Giáo trình độ đo và tích phân

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM —————————— Hồng Nhật Quy Giáo trình ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN Đà Nẵng - 2023 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! 16990019128341000000 MỤC LỤC Lời nói đầu Bảng ký hiệu viết tắt Chương ĐỘ ĐO 1.1 Đại số tập hợp σ - đại số tập hợp 1.1.1 Đại số tập hợp 1.1.2 Đại số sinh gian Rn 1.1.3 σ - đại số tập hợp 10 1.1.4 Một số ví dụ 12 1.2 Độ đo đại số tập hợp 13 1.2.1 Định nghĩa ví dụ 13 1.2.2 Các tính chất độ đo 15 1.3 Tập đo độ đo cảm sinh độ đo 21 1.3.1 Độ đo 21 1.3.2 Tập µ∗ - đo độ đo sinh độ đo 23 1.4 Thác triển độ đo từ đại số lên σ - đại số 26 1.5 Độ đo Borel độ đo Radon 29 1.6 Độ đo Rn 32 1.6.1 Độ đo đại số sinh gian Rn 32 1.6.2 Tiêu chuẩn đo Lebesgue 36 BÀI TẬP CHƯƠNG 39 Chương HÀM ĐO ĐƯỢC 41 2.1 Định nghĩa hàm đo 41 2.2 Hàm đơn giản 43 2.3 Dãy hàm hội tụ hầu khắp nơi hội tụ theo độ đo 44 2.3.1 Dãy hàm hội tụ hầu khắp nơi 44 2.3.2 Dãy hàm hội tụ theo độ đo 49 2.4 Cấu trúc hàm đo 51 2.4.1 Cấu trúc hàm đo với giá trị không gian metric 51 2.4.2 Cấu trúc hàm đo với giá trị vô hướng 55 BÀI TẬP CHƯƠNG 61 Chương TÍCH PHÂN LEBESGUE 62 3.1 Tích phân hàm đo 62 3.1.1 Tích phân hàm đơn giản đo không âm 62 3.1.2 Tích phân hàm đo khơng âm 66 3.1.3 Tích phân hàm đo tùy ý 69 3.2 Các tính chất tích phân 70 3.2.1 Tính chất cộng tính 70 3.2.2 Tính chất tuyến tính 72 3.2.3 Tính chất bảo tồn thứ tự 74 3.3 Qua giới hạn dấu tích phân 77 3.4 Mối liên hệ tích phân Riemann tích phân Lebesgue 85 3.5 Định lý Radon - Nikodym 89 3.6 Tích phân khơng gian tích định lý Fubini 91 3.6.1 Họ đơn điệu tập hợp 91 3.6.2 Độ đo khơng gian tích 93 3.6.3 Định lý Fubini 100 BÀI TẬP CHƯƠNG 103 Chương MỐI LIÊN HỆ GIỮA TÍCH PHÂN VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TRÊN R 106 4.1 Tính khả vi hàm đơn điệu 106 4.2 Tính khả vi tích phân theo cận 109 4.3 Hàm có biến phân bị chặn hàm tuyệt đối liên tục 112 4.4 Tích phân Lebesgue - Stieljets tích phân Riemann - Stieljets 116 4.4.1 Tích phân Lebesgue - Stieljets 117 4.4.2 Tích phân Riemann - Stieljets 118 BÀI TẬP CHƯƠNG 121 PHỤ LỤC 122 A Hàm tập hợp 122 B Một số kết độ đo Borel độ đo Radon 134 C Sự hội tụ ∗ yếu 143 Tài liệu tham khảo 147 LỜI NÓI ĐẦU Trong học phần Lý thuyết độ đo tích phân, thấy khái niệm độ dài đoạn thẳng, diện tích hình phẳng, thể tích vật thể mở rộng thành khái niệm độ đo Lebesgue khái niệm tích phân Riemann mở rộng thành khái niệm tích phân Lebesgue Tuy nhiên, Giáo trình Độ đo tích phân này, chúng tơi xây dựng khái niệm độ đo tích phân Lebesgue cách độc lập Và sau xem xét khái niệm độ dài, diện