Ma trận
Các định nghĩa
Định nghĩa 1.1.1 Ma trận là một bảng số xếp theo dòng và theo cột Ma trận cấp m×n là một ma trận có m dòng và n cột.
*Khi cho một ma trận, ta viết bảng số bên trong dấu ngoặc tròn hoặc dấu ngoặc vuông Vậy ma trận cấp m×n có dạng tổng quát như sau :
* Ta sẽ dùng các chữ cái in hoa A,B,C, để đặt tên cho các ma trận Để gán tên cho một ma trận là A ta viết :
Các phần tử trong ma trận được xác định bởi các số trong đó Mỗi phần tử nằm tại dòng i và cột j được ký hiệu là a ij Do đó, ma trận (1.1) có thể được diễn đạt một cách ngắn gọn như sau:
# là một ma trận cấp 2×3 Các phần tử của A là: a 11 = 5, a 12 = 3, a 13 = −1, a 21 = 0, a 22 = 4, a 23 = 11.
* Xét một ma trận cấp m×n bất kỳ:
Mỗi dòng của ma trận A được xem như một vec-tơ n chiều, trong khi mỗi cột của nó là một vec-tơ m chiều Do đó, một ma trận m×n tương ứng với m vec-tơ dòng n chiều và n vec-tơ cột m chiều Chúng ta ký hiệu A d i để chỉ dòng thứ i và A c j để chỉ cột thứ j của ma trận A Hai ma trận được coi là bằng nhau khi chúng có cùng cấp và các phần tử ở các vị trí tương ứng đều bằng nhau.
* Hai ma trận A và B bằng nhau ta viết A = B.
a ij = b ij i = 1,2, , m;j = 1,2, , n. Định nghĩa 1.1.3 Ma trận không là ma trận có tất cả các phần tử bằng 0.
* Ma trận không cấp m×n kí hiệu là O m×n hoặc O
Ma trận đối của một ma trận A là một ma trận có cùng cấp, trong đó mỗi phần tử là số đối của phần tử tương ứng trong ma trận A.
Ví dụ : Ma trận đối của ma trận A "
# Định nghĩa 1.1.5 Ma trận vuông là ma trận có số dòng và số cột bằng nhau.
* Một ma trận vuông có số dòng và số cột cùng bằng n được gọi là ma trận vuông cấp n Ma trận vuông cấp n có dạng tổng quát :
Trong ma trận vuông A, đường chéo chính nối góc trên bên trái với góc dưới bên phải, trong khi đường chéo còn lại được gọi là đường chéo phụ.
Phần tử aij thuộc đường chéo chính ⇔ i = j;
Phần tử a ij nằm phía trên đường chéo chính ⇔i < j;
Ma trận tam giác là ma trận vuông có các phần tử nằm về một phía của đường chéo chính bằng 0 Trong đó, phần tử a_ij nằm phía dưới đường chéo chính khi chỉ số hàng i lớn hơn chỉ số cột j (i > j).
* Có hai loại ma trận tam giác
Ma trận tam giác trên A
Ma trận tam giác dưới A
(a ij =0 khi i 0.
Hệ số biểu diễn lượng tiêu dùng gia tăng khi thu nhập tăng được gọi là xu hướng tiêu dùng cận biên Trong đó, b là mức tiêu dùng tối thiểu, tức là mức tiêu dùng mà người tiêu dùng duy trì khi không có thu nhập.
Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô trong trường hợp này quy về hệ phương trình tuyến tính:
−aY +C = b Áp dụng kiến thức đại số tuyến tính, ta giải như sau:
Ma trận hệ số A và ma trận số hạng tự do B tương ứng với hệ là:
Ta códet(A) = 1−a ̸= 0do(0 < a < 1)nên tồn tại ma trận nghịch đảoA −1 :
Mức thu nhập cân bằng Y và mức tiêu dùng cân bằng C của nền kinh tế là:
Mô hình cân bằng đối với một nền kinh tế đóng tính thuế thu nhập
Nếu tính thuế thu nhập thì hàm tiêu dùng sẽ thay đổi như sau:
C = aY d +b, trong đó Yd là thu nhập sau thuế: Yd = Y −T (T là thuế thu nhập).
