Giáo trình Giải tích thực và đại số tuyến tính

DAI HOC DA NANG TRUONG DAI HOC SU PHAM — —=— * — —=— PHAN QUANG NHƯ ANH - NGUYEN THI HÀ PHƯƠNG NGUYÊN THỊ SINH - PHAN ĐỨC TUẦN - NGƠ THỊ BÍCH THỦY Giáo trình GIẢI TÍCH THỰC VA DAI SO TUYEN TINH Da Nang - 2017 “Đại số” xem ngành toán học mở rộng trừu tượng hóa mơn số học, giảng dạy chương trình phổ thơng với phép tính số thực, hàm số, phương trình đồ thị sơ cấp “Giải tích” ngành tốn học nghiên cứu hàm số, thiết lập ngành đại số, lượng giác, hình học giải tích để giải toán mà phương pháp đại số thông thường tỏ không hiệu Hiện nay, “Giải tích” “Đại số” hai ngành tốn học có ứng dụng rộng rãi khoa học kỹ thuật, có vai trò chủ đạo hệ thống giáo dục Đây mơn học bắt buộc khung chương trình đào tạo Đại học, Cao đẳng toàn quốc Để phục vụ công tác giảng dạy học tập sinh viên khối ngành khơng chun tốn thuộc Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng, biên soạn giáo trình “Giải tích thực Đại sơ tuyến tính” Nội dung giáo trình gồm 05 chương, cụ thể sau: Chương 1: Hàm số - Giới hạn hàm số - Hàm số liên tục; Chương 2: Phép tính vi phân hàm biến; Chương 3: Tích phân hàm biến; Chương 4: Ma trận - Định thức; Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính Sau nghiên cứu giáo trình này, bạn đọc hệ thống lại kiến thức toán học chương trình phổ thơng, như: hàm số, vi phân, tích phân tìm hiểu kiến thức về: ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính Vì giáo trình đành cho khối ngành khơng chun tốn nên nội dung chương trình bày đọng, khơng giải thích tỉ mi khái niệm tốn học túy Một số tính chất, định lý không chứng minh, chủ yếu giới thiệu kiến thức toán học cần thiết để bạn sinh viên ứng dụng học tập môn học chuyên ngành Các chương 1, 2, có phần học chương trình phổ thơng nên chúng tơi trình bày sơ lược dạng tóm tắt Mặc dù có nhiều gắng cơng tác biên soạn, song giáo trình khó tránh khỏi thiếu sót Nhóm tác giả mong nhận đóng góp ý kiến bạn đọc để giáo trình hồn thiện Mọi góp ý xin gửi địa chỉ: Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng Đà Nẵng, tháng 12 năm 2017 Nhóm tác giả Muc luc Lời nói đầu CHƯƠNG1 1.1 1.1.2 113 1.14 115 12.2 12.3 12.4 HH va ỒỒ Dinhnghiavavidu Hạ HH v 0.00002 nà kg eee v eee 10 11 15 Các định nghĩagiớihạnhàmsố 15 .Q Q Q Q Q Q HQ HQ HQ va .- Các tínhchấtcủagiớhạn co Các phép toán giới hạn củahàmsố Các tiêu chuẩn tổn tạ giớihạn O.QẶ ee Ặ Q Q Q HQ KH KV vo 15 17 18 19 20 13.1 Vôcùngbé 13.2 Vôcùnglớn .Ặ Q Q Q Q LH HH es 22 13.4 Các dạng vôđịnh .Ặ.