Không gian tôpô độ đo và lý thuyết tích phân giải tích iii

NGUYỀN VĂN KHUÊ (Chủ biên) PTS BÙI ĐẮC TẮC KHĨM * • Ly thuyết Tích ph ĐẠI H Ọ C QUỐC G I A HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! 16990026490621000000 GS TS NGUYỄN VÃN KHUÊ (chủ biên) PTS BÙI ĐẮC TẮC KHÔNG GIAN TÔPÔ - ĐỘ ĐO VÀ LÝ THUYẾT TÍCH PHÂN GIẢI TÍCH I U ĐẠI HỌC Q U Ố C GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM LÒI M Ỏ ĐAU \ Tiếp theo hai tập giải tích ì li vè phép tính vi tích phân cổ điển, giáo trình nhàm mục đích trình bày số uẩn đè vè tơpơ đại cương sau lý thuyết độ tích phân Lebesgue Lý thuyết độ đo trình bày mối liên hệ vói cáu trúc tơpơ không hằn lý thuyết độ đo túy Điêu có thề thấy qua định lý quan trọng cớa Alexandrov tính khả cộng đếm, dược cớa hàm tập hợp quy khả cộng hữu hận õ - đại số tập Borel cớa không gian compac- Giáo trình gồm chương Các lớp khơng gian quan trọng giải tích khơng gian chuẩn tác, khơng gian •compac, khơng gian paracompac dược trình bày chương đầu Phần lại dành cho việc trinh bày lý thuyết độ đo tích phân đại Giáo trình dùng cho sinh viên năm thứ ba khoa toán trường Đại học sư phạm viết bời PTS Bùi Đác Tắc với sáp xếp chinh lý bới GSTS Nguyền Văn Khuê Nội dung sách có lẽ khơng phải cho sinh viên năm thứ ba khoa toán trường ĐHSP mà cịn rát có ích đối VĨI sinh viên năm cuối đặc biệt cao học viên chuyên ngành giải tích Ngồi NCS chuyển ngành giải tích có thè tim tháy đáy kiến thức cần thiết cho sụ học tập nghiên cứu cùa minh Vi dậy lần đầu xuất nên không tránh số sai lăm thiếu xót mong bạn đọc góp ý dây biên tác giả cảm ơn GS TS Phạm Ngọc PGS TS Đặng Hùng Thảng ý kiến cho sụ cải tiến PTS Lé Mậu sách khỏi Nhăn Thao Hải vè Chủ biên GS T S Nguyên Văn Khuê Tác giả P T S Bui Đác Tác CHƯƠNG I KHÔNG GIAN M E T R I C T r o n g g i ả i t í c h ì v l i c h ú n g t a đ ã đ ề cập đ ế n m ộ t l p k h ô n g g i p t ô p ô q u a n t r ọ n g , đ ó l k h n g gian m e t r i c T u y nhiên khn khổ giáo t r ì n h g i n h cho sinh viên n ă m đ ẩ u m i l m quen với g i ả i tích đ i c ù n g m ộ t lúc c h a t h ể g i i t h i ệ u h ế t n h ữ n g v ấ n đ è liên q u a n đ ế n k h ô n g gian m e t r i c Trong c h n g n y c h ú n g t i ế p tục t r ì n h vấn để x u n g quanh k h ô n g gian metric đủ, m e t r i c compac, k h ô n g g i a n m e t r i c k h ả l i b y m ộ t số không gian T r c h ế t c h ú n g t a n h l i r ằ n g k h ô n g gian m e t r i c , đ ó t ậ p X c ù n g v i m ộ t k h o ả n g c c h p t r ê n n ó , tịc c ù n g v i m ộ t h m t h ự c p t r ê n X X X t h ỏ a m ã n ba t í n h c h ấ t sau: Mị />(x, y) ĩzO, Vx, (tính xác định d n g ) y eX M f i x , y ) = f ( y , x ) , Vx, y M , f ( x , z) thịc tam í p(y, v />(x, G X x) + /Hy, z), (tỉnh y) đối Vx, y, z = « X = y xịng) G X (bất đẳng giác) Một dãy { x } t r o n g X g ọ i d ã y Côsi y ° ( x , x ) —» k h i m, n — » 0 K h ô n g gian m e t r i c X g ọ i đ ủ (hay đ ầ y đ ủ ) n ế u m ọ i d ã y C ô s i t r o n g n ó đ ể u h ộ i t ụ n n m §1 M Ộ T S Ố