Mối quan hệ giữa một số tính chất mạng trong không gian topo

„I HÅC € NŽNG TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M  Lê Thị Minh Linh MÈI QUAN H› GIÚA MËT SÈ TNH CH‡T M„NG TRONG KHỈNG GIAN TOPO LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC   N®ng - 2021 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! 16990033603501000000 „I HÅC € NŽNG TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M  Lê Thị Minh Linh MÈI QUAN H› GIÚA MËT SÈ TNH CH‡T M„NG TRONG KHặNG GIAN TOPO Chuyản ngnh: ToĂn GiÊi tẵch M số: 8.46.01.02 LUN VN THC S TON HC Ngữới hữợng dăn khoa hồc: TS Lữỡng Quốc Tuyn  Nđng - 2021 MÖC LÖC MÐ †U CHìèNG KHặNG GIAN TOPO 1.1 Khỉng gian topo, tªp hđp mð 1.2 LƠn cên 1.3 Tªp hđp âng 1.4 Bao âng cõa tªp hđp 10 1.5 Ph¦n cõa tªp hđp 15 1.6 Mët sè ti¶n · t¡ch 19 1.7 Khæng gian con, khæng gian compact 19 1.8 nh xÔ liản tửc 24 CHìèNG Mối quan hằ giỳa mởt số tẵnh chĐt mÔng khổng gian topo 28 2.1 Mët sè khæng gian metric suy rëng 28 2.2 Mèi quan hằ giỳa mởt số tẵnh chĐt mÔng khổng gian topo 37 K˜T LUŠN V€ KI˜N NGHÀ 51 T€I LI›U THAM KHƒO 52 Mé U Lỵ chồn à ti Lỵ thuy¸t v· khỉng gian metric suy rëng chõ y¸u · cêp án nhỳng lợp khổng gian cõ cĐu trúc no â cõa khỉng gian kh£ metric ho°c nhúng lỵp khỉng gian x¡c ành b¬ng c¡ch suy rëng h m metric Nâ cõ ựng dửng nhiÃu nhõm topo, lỵ thuyát khổng gian hm, lỵ thuyát chiÃu v nhiÃu lắnh vỹc khĂc cừa toĂn hồc Lỵ thuyát ny cụng thữớng xuĐt hiằn lỵ thuyát khoa hồc và mĂy tẵnh v nõ liản quan cht ch vợi lỵ thuyát khÊ metric cụng nhữ sỹ phƠn loÔi lăn giỳa khổng gian v Ănh xÔ [7] Mởt nhỳng hữợng suy rởng ữủc quan tƠm nhiÃu l mÔng MÔng l suy rởng cừa cỡ s v ữủc A V Arhangel'skii giợi thiằu vo nôm 1959, õ nõ linh hoÔt hỡn v khổng ỏi họi nhiÃu thổng tin àp nhữ cỡ s KhĂi niằm mÔng  ữủc E Michael thu hàp thnh k -mÔng vo nôm 1966 Sau ny, bơng cĂch suy rởng v thu hàp nhữ vêy, rĐt nhiÃu trữớng hủp riảng cừa mÔng cụng nhữ nhiÃu lợp khổng gian metric suy rởng quan trồng ữủc ữa nghiản cựu v dăn tợi sỹ hẳnh thnh, phĂt trin cừa Lỵ thuyát k -mÔng (xem [7]) Trong nhỳng nôm gƯn Ơy, nhiÃu nh nghiản cựu topo c biằt quan tƠm án mối liản hằ giỳa cĂc tẵnh chĐt mÔng trản khổng gian metric suy rởng v sỹ bĐt bián cừa cĂc tẵnh chĐt mÔng qua cĂc Ănh xÔ cõ tẵnh chĐt phừ (xem [6, 7]) N«m 2019, X Liu v  c¡c cëng sü  nghiản cựu mÔng Pytkeev, mÔng Pytkeev cht v cn-mÔng v  thu ữủc nhiÃu kát quÊ và mối quan hằ giỳa mÔng Pytkeev, mÔng Pytkeev cht, v wcs -mÔng cn-mÔng vợi k -mÔng, cs -mÔng trản cĂc