Ặ eee ee ee en 23 141 1.4.2 1.43 1.4.4 Hàmsốliêntục c c Q Q g Q Q Q Q Q2 v2 Các phép toán hàm số liêntục Tính chất hàm số liên tục đoạn Điểm gián đoạn củahàmsố 25 26 26 27 Một số giới hạn đặc biệt hàm sơ cấp cơbản Sự liên tục hàm sô biỂn CHƯƠNG2_ PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIỂN 2.1 Đạo hàm hàm sô biễn ốcỐ 2.2 Hàm số hợp hàm số ngược .Đặctnhcủahàmsố ẶẶ ee ee ee Các hàm số sơ cấp cơbẩn CáchàmsốsƠcấp - Ặ c Q Q ee eee Vô lớn vô bé 1.3.3 1.4 HH HẦM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ - HÀM SỐ LIÊN TỤC Giớihạnhàm SỐ 12.1 13 Ặ.Ặ Ặ Q Q Q Q Q Q Q HQ Hàm sô biên số thực 111 12 2.11 2.1.2 Đạo hàm (cấp 1)củahàmsố Đạohàmcấpcao Q Q Q Q HQ HQ HH va 2.2.1 Địnhnghĩa vi phân củahàmsố 2.2.2 Ý nghĩa hình học viphân Vi phân hàm biến Ặ Ặ.ẶẶẶỐQQ 2.2.3 2.2.4 2.255 C&échtinhviphin eee eee Úng dụng vi phân vào tính gằnđúng Vi phân cẤp CAO ee es 20 23 25 31 31 31 37 38 38 39 40 41 41 2.3 2.4 Cacdinhlj véhamkhavi 0 2.3.1 Các định lý giá trịtrungbìnhh 23.2 QuytắcI?Hospial es 43 43 2.33 Công thức Taylor HQ Quà Ki 48 2.4.1 Các định lý tính đơn điệu cực trị hàmsố 51 Ứng dụng đạo hàm để khảo sát vẽ đô thị hàn sơ 24.2 2.4.3 2.44 CHƯƠNG3_ 3.1 3.4 TìmGTLN vàGTNN củahàmsố Tính lỗi lõm, điểm uốn hàmsố - Xác định tiệm cận - Sơ đồ khảo sáthàmsố TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIÊN 46 51 52 52 53 59 59 3.1.1 Khái nệm nguyênhàm Ặ ne 59 3.1.4 3.1.5 Bảng tích phân hàm số thường gặp Các phương pháp tính tích phân bất định 60 61 3.1.66 Tích phân hàm thường øặp Tíchphânbấtđinh ẶQ QẶ Q Q QỢ Các tính chất tchphânbấtđnh 59 59 63 Tích phán xác định Ặ.ẶẶee 71 3.2.1 Bài tốn diện tích hình thangcong 71 3.2.2 Định nghĩa tch phân xácđịnh 71 3.2.3 Các tính chất tích phân xá định 3.2.4 Một số định lý tích phân xác định 3.2.6 Phuong pháp tích phân từngphần 3.2.5 3.3 Nguyên hàm tích phân bắt định 3.12 3.13 3.2 .Ặ.Ặ.Ặ ee Phương pháp đối biến tích phân xácđịnh Tích phân suyFrỘng .Ặ Ặ.ẶQ Q Q Q Q HQ HH Quà vi va 73 73 75 76 77 3.3.1 Tích phân suy rộng với cậnhữuhạn 77 3.3.2 Tích phân suy rộng với cậnvơhạn 79 3.3.3 Một số tiêu chuẩnhộitg Ứng dụng tích phân xác định 3.4.1 3.42 Diệntíchhìnhphẳng - Ặ.ẶQ ẶẶ 80 82 82 ThểtchvậtthỂ .Ặ Q Q Q Q Q Q SH eee 84 CHUONG MATRAN-DINHTHUC 00 eee ene 41 Matrén ee Dinhnghia 0.2.0 0.00 eee ee ee ee 4.1.1 92 92 92 3.43 4.1.2 4.2 Độ dàicungphẳng ee ee 85 4.1.3 Các phép toán matrận Ma trận đối xứng ma trận phẳnxứng 94 4.14 Đathứcmatrận -Ặ Ặ Q Q Q HQ 96 Dinhthitc 4.2.1 Phépthé-Nghichthé 4.2.2 Dinhthtic 0.0.0.0 ee ee eee 000000 ee 96 97 97 97 4.3 44 Matraénkhdnghich CHƯƠNG 51 104 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 115 00 ee Hệ phương trình tuyến tính tổng quát 5.1.1 115 115 Hệ phương trình tuyến tính nhÁt 122 5.2.1 Địnhnghĩa tính chất Ặ Ốc Ốc co 122 5.22 Hệnghiệm cơbản .