Tính chất của dãy i hội tụ trong không gian topo

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– Đặng Phạm Phú An TÍNH CHẤT CỦA DÃY I-HỘI TỤ TRONG KHƠNG GIAN TOPO LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Đà Nẵng - 2021 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! 16990033584231000000 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– Đặng Phạm Phú An TÍNH CHẤT CỦA DÃY I-HỘI TỤ TRONG KHÔNG GIAN TOPO Chuyên ngành: Tốn Giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Lương Quốc Tuyển Đà Nẵng - 2021 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả ĐẶNG PHẠM PHÚ AN LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn này, lời tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy TS Lương Quốc Tuyển tận tình hướng dẫn tác giả suốt trình thực đề tài Tác giả gửi lời cảm ơn chân thành đến tất quý thầy tận tình dạy bảo tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Đồng thời, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến ban lớp cao học Tốn Giải Tích K39-ĐN, nhiệt tình giúp đỡ tác giả trình học tập vừa qua ĐẶNG PHẠM PHÚ AN MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG Kiến thức chuẩn bị 1.1 Dãy số thực 1.2 Hội tụ thống kê 1.3 Không gian topo, tập hợp mở lân cận tập hợp 1.4 Tập hợp đóng bao đóng tập hợp 11 1.5 Phần tập hợp 17 1.6 Ánh xạ liên tục 19 1.7 Không gian 21 1.8 Tổng không gian topo 23 1.9 Không gian thương 24 CHƯƠNG Tính chất dãy I -hội tụ không gian metric suy rộng 26 2.1 Ideal lọc tập hợp M 26 2.2 Tính chất dãy I -hội tụ 29 2.3 Tính chất tập I -mở, I -đóng 36 2.4 Không gian I -Fréchet-Urysohn không gian I -dãy 40 KẾT LUẬN 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Năm 1951, H Fast giới thiệu phần mở rộng khái niệm giới hạn thông thường dãy số thực tác giả gọi hội tụ thống kê (xem [1]) Trong [4], I J Schoenberg đưa số tính chất hội tụ thống kê nghiên cứu tổng chuỗi nhờ khái niệm hội tụ thống kê Đến năm 1985, J A Fridy đưa khái niệm dãy Cauchy thống kê chứng minh tương đương với dãy hội tụ thống kê (xem [2]) Gần đây, nhiều tác giả giới mở rộng khái niệm hội tụ thống kê theo nhiều hướng khác Một hướng mở rộng tác giả giới quan tâm nhiều khái niệm I -hội tụ không gian topo, I ideal Trong [5], X Zhou, L Liu, S Lin đưa khái niệm ánh xạ I -liên tục, chứng minh ánh xạ liên tục bảo toàn dãy I -hội tụ, f bảo tồn dãy I -hội tụ, f ánh xạ I -liên tục Từ đó, tác giả đặt toán sau Bài toán Ánh xạ I -liên tục có bảo tồn dãy I -hội tụ hay khơng? Bên cạnh đó, tác giả chứng minh hợp hai tập I -mở tập I -mở; I -là ideal cực đại, giao hai tập I -mở tập I -mở Bởi vậy, tác giả đặt toán mở sau: Bài toán Giao hai tập I -mở có tập I -mở hay