Möc n y d nh cho vi»c tr¼nh b y kh¡i ni»m v t½nh ch§t cõa mët sè khæng gian metric suy rëng. Chùng minh mèi li¶n h» giúa chóng v chùng minh mët sè t½nh ch§t di truy·n l¶n khæng gian con. C¡c k¸t qu£ trong möc n y ÷ñc tham kh£o trong [3].
ành ngh¾a 2.1.1. Gi£ sû (X, τ) l mët khæng gian topo, B ⊂ τ v Bx
l hå n o â gçm c¡c l¥n cªn cõa x ∈ X. Khi â,
1) B ÷ñc gåi l cì sð cõa X n¸u méi V ∈ τ l hñp n o â c¡c ph¦n tû cõa B.
2) Bx ÷ñc gåi l cì sð l¥n cªn t¤i x n¸u vîi måi l¥n cªn V cõa x, tçn t¤i B ∈ Bx sao cho x ∈ B ⊂ V.
3) X ÷ñc gåi l thäa m¢n ti¶n · ¸m ÷ñc thù hai n¸uX câ cì sð ¸m ÷ñc.
4) X ÷ñc gåi l thäa m¢n ti¶n · ¸m ÷ñc thù nh§t n¸u vîi méi x ∈ X, tçn t¤i cì sð l¥n cªn Bx ¸m ÷ñc.
Nhªn x²t 2.1.2. 1) B l cì sð cõa X khi v ch¿ khi vîi måi V ∈ τ v vîi måi x∈ V, tçn t¤i B ∈ B sao cho x ∈ B ⊂ V.
2) N¸u B l cì sð cõa X, th¼ Bx = {B ∈ B : x ∈ B} l cì sð l¥n cªn t¤i x vîi måi x ∈ X.
Chùng minh. (1) i·u ki»n c¦n. Gi£ sû B l cì sð cõa X v V ∈ τ. Khi â, vîi méi x ∈ V, tçn t¤i Bx ∈ B sao cho x ∈ Bx ⊂ V. Suy ra
V = S x∈V {x} ⊂ S x∈V Bx ⊂ V. Nh÷ vªy, V = S x∈V Bx.
i·u ki»n õ. Gi£ sû r¬ng méi ph¦n tû cõa τ l hñp n o â c¡c ph¦n tû cõa B. Ta chùng minh r¬ng B l cì sð cõa X. Thªt vªy, gi£ sû V ∈ τ v x ∈ V. Theo gi£ thi¸t, tçn t¤i F ⊂ B sao cho
V = S
{B : B ∈ F }. Nh÷ vªy, tçn t¤i B ∈ F sao cho x ∈ B ⊂ V.
(2) Vîi måi x ∈ X v vîi måi l¥n cªn V cõa x. Khi â, v¼ V l l¥n cªn cõa x n¶n tçn t¤i W ∈ τ sao cho x ∈ W ⊂ V. M°t kh¡c, v¼ B l cì sð cõa X n¶n theo Nhªn x²t 2.1.2(1), tçn t¤i B ∈ B sao cho
x ∈ B ⊂ W ⊂V.
Nh÷ vªy, B ∈ Bx v x ∈ B ⊂ V. Do â, Bx l cì sð l¥n cªn t¤i x.
ành l½ 2.1.3. Gi£ sû (X, τ) l mët khæng gian topo v B l cì sð cõa τ. Khi â,
1) Vîi måi x ∈ X, tçn t¤i U ∈ B sao cho x ∈ U.
2) Vîi måi U1, U2 ∈ B, x ∈ U1 ∩U2, tçn t¤i U ∈ B sao cho x ∈ U ⊂ U1 ∩U2.
Chùng minh. (1) Gi£ sû x ∈ X, khi â v¼ x ∈ X ∈ τ v B l cì sð cõa τ n¶n tçn t¤i U ∈ B sao cho x ∈ U ⊂ X.
(2) Gi£ sû U, V ∈ B v x ∈ U ∩ V. Khi â, v¼ B ⊂ τ n¶n U, V ∈ τ, k²o theo U ∩ V ∈ τ. M°t kh¡c, v¼ B l cì sð cõa X n¶n tçn t¤i W ∈ B
sao cho x ∈ W ⊂ U ∩V.
ành l½ 2.1.4. Gi£ sû B l mët hå gçm c¡c tªp con cõa X thäa m¢n hai i·u ki»n trong ành l½ 2.1.3. Khi â, tçn t¤i mët topo τ sao cho B l cì sð cõa τ.
