topo
Möc n y d nh cho vi»c tr¼nh b y mët sè t½nh ch§t m¤ng trong khæng gian topo v chùng minh chi ti¸t mët sè mèi quan h» giúa chóng.
ành ngh¾a 2.2.1 ([5]). Gi£ sû (X, τ) l mët khæng gian topo v P l mët phõ gçm c¡c tªp con n o â cõa X. Khi â,
1) P ÷ñc gåi l iºm-¸m ÷ñc cõa X n¸u vîi måi x ∈ X, tªp hñp (P)x = {P ∈ P : x ∈ P} nhi·u nh§t l ¸m ÷ñc.
2) P ÷ñc gåi l m¤ng cõa X n¸u vîi måi x ∈ U vîi U ∈ τ, tçn t¤i P ∈ P sao cho x ∈ P ⊂ U.
3) P ÷ñc gåi l cs∗-m¤ng cõaX n¸u vîi måi d¢y{xn} hëi tö ¸nx ∈ U vîi U ∈ τ, tçn t¤i P ∈ P v d¢y con {xnk} ⊂ {xn} sao cho
{x} ∪ {xnk : k ∈ N} ⊂ P ⊂ U.
4) P ÷ñc gåi l wcs∗-m¤ng cõa X n¸u vîi måi d¢y {xn} hëi tö ¸n x ∈ U vîi U ∈ τ, tçn t¤i P ∈ P v d¢y con {xnk} ⊂ {xn} sao cho
{xnk : k ∈ N} ⊂ P ⊂ U.
5) P ÷ñc gåi l k-m¤ng cõa X n¸u vîi méi K compact v K ⊂ U ∈ τ, tçn t¤i hå con húu h¤n F ⊂ P sao cho K ⊂ S
F ⊂ U.
6) P ÷ñc gåi l sp-m¤ng cõaX n¸u vîi méiA ⊂ X,U ∈ τ v x ∈ U∩A, tçn t¤i P ∈ P sao cho x ∈ P ⊂ U v x ∈ P ∩A.
7) P ÷ñc gåi l m¤ng Pytkeev cõa X n¸u nâ l m¤ng cõa X v vîi méi l¥n cªn U cõa x trong X, v vîi méi tªp con A trong X câ iºm tö l x, tçn t¤i P ∈ P sao cho P ∩A l væ h¤n v P ⊂ U.
8) P ÷ñc gåi l m¤ng Pytkeev ch°t cõa X n¸u vîi måi l¥n cªn U cõa x trong X v vîi méi tªp con A cõa X tö t¤i x, tçn t¤i P ∈ P sao cho P ∩A l væ h¤n v x ∈ P ⊂ U.
9) P ÷ñc gåi l cn-m¤ng cõa X n¸u vîi méi l¥n cªn U cõa x trong X, tªp hñp S
{P ∈ P :x ∈ P ⊂ U} l l¥n cªn cõa x.
Bê · 2.2.2 ([4]). Gi£ sû (X, τ) l mët khæng gian topo. Khi â, méi wcs∗-m¤ng (ho°c sp-m¤ng, m¤ng Pytkeev, cn-m¤ng) l m¤ng.
Chùng minh. Gi£ sû P l wcs∗-m¤ng cõa X. Khi â, vîi måi x ∈ X v x ∈ U ∈ τ, ta l§y xn = x vîi måi n∈ N. Rã r ng r¬ng xn → x. Bði v¼ P
l wcs∗-m¤ng n¶n tçn t¤i P ∈ P v d¢y con {xnk} ⊂ {xn} sao cho
{xnk : k ∈ N} ⊂ P ⊂ U.
Bði v¼ xnk = x vîi måi k ∈ N n¶n ta suy ra x ∈ P ⊂ U. Nh÷ vªy, P l m¤ng cõa X.
