trong bối cảnh này.
Tính chất 1.8 Nếuα(x)là một VCB khix→x 0 (x 0 có thể hữu hạn hoặc vô cùng) vàC là một hằng số thìCα(x)cũng là một VCB khix→x 0
Tính chất 1.9 Nếuα(x) và β(x) là các VCB khi x→x 0 (x 0 có thể hữu hạn hoặc vô cùng) thì α(x) +β(x),α(x).β(x)cũng là VCB khix→x 0
Tính chất 1.10 của hàm số cho biết rằng nếu α(x) là một biến cố bất định (VCB) khi x tiến tới x₀ (với x₀ hữu hạn) và f(x) là hàm bị chặn trong một lân cận nào đó của x₀ (có thể loại trừ x₀), thì tích α(x)·f(x) cũng sẽ là một VCB khi x tiến tới x₀ Hơn nữa, nếu α(x) là VCB khi x tiến tới vô cực và f(x) bị chặn trên tập {x}, thì cũng sẽ có những tính chất tương tự.
|x|lớn tùy ý}thìα(x).f(x)cũng là một VCB khix→∞. d So sánh các VCB
Giả sử α(x) và β(x) là hai VCB khi x tiến tới x₀ (x₀ có thể là hữu hạn hoặc vô cùng) Nếu lim x→x₀ α(x) / β(x) = 0, thì α(x) được coi là một VCB bậc cao hơn β(x), và β(x) là VCB bậc thấp hơn α(x) khi x tiến tới x₀ Ngược lại, nếu lim x→x₀ α(x) / β(x) = L (với L khác 0 và hữu hạn), thì α(x) và β(x) được xem là hai VCB cùng bậc khi x tiến tới x₀ Đặc biệt, nếu L = 1, ta nói rằng α(x) và β(x) là hai VCB tương đương khi x tiến tới x₀, ký hiệu là α(x) ∼ β(x) khi x tiến tới x₀.
Ví dụ 1.11. i Ta có: lim x→0
=0 do đó1−cosxlà VCB bậc cao hơn VCBxkhix→0. ii Ta có: x→0lim
1+x−1là VCB cùng bậc với VCBxkhix→0. iii Ta có: lim x→0 sinx x =1 suy rasinx∼xkhix→0.
Chú ý 1.1 Khix→0và vớia6=0thì ta có các VCB tương đương sau: i sinax∼ax, tanax∼ax, 1−cosax∼ (ax) 2
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các giới hạn và sự tương đương của các hàm số trong toán học Cụ thể, ta có các biểu thức như (e^ax - 1) ∼ ax, ln(1 + ax) ∼ ax, và [(1 + x)α - 1] ∼ αx với α thuộc R Ngoài ra, các hàm lượng giác như arcsin(ax) và arctan(ax) cũng có sự tương đương với ax Định lý 1.5 chỉ ra rằng nếu α(x) ∼ α₁(x) và β(x) ∼ β₁(x) khi x tiến tới x₀ (có thể là hữu hạn hoặc vô cùng), thì giới hạn của tích α(x)β(x) khi x tiến tới x₀ sẽ bằng tích của các giới hạn α₁(x)β₁(x) Hơn nữa, nếu β(x) là một hàm bậc cao hơn α(x) khi x tiến tới x₀, thì tổng α(x) + β(x) sẽ tương đương với α(x) khi x tiến tới x₀.
Theo định lý trên, quy tắc tính giới hạn được gọi là quy tắc ngắt bỏ VCB bậc cao Nếu α(x) và β(x) là hai VCB khi x → 0 và đều là tổng của nhiều VCB, thì giới hạn x→0 của α(x) và β(x) có thể được tính bằng giới hạn của các VCB bậc thấp nhất α1(x) và β1(x) trong α(x) và β(x).
Ví dụ 1.12 Ta có x→0lim x 2 +x 3 +sin 3 x 2x 2 +3x 4 −tan 5 x =lim x→0 x 2 2x 2 =1 2 vìx 3 ,sin 3 x,x 4 ,tan 5 xđều là các VCB bậc cao hơnx 2 khix→0.
Vô cùng lớn
a Định nghĩa và ví dụ Định nghĩa 1.9 Hàm f(x) được gọi là một vô cùng lớn (VCL) khi x→x 0 (x 0 có thể hữu hạn hoặc vô cùng) nếu lim x→x 0 f(x) =∞.
Ví dụ 1.13 f(x) =x 3 −2x 2 +1là một VCL khix→+∞vì x→+∞lim (x 3 −2x 2 +1) = +∞. b Các tính chất của VCL
Tính chất 1.11 Nếu f(x),g(x)là hai VCL khix→x 0 (x 0 có thể hữu hạn hoặc vô cùng) vàClà hằng số thực khác 0 thìC f(x)và f(x).g(x)là các VCL khix→x 0
Nếu f(x) là một VCL khi x tiến tới x₀ (x₀ có thể là hữu hạn hoặc vô cùng) và g(x) là một hàm bị chặn trong quá trình đó, thì tổng f(x) + g(x) cũng sẽ là một VCL khi x tiến tới x₀ Việc so sánh các VCL là cần thiết để hiểu rõ hơn về tính chất và hành vi của các hàm trong giới hạn.