lợp khổng gian metric suy rëng Hìn th¸ núa, c¡c t¡c gi£  t nhiÃu bi toĂn m liản quan (xem [5]) Vợi mong muốn tẳm hiu và cĂc tẵnh chĐt mÔng v mối quan hằ giỳa chúng khổng gian topo, dữợi sỹ hữợng dăn cừa thƯy giĂo TS Lữỡng Quốc Tuyn, chúng tổi quyát nh chồn à ti Mối quan hằ giỳa mởt số tẵnh chĐt mÔng khổng gian topo lm à ti luên vôn thÔc s cho mẳnh Mửc ẵch nghiản cựu Trong luên vôn ny, chúng tổi nghiản cựu nhơm nhỳng mửc ẵch nhữ sau: Hằ thống lÔi mởt số kián thực và topo Ôi cữỡng, nghiản cựu khĂi niằm v tẵnh chĐt mởt số tẵnh chĐt mÔng cụng nhữ nghiản cựu mối liản hằ giỳa cĂc tẵnh chĐt mÔng topo Ôi cữỡng ối tữủng nghiản cựu CĂc tẵnh chĐt mÔng, mối liản hằ giỳa cĂc tẵnh chĐt mÔng khổng gian topo, khổng gian metric suy rởng PhÔm vi nghiản cựu cs -mÔng, wcs -mÔng, k -mÔng, mÔng Pytcs-mÔng, ck -mÔng v mối quan hằ giỳa chúng Nghiản cựu cĂc tẵnh chĐt cừa keev, mÔng Pytkeev cht, ã Tham khÊo ti liằu, nhớ õ hằ thống lÔi mởt số kián thực và topo Ôi cữỡng liản quan án kát quÊ nghiản cựu; ã Thu thêp cĂc bi bĂo khoa hồc cừa cĂc tĂc giÊ i trữợc liản quan án cĂc tẵnh chĐt mÔng khổng gian topo; ã Th hiằn tữớng minh cĂc kát quÊ nghiản cựu à ti; ã PhƠn tẵch, Ănh giĂ, tờng hủp v trao ời vợi thƯy hữợng dăn kát quÊ ang nghiản cựu  hon chnh luên vôn cừa mẳnh CĐu trúc luên vôn Ngoi phƯn M Ưu, phƯn Kát luên v  danh möc T i li»u tham kh£o, nëi dung cõa luên vôn ữủc chúng tổi chia thnh hai chữỡng ã Chữỡng 1: Kián thực và khổng gian topo Chữỡng ny d nh cho vi»c tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m v  tẵnh chĐt quan trồng cừa khổng gian topo nhơm phửc vử cho viằc chựng minh Chữỡng ã Chữỡng 2: Mối quan hằ giỳa mởt số tẵnh chĐt mÔng khổng gian topo Trong chữỡng ny, Ưu tiản chúng tổi trẳnh by khĂi niằm v tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa mët sè khæng gian metric suy rëng; chùng minh chi tiát mởt số mối liản hằ giỳa chúng Sau õ, chúng tổi nghiản cựu mởt số tẵnh chĐt mÔng khỉng gian topo v  chùng minh chi ti¸t mët sè mối liản hằ giỳa cĂc tẵnh chĐt mÔng õ cừa cĂc tĂc giÊ i trữợc KHặNG GIAN TOPO CHìèNG Chữỡng ny dnh cho viằc trẳnh by mởt số kián thực và topo Ôi cữỡng CĂc khĂi niằm v cĂc tẵnh chĐt ữủc chúng tổi trẳnh by v chựng minh chi tiát nhơm hiu thĐu Ăo hỡn cĂc kián thực và topo, cụng nhữ nhơm phửc vử cho viằc chựng minh cĂc kát quÊ chẵnh cừa chữỡng sau Trong ton bở luên vôn chúng tổi dũng kỵ hiằu N = {1, 2, }, ω = N ∪ {0} 1.1 Khỉng gian topo, tªp hđp mð ành ngh¾a 1.1.1 X ([3]) Cho X l  mët têp hủp v thọa mÂn