Ti¸p theo, gi£ sû P l sp-m¤ng cõa X v x ∈ U ∈ τ. Ta l§y A = X, khi â x ∈ U ∩A. Bði v¼ P l sp-m¤ng cõa X n¶n tçn t¤i P ∈ P sao cho
x ∈ P ⊂ U v x ∈ A∩P. Nh÷ vªy, P l m¤ng cõa X.
Cuèi còng, n¸u P l m¤ng Pytkeev ho°c cn-m¤ng cõa X, th¼ theo ành ngh¾a 2.2.1, P l m¤ng cõa X.
ành ngh¾a 2.2.3 ([5]). Cho (X, τ) l mët khæng gian topo v A ⊂ X. Ta nâi A tö t¤i iºm x hay x l iºm tö cõa A n¸u vîi måi l¥n cªn cõa x chùa væ h¤n ph¦n tû cõa A.
Nhªn x²t 2.2.4. Gi£ sû (X, τ) l T1-khæng gian. Khi â, x ∈ X l iºm tö cõa A khi v ch¿ khi x ∈ A\ {x}.
Chùng minh. i·u ki»n c¦n. Gi£ sû x l iºm tö cõa A v U l l¥n cªn b§t ký cõa x. Suy ra U chùa væ h¤n ph¦n tû cõa A, do â U chùa væ h¤n ph¦n tû cõa tªp A\ {x}. Nh÷ vªy,
i·u n y k²o theo r¬ng x ∈ A\ {x}.
i·u ki»n õ. Gi£ sû x ∈ A\ {x} v U l l¥n cªn mð cõa x. Ta chùng minh r¬ng U chùa væ h¤n ph¦n tû cõa A. Thªt vªy, gi£ sû ng÷ñc l¤i r¬ng U chùa húu h¤n ph¦n tû cõa A, gi£ sû r¬ng
U ∩(A\ {x}) = {x1, . . . , xn}.
Bði v¼ X l T1-khæng gian n¶n {x1, . . . , xn} âng trong X. Do â, V = U \ {x1, . . . , xn}
l l¥n cªn mð cõa x v
V ∩(A\ {x}) = ∅. i·u n y m¥u thu¨n vîi x ∈ A\ {x}.
ành l½ 2.2.5 ([4]). Gi£ sû (X, τ) l mët khæng gian d¢y. Khi â, méi wcs∗-m¤ng trong X l m¤ng Pytkeev.
Chùng minh. Gi£ sû P l wcs∗-m¤ng cõa X, A ⊂ X, x ∈ X l iºm tö cõa A v U l l¥n cªn mð cõa x trong X. Khi â,
• Theo Bê · 2.2.2(1), P l m¤ng cõa x.
• Ta ch¿ c¦n chùng minh r¬ng tçn t¤i P ∈ P sao cho P ⊂ U v P ∩A l tªp væ h¤n.
Thªt vªy, v¼ x l iºm tö cõa A n¶n theo Nhªn x²t 2.2.4 ta suy ra r¬ng x ∈ A\ {x}. B¥y gií, n¸u ta °t
D = (A\ {x})∪(X \U). (2.1) th¼ rã r ng r¬ng x /∈ D. Bði v¼ U ∈ τ n¶n X \U âng trong X. Do â,
D = A\ {x} ∪X \U = A\ {x} ∪(X \U). (2.2) Nh÷ vªy, x ∈ D \D k²o theo D khæng âng trong X. Bði v¼ X l khæng
gian d¢y n¶n tçn t¤i d¢y {xn} ⊂ D sao cho xn → z /∈ D. M°t kh¡c, ta câ
◦ Bði v¼ z ∈ D \D n¶n theo (2.1) v (2.2) ta suy ra z /∈ X \U. Do â, X \U chùa nhi·u nh§t l húu h¤n ph¦n tû cõa {xn}. Nh÷ vªy, nhí (2.1) ta câ thº gi£ thi¸t r¬ng {xn} ⊂ A v xn 6= xm vîi måi m 6= n.
