KHặNG GIAN TOPO
Khổng gian topo, têp hủp mð
ành nghắa 1.1.1 ([3]) Cho X l mởt têp hủp v τ l mởt têp con cừa
X thọa mÂn iãu kiằn sau.
• τ ữủc gồi l mởt topo trản X.
• C°p (X, τ) ữủc gồi l mởt khổng gian topo.
• Mởt phƯn tỷ cừa τ ữủc gồi l mởt têp hủp mð.
• Mội phƯn tỷ cừa X ữủc gồi l iºm cừa nõ.
Vẵ dử 1.1.2 1) GiÊ sỷ (X, d) l mởt khổng gian metric Ta °t τ = nU ⊂ X : U mð trong (X, d)o.
Khi õ,τ l mởt topo trản X Ta nõi rơng τ l topo ữủc sinh bði d. Nhữ vêy, V mð trong (X, τ) khi v ch¿ khi V ∈ τ, khi v ch¿ khi V mð trong (X, d).
2) Cho têp hủp X v τ1 = {∅, X}, τ2 = P(X) Khi õ, τ1 v τ2 l cĂc topo trản X Ta nõi rơng τ 1 l topo thổ v τ 2 l topo rới rÔc.
Nhên x²t 1.1.3 ([3]) ối vợi khổng gian topo (X, τ), ta cõ
1) ∅, X l cĂc têp hủp mð trong X.
2) Hủp cĂc têp mð trong X l têp mð trong X.
3) Giao hỳu hÔn cĂc têp mð trong X l cĂc têp mð trong X.
4) Giao tũy ỵ cĂc têp mð trong X cõ thº khổng mð trong X.
Chựng minh Tứ ành nghắa topo ta suy ra (1), (2), (3) l ró r ng BƠy gií, ta chùng minh (4).
Thêt vƠy, giÊ sỷ R l têp số thỹc vợi topo thổng thữớng Ta °t
Thêt vêy, vẳ {0} ⊂ An vợi mồi n ∈ N nản {0} ⊂ T n∈ N
Qua giợi hÔn khi n → ∞ ta suy ra x = 0 Nhữ vêy, T n∈ N
Nhữ vêy, nhên x²t ữủc chựng minh.
LƠn cên
ành nghắa 1.2.1 ([3]) ChoA l têp con khĂc rộng cừa khổng gian topo
(X, τ) Khi õ, têp con U cừa X ữủc gồi l mởt lƠn cên cừa têp A nảu tỗn tÔi V ∈ τ sao cho
Ngo i ra, náu U ∈ τ, thẳ ta nõi rơng U l lƠn cên mð cừa A °c biằt, náu
A = {x}, thẳ ta nõi rơng U l lƠn cên cừa x.
Nhên x²t 1.2.2 ([3]) GiÊ sỷ (X, τ) l mởt khổng gian topo Khi õ,
1) LƠn cên cừa mởt iºm khổng nhĐt thiát l mởt têp mð Tuy nhiản, mồi têp mð l lƠn cên cừa mồi iºm thuởc nõ.
2) Giao hỳu hÔn cĂc lƠn cên cừa A cụng l mởt lƠn cên cừa A Tuy nhiản, giao tũy ỵ cĂc lƠn cên cừa A cõ thº khổng l lƠn cên cừa A.
Chựng minh Ta ch¿ chựng minh cho giao tũy ỵ cĂc lƠn cên cừa A cõ thº khổng l lƠn cên cừa A.
GiÊ sỷ R l têp số thỹc vợi topo thổng thữớng Ta °t
Khi õ, theo chựng minh cừa Nhên x²t 1.1.3, T n∈ N
A n = {0} khổng l mởt lƠn cên cừa 0.
Bờ ã 1.2.3 ([3]) GiÊ sỷ (X, τ) l khổng gian topo Khi õ, cĂc mằnh ã sau l t÷ìng ÷ìng.
2) U l lƠn cên cừa mội iºm thuởc nõ;
3) Vợi mồi x ∈ U, tỗn tÔi lƠn cên V x cừa x sao cho x ∈ V x ⊂ U.
Chựng minh (1) =⇒ (2) GiÊ sỷ U mð v x ∈ U Náu ta lĐy V = U, thẳ ró r ng V ∈ τ v x ∈ V ⊂ U Nhữ vêy, U l lƠn cên cừa x.
(2) =⇒(3) GiÊ sỷ U l lƠn cên cừa mội x∈ U Khi õ, vợi mồi x ∈ U, ta lĐy Vx = U, thẳ Vx l lƠn cên cừa x v x ∈ V x ⊂ U.
(3) =⇒ (1) GiÊ sỷ vợi mồi x ∈ U, tỗn tÔi lƠn cên Vx cừa x sao cho x ∈ V x ⊂ U Khi õ, vẳ V x l lƠn cên cừa x nản tỗn tÔi W x ∈ τ sao cho x ∈ W x ⊂ V x ⊂U Do â,
Têp hủp õng
ành nghắa 1.3.1 ([3]) Têp con A cừa khổng gian topo (X, τ) ữủc gồi l têp hủp õng trong X náu X\A ∈ τ.
2) Hủp hỳu hÔn cĂc têp hủp õng l têp hủp õng Tuy nhiản, hủp tũy ỵ cĂc têp hủp õng cõ thº khổng õng.
3) Giao tũy ỵ cĂc têp hủp õng l têp õng.
Nhên x²t 1.3.3 ([3]) Hủp tũy ỵ cĂc têp õng cõ thº khổng õng trong
Chựng minh GiÊ sỷ R l têp số thỹc vợi topo thổng thữớng Ta °t
• An õng trong R vợi mồi n ∈ N.
A n Khi õ, tỗn tÔi n ∈ N sao cho x ∈ A n
2) GiÊ sỷ x ∈ [0,1), khi õ 0 ≤ x < 1 Bði vẳ, 1−x > 0 nản tỗn tÔi n∈ N sao cho 0≤ 1 n ≤ 1−x Do â, 0 ≤x ≤ 1− 1 n Nhữ vêy, x ∈
A n Nhữ vêy, nhên x²t ữủc chựng minh.
Vẵ dử 1.3.4 Cho X = {a, b, c}, τ = n∅, X,{a},{a, b},{a, c},{b}o. Khi õ, τ l mởt topo trản X, v cĂc têp hủp õng trong X l
X,∅,{b, c},{c},{b},{a, c}. ành lẵ 1.3.5 ([3]) Gồi D l hồ gỗm tĐt cÊ têp con õng trong khổng gian topo (X, τ) Khi â,
Chựng minh 1) Suy trỹc tiáp tứ cĂch °t D v ành nghắa cừa topo.
2) GiÊ sỷ F 1 , F 2 ∈ D, khi õ X \F 1 , X \F 2 ∈ τ M°t khĂc, vẳ
3) GiÊ sỷ {F i :i ∈ I} ∈ D, khi õ vẳ mội F i l têp õng nản X\F i ∈ τ. M°t khĂc, vẳ
F i ∈ D.Nhữ vêy, ành lẵ ữủc chựng minh.
Bao õng cừa têp hủp
ành nghắa 1.4.1 ([3]) GiÊ sỷ A l têp con cừa khổng gian topo (X, τ). Khi õ, giao cừa cĂc têp con õng trong X chựa A ữủc gồi l bao õng cừa A v kẵ hiằu A Nhữ vêy,
2) A l têp hủp õng nhọ nhĐt chựa A;
Chựng minh 1) Bði vẳ X l têp õng chựa A nản
Do õ, A tỗn tÔi v theo ành nghắa 1.4.1 nản A ⊂A.
2) Bði vẳ A = T{F ⊂X :F õng, A ⊂ F} nản theo Nhên x²t 1.3.2 ta suy ra A l têp õng chựa A.
BƠy giớ, ta chựng minh rơng A l têp õng nhọ nhĐt chựa A Thêt vêy, giÊ sỷ G l têp hủp õng nhọ nhĐt chựa A Khi õ,
3) GiÊ sỷ A ⊂ X l têp con õng Khi õ, vẳ A l têp õng nhọ nhĐt chựa A v A cụng l têp õng chựa A nản A ⊂ A M°t khĂc, theo kh¯ng ành (1), ta cõ A ⊂ A Do vêy, A= A.
BƠy giớ, giÊ sỷ A = A, theo kh¯ng ành (1) thẳ ró r ng A l têp con âng cõa X.
4) Ta cõ A ⊂ B ⊂B nản B l têp õng chựa A M°t khĂc, vẳ A l têp õng nhọ nhĐt chựa A nản A ⊂ B.
Vẵ dử 1.4.3 Cho X = {a, b, c}, A ⊂X v mởt topo trản X l τ n∅, X,{a},{a, b},{a, c},{b}o. HÂy tẳm A trong cĂc trữớng hủp sau: A= {a}, A = {a, b}, A = {b, c}.
(b) CĂc têp õng trong X chựa A l : X.
(b) CĂc têp õng trong X chựa A l : X.
(b) CĂc têp õng trong X chựa A l : X, {b, c}.
CĂch 2 Bði vẳ A õng nản A= A.
Vẵ dử 1.4.4 X²t R vợi topo thổng thữớng, A⊂ R HÂy tẳm A biát
Bờ ã 1.4.5 ([3]) GiÊ sỷ (X, τ) l khổng gian topo Khi õ,
A α , ¯ng thực khổng xÊy ra;
3) A∩B ⊂ A∩B,¯ng thực khổng xÊy ra.
Thêt vêy, vẳ A ⊂ A∪B v B ⊂A∪B nản theo Nhên x²t 1.4.2 ta cõ
Do õ, A ∪B ⊂ A ∪B LÔi theo nhên x²t 1.4.2 (2), A v B õng.