iÃu kiằn sau 1) ∅, X ∈ τ 2) 3) N¸u N¸u S {Uα }α∈Λ ⊂ τ , th¼ U, V ∈ τ, U ∩ V ∈ τ th¼ Uα ∈ τ Khi õ, topo trản X ã Cp (X, ) ữủc gồi l mởt khổng gian topo ã Mởt phƯn tỷ cừa ữủc gồi l mởt têp hủp m ã Mội phƯn tỷ cừa X ữủc gồi l im cừa nõ ã ữủc gồi l mởt l mởt têp cừa Vẵ dử 1.1.2 Khi â, τ 1) (X, d) l  mët khæng gian metric n o τ = U ⊂ X : U mð (X, d) Gi£ sû 2) V mð trong (X, d) 3) X Cho têp hủp topo trản Cho X Ta nõi rơng l topo ữủc sinh bði d (X, τ ) v  ch¿ V ∈ τ , v  ch¿ V l  mởt topo trản Nhữ vêy, m Ta t X = {∅, X}, τ2 = P(X) Khi â, τ1 v  τ2 nâi r¬ng τ1 l  topo thỉ v  τ2 l  topo rới rÔc v Ta X = {a, b, c} l  c¡c v  n o τ1 = ∅, X, {a}, {a, b}, {c} , n o τ2 = ∅, X, {a}, {a, b}, {a, c} , n o τ3 = {a, b}, {b, c} Khi â, τ1 v  Nhªn x²t 1.1.3 1) ∅, X τ3 khæng l  topo, ([3]) τ2 l  topo èi vỵi khỉng gian topo l  c¡c tªp hđp mð ta câ X 2) Hđp cĂc têp m 3) Giao hỳu hÔn cĂc têp m 4) Giao tũy ỵ cĂc têp m X (X, τ ), l  tªp mð X X X l  c¡c tªp mð X câ thº khỉng mð X Chùng minh Tø ành ngh¾a topo ta suy (1), (2), (3) l  rã r ng B¥y gií, ta chựng minh (4) Thêt vƠy, giÊ sỷ R l têp số thỹc vợi topo thổng thữớng Ta t  1 An = − , n n Khi â,  vỵi måi n ∈ N 46 x ∈ X , A ⊂ X cho x l  iºm tử cừa A Ta cƯn ch rơng vợi mồi lƠn cên Ux cừa x, tỗn tÔi P P cho P ⊂ Ux v  P ∩ A l  têp vổ hÔn cừa X Thêt vêy, giÊ sỷ GiÊ sỷ ã Mx Bi vẳ ã Mx Ux l giao cừa tĐt cÊ cĂc lƠn cên cừa l lƠn cên cừa x l têp compact trong X n¶n x X Khi â, Mx ⊂ Ux X U l  phõ mð cõa Mx Khi â, vẳ x Mx nản tỗn tÔi W U cho x ∈ W M°t kh¡c, v¼ W m nản W l lƠn cên m cừa x, ko theo Mx W Nhữ vêy, V = {W } l phừ hỳu hÔn cừa U , v Mx compact GiÊ sỷ ã Ux l lƠn cên cừa Mx hÔn F P cho Bi vẳ hỳu Mx v S P l k -mÔng cừa X nản tỗn tÔi hồ F Ux Trữớng hủp 1: Mx A l vổ hÔn S Mx A vổ hÔn nản ( F) A vổ hÔn Mt khĂc, vẳ F l hồ hỳu hÔn nản tỗn tÔi F F cho A F l vổ hÔn Do õ, tỗn tÔi F P cho A F vổ hÔn Bi vẳ Trữớng hủp 2: Mx A l hỳu hÔn Bi vẳ Mx A hỳu hÔn, A = (Mx A) ∪ (A \ Mx ) x l  iºm tö cõa A nản mội lƠn cên cừa x chựa vổ hÔn ph¦n tû cõa A \ Mx , â x l  iºm tư cõa A \ Mx Thay th¸ A bði A \ Mx ta câ thº gi£ thi¸t rơng A Mx = Do õ, têp hủp v  B = A ∪ (X \ Ux ) tö tÔi x, v õ nõ khổng õng X 47 K ⊂ X cho K ∩ B khổng õng K Do õ, tỗn tÔi z ∈ K \ B ⊂ Ux cho K z ∈ K ∩ B Bði v¼ K l  khỉng gian compact v  T3 -khæng gian, K ∩ Ux l  lƠn cên m cừa z K nản tỗn tÔi lƠn cên Vz cừa z K cho X Bi vẳ l k -khổng gian nản tỗn tÔi têp compact z ∈ V z ⊂ Vz Ta °t K K K z = Vz , K Kz l  l¥n Kz ⊂ K ∩ Ux â v thọa mÂn K Ux cên compact cõa