◦ Bði v¼ X\U ⊂ D v z /∈ D n¶n z /∈ X\U, k²o theo z ∈ U. Hìn núa, v¼ P l wcs∗-m¤ng cõa X n¶n tçn t¤i P ∈ P v {xnk} cõa {xn} sao cho
{xnk : k ∈ N} ⊂ P ⊂ U.
i·u n y chùng tä r¬ngP∩Avæ h¤n v P ⊂ U. Do â, P l m¤ng Pytkeev cõa X.
Bê · 2.2.6 ([5]). Gi£ sû X l khæng gian Fr²chet-Urysohn. Khi â, méi cs∗-m¤ng trong X l mët sp-m¤ng.
Chùng minh. Gi£ sû P l cs∗-m¤ng cõa X, x ∈ U ∩ A vîi U mð trong X v A ⊂ X. Bði v¼ X l khæng gian Fr²chet-Urysohn n¶n tçn t¤i d¢y
{xn} ⊂ A sao cho xn →x trong X. M°t kh¡c, v¼ P l cs∗-m¤ng v x ∈ U n¶n tçn t¤i P ∈ P v d¢y con {xnk} ⊂ {xn} sao cho
{x} ∪ {xnk : k ∈ N} ⊂ P ⊂ U.
Do â, ta suy ra r¬ng {xnk} ⊂ P ∩A, k²o theo x ∈ P ∩A. Nh÷ vªy, P l mët sp-m¤ng cõa X.
ành l½ 2.2.7 ([4]). èi vîi khæng gian topo (X, τ), c¡c kh¯ng ành sau l óng.
1) Cì sð ⇒ m¤ng Pytkeev ch°t ⇒ cs∗-m¤ng ⇒ wcs∗-m¤ng. 2) Cì sð ⇒ k-m¤ng ⇒ wcs∗-m¤ng.
3) M¤ng Pytkeev ch°t ⇒ m¤ng Pytkeev ⇒ wcs∗-m¤ng.
(1) Gi£ sû P l cì sð cõa X, x ∈ X v A l tªp con cõa X tö t¤i x. Khi â, bði v¼ U l l¥n cªn cõa x v P l cì sð cõa X n¶n tçn t¤i P ∈ P
sao cho x ∈ P ⊂ U. M°t kh¡c, v¼ x ∈ A\ {x} v P mð n¶n P ∩(A\ {x}) 6= ∅.
B¥y gií, ta ch¿ c¦n chùng minh r¬ng P ∩ A l tªp væ h¤n. Thªt vªy, gi£ sû ng÷ñc l¤i r¬ng P ∩ A = F l tªp húu h¤n. Bði v¼ F l tªp húu h¤n, k²o theo F \ {x} l tªp húu h¤n, do â P \(F \ {x}) l l¥n cªn mð cõa x. Hìn núa, v¼ x ∈ A\ {x} n¶n
[P \(F \ {x})]∩(A\ {x}) 6= ∅.
Nh÷ vªy, tçn t¤i y ∈ (P ∩A)\(F ∪ {x}), k²o theo y ∈ P ∩A = F. i·u n y m¥u thu¨n vîi y /∈ F.
Gi£ sû P l m¤ng Pytkeev ch°t, x ∈ U ∈ τ v {xn} l d¢y hëi tö ¸n x trong X. Ta °t
A = {xn : n ∈ N}.
Khi â, x l iºm tö cõa A. Bði v¼ U l l¥n cªn cõa x v P l m¤ng Pytkeev ch°t n¶n tçn t¤i P ∈ P sao cho P ∩ A væ h¤n v
x ∈ P ⊂ U.
M°t kh¡c, v¼ P ∩ {xn} l væ h¤n n¶n tçn t¤i d¢y con {xnk : k ∈ N} cõa
{xn} sao cho {xnk : k ∈ N} ⊂ P. Nh÷ vªy,
{x} ∪ {xnk : k ∈ N} ⊂ P. Do â, P l cs∗-m¤ng cõa X.