Gọi tỉ lệ thuế thu nhập là t thì T = tY, ta có:
Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô trong trường hợp này là:
Y −C = G 0 +I 0 Áp dụng kiến thức đại số tuyến tính, ta giải như sau:
Ma trận hệ số A và ma trận số hạng tự do B tương ứng với hệ là:
Ta có det(A) = a(1−t)−1 ̸= 0 do 0 < a < 1 và 0 < t ≤ 1 nên tồn tại ma trận nghịch đảo A −1 :
Lúc này, mức thu nhập quốc dân Y và tiêu dùng cân bằng C là:
NếuC = 200 + 0,75Y;I 0 = 300;G 0 = 400 (tính bằng triệu USD) thì ta tính được mức thu nhập cân bằng và mức tiêu dùng cân bằng là:
Nếu nhà nước thu thuế thu nhập ở mức 20% thì t = 0,2 Khi đó mức cân bằng như sau:
Ví dụ 2.2.2 Xét mô hình kinh tế vĩ mô trong trường hợp nền kinh tế đóng.Cho biết: C = 60 + 0,7Yd;Yd = (1−t)Y;I = 90;G = 140 (triệu USD).
Xác định mức thu nhập quốc dân và mức tiêu dùng cân bằng: a/ Khi nhà nước không thu thuế thu nhập (t = 0). b/ Khi nhà nước thu thuế thu nhập t= 0,4.
Giải: a/ Khi nhà nước không thu thuế thu nhập:
Mức thu nhập quốc dân là Y = 60+90+140 1−0,7 = 2900 3 (triệu USD);
Mức tiêu dùng cân bằng là C = 60+0,7(90+140)
1−0,7 = 2210 3 (triệu USD). b/ Khi nhà nước thu thuế thu nhập t= 0,4:
Mức thu nhập quốc dân là Y = 1−0,7(1−0,4) 60+90+140 = 500 (triệu USD);
Mức tiêu dùng cân bằng là C = 60+0,7(1−0,4)(90+140)
Sử dụng kiến thức về hệ phương trình tuyến tính, chúng ta có thể nhanh chóng xác định công thức tính mức thu nhập quốc dân và mức tiêu dùng cân bằng, cả trong trường hợp có và không có thuế thu nhập Điều này giúp các nhà kinh tế thực hiện các tính toán một cách đơn giản và hiệu quả.
Mô hình IS-LM
Trong kinh tế học vĩ mô, mô hình IS-LM được sử dụng để phân tích trạng thái cân bằng của nền kinh tế, bao gồm cả thị trường hàng hóa và thị trường tiền tệ.
Trên đây, ta đã xét mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô của nền kinh tế đóng:
Trong thị trường tiền tệ, lãi suất (ký hiệu là r) là một biến số quan trọng ảnh hưởng đến tổng đầu tư Trong mô hình kinh tế vĩ mô, chúng ta đã giả định tổng đầu tư không đổi (I = I0), nhưng giờ đây, để phân tích mối quan hệ giữa thị trường hàng hóa và thị trường tiền tệ, ta giả định tổng đầu tư I phụ thuộc vào lãi suất r Theo quy luật này, lãi suất càng cao thì đầu tư càng giảm, và mối quan hệ này được thể hiện qua hàm đầu tư.
Hàm đầu tư tuyến tính có dạng:
I = c - dr (c,d là các hằng số dương).
Phương trình biểu diễn điều kiện cân bằng của thị trường hàng hóa là:
Phương trình IS, được biểu diễn qua phương trình (2.6), thể hiện mối quan hệ giữa lãi suất và thu nhập trong điều kiện thị trường hàng hóa đạt trạng thái cân bằng, tức là tổng cung bằng tổng cầu.
Theo mối quan hệ trong (2.6), khi thu nhập Y tăng, lãi suất r sẽ giảm Nếu biểu diễn mối quan hệ này trên mặt phẳng với trục hoành là thu nhập và trục tung là lãi suất, ta sẽ có một đường thẳng dốc xuống, được gọi là đường IS.
Trong thị trường tiền tệ, lượng cầu tiền (L) có mối quan hệ tích cực với thu nhập, nghĩa là khi thu nhập tăng, nhu cầu sử dụng tiền mặt cũng tăng Ngược lại, khi lãi suất tăng, nhu cầu sử dụng tiền mặt lại giảm Biểu diễn mối quan hệ này bằng hàm tuyến tính, hàm cầu tiền sẽ có dạng cụ thể.