z khæng gian z∈ / Kz \B l  chùa bao âng cõa Kz \B v  Kz l  Hausdorff nản Kz \ B l têp vổ hÔn Mt khĂc, vẳ P l k -mÔng, Kz compact X v Ux l lƠn cên cừa Kz nản tỗn tÔi hồ hỳu hÔn F P cho Bi v¼ Kz \ B ⊂ Kz ⊂ Hìn núa, v¼ Kz \ B l vổ hÔn v chựa vổ hÔn ph¦n tû cõa Kz \ B F S F Ux hỳu hÔn nản tỗn F F cho F M°t kh¡c, v¼ F \ B = F ∩ (X \ B) = F ∩ ((X \ A) Ux ) = F A l vổ hÔn èi vỵi khỉng gian topo (X, τ ), ta câ Cỡ s sp-mÔng mÔng Pytkeev cht mÔng Pytkeev, cn-mÔng mÔng nh lẵ 2.2.11 Chựng minh (1) sp-mÔng cừa ([5]) GiÊ sỷ P l cỡ s cõa Ta chùng minh r¬ng P l  X A ⊂ X, U ∈ τ X v  x ∈ U n¶n tỗn tÔi P P rơng P A ⊂ P ∩ A Thªt vªy, gi£ sû Gi£ sû X z ∈P ∩A v  W x ∈ U ∩ A Bði v¼ P l  cì sð cõa cho x ∈ P ⊂ U B¥y gií, ta chùng tä v l lƠn cên m bĐt ký cừa x Bi vẳ P m nản 48 W P x l lƠn cên m cừa Mt khĂc, vẳ xA nản W P ∩ A 6= ∅ Suy z ∈ P A, Nhữ vêy, õ P A P ∩ A x ∈ P ∩ A ⊂ P A, P l sp-mÔng cừa X sp-mÔng cừa X Ta chựng minh rơng P l mÔng Pytkeev cht Thªt vªy, gi£ sû x l  iºm tư cõa A v U l lƠn cên cừa x Khi õ, vẳ x ∈ U ∩ A \ {x} v  P l  sp-mÔng nản tỗn tÔi P P cho (2) Gi£ sû P v  l  x ∈ P ⊂ U, x ∈ P ∩ (A \ {x}) (2.3) P ∩ A l vổ hÔn Thêt vêy, giÊ sỷ ngữủc lÔi rơng P A hỳu hÔn Khi õ, P (A \ {x}) cụng l têp hỳu hÔn, ko theo P ∩ (A \ {x}) l  tªp hđp âng Do õ, BƠy giớ, ta ch cƯn chựng minh rơng P ∩ (A \ {x}) = P ∩ (A \ {x}) Tø 2.3 ta suy x ∈ P ∩ (A \ {x}), Ơy l mởt mƠu thuăn Nhữ vêy, nh nghắa 2.2.12 P l mÔng Pytkeev cht cừa X (X, τ ) l  mët khæng gian topo v  P l mởt phừ gỗm cĂc têp no õ cõa X Khi â, P ÷đc gåi l  cs -mÔng cừa X náu vợi mồi dÂy {xn } hởi tử án x U vợi U , tỗn tÔi P P v n N cho {x, xn } ⊂ P ⊂ U ành l½ 2.2.13 (X, ) ([4]) ([5]) l cs0-mÔng GiÊ sỷ Mội cn-mÔng hoc cs-mÔng khổng gian topo Chựng minh GiÊ sỷ P l cn-mÔng hoc cs-mÔng cừa X Ta chùng minh r¬ng x v  P U l  cs0 -mÔng cừa l lƠn cên cừa (1) Náu P l x X Thêt vêy, giÊ sỷ cn-mÔng cừa X x {xn } ⊂ X Khi â, X, thẳ têp hủp l dÂy hởi tử án 49 S l lƠn cên cừa x {P P : x ∈ P ⊂ U } xn → x Bði v¼ {x} ∪ {xn : n ≥ m} ⊂ Do õ, tỗn tÔi nm v P P S nN v nản tỗn tÔi mN cho {P P : x ∈ P ⊂ U } cho x∈P ⊂U Nhữ vêy, tỗn tÔi X P P v xn P cho {x, xn } ⊂ P ⊂ U Bi thá, P l (2) GiÊ sỷ cs0 -mÔng P l cừa X cs -mÔng cừa X Khi õ, tỗn tÔi m N, P P cho {x} ∪ {xn : n ≥ m} ⊂ P ⊂ U Suy tỗn tÔi nN v P P cho {x, xn } ⊂ P ⊂ U, â P l cs0 -mÔng nh lẵ 2.2.14 ([5]) Pytkeev cừa X Mội wcs-mÔng khổng gian dÂy (X, ) l mÔng Chựng minh GiÊ sỷ P l wcs-mÔng cừa X , x l  iºm tö cõa A ⊂ X v U l lƠn cên m cừa x X Ta °t B = (A \ {x}) ∪ (X \ U ) x l  iºm tư cõa A n¶n theo Nhªn x²t 2.2.4, x ∈ A \ {x}, k²o theo x ∈ B M°t kh¡c, v¼ x ∈ U n¶n x ∈ / X \ U , â x / B Nhữ vêy, x B \ B , v  B khỉng l  tªp âng Bði vẳ X l khổng gian dÂy nản tỗn tÔi dÂy {xn } ⊂ B hëi tư ¸n z ∈ / B Ta cõ th giÊ thiát rơng cĂc phƯn tỷ Bi vẳ 50 {xn } l phƠn biằt Náu X \ U chựa vổ hÔn phƯn z X \ U Bi vẳ U m nản X \ U âng Suy cõa tû cõa d¢y {xn }, th¼ z ∈ X \ U = X \ U B z / B Nhữ vêy, X \ U ch chựa hỳu hÔn phƯn tỷ cừa dÂy {xn } Do õ, ta cõ th giÊ thiát rơng {xn } ⊂ A Bði v¼ X \ U ⊂ B nản z U Mt khĂc, vẳ P l wcs -mÔng cừa X nản tỗn tÔi P P v  d¢y {xnk } cõa {xn } cho iÃu ny mƠu thuăn vợi {xnk : k N} P U Nhữ vêy, P A l vổ hÔn, õ P l mÔng Pytkeev cừa X 51 K˜T LUŠN Sau mët thíi gian t¼m hiºu v nghiản cựu và cĂc tẵnh chĐt mÔng v mối quan hằ giỳa chúng trản khổng gian topo, luên vôn  Ôt ữủc nhỳng kát quÊ nhữ sau ã Trẳnh by lÔi mởt cĂch cõ hằ thống v chựng minh chi tiát mởt số kát quÊ cừa topo Ôi cữỡng nhơm phửc vử cho viằc chựng minh cĂc kát quÊ chẵnh cừa luên vôn ã Trẳnh by khĂi niằm, tẵnh ch§t cì b£n cõa mët sè khỉng gian metric suy rëng v  chùng minh chi ti¸t mët sè mèi quan hằ giỳa chúng ã Trẳnh by khĂi niằm v tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa mởt số mÔng khổng gian topo v  chùng minh chi ti¸t mët sè mèi quan h» giúa chóng 52 T€I LI›U THAM KHƒO Some types of factor mappings and the relations between classes of topological spaces, Dokl Akad Nauk SSSR [1] A V Arhangel'skii (1963), 153, 743746 [2] T Banakh (2015), B0 -spaces, Topology and its Applications 195, 151173 Heldermann Verlag, Berlin [4] X Liu, S Lin (2018), On spaces defined by Pytkeev networks, Filomat [3] R Engelking (1989), General Topology, 32, 6115-6129 Strict Pytkeev networks with sensors and their applications in topological groups, Topology and its Applications [5] X Liu, C Liu, S Lin (2019), 258, 5878 [6] S Lin, X Liu (2020), Notes on pseudo-open mappings and sequentially quotient mappings, Topology and its Applications 272, 107090 [7] S Lin, Z Yun (2016), Generalized Metric Spaces and Mappings lantis Press At- ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM CỘNG HOÀ Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc BIÊN BẢN HỌP HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ Tên đề tài: Mối quan hệ số tính chất mạng khơng gian topo Ngành: Tốn giải tích Lớp K39.TGT Theo Quyết định thành lập Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ số 2044/QĐ-ĐHSP ngày 28 tháng 10 năm 