Chùng minh. Gåi τ l hå cõa méi ph¦n tû cõa τ l hñp n o â c¡c ph¦n tû cõa B. Khi â, τ l mët topo tr¶n X. Thªt vªy,
(1) Bði v¼ hñp cõa hå réng l réng n¶n ∅ ∈ τ. M°t kh¡c, tø i·u ki»n (1) cõa ành lþ 2.1.3 ta suy ra X ∈ τ.
(2) Gi£ sû{Uα}α∈Λ ⊂ τ. Khi â, vîi måi α ∈ Λ, tçn t¤i {Bα,β : β ∈ Iα}
sao cho Uα = [ β∈Iα Bα,β. Nh÷ vªy, [ α∈Λ Uα = [ α∈Λ [ β∈Iα Bα,β ∈ τ.
(3) Gi£ sû U, V ∈ τ. Khi â, tçn t¤i
sao cho U = S α∈Λ Uα, V = S β∈Γ Vβ. Ta câ U ∩V = [ α∈Λ [ β∈Γ (Uα∩ Vβ).
Nh÷ vªy, muèn chùng minh U ∩ V ∈ τ ta c¦n chùng minh r¬ng Uα∩Vβ ∈ τ vîi måi α, β ∈ Λ.
Thªt vªy, gi£ sû α ∈ Λ, β ∈ Γ. Khi â, tø i·u ki»n (2) cõa ành l½ 2.1.3 suy ra vîi måi x ∈ Uα∩ Vβ, tçn t¤i Ux ∈ B sao cho
x ∈ Ux ⊂Uα∩Vβ. Do â, Uα∩Vβ = [ x∈Uα∩Vβ {x} ⊂ [ x∈Uα∩Vβ Ux ⊂ Uα∩Vβ. i·u n y chùng tä r¬ng Uα∩Vβ ∈ τ.
ành ngh¾a 2.1.5. Gi£ sû (X, τ) l mët khæng gian topo. Mët hå B(x) gçm c¡c l¥n cªn mð cõa x ÷ñc gåi l cì sð t¤i x n¸u vîi måi l¥n cªn V cõa x, tçn t¤i U ∈ B(x) sao cho x ∈ U ⊂ V.
Hå {B(x)}x∈X ÷ñc gåi l h» l¥n cªn cõa khæng gian topo (X, τ). ành l½ 2.1.6. Gi£ sû (X, τ) l mët khæng gian topo, {B(x)}x∈X l h» l¥n cªn cõa X. Khi â,
1) Vîi måi x ∈ X, B(x) 6= ∅ v vîi måi U ∈ B(x), x ∈ U; 2) N¸u x ∈ U ∈ B(y), th¼ tçn t¤i V ∈ B(x) sao cho V ⊂ U.
3) Vîi måi U1, U2 ∈ B(x), tçn t¤i U ∈ B(x) sao cho U ⊂ U1 ∩U2. Chùng minh. (1) Bði v¼ x ∈ X ∈ τ n¶n tçn t¤i U ∈ B(x) sao cho
do â B(x) 6= ∅. B¥y gií, gi£ sû U ∈ B(x), khi â U l l¥n cªn mð cõa x. Suy ra x ∈ U.
(2) Gi£ sû x ∈ U ∈ B(y), khi â v¼ U mð n¶n U l l¥n cªn cõa x trong X. M°t kh¡c, v¼ B(x) l cì sð t¤i y n¶n tçn t¤i V ∈ B(x) sao cho
x ∈ V ⊂U.
(3) Gi£ sû U1, U2 ∈ B(x), khi â U1 ∩U2 l l¥n cªn cõa x. Bði v¼ B(x) l cì sð cõa x n¶n tçn t¤i U ∈ B(x) sao cho
x ∈ U ⊂ U1 ∩U2. Nh÷ vªy, ành l½ ÷ñc chùng minh.
ành l½ 2.1.7. Gi£ sû {Bx}x∈X l hå c¡c tªp con cõa X thäa m¢n c¡c t½nh ch§t trong ành l½ 2.1.6. Khi â, tçn t¤i mët topo τ tr¶n X sao cho hå {Bx}x∈X l h» cì sð l¥n cªn cõa τ.
Chùng minh. T÷ìng tü chùng minh ành l½ 2.1.4.