Cuèi còng, nhí ành ngh¾a 2.2.1 ta suy ra cs∗-m¤ng l wcs∗-m¤ng. (2) Gi£ sû P l cì sð cõa X. Ta chùng minh P l k-m¤ng cõa X. Thªt vªy, gi£ sû K ⊂ U ∈ τ vîi K compact trong X. Khi â, v¼ P l
cì sð cõa X n¶n vîi méi x ∈ U, tçn t¤i Vx ∈ P sao cho x ∈ Vx ⊂ U.
Rã r ng hå {Vx : x ∈ K} l phõ mð cõa K compact, do â tçn t¤i tªp con F húu h¤n trong K sao cho K ⊂ S
x∈F Vx. Ta °t
F = {Vx : x ∈ F}, khi â F l hå con húu h¤n cõa P thäa m¢n
K ⊂ S
F ⊂ U. Nh÷ vªy, P l k-m¤ng cõa X.
B¥y gií, gi£ sû P l k-m¤ng cõa X, {xn} l d¢y hëi tö ¸n x ∈ X v U l l¥n cªn mð cõa x trong X. Khi â, tçn t¤i m ∈ N sao cho
{x} ∪ {xn : n≥ m} ⊂ U. B¥y gií, ta °t
K = {x} ∪ {xn : n≥ m}.
Khi â,K compact trongX v U l l¥n cªn mð cõa K. Bði v¼ P l k-m¤ng n¶n tçn t¤i hå con húu h¤n F ⊂ P sao cho
K ⊂ S
F ⊂ U.
Hìn núa, v¼ K l tªp væ h¤n v F l tªp húu h¤n n¶n tçn t¤i d¢y con
{xnk : k ∈ N} ⊂ {xn : n ≥ m}
v P ∈ F sao cho {xnk : k ∈ N} ⊂ P. Nh÷ vªy, tçn t¤i d¢y con
{xnk : k ∈ N} ⊂ {xn}
v tçn t¤i P ∈ P sao cho
Nh÷ vªy, P l wcs∗-m¤ng cõa X.
(3) Rã r ng r¬ng m¤ng Pytkeev ch°t l m¤ng pytkeev. Do â, ta ch¿ c¦n chùng minh r¬ng m¤ng Pytkeev l wcs∗-m¤ng.
Thªt vªy, gi£ sû P l m¤ng Pytkeev, {xn} l d¢y hëi tö ¸n x trong X v U l l¥n cªn cõa x. Ta °t
A = {xn : n ∈ N}.
Khi â, x l iºm tö cõa A. Bði v¼ U l l¥n cªn cõa x v P l m¤ng Pytkeev n¶n tçn t¤i P ∈ P sao cho P ∩A væ h¤n v P ⊂ U. M°t kh¡c, v¼ P ∩ A l væ h¤n n¶n tçn tai d¢y con {xnk : k ∈ N} cõa {xn} sao cho
{xnk :k ∈ N} ⊂ P. Nh÷ vªy,
{xnk : k ∈ N} ⊂ P. Do â, P l wcs∗-m¤ng cõa X.
ành l½ 2.2.8 ([4]). Gi£ sû r¬ng (X, τ) l T1-khæng gian. Khi â, cp-m¤ng v m¤ng Pytkeev ch°t l t÷ìng ÷ìng.
Chùng minh. (1) Gi£ sû P l m¤ng Pytkeev ch°t. Ta chùng minh P l cp-m¤ng. Thªt vªy, gi£ sû x ∈ X, khi â
Tr÷íng hñp 1: x l iºm cæ lªp cõa X.