2021 Ngày họp Hội đồng: ngày 28 tháng 11 năm 2021 Danh sách thành viên Hội đồng: HỌ VÀ TÊN STT CƯƠNG VỊ TRONG HỘI ĐỒNG TS Lê Hải Trung Chủ tịch TS Lê Văn Dũng Thư ký TS Phan Đức Tuấn Phản biện PGS.TS Nguyễn Văn Đức Phản biện PGS.TS Nguyễn Thành Chung a Thành viên có mặt: Ủy viên b Thành viên vắng mặt: Thư ký Hội đồng báo cáo trình học tập, nghiên cứu học viên cao học đọc lý lịch khoa học (có văn kèm theo) Học viên cao học trình bày luận văn Các phản biện đọc nhận xét nêu câu hỏi (có văn kèm theo) Học viên cao học trả lời câu hỏi thành viên Hội đồng 10 Hội đồng họp riêng để đánh giá 11 Trưởng ban kiểm phiếu công bố kết 12 Kết luận Hội đồng a) Kết luận chung: Luận văn đạt yêu cầu Đề nghị hiệu trưởng Trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng công nhận kết chấm luận văn Hội đồng cấp thạc sĩ cho học viên b) Yêu cầu chỉnh, sửa nội dung: Bỏ phụ lục mục lục, Thống ký hiệu luận văn, bổ sung trích dẫn tài liệu tham khảo Chương 1, sửa lại lỗi tả Sửa luận văn theo góp ý thành viên Hội đồng, đặc biệt nhận xét góp ý phản biện c) Các ý kiến khác: không d) Điểm đánh giá: Bằng số: 8,5 Bằng chữ: Tám lăm 13 Tác giả luận văn phát biểu ý kiến 14 Chủ tịch Hội đồng tuyên bố bế mạc THƯ KÝ HỘI ĐỒNG Lê Văn Dũng CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG Lê Hải Trung CỘNG HÒA Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc =====&&&===== BẢN NHẬN XÉT LUẬN VĂN THẠC SĨ (Dùng cho phản biện) Đề tài: Mối quan hệ số tính chất mạng khơng gian topo Chun ngành: Tốn giải tích Mã ngành: 8.46.01.02 Họ tên học viên: Lê Thị Minh Linh Người nhận xét: Nguyễn Văn Đức Đơn vị công tác: Trường Đại học Vinh NỘI DUNG NHẬN XÉT Tính cấp thiết đề tài Lý thuyết không gian metric suy rộng có ứng dụng nhóm topo, lý thuyết không gian hàm, lý thuyết chiều nhiều lĩnh vực khác toán học Lý thuyết thường xuyên xuất lý thuyết khoa học máy tính Một hướng suy rộng sở mạng nhiều nhà toán học quan tâm năm gần đây, đặc biệt mối liên hệ tính chất mạng khơng gian metric suy rộng bất biến tính chất mạng qua ánh xạ có tính chất phủ Vì vậy, đề tài “Mối quan hệ số tính chất mạng không gian topo” mà học viên Lê Thị Minh Linh nghiên cứu có tính thời sự, cấp thiết, nhiều nhà toán học quan tâm II Cơ sở khoa học thực tiễn Hầu hết kết luận văn chứng minh chặt chẽ; ví dụ luận văn cho thấy nội dung trình bày luận văn ứng dụng vào tình khác thực tiễn Vì thế, luận văn đảm bảo tính khoa học thực tiễn III Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu phù hợp, dựa