Do õ, theo Nhên x²t 1.3.2 (2), A∪B õng Nhữ vêy, Ăp dửng Nhên x²t 1.4.2 (2) ta thu ữủc
A α Theo theo Nhên x²t 1.4.2 (2) ta suy ra
3) Theo Nhên x²t 1.4.2 (2) ta cõA ⊂Av B ⊂ B Do õ,A∩B ⊂ A∩B.
Sỷ dửng Nhên x²t 1.3.2 v Nhên x²t 1.4.2 ta suy ra
BƠy giớ, ta chựng tọ rơng ¯ng thực khổng xÊy ra Thêt vêy, giÊ sỷ
R l têp số thỹc vợi topo thổng thữớng Ta °t
A∩B = ∅ = ∅, A∩B = {1}. ành lẵ 1.4.6 [[3]] GiÊ sỷ (X, τ) l mởt khổng gian topo, F ⊂ X Khi õ, x ∈ F khi v ch¿ khi vợi mồi lƠn cên mð V cừa x ta ãu cõ V ∩F 6= ∅.
Chựng minh iãu kiằn cƯn GiÊ sỷ x ∈ F v V l mởt lƠn cên mð cừa x.
Ta phÊi chựng minh rơng V ∩F 6= ∅.
Thêt vêy, giÊ sỷ ngữủc lÔi rơng V ∩ F = ∅ Khi õ, F ⊂ X \V, k²o theo F ⊂ X \V Bði vẳ V ∈ τ nản X \V õng, k²o theo X \V = X \V.
Nhớ mƠu thuăn n y ta suy ra iãu phÊi chựng minh. iãu kiằn ừ GiÊ sỷ mội lƠn cên mðV bĐt kẳ cừaxta ãu cõV ∩F 6= ∅.
Thêt vƠy, giÊ sỷ ngữủc lÔi rơng x /∈ F Khi õ, x ∈ X \F Bði vẳ, F õng nản X \F l lƠn cên mð cừa x Theo giÊ thuyát iãu kiằn ừ ta suy ra F ∩(X \F) 6= ∅ Do â,
∅ 6= F ∩ (X \F) ⊂ F ∩(X \F) =∅, Ơy l mởt mƠu thuăn. ành nghắa 1.4.7 ([3]) GiÊ sỷ (X, d) l mởt khổng gian metric, {x n } ⊂
X Ta nõi dÂy{x n }hởi tử án x náud(x n , x) →0, nghắa l vợi mồiε > 0, tỗn tÔi N ∈ N sao cho d(x n , x) < ε vợi mồi n ≥N.
Lúc n y ta kẵ hiằu x n → x ho°c lim n→∞x n = x. ành lẵ 1.4.8 [[3]] GiÊ sỷ (X, d) l mởt khổng gian metric, F ⊂ X Khi õ, x ∈ F khi v ch¿ khi tỗn tÔi dÂy {x n } ⊂ F sao cho x n →x.
Chựng minh • iãu kiằn cƯn GiÊ sỷ x ∈ F, khi õ theo ành lỵ 1.4.6 ta suy ra vợi mồi lƠn cên mð V cừa x ta cõ V ∩F 6= ∅ Do õ,
Suy ra vợi mồi n ∈ N,tỗn tÔi x n ∈ B(x,1/n) ∩ F Nhữ vêy, tỗn tÔi {x n } ⊂ F thọa mÂn x n ∈ B(x,1/n) vợi mồi n∈ N, k²o theo
Qua giợi hÔn khi n → ∞ ta thu ữủc lim n→∞d(x n , x) = 0, k²o theo x n →x.
• iãu kiằn ừ GiÊ sỷ tỗn tÔi {x n } ⊂ F sao cho x n → x Ta phÊi chùng minh x ∈ F.
Thêt vêy, giÊ sỷ ngữủc lÔi x /∈ F Khi õ, x ∈ X \F Bði vẳ X \F ∈ τ nản tỗn tÔi r > 0 sao cho B(x, r) ⊂X \F M°t khĂc, vẳ x n → x nản tỗn t¤i N ∈ N sao cho d(x n , x) < r vợi mồi n≥ N.
Trong không gian metric (X, d), nếu điểm x N thuộc vào B(x, r) và không thuộc vào tập F, thì điều này dẫn đến việc x N không thuộc F Nếu F là một tập con của X và tồn tại một chuỗi {x n} nằm trong F mà x n hội tụ về x, thì x sẽ thuộc vào F.
Chựng minh • iãu kiằn cƯn GiÊ sỷ F õng, {x n } ⊂ F sao cho x n →x. Khi â,
• iãu kiằn ừ GiÊ sỷ vợi mồi dÂy {x n } ⊂ F m xn → x ta ãu cõ x ∈ F Ta phÊi chựng minh F õng, nghắa l phÊi chựng minh F ⊂F.
Thêt vêy, giÊ sỷx ∈ F Khi õ, theo ành lẵ 1.4.8, tỗn tÔi dÂy {z n } ⊂ F sao cho zn →x Theo giÊ thiát iãu kiằn ừ ta suy ra x ∈ F.
PhƯn trong cừa têp hủp
ành nghắa 1.5.1 ([3]) GiÊ sỷ A l têp con cừa khổng gian topo (X, τ). Khi õ, hủp cừa tĐt cÊ cĂc têp con mð nơm A ữủc gồi l phƯn trong cừa
A, v kẵ hiằu IntA Nhữ vêy,
Nhên x²t 1.5.2 [[3]] GiÊ sỷ A, B l cĂc têp con cừa khổng gian topo (X, τ) Khi â,
1) IntA l têp con mð lợn nhĐt trong A;
2) A mð khi v ch¿ khi IntA = A;
Chựng minh (1) Bði vẳ IntA = S{V ∈ τ : V ⊂ A} nản IntA l têp con mð nơm trong A BƠy giớ, giÊ sỷ G l têp mð lợn nhĐt nơm trong A Suy ra G∈ {V ∈ τ : V ⊂ A} Do â,
(2) Gi£ sû A mð, khi â A ∈ {V ∈ τ :V ⊂ A} Suy ra
Ngữủc lÔi, náu IntA= A, thẳ theo (1) ta suy ra A mð.
CĂch 2: Theo (1), IntA l têp mð trong A ⊂ B, v IntB l têp mð lợn nhĐt nơm trong B Nhữ vêy, Int A ⊂ Int B.
Vẵ dử 1.5.3 Cho X = {a, b, c}, τ = {∅, X,{a},{a, b},{a, c},{b}} v M ⊂ X HÂy tẳm IntM trong cĂc trữớng hủp sau:
B i giÊi (1) Trữớng hủp 1: M = {b, c} Ta cõ
CĂch 2: Bði vẳ M = {a, b} ∈ τ nản theo Nhên x²t 1.5.2, ta suy ra IntM = M = {a, b}.
Vẵ dử 1.5.4 X²t R vợi topo thổng thữớng, A⊂ R HÂy tẳm IntA biát
B i giÊi Bði vẳ phƯn trong cừa A l têp hủp mð lợn nhĐt nơm trong A nản ta cõ
Int[a, b] = (a, b); Int(a, b) = (a, b); Int(a, b] = (a, b); Int[a, b) = (a, b). ành lẵ 1.5.5 ([3]) GiÊ sỷ (X, τ) l khổng gian topo Khi õ,
2) IntA∪IntB ⊂ Int(A∪B), ¯ng thực khổng xÊy ra;
Chựng minh (1) Bði vẳ IntA ⊂ A v IntB ⊂ B nản
M°t khĂc vẳ IntA∩IntB l têp hủp mð nơm trong A∩B v Int(A∩B) l têp hủp mð lợn nhĐt nơm trong A∩B nản
LÔi vẳ Int(A∩B) ⊂ IntA v Int(A∩B) ⊂ IntB nản
Tứ (1.1) v (1.2) ta suy ra iãu phÊi chựng minh.
(2) Bði vẳ IntA ⊂A v IntB ⊂ B nản IntA∪IntB ⊂ A∪B Do õ, IntA∪IntB l têp mð nơm trong A∪B M°t khĂc, vẳ Int(A∪B) l têp mð lợn nhĐt nơm trong A∪B nản IntA∪IntB ⊂Int(A∪ B).
BƠy giớ, ta chựng minh ¯ng thực khổng xÊy ra.
Thêt vêy, x²t Rl têp số thỹc vợi topo thổng thữớng Ta lĐyA = (0,1),
Nhữ vêy, Int(A∪B) 6= IntA∪ IntB.
Suy ra X \X \A l têp mð trong A Do õ,
M°t khĂc, vẳ IntA ⊂ A nản X \A ⊂ X \IntA Hỡn nỳa, vẳ X \IntA õng nản
Nhớ (1.3) v (1.4) ta suy ra iãu phÊi chựng minh.
Mởt số tiản ã tĂch
ành nghắa 1.6.1 ([3]) GiÊ sỷ (X, τ) l khổng gian topo Khi õ,
1) (X, τ) ữủc gồi l khổng gian T 0 -khổng gian náu vợi mồi x, y ∈ X m x 6= y, tỗn tÔi V ∈ τ chựa úng mởt trong hai iºm n y.
2) (X, τ) ữủc gồi l khổng gian T 1 -khổng gian náu vợi mồi x, y ∈ X m x 6= y, tỗn tÔi lƠn cên mð U cừa x sao cho y /∈ X.
3) (X, τ) ữủc gồi l khổng gian T2-khổng gian hay l khổng gian Haus- dorff náu vợi hai iºm phƠn biằt ữủc tĂch bði têp mð.
Khổng gian con, khổng gian compact
Bờ ã 1.7.1 ([3]) GiÊ sỷ (X, τ) l khổng gian topo, F ⊂X Khi õ, τ F = {V ∩F : V ∈ τ} l mởt topo trản F.