khơng? Các toán số tác giả giới quan tâm chưa có lời giải đáp Với mong muốn nghiên cứu hội tụ thống kê nghiên tính chất dãy I -hội tụ không gian topo, hướng dẫn thầy giáo TS Lương Quốc Tuyển, định chọn đề tài: “Tính chất dãy I -hội tụ không gian topo” làm đề tài cho luận văn Mục đích nghiên cứu Trong luận văn này, nghiên cứu hội tụ thống kê dãy số thực, từ làm tiền đề để nghiên cứu dãy I -hội tụ không gian topo Chứng minh chi tiết số kết liên quan đến dãy I -hội tụ tác giả trước Đối tượng nghiên cứu Dãy số thực hội tụ thống kê, Dãy I -hội tụ không gian topo, tính chất tập I -mở, I -đóng, tính chất khơng gian I -FréchetUrysohn , không gian I -dãy Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tính chất dãy I -hội tụ, tập I -mở, I -đóng khơng gian topo Phương pháp nghiên cứu • Tham khảo tài liệu, hệ thống lại số kiến thức topo đại cương • Thu thập báo khoa học tác giả trước liên quan hội tụ thống kê I -hội tụ • Bằng cách tương tự hóa, khái qt hóa nhằm đưa kết mở rộng số kết tác giả trước • Phân tích, đánh giá, tổng hợp trao đổi với thầy hướng dẫn kết nghiên cứu để hồn chỉnh đề tài Cấu trúc đề tài Nội dung luận văn chúng tơi trình bày hai chương Ngồi ra, khóa luận có Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận Tài liệu tham khảo Chương 1, trình bày số kiến thức hội tụ dãy số, hội tụ thống kê số thực, không gian topo, không gian metric suy rộng nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu Chương Chương 2, trình bày tính chất dãy I -hội tụ khơng gian metric suy rộng; tập hợp I -đóng, I -mở không gian topo; không gian I -dãy, không gian I -Fréchet-Urysohn 13 • An tập hợp đóng R với n ∈ N S • An = [0, 1) n∈N Thật vậy, giả sử x ∈ S An Suy tồn n ∈ N cho n∈N   ⊂ [0, 1) x ∈ An = 0, − n Ngược lại, giả sử x ∈ [0, 1), kéo theo ≤ x < Do đó, tồn n ∈ N cho 0≤x≤1− n Điều suy   [ An = An ⊂ x ∈ 0, − n n∈N Từ chứng minh ta suy hợp tùy ý tập hợp đóng khơng đóng Do đó, giao tùy ý tập hợp mở khơng mở Định nghĩa 1.4.4 Giả sử A tập không gian topo (X, τ ) Khi đó, giao tất tập đóng X chứa A gọi bao đóng A ký hiệu A Định lí 1.4.5 Giả sử A, B tập khơng gian topo (X, τ ) Khi đó, khẳng định sau 1) A tồn A ⊂ A; 2) A tập hợp đóng nhỏ chứa A; 3) A đóng A = A; 4) A = A; 5) Nếu A ⊂ B , A ⊂ B ; 14 6) A ∪ B = A ∪ B ; 7) A ∩ B ⊂ A ∩ B , đẳng thức không xẩy Chứng minh Giả sử F = {F ⊂ X : F đóng A ⊂ F }; G = {F ⊂ X : F đóng B ⊂ F } Khi đó, 1) Bởi X tập hợp đóng chứa A nên X ∈ F , kéo theo F = ∅ Do đó, A ln tồn Hơn nữa, A ⊂ F với F ∈ F nên A ⊂ ∩{F : F ∈ F} = A 2) Theo Định lí 1.4.2(3) ta suy A tập hợp đóng Bây giờ, giả sử F tập đóng X chứa A Khi đó, F ∈ F , kéo theo A = ∩{F : F ∈ F} ⊂ F Ngoài ra, nhờ khẳng định (1) ta suy A ∈ F Như vậy, A tập hợp đóng nhỏ chứa A 3) Giả sử A đóng Khi đó, A ⊂ A nên ta suy A ∈ F , kéo theo A = ∩{F : F ∈ F} ⊂ A Kết hợp khẳng định (1) ta suy A = A Ngược lại, giả sử A = A Khi đó, nhờ khẳng định (2), A tập hợp đóng, kéo theo A tập hợp đóng X 4) Theo khẳng định (2), A tập hợp đóng Do đó, nhờ khẳng định (3) ta suy A = A 15 5) Bởi A ⊂ B nên G ⊂ F Do đó, A = ∩{F : F ∈ F} ⊂ ∩{F : F ∈ G} = B 6) Theo khẳng định (1), A ⊂ A; B ⊂ B , kéo theo A ∪ B ⊂ A ∪ B Mặt khác, theo khẳng định (2), A, B tập hợp đóng Do đó, nhờ Định lí 1.4.2(2), A ∪ B tập hợp đóng Như vậy, sử dụng khẳng định (3) (5) ta suy A ∪ B ⊂ A ∪ B = A ∪ B (1.2) Hơn nữa, A ⊂ A ∪ B B ⊂ A ∪ B nên theo khẳng định (5) ta có A ⊂ A ∪ B; B ⊂ A ∪ B Điều kéo theo A ∪ B ⊂ A ∪ B (1.3) Như vậy, từ (1.2), (1.3) ta suy A ∪ B = A ∪ B 7) Theo khẳng định (1) ta có A ⊂ A B ⊂ B , kéo theo A ∩ B ⊂ A ∩ B Mặt khác, theo khẳng định (2), A B tập hợp đóng Hơn nữa, nhờ Định lí 1.4.2(3), A ∩ B tập hợp đóng Do đó, sử dụng khẳng định (3) (5) ta suy A ∩ B ⊂ A ∩ B = A ∩ B Bây giờ, giả sử X = R với topo thông thường A = (0, 1), B = (1, 2) Khi đó, A = [0, 1], B = [1, 2] nên ta có A∩B =∅=∅= {1} = A ∩ B 16 Như vậy, không xảy đẳng thức khẳng định (7) Định lí 1.4.6 Đối với khơng gian topo (X, τ ), khẳng định sau tương đương 1) x ∈ A; 2) U ∩ A 6= ∅ với lân cận U x; 3) Tồn sở Bx x cho U ∩ A 6= ∅ với U ∈ Bx Chứng minh =⇒ Giả sử x ∈ A Ta chứng minh với lân cận U x, U ∩ A 6= ∅ Thật vậy, giả sử ngược lại tồn lân cận U x cho U ∩ A = ∅ Bởi U lân cận x nên tồn V ∈ τ cho x ∈ V ⊂ U Do đó, V ∩ A = ∅, kéo theo A ⊂ X \ V Mặt khác, X \ V đóng nên theo Định lí 1.4.5 ta suy A ⊂ X \ V = X \ V Do đó, A ∩ V = ∅, kéo theo x ∈ V ⊂ X \ A Điều dẫn đến mâu thuẫn với x ∈ A =⇒ Giả sử x ∈ X Bx họ gồm tất lân cận x Khi đó, hiển nhiên Bx sở lân cận x U ∩ A 6= ∅ với U ∈ Bx =⇒ Giả sử tồn sở lân cận Bx x cho U ∩ A 6= ∅ với U ∈ Bx x ∈ / A Khi đó, X \ A lân cận mở x Mặt khác, Bx sở lân cận x nên tồn U ∈ Bx cho x ∈ U ⊂ X \ A Suy U ∩ A ⊂ U ∩ A = ∅ Điều dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết U ∩ A 6= ∅ 17 1.5 Phần tập hợp Định nghĩa 1.5.1 Giả sử A tập khơng gian topo (X, τ ) Khi đó, hợp tất tập hợp mở nằm A gọi phần A ký hiệu IntA Nhận xét 1.5.2 Giả sử A tập không gian topo (X, τ ) Ta ký hiệu G(A) = {V ⊂ X : V ∈ τ, V ⊂ A} Khi đó, ta suy IntA = ∪{V : V ∈ G(A)} Định lí 1.5.3 Giả sử A tập không gian topo (X, τ ) Khi đó, x ∈ IntA tồn lân cận U x cho x ∈ U ⊂ A Chứng minh Điều kiện cần Giả sử x ∈ IntA Khi đó, tồn U ∈ G(A) cho x ∈ U Bởi U ∈ G(A) nên U mở U ⊂ A Như vậy, tồn lân cận U x cho U ⊂ A Điều kiện đủ Giả sử tồn lân cận U x cho U ⊂ A Bởi U lân cận x nên tồn V ∈ τ cho x ∈ V ⊂ U Như vậy, V ∈ G(A) x ∈ IntA Định lí 1.5.4 Giả sử (X, τ ) không gian topo, A B tập X Khi đó, khẳng định sau 1) IntA tập hợp mở lớn nằm A; 2) Nếu A ⊂ B , IntA ⊂ IntB ; 3) A mở IntA = A; 4) Int(A ∩ B) = IntA ∩ IntB Chứng minh 18 1) Suy trực tiếp từ Định nghĩa 1.5.1 2) Giả sử A ⊂ B Khi đó, G(A) ⊂ G(B) Suy IntA ⊂ IntB 3) Giả sử A mở Khi đó, A ⊂ A nên A ∈ G(A) Suy A ⊂ IntA Nhờ khẳng định (1) ta suy A = IntA Bây giờ, giả sử A = IntA Khi đó, theo khẳng định (1) ta suy A tập hợp mở 4) Theo khẳng định (1) ta có IntA ⊂ A IntB ⊂ B , kéo theo IntA ∩ IntB ⊂ A ∩ B Mặt khác, theo khẳng định (1), Int(A ∩ B) tập hợp mở lớn nằm A ∩ B nên IntA ∩ IntB ⊂ Int(A ∩ B) (1.4) Ngược lại, A ∩ B ⊂ A A ∩ B ⊂ B nên theo khẳng định (2) ta suy Int(A ∩ B) ⊂ IntA Int(A ∩ B) ⊂ IntB Do đó, Int(A ∩ B) ⊂ IntA ∩ IntB (1.5) Từ (1.4) (1.5) ta suy Int(A ∩ B) = IntA ∩ IntB Định lí 1.5.5 Giả sử A tập không gian topo (X, τ ) Khi đó, ta có IntA = X \ X \ A Chứng minh Theo Định lí 1.4.5(1) ta có X \ A ⊂ X \ A, kéo theo X \ X \ A ⊂ X \ (X \ A) = A 19 Nhờ Định lí 1.4.5(2), X \ A tập hợp đóng, kéo theo X \ X \ A tập hợp mở nằm A Do đó, X \ X \ A ∈ G(A), kéo theo X \ X \ A ⊂ IntA (1.6) Theo Định lí 1.5.4(1) ta có IntA ⊂ A IntA tập hợp mở Do đó, X \ A ⊂ X \ IntA Nhờ Định lí 1.4.5 ta suy X \ A ⊂ X \ IntA = X \ IntA Điều chứng tỏ IntA ⊂ X \ X \ A (1.7) Từ (1.6) (1.7) ta suy IntA = X \ X \ A 1.6 Ánh xạ liên tục Định nghĩa 1.6.1 Giả sử f : X → Y ánh xạ liên tục từ không gian topo X vào khơng gian topo Y Khi đó, 1) f gọi liên tục x ∈ X với lân cận mở V f (x) Y , tồn lân cận mở U x X cho f (U ) ⊂ V 2) f gọi liên tục X (hay liên tục) liên tục x ∈ X Định lí 1.6.2 Đối với khơng gian topo X , khẳng định sau tương đương 20 1) f ánh xạ liên tục; 2) f −1 (U ) mở X với U mở Y ; 3) f −1 (F ) đóng X với F đóng Y ; 4) f (A) ⊂ f (A) với A ⊂ X ; 5) f −1 (B) ⊂ f −1 (B) với B ⊂ Y ; 6) f −1 (IntB) ⊂ Intf −1 (B) với B ⊂ Y Chứng minh =⇒ Giả sử f ánh xạ liên tục U mở Y Ta chứng minh f −1 (U ) mở X Thật vậy, giả sử x ∈ f −1 (U ) Khi đó, U lân cận f (x) Y Bởi f ánh xạ liên tục nên tồn lân cận V x X cho f (V ) ⊂ U Như vậy, x ∈ V ⊂ f −1 (f (V )) ⊂ f −1 (U ) Do đó, theo Bổ đề 1.3.7 ta suy f −1 (U ) mở X =⇒ Giả sử khẳng định (2) thỏa mãn F đóng Y Khi đó, Y \ F mở Y Bởi khẳng định (2) thỏa mãn nên f −1 (Y \ F ) mở X Mặt khác, f −1 (Y \ F ) = X \ f −1 (F ) nên ta suy f −1 (F ) đóng X =⇒ Theo Định lí 1.4.5, f (A) đóng Y Bởi khẳng định (3)
thỏa mãn nên f −1 f (A) đóng X Mặt khác, A ⊂ f −1 (f (A)) nên theo Định lí 1.4.5 ta suy

A ⊂ f −1 f (A) = f −1 f (A) Điều kéo theo f (A) ⊂ f (A) =⇒ Theo khẳng định (4), với B ⊂ Y ta có