ành l½ 2.1.8. èi vîi khæng gian topo(X, τ),c¡c kh¯ng ành sau l óng. 1) Khæng gian thäa m¢n ti¶n · ¸m ÷ñc thù hai l khæng gian thäa
m¢n ti¶n · ¸m ÷ñc thù nh§t;
2) Khæng gian metric l khæng gian thäa m¢n ti¶n · ¸m ÷ñc thù nh§t; 3) N¸u X l khæng gian thäa m¢n ti¶n · ¸m ÷ñc thù nh§t, th¼ ta câ
thº gi£ thi¸t r¬ng méi Bx l gi£m.
Chùng minh. (1) Suy trüc ti¸p tø Nhªn x²t 2.1.2.
(2) Gi£ sû (X, d) l mët khæng gian metric. Vîi méi x ∈ X ta °t
Khi â, Bx l cì sð l¥n cªn ¸m ÷ñc t¤i x vîi måi x ∈ X. Thªt vªy, gi£ sû x ∈ X v U l l¥n cªn b§t ký cõa x. Khi â, tçn t¤i r > 0 sao cho B(x, r) ⊂U. Ta l§y n∈ N sao cho 1
n < r, khi â B(x,1/n) ∈ Bx v x ∈ B(x,1/n) ⊂ U.
Nh÷ vªy, Bx l cì sð l¥n cªn ¸m ÷ñc t¤i x, do â X l khæng gian thäa m¢n ti¶n · ¸m ÷ñc thù nh§t.
(3) Gi£ sû X l khæng gian thäa m¢n ti¶n · ¸m ÷ñc thù nh§t. Khi â, vîi méi x ∈ X, tçn t¤i cì sð l¥n cªn ¸m ÷ñc
Bx = {Bn(x) : n ∈ N}. B¥y gií, vîi méi x ∈ X, ta °t
Fx = {T
i≤n
Bi(x) : n∈ N}.
Khi â,
• Fx l gi£m v ¸m ÷ñc t¤i x.
• Fx l cì sð l¥n cªn t¤i x. Thªt vªy, gi£ sû x ∈ X v U l mët l¥n cªn b§t ký cõa x. Khi â, v¼ Bx l cì sð l¥n cªn t¤i x n¶n tçn t¤i n ∈ N sao cho x ∈ Bn(x) ⊂ U. Suy ra
x ∈ \
i≤n
Bi(x) ⊂ Bn(x) ⊂ U.
Nh÷ vªy, Fx l cì sð l¥n cªn gi£m v ¸m ÷ñc cõa x trong X. ành ngh¾a 2.1.9. Gi£ sû (X, τ) l mët khæng gian topo. Khi â,
1) X ÷ñc gåi l k-khæng gian n¸u vîi A ⊂ X m A∩ P mð trong P vîi måi P l tªp compact trong X, th¼ A l tªp mð trong X.
2) X ÷ñc gåi l khæng gian d¢y n¸u vîi A ⊂ X thäa m¢n khæng câ d¢y n o trong A hëi tö ¸n iºm n¬m ngo i A, th¼ A âng trong X.
3) X ÷ñc gåi l khæng gian Fr²chet-Urysohn n¸u vîi måiA ⊂X,x ∈ A, tçn t¤i d¢y {xn} ⊂ A hëi tö ¸n x.
4) X ÷ñc gåi l khæng gian Fr²chet-Urysohn m¤nh n¸u vîi måi d¢y gi£m {An : n ∈ N} v vîi måi x ∈ T
n∈N
An, tçn t¤i d¢y {xn} sao cho xn ∈ An vîi måi n∈ N v xn → x.
Nhªn x²t 2.1.10. X l k-khæng gian n¸u vîi A ⊂ X m A ∩ P âng trong P vîi måi P l tªp compact trong X, th¼ A l tªp âng trong X. ành l½ 2.1.11. èi vîi khæng gian X, c¡c kh¯ng ành sau l óng.
1) Khæng gian thäa m¢n ti¶n · ¸m ÷ñc thù nh§t l khæng gian Fr²chet- Urysohn m¤nh;
2) Khæng gian Fr²chet-Urysohn m¤nh l khæng gian Fr²chet; 3) Khæng gian Fr²chet-Urysohn l khæng gian d¢y;
4) Khæng gian d¢y l k-khæng gian.
Chùng minh. (1) Gi£ sû X l khæng gian thäa m¢n ti¶n · ¸m ÷ñc thù nh§t, {An} l d¢y gi£m trong X v x ∈ T
n∈N
An. Nhí ành l½ 2.1.8(3), X câ cì sð l¥n cªn gi£m v ¸m ÷ñc
Bx = {Bn(x) : n ∈ N}.