tài liệu thu thập được, cách tương tự hóa, khái qt hóa, phân tích, đánh giá, tổng hợp, tác giả viết thành luận văn có bố cục hợp lý có tính logic cao IV Kết nghiên cứu Luận văn có độ dài 52 trang, bao gồm phần mở đầu, nội dung, kết luận tài liệu tham khảo Phần nội dung, luận văn chia làm hai chương: Chương 1: Tác giả trình bày số kiến thức khơng gian topo, tập hợp mở, lân cận, tập hợp đóng, bao đóng tập hợp, phần tập hợp, số tiên đề tách, không gian con, không gian compact, ánh xạ liên tục I Chương 2: Tác giả trình bày khái niệm tính chất số không gian metric suy rộng, chứng minh chi tiết mối liên hệ chúng Tiếp theo, tác giả trình bày số tính chất mạng khơng gian topo chứng minh chi tiết mối liên hệ tính chất Luận văn trình bày rõ ràng, chứng minh chặt chẽ, có giá trị khoa học thực tiễn Tuy nhiên, luận văn có số lỗi trình bày Tác giả nên chỉnh sửa lại để luận văn hồn thiện Cụ thể, tơi có số góp ý sau: Trong phần mục lục có ghi phần phụ lục trang 54 Luận văn khơng có trang 54 khơng có phần phụ lục Dòng đoạn mục Lý chọn đề tài cần sửa chữ “nhiêu” thành chữ “nhiều” Nên thống ký hiệu ý Định nghĩa, Ví dụ, Nhận xét, Định lí chứng minh Các kiến thức trình bày Chương khơng trích dẫn tài liệu tham khảo Tác giả nên trích dẫn tài liệu tham khảo đầy đủ Trong luận văn, tác giả viết Định lí Định lý, tác giả nên thống cách viết V Hình thức luận văn Hình thức luận văn quy định Tuy nhiên cần chỉnh sửa số lỗi mà nêu VI Đánh giá chung Đồng ý cho học viên bảo vệ trước Hội đồng Câu hỏi dành cho học viên: Mục 2.1 Chương có tựa đề: “một số không gian metric suy rộng” Vậy tác giả cho ví dụ khơng gian metric suy rộng, có điểm khác với khơng gian metric? Tác giả cho biết mối quan hệ mạng, cs*-mạng, wcs*-mạng k-mạng? Tác giả cho biết mối quan hệ cp-mạng cn-mạng? Nghệ An, ngày 19 tháng 11 năm 2021 Người nhận xét PGS.TS Nguyễn Văn Đức CỘNG HÒA Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc - - BẢN NHẬN XÉT LUẬN VĂN THẠC SĨ (dùng cho thành viên hội đồng phản biện) Tên đề tài luận văn: Mối quan hệ số tính chất mạng khơng gian topo Chun ngành: Tốn giải tích Mã ngành: 8.46.01.02 Họ tên học viên: Lê Thị Minh Linh Người nhận xét: TS Phan Đức Tuấn Đơn vị công tác: Trường Đại học Sư phạm – ĐH ĐN NỘI DUNG NHẬN XÉT Bằng cách giảm nhẹ điều kiện sở A V Arhangel’skii đưa khái niệm mạng vào năm 1959 Nó E Michael thu hẹp thành k – mạng vào năm 1966 Sau đó, đươc nhiều nhà tốn học tiếp tục phát triển lý thuyết k - mạng thu thành tựu định Gần X Lin thu