Mối quan hệ giữa một số tính chất mạng trong không gian topo

✣❸■ ❍➴❈ ✣⑨ ◆➂◆● ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✕ Lê Thị Minh Linh ▼➮■ ◗❯❆◆ ❍➏ ●■Ú❆ ▼❐❚ ❙➮ ❚➑◆❍ ❈❍❻❚ ▼❸◆● ❚❘❖◆● ❑❍➷◆● ●■❆◆ ❚❖P❖ ▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈ ✣➔ ◆➤♥❣ ✲ ✷✵✷✶ ✣❸■ ❍➴❈ ✣⑨ ◆➂◆● ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✕ Lê Thị Minh Linh ▼➮■ ◗❯❆◆ ❍➏ ●■Ú❆ ▼❐❚ ❙➮ ❚➑◆❍ ❈❍❻❚ ▼❸◆● ❚❘❖◆● ❑❍➷◆● ●■❆◆ ❚❖P❖ ❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ❚♦→♥ ●✐↔✐ t➼❝❤ ▼➣ số ữớ ữợ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝✿ ❚❙✳ ▲÷ì♥❣ ◗✉è❝ ❚✉②➸♥ ✣➔ ◆➤♥❣ ✲ ✷✵✷✶ ▼Ö❈ ▲Ö❈ ▼Ð ✣❺❯ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶ ❈❍×❒◆● ✶✳ ❑❍➷◆● ●■❆◆ ❚❖P❖ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹ ✶✳✶✳ ❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ t♦♣♦✱ t➟♣ ❤đ♣ ♠ð ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹ ✶✳✷✳ ▲➙♥ ❝➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻ ✶✳✸✳ ❚➟♣ ❤ñ♣ ✤â♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼ ✶✳✹✳ ❇❛♦ ✤â♥❣ ❝õ❛ t➟♣ ❤ñ♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵ ✶✳✺✳ P❤➛♥ tr♦♥❣ ❝õ❛ t➟♣ ❤ñ♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺ ✶✳✻✳ ▼ët sè t✐➯♥ ✤➲ t→❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾ ✶✳✼✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♠♣❛❝t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾ ✶✳✽✳ ⑩♥❤ ①↕ ❧✐➯♥ tö❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹ ❈❍×❒◆● ✷✳ ▼è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ♠↕♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t♦♣♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✽ ✷✳✶✳ ▼ët sè ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠❡tr✐❝ s✉② rë♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✽ ✷✳✷✳ ▼è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ♠↕♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t♦♣♦ ✸✼ ❑➌❚ ▲❯❾◆ ❱⑨ ❑■➌◆ ◆●❍➚ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✶ ❚⑨■ ▲■➏❯ ❚❍❆▼ ❑❍❷❖ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✷ é ỵ t ỵ t❤✉②➳t ✈➲ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠❡tr✐❝ s✉② rë♥❣ ❝❤õ ②➳✉ ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ ♥❤ú♥❣ ❧ỵ♣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❝â ❝➜✉ tró❝ ♥➔♦ ✤â ❝õ❛ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❦❤↔ ♠❡tr✐❝ ❤♦➦❝ ♥❤ú♥❣ ❧ỵ♣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ①→❝ ✤à♥❤ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ s✉② rë♥❣ ❤➔♠ ♠❡tr✐❝✳ ◆â õ ự tr õ t ỵ tt ổ ỵ tt ỹ t ỵ tt ụ tữớ t tr ỵ tt t õ q t ợ ỵ tt tr ụ ♥❤÷ sü ♣❤➙♥ ❧♦↕✐ ❧➝♥ ♥❤❛✉ ❣✐ú❛ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈➔ ởt tr ỳ ữợ s rở ữủ q✉❛♥ t➙♠ ♥❤✐➲✉ ❧➔ ♠↕♥❣✳ ▼↕♥❣ ❧➔ s✉② rë♥❣ ❝õ❛ ỡ s ữủ rs ợ t ♥➠♠ ✶✾✺✾✱ ❞♦ ✤â ♥â ❧✐♥❤ ❤♦↕t ❤ì♥ ✈➔ ❦❤ỉ♥❣ ✤á✐ ❤ä✐ ♥❤✐➲✉ t❤ỉ♥❣ t✐♥ ✏✤➭♣✑ ♥❤÷ ❝ì sð✳ ❑❤→✐ ♥✐➺♠ ♠↕♥❣ ✤➣ ✤÷đ❝ ❊✳ ▼✐❝❤❛❡❧ t❤✉ ❤➭♣ t❤➔♥❤ k ✲♠↕♥❣ ✈➔♦ ♥➠♠ ✶✾✻✻✳ ❙❛✉ ♥➔②✱ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ s✉② rë♥❣ ✈➔ t❤✉ ❤➭♣ ♥❤÷ ✈➟②✱ r➜t ♥❤✐➲✉ tr÷í♥❣ ❤đ♣ r✐➯♥❣ ụ ữ ợ ổ tr s rë♥❣ q✉❛♥ trå♥❣ ✤÷đ❝ ✤÷❛ r❛ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ❞➝♥ tợ sỹ t t tr ỵ tt k ✲♠↕♥❣ ✭①❡♠ ❬✼❪✮✳ ❚r♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ♥➠♠ ❣➛♥ ✤➙②✱ ♥❤✐➲✉ ♥❤➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t♦♣♦ ✤➦❝ ❜✐➺t q✉❛♥ t➙♠ ✤➳♥ ♠è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ♠↕♥❣ tr➯♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠❡tr✐❝ s✉② rë♥❣ ✈➔ sü ❜➜t ❜✐➳♥ ❝õ❛ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ♠↕♥❣ q✉❛ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t ♣❤õ ✭①❡♠ ❬✻✱ ✼❪✮✳ ◆➠♠ ✷✵✶✾✱ ❳✳ ▲✐✉ ✈➔ ❝→❝ ❝ë♥❣ sü ✤➣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠↕♥❣ P②t❦❡❡✈✱ ♠↕♥❣ P②t❦❡❡✈ ❝❤➦t ✈➔ cn✲♠↕♥❣ ✈➔ ✤➣ t❤✉ ✤÷đ❝ ♥❤✐➲✉ ❦➳t q✉↔ ✈➲ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ♠↕♥❣ P②t❦❡❡✈✱ ♠↕♥❣ P②t❦❡❡✈ ❝❤➦t✱ ✈➔ wcs∗ ✲♠↕♥❣ cn✲♠↕♥❣ ✈ỵ✐ k ✲♠↕♥❣✱ cs∗ ✲♠↕♥❣ tr➯♥ ❝→❝ ❧ỵ♣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ♠❡tr✐❝ s✉② rë♥❣✳ ❍ì♥ t❤➳ ♥ú❛✱ ❝→❝ t→❝ ❣✐↔ ✤➣ ✤➦t r❛ ♥❤✐➲✉ ❜➔✐ t♦→♥ ♠ð ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✭①❡♠ ❬✺❪✮✳ ✷ ❱ỵ✐ ♠♦♥❣ ♠✉è♥ t➻♠ ❤✐➸✉ ✈➲ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ♠↕♥❣ ✈➔ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❝❤ó♥❣ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ t ữợ sỹ ữợ t ▲÷ì♥❣ ◗✉è❝ ❚✉②➸♥✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ q✉②➳t ✤à♥❤ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐ ✏▼è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ♠↕♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t♦♣♦✑ ❧➔♠ ✤➲ t➔✐ ❧✉➟♥ ✈➠♥ t❤↕❝ sÿ ❝❤♦ ♠➻♥❤✳ ✷✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❚r♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥❤➡♠ ♥❤ú♥❣ ♠ư❝ ✤➼❝❤ ♥❤÷ s❛✉✿ ❍➺ t❤è♥❣ ❧↕✐ ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ t♦♣♦ ✤↕✐ ❝÷ì♥❣✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ♠↕♥❣ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ♠↕♥❣ tr♦♥❣ t♦♣♦ ✤↕✐ ❝÷ì♥❣✳ ✸✳ ✣è✐ t÷đ♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❈→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ♠↕♥❣✱ ♠è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ♠↕♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t♦♣♦✱ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠❡tr✐❝ s✉② rë♥❣✳ ✹✳ P❤↕♠ ✈✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ cs∗ ✲♠↕♥❣✱ wcs∗ ✲♠↕♥❣✱ k ✲♠↕♥❣✱ ♠↕♥❣ P②t✲ cs✲♠↕♥❣✱ ck ✲♠↕♥❣ ✈➔ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❝❤ó♥❣✳ ◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❦❡❡✈✱ ♠↕♥❣ P②t❦❡❡✈ ❝❤➦t✱ • ❚❤❛♠ ❦❤↔♦ t➔✐ ❧✐➺✉✱ ♥❤í ✤â ❤➺ t❤è♥❣ ❧↕✐ ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ t♦♣♦ ✤↕✐ ❝÷ì♥❣ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉❀ • ❚❤✉ t❤➟♣ ❝→❝ ❜➔✐ ❜→♦ ❦❤♦❛ t trữợ q ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ♠↕♥❣ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ t♦♣♦❀ • ❚❤➸ ❤✐➺♥ t÷í♥❣ ♠✐♥❤ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ tr♦♥❣ ✤➲ t➔✐❀ • P❤➙♥ t➼❝❤✱ ✤→♥❤ ❣✐→✱ tê♥❣ ❤đ♣ ✈➔ tr❛♦ ợ t ữợ t q ự ✤➸ ❤♦➔♥ ❝❤➾♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❝õ❛ ♠➻♥❤✳ ✻✳ ❈➜✉ tró❝ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✸ ◆❣♦➔✐ ♣❤➛♥ ▼ð ✤➛✉✱ ♣❤➛♥ ❑➳t ❧✉➟♥ ✈➔ ❞❛♥❤ ♠ö❝ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✱ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ữủ ú tổ t ữỡ ã ❈❤÷ì♥❣ ✶✿ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ t♦♣♦✳ ❈❤÷ì♥❣ ♥➔② ❞➔♥❤ ❝❤♦ ✈✐➺❝ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ t♦♣♦ ♥❤➡♠ ♣❤ư❝ ự ữỡ ã ữỡ ▼è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ♠↕♥❣ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ t♦♣♦✳ ❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ✤➛✉ t✐➯♥ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ tr➻♥❤ ❜➔② ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ♠ët sè ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠❡tr✐❝ s✉② rë♥❣❀ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝❤✐ t✐➳t ♠ët sè ♠è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❝❤ó♥❣✳ ❙❛✉ ✤â✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ♠↕♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t♦♣♦ ✈➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝❤✐ t✐➳t ♠ët sè ♠è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ♠↕♥❣ ✤â ❝õ❛ t trữợ P ì ữỡ tr ởt số ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ t♦♣♦ ✤↕✐ ❝÷ì♥❣✳ ❈→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ✤÷đ❝ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ tr➻♥❤ ❜➔② ✈➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝❤✐ t✐➳t ♥❤➡♠ ❤✐➸✉ t❤➜✉ ✤→♦ ❤ì♥ ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ t♦♣♦✱ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ♥❤➡♠ ♣❤ư❝ ✈ư ❝❤♦ ✈✐➺❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ s❛✉✳ ❚r♦♥❣ t ú tổ ũ ỵ N = {1, 2, }✱ ω = N ∪ {0}✳ ✶✳✶✳ ❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ t♦♣♦✱ t➟♣ ❤đ♣ ♠ð ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶ X ✳ ✭❬✸❪✮ ❈❤♦ X ❧➔ ♠ët t➟♣ ❤ñ♣ ✈➔ τ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉✳ ✶✮ ∅✱ X ∈ τ ✳ ✷✮ ✸✮ ◆➳✉ ◆➳✉ {Uα }α∈Λ ⊂ τ ✱ t❤➻ U✱ V ∈ τ✱ U ∩ V ∈ τ✳ t❤➻ Uα ∈ τ ✳ α∈Λ ❑❤✐ ✤â✱ t♦♣♦ tr➯♥ X ✳ • ❈➦♣ (X, τ ) ữủ ởt ổ t ã ởt tû ❝õ❛ τ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët t➟♣ ❤đ♣ ♠ð✳ • ▼é✐ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ X ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤✐➸♠ õ ã ữủ ởt ởt t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ ✺ ❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✷✳ ✶✮ ●✐↔ sû (X, d) ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠❡tr✐❝✳ ❚❛ ✤➦t τ = U ⊂X:U ❑❤✐ ✤â✱ τ ✷✮ V ♠ð tr♦♥❣ tr♦♥❣ (X, d)✳ ✸✮ X ❈❤♦ t➟♣ ❤ñ♣ t♦♣♦ tr➯♥ ❈❤♦ (X, d) X ✳ ❚❛ ♥â✐ r➡♥❣ τ ❧➔ t♦♣♦ ✤÷đ❝ s✐♥❤ ❜ð✐ d✳ (X, τ ) ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ V ∈ τ ✱ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ V ❧➔ ♠ët t♦♣♦ tr➯♥ ◆❤÷ ✈➟②✱ ♠ð ♠ð tr♦♥❣ X✳ τ1 = {∅, X}✱ τ2 = P(X)✳ ❑❤✐ ✤â✱ τ1 ✈➔ τ2 ♥â✐ r➡♥❣ τ1 ❧➔ t♦♣♦ t❤æ ✈➔ τ2 ❧➔ t♦♣♦ rí✐ r↕❝✳ ✈➔ ❚❛ X = {a, b, c} ❧➔ ❝→❝ ✈➔ τ1 = ∅, X, {a}, {a, b}, {c} , τ2 = ∅, X, {a}, {a, b}, {a, c} , τ3 = {a, b}, {b, c} ❑❤✐ ✤â✱ τ1 ✈➔ ◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✶✳✸ ✶✮ ∅✱ X τ3 ❦❤æ♥❣ ❧➔ t♦♣♦✱ ✳ ✭❬✸❪✮ τ2 ❧➔ t♦♣♦✳ ✣è✐ ✈ỵ✐ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ t♦♣♦ ❧➔ ❝→❝ t➟♣ ❤đ♣ ♠ð tr♦♥❣ t❛ ❝â X✳ ✷✮ ❍ñ♣ ❝→❝ t➟♣ ♠ð tr♦♥❣ ✸✮ ●✐❛♦ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝→❝ t➟♣ ♠ð tr♦♥❣ ✹✮ tũ ỵ t tr X (X, )✱ ❧➔ t➟♣ ♠ð tr♦♥❣ X X X✳ ❧➔ ❝→❝ t➟♣ ♠ð tr♦♥❣ X✳ ❝â t❤➸ ❦❤æ♥❣ ♠ð tr♦♥❣ X✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚ø ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ t♦♣♦ t❛ s✉② r❛ ✭✶✮✱ ✭✷✮✱ ✭✸✮ ❧➔ rã r➔♥❣✳ ❇➙② ❣✐í✱ t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✭✹✮✳ ❚❤➟t ✈➙②✱ ❣✐↔ sû R ❧➔ t➟♣ sè t❤ü❝ ợ t tổ tữớ t 1 An = − , n n ❑❤✐ ✤â✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ n ∈ N✳ ✹✻ x ∈ X ✱ A ⊂ X s❛♦ ❝❤♦ x ❧➔ ✤✐➸♠ tö ❝õ❛ A✳ ❚❛ ❝➛♥ ❝❤➾ r r ợ Ux x tỗ t↕✐ P ∈ P s❛♦ ❝❤♦ P ⊂ Ux ✈➔ P ∩ A ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ✈æ ❤↕♥ ❝õ❛ X ✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ❣✐↔ sû ●✐↔ sû • Mx ❇ð✐ ✈➻ • Mx