tích, thể tích, tích phân Riemann trường hợp đặc biệt Điều này, cho phép hiểu sâu sắc tổng quát khái niệm biết mở hướng tiếp cận thuận lợi số lĩnh vực Giải tích đại Nội dung giáo trình chia làm chương Chương trình bày lý thuyết độ đo Chúng ta thấy độ đo trường hợp đặc biệt hàm tập hợp Và sau xây dựng khái niệm độ đo áp dụng không gian Rn để nhận khái niệm độ đo Lebesgue Chương trình bày lý thuyết hàm đo không gian đo Chúng ta tìm hiểu số khái niệm hội tụ quan trọng dãy hàm đo hội tụ hầu khắp nơi, hội tụ theo độ đo xem xét trường hợp đặc biệt hàm đo với giá trị vô hướng (giá trị không gian R) Chương bao gồm nội dung liên quan tới khái niệm tích phân Lebesgue hàm đo Trong chương ta làm rõ mối quan hệ tích phân Riemann tích phân Lebesgue Chương giành để trình bày số kết mối liên hệ tích phân Lebesgue đạo hàm hàm số xác định đoạn R Ngồi ra, giáo trình cịn có phần phụ lục Nội dung phần bao gồm kết sâu sắc liên quan tới hàm tập hợp, độ đo Borel độ đo Radon Đây nội dung quan đại, tách nhằm làm cho giáo trình nhẹ nhàng có tính sư phạm Mặc dù có nhiều cố gắng q trình biên soạn, có lẽ giáo trình cịn nhiều thiếu sót, tác giả mong nhận góp ý bạn đọc Tác giả TS Hồng Nhật Quy BẢNG KÝ HIỆU VIẾT TẮT R R+ + R − R int(A) supp hkn R (L) (LS) (RS) R R C(X) Cc (X) CA tập tất số thực tập tất số thực dương R ∪ {+∞} R ∪ {−∞} Phần tập A Giá độ đo hàm số Hầu khắp nơi Tích phân Lebesgue Tích phân Lebesgue - Stieljets Tích phân Riemann - Stieljets Không gian hàm số liên tục X Không gian hàm số liên tục với giá compact X Phần bù tập A Chương ĐỘ ĐO Nội dung chương trình bày lý thuyết độ đo Chúng ta thấy độ đo trường hợp đặc biệt hàm tập hợp Về lý thuyết hàm tập hợp, bạn đọc xem thêm phần phụ lục cuối sách Sau đó, ta xây dựng khái niệm độ đo áp dụng khái niệm không gian Rn để nhận khái niệm độ đo Lebesgue 1.1 Đại số tập hợp σ - đại số tập hợp 1.1.1 Đại số tập hợp Định nghĩa 1.1 Cho X tập hợp khác rỗng Một họ E gồm tập X gọi đại số tập hợp X thỏa mãn điều kiện sau: (a) X ∈ E ; (b) Nếu A ∈ E phần bù CA := X \ A ∈ E ; (c) Nếu A, B ∈ E A ∪ B ∈ E Định lý 1.1 Cho E đại số tập hợp X Khi đó, điều kiện (c) Định nghĩa 1.1 tương đương với điều kiện sau đây: (c’) Nếu A, B ∈ E A ∩ B ∈ E Chứng minh • Giả sử ta có (c): Với A, B ∈ E ta có A ∩ B = X \ (CA ∪ CB) Bởi (b) (c) suy A ∩ B ∈ E , tức (c’) thỏa mãn • Giả sử ta có (c’): Với A, B ∈ E ta có A ∩ B = X \ (CA ∩ CB) Bởi (b) (c’) suy A ∪ B ∈ E , tức (c) thỏa mãn □ Vậy định lý chứng minh Nhận xét 1.1 Nếu E đại số tập hợp X ta có khẳng định sau đây: i) ∅ ∈ E ii) Nếu A1 , A2 , , An ∈ E n [ Aj ∈ E j=1 n \ j=1 iii) Nếu A, B ∈ E A \ B ∈ E B \ A ∈ E Aj ∈ E CHƯƠNG