(1) Bði vẳ τ l mởt topo nản ∅, X ∈ τ Do õ,
(2) GiÊ sỷ {W i } i∈I ⊂ τ F Khi õ, tỗn tÔi {V i } i∈I ⊂ τ sao cho
(3) GiÊ sỷ A, B ∈ τ F Khi õ, tỗn tÔi U, V ∈ τ sao cho A = U ∩ F,
Bði vẳ U ∩V ∈ τ nản A∩B ∈ τ F ành nghắa 1.7.2 ([3]) GiÊ sỷ(X, τ)l khổng gian topo,F ⊂X,{x n } ⊂
1) (F, τ F ) ữủc gồi l khổng gian con cừa (X, τ);
2) {x n } ữủc gồi l hởi tử án x 0 trong X náu vợi mồi lƠn cên V cừa x0, tỗn tÔi N ∈ N ∗ sao cho
Nhên x²t 1.7.3 ([3]) GiÊ sỷ(F, τ F ) l khổng gian con cừa(X, τ),U ⊂F v {x n } ⊂ F Khi â,
1) U mð trong (F, τ F ) ⇐⇒ tỗn tÔi V mð trong X sao cho U = F ∩V;
2) U l lƠn cên cừa x trong F ⇐⇒ tỗn tÔi lƠn cên V cừa x trong X sao cho U = F ∩V;
Chựng minh (1) Suy ra trỹc tiáp tứ ành nghắa.
(2) iãu kiằn cƯn GiÊ sỷ U l lƠn cên cừa x trong F Khi õ, tỗn tÔi
W ∈ τ F sao cho x ∈ W ⊂ U Bði vẳ W ∈ τ F nản tỗn tÔi A ∈ τ sao cho
• V ∩ F = U ∪(X \F) ∩F = (U ∩F)∪ [(X \F)∩F] = U. iãu kiằn ừ GiÊ sỷ tỗn tÔi lƠn cênV cừaxtrongX sao choU = F∩V.
Khi õ, vẳ V l lƠn cên cừa x nản tỗn tÔi A ∈ τ sao cho x ∈ A ⊂ V Ta câ A∩F ∈ τ F v x ∈ A∩F ⊂ V ∩F = U.
Nhữ vêy, U l lƠn cên cừa x trong F.
• GiÊ sỷ x n →x trong F, U l lƠn cên cừa x trong X.Khi õ, U∩F l lƠn cên cừa x trong F Bði vẳ x n →x trong F nản tỗn tÔi n 0 ∈ N sao cho x n ∈ U ∩F ⊂ U vợi mồi n ≥ n 0 Nhữ vêy, x n → x trong X.
• GiÊ sỷ x n → x trong X, U l lƠn cên cừa x trong F Khi õ, tỗn tÔi lƠn cên V cừa x trong X sao cho U = V ∩F Bði vẳ x n →x trong X nản tỗn tÔi n 0 ∈ N sao cho x n ∈ V vợi mồi n ≥n 0 , k²o theo x n ∈ V ∩F = U vợi mồi n ≥ n 0
Nhữ vêy, x n → x trong F. ành lẵ 1.7.4 ([3]) GiÊ sỷ (F, τ F ) l khổng gian con cừa(X, τ) v E ⊂ F.
1) E õng trong F khi v ch¿ khi tỗn tÔi têp con õng A trong X sao cho E = A∩F;
Nhữ vêy ành lẵ Â ữủc chựng minh. ành nghắa 1.7.5 ([3]) GiÊ sỷ A l têp con cừa khổng gian topo (X, τ) v U = {V α } α∈I l hồ n o õ gỗm cĂc têp con cừa X Khi õ,
1) U ữủc gồi l mởt phừ cừa A náu A ⊂ S α∈I
2) V ữủc gồi l phừ con cừa U phừ A náu V ⊂ U v V phừ A.
3) Mởt phừ U cừa A ữủc gồi l phừ mð cừa A náu U phừ A v U ⊂ τ. ành nghắa 1.7.6 ([3]) GiÊ sỷK l têp con cừa khổng gian topo (X, τ). Khi õ, K ữủc gồi l têp con compact trong X náu mồi phừ mð cừa K, tỗn tÔi phừ con hỳu hÔn Náu K = X, thẳ ta nõi rơng X l khổng gian compact.
Nhên x²t 1.7.7 ([3]) ối vợi khổng gian topo (X, τ), cĂc kh¯ng ành sau ¥y l óng.
1) Hủp hỳu hÔn cĂc têp con compact l têp con compact
2) Náu A õng, B compact v A ⊂ B, thẳ A compact.
3) Náu X l T 2 -khổng gian, thẳ mồi têp con compact cừa X ãu õng.
4) GiÊ sỷ E, F l cĂc têp con compact rới nhau trong T 2 -khổng gian X. Khi õ, tỗn tÔi cĂc lƠn cên mðU cừaE v V cừaF sao choU∩V = ∅.
Do õ, náu X l T 2 -khổng gian compact, thẳ X l chuân tưc.
Chựng minh (1) GiÊ sỷ A, B l hai têp compact Ta chựng minh A∪ B compact.
Thêt vêy, giÊ sỷ U = {U α : α ∈ I} l phừ mð cừa A ∪ B, k²o theo
◦ U phừ mð têp compact A nản ta suy ra tỗn tÔi α 1 , , α n ∈ I sao cho A⊂ n
◦ U phừ mð têp compact B nản tỗn tÔi α n+1 , , α n+m ∈ I sao cho
Nhữ vêy, {U α 1 , , U α n+m } l phừ con hỳu hÔn cừa U phừ A∪B.
Giá sỉ U = {U α : α ∈ I} là phần mềm của A Khi đó, U ∪ {X \ A} là phần mềm của X, và nó cũng là phần mềm của tập compact B Do đó, tồn tại α1, , αn ∈ I sao cho {U α1, , U αn, X \ A} là phần con hữu hạn của B Một khía cạnh khác, X \ A không phải là phần tỷ lệ của A.
(3) GiÊ sỷ X l T 2 -khổng gian v A compact Ta phÊi chựng minh A õng, nghắa l phÊi chựng minh X \A ∈ τ.
Thêt vêy, giÊ sỷ x∈ X \A Khi õ, vợi mồi y ∈ A ta cõ y 6= x Bði vẳ
X l T 2 -khổng gian nản tỗn tÔi cĂc lƠn cên mð U y cừa x v V y cừa y sao cho U y ∩V y = ∅ M°t khĂc, vẳ {V y : y ∈ A} l phừ mð cừa A compact nản tỗn tÔi y 1 , , y n ∈ A sao cho A ⊂ n
U y i , khi â U l lƠn cên mð cừa x vẳ
• Vợi mồix ∈ E, vẳ E∩F = ∅nản x /∈ F Theo cĂch chựng minh trong
(3), tỗn tÔi lƠn cên mð Ux cừa x v Vx cừa F sao cho Ux∩Vx = ∅.
• Bði vẳ{U x : x ∈ E}l phừ mð cừaEcompact nản tỗn tÔix 1 , , x n ∈
V x i Khi õ, U l lƠn cên mð cừa E v V l lƠn cên mð cừa F thọa mÂn
Bối cảnh, giả sử X là T2 - không gian compact, E và F là hai tập con rời rạc nhau Khi áp dụng (2), ta suy ra E và F là hai tập con compact rời nhau Theo định lý vừa chứng minh, ta suy ra tồn tại các lân cận cắt nhau của U trong không gian này.
1.8 nh xÔ liản tửc ành nghắa 1.8.1 ([3]) GiÊ sỷ f : (X, τ) → (Y, σ) l Ănh xÔ tứ khổng gian (X, τ) án khổng gian (Y, σ) Khi õ,
1) f ữủc gồi l Ănh xÔ liản tửc liản tửc tÔi iºm x 0 ∈ X náu vợi mồi lƠn cên mð V cừa f(x 0 ) trong Y, tỗn tÔi lƠn cên mð U cừa x 0 trong
2) f gồi l liản tửc trản X (hay liản tửc) náu f liản tửc tÔi mồi iºm cõa X.
3) f gồi l ph²p ỗng phổi náu f l mởt song Ănh v f, f −1 l cĂc Ănh xÔ liản tửc. ành lẵ 1.8.2 ([3]) GiÊ sỷ f : (X, τ) → (Y, σ) l Ănh xÔ tứ khổng gian topo (X, τ) án khổng gian (Y, σ) Khi õ, cĂc kh¯ng ành sau l tữỡng ÷ìng.
2) TÔo Ênh cừa mồi têp hủp mð trong Y l mởt têp hủp mð trong X.
3) TÔo Ênh cừa mồi têp hủp õng trong Y l mởt têp hủp õng trong X.
Chựng minh (1) =⇒ (2) GiÊ sỷ f l Ănh xÔ liản tửc v U mð trong Y.
Ta chùng minh f −1 (U) mð trong X.
Thêt vêy, giÊ sỷ x ∈ f −1 (U) Khi õ, U l lƠn cên mð f(x) trong Y. Bði vẳ f l Ănh xÔ liản tửc nản tỗn tÔi lƠn cên mð V cừa x trong X sao cho f(V) ⊂ U Nhữ vêy, x ∈ V ⊂ f −1 (f(V)) ⊂f −1 (U).
(2) =⇒ (3) GiÊ sỷ rơng (2) thọa mÂn v F õng trong Y Khi õ,
Y \F mð trong Y Bði vẳ (2) thọa mÂn nản f −1 (Y \F) mð trong X M°t khĂc, vẳ f −1 (Y \F) = X \f −1 (F). nản f −1 (F) õng trong X.