f f −1 (B) ⊂ f (f −1 (B)) ⊂ B 21 Suy f −1 (B) ⊂ f −1 (B) =⇒ Với B ⊂ Y , theo Định lí 1.5.5 ta có f −1 (IntB) = f −1 (Y \ Y \ B) = X \ f −1 (Y \ B) (1.8) Mặt khác, khẳng định (5) thỏa mãn nên X \ f −1 (B) = f −1 (Y \ B) ⊂ f −1 (Y \ B) (1.9) Như vậy, từ (1.8) (1.9) ta suy f −1 (IntB) ⊂ X \ X \ f −1 (B) = Intf −1 (B) =⇒ Giả sử x ∈ X V lân cận mở f (x) Y Khi đó, theo Định lí 1.5.4 ta suy IntV = V Bởi khẳng định (6) thỏa mãn nên f −1 (V ) = f −1 (IntV ) ⊂ Intf −1 (V ) Hơn nữa, theo Định lí 1.5.4 ta suy Intf −1 (V ) ⊂ f −1 (V ) Do đó, Intf −1 (V ) = f −1 (V ) Như vậy, ta đặt U = f −1 (V ), U lân cận mở x f (U ) ⊂ V Điều suy f liên tục x 1.7 Không gian Định nghĩa 1.7.1 Giả sử (X, τ ) không gian topo, Y ⊂ X τY = {Y ∩ U : U ∈ τ } 22 Khi đó, τY topo Y Ta nói (Y, τY ) không gian không gian topo (X, τ ) Định lí 1.7.2 Giả sử (X, τ ) không gian topo, (Y, τY ) không gian X A ⊂ Y Khi đó, 1) A đóng Y tồn tập đóng F X cho A = Y ∩ F ; Y 2) A = A ∩ Y Chứng minh (1) Giả sử A đóng Y Khi đó, Y \ A ∈ τY Suy tồn U ∈ τ cho Y \ A = Y ∩ U Như vậy, A = Y \ (Y \ A) = Y \ (Y ∩ U ) = Y \ U = Y ∩ (X \ U ) Do đó, ta đặt F = X \ U , F đóng X A = Y ∩ F Đảo lại, giả sử tồn tập F đóng X cho A = Y ∩F Khi đó, Y \ A = Y \ (Y ∩ F ) = Y \ F = Y ∩ (X \ F ) Bởi X \ F ∈ τ nên ta suy Y \ A ∈ τY Do đó, A đóng Y (2) Sử dụng khẳng định (1) ta có Y A = ∩{E ⊂ Y : E đóng Y } = ∩{Y ∩ F : F đóng X} = Y ∩ (∩{F : F đóng X}) = A Y Điều chứng tỏ A = A ∩ Y 23 1.8 Tổng không gian topo Định nghĩa 1.8.1 Giả sử {(Xα , τα )}α∈Λ họ gồm không gian topo thỏa mãn Xα ∩ Xβ = ∅ với α 6= β, X= S Xα τ topo X xác định sau: α∈Λ G ∈ τ G ∩ Xα ∈ τα với α ∈ Λ Khi đó, (X, τ ) gọi tổng topo không gian topo Xα Lúc này, ta ký hiệu X= X Xα α∈Λ Đặc biệt, Λ hữu hạn, ta ký hiệu X = X1 ⊕ X2 ⊕ · · · ⊕ Xn Bổ đề 1.8.2 1) τα ⊂ τ với α ∈ Λ 2) G đóng X ⇐⇒ G ∩ Xα đóng Xα với α ∈ Λ Chứng minh (1) Giả sử U ∈ τα , với β ∈ Λ ta có ˆ Nếu β = α, U ∩ Xβ = U ∩ Xα = U ∈ τα = τ⠈ Nếu β 6= α, U ∩ Xβ ⊂ Xα ∩ Xβ = ∅ ∈ τβ Như vậy, U ∩ Xβ ∈ τβ với β ∈ Λ Do đó, U ∈ τ (2) Giả sử G ⊂ X , với α ∈ Λ, ta có Xα \ (G ∩ Xα ) = Xα \ G = (X \ G) ∩ Xα Như vậy, G đóng X X \ G ∈ τ , (X \ G) ∩ Xα = Xα \ (G ∩ Xα ) ∈ τα với α ∈ Λ, G ∩ Xα đóng Xα với α ∈ Λ 24 1.9 Không gian thương Định nghĩa 1.9.1 Giả sử (X, τ ) không gian topo, X ∗ phân hoạch X Ký hiệu x∗ phần tử X ∗ chứa x,  X ∗ = x∗ : x ∈ X , π : X → X∗ x 7→ π(x) = x∗ Khi đó, 1) π gọi phép chiếu tự nhiên 2) Topo τ ∗ mạnh X ∗ cho π liên tục gọi topo thương 3) (X ∗ , τ ∗ ) gọi không gian thương, π gọi ánh xạ thương tự nhiên Bổ đề 1.9.2 τ ∗ = {G ⊂ X ∗ : π −1 (G) ∈ τ } Chứng minh Ta đặt B = {G ⊂ X ∗ : π −1 (G) ∈ τ } Khi đó, Khẳng định B ⊂ τ ∗ 1) B topo X ∗ Thật vậy, (a) Bởi π −1 (∅) = ∅ ∈ τ π −1 (X ∗ ) = X ∈ τ nên ∅, X ∗ ∈ B (b) Giả sử {Gα : α ∈ Λ} ⊂ B Khi đó