L = αY −βr (α và β là các hằng số dương).
Giả sử lượng cung tiền kí hiệu là M, được cố định ở mức M 0 Điều kiện cân bằng của thị trường tiền tệ được biểu diễn dưới dạng phương trình:
Phương trình (2.7) thể hiện điều kiện cân bằng của thị trường tiền tệ, được gọi là phương trình LM Đường biểu diễn mối quan hệ này trên mặt phẳng tọa độ được gọi là đường LM Từ phương trình (2.7), có thể suy ra rằng khi thu nhập tăng, mối quan hệ giữa lãi suất và thu nhập sẽ thay đổi, ảnh hưởng đến trạng thái cân bằng của thị trường tiền tệ.
Y tăng thì lãi suất tăng đường LM là đường dốc lên.
Hệ gồm hai phương trình (2.6) và (2.7) là mô hình IS-LM:
Từ hai phương trình đã cho, chúng ta có thể xác định mức thu nhập Y và lãi suất r, đảm bảo sự cân bằng giữa thị trường hàng hóa và thị trường tiền tệ.
Y = β(b+c+G αd−β(1−a) 0 )+dM 0 ;r = α(b+c+G αd−β(1−a) o )−(1−a)M 0 Điểm cân bằng là giao điểm của đường IS và đường LM.
Mô hình IS-LM đơn giản giúp người đọc làm quen với việc áp dụng toán học trong phân tích kinh tế vĩ mô Trong lĩnh vực này, mô hình IS-LM được nghiên cứu ở nhiều cấp độ khác nhau, tùy thuộc vào các yếu tố và mối quan hệ được xem xét Đặc biệt, trong nền kinh tế mở, phương trình cân bằng của thị trường hàng hóa, hay còn gọi là cân bằng thu nhập quốc dân, được phân tích dưới một hình thức cụ thể.
Y = C +I +G+X, trong đó X là xuất khẩu ròng (xuất khẩu - nhập khẩu) Nếu tính đến thuế thu nhập thì hàm tiêu dùng được thay bằng:
C = aY d +b, Y d = Y −T (T là tổng thuế thu nhập)
Ngoài ra, các thành tố G,X có thể được xét có tính đến quan hệ với thu nhập và một số yếu tố khác.
Trong một nền kinh tế đóng, với lãi suất r được tính bằng %, và tỷ lệ thuế thu nhập t được biểu diễn dưới dạng thập phân, các biến kinh tế còn lại sẽ được tính bằng triệu USD.
I = 20−5r;t = 0,15 tỉ lệ thuế thu nhập;
G= 200;L = 0,5Y −2r;M = 400. a) Hãy lập phương trình IS và phương trình LM. b) Xác định mức thu nhập cân bằng và lãi suất cân bằng.
Giải: Đây là một ví dụ về nền kinh tế đóng, có tính đến thuế thu nhập T = tY. a) Phương trình IS:
⇔0,5Y −2r = 400 b) Thu nhập cân bằng và lãi suất cân bằng được xác định từ hệ phương trình:
* Giải hệ phương trình trên bằng kiến thức đại số tuyến tính:
Ma trận hệ số A và ma trận số hạng tự do B:
Ta có det(A) = − 157 50 Do đó A −1 = 157 50
Ví dụ 2.3.2 Cho biết các thông tin sau đây về một nền kinh tế đóng, lãi suất r tính bằng % và các biến còn lại tính bằng triệu USD:
Xác định mức thu nhập cân bằng và lãi suất cân bằng.
Thu nhập cân bằng Y và lãi suất cân bằng r được xác định từ hệ phương trình:
*Giải hệ phương trình trên bằng kiến thức đại số tuyến tính:
Ma trận hệ số A và ma trận số hạng tự do B:
Ta có det(A) = −25 Do đó A −1 B "
Trong mô hình IS-LM, việc xác định mức thu nhập và lãi suất cân bằng trong thị trường hàng hóa và tiền tệ yêu cầu áp dụng kiến thức về hệ phương trình tuyến tính để giải quyết.
Mô hình Input-Output
Xây dựng
Mô hình Input-Output (I/O) của giáo sư Leontief, hay còn gọi là mô hình cân đối liên ngành, nhằm xác định tổng cầu cho sản phẩm của từng ngành sản xuất trong nền kinh tế Các giả thiết của mô hình này được thiết lập để phân tích mối quan hệ giữa các ngành và lượng sản phẩm tiêu thụ.