Ặ Ặ Q Q Q Q Q Q HQ 123 5.2.3 Các nệm chung 109 .Ặ Ặ QẶ Q QẶ QẶ es 5.1.2 5.2 es Hangctamatraén Giải hệ phương trình tuyếntính - Cấu trúc nghiệm hệ phương trình tuyếntính Tài liệu tham khảo .Ặ .Ặ.Ặ Q Q Q HO HO Q HH HH HH cà HN v KH Na 117 124 129 Chuong Ham so - Gidi han ham so - Ham so lién tục 1.1 ˆ Hàm số biến số thực 1.1.1 Đỉnh nghĩa ví dụ Định nghĩa 1.1 Cho tập hợp Ð C R (D # Ø), ánh xạ ƒ : D — IR gọi hàm số biến số thực, tập D gọi tập xác dinh, va tap T = f(D) gọi tập giá trị hàm số ƒ Người ta thường viết gọn hàm số /ƒ : —> lR x>y=ƒ() đẳng thức y = f(x), d6 x gọi biến độc lập hay đối số, y = f(x) gọi biến phụ thuộc hay hàm số Nếu x = xọ € Ð yọ = ƒ(xọ) gọi giá trị hàm số xo Ví dụ 1.1 T = Hàm số y= ƒ(x) =2xỞ+vx—3 có tập xác định Ð —= [3,+œ) tập giá trị Ry, 1.1.2 Hàm số hợp hàm số ngược a Hàm số hợp Cho X, Y,ZCTR, định nghĩa bởi: Khi cho hàm số ƒ : X-+Y hàm số g: Y -y Z, xét hàm số b : X —>Z h(x) =g|[ƒ@)], x€X gọi hàm số hợp hàm số ƒ hàm số g, người ta thường kí hiệu: h(x) = g[ƒ()] hay h(+) = (go ƒ)(z),x €X Ví dụ 1.2 Cho X = Y = Z =R, xét ánh xạ: ƒ:x>1⁄ 2+2, Khi đó: g:xe>3x+1 fls()] = [g@)? +2 = (3x +1)” +2 sữ@)]=3ƒœ)+1=3(@”+2) +1 Giải tích thực Đại số tuyến tính b Hàm số ngược Cho X,Y C R; cho song anh f : X > Y,x y= f(x) Vi f 14 song ánh nên ƒ toàn ánh, nghĩa ƒ(X) = Y va f citing la don anh, tttc 1a v6i x1 A x2, %1,x2 € X thi f(x) f(x2) Khi dé phần tử y € Y ảnh phần tử x € X nên đặt tương ứng phần tử y€Ÿ với phần tử x € X; phép tương ứng xác định hàm số từ Y sang X, hàm số gọi hàm số ngược /, kí hiệu f 1s Y OX, tite la: ƒ}:y>x=Ƒ '0) y biến độc lập x hàm số phụ thuộc Ví dụ 1.3 Xéthàmsố Vì với y€IR„ ƒ : lR, —>lR,, xr>x7 phương trình x? = y ln có nghiệm x = vy€R; song ánh có hàm số ngược ƒ~Í(y) = /¥ 1.1.3 nên ƒ Dac tinh cua ham sé Cho ham s6 f: DR tập ï C Ð Khi ta có: a Ham sơ chăn, hàm sơ lẻ Ham s6 f : D> R duoc goi 1a chan trén J néu Vx € J thi —x € J va f(—x) = f(x) Hàm số ƒ : Ð —› IR gọi lẻ J néu Vx € J thi —x € J va f(—x) = — f(x) Đồ thị hàm số chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng, đồ thị hàm số lẻ nhận gốc O làm tâm đối xứng b Hàm số tuần hoàn Hàm số ƒ : D — I gợi tuần hoàn tổn số > cho: f(x+T) = f(x), Vx ED Số T nhỏ thỏa mãn đẳng thức gọi chu kỳ f c Hàm số đơn điệu Hàm số ƒ : ? —› IR gọi tăng nếu: #1,X¿ €Ĩ,xị < xa, suy ƒ(%¡) < ƒ(%) Hàm số ƒ : — ]R gọi tăng nghiêm ngặt nếu: #1,#¿ €Ĩ, xị < xa, suy ƒ(x¡) < ƒ() Hàm số ƒ : Ð — IR gọi giảm nếu: X1,X2 ET, x, < x0, suy f(x) > f(x2) Ham sé f : D> R gọi giảm nghiêm ngặt ï nếu: #1,*2 CĨ, xị ƒ2) Hàm số tăng hay giảm gọi đơn điệu J 10 Giải tích thực Đại số tuyến tính Điều gợi cho ta ý tưởng mở rộng