Một số mô hình đại số tuyến tính trong kinh tế

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————— PHAN THỊ HIỀN MỘT SỐ MƠ HÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TRONG KINH TẾ KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Người hướng dẫn khố luận: TS Hồng Nhật Quy Đà Nẵng, 05/2023 Mục lục MỞ ĐẦU Kiến thức chuẩn bị 1.1 Ma trận 1.1.1 Các định nghĩa 1.1.2 1.1.3 1.2 1.3 1.4 Các phép toán ma trận Các phép biến đổi ma trận 10 12 Định thức 1.2.1 Mở đầu 13 13 1.2.2 1.2.3 Định nghĩa Tính định thức cấp 1,2,3 15 15 1.2.4 Các tính chất định thức Hạng ma trận 17 18 1.3.1 Định nghĩa 18 1.3.2 Các phương pháp tìm hạng ma trận Ma trận nghịch đảo 19 22 1.4.1 1.4.2 1.5 Định nghĩa 22 Điều kiện tồn cơng thức tìm ma trận nghịch đảo: 22 Hệ phương trình tuyến tính 1.5.1 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát 23 23 1.5.2 25 Hệ phương trình Cramer Một số tốn kinh tế có mơ hình đại số tuyến tính 2.1 6 Bài tốn cân thị trường 2.1.1 Thị trường loại hàng hóa 28 28 28 2.1.2 2.2 Thị trường hai loại hàng hóa 29 2.1.3 Thị trường nhiều loại hàng hóa Bài toán cân kinh tế vĩ mô 32 35 2.2.1 Mơ hình cân kinh tế đóng chưa tính thuế thu nhập 35 Mô hình cân kinh tế đóng tính thuế thu nhập 36 Mơ hình IS-LM Mơ hình Input-Output 38 43 2.4.1 Xây dựng 43 2.4.2 2.4.3 Tên gọi ý nghĩa Công thức xác định tổng cầu sản phẩm 45 2.4.4 ngành sản xuất Các ví dụ 46 46 2.2.2 2.3 2.4 KẾT LUẬN 49 Tài liệu tham khảo 50 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên,em xin chân thành tri ân sâu sắc thầy giáo, cô giáo Trường Đại học Sư Phạm- Đại học Đà Nẵng, đặc biệt thầy, khoa Tốn tạo điều kiện cho em thực Khóa Luận Tốt Nghiệp Thời gian vừa rồi, nhờ có hướng dẫn tận tình hết lịng TS Hồng Nhật Quy, em hiểu thêm nhiều kiến thức khơng xoay quanh Khóa Luận cịn vấn đề thú vị Tốn học nữa! Một lần em xin chân thành cảm ơn thầy! Với vốn kiến thức hạn hẹp thân thời gian hạn chế, việc hồn thành khóa luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót Nên em mong nhận ý kiến đóng góp xây dựng q thầy để Khóa luận tốt nghiêp em hoàn thành chỉnh chu Em xin chân thành cảm ơn MỞ ĐẦU Lý lựa chọn đề tài Ngày nay, điều kiện kỹ thuật cơng nghệ phát triển mạnh, Tốn học có nhiều hội ứng dụng cách mạnh mẽ vào nhiều lĩnh vực khác đời sống người, đặc biệt lĩnh vực kinh tế Việc sử dụng Toán học để cắt nghĩa vấn đề, tượng kinh tế mang đến hiểu biết mạch lạc đem lại giải pháp tối ưu Mơ hình chung để giải tốn thực tế có cấu trúc sau : Bài tốn thực tế → Mơ hình toán → Lời giải → Quyết định Trong bối cảnh phải tích cực đổi mới, hồn thiện để phát triển hội nhập việc sử dụng cơng cụ khoa học, có Tốn học để phân tích, tìm quy luật vận động, phát triển vật, tượng kinh tế hệ thống kinh tế xã hội việc làm cần thiết Trong ứng dụng Tốn học "mơ hình toán kinh tế" "đo lường kinh tế" hai cơng