Bði v¼ x ∈ A1 v B1(x) l l¥n cªn cõa x n¶n tçn t¤i x1 ∈ B1(x)∩A1. L¤i v¼ x ∈ A2 v B2(x) l l¥n cªn cõa x n¶n tçn t¤i x2 ∈ B2(x)∩A2. Ti¸p töc qu¡ tr¼nh tr¶n ta t¼m ÷ñc d¢y {xn} sao cho
xn ∈ Bn(x)∩An vîi måi n ∈ N.
B¥y gií, gi£ sû U l l¥n cªn cõa x trong X. Khi â, v¼ Bx l cì sð l¥n cªn cõa x n¶n tçn t¤i m ∈ N sao cho Bm(x) ⊂U. Do â, vîi måi n ≥m ta câ
Nh÷ vªy, xn → x, v X l khæng gian Fr²chet-Urysohn m¤nh.
(2) Gi£ sû X l khæng gianFr²chet-Urysohn m¤nh v x ∈ A. Khi â, n¸u ta °t
An = A vîi måi n ∈ N, th¼ x ∈ T
n∈N
An. Bði v¼ X l khæng gian Fr²chet-Urysohn m¤nh n¶n tçn t¤i d¢y {xn} ⊂ A hëi tö ¸n x. Nh÷ vªy, X l khæng gian Fr²chet-Urysohn.
(3) Gi£ sû X l khæng gian Fr²chet-Urysohn. Ta chùng minh r¬ng X l khæng gian d¢y.
Thªt vªy, gi£ sû ng÷ñc l¤i r¬ng X khæng l khæng gian d¢y. Khi â, tçn tai tªp con A cõa X thäa m¢n r¬ng khæng câ d¢y n o n¬m trong A hëi tö ¸n iºm n¬m ngo i A nh÷ng A khæng âng trong X. Khi â, v¼ A khæng âng trong X n¶n tçn t¤i x ∈ A\A. M°t kh¡c, v¼ X l khæng gian Fr²chet-Urysohn n¶n tçn t¤i d¢y {xn} ⊂ A sao cho xn → x, ¥y l mët m¥u thu¨n.
(4) Gi£ sû X l khæng gian d¢y, A l tªp con trongX thäa m¢nA∩K âng trong K vîi måi K compact trong X. Ta chùng minh A âng. Thªt vªy, gi£ sû ng÷ñc l¤i r¬ng A khæng âng trong X. Khi â, v¼ X l khæng gian d¢y n¶n tçn t¤i d¢y {xn} ⊂ A hëi tö ¸n x /∈ A. Ta °t
K = {x} ∪ {xn : n∈ N}. Khi â, K l tªp con compact cõa X v
A∩K = {xn : n∈ N}.
Bði v¼ A∩K khæng âng trong K n¶n ta suy ra m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t. Nh÷ vªy, X l mët k-khæng gian.
ành l½ 2.1.12. Khæng gian Fr²chet-Urysohn v khæng gian Fr²chet-Urysohn m¤nh l di truy·n l¶n khæng gian con.
• Gi£ sû X l khæng gian Fr²chet-Urysohn, A ⊂ F v x ∈ AF = A∩ F.
Bði v¼X l khæng gian Fr²chet-Urysohn n¶n tçn t¤i d¢y {xn} ⊂ Asao cho xn → x trong X. Nh÷ vªy, º ho n th nh chùng minh ta ch¿ c¦n chùng tä r¬ng xn → x trong khæng gian con F.
Thªt vªy, gi£ sû W l l¥n cªn mð cõa x trong F. Khi â, tçn l¤i l¥n cªn mð V cõa x trong X sao cho W = V ∩F. M°t kh¡c, v¼ xn → x trong X n¶n tçn t¤i n0 ∈ N sao cho
{x} ∪ {xn : n≥ n0} ⊂ V. Suy ra
{x} ∪ {xn : n≥ n0} ⊂ V ∩F = W. Nh÷ vªy, xn → x trong F.
• Gi£ sû X l khæng gian Fr²chet-Urysohn m¤nh, {An : n∈ N} l d¢y gi£m trong F v x ∈ T n∈N An F . Khi â, v¼ AnF = An ∩F vîi måi n ∈ N n¶n x ∈ T n∈N An. M°t kh¡c, v¼ X l khæng gian Fr²chet-Urysohn m¤nh n¶n vîi méi n∈ N, tçn t¤i xn ∈ An sao cho xn →x trong X. Ho n to n t÷ìng tü chùng minh tr¶n ta suy ra xn → x trong F. Nh÷ vªy, F l khæng gian Fr²chet-Urysohn m¤nh.