(3) =⇒(4) GiÊ sỷ (3) thọa mÂn v f(A)õng trongY nảnf −1 f(A) õng trong X M°t khĂc, vẳ A ⊂ f −1 (f(A)) ⊂f −1 (f(A)) nản
(4) =⇒(5) Theo kh¯ng ành (4), vợi mồi B ⊂ Y ta cõ f f −1 (B) ⊂f(f −1 (B)) ⊂ B.
(5) =⇒(6) Vợi mồi B ⊂Y, ta cõ f −1 (IntB) = f −1 (Y \Y \B) = X \f −1 (Y \B) (1.5) M°t khĂc, vẳ (5) thọa mÂn nản
X \f −1 (B) = f −1 (Y \B) ⊂ f −1 (Y \B) (1.6) Nhữ vêy, tứ (1.5) v (1.6) ta suy ra f −1 (IntB) ⊂ X \X \f −1 (B) = Intf −1 (B).
(6) =⇒ (1) GiÊ sỷ x ∈ X v V l mởt lƠn cên mð cừa f(x) trong Y. Khi õ, IntV = V Bði vẳ (6) thọa mÂn nản f −1 (V) =f −1 (IntV) ⊂ Intf −1 (V).
Hỡn nỳa, nếu \( Int f^{-1}(V) \subset f^{-1}(V) \) thì \( Int f^{-1}(V) = f^{-1}(V) \) Như vậy, nếu \( U = f^{-1}(V) \), thì \( U \) là một tập mở trong không gian \( X \) và \( f(U) \subset V \) Giả sử \( X, Y, Z \) là các không gian topo và \( f: X \to Y; g: Y \to Z \) là các ánh xạ liên tục Khi đó, \( h = g \circ f: X \to Z \) cũng là một ánh xạ liên tục Giả sử \( f: (X, \tau) \to (Y, \sigma) \) là ánh xạ liên tục Khi đó, nếu \( K \) là tập con compact trong \( X \), thì \( f(K) \) là tập con compact trong \( Y \).
Chựng minh GiÊ sỷ U = {V α : α ∈ I} l phừ mð cừa f(K), nghắa l f(K) ⊂ S α∈I
Bði vẳ U ⊂ σ nản f −1 (V α ) ∈ τ vợi mồi α ∈ I Do õ, {f −1 (V α ) : α ∈ I} l phƯn mð cừa K trong X Bði vẳ K compact nản tỗn tÔi α1, , αn sao cho K ⊂ n
Mối quan hằ giỳa mởt số tẵnh chĐt mÔng trong khổng gian topo
Mởt số khổng gian metric suy rởng
Mục đích của bài viết này là trình bày bối cảnh và tính chất của một số không gian metric suy yếu Chúng tôi sẽ chứng minh mối liên hệ giữa chúng và chứng minh một số tính chất di truyền của không gian con Kết quả trong mục này sẽ được tham khảo từ tài liệu [3] Định nghĩa 2.1.1 cho rằng (X, τ) là một không gian topo, với B ⊂ τ và B là một họ bao gồm các lân cận của x ∈ X.
1) B ữủc gồi l cỡ sð cừa X náu mội V ∈ τ l hủp n o õ cĂc phƯn tỷ cõa B.
2) B x ữủc gồi l cỡ sð lƠn cên tÔi x náu vợi mồi lƠn cên V cừa x, tỗn t¤i B ∈ B x sao cho x ∈ B ⊂ V.
3) X ữủc gồi l thọa mÂn tiản ã ám ữủc thự hai náuX cõ cỡ sð ám ữủc.
4) X ữủc gồi l thọa mÂn tiản ã ám ữủc thự nhĐt náu vợi mội x ∈ X, tỗn tÔi cỡ sð lƠn cên B x ám ữủc.
Nhên x²t 2.1.2 1) B l cỡ sð cừa X khi v ch¿ khi vợi mồi V ∈ τ v vợi mồi x∈ V, tỗn tÔi B ∈ B sao cho x ∈ B ⊂ V.
2) Náu B l cỡ sð cừa X, thẳ B x = {B ∈ B : x ∈ B} l cỡ sð lƠn cên tÔi x vợi mồi x ∈ X.
Chựng minh (1) iãu kiằn cƯn GiÊ sỷ B l cỡ sð cừa X v V ∈ τ Khi õ, vợi mội x ∈ V, tỗn tÔi B x ∈ B sao cho x ∈ B x ⊂ V Suy ra
B x là một phần tử trong tập hợp B Giả sử rằng tỷ lệ giữa τ và các phần tử của B là một tỷ lệ nhất định Chúng ta chứng minh rằng B có kích thước tương đương với X Do đó, tỷ lệ V thuộc vào τ và x thuộc vào V Theo giả thiết, tồn tại một tập con F của B sao cho
Nhữ vêy, tỗn tÔi B ∈ F sao cho x ∈ B ⊂ V.
(2) Vợi mồi x ∈ X v vợi mồi lƠn cên V cừa x Khi õ, vẳ V l lƠn cên cừa x nản tỗn tÔi W ∈ τ sao cho x ∈ W ⊂ V M°t khĂc, vẳ B l cỡ sð cừa
X nản theo Nhên x²t 2.1.2(1), tỗn tÔi B ∈ B sao cho x ∈ B ⊂ W ⊂V.
Nhữ vêy, B ∈ B x v x ∈ B ⊂ V Do õ, B x l cỡ sð lƠn cên tÔi x. ành lẵ 2.1.3 GiÊ sỷ (X, τ) l mởt khổng gian topo v B l cỡ sð cừa τ.Khi â,
1) Vợi mồi x ∈ X, tỗn tÔi U ∈ B sao cho x ∈ U.
2) Vợi mồi U1, U2 ∈ B, x ∈ U1 ∩U2, tỗn tÔi U ∈ B sao cho x ∈ U ⊂ U 1 ∩U 2
Chựng minh (1) GiÊ sỷ x ∈ X, khi õ vẳ x ∈ X ∈ τ v B l cỡ sð cừa τ nản tỗn tÔi U ∈ B sao cho x ∈ U ⊂ X.
Giả sử U, V là các tập mở trong không gian topo X và x thuộc U ∩ V Khi đó, B là một tập con của τ, với U, V thuộc τ, dẫn đến U ∩ V cũng thuộc τ Hơn nữa, nếu B là một cơ sở của X, thì tồn tại một tập W thuộc B sao cho x thuộc W và W nằm trong U ∩ V Điều này cho thấy rằng B là một tập hợp các tập con của X thỏa mãn hai điều kiện đã nêu trong hình 2.1.3 Do đó, tồn tại một topo τ sao cho B là cơ sở của τ.
Chựng minh Gồi τ l hồ cừa mội phƯn tỷ cừa τ l hủp n o õ cĂc phƯn tỷ cừa B Khi õ, τ l mởt topo trản X Thêt vêy,
(1) Bði vẳ hủp cừa hồ rộng l rộng nản ∅ ∈ τ M°t khĂc, tứ iãu kiằn
(1) cõa ành lþ 2.1.3 ta suy ra X ∈ τ.
(2) GiÊ sỷ{U α } α∈Λ ⊂ τ Khi õ, vợi mồi α ∈ Λ, tỗn tÔi {B α,β : β ∈ I α } sao cho
(3) GiÊ sỷ U, V ∈ τ Khi õ, tỗn tÔi
Nhữ vêy, muốn chựng minh U ∩ V ∈ τ ta cƯn chựng minh rơng
Thêt vêy, giÊ sỷ α ∈ Λ, β ∈ Γ Khi õ, tứ iãu kiằn (2) cừa ành lẵ 2.1.3 suy ra vợi mồi x ∈ U α ∩ V β , tỗn tÔi U x ∈ B sao cho x ∈ U x ⊂U α ∩V β
Trong không gian topo (X, τ), tập hợp U x là một phần của giao nhau U α ∩ V β Điều này có nghĩa là nếu n y chựng tọ rơng U α ∩ V β thuộc τ, thì U x cũng sẽ nằm trong đó Định nghĩa 2.1.5 cho thấy rằng một hồ B(x) bao gồm các lân cận của điểm x, với cỡ sđ tối thiểu được xác định bởi V xung quanh x, đảm bảo rằng tồn tại một tập U thuộc B(x) sao cho x thuộc U và U nằm trong V.
Hồ {B(x)} x∈X ữủc gồi l hằ lƠn cên cừa khổng gian topo (X, τ). ành lẵ 2.1.6 GiÊ sỷ (X, τ) l mởt khổng gian topo, {B(x)} x∈X l hằ lƠn cên cừa X Khi õ,
2) Náu x ∈ U ∈ B(y), thẳ tỗn tÔi V ∈ B(x) sao cho V ⊂ U.
3) Vợi mồi U1, U2 ∈ B(x), tỗn tÔi U ∈ B(x) sao cho U ⊂ U1 ∩U2. Chựng minh (1) Bði vẳ x ∈ X ∈ τ nản tỗn tÔi U ∈ B(x) sao cho x ∈ U ⊂ X, do õ B(x) 6= ∅ BƠy giớ, giÊ sỷ U ∈ B(x), khi õ U l lƠn cên mð cừa x. Suy ra x ∈ U.
(2) GiÊ sỷ x ∈ U ∈ B(y), khi õ vẳ U mð nản U l lƠn cên cừa x trong
X M°t khĂc, vẳ B(x) l cỡ sð tÔi y nản tỗn tÔi V ∈ B(x) sao cho x ∈ V ⊂U.
Giả sử U₁, U₂ ∈ B(x), khi đó U₁ ∩ U₂ là một tập mở lớn hơn x Biểu thức B(x) là cỡ sđ của x, tồn tại U ∈ B(x) sao cho x ∈ U ⊂ U₁ ∩ U₂ Như vậy, điều này chứng minh rằng {Bₓ}ₓ∈X là một họ các tập con của X thỏa mãn các tính chất trong điều kiện 2.1.6 Khi đó, tồn tại một topo τ trên X sao cho họ {Bₓ}ₓ∈X là cỡ sđ lớn hơn τ.