định nghĩa tích phân xác định cho hàm khơng bị chặn đoạn |a, b| b Định nghĩa 3.4 Cho hàm số f(x) lién tục (a,b] lim ƒ (x) = œ Giới hạn lim / f(x)dx E—>0T x->a gọi /ích phân suy rộng f(x) trén (a,b] Ki hiéu: b q+Ê b | flax lim Í ƒ@)ảx (3.3) ate b-€ Tương tự, với ƒ(x) hàm số liên tuc trén [a,b) va lim f(x) =o Giéi han x—b~ dude goi la tich phan suy rong cha f(x) trén [a,b) Ki hiéu: F / f (x)dx := lim / e301 a b-€ Ja f(x)dx lim / ƒ()dx c0? a (3.4) Tổng quát, với ƒ(x) hàm liên tục |z,c) U (c,b] lim f(x) =~, do: x—>C [rear [16+ Í mo c—£ b — E—>0T lim / f(x)dx-+ lim / F(x)dx (3.5) c+£ Nếu giới hạn phải công thức (3.3), (3.4), (3.5) tồn hữu hạn ta nói cdc tich phân suy rộng hội tụ Ngược lạt, ta nói tích phán suy rộng phân kỳ Ví dụ 3.14 i Xét tich phan suy rộng hàm y —=“nx trén [1,e] Ta cé: xlnx e dx ——= lim xInx e¢- 0+ e 1+e đx —— = lim xinx e>0+ ¿ 1+e d(Inx) Inx = jim [In(Ine) — In(In(1 +£))| = +œ e dx Vayây tich tích phân pha suy rộng jf= -—— phân han ky.kỳ 78 Chương Tích phân hàm biến ii Tinh f J Val Ta có: a J J/ vụ + [4 =enor! lim [A lim [ de =Vi Jax + ew = lâm (— r++, e>0t 3.3.2 lim (2 — 2V⁄§) =4 Tích phân suy rộng với cần vơ hạn Bây ta xét trường hợp z,b không hữu hạn Tức là, a = —œ b = +œ (a,b) = (—œ, -+œ) Ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 3.5 Cho hàm số ƒ(z) xác định [ø,-+œ) khả tích [a,b|, Vb > a Giới hạn b ,im / ƒ(z)d+x gọi tích phân suy rộng cua f(x) trén [a, +c°), ki hiéu 1a: —+œ +00 b | f@)ax:= slim, [ f(e)as (3.6) Tương tự, hàm số ƒ(x) xác định (—œ, b| khả tích [a,b], Va < b giới hạn b lim / f(x)dx dude goi 1a tich phan suy rộng cua f(x) trén (—~, b], kí hiệu là: a->—œ b b | f6)4x:= 1m [ 7094 (3.7) Tổng quát, giả sử ƒ(z) xác định (—œ, +) khả tích [a,b], Vø,b €]R, a< b Khi tích phân suy rộng ƒ(x) (—œ, ) là: too c | s@ae:= feo J sears | f)4x ve (3.8) Nếu giới hạn phải công thức (3.6), (3.7), (3.8) tồn hữu hạn ta nói tích phân suy rộng hội tụ Ngược lại, ta nói tích phân suy rộng phân kỳ Vi du 3.15 oo dx i Tinh '= lung xv1ì+x2 b Taco I= ;um tm | ae 4x2 79 Giải tích thực Đại số tuyến tính b Xét tích phân / —_, “dx Đặt:=VI132, tacó: xv1+xz2 fatie- Teg dee 1+b2 b xVT 4x2 Ị Vay: 2! (2-17 ` v2-—1 VED eee v2~1)]=1- v2 al! I= lim [= in vi+t2 b2+1 4⁄1 b—- eo t+1\lv2 co i Tinh r= f Trước 1+x7 ⁄ Z XxX J= tathây hệt —_— x x ` >x nên e *# +e 81 (— e”+e l)=e£}, Giải tích thực Đại số tuyến tính -+-œ ° oA nw , Sử dụng tiêu chuẩn so sánh ta suy — / e * dx ae xe ` hdi tu Ngoai ra, vi 0 | OQ © r Bài 3.9 Chứng minh: dx — [ae I Lào eS Bài 3.10 Tính * 1 lim — | cos(t”)dt x0 X Bai 3.11 Tinh cac tich phan sau: +> yo+ Oo CS y?dy | cos*tdt ula / sin? odo J cot* xdx T Bài 