ĐỘ ĐO Định lý 1.2 Giao họ tùy ý đại số tập hợp X đại số tập hợp X Chứng minh Gọi Ej , j ∈ J đại số tập hợp X Đặt \ E= Ej j∈J • Ta có X ∈ Ej với j ∈ J nên X ∈ E , tức điều kiện (a) Định nghĩa 1.1 thỏa mãn • Nếu A ∈ E A ∈ Ej với j ∈ J Khi đó, CA ∈ Ej với j ∈ J Ej đại số tập hợp Từ suy CA ∈ E , tức điều kiện (b) Định nghĩa 1.1 thỏa mãn • Giả sử A, B ∈ E Khi đó, A, B ∈ Ej với j ∈ J Từ suy A ∪ B ∈ Ej với j ∈ J Do A ∪ B ∈ E , tức điều kiện (c) Định nghĩa 1.1 thỏa mãn Vậy E đại số tập hợp X □ Vậy định lý chứng minh Nhận xét 1.2 Giả sử S họ tùy ý tập X Gọi P(X) họ tất tập X Khi kiểm tra rằng, P(X) đại số tập hợp X , gọi đại số tập hợp lớn X Hiển nhiên, S ⊂ P(X) Ta gọi E(S) giao tất đại số tập hợp X chứa họ S , tức E(S) := ∩{D : D đại số tập hợp X S ⊂ D} Khi đó, Định lý 1.2 ta có E(S) đại số tập hợp X • Ta gọi E(S) đại số tập hợp sinh họ S • E(S) đại số tập hợp nhỏ (theo quan hệ bao hàm) chứa S • Họ S đại số tập hợp X E(S) = S 1.1.2 Đại số sinh gian Rn Ta gọi T họ tập R có dạng sau T := {∅, [a, b], (a, b), [a, b), (a, b], [a, +∞), (−∞, b], (a, +∞), (−∞, b), R} Ta kiểm tra rằng, I, J ∈ T I ∩ J ∈ T   I′ ∈ T R\I =  I ′ ∪ I” với I ′ , I” ∈ T , I ′ ∩ I” = ∅ (1.1) Tập ∆ ⊂ Rn gọi gian Rn có dạng sau ∆ = I1 × I2 × × In , I1 , I2 , , In ∈ T CHƯƠNG ĐỘ ĐO Ta gọi E họ tất tập Rn biểu diễn hợp hữu hạn gian rời Rn Khi đó, ta có kết quan trọng sau Định lý 1.3 Họ E đại số tập hợp Rn Chứng minh • Chọn I1 = I2 = = In = R ta có Rn = I1 × I2 × × In ∈ E, tức điều kiện (a) Định nghĩa 1.1 thỏa mãn • Lấy A, B ∈ E Khi đó, A B viết dạng: A= m [ ∆j (∆j ∩ ∆i = ∅, ∀j ̸= i), ∆′j (∆′j ∩ ∆′i = ∅, ∀j ̸= i), j=1 B= k [ j=1 đó, ∆j (j = 1, 2, , m) ∆′j j = 1, 2, , k gian Rn Do ∆ij = ∆j ∩ ∆′j gian Rn nên ta có ! ! m k [ \ [ [ A∩B = ∆′j ∆i j=1 (∆i ∩ ∆′j ) = = j=1 i,j [ ∆ij ∈ E, i,j tức điều kiện (c’) Định lý 1.1 thỏa mãn • Ta kiểm tra điều kiện (b) Định nghĩa 1.1: Trước hết, với ∆ ∈ E C∆ ∈ E Thật vậy: giả sử ∆ = I1 × I2 × × In Ta có C∆ = (R \ I1 ) × Rn−1
[ I1 × (R \ I2 ) × Rn−2 [ [
(I1 × × In−1 × (R \ In )) Bởi (1.1), ta suy C∆ ∈ E Giả sử A ∈ E A= m [ ∆j j=1 với ∆j , j = 1, 2, , m gian rời Rn Ta có ! n n [ \ CA = C ∆j j=1 = C∆j j=1 CHƯƠNG ĐỘ ĐO Do C∆j ∈ E với j nên điều kiện (c’) chứng minh ta suy CA ∈ E Vậy điều kiện (b) Định nghĩa 1.1 thỏa mãn Tóm lại, E đại số tập hợp Rn □ Vậy định lý chứng minh Nhận xét 1.3 Đại số tập hợp E Định lý 1.3 trùng với đại số tập hợp sinh gian Rn Chứng minh Gọi A họ gian Rn Do A ⊂ E E đại số tập hợp nên suy E(A) ⊂ E Ngược lại, lấy A ∈ E với A= m [ ∆j j=1 Do gian ∆j ∈ E(A) nên suy A ∈ E(A), tức E ⊂ E(A) Vậy E = E(A) □ Vậy nhận xét chứng minh 1.1.3 σ - đại số tập hợp Định nghĩa 