Chựng minh Tữỡng tỹ chựng minh ành lẵ 2.1.4. ành lẵ 2.1.8 ối vợi khổng gian topo(X, τ),cĂc kh¯ng ành sau l úng.
1) Khổng gian thọa mÂn tiản ã ám ữủc thự hai l khổng gian thọa mÂn tiản ã ám ữủc thự nhĐt;
2) Khổng gian metric l khổng gian thọa mÂn tiản ã ám ữủc thự nhĐt;
3) Náu X l khổng gian thọa mÂn tiản ã ám ữủc thự nhĐt, thẳ ta cõ thº giÊ thiát rơng mội B x l giÊm.
Chựng minh (1) Suy trỹc tiáp tứ Nhên x²t 2.1.2.
(2) GiÊ sỷ (X, d) l mởt khổng gian metric Vợi mội x ∈ X ta °t
Khi õ, B x l cỡ sð lƠn cên ám ữủc tÔi x vợi mồi x ∈ X Thêt vêy, giÊ sỷ x ∈ X v U l lƠn cên bĐt ký cừa x Khi õ, tỗn tÔi r > 0 sao cho B(x, r) ⊂U Ta l§y n∈ N sao cho 1 n < r, khi â B(x,1/n) ∈ B x v x ∈ B(x,1/n) ⊂ U.
Nhữ vêy, B x l cỡ sð lƠn cên ám ữủc tÔi x, do õ X l khổng gian thọa mÂn tiản ã ám ữủc thự nhĐt.
(3) GiÊ sỷ X l khổng gian thọa mÂn tiản ã ám ữủc thự nhĐt Khi õ, vợi mội x ∈ X, tỗn tÔi cỡ sð lƠn cên ám ữủc
BƠy giớ, vợi mội x ∈ X, ta °t
• F x l cỡ sð lƠn cên tÔi x Thêt vêy, giÊ sỷ x ∈ X v U l mởt lƠn cên bĐt ký cừa x Khi õ, vẳ B x l cỡ sð lƠn cên tÔi x nản tỗn tÔi n ∈ N sao cho x ∈ B n (x) ⊂ U Suy ra x ∈ \ i≤n
Nhữ vêy, F x l cỡ sð lƠn cên giÊm v ám ữủc cừa x trong X. ành nghắa 2.1.9 GiÊ sỷ (X, τ) l mởt khổng gian topo Khi õ,
1) X ữủc gồi l k-khổng gian náu vợi A ⊂ X m A∩ P mð trong P vợi mồi P l têp compact trong X, thẳ A l têp mð trong X.
2) X ữủc gồi l khổng gian dÂy náu vợi A ⊂ X thọa mÂn khổng cõ dÂy n o trong A hởi tử án iºm nơm ngo i A, thẳ A õng trong X.
3) X ữủc gồi l khổng gian Fr²chet-Urysohn náu vợi mồiA ⊂X,x ∈ A, tỗn tÔi dÂy {x n } ⊂ A hởi tử án x.
4) X ữủc gồi l khổng gian Fr²chet-Urysohn mÔnh náu vợi mồi dÂy giÊm {A n : n ∈ N} v vợi mồi x ∈ T n∈ N
An, tỗn tÔi dÂy {x n } sao cho x n ∈ A n vợi mồi n∈ N v x n → x.
Nhên x²t 2.1.10 X l k-khổng gian náu vợi A ⊂ X m A ∩ P õng trong P vợi mồi P l têp compact trong X, thẳ A l têp õng trong X. ành lẵ 2.1.11 ối vợi khổng gian X, cĂc kh¯ng ành sau l úng.
1) Khổng gian thọa mÂn tiản ã ám ữủc thự nhĐt l khổng gian Fr²chet- Urysohn m¤nh;
2) Khổng gian Fr²chet-Urysohn mÔnh l khổng gian Fr²chet;
3) Khổng gian Fr²chet-Urysohn l khổng gian dÂy;
4) Khổng gian dÂy l k-khổng gian.
Chựng minh (1) GiÊ sỷ X l khổng gian thọa mÂn tiản ã ám ữủc thự nh§t, {A n } l d¢y gi£m trong X v x ∈ T n∈ N
A n Nhớ ành lẵ 2.1.8(3), X cõ cỡ sð lƠn cên giÊm v ám ữủc
Bði vẳ x ∈ A 1 v B 1 (x) l lƠn cên cừa x nản tỗn tÔi x 1 ∈ B 1 (x)∩A 1 LÔi vẳ x ∈ A2 v B2(x) l lƠn cên cừa x nản tỗn tÔi x2 ∈ B2(x)∩A2 Tiáp tửc quĂ trẳnh trản ta tẳm ữủc dÂy {x n } sao cho x n ∈ B n (x)∩A n vợi mồi n ∈ N.
BƠy giớ, giÊ sỷ U l lƠn cên cừa x trong X Khi õ, vẳ B x l cỡ sð lƠn cên cừa x nản tỗn tÔi m ∈ N sao cho B m (x) ⊂U Do õ, vợi mồi n ≥m ta cõ
Nhữ vêy, x n → x, v X l khổng gian Fr²chet-Urysohn mÔnh.
(2) GiÊ sỷ X l khổng gianFr²chet-Urysohn mÔnh v x ∈ A Khi õ, náu ta °t
An Bði vẳ X l khổng gian Fr²chet-Urysohn mÔnh nản tỗn tÔi dÂy {x n } ⊂ A hởi tử án x Nhữ vêy, X l khổng gian Fr²chet-Urysohn.
(3) GiÊ sỷ X l khổng gian Fr²chet-Urysohn Ta chựng minh rơng X l khổng gian dÂy.
Thể vết, không gian X là một không gian đầy đủ Khi đó, tồn tại một tập con A của X thỏa mãn rằng mọi điểm trong A đều không nằm trong X Điều này có nghĩa là không có điểm nào trong X nằm ngoài A Hơn nữa, nếu X là không gian Fréchet-Urysohn, thì tồn tại một dãy {x_n} ⊂ A sao cho x_n hội tụ về x, đây là một mẫu thuẫn.
Giá trị sỹ X là không gian dây, A là tập con trong X thoả mãn A ∩ K không trong K Ta chứng minh A không rỗng Thật vậy, giá trị sỹ ngữ rỗng A không rỗng trong X Khi đó, X là không gian dây nản tồn tại dây {x_n} ⊂ A hỏi tử án x /∈ A.
Khi õ, K l têp con compact cừa X v
Bằng cách xem xét không gian A∩K trong K, chúng ta có thể suy ra mô hình thuần khiết trong không gian này Do đó, không gian X được mở rộng thành một không gian Fréchet-Urysohn Không gian Fréchet-Urysohn là một di truyền lý tưởng trong các không gian con.
Chựng minh GiÊ sỷ F l khổng gian con cừa khổng gian topo X Khi õ,
• GiÊ sỷ X l khổng gian Fr²chet-Urysohn, A ⊂ F v x ∈ A F = A∩ F.
Trong không gian Fréchet-Urysohn, một dãy {x_n} thuộc tập hợp A hội tụ về x trong không gian X nếu x_n → x Điều này có nghĩa là, để chứng minh rằng dãy {x_n} hội tụ về x trong không gian con F, ta cần kiểm tra tính hội tụ của dãy này trong không gian lớn hơn.
Thêt vêy, giÊ sỷ W l lƠn cên mð cừa x trong F Khi õ, tỗn lÔi lƠn cên mð V cừa x trong X sao cho W = V ∩F M°t khĂc, vẳ x n → x trong
X nản tỗn tÔi n 0 ∈ N sao cho
• GiÊ sỷ X l khổng gian Fr²chet-Urysohn mÔnh, {A n : n∈ N} l dÂy gi£m trong F v x ∈ T n∈ N
Không gian Fréchet-Urysohn là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết không gian tôpô Nếu một chuỗi (x_n) trong không gian X hội tụ đến một điểm x trong X, thì chuỗi này cũng sẽ hội tụ đến x trong không gian Fréchet-Urysohn Điều này chứng minh rằng không gian Fréchet-Urysohn có tính chất hội tụ mạnh mẽ, cho phép ta hiểu rõ hơn về cấu trúc của các không gian tôpô.
Mối quan hằ giỳa mởt số tẵnh chĐt mÔng trong khổng gian topo 37 KT LUN V KIN NGHÀ
Mục đích của bài viết này là trình bày một số tính chất mô đun trong không gian topo và chứng minh chi tiết một số mối quan hệ giữa chúng Định nghĩa 2.2.1 nêu rõ rằng (X, τ) là một không gian topo, trong đó P là một phần gồm các tập con nào đó của X.
1) P ữủc gồi l iºm-ám ữủc cừa X náu vợi mồi x ∈ X, têp hủp (P) x = {P ∈ P : x ∈ P} nhiãu nhĐt l ám ữủc.
2) P ữủc gồi l mÔng cừa X náu vợi mồi x ∈ U vợi U ∈ τ, tỗn tÔi
3) P ữủc gồi l cs ∗ -mÔng cừaX náu vợi mồi dÂy{x n } hởi tử ánx ∈ U vợi U ∈ τ, tỗn tÔi P ∈ P v dÂy con {x n k } ⊂ {x n } sao cho
4) P ữủc gồi l wcs ∗ -mÔng cừa X náu vợi mồi dÂy {x n } hởi tử án x ∈ U vợi U ∈ τ, tỗn tÔi P ∈ P v dÂy con {x n k } ⊂ {x n } sao cho
5) P ữủc gồi l k-mÔng cừa X náu vợi mội K compact v K ⊂ U ∈ τ, tỗn tÔi hồ con hỳu hÔn F ⊂ P sao cho K ⊂ SF ⊂ U.