3.12 Dùng đổi biến để tính: / dx fs I+ởx+T Ve*dx ộ 3 => J 9, v3 s, fe [21 : 4, [Ao In5 S xVx¿+5x+1 89 Ve+re* e*-L3 = Wax (a>1) Giải tích thực Đại số tuyến tính Bài 3.13 Dùng phương pháp tích phân phân tính: TL [ xoosxax 1t / e* sinxdx T4 xsinxdx cos’ x ƒ nữ +3) Bài 3.14 Tìm nghiệm phương trình sau: LÍ dt 7-1 n2 Xx dt | (x > 2) VẾ Bài 3.15 Xét hội tụ, phân kỳ tích phân suy rộng sau Nếu hội tụ tính: too oo J x7+1 l=" —œo Tê a la Xx co J + oo xV1+x2 ( a>0 e arctanx x dx Í x 4, | _* [x ) Bài 3.16 Xét hội tụ, phân kỳ tích phân sau: weer mí + [ay +x?) x co / sinx x Le ax p TT” / arctan x dx J V14+x4 3, / e-* dx Bai 3.17 Tinh: 1 l (x— 1)dx (x+ 1)dx | m 90 Chương Tích phân hàm biến | xdx | J vx—1 dx x7 —Ax +43 Bài 3.18 Xét hội tụ, phân kỳ tích phân: 1 f 100 v 1—x4 dx la d é s | dx J lu: 3/(1 — x2)5 [| Y/x+2Yx +23 ! xlnx Vxdx —= Bài 3.19 Tính điện tích hình phẳng giới hạn đường: 1.y—=2—x?; y`—x 2.y=4-xˆ; y=x7-4 3, y° =2x+1; 4.y—x”; y—8 trục Oy y2 = 16y+6x; yŠ— l6y = 24x x? x-y—-1=0 6.Y= 2: Y=T1 Bp Bài 3.20 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: 1.r=2a(2+cos0) (a>0) 2.r=acos5@ (a>0) r=atang (a>0)vag=* Bài 3.21 Tìm độ dài cung phẳng: y=Inx ti diém x, = V3 dén x2 = V8 y= sœ~ 1) bị chặn y2 = ; Trén xicloitx = a(t — sin?),y = a(1 — cos£) (z > 0) Tìm điểm M chia nhịp hai phần mà phần đầu dài phần sau Bài 3.22 Tính thể tích vật trịn xoay tạo bởi: Hình phẳng giới hạn y = ,/x, y = x”, quay quanh truc Ox Hình phẳng giới hạn y — 2x —x7, y = 0, quay quanh truc Oy Hình phẳng giới hạn xy — 4,y — 0,x — 1,x = 4, quay quanh trục Ox Hình phẳng giới hạn y? -+-x — — 0,x — 0, quay quanh Oy Hình phẳng giới hạn y — xˆ,y — 4, quay quanh đường thẳng x = Một nhip xicloit x = a(t — sint),y = a(1 — cost) va y = quay quanh Ox 91 Chương Ma trần - Định thức 4.1 4.1.1 Ma trần Định nghĩa Định nghĩa 4.1 Cho zn, nø hai số nguyên dương Ta gọi ma trận A cấp ím x n trén R 1a bảng gồm zn.n phần tử z¡; € IR (¡ = 1,m; j = 1,n) xếp thành m dòng m cột sau: H a Ax [07R đm] đỊ2 a - on a m2 soe ann Oe any, Các phần tử dòng thit i cột thứ j gọi phần tử a;; Các phần tử aj, aj2, , din gọi phần tử thuộc dòng thứ ¿ Các phần tử øI;, đ2;, , đ„; gọi phần tử thuộc cột thứ j Ví dụ 4.1 -1 60 —2 8| làma trận cập x (3 hàng,4 cột) Cac khai niém khac: a Ma trận không Một ma trận cấp zn x n gọi ma trận không phần tử ma trận b Ma trận hàng Ma trận hàng ma trận cấp x ø, tức ma trận có hàng ø cột A=laI 12 Qin] c Ma trận cột Ma trận cột ma trận cấp zw x 1, tức ma trận có m hàng cột A= đ11 |Z21 aml d Ma trận vuông Mét ma tran A = (a;j)mxn dugc goi 1a ma tran vuéng néu m = n Lic ta gọi A ma trận vuông cấp n, kí hiệu A = (đ¡;)» 92