nhiều kết lĩnh vực Với mong muốn nghiên cứu lý thuyết k – mạng tác giả chọn đề tài: Mối quan hệ số tính chất mạng khơng gian topo I Tính cấp thiết đề tài: Từ suy rộng sở thành mạng không gian topo Khi khơng gian topo có sở mạng xác định Một vấn đề cấp thiết đặt phải tìm mối quan hệ sở mạng mạng với Bên cạnh loại khơng gian topo khác sở, mạng có tính chất thể mà mối liên hệ sở mạng mạng với có thay đổi Điều dẫn đến việc nghiên cứu mối quan hệ loại không gian để làm sở cho việc nghiên cứu mối quan hệ mạng cần thiết II Cơ sở khoa học thực tiễn: Trên sở kết nhà toán học tiến như: R Engelking, X Liu, S Lin, cơng bố tạp chí khoa học chun ngành kết có topo đại cương tác giả tổng hợp chứng minh chi tiết kết qua đưa luận văn Điều cho thấy kết thu luận văn đảm bảo tính khoa học thực tiễn III Phương pháp nghiện cứu: Phương pháp nghiên cứu sử dụng luận văn phù hợp Đầu tiên, tác giả nghiên cứu mối quan hệ loại không gian topo Kế đến, tác giả nghiên cứu mối quan hệ mạng không gian topo thông thường Sau đó, nghiên cứu mối quan hệ mạng khơng gian topo cụ thể Nhờ đó, mà kết phần trước sở để suy kết phần sau mối quan hệ dần mô tả rõ ràng IV Kết nghiên cứu: Tác giả giới thiệu số loại không gian topo mối quan hệ như: k- không gian, không gian dãy, không gian Fréhet – Urysohn, không gian Fréhet – Urysohn mạnh Đồng thời tác giả nghiên cứu suy rộng mạng quan hệ mạng loại không gian topo cụ thể như: mạng, k – mạng, cs* - mạng, wcs* - mạng, sp – mạng, cn – mạng, mạng Pytkeev mạng Pytkeev chặt V Hình thức luận văn: Luận văn có bố cục tương đối hợp lý Bản tóm tắc phản ánh trung thực nội dung luận văn Hình thức đẹp, quy định, lỗi chế Theo tơi phần giới thiệu sở không gian topo chương (Định nghĩa 2.1.1, Định lý 2.1.3, Định lý 2.1.4, … ) nên đưa vào chương Thống viết hoa mục lục, sửa lại tên để tài phần mở đầu VI Đánh giá chung: Các vấn đề đưa luận văn hướng nghiên cứu mở rộng tất yếu toán học, phù hợp với chuyên ngành Tốn giải tích Các vấn đề đưa theo trình tự logic khoa học chứng minh chi tiết kết đưa luận văn Tuy nhiên, mối quan hệ suy chiều chưa thấy tác giả bình luận chiều ngược lại như: Chiều ngược lại khơng có, trường hợp có chiều ngược lại,… Nếu tác giả nên đưa số phản ví dụ để thấy điều ngược lại khơng có Luận văn đáp ứng đầy đủ yêu cầu luận văn thạc sĩ tốn học chun ngành Tốn giải tích Kết luận: Tôi đồng ý để tác giả bảo vệ luận văn thạc sĩ trước hội đồng chấm luận văn thạc sĩ Đà Nẵng, ngày tháng 11 năm 2021 Người nhận xét TS Phan Đức Tuấn