6) P ữủc gồi l sp-mÔng cừaX náu vợi mộiA ⊂ X,U ∈ τ v x ∈ U∩A, tỗn tÔi P ∈ P sao cho x ∈ P ⊂ U v x ∈ P ∩A.
7) P ữủc gồi l mÔng Pytkeev cừa X náu nõ l mÔng cừa X v vợi mội lƠn cên U cừa x trong X, v vợi mội têp con A trong X cõ iºm tử l x, tỗn tÔi P ∈ P sao cho P ∩A l vổ hÔn v P ⊂ U.
8) P ữủc gồi l mÔng Pytkeev ch°t cừa X náu vợi mồi lƠn cên U cừa x trong X v vợi mội têp con A cừa X tử tÔi x, tỗn tÔi P ∈ P sao cho P ∩A l vổ hÔn v x ∈ P ⊂ U.
9) P ữủc gồi l cn-mÔng cừa X náu vợi mội lƠn cên U cừa x trong X, têp hủp S
Bờ ã 2.2.2 ([4]) GiÊ sỷ (X, τ) l mởt khổng gian topo Khi õ, mội wcs ∗ -m¤ng (ho°c sp-m¤ng, m¤ng Pytkeev, cn-m¤ng) l m¤ng.
Chứng minh rằng Giê sỹ P l wcs ∗ -mÔng cừa X Khi x thuộc tập X và x thuộc tập U trong τ, ta có dãy xn = x với n thuộc N Dãy xn hội tụ đến x Bởi vậy, P l wcs ∗ -mÔng tồn tại P thuộc P và tồn tại dãy con {xn k} thuộc {xn}.
Bði vẳ xn k = x vợi mồi k ∈ N nản ta suy ra x ∈ P ⊂ U Nhữ vêy, P l m¤ng cõa X.
Tiáp theo, giÊ sỷ P l sp-mÔng cừa X v x ∈ U ∈ τ Ta lĐy A = X, khi õ x ∈ U ∩A Bði vẳ P l sp-mÔng cừa X nản tỗn tÔi P ∈ P sao cho x ∈ P ⊂ U v x ∈ A∩P.
Cuối cũng, náu P l mÔng Pytkeev ho°c cn-mÔng cừa X, thẳ theo ành nghắa 2.2.1, P l mÔng cừa X. ành nghắa 2.2.3 ([5]) Cho (X, τ) l mởt khổng gian topo v A ⊂ X.
Ta nõi A tử tÔi iºm x hay x l iºm tử cừa A náu vợi mồi lƠn cên cừa x chựa vổ hÔn phƯn tỷ cừa A.
Nhên x²t 2.2.4 GiÊ sỷ (X, τ) l T 1 -khổng gian Khi õ, x ∈ X l iºm tử cừa A khi v ch¿ khi x ∈ A\ {x}.
Chứng minh rằng nếu A là một tập hợp và U là một tập hợp con của A, thì tỷ lệ phần trăm của U trong A lớn hơn tỷ lệ phần trăm của U trong tập hợp A mở rộng {x} Do đó, U chứa tỷ lệ phần trăm lớn hơn trong A so với tỷ lệ phần trăm của U trong tập hợp A mở rộng.
U ∩(A\ {x}) 6= ∅. iãu n y k²o theo rơng x ∈ A\ {x}. iãu kiằn ừ GiÊ sỷ x ∈ A\ {x} v U l lƠn cên mð cừa x Ta chựng minh rơng U chựa vổ hÔn phƯn tỷ cừa A Thêt vêy, giÊ sỷ ngữủc lÔi rơng
U chựa hỳu hÔn phƯn tỷ cừa A, giÊ sỷ rơng
Bði vẳ X l T 1 -khổng gian nản {x 1 , , x n } õng trong X Do õ,
V ∩(A\ {x}) = ∅. iãu n y mƠu thuăn vợi x ∈ A\ {x}. ành lẵ 2.2.5 ([4]) GiÊ sỷ (X, τ) l mởt khổng gian dÂy Khi õ, mội wcs ∗ -m¤ng trong X l m¤ng Pytkeev.
Chựng minh GiÊ sỷ P l wcs ∗ -mÔng cừa X, A ⊂ X, x ∈ X l iºm tử cừa A v U l lƠn cên mð cừa x trong X Khi õ,
• Ta ch¿ cƯn chựng minh rơng tỗn tÔi P ∈ P sao cho P ⊂ U v P ∩A l têp vổ hÔn.
Thêt vêy, vẳ x l iºm tử cừa A nản theo Nhên x²t 2.2.4 ta suy ra rơng x ∈ A\ {x} BƠy giớ, náu ta °t
D = (A\ {x})∪(X \U) (2.1) thẳ ró r ng rơng x /∈ D Bði vẳ U ∈ τ nản X \U õng trong X Do õ,
D = A\ {x} ∪X \U = A\ {x} ∪(X \U) (2.2)Nhữ vêy, x ∈ D \D k²o theo D khổng õng trong X Bði vẳ X l khổng gian dÂy nản tỗn tÔi dÂy {x n } ⊂ D sao cho x n → z /∈ D M°t khĂc, ta cõ
◦ Bði vẳ z ∈ D \D nản theo (2.1) v (2.2) ta suy ra z /∈ X \U Do õ,
X \U chựa nhiãu nhĐt l hỳu hÔn phƯn tỷ cừa {x n } Nhữ vêy, nhớ (2.1) ta cõ thº giÊ thiát rơng {x n } ⊂ A v x n 6= x m vợi mồi m 6= n.
◦ Bði vẳ X\U ⊂ D v z /∈ D nản z /∈ X\U, k²o theo z ∈ U Hỡn nỳa, vẳ P l wcs ∗ -mÔng cừa X nản tỗn tÔi P ∈ P v {x n k } cừa {x n } sao cho
{x n k : k ∈ N} ⊂ P ⊂ U. iãu n y chựng tọ rơngP∩Avổ hÔn v P ⊂ U Do õ, P l mÔng Pytkeev cõa X.
Bờ ã 2.2.6 ([5]) GiÊ sỷ X l khổng gian Fr²chet-Urysohn Khi õ, mội cs ∗ -mÔng trong X l mởt sp-mÔng.
Chựng minh GiÊ sỷ P l cs ∗ -mÔng cừa X, x ∈ U ∩ A vợi U mð trong
X v A ⊂ X Bði vẳ X l khổng gian Fr²chet-Urysohn nản tỗn tÔi dÂy {x n } ⊂ A sao cho x n →x trong X M°t khĂc, vẳ P l cs ∗ -mÔng v x ∈ U nản tỗn tÔi P ∈ P v dÂy con {x n k } ⊂ {x n } sao cho
Do õ, ta suy ra rơng {x n k } ⊂ P ∩A, k²o theo x ∈ P ∩A Nhữ vêy, P l mởt sp-mÔng cừa X. ành lẵ 2.2.7 ([4]) ối vợi khổng gian topo (X, τ), cĂc kh¯ng ành sau l óng.
1) Cì sð ⇒ m¤ng Pytkeev ch°t ⇒ cs ∗ -m¤ng ⇒ wcs ∗ -m¤ng.
2) Cì sð ⇒ k-m¤ng ⇒ wcs ∗ -m¤ng.
3) M¤ng Pytkeev ch°t ⇒ m¤ng Pytkeev ⇒ wcs ∗ -m¤ng.
Chựng minh GiÊ sỷ P l hồ n o õ gỗm cĂc têp con cừa X Ta cõ
(1) GiÊ sỷ P l cỡ sð cừa X, x ∈ X v A l têp con cừa X tử tÔi x. Khi õ, bði vẳ U l lƠn cên cừa x v P l cỡ sð cừa X nản tỗn tÔi P ∈ P sao cho x ∈ P ⊂ U M°t khĂc, vẳ x ∈ A\ {x} v P mð nản
Bây giờ, ta cần chứng minh rằng P ∩ A là tập hợp vô hạn Thật vậy, giả sử ngược lại rằng P ∩ A = F là tập hợp hữu hạn Nếu F là tập hợp hữu hạn, thì theo F \ {x} là tập hợp hữu hạn, do đó P \ (F \ {x}) là lớn hơn cỡ của x Hơn nữa, nếu x ∈ A \ {x} thì điều này không đúng.
Nhữ vêy, tỗn tÔi y ∈ (P ∩A)\(F ∪ {x}), k²o theo y ∈ P ∩A = F iãu n y mƠu thuăn vợi y /∈ F.
GiÊ sỷ P l mÔng Pytkeev ch°t, x ∈ U ∈ τ v {x n } l dÂy hởi tử án x trong X Ta °t
Khi õ, x l iºm tử cừa A Bði vẳ U l lƠn cên cừa x v P l mÔng Pytkeev ch°t nản tỗn tÔi P ∈ P sao cho P ∩ A vổ hÔn v x ∈ P ⊂ U.
M°t khĂc, vẳ P ∩ {x n } l vổ hÔn nản tỗn tÔi dÂy con {x n k : k ∈ N} cừa {x n } sao cho {x n k : k ∈ N} ⊂ P Nhữ vêy,
Cuối cũng, nhớ ành nghắa 2.2.1 ta suy ra cs ∗ -mÔng l wcs ∗ -mÔng.
Chúng tôi chứng minh rằng P là k-mảng của X Để làm điều này, giả sử K là một tập compact trong X Khi đó, với mỗi điểm x thuộc U, tồn tại một tập Vx thuộc P sao cho x nằm trong Vx và Vx hoàn toàn nằm trong U.