* Mỗi ngành sản suất một loại sản phẩm (một mặt hàng).
* Các sản phẩm đầu vào (vật liệu sản xuất) được sử dụng theo một tỉ lệ cố định.
Tổng cầu đối với sản phẩm của một ngành bao gồm:
* Cầu trung gian: các nhà sản xuất sử dụng sản phẩm đó cho quá trình sản xuất (sản phẩm trở thành vật liệu).
* Cầu cuối: Các hộ gia đình, nhà nước, các tổ chức xuất khẩu, sử dụng sản phẩm đó để tiêu dùng hoặc xuất khẩu.
Trong một nền kinh tế với n ngành sản xuất, tổng cầu đối với sản phẩm hàng hóa của mỗi ngành i (i = 1, n) được tính bằng công thức: x i = x i1 + x i2 + + x in + b i Trong đó, x i đại diện cho tổng cầu hàng hóa của ngành i, x ik là giá trị hàng hóa của ngành i mà ngành k cần sử dụng để sản xuất, và b i là giá trị hàng hóa của ngành i cần cho tiêu dùng và sản xuất Để đơn giản hóa việc tính chi phí cho các yếu tố sản xuất, lượng cầu của tất cả các loại hàng hóa được biểu diễn dưới dạng giá trị bằng đơn vị tiền tệ, với giả định rằng giá trị thị trường ổn định.
Công thức trên có thể viết dưới dạng: x i = xi1 x 1 x 1 + xi2 x 2 x 2 + + xin x n x n +b i ; (i = 1, n). Đặt: a ik = x ik xk
; (i, k = 1,2, , n) (2.8) ta được hệ phương trình:
Mô hình Input-Output chính là hệ phương trình (2.9) viết dưới dạng ma trận như sau:
E là ma trận đơn vị cấp n;A
Tên gọi và ý nghĩa
Ma trận A được định nghĩa là ma trận hệ số kỹ thuật hoặc ma trận hệ số chi phí đầu vào Ma trận X đại diện cho tổng cầu trong nền kinh tế, trong khi ma trận B là ma trận thể hiện cầu cuối.
Hệ số kỹ thuật a ik (i, k = 1, n) của A đại diện cho tỉ lệ chi phí mà ngành k chi trả để mua sản phẩm từ ngành i, tính bình quân cho mỗi đơn vị giá trị hàng hóa của ngành k Hệ số này luôn không đổi và nằm trong khoảng từ 0 đến dưới 1 (0 ≤ a ik < 1).
Trong ma trận A, mỗi phần tử của dòng i thể hiện tỷ lệ giá trị hàng hóa mà ngành i cung cấp cho các ngành khác trong nền kinh tế như hàng hóa trung gian, bao gồm cả việc cung cấp cho chính ngành i Đồng thời, cột k phản ánh tỷ lệ giá trị hàng hóa mà ngành k mua từ các ngành khác để phục vụ cho sản xuất hàng hóa của mình, cũng bao gồm cả chính ngành k.
Tổng các phần tử của cột k biểu thị tỷ lệ chi phí mà ngành k phải chi cho việc mua hàng hóa trung gian, được tính trên mỗi đơn vị giá trị hàng hóa của ngành này.
Tỉ phần giá trị gia tăng phản ánh mức độ hiệu quả của một ngành sản xuất. Công thức tính tỉ phần giá trị gia tăng là:
Công thức xác định tổng cầu đối với sản phẩm của các ngành sản xuất
của các ngành sản xuất
Phương trình (2.10) giúp xác định tổng cầu cho sản phẩm của tất cả các ngành sản xuất, điều này rất quan trọng trong việc lập kế hoạch sản xuất Việc này đảm bảo cho nền kinh tế hoạt động hiệu quả, tránh tình trạng dư thừa hoặc thiếu hụt hàng hóa Ma trận tổng cầu được xác định theo công thức cụ thể.