Bði v¼ x l iºm cæ lªp cõa X n¶n tçn t¤i l¥n cªn mð U cõa x sao cho U ∩X = {x}. M°t kh¡c v¼ P l m¤ng Pytkeev n¶n theo Bê · 2.2.2, P l m¤ng cõa X. Do â, tçn t¤i P ∈ P sao cho x ∈ P ⊂U. Suy ra P = {x}, do â {x} ∈ P.
Tr÷íng hñp 2: x khæng l iºm cæ lªp cõa X.
Gi£ sû A ⊂X sao cho x ∈ A\A, W l l¥n cªn mð b§t ký cõa x trong X v W ∩ A = F. Khi â, v¼ X l T1-khæng gian n¶n n¸u F l tªp húu h¤n cõa X, th¼ F \ {x} l tªp con âng trong X. Suy ra W \(F \ {x}) l
l¥n cªn mð cõa x trong X. Bði v¼ x ∈ A\A n¶n
h
W \(F \ {x})i∩A 6= ∅. Suy ra tçn t¤i z ∈ hW \(F \ {x})i∩A, k²o theo
z ∈ W ∩ A= F v z /∈ F \ {x}.
Do â, x = z ∈ A, m¥u thu¨n vîi x ∈ A\A. Nh÷ vªy, vîi måi l¥n cªn cõa x ·u giao vîi væ h¤n ph¦n tû cõa A, do â x l iºm tö cõa A.
Bði v¼ P l m¤ng Pytkeev ch°t n¶n tçn t¤i P ∈ P sao cho x ∈ P ⊂ U v P ∩A l væ h¤n.
(2) Gi£ sûP l cp-m¤ng cõaX. Ta chùng minh r¬ngP l m¤ng Pytkeev cõa X.
Thªt vªy, gi£ sû x ∈ X, U l l¥n cªn mð cõa x v A l tö t¤i x. Khi â, theo Nhªn x²t 2.2.4, x ∈ A\A. Suy ra vîi måi l¥n cªn W cõa x ta câ
W ∩(A\ {x}) 6= ∅, k²o theo r¬ng
W ∩ (X \ {x}) 6= ∅,
Nh÷ vªy, x khæng l iºm cæ lªp cõa X. Bíi v¼ P l cp-m¤ng cõa x, x ∈ A\A v U l l¥n cªn cõa x trong X n¶n tçn t¤i P ∈ P sao cho
x ∈ P ⊂ U
v P ∩A l væ h¤n. Do â, P l m¤ng Pytkeev ch°t cõa X.
ành l½ 2.2.9 ([5]). Gi£ sû r¬ng (X, τ) l khæng gian topo. Khi â, méi cp-m¤ng l cn-m¤ng.
Chùng minh. Gi£ sû P l cp-m¤ng, x ∈ X v U l l¥n cªn cõa x. Ta ch¿ c¦n chùng minh r¬ng
S
{P ∈ P : x ∈ P ⊂ U}
l l¥n cªn cõa x, ngh¾a l c¦n chùng minh r¬ng x ∈ int(S
{P ∈ P : x ∈ P ⊂ U}). Thªt vªy, gi£ sû ng÷ñc l¤i r¬ng
x /∈ int(S
{P ∈ P : x ∈ P ⊂ U}). Khi â, theo ành l½ 1.5.5 ta suy ra
x /∈ X \X \(S
{P ∈ P : x∈ P ⊂ U}), k²o theo
x ∈ X \(S
{P ∈ P : x ∈ P ⊂U}) ⊂ X \ {x}.
Nh÷ vªy, x khæng l iºm cæ lªp cõa X. Bði v¼ P l cp-m¤ng n¶n tçn t¤i P0 ∈ P sao cho x ∈ P0 ⊂ U v P0 ∩hX \(S {P ∈ P :x ∈ P ⊂ U})i l tªp væ h¤n trong X. M°t kh¡c, bði v¼ P0 ⊂S {P ∈ P : x ∈ P ⊂U}
n¶n ta suy ra m¥u thu¨n. Nh÷ vªy, P l cn-m¤ng cõa X.