Ró r ng hồ {V x : x ∈ K} l phừ mð cừa K compact, do õ tỗn tÔi têp con F húu h¤n trong K sao cho K ⊂ S x∈F V x Ta °t
F = {Vx : x ∈ F}, khi õ F l hồ con hỳu hÔn cừa P thọa mÂn
BƠy giớ, giÊ sỷ P l k-mÔng cừa X, {x n } l dÂy hởi tử án x ∈ X v
U l lƠn cên mð cừa x trong X Khi õ, tỗn tÔi m ∈ N sao cho
Khi õ,K compact trongX v U l lƠn cên mð cừa K Bði vẳ P l k-mÔng nản tỗn tÔi hồ con hỳu hÔn F ⊂ P sao cho
Hỡn nỳa, vẳ K l têp vổ hÔn v F l têp hỳu hÔn nản tỗn tÔi dÂy con
{x n k : k ∈ N} ⊂ {x n : n ≥ m} v P ∈ F sao cho {x n k : k ∈ N} ⊂ P Nhữ vêy, tỗn tÔi dÂy con
Nhữ vêy, P l wcs ∗ -mÔng cừa X.
(3) Ró r ng rơng mÔng Pytkeev ch°t l mÔng pytkeev Do õ, ta ch¿ cƯn chựng minh rơng mÔng Pytkeev l wcs ∗ -mÔng.
Thêt vêy, giÊ sỷ P l mÔng Pytkeev, {x n } l dÂy hởi tử án x trong X v U l lƠn cên cừa x Ta °t
Khi xét một tập hợp A và một tập con U, tồn tại một tập P thuộc P sao cho P ∩ A là hợp không rỗng và P nằm trong U Hơn nữa, P ∩ A cũng là hợp không rỗng và tồn tại một dãy con {x_n_k : k ∈ N} của {x_n} sao cho {x_n_k : k ∈ N} nằm trong P.
Do â, P l wcs ∗ -m¤ng cõa X. ành lẵ 2.2.8 ([4]) GiÊ sỷ rơng (X, τ) l T 1 -khổng gian Khi õ, cp-mÔng v m¤ng Pytkeev ch°t l t÷ìng ÷ìng.
Chùng minh (1) Gi£ sû P l m¤ng Pytkeev ch°t Ta chùng minh P l cp-mÔng Thêt vêy, giÊ sỷ x ∈ X, khi õ
Trữớng hủp 1: x l iºm cổ lêp cừa X.
Bði vẳ x l iºm cổ lêp cừa X nản tỗn tÔi lƠn cên mð U cừa x sao cho
U ∩X = {x} M°t khĂc vẳ P l mÔng Pytkeev nản theo Bờ ã 2.2.2, P l mÔng cừa X Do õ, tỗn tÔi P ∈ P sao cho x ∈ P ⊂U Suy ra P = {x}, do â {x} ∈ P.
Trữớng hủp 2: x khổng l iºm cổ lêp cừa X.
GiÊ sỷ A ⊂X sao cho x ∈ A\A, W l lƠn cên mð bĐt ký cừa x trong
X v W ∩ A = F Khi õ, vẳ X l T 1 -khổng gian nản náu F l têp hỳu hÔn cừa X, thẳ F \ {x} l têp con õng trong X Suy ra W \(F \ {x}) l lƠn cên mð cừa x trong X Bði vẳ x ∈ A\A nản h
Suy ra tỗn tÔi z ∈ hW \(F \ {x})i∩A, k²o theo z ∈ W ∩ A= F v z /∈ F \ {x}.
Do õ, x = z ∈ A, mƠu thuăn vợi x ∈ A\A Nhữ vêy, vợi mồi lƠn cên cừa x ãu giao vợi vổ hÔn phƯn tỷ cừa A, do õ x l iºm tử cừa A.
Bði vẳ P l mÔng Pytkeev ch°t nản tỗn tÔi P ∈ P sao cho x ∈ P ⊂ U v P ∩A l vổ hÔn.
(2) GiÊ sỷP l cp-mÔng cừaX Ta chựng minh rơngP l mÔng Pytkeev cõa X.
Thêt vêy, giÊ sỷ x ∈ X, U l lƠn cên mð cừa x v A l tử tÔi x Khi õ, theo Nhên x²t 2.2.4, x ∈ A\A Suy ra vợi mồi lƠn cên W cừa x ta cõ
Như vậy, x là điểm không thuộc tập A trong không gian X Bởi vì P là một tập con mở của X, tồn tại một tập P thuộc P sao cho x thuộc P và P là tập con của U, đồng thời P và A không giao nhau Do đó, P là một tập mở theo định nghĩa của Pyatkeev trong không gian X Theo định nghĩa 2.2.9, (X, τ) là không gian topo, và mọi tập con mở đều là tập con của không gian này.
Chựng minh GiÊ sỷ P l cp-mÔng, x ∈ X v U l lƠn cên cừa x Ta ch¿ cƯn chựng minh rơng
S{P ∈ P : x ∈ P ⊂ U} l lƠn cên cừa x, nghắa l cƯn chựng minh rơng x ∈ int(S{P ∈ P : x ∈ P ⊂ U}). Thêt vêy, giÊ sỷ ngữủc lÔi rơng x /∈ int(S{P ∈ P : x ∈ P ⊂ U}). Khi õ, theo ành lẵ 1.5.5 ta suy ra x /∈ X \X \(S{P ∈ P : x∈ P ⊂ U}), k²o theo x ∈ X \(S{P ∈ P : x ∈ P ⊂U}) ⊂ X \ {x}.
Nhữ vêy, x khổng l iºm cổ lêp cừa X Bði vẳ P l cp-mÔng nản tỗn tÔi
P 0 ∩hX \(S{P ∈ P :x ∈ P ⊂ U})i l têp vổ hÔn trong X M°t khĂc, bði vẳ
P 0 ⊂S{P ∈ P : x ∈ P ⊂U} nản ta suy ra mƠu thuăn Nhữ vêy, P l cn-mÔng cừa X. ành lẵ 2.2.10 ([4]) GiÊ sỷ rơng (X, τ) l mởt k-khổng gian Khi õ, méi k-m¤ng l m¤ng Pytkeev.
Chựng minh GiÊ sỷ P l k-mÔng cừa k-khổng gian X Ta chựng minh P l m¤ng Pytkeev cõa X.
Thêt vêy, giÊ sỷ x ∈ X, A ⊂X sao cho x l iºm tử cừa A Ta cƯn ch¿ ra rơng vợi mồi lƠn cên U x cừax, tỗn tÔi P ∈ P sao cho P ⊂ U x v P∩A l têp con vổ hÔn cừa X.
GiÊ sỷ M x l giao cừa tĐt cÊ cĂc lƠn cên cừa x trong X Khi õ,
• Bði vẳ U x l lƠn cên cừa x trong X nản M x ⊂ U x
GiÊ sỷ U l phừ mð cừa M x Khi õ, vẳ x ∈ M x nản tỗn tÔi W ∈ U sao cho x ∈ W M°t khĂc, vẳ W mð nản W l lƠn cên mð cừa x, k²o theo
M x ⊂ W Nhữ vêy, V = {W} l phừ con hỳu hÔn cừa U, v M x compact.
• Bði vẳ Ux l lƠn cên cừa Mx v P l k-mÔng cừa X nản tỗn tÔi hồ con húu h¤n F ⊂ P sao cho
Bði vẳ M x ∩A vổ hÔn nản (SF)∩A vổ hÔn M°t khĂc, vẳ F l hồ hỳu hÔn nản tỗn tÔi F ∈ F sao cho A∩ F l vổ hÔn Do õ, tỗn tÔi F ∈ P sao cho A∩F vổ hÔn.
A = (Mx∩A)∪(A\Mx) v x l iºm tử cừa A nản mội lƠn cên cừa x chựa vổ hÔn phƯn tỷ cừa
A\M x , do õ x l iºm tử cừa A\M x Thay thá A bði A\M x ta cõ thº giÊ thiát rơng A∩Mx = ∅ Do õ, têp hủp
B = A∪(X \U x ) tử tÔi x, v do õ nõ khổng õng trong X.
Bði vẳ X l k-khổng gian nản tỗn tÔi têp con compact K ⊂ X sao cho
K ∩ B khổng õng trong K Do õ, tỗn tÔi z ∈ K \ B ⊂ U x sao cho z ∈ K ∩B K Bði vẳ K l khổng gian compact v T 3 -khổng gian, K ∩U x l lƠn cên mð cừa z trong K nản tỗn tÔi lƠn cên V z cừa z trong K sao cho z ∈ V z ⊂ V z K ⊂ K ∩U x
Ta °t K z = V z K , khi õ K z l lƠn cên compact cừa z trong khổng gian con K v thọa mÂn Kz ⊂ K ∩Ux.
Bði vẳ z /∈ K z \B l chựa trong bao õng cừaK z \B v K z l Hausdorff nản K z \B l têp vổ hÔn M°t khĂc, vẳ P l k-mÔng, K z compact trong
X v Ux l lƠn cên cừa Kz nản tỗn tÔi hồ con hỳu hÔn F ⊂ P sao cho
Hỡn nỳa, vẳ K z \B l vổ hÔn v F hỳu hÔn nản tỗn F ∈ F sao cho F chựa vổ hÔn phƯn tỷ cừa Kz \B M°t khĂc, vẳ
F \B = F ∩(X \B) =F ∩ ((X \A)∩U x ) =F ∩A l vổ hÔn. ành lẵ 2.2.11 ([5]) ối vợi khổng gian topo (X, τ), ta cõ
Cì sð ⇒ sp-m¤ng ⇒ m¤ng Pytkeev ch°t ⇒ m¤ng Pytkeev, cn-m¤ng ⇒ m¤ng.