VÍ D Ụ VÈ KHÔNG G I A N M E T R I C Đ Ủ THƯỜNG G Ặ P Ví dụ Ì Không gian metric (X, p) với nếux=y a nếux5*y (x,y) = p (a > cố định) đủ T h ậ t vậy, cho { x } m ó t dãy Cơsi (X, p) N ế u chọn < € < a, phải có số nguyên dương n cho n G />(x ,x ) n < m E, Vn, 5= n m Suy /5(x X n > ) = , Vn > n„ o Vậy l i m x n = x n n—»00 {Ì, 2, }, khơng gian metric c x , Ví dụ X = N * = d) đủ với metric m = n Ì d(m, n) = nếum^n Ì H m+n Tính đủ khơng gian n y suy lập luận t n g tự n h ví dụ 1 Ví dụ Khơng gian Ì t ấ t dãy sò thực phức khả tổng t u y ệ t đ ố i với metric 00 />(x, y) = El*n-y l> x = n ten}' n=l E > = {y } e 1 l đ ủ n , T h ậ t vậy, cho x Với y n = 0, t ổ n t i {xy, x§ } m t dãy Cơsi t r o n g Ì Ti f cho: 00 ỵ |xp-x, Vn, m > n i= l Do với m ỗ i i = Ì, ta có í: (ì: \xf Tức - d ã y t ọ a =s E, xỊ"| độ t h ứ Vn, m n > £ i {xỊ } d ã y Côsi không g i a n m e t r i c đ ủ R (hoặc C ) Đ ặ t limxỊ n-*oo = Xị v X = T a c h ứ n g t ỏ r ằ n g X e theo k h o ả n g c c h p T b ấ t đ ẳ n g thức Ì ( X ị , x , ) dãy n { x } hội tụ (1), đ ố i v i m ỗ i số t n h i ê n k đến X 35 Ì ta có: k |xf -xỊ^I t € Vn, m > n E i=l T r o n g b ấ t đ ẳ n g t h ứ c n y cho m —» 00, t a k IxỊ — í Xjl £ Vu, m í i=i Dặc biệt với n n E (2) ^ Si n £ k ỵ k \xị\ ^ E + i=l ỵ Ixfoi i=l B i k t ú y ý n ê n 00 00 í Xi! «s £ + ỵ i=l Vậy Cuối X G |x[M < +00 i=l Ì c ù n g c h ú ý r ằ n g b ấ t đ ẳ n g thức (2) đ ú n g v i m ọ i k nên I xp — Xịl í £ Vn » n y i=l Vậy limx n = X n-»00 VÍ dụ K h ô n g gian metric M(X) h m số giá trị thực phức bị chặn t r ê n tập X đầy đủ (với k h o n g cách p{ĩ, g) = supl f ( x ) - g ( x ) | ) XGX Thật vậy, cho { f } d ã y C ô s i M(X); tức l với £ > tổn t i n cho n £ />(f , f ) í n m £,.Vn, m > n £ |f (x) - f (x)| n =s m Theo bất đảng E, Vn, m > n , V X e X (1) £ thức với m ỗ i e X X, dãy số { f ( x ) } n Côsi R (hoặc C), hội t ụ Đ ặ t f(x) = limf (x) Ta chủng tẳ f e M(X) { f } h ộ i tụ n n n-»°0 đến f theo khoảng cách p -* 00, ta Trong bất đẳng thức (1) cho m | f ( x ) - f(x)| í E, Vn > n , Vx X n £ (2) Dặc biệt với n = n £ |f n £ (x) Suy supịf(x)| í - f(x)| *s É, X e X £ + s u p | f ( x ) | < + 00 n xGX XGX Vậy f bị chặn t r ê n X, tức f e M(X) Cuối cùng, t bất đẳng thức (2) suy />(f tức l i m f n n i « £, v n > n £ = f n-»oo Nhận xét Trong trường hợp đặc biệt X = N M(X) không gian t ấ t dãy số bị chặn Khơng gian thường ký hiệu Ì 00 : v X Nhưng (X, nên V đóng (định đóng compac V lân cận mở £) l i khơng gian tách Hausdorf lí Ì §4) Như V đồng thời X, đ ặ t V = X* \ V 00 H i ể n nhiên V n = x x x x x Không gian õ - x x compac Không gian tôpô X gọi - compac X hợp dãy t â n g tập compac 00 X = UK, n=l cho với compac K c X, t n t i n Q ^ Ì để Kcic o Dễ dàng thấy A tập đóng khơng gian ơ-compac A vói tơpơ cửm sinh - c o m p a c Định Chứng li Mọi không gian ỡ-compac Linđơlốp minh Cho X không gian - c o m p a c : co X = u , K n compac X n=l Giử sử Q phủ mở tùy ý K h i Q phủ mở K với n = Ì, 2, Vì K compac, t ổ n t i họ hữu hạn