cụ sắc bén để phân tích hoạt động kinh tế Mặt khác, kiến thức đại số tuyến tính sử dụng nhiều hiệu để giải toán đưa Với mong muốn tìm hiểu sâu lý thuyết đại số tuyến tính đặc biệt vận dụng kiến thức đại số tuyến tính để mơ hình hóa cho số vấn đề kinh tế hướng dẫn thầy giáo TS Hoàng Nhật Quy, em chọn đề tài nghiên cứu "Một số mơ hình đại số tuyến tính kinh tế" cho khóa luận tốt nghiệp Chương Kiến thức chuẩn bị Nội dung chương giành để giới thiệu số khái niệm kết liên quan tới đại số tuyến tính Các kiến thức chương công cụ để giải số toán kinh tế chương Nội dung chương tham khảo tài liệu [1], [2], [6] 1.1 1.1.1 Ma trận Các định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 Ma trận bảng số xếp theo dòng theo cột Ma trận cấp m×n ma trận có m dịng n cột *Khi cho ma trận, ta viết bảng số bên dấu ngoặc tròn dấu ngoặc vng.Vậy ma trận cấp m ×n có dạng  tổng quát sau : a11 a12 a1n a11 a12 a1n      a21 a22 a2n   a21 a22 a2n              am1 am2 amn am1 am2 amn * Ta dùng chữ in hoa A,B,C, để đặt tên cho ma trận Để gán tên cho ma trận A ta viết :  a11   a21 A=   am1  a1n  a2n     amn a12 a22 am2 (1.1) * Các số ma trận gọi phần tử Phần tử nằm dịng i cột j kí hiệu aij Vậy ma trận (1.1) viết gọn là: A = [aij ]m×n " # −1 Ví dụ : A = ma trận cấp 2×3 Các phần tử A 11 là: a11 = 5, a12 = 3, a13 = −1, a21 = 0, a22 = 4, a23 = 11 * Xét ma trận cấp m×n bất kỳ:  a11 a12   a21 a22 A=   am1 am2  a1n  a2n     amn Ta xem dòng ma trận A vec-tơ n chiều cột vec-tơ m chiều Như vậy, ma trận m×n cho tương ứng hệ gồm m vec-tơ dòng n chiều hệ gồm n vec-tơ cột m chiều Ta ký hiệu Adi để dòng thứ i ma trận A ký hiệu Acj để cột thứ j Định nghĩa 1.1.2 Hai ma trận chúng cấp phần tử vị trí tương ứng chúng đơi * Hai ma trận A B  ta viết A = B a = b ij ij Ta có : [aij ]m×n = [bij ]m×n ⇔ i = 1, 2, , m; j = 1, 2, , n Định nghĩa 1.1.3 Ma trận không ma trận có tất phần tử * Ma trận khơng cấp m×n kí hiệu Om×n O   0      O = Om×n =      0 Định nghĩa 1.1.4 Ma trận đối ma trận A ma trận có cấp phần tử số đối phần tử tương ứng ma trận A " # −1 Ví dụ : Ma trận đối ma trận A = ma trận : 11 " # −5 −3 −A = −4 −11 Định nghĩa 1.1.5 Ma trận vuông ma trận có số dịng số cột * Một ma trận vng có số dịng số cột n gọi ma trận vuông cấp n Ma trận vuông cấp n  a11 a12   a21 a22 A=   an1 an2 có dạng tổng quát :  a1n  a2n     ann * Trong ma trận vuông A, đường chéo thứ nối góc bên trái với góc bên phải gọi đường chéo chính; đường chéo cịn lại gọi đường chéo phụ Vậy, Phần tử aij thuộc đường chéo ⇔ i = j ; Phần tử aij nằm phía đường chéo ⇔ i < j ; Phần tử aij nằm phía đường chéo ⇔ i > j Định nghĩa 1.1.6 Ma trận tam giác ma trận vuông phần tử nằm phía đường chéo * Có hai loại ma trận tam giác  a11   Ma trận tam giác A =     a11   a21 Ma trận tam giác A =    an1 a12 a22 a1n   a2n   (aij =0 i>j)   ann   a22   (aij =0 i