Chựng minh (1) GiÊ sỷ P l cỡ sð cừa X Ta chựng minh rơng P l sp-m¤ng cõa X.
Thêt vêy, giÊ sỷ A ⊂ X, U ∈ τ v x ∈ U ∩ A Bði vẳ P l cỡ sð cừa
X v x ∈ U nản tỗn tÔi P ∈ P sao cho x ∈ P ⊂ U BƠy giớ, ta chựng tọ rơng P ∩A ⊂P ∩A.
GiÊ sỷ z ∈ P ∩ A v W l lƠn cên mð bĐt ký cừa x Bði vẳ P mð nản
W ∩ P l lƠn cên mð cừa x M°t khĂc, vẳ x ∈ A nản
Nhữ vêy, x ∈ P ∩A ⊂P ∩A, v P l sp-mÔng cừa X.
Giá sỉ P là một mô hình cừa X, chúng ta chứng minh rằng mô hình Pytkeev là chính xác Theo đó, giá sỉ x là điểm tử của A và U lớn hơn cừa x Khi đó, x thuộc U giao A trừ {x}, và tồn tại một phần tử P trong P sao cho x thuộc P và P là tập con của U, đồng thời x thuộc P giao (A trừ {x}).
BƠy giớ, ta ch¿ cƯn chựng minh rơng P ∩ A l vổ hÔn Thêt vêy, giÊ sỷ ngữủc lÔi rơng P ∩A hỳu hÔn Khi õ, P ∩(A\ {x}) cụng l têp hỳu hÔn, k²o theo P ∩(A\ {x}) l têp hủp õng Do õ,
Tứ 2.3 ta suy ra x ∈ P ∩(A\ {x}), Ơy l mởt mƠu thuăn Nhữ vêy, P l mÔng Pytkeev ch°t cừa X. ành nghắa 2.2.12 ([4]) GiÊ sỷ (X, τ) l mởt khổng gian topo v P l mởt phừ gỗm cĂc têp con n o õ cừa X Khi õ, P ữủc gồi l cs 0 -mÔng cừa X náu vợi mồi dÂy {x n } hởi tử án x ∈ U vợi U ∈ τ, tỗn tÔi P ∈ P v n∈ N sao cho
{x, x n } ⊂ P ⊂ U. ành lẵ 2.2.13 ([5]) Mội cn-mÔng ho°c cs ∗ -mÔng trong khổng gian topo (X, τ) l cs 0 -m¤ng.
Chúng tôi chứng minh rằng P là không gian mạng hoặc không gian con của X Ta chứng minh rõ ràng P là không gian con của X Theo đó, giới hạn {x_n} ⊂ X là dãy hội tụ đến x và U là lân cận của x trong X Khi đó,
(1) Náu P l cn-mÔng cừa x trong X, thẳ têp hủp
S{P ∈ P : x ∈ P ⊂ U} l lƠn cên cừa x Bði vẳ x n →x trong X nản tỗn tÔi m ∈ N sao cho
Do õ, tỗn tÔi n≥ m v P ∈ P sao cho x∈ P ⊂ U v x n ∈ P.
Nhữ vêy, tỗn tÔi n∈ N v P ∈ P sao cho
Bði thá, P l cs 0 -mÔng cừa X.
(2) GiÊ sỷ P l cs ∗ -mÔng cừa X Khi õ, tỗn tÔi m ∈ N,P ∈ P sao cho
Suy ra tỗn tÔi n ∈ N v P ∈ P sao cho
{x, x n } ⊂ P ⊂ U, do â P l cs 0 -m¤ng cõa X. ành lẵ 2.2.14 ([5]) Mội wcs ∗ -mÔng trong khổng gian dÂy (X, τ)l mÔng Pytkeev.
Chựng minh GiÊ sỷ P l wcs ∗ -mÔng cừa X, x l iºm tử cừa A ⊂ X v
U l lƠn cên mð cừa x trong X Ta °t
Bði vẳ x l iºm tử cừa A nản theo Nhên x²t 2.2.4, x ∈ A\ {x}, k²o theo x ∈ B M°t khĂc, vẳ x ∈ U nản x /∈ X \ U, do õ x /∈ B Nhữ vêy, x ∈ B \B, v B khổng l têp õng Bði vẳ X l khổng gian dÂy nản tỗn tÔi dÂy {x n } ⊂ B hởi tử án z /∈ B Ta cõ thº giÊ thiát rơng cĂc phƯn tỷ cừa {x n } l phƠn biằt Náu X \U chựa vổ hÔn phƯn tỷ cừa dÂy {x n }, thẳ z ∈ X \U Bði vẳ U mð nản X \U õng Suy ra z ∈ X \U = X \U ⊂ B iãu n y mƠu thuăn vợi z /∈ B Nhữ vêy, X \U ch¿ chựa hỳu hÔn phƯn tỷ cừa dÂy {x n } Do õ, ta cõ thº giÊ thiát rơng {x n } ⊂ A Bði vẳ X\U ⊂ B nản z ∈ U M°t khĂc, vẳ P l wcs ∗ -mÔng cừa X nản tỗn tÔi P ∈ P v d¢y con {x n k } cõa {x n } sao cho.
Nhữ vêy, P ∩A l vổ hÔn, do õ P l mÔng Pytkeev cừa X.
Sau khi mở thời gian tắm hiểu về nghiên cứu và các tính chất mông, cũng như mối quan hệ giữa chúng trong không gian topo, luôn vôn được những kết quả nổi bật.
Trình bày một cách rõ ràng hệ thống và chứng minh chi tiết một số kết quả của topo ôi cường nhôm phục vụ cho việc chứng minh các kết quả chính của luận văn vốn có.
• Trẳnh b y khĂi niằm, tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa mởt số khổng gian metric suy rởng v chựng minh chi tiát mởt số mối quan hằ giỳa chúng.
• Trẳnh b y khĂi niằm v tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa mởt số mÔng trong khổng gian topo v chựng minh chi tiát mởt số mối quan hằ giỳa chúng.
[1] A V Arhangel'skii (1963), Some types of factor mappings and the re- lations between classes of topological spaces, Dokl Akad Nauk SSSR.
[2] T Banakh (2015), B 0 -spaces, Topology and its Applications 195, 151173.
[3] R Engelking (1989), General Topology, Heldermann Verlag, Berlin.
[4] X Liu, S Lin (2018), On spaces defined by Pytkeev networks, Filomat
[5] X Liu, C Liu, S Lin (2019), Strict Pytkeev networks with sensors and their applications in topological groups, Topology and its Applications
[6] S Lin, X Liu (2020), Notes on pseudo-open mappings and sequentially quotient mappings, Topology and its Applications 272, 107090.
[7] S Lin, Z Yun (2016), Generalized Metric Spaces and Mappings At- lantis Press.
BIÊN BẢN HỌP HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ
1 Tên đề tài: Mối quan hệ giữa một số tính chất mạng trong không gian topo
2 Ngành: Toán giải tích Lớp K39.TGT
3 Theo Quyết định thành lập Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ số 2044/QĐ-ĐHSP ngày 28 tháng 10 năm 2021
4 Ngày họp Hội đồng: ngày 28 tháng 11 năm 2021
5 Danh sách các thành viên Hội đồng:
STT HỌ VÀ TÊN CƯƠNG VỊ TRONG HỘI ĐỒNG
1 TS Lê Hải Trung Chủ tịch
2 TS Lê Văn Dũng Thư ký
3 TS Phan Đức Tuấn Phản biện 1
4 PGS.TS Nguyễn Văn Đức Phản biện 2
5 PGS.TS Nguyễn Thành Chung Ủy viên a Thành viên có mặt: 5 b Thành viên vắng mặt: 0
6 Thư ký Hội đồng báo cáo quá trình học tập, nghiên cứu của học viên cao học và đọc lý lịch khoa học (có văn bản kèm theo)
7 Học viên cao học trình bày luận văn
8 Các phản biện đọc nhận xét và nêu câu hỏi (có văn bản kèm theo)
9 Học viên cao học trả lời các câu hỏi của thành viên Hội đồng
10 Hội đồng họp riêng để đánh giá
11 Trưởng ban kiểm phiếu công bố kết quả
12 Kết luận của Hội đồng a) Kết luận chung:
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
Đề nghị hiệu trưởng Trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng công nhận kết quả chấm luận văn của Hội đồng và cấp bằng thạc sĩ cho học viên Đồng thời, cần yêu cầu chỉnh sửa về nội dung của luận văn.
Bỏ phụ lục trong mục lục, Thống nhất các ký hiệu trong luận văn, bổ sung trích dẫn tài liệu tham khảo ở Chương 1, sửa lại các lỗi chính tả
Sửa luận văn theo góp ý của các thành viên trong Hội đồng, đặc biệt là nhận xét góp ý của
2 phản biện c) Các ý kiến khác: không d) Điểm đánh giá: Bằng số: 8,5 Bằng chữ: Tám lăm
13 Tác giả luận văn phát biểu ý kiến
14 Chủ tịch Hội đồng tuyên bố bế mạc
BẢN NHẬN XÉT LUẬN VĂN THẠC SĨ
(Dùng cho phản biện) Đề tài: Mối quan hệ giữa một số tính chất mạng trong không gian topo
Chuyên ngành: Toán giải tích Mã ngành: 8.46.01.02
Họ và tên học viên: Lê Thị Minh Linh
Người nhận xét: Nguyễn Văn Đức Đơn vị công tác: Trường Đại học Vinh
I Tính cấp thiết của đề tài
Lý thuyết không gian metric suy rộng có vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực toán học như nhóm topo, lý thuyết không gian hàm và lý thuyết chiều Bên cạnh đó, lý thuyết này cũng thường được áp dụng trong các nghiên cứu khoa học máy tính.