Giả sử f(x) và g(x) là hai VCL khi x tiến tới x₀ (x₀ có thể là hữu hạn hoặc vô cùng) Nếu lim x→x₀ f(x)g(x) = ∞, thì f(x) được coi là VCL bậc cao hơn g(x), và g(x) là VCL bậc thấp hơn f(x) khi x tiến tới x₀ Ngược lại, nếu lim x→x₀ f(x)g(x) = L (với L khác 0 và hữu hạn), thì f(x) và g(x) được xem là hai VCL cùng bậc khi x tiến tới x₀ Đặc biệt, nếu L = 1, hai VCL này được gọi là tương đương khi x tiến tới x₀.
Khi tính giới hạn thương của hai VCL f(x) và g(x), thường áp dụng quy tắc ngắt bỏ các VCL bậc thấp Theo đó, giới hạn được xác định bằng cách lấy giới hạn của các VCL bậc cao nhất, cụ thể là lim x→0 f(x) g(x) = lim x→0 f1(x) g1(x), trong đó f1(x) và g1(x) là các VCL bậc cao nhất trong f(x) và g(x).
Ví dụ 1.14 Ta có lim x→+∞
Trong toán học, mối liên hệ giữa VCL (Văn hóa lượng) và VCB (Văn hóa bậc) rất quan trọng Cụ thể, nếu trong một quá trình nào đó α(x) khác không là một VCB, thì 1/α(x) sẽ trở thành một VCL Ngược lại, nếu f(x) là một VCL trong một quá trình nào đó, thì 1/f(x) sẽ là một VCB trong quá trình ấy Điều này cho thấy sự tương quan chặt chẽ giữa các khái niệm này trong việc phân tích và xử lý các biểu thức toán học.
Một số giới hạn đặc biệt của các hàm sơ cấp cơ bản
0 nếuα1 +∞ nếu00)
−2√ at+b ; p ax 2 +bx+c√at 2 +bt+c√ a
Khi đó hàm dưới dấu tích phân R trở thànhR 1 (t), trong đó R 1 (t)là một hàm hữu tỉ của t. Phương pháp này được gọi làphương pháp Ơle thứ nhất.
Trong trường hợp c>0 ta sử dụngphương pháp Ơle thứ hai, bằng cách đặt: pax 2 +bx+c=xt±√ c khi đó: x=±2√ ct−b a−t 2 và R x,√ ax 2 +bx+c cũng trở thành hàm hữu tỉ của t.
Ví dụ 3.10. i Tính tích phân IZ dx p(x 2 +4x+7) 3
Ta có x 2 +4x+7= (x+2) 2 +3 Đặt u=x+2 ta được:
3 tant ⇒ du√3 cos 2 tdt , √ u 2 +3√3 cost. Khi đó:
Ta có 3−2x−x 2 =4−(x+1) 2 Đặt t=x+1ta được dx=dt và
Ta có x 2 +4x+10= (x+2) 2 +6. Đặt t=x+2ta được dx=dt và
Có những hàm số sơ cấp không có nguyên hàm, ví dụ như: sin(x)/x, cos(x)/x, sin(x²), cos(x²), e^(-x²), 1/ln(x), e^x/x, và nhiều hàm số khác.
Tích phân xác định
Bài toán diện tích hình thang cong
Cho hàm số f(x)≥0, liên tục trên đoạn [a,b], hình thang cong AabB được giới hạn bởi đường cong y=f(x), trục hoành và các đường thẳng x=a, x=b Để tính diện tích hình thang cong AabB, ta chia đoạn [a,b] thành n phần nhỏ bằng các điểm chia a=x0 < x1 < x2 < < xn=b Mỗi phép chia này được gọi là một phân hoạch T, với ký hiệu d(T) = max.
Trong mỗi đoạn [x i−1, x i], chọn ξ i ∈ [x i−1, x i], với i = 1, n Hình thang cong AabB được chia thành các hình thang cong nhỏ bởi các đường thẳng x = x i Gọi S i là diện tích hình thang cong giới hạn bởi y = f(x) và các đường thẳng x = x i−1, x = x i, cùng đoạn [x i−1, x i] Diện tích S i được xấp xỉ bằng diện tích hình chữ nhật có chiều rộng ∆x i = x i − x i−1 và chiều dài f(ξ i) Từ đó, ta lập tổng để tính diện tích tổng thể.
Nếu S là diện tích hình thang cong AabB, thì S ≈ S n (T) với ∆x i, i=1,n khá bé Khi n → ∞, người ta đã chứng minh rằng d(T) → 0 và lim S n (T) = lim d(T) → 0 với ∑ f(ξ i )∆x i tồn tại hữu hạn, không phụ thuộc vào phép chia T và cách chọn các điểm ξ i ∈ [x i−1, x i].
Định nghĩa tích phân xác định
Định nghĩa 3.3 Cho y= f(x) xác định trên [a,b] GọiT là một phân hoạch tùy ý đoạn [a,b] thànhnđoạn nhỏ bởi các điểm chia a=x 0