1.2 Cho X tập hợp khác rỗng Họ F gồm tập X gọi σ - đại số tập hợp X thỏa mãn điều kiện sau: (a) X ∈ F ; (b) Nếu A ∈ F CA ∈ F ; (c) Nếu Aj ∈ F với j = 1, 2, +∞ [ Aj ∈ F j=1 Nếu F σ - đại số tập hợp X đại số tập hợp X Thật vậy: A, B ∈ F cách đặt A1 = A, A2 = B, A3 = A4 = = ∅, điều kiện (a) (c) Định nghĩa 1.2 ta có +∞ [ A∪B = Aj ∈ F j=1 Tức điều kiện (c) Định nghĩa 1.1 thỏa mãn Định lý 1.4 Cho F σ - đại số tập hợp X Khi đó, điều kiện (c) Định nghĩa 1.2 tương đương với điều kiện sau: (c’) Nếu Aj ∈ F với j = 1, 2, +∞ \ Aj ∈ F j=1 10 sup α < +∞ n n hàm f khả tích (L) đoạn [0, 1] b) Xét tính khả tích (L) hàm f đoạn [0, 1] trường hợp cn = n, n = 1, 2, 3, Bài 3.19 Xét tính khả tích (L) hàm số sau khoảng (, 1) f (x) = 1 cos x x Bài 3.20 Cho hàm số f : [0, 1] × [0, 1] → R xác định  1 x số vô tỉ f (x, y) = 0 x số hữu tỉ Chứng minh rằng, f khả tích (L) v tớnh Z (L) f dà [0,1]ì[0,1] Bi 3.21 Cho D miền phẳng giới hạn đường y = x, y = 0, x = hàm f xác định D công thức sau   cos xy x ̸= x3 f (x, y) = 0 x = Xét tính khả tích (L) hàm f D tính tích phân tồn 105 Chương MỐI LIÊN HỆ GIỮA TÍCH PHÂN VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TRÊN R Chương giành để trình bày số kết mối liên hệ tính khả vi tính đơn điệu, tính khả vi tích phân theo cận Ngồi ra, số khái niệm tính chất liên quan tới hàm có biến phân bị chặn, hàm tuyệt đối liên tục, tích phân Lebesgue - Stieljets, tích phân Riemann - Stieljeets đề cập chương 4.1 Tính khả vi hàm đơn điệu Bổ đề 4.1 Cho A ⊂ (a, b) ⊂ R F họ khoảng cho x ∈ A đầu mút trái khoảng thuộc họ F Khi đó, với ϵ > tồn số hữu hạn khoảng ∆1 , , ∆p ∈ F rời cho !! p \ [ µ∗ > µ∗ (A) − ϵ ∆i A i=1 Chứng minh Với n ≥ 1, đặt An = {x ∈ A : ∃∆ ∈ F cho x đầu mút trái ∆ |∆| > }, n |∆| độ dài khoảng ∆ Khi đó, ta có ∞ [ A= An An ⊂ An+1 , ∀n ≥ n=1 Theo định nghĩa độ đo ngồi, với n ≥ ta tìm tập mở Gn cho An ⊂ Gn µ∗ (Gn ) < µ∗ (An ) + δn , (δn ) dãy dương δn ↘ Đặt ∞ \ En = Gk E= k=n ∞ [ En k=1 Khi đó, En , E tập đo En ⊂ En+1 với n ≥ Từ suy µ∗ (E) = lim µ∗ (En ) n→∞ Mặt khác, An ⊂ En ⊂ Gn nên ta có µ∗ (An ) ≤ µ∗ (En ) ≤ µ∗ (Gn ) ≤ µ∗ (An ) + δn Cho n → ∞ ta nhận µ∗ (A) ≥ lim µ∗ (An ) = lim µ∗ (En ) = µ∗ (E) n→∞ 106 n→∞ CHƯƠNG MỐI LIÊN HỆ GIỮA TÍCH PHÂN VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TRÊN R Mặt khác, A ⊂ En nên ta có µ∗ (A) ≤ µ∗ (E) Vậy ta có µ∗ (A) = µ∗ (E) Từ suy ra, chọn n đủ lớn ta có ϵ µ∗ (An ) ≥ µ∗ (A) − Đặt a1 = inf An , b1 = sup An l = b1 − a1 ϵ Giả sử δ = 2(nl+1) Chọn x1 ∈ An , a1 ≤ x1 ≤ a1 + δ Theo định nghĩa An , tồn khoảng (x1 , x1 + h1 ) ∈ F với h1 > n1 Nếu bên phải x1 + h1 cịn có điểm An xét cận a2 chúng chọn x2 ∈ An , a2 ≤ x2 ≤ a2 + δ khoảng (x2 , x2 + h2 ) ∈ F với h2 > n1 Tiếp tục trình trên, ta tìm khoảng (xp , xp + hp ) ∈ F với xp ∈ An , hp > n1 cho bên phải xp + hp khơng có điểm An Có thể thấy p ≤ nl + Đặt ∆i = (xi , xi + hi ), ≤ i ≤ p B = An p \ [ ! ∆i i=1 Vì An \ B ⊂ p [ [xi − δ, xi ] i=1 nên ta có µ∗ (An \ B) ≤ pδ < (nl + 1) ϵ ϵ = 2(nl + 1) Từ suy ϵ µ∗ (An ) ≤ µ∗ (B) + µ∗ (An \ B) < µ∗ (B) + Vậy ta có µ∗ (B) ≥ µ∗ (An ) − Vậy bổ đề chứng minh ϵ ≥ µ∗ (A) − ϵ □ Bổ đề 4.2 Giả sử với δ > x ∈ A tồn (x, x + hx ) ∈ F cho hx < δ Khi đó, với tập mở G ⊃ A, tồn số hữu hạn khoảng ∆1 , , ∆p ∈ F chứa G thỏa mãn Bổ đề 4.1 107 CHƯƠNG MỐI LIÊN HỆ GIỮA TÍCH PHÂN VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TRÊN R Chứng minh Gọi F1 họ khoảng mở F chứa G Vì G mở nên theo giả thiết với x ∈ A ⊂ G, tồn δ > cho (x, x + δ) ⊂ G (x, x + δ) ∈ F Và (x, x + δ) ∈ F1 Áp dụng Bổ đề 4.1 cho họ F1 ta có khoảng mở ∆1 , , ∆p thỏa mãn yêu cầu bổ đề □ Vậy bổ đề chứng minh Sau ta chứng minh kết hàm đơn điệu đoạn khả vi hầu khắp nơi khoảng Định lý 4.3 Mọi hàm đơn điệu f (x) đoạn [a, b] khả vi hầu khắp nơi [a, b] Chứng minh Giả sử f (x) hàm đơn điệu tăng đoạn [a, b] Đặt f (x + h) − f (x) ; h h→0+ f (x + h) − f (x) ; D+ (x) = lim sup h h→0+ D+ (x) = lim inf D− (x) = lim inf f (x + h) − f (x) ; h D− (x) = lim sup f (x + h) − f (x) h h→0− h→0− Khi ta có D+ (x) ≤ D+ (x) D− (x) ≤ D− (x) hàm f khả vi x bốn số Hơn nữa, D+ , D+ , D− , D− hàm đo đoạn [a, b] Ta chứng minh tập A = {x : D+ (x) < D+ (x)} tương tự tập B = {x : D− (x) < D− (x)} có độ đo Với p < q, p, q số hữu tỉ Đặt Ap,q = {x : D+ (x) < p < q < D+ (x)} Vì A = ∪p,q Ap,q nên ta cần chứng minh µ(Ap,q ) = 0, với p, q Thật vậy, giả sử tồn số hữu tỉ p < q cho α = µ∗ (Ap,q ) > Với ϵ > 0, chọn tập mở G ⊃ Ap,q cho µ∗ (G) < α + ϵ Lấy x ∈ Ap,q Vì D+ (x) = lim inf h→0+ f (x + h) − f (x) < p, h nên với ϵ > 0, tồn < h < ϵ để f (x + h) − f (x) < hp Vậy x đầu mút trái khoảng (x, x + h) Theo Bổ đề 4.2, tồn số hữu hạn khoảng rời (xi , xi + hi ), i = 1, , k nằm G phủ tập B ⊂ Ap,q với µ∗ (B) > α − ϵ Dễ 108 CHƯƠNG MỐI LIÊN HỆ GIỮA TÍCH PHÂN VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TRÊN R thấy k X hi < µ∗ (G) < α + ϵ i=1 k X k X i=1 i=1 [f (xi + hi ) − f (xi )] < p hi < p(α + ϵ) Mặt khác, D+ (x) > q với x ∈ Ap,q , nên lập luận ta tìm số hữu hạn khoảng rời (yi , yi + ki ), i = 1, , s chứa tập mở ∪ki=1 (xi , xi + hi ) phủ tập C ⊂ B với µ∗ (C) > µ∗ (B) − ϵ > µ∗ (A) − 2ϵ Ta có s s X X ki > q(α − 2ϵ) [f (yi + ki ) − f (yi )] ≥ q i=1 i=1 Do f đơn điệu tăng s [ (yi , yi + ki ) ⊂ i=1 k [ (xi , xi + hi ), i=1 với ý khoảng hai hợp rời nhau, nên ta có s k X X [f (yi + ki ) − f (yi )] ≤ i=1 [f (xi + hi ) − f (xi )] < p(α + ϵ) i=1 Vậy ta có q(α − 2ϵ) < p(α + 2ϵ) Cho ϵ ↘ ta nhận qα ≤ pα hay q ≤ p (trái giả thiết p < q ) Vậy µ∗ (A) = 0, tức D+ (x) = D+ (x) hầu khắp nơi Tương tự ta có D− (x) = D− (x) hầu khắp nơi Cuối cùng, lập luận trên, ta thay D+ (x) D− (x) D+ (x) D− (x) ta thu D+ (x) = D− (x), D+ (x) = D− (x) hầu khắp nơi Vậy ta có, hàm f khả vi hầu khắp nới [a, b] Vậy định lý chứng minh □ 4.2 Tính khả vi tích phân theo cận Ở mục này, dựa vào tính khả vi hầu khắp nơi hàm đơn điệu, ta chứng minh định lý mối quan hệ tích phân Lebesgue đạo hàm Trước hết, ta có bổ đề sau Bổ đề 4.4 Nếu f (x) hàm đơn điệu tăng đoạn [a, b] hàm f ′ (x) khả 109 CHƯƠNG MỐI LIÊN HỆ GIỮA TÍCH PHÂN VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TRÊN R tích đoạn [a, b] Z b f ′ (x)dx ≤ f (b) − f (a) a Chứng minh Do f (x + h) − f (x) ≥ với h ̸= h nên theo Bổ đề Fatou ta có Z b b Z ′ f (x)dx ≤ lim h→0 a a f (x + h) − f (x) dx h (4.1) Bằng cách đặt f (x) = f (b) với x > b ta coi hàm f xác định [a, ∞) Vì f hàm đơn điệu nên khả tích Riemann tích phân bên vế phải (4.1) tích phân Riemann Bằng cách đổi biến số ta có Z b Z b+h Z b a f (x + h) − f (x) dx = h h = h ≤ h f (t)dt − a+h Z b+h b Z b b+h h f (t)dt a a+h f (t)dt − h Z f (b)dt − h Z f (t)dt a a+h f (a)dt a = f (b) − f (a) □ Vậy bổ đề chứng minh Bổ đề 4.5 Nếu hàm f khả tích với x ∈ [a, b] ta có f = hầu khắp nơi [a, b] Rx a f (t)dt = Chứng minh Giả sử µ({x : f (x) ̸= 0}) > Đặt A = {x : f (x) > 0} B = {x : f (x) < 0} Khi đó, tập A tập B có độ đo dương Giả sử µ(A) > Khi ta có b − a > µ([a, b] \ A) Do µ độ đo quy nên ta tìm tập mở E ⊃ [a, b] \ A với µ(E) < b − a Từ giả thiết, ta suy tích phân f khoảng mở [a, b] Mặt khác, E tập mở nên E viết hợp khơng q đếm R khoảng mở rời nên ta có E f (x)dx = Do ta có Z Z Z d(t)dt = f (t)dt − f (t)dt = (4.2) [a,b]\E [a,b] E Vì µ([a, b] \ E) = b − a − µ(E) > f > [a, b] \ E nên (4.2) xảy Vậy bổ đề chứng minh □ 110 CHƯƠNG MỐI LIÊN HỆ GIỮA TÍCH PHÂN VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TRÊN R Định lý 4.6 Giả sử f (x) hàm khả tích [a, b] Khi đó, hàm xác định Z x F (x) = f (t)dt a có đạo hàm F ′ (x) = f (x) hầu khắp nới [a, b] Chứng minh Ta viết f = f + − f − , f − = max(−f, 0) f + = max(f, 0) Khi đó, ta có x Z x Z + f − (t)dt f (t)dt − F (x) = a a Tức là, F (x) hiệu hai hàm đơn điệu tăng Bởi Định lý 4.3, ta suy F (x) hàm khả vi hầu khắp nơi đoạn [a, b] Bây ta chứng minh F ′ (x) = f (x) hầu khắp nơi [a, b] Trước hết, từ giả thiết ta suy hàm F liên tục [a, b] Thật vậy, f hàm khả tích nên ∀ϵ > 0, ∃δ > cho ∀0 < |h| < δ, ∀x ∈ [a, b] ta có Z x+h |F (x + h) − F (x)| =