Ux ❧➔ ❣✐❛♦ ❝õ❛ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ ❧➔ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ x ❧➔ t➟♣ ❝♦♠♣❛❝t tr♦♥❣ tr♦♥❣ X ♥➯♥ x tr♦♥❣ X✳ ❑❤✐ ✤â✱ Mx ⊂ Ux ✳ X✳ U ❧➔ ♣❤õ ♠ð ❝õ❛ Mx õ x Mx tỗ t↕✐ W ∈ U s❛♦ ❝❤♦ x ∈ W ✳ ▼➦t ❦❤→❝✱ ✈➻ W ♠ð ♥➯♥ W ❧➔ ❧➙♥ ❝➟♥ ♠ð ❝õ❛ x✱ ❦➨♦ t❤❡♦ Mx ⊂ W ✳ ◆❤÷ ✈➟②✱ V = {W } ❧➔ ♣❤õ ❝♦♥ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝õ❛ U ✱ ✈➔ Mx ❝♦♠♣❛❝t✳ ●✐↔ sû • Ux ❧➔ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ Mx ❤↕♥ F ⊂ P s❛♦ ❝❤♦ ❇ð✐ ✈➻ ❝♦♥ ❤ú✉ ✈➔ Mx ⊂ P ❧➔ k X tỗ t F Ux ✳ ❚r÷í♥❣ ❤đ♣ ✶✿ Mx ∩ A ❧➔ ✈ỉ ❤↕♥✳ Mx ∩ A ✈æ ❤↕♥ ♥➯♥ ( F) ∩ A ✈æ ❤↕♥✳ ▼➦t ❦❤→❝✱ ✈➻ F ❧➔ ❤å ❤ú✉ tỗ t F F s A F ổ õ tỗ t F ∈ P s❛♦ ❝❤♦ A ∩ F ✈æ ❤↕♥✳ ❇ð✐ ✈➻ ❚r÷í♥❣ ❤đ♣ ✷✿ Mx ∩ A ❧➔ ❤ú✉ ❤↕♥✳ ❇ð✐ ✈➻ Mx ∩ A ❤ú✉ ❤↕♥✱ A = (Mx ∩ A) ∪ (A \ Mx ) x ❧➔ ✤✐➸♠ tö ❝õ❛ A ♥➯♥ ♠é✐ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ x ❝❤ù❛ ✈æ ❤↕♥ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ A \ Mx ✱ ❞♦ ✤â x ❧➔ ✤✐➸♠ tö ❝õ❛ A \ Mx ✳ ❚❤❛② t❤➳ A ❜ð✐ A \ Mx t❛ ❝â t❤➸ ❣✐↔ t❤✐➳t r➡♥❣ A ∩ Mx = ∅✳ ❉♦ ✤â✱ t➟♣ ❤ñ♣ ✈➔ B = A ∪ (X \ Ux ) tư t↕✐ x✱ ✈➔ ❞♦ ✤â ♥â ❦❤ỉ♥❣ ✤â♥❣ tr♦♥❣ X✳ ✹✼ K ⊂ X s❛♦ ❝❤♦ K ∩ B ổ õ tr K õ tỗ t z ∈ K \ B ⊂ Ux s❛♦ ❝❤♦ K z ∈ K ∩ B ✳ ❇ð✐ ✈➻ K ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♠♣❛❝t ✈➔ T3 ✲❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥✱ K ∩ Ux z tr K tỗ t↕✐ ❧➙♥ ❝➟♥ Vz ❝õ❛ z tr♦♥❣ K s❛♦ ❝❤♦ X k ổ tỗ t t➟♣ ❝♦♥ ❝♦♠♣❛❝t z ∈ V z ⊂ Vz ❚❛ ✤➦t ❝♦♥ K K K z = Vz , K Kz ❧➔ ❧➙♥ Kz ⊂ K ∩ Ux ✳ ❦❤✐ ✤â ✈➔ t❤ä❛ ♠➣♥ ⊂ K ∩ Ux ❝➟♥ ❝♦♠♣❛❝t ❝õ❛ z tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ z∈ / Kz \B ❧➔ ❝❤ù❛ tr♦♥❣ ❜❛♦ ✤â♥❣ ❝õ❛ Kz \B ✈➔ Kz ❧➔ ❍❛✉s❞♦r❢❢ ♥➯♥ Kz \ B ❧➔ t➟♣ ✈æ ❤↕♥✳ ▼➦t ❦❤→❝✱ ✈➻ P ❧➔ k ✲♠↕♥❣✱ Kz ❝♦♠♣❛❝t tr♦♥❣ X Ux Kz tỗ t↕✐ ❤å ❝♦♥ ❤ú✉ ❤↕♥ F ⊂ P s❛♦ ❝❤♦ ❇ð✐ ✈➻ Kz \ B ⊂ Kz ⊂ ❍ì♥ ♥ú❛✱ ✈➻ Kz \ B ❧➔ ✈æ ❤↕♥ ✈➔ ❝❤ù❛ ✈æ ❤↕♥ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ Kz \ B ✳ F F Ux ỳ tỗ F F s ❝❤♦ F ▼➦t ❦❤→❝✱ ✈➻ F \ B = F ∩ (X \ B) = F ∩ ((X \ A) ∩ Ux ) = F ∩ A ❧➔ ✈æ ❤↕♥✳ ✣è✐ ✈ỵ✐ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ t♦♣♦ (X, τ )✱ t❛ ❝â ❈ì sð ⇒ sp✲♠↕♥❣ ⇒ ♠↕♥❣ P②t❦❡❡✈ ❝❤➦t ⇒ ♠↕♥❣ P②t❦❡❡✈✱ cn✲♠↕♥❣ ⇒ ♠↕♥❣✳ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✷✳✶✶ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✭✶✮ sp✲♠↕♥❣ ❝õ❛ ✳ ✭❬✺❪✮ ●✐↔ sû P ❧➔ ❝ì sð ❝õ❛ ❚❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ P ❧➔ X✳ A ⊂ X✱ U ∈ τ X ✈➔ x ∈ U ♥➯♥ tỗ t P P s r P A ⊂ P ∩ A✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ❣✐↔ sû ●✐↔ sû X✳ z ∈P ∩A ✈➔ W x ∈ U ∩ A✳ ❇ð✐ ✈➻ P ❧➔ ❝ì sð ❝õ❛ ❝❤♦ x ∈ P ⊂ U ✳ ❇➙② ❣✐í✱ t❛ ❝❤ù♥❣ tä ✈➔ ❧➔ ❧➙♥ ❝➟♥ ♠ð ❜➜t ❦ý ❝õ❛ x✳ ❇ð✐ ✈➻ P ♠ð ♥➯♥ ✹✽ W ∩P x✳ ❧➔ ❧➙♥ ❝➟♥ ♠ð ❝õ❛ ▼➦t ❦❤→❝✱ ✈➻ x∈A ♥➯♥ W ∩ P ∩ A = ∅ ❙✉② r❛ z ∈ P ∩ A✱ ◆❤÷ ✈➟②✱ ❞♦ ✤â P ∩ A ⊂ P ∩ A✳ x ∈ P ∩ A ⊂ P ∩ A✱ P ❧➔ sp✲♠↕♥❣ ❝õ❛ X✳ sp✲♠↕♥❣ ❝õ❛ X ✳ ❚❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ P ❧➔ ♠↕♥❣ P②t❦❡❡✈ ❝❤➦t✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ❣✐↔ sû x ❧➔ ✤✐➸♠ tö ❝õ❛ A ✈➔ U ❧➔ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ x✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✈➻ x ∈ U ∩ A \ {x} ✈➔ P ❧➔ sp tỗ t P P s ●✐↔ sû P ✈➔ ❧➔ x ∈ P ⊂ U, x ∈ P ∩ (A \ {x}) ✭✷✳✸✮ P ∩ A ❧➔ ✈ỉ ❤↕♥✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ❣✐↔ sû ♥❣÷đ❝ ❧↕✐ r➡♥❣ P ∩ A ❤ú✉ ❤↕♥✳ ❑❤✐ ✤â✱ P ∩ (A \ {x}) ❝ô♥❣ ❧➔ t➟♣ ❤ú✉ ❤↕♥✱ ❦➨♦ t❤❡♦ P ∩ (A \ {x}) ❧➔ t➟♣ ❤ñ♣ ✤â♥❣✳ ❉♦ ✤â✱ ❇➙② ❣✐í✱ t❛ ❝❤➾ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ P ∩ (A \ {x}) = P ∩ (A \ {x}) ❚ø ✷✳✸ t❛ s✉② r❛ x ∈ P ∩ (A \ {x}), ✤➙② ❧➔ ♠ët ♠➙✉ t❤✉➝♥✳ ◆❤÷ ✈➟②✱ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✷✳✶✷ ✳ P ❧➔ ♠↕♥❣ P②t❦❡❡✈ ❝❤➦t ❝õ❛ X✳ (X, τ ) ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t♦♣♦ ✈➔ P ởt ỗ t õ X ✳ ❑❤✐ ✤â✱ P ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ cs ✲♠↕♥❣ ❝õ❛ X ♥➳✉ ✈ỵ✐ ♠å✐ ❞➣② {xn } ❤ë✐ tư x U ợ U tỗ t↕✐ P ∈ P ✈➔ n ∈ N s❛♦ ❝❤♦ {x, xn } ⊂ P ⊂ U ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✷✳✶✸ (X, τ ) ✭❬✹❪✮ ✳ ✭❬✺❪✮ ❧➔ cs ✲♠↕♥❣✳ ●✐↔ sû ▼é✐ cn✲♠↕♥❣ ❤♦➦❝ cs∗✲♠↕♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t♦♣♦ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû P ❧➔ cn✲♠↕♥❣ ❤♦➦❝ cs∗✲♠↕♥❣ ❝õ❛ X ✳ ❚❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ x ✈➔ P U ❧➔ cs ✲♠↕♥❣ ❝õ❛ ❧➔ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ ✭✶✮ ◆➳✉ P ❧➔ x X✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ❣✐↔ sû tr♦♥❣ cn✲♠↕♥❣ ❝õ❛ X✳ x {xn } ⊂ X ❑❤✐ ✤â✱ tr♦♥❣ X✱ t❤➻ t➟♣ ❤đ♣ ❧➔ ❞➣② ❤ë✐ tư ✤➳♥ ✹✾ {P ∈ P : x ∈ P ⊂ U } ❧➔ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ x✳ xn → x ❇ð✐ ✈➻ tr♦♥❣ {x} ∪ {xn : n ≥ m} ⊂ ❉♦ ✤â✱ tỗ t nm P P nN tỗ t↕✐ m∈N s❛♦ ❝❤♦ {P ∈ P : x ∈ P ⊂ U }✳ s❛♦ ❝❤♦ x∈P ⊂U ◆❤÷ ✈➟②✱ tỗ t X P P xn P s ❝❤♦ {x, xn } ⊂ P ⊂ U ❇ð✐ t❤➳✱ P ❧➔ ✭✷✮ ●✐↔ sû cs ✲♠↕♥❣ P ❧➔ ❝õ❛ X cs X õ tỗ t m ∈ N✱ P ∈ P s❛♦ ❝❤♦ {x} ∪ {xn : n ≥ m} ⊂ P ⊂ U ❙✉② r tỗ t nN P P s {x, xn } ⊂ P ⊂ U, ❞♦ ✤â P ❧➔ cs ✲♠↕♥❣ ✣à♥❤ ❧➼ ✷✳✷✳✶✹ ✭❬✺❪✮✳ P②t❦❡❡✈✳ ❝õ❛ X✳ ▼é✐ wcs∗✲♠↕♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❞➣② (X, τ ) ❧➔ ♠↕♥❣ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû P ❧➔ wcs∗✲♠↕♥❣ ❝õ❛ X ✱ x ❧➔ ✤✐➸♠ tö ❝õ❛ A ⊂ X ✈➔ U ❧➔ ❧➙♥ ❝➟♥ ♠ð ❝õ❛ x tr♦♥❣ X✳ ❚❛ ✤➦t B = (A \ {x}) ∪ (X \ U ) x ❧➔ ✤✐➸♠ tö ❝õ❛ A ♥➯♥ t❤❡♦ ◆❤➟♥ ①➨t ✷✳✷✳✹✱ x ∈ A \ {x}✱ ❦➨♦ t❤❡♦ x ∈ B ✳ ▼➦t ❦❤→❝✱ ✈➻ x ∈ U ♥➯♥ x ∈ / X \ U ✱ ❞♦ ✤â x ∈ / B ✳ ◆❤÷ ✈➟②✱ x ∈ B \ B ✱ ✈➔ B ❦❤æ♥❣ ❧➔ t➟♣ ✤â♥❣✳ ❇ð✐ ✈➻ X ổ tỗ t {xn } ⊂ B ❤ë✐ tö ✤➳♥ z ∈ / B ✳ ❚❛ ❝â t❤➸ ❣✐↔ t❤✐➳t r➡♥❣ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❇ð✐ ✈➻ ✺✵ {xn } ❧➔ ♣❤➙♥ ❜✐➺t✳ ◆➳✉ X \ U ❝❤ù❛ ✈æ ❤↕♥ ♣❤➛♥ z ∈ X \ U ✳ ❇ð✐ ✈➻ U ♠ð ♥➯♥ X \ U ✤â♥❣✳ ❙✉② r❛ ❝õ❛ tû ❝õ❛ ❞➣② {xn }✱ t❤➻ z ∈ X \ U = X \ U ⊂ B z∈ / B ✳ ◆❤÷ ✈➟②✱ X \ U ❝❤➾ ❝❤ù❛ ❤ú✉ ❤↕♥ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ ❞➣② {xn }✳ ❉♦ ✤â✱ t❛ ❝â t❤➸ ❣✐↔ t❤✐➳t r➡♥❣ {xn } ⊂ A✳ ❇ð✐ ✈➻ X \ U ⊂ B ∗ ♥➯♥ z ∈ U ✳ ▼➦t ❦❤→❝✱ ✈➻ P ❧➔ wcs X tỗ t P P ❞➣② ❝♦♥ {xnk } ❝õ❛ {xn } s❛♦ ❝❤♦ ✣✐➲✉ ♥➔② ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈ỵ✐ {xnk : k ∈ N} ⊂ P ⊂ U ◆❤÷ ✈➟②✱ P ∩A ❧➔ ✈ỉ ❤↕♥✱ ❞♦ ✤â P ❧➔ ♠↕♥❣ P②t❦❡❡✈ ❝õ❛ X✳ ✺✶ ❑➌❚ ▲❯❾◆ ❙❛✉ ♠ët t❤í✐ ❣✐❛♥ t➻♠ ❤✐➸✉ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➲ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ♠↕♥❣ ✈➔ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❝❤ó♥❣ tr➯♥ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ t♦♣♦✱ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤➣ ✤↕t ✤÷đ❝ ỳ t q ữ s ã r ởt ❝→❝❤ ❝â ❤➺ t❤è♥❣ ✈➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝❤✐ t✐➳t ♠ët sè ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ t♦♣♦ ✤↕✐ ❝÷ì♥❣ ♥❤➡♠ ♣❤ư❝ ✈ư ❝❤♦ ✈✐➺❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳ • ❚r➻♥❤ ❜➔② ❦❤→✐ ♥✐➺♠✱ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ♠ët sè ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠❡tr✐❝ s✉② rë♥❣ ✈➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝❤✐ t✐➳t ♠ët sè ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❝❤ó♥❣✳ • ❚r➻♥❤ ❜➔② ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ♠ët sè ♠↕♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t♦♣♦ ✈➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝❤✐ t✐➳t ♠ët sè ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❝❤ó♥❣✳ ✺✷ ❚⑨■ ▲■➏❯ ❚❍❆▼ ❑❍❷❖ ❙♦♠❡ t②♣❡s ♦❢ ❢❛❝t♦r ♠❛♣♣✐♥❣s ❛♥❞ t❤❡ r❡✲ ❧❛t✐♦♥s ❜❡t✇❡❡♥ ❝❧❛ss❡s ♦❢ t♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ s♣❛❝❡s✱ ❉♦❦❧✳ ❆❦❛❞✳ ◆❛✉❦ ❙❙❙❘✳ ❬✶❪ ❆✳ ❱✳ ❆r❤❛♥❣❡❧✬s❦✐✐ ✭✶✾✻✸✮✱ ✶✺✸✱ ✼✹✸✕✼✹✻✳ ❬✷❪ ❚✳ ❇❛♥❛❦❤ ✭✷✵✶✺✮✱ B0 ✲s♣❛❝❡s✱ ❚♦♣♦❧♦❣② ❛♥❞ ✐ts ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ✶✾✺✱ ✶✺✶✕✶✼✸✳ ❍❡❧❞❡r♠❛♥♥ ❱❡r❧❛❣✱ ❇❡r❧✐♥✳ ❬✹❪ ❳✳ ▲✐✉✱ ❙✳ ▲✐♥ ✭✷✵✶✽✮✱ ❖♥ s♣❛❝❡s ❞❡❢✐♥❡❞ ❜② P②t❦❡❡✈ ♥❡t✇♦r❦s✱ ❋✐❧♦♠❛t ❬✸❪ ❘✳ ❊♥❣❡❧❦✐♥❣ ✭✶✾✽✾✮✱ ●❡♥❡r❛❧ ❚♦♣♦❧♦❣②✱ ✸✷✱ ✻✶✶✺✲✻✶✷✾✳ ❙tr✐❝t P②t❦❡❡✈ ♥❡t✇♦r❦s ✇✐t❤ s❡♥s♦rs ❛♥❞ t❤❡✐r ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ✐♥ t♦♣♦❧♦❣✐❝❛❧ ❣r♦✉♣s✱ ❚♦♣♦❧♦❣② ❛♥❞ ✐ts ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ❬✺❪ ❳✳ ▲✐✉✱ ❈✳ ▲✐✉✱ ❙✳ ▲✐♥ ✭✷✵✶✾✮✱ ✷✺✽✱ ✺✽✕✼✽✳ ❬✻❪ ❙✳ ▲✐♥✱ ❳✳ ▲✐✉ ✭✷✵✷✵✮✱ ◆♦t❡s ♦♥ ♣s❡✉❞♦✲♦♣❡♥ ♠❛♣♣✐♥❣s ❛♥❞ s❡q✉❡♥t✐❛❧❧② q✉♦t✐❡♥t ♠❛♣♣✐♥❣s✱ ❚♦♣♦❧♦❣② ❛♥❞ ✐ts ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ✷✼✷✱ ✶✵✼✵✾✵✳ ❬✼❪ ❙✳ ▲✐♥✱ ❩✳ ❨✉♥ ✭✷✵✶✻✮✱ ●❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ▼❡tr✐❝ ❙♣❛❝❡s ❛♥❞ ▼❛♣♣✐♥❣s ❧❛♥t✐s Pr❡ss✳ ❆t✲ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM CỘNG HOÀ Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc BIÊN BẢN HỌP HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ Tên đề tài: Mối quan hệ số tính chất mạng khơng gian topo Ngành: Tốn giải tích Lớp K39.TGT Theo Quyết định thành lập Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ số 2044/QĐ-ĐHSP ngày 28 tháng 10 năm 2021 Ngày họp Hội đồng: ngày 28 tháng 11 năm 2021 Danh sách thành viên Hội đồng: HỌ VÀ TÊN STT CƯƠNG VỊ TRONG HỘI ĐỒNG TS Lê Hải Trung Chủ tịch TS Lê Văn Dũng Thư ký TS Phan Đức Tuấn Phản biện PGS.TS Nguyễn Văn Đức Phản biện PGS.TS Nguyễn Thành Chung a Thành viên có mặt: Ủy viên b Thành viên vắng mặt: Thư ký Hội đồng báo cáo trình học tập, nghiên cứu học viên cao học đọc lý lịch khoa học (có văn kèm theo) Học viên cao học trình bày luận văn Các phản biện đọc nhận xét nêu câu hỏi (có văn kèm theo) Học viên cao học trả lời câu hỏi thành viên Hội đồng 10 Hội đồng họp riêng để đánh giá 11 Trưởng ban kiểm phiếu công bố kết 12 Kết luận Hội đồng a) Kết luận chung: Luận văn đạt yêu cầu Đề nghị hiệu trưởng Trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng công nhận kết chấm luận văn Hội đồng cấp thạc sĩ cho học viên b) Yêu cầu chỉnh, sửa nội dung: Bỏ phụ lục mục lục, Thống ký hiệu luận văn, bổ sung trích dẫn tài liệu tham khảo Chương 1, sửa lại lỗi tả Sửa luận văn theo góp ý thành viên Hội đồng, đặc biệt nhận xét góp ý phản biện c) Các ý kiến khác: không d) Điểm đánh giá: Bằng số: 8,5 Bằng chữ: Tám lăm 13 Tác giả luận văn phát biểu ý kiến 14 Chủ tịch Hội đồng tuyên bố bế mạc THƯ KÝ HỘI ĐỒNG Lê Văn Dũng CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG Lê Hải Trung CỘNG HÒA Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc =====&&&===== BẢN NHẬN XÉT LUẬN VĂN THẠC SĨ (Dùng cho phản biện) Đề tài: Mối quan hệ số tính chất mạng khơng gian topo Chun ngành: Tốn giải tích Mã ngành: 8.46.01.02 Họ tên học viên: Lê Thị Minh Linh Người nhận xét: Nguyễn Văn Đức Đơn vị công tác: Trường Đại học Vinh NỘI DUNG NHẬN XÉT Tính cấp thiết đề tài Lý thuyết khơng gian metric suy rộng có ứng dụng nhóm topo, lý thuyết khơng gian hàm, lý thuyết chiều nhiều lĩnh vực khác toán học Lý thuyết thường xuyên xuất lý thuyết khoa học máy tính Một hướng suy rộng sở mạng nhiều nhà toán học quan tâm năm gần đây, đặc biệt mối liên hệ tính chất mạng khơng gian metric suy rộng bất biến tính chất mạng qua ánh xạ có tính chất phủ Vì vậy, đề tài “Mối quan hệ số tính chất mạng không gian topo” mà học viên Lê Thị Minh Linh nghiên cứu có tính thời sự, cấp thiết, nhiều nhà toán học quan tâm II Cơ sở khoa học thực tiễn Hầu hết kết luận văn chứng minh chặt chẽ; ví dụ luận văn cho thấy nội dung trình bày luận văn ứng dụng vào tình khác thực tiễn Vì thế, luận văn đảm bảo tính khoa học thực tiễn III Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu phù hợp, dựa tài liệu thu thập được, cách tương tự hóa, khái qt hóa, phân tích, đánh giá, tổng hợp, tác giả viết thành luận văn có bố cục hợp lý có tính logic cao IV Kết nghiên cứu Luận văn có độ dài 52 trang, bao gồm phần mở đầu, nội dung, kết luận tài liệu tham khảo Phần nội dung, luận văn chia làm hai chương: Chương 1: Tác giả trình bày số kiến thức không gian topo, tập hợp mở, lân cận, tập hợp đóng, bao đóng tập hợp, phần tập hợp, số tiên đề tách, không gian con, không gian compact, ánh xạ liên tục I Chương 2: Tác giả trình bày khái niệm tính chất số khơng gian metric suy rộng, chứng minh chi tiết mối liên hệ chúng Tiếp theo, tác giả trình bày số tính chất mạng không gian topo chứng minh chi tiết mối liên hệ tính chất Luận văn trình bày rõ ràng, chứng minh chặt chẽ, có giá trị khoa học thực tiễn Tuy nhiên, luận văn có số lỗi trình bày Tác giả nên chỉnh sửa lại để luận văn hoàn thiện Cụ thể, tơi có số góp ý sau: Trong phần mục lục có ghi phần phụ lục trang 54 Luận văn khơng có trang 54 khơng có phần phụ lục Dịng đoạn mục Lý chọn đề tài cần sửa chữ “nhiêu” thành chữ “nhiều” Nên thống ký hiệu ý Định nghĩa, Ví dụ, Nhận xét, Định lí chứng minh Các kiến thức trình bày Chương khơng trích dẫn tài liệu tham khảo Tác giả nên trích dẫn tài liệu tham khảo đầy đủ Trong luận văn, tác giả viết Định lí Định lý, tác giả nên thống cách viết V Hình thức luận văn Hình thức luận văn quy định Tuy nhiên cần chỉnh sửa số lỗi mà nêu VI Đánh giá chung Đồng ý cho học viên bảo vệ trước Hội đồng Câu hỏi dành cho học viên: Mục 2.1 Chương có tựa đề: “một số khơng gian metric suy rộng” Vậy tác giả cho ví dụ khơng gian metric suy rộng, có điểm khác với khơng gian metric? Tác giả cho biết mối quan hệ mạng, cs*-mạng, wcs*-mạng k-mạng? Tác giả cho biết mối quan hệ cp-mạng cn-mạng? Nghệ An, ngày 19 tháng 11 năm 2021 Người nhận xét PGS.TS Nguyễn Văn Đức CỘNG HÒA Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc - - BẢN NHẬN XÉT LUẬN VĂN THẠC SĨ (dùng cho thành viên hội đồng phản biện) Tên đề tài luận văn: Mối quan hệ số tính chất mạng khơng gian topo Chun ngành: Tốn giải tích Mã ngành: 8.46.01.02 Họ tên học viên: Lê Thị Minh Linh Người nhận xét: TS Phan Đức Tuấn Đơn vị công tác: Trường Đại học Sư phạm – ĐH ĐN NỘI DUNG NHẬN XÉT Bằng cách giảm nhẹ điều kiện sở A V Arhangel’skii đưa khái niệm mạng vào năm 1959 Nó E Michael thu hẹp thành k – mạng vào năm 1966 Sau đó, đươc nhiều nhà toán học tiếp tục phát triển lý