Ma trận E − A được gọi là ma trận Leontief Ma trận nghịch đảo của ma trận E −A có thể tính xấp xỉ theo công thức:
Các ví dụ
Ví dụ 2.4.1.Quan hệ trao đổi sản phẩm giữa 3 ngành sản xuất và cầu hàng hóa được cho ở bảng sau(đơn vị triệu USD):
Ngành cung ứng sản phẩm (Output) Ngành sử dụng sản phẩm (Inputs) Cầu cuối
Trong bảng số liệu, mỗi dòng đại diện cho một ngành sản xuất (Output), trong khi cột giữa thể hiện ngành sử dụng sản phẩm (Inputs) Cần tính tổng cầu cho sản phẩm của từng ngành và thiết lập ma trận hệ số kỹ thuật.
Theo bảng số liệu trên ta có: x 11 = 20, x 12 = 60, x 13 = 10, b 1 = 50. x 21 = 50, x 22 = 610, x 23 = 80, b 2 = 10. x 31 = 40, x 32 = 30, x 33 = 20, b 3 = 40.
Tổng cầu: Đối với sản phẩm của ngành 1: x 1 = 20 + 60 + 10 + 50 = 140; Đối với sản phẩm của ngành 2: x 2 = 50 + 10 + 80 + 10 = 150; Đối với sản phẩm của ngành 3: x 3 = 40 + 30 + 20 + 40 = 130;
Ma trận hệ số kỹ thuật:
Ví dụ 2.4.2 Giả sử trong một nền kinh tế có 3 ngành sản xuất: ngành 1, ngành 2, ngành 3 Cho biết ma trận hệ số kỹ thuật:
Con số 0,4 trong ma trận A biểu thị một yếu tố quan trọng trong phân tích dữ liệu Để xác định tỷ phần chi phí và tỷ phần giá trị gia tăng của ngành 3 trong tổng giá trị sản phẩm, cần phân tích các yếu tố liên quan đến lợi nhuận từ hoạt động sản xuất Theo thông tin cung cấp, lượng cầu cuối đối với hàng hóa của các ngành 1, 2, 3 lần lượt là 10 triệu USD, 5 triệu USD và 6 triệu USD, từ đó có thể tính toán mức tổng cầu cho mỗi ngành một cách chính xác.
Trong ma trận hệ số kỹ thuật A, giá trị 0,4 tương ứng với phần tử ở hàng 2 và cột 1, tức là a21 = 0,4, cho thấy rằng ngành 1 chi trả 0,4 tỉ phần chi phí để mua sản phẩm từ ngành 2 nhằm sản xuất một đơn vị sản phẩm của mình Đối với ngành 3, tỉ phần chi phí được xác định bằng tổng các phần tử trong cột 3 của ma trận A.
Tỉ phần giá trị gia tăng (khoản lợi nhuận của hoạt động sản xuất) của ngành
3 trong tổng giá trị sản phẩm của ngành này: 1−0,6 = 0,4 tức 40%. c) Giải bằng kiến thức đại số tuyến tính:
Theo phương pháp tìm ma trận nghịch đảo đã biết, ta tìm được:
Ma trận tổng cầu là:
Mô hình Input-Output của Leontief sử dụng ma trận để xác định tổng cầu cho sản phẩm của từng ngành trong nền kinh tế Mô hình này áp dụng các kiến thức về ma trận đơn vị, ma trận vuông, phép toán hiệu hai ma trận, tính ma trận nghịch đảo và phép nhân hai ma trận để giải quyết bài toán tổng cầu.
KẾT LUẬN Đề tài nghiên cứu "Một số mô hình đại số tuyến tính trong kinh tế " đã đạt được một số kết quả sau đây:
• Hệ thống lại một số kiến thức cơ bản về ma trận, định thức, hạng của ma trận, ma trận nghịch đảo và hệ phương trình tuyến tính.
Hệ thống và trình bày các bài toán kinh tế thông qua mô hình đại số tuyến tính, bao gồm bài toán cân bằng thị trường và bài toán cân bằng kinh tế vĩ mô, giúp phân tích và giải quyết các vấn đề kinh tế phức tạp một cách hiệu quả.
Mô hình IS-LM, Mô hình Input-Output
Sau một thời gian nghiên cứu, tác giả đã nỗ lực không ngừng nhưng vẫn còn nhiều thiếu sót Tác giả rất mong nhận được ý kiến đóng góp từ Hội đồng đánh giá để có thể hoàn thiện khóa luận một cách tốt nhất.
Xin trân trọng cảm ơn Hội đồng!