Q c Q cho n n n u { G : G e Q) n D K n 00 Do Q* = u £ phủ đ ế m n Q n=l cho U{G : G e Q'} = X Vậy X không gian Linđơlốp Chú ý Khửng định ngược l i định lí k h n g đ ú n g Khơng gian Banach Ì dãy binh phương k h tổng khơng gian khử l i Do Ì Linđơlốp (định lí 4, §2) 2 Nhưng Ì khơng phửi ỡ- compac, 71 Ì = u Kf, , K n compac > n=l ắ t phải có số n đ ể phẩn n khác rỗng Từ suy có hỉnh cầu đóng B compac, vơ lí! Định lí ơ-compac Khơng gian Linđơlốp compac địa phương Chứng minh Cho X khơng gian Linđơlóp compac địa phương Với X G X, t ố n t i lân cận mở U X với U compac x x H ỡ l í = { U : X e X I phủ mở X X Linđơlốp, tồn t i dãy { x } c X cho x n x = n= Ì Đặt K n = U U K h i { K } dãy tảng X n tập i sin compac cho X = U K mỡi tập compac K đ ể u bao hàm tập compac K Vậy X ỡ-compac n n §7 KHƠNG GIAN Định PARACOMPAC nghĩa v ví d ụ : Định nghía Giả sử X hỡ A tập X gỡi ứng r i rạc) với mỡi đ i ể m X chi giao với số hữu ứng giao với không qua Hỡ 72 A gỡi ỡ-hữu không gian tôpô M ộ t hữu hạn địa phương (tương X £ X, t ổ n t i lân cận V hạn t ậ p A e A (tương tập A s A) hạn địa phương (tương ứng r i rạc) A hợp đếm họ hữu h n địa hương (tương ứng - r i rạc) H ọ A gọi hữu hạn theo đ i ể m m ỗ i đ i ể m xGX thuộc vào số hữu hạn t ậ p A e A Định nghía Khơng gian tơpơ X gọi k h ô n g gian paracompac X khơng gian tơpơ qui m ọ i phủ mở X đ ể u có phủ lót, mở hữu h n địa phương ( phủ (B gọi phủ lót phủ A với B G % t ố n t i A e à cho B c A Ví dổ M ọ i k h n g gian metric compac paracompac Ví dổ Khơng gian metric rời rạc paracompac Bổ đề Cho X không gian tôpô N ế u phủ mở X đ ể u có phủ lót, mở - h ữ u hạn địa phương m ọ i phủ mở X có phủ lót hữu h n địa phương Chứng minh Cho l í phủ mở X (B phủ lót, mở õ hữu hạn địa phương \L neN tập mở họ hữu hạn địa p h n g (B^ chứa tập thuộc họ l i Với n 2= Ì V £ (B^, đ ặ t V* = V \ u {U:Uei^} 376 = k cu \ U{V ) > (1) : V e lí V < U } K h i với n + n + cặp hai phần tử tùy ý u , V G lí x ả y ra: 79 u* c X \ V ^ J V* c X \ u ^ ! (tùy theo V < u u < V) Sử dụng bất đẳng thức (1) suy díu*, V*) > ^ (2) Với n > Ì, đặt ũ n = Khi đổ với Ì {X X E U: U*) < d(x, ^ } G U , y e V ta cố n n =S d(U*, VJP *s d(U*, x) + d(x, y) + d(y, V*) < d(x, y) + Do ^ Suy 2IT+2 ã ô d(x, y) Vx e , y e V ) n n ^ infd( y) = d(ũ , v„) X) z x6Ũ n n Như với n 2> Ì, họ TỊ, = { ũ n : u e lí} họ 00 rời rạc Hiển nhiên họ (B - liĩín n=> ơ-rời rạc l í 80 phủ m nội tiếp §8 TÍNH CHUẨN TẮC CỦA KHƠNG GIAN PARACOMPAC VÀ PHÂN HOẠCH ĐON VỊ Định lí Mọi khơng gian tơpơ paracompac chuẩn tắc Chứng minh Cho X không gian metric tôpô paracompac Giả sử E, F tập đóng rời X Khi phẩn tử X bất k ì X khơng thuộc vào hai tập, chẳng hạn X ỆL É Nhưng C E mở xeCE, nên tổn lân cận U X cho X G U CCE Suy x u x X n E = Vậy họ {E, F} rời rạc Áp dụng bổ đề 3, tổn lân cận mở V(E), V(F) E F cho V(E) n V(F) = Vậy X chuẩn tắc Định lí Giả sử A = {A } phủ mở hữu hạn đỉa phương không gian chuẩn tắc X Khi tổn họ hàm {g } e M liên tục X thỏa mãn tính chất sau: a a a e M a a) g không âm (V a G M) tức g (x) V a G M) a a b) g » ỉ (Vx e X, = 0, V X G s„ (Tập s„ đóng c A ) a c) Nếu X G X u lân cận X giao vài mót số hữu han táp A A phủ hữu hạn đỉa y I m m x phương A X g « ( ) = i=l Đỉnh lí chứng minh dựa vào bổ đễ Bổ dè Với phủ mở hữu hạn theo điểm 81 không gian chuẩn t c X đ ề u t n t i phủ A' cho A' c A , V a e M = {A' } a a G M a a Chứng minh Gọi họ ỗác phủ mà a G M ta có Ba = A à ữ c a mở íB = {B } a a e M A a Ta đưa vào quan hệ t h ứ t ự phần íB > íB" Va £ M , B " c A a a B =s> = B* a a Khi thỏa m ã n bổ đề Zorn T h ả t vảy cho 'c tảp t h ứ tự t o n phần G i ả sử ' = {&: (B x = {Bị} Ta xây dựng phủ (B = , Ả e {B } ữ a e A} sau: M Với sò a G M , tổn t i Ằ G A B'^)CA , ' sáp t h ứ t ự tồn phần ta có cho a B'4 = B% (với Ẳ G A m B * ta đặt B Còn = a trường hợp A«) Trong trường hợp B'ầp , = A B c a a (VA e A) ta đảt = A« a Ta chứng minh (B = { B } phủ X cản ' Lấy phẩn t tùy ý X G X Bởi A phủ hữu hạn theo đ i ể m nên X thuộc vào số hữu han t p A A Với m ỗ i số A e A, X thuộc a a e M a Ì vào n tảp B ' B ' ị Ì (vì (B' phù X ) n Do n X G UB* (V Ả G A) í i= Nếu «2 l có số aị để B'4 , VA e A theo cách xây dựng phủ íB ta có B = a A a xGB cUB a ' a ' aEM Còn trường hợp t r i l i , số dị, đ ặ t tương ứng l ẩ n lượt với Ả ị, Ằ , A c Vị Khi n A tổn t i A* = A: G A a, cho a n Cị cho o B = B'Ị = B** a j n Do X G n u B'4* i= l = UB ' c f l ị ' 1=1 u B Vậy íB phủ a X a£M Ngồi ta cịn có (B > J f Muốn thế, ta đ ặ t À"ạ = Jtp, V * Đối với số a, xét hai tập đóng r i a a a a M F = X \ ( Ù A ' ) s = X \ A ' a Vì X không gian chuẩn tắc, theo bổ để Urưsơn tổn hai tập mở G, B cho G D F, B D s^và G n B = Nếu đ ặ t A " = G, ta có a X \ (ÙA)) c k" c X \B c a A' a H i ể n nhiên Jf' = { A " } « e phủ X Ă ^ c x x Be A'„ Suy ra'A" e_ A" 3= Jt m â u thuẫn với tính cực đ i JỊ Vậy A ' c A , V a e M a a M a 83 Chứng minh định lí Cho A = " { A } hữu hạn địa phương X Khi A phủ hạn theo điểm, áp dụng bổ đễ_ Ì vào phủ A phủ Jf = { A ' } cho A ' c A Lại lẩn bổ đề Ì vào phủ JỊ ta nhận phủ Jf = { A " } , A " c A' a a a e M a ữ a a ữ E M a phủ mở mở hữu ta nhận áp dụng a Với a e M, tập A " X \ A hiển nhiên tập đóng rời Vì X khơng gian chuẩn tác, theo bổ đề Urưsơn tổn f : X -» [ , ] liên tục cho: a a a f Cho nên tỊn hạn cho = Ì A " a , f a = X \ A a a X l điểm t ù y ý e X A l hữu h n địa phương lân cận u điểm X giao với sò hữu tập A , tức tổn tập hữu hạn My c M ỉ , a e MỊJ không Đặt a a ỉu = ta a£M u Khi độ f ( z ) * với Vz G u, z G u có số a để z G A " (vì Jp' phủ X) Ư a fu = 2f«(z) > W = Ì- aSM,j f Với a e M, đặt = a ^r - CÍGM,J hàm liên tục u Bây cho l i = {U^ : Ả G A} phủ mở tùy ý cho U i giao với số hữu hạn tập phủ A Với Ả G A xét hàm liên tục LT) cho cơng thức • 84 = & - r- (1) Ta cđ nhận xét ràng z G U a £ M , f ( z ) * A a U j ( fụ - « * ) = 2««) A a6M ^ aẸM Tương tự V ) - f z «( ) = 2fa(3) aEM^ Vậy z E U {g } a a A n ụ/ aGM thỉ f Ư (z) = f y = g£(z) Từ đó, ta định X nhờ cơng thức Bai*) «-gà