thuyết k - mạng thu thành tựu định Gần X Lin thu nhiều kết lĩnh vực Với mong muốn nghiên cứu lý thuyết k – mạng tác giả chọn đề tài: Mối quan hệ số tính chất mạng khơng gian topo I Tính cấp thiết đề tài: Từ suy rộng sở thành mạng không gian topo Khi khơng gian topo có sở mạng xác định Một vấn đề cấp thiết đặt phải tìm mối quan hệ sở mạng mạng với Bên cạnh loại khơng gian topo khác sở, mạng có tính chất thể mà mối liên hệ sở mạng mạng với có thay đổi Điều dẫn đến việc nghiên cứu mối quan hệ loại không gian để làm sở cho việc nghiên cứu mối quan hệ mạng cần thiết II Cơ sở khoa học thực tiễn: Trên sở kết nhà toán học tiến như: R Engelking, X Liu, S Lin, công bố tạp chí khoa học chuyên ngành kết có topo đại cương tác giả tổng hợp chứng minh chi tiết kết qua đưa luận văn Điều cho thấy kết thu luận văn đảm bảo tính khoa học thực tiễn III Phương pháp nghiện cứu: Phương pháp nghiên cứu sử dụng luận văn phù hợp Đầu tiên, tác giả nghiên cứu mối quan hệ loại không gian topo Kế đến, tác giả nghiên cứu mối quan hệ mạng khơng gian topo thơng thường Sau đó, nghiên cứu mối quan hệ mạng khơng gian topo cụ thể Nhờ đó, mà kết phần trước sở để suy kết phần sau mối quan hệ dần mô tả rõ ràng IV Kết nghiên cứu: Tác giả giới thiệu số loại không gian topo mối quan hệ như: k- khơng gian, khơng gian dãy, không gian Fréhet – Urysohn, không gian Fréhet – Urysohn mạnh Đồng thời tác giả nghiên cứu suy rộng mạng quan hệ mạng loại không gian topo cụ thể như: mạng, k – mạng, cs* - mạng, wcs* - mạng, sp – mạng, cn – mạng, mạng Pytkeev mạng Pytkeev chặt V Hình thức luận văn: Luận văn có bố cục tương đối hợp lý Bản tóm tắc phản ánh trung thực nội dung luận văn Hình thức đẹp, quy định, lỗi chế Theo phần giới thiệu sở không gian topo chương (Định nghĩa 2.1.1, Định lý 2.1.3, Định lý 2.1.4, … ) nên đưa vào chương Thống viết hoa mục lục, sửa lại tên để tài phần mở đầu VI Đánh giá chung: Các vấn đề đưa luận văn hướng nghiên cứu mở rộng tất yếu toán học, phù hợp với chuyên ngành Toán giải tích Các vấn đề đưa theo trình tự logic khoa học chứng minh chi tiết kết đưa luận văn Tuy nhiên, mối quan hệ suy chiều chưa thấy tác giả bình luận chiều ngược lại như: Chiều ngược lại khơng có, trường hợp có chiều ngược lại,… Nếu tác giả nên đưa số phản ví dụ để thấy điều ngược lại khơng có Luận văn đáp ứng đầy đủ yêu cầu luận văn thạc sĩ toán học chun ngành Tốn giải tích Kết luận: Tơi đồng ý để tác giả bảo vệ luận văn thạc sĩ trước hội đồng chấm luận văn thạc sĩ Đà Nẵng, ngày tháng 11 năm 2021 Người nhận xét TS Phan Đức Tuấn ... t♦♣♦ t❛ s✉② r❛ ✭✶✮✱ ✭✷✮✱ ✭✸✮ ❧➔ rã r➔♥❣✳ ❇➙② ❣✐í✱ t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✭✹✮✳ ❚❤➟t ✈➙②✱ ❣✐↔ sû R ❧➔ t➟♣ số tỹ ợ t tổ tữớ t 1 An = − , n n ❑❤✐ ✤â✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ n N ã An t ợ ♠å✐ • An = {0}✳ n ∈ N✳ n∈N ❚❤➟t... ✤â♥❣ ❧➔ t➟♣ ✤â♥❣✳ ◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✸✳✸ ✳ ủ tũ ỵ t õ õ t ổ ✤â♥❣ tr♦♥❣ X✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû R ❧➔ t➟♣ số tỹ ợ t tổ tữớ t An = 0, − n ✈ỵ✐ ♠å✐ n ∈ N✳ ❑❤✐ ✤â✱ • An ✤â♥❣ tr♦♥❣ • An = [0, 1)✳ R ✈ỵ✐ ♠å✐... ∩ B ⊂ A ∩ B = A ∩ B ❇➙② ❣✐í✱ t❛ ❝❤ù♥❣ tä r➡♥❣ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❦❤æ♥❣ ①↔② r❛✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ❣✐↔ sû R ❧➔ t➟♣ số tỹ ợ t tổ tữớ t An = 0, − ✈ỵ✐ ♠å✐ n ∈ N✳ ∞ ∞ An = [0, 1) ❑❤✐ ✤â✱ n An = [0, 1]✳ ♥❤÷♥❣ n=1 n=1