ành l½ 2.2.10 ([4]). Gi£ sû r¬ng (X, τ) l mët k-khæng gian. Khi â, méi k-m¤ng l m¤ng Pytkeev.
Chùng minh. Gi£ sû P l k-m¤ng cõa k-khæng gian X. Ta chùng minh P
Thªt vªy, gi£ sû x ∈ X, A ⊂X sao cho x l iºm tö cõa A. Ta c¦n ch¿ ra r¬ng vîi måi l¥n cªn Ux cõax, tçn t¤i P ∈ P sao cho P ⊂ Ux v P∩A l tªp con væ h¤n cõa X.
Gi£ sû Mx l giao cõa t§t c£ c¡c l¥n cªn cõa x trong X. Khi â,
• Bði v¼ Ux l l¥n cªn cõa x trong X n¶n Mx ⊂ Ux.
• Mx l tªp compact trong X.
Gi£ sû U l phõ mð cõa Mx. Khi â, v¼ x ∈ Mx n¶n tçn t¤i W ∈ U
sao cho x ∈ W. M°t kh¡c, v¼ W mð n¶n W l l¥n cªn mð cõa x, k²o theo Mx ⊂ W. Nh÷ vªy, V = {W} l phõ con húu h¤n cõa U, v Mx compact.
• Bði v¼ Ux l l¥n cªn cõa Mx v P l k-m¤ng cõa X n¶n tçn t¤i hå con húu h¤n F ⊂ P sao cho
Mx ⊂S
F ⊂ Ux. Tr÷íng hñp 1: Mx∩ A l væ h¤n.
Bði v¼ Mx∩A væ h¤n n¶n (S
F)∩A væ h¤n. M°t kh¡c, v¼ F l hå húu h¤n n¶n tçn t¤i F ∈ F sao cho A∩ F l væ h¤n. Do â, tçn t¤i F ∈ P
sao cho A∩F væ h¤n.
Tr÷íng hñp 2: Mx∩ A l húu h¤n. Bði v¼ Mx∩A húu h¤n,
A = (Mx∩A)∪(A\Mx)
v x l iºm tö cõa A n¶n méi l¥n cªn cõa x chùa væ h¤n ph¦n tû cõa A\Mx, do â x l iºm tö cõa A\Mx. Thay th¸ A bði A\Mx ta câ thº gi£ thi¸t r¬ng A∩Mx = ∅. Do â, tªp hñp
B = A∪(X \Ux) tö t¤i x, v do â nâ khæng âng trong X.
Bði v¼ X l k-khæng gian n¶n tçn t¤i tªp con compact K ⊂ X sao cho K ∩ B khæng âng trong K. Do â, tçn t¤i z ∈ K \ B ⊂ Ux sao cho z ∈ K ∩BK. Bði v¼ K l khæng gian compact v T3-khæng gian, K ∩Ux l l¥n cªn mð cõa z trong K n¶n tçn t¤i l¥n cªn Vz cõa z trong K sao cho
z ∈ Vz ⊂ VzK ⊂ K ∩Ux.
Ta °t Kz = VzK, khi â Kz l l¥n cªn compact cõa z trong khæng gian con K v thäa m¢n Kz ⊂ K ∩Ux.
Bði v¼ z /∈ Kz\B l chùa trong bao âng cõaKz\B v Kz l Hausdorff n¶n Kz \B l tªp væ h¤n. M°t kh¡c, v¼ P l k-m¤ng, Kz compact trong X v Ux l l¥n cªn cõa Kz n¶n tçn t¤i hå con húu h¤n F ⊂ P sao cho
Kz \B ⊂ Kz ⊂ S
F ⊂ Ux.
Hìn núa, v¼ Kz \B l væ h¤n v F húu h¤n n¶n tçn F ∈ F sao cho F chùa væ h¤n ph¦n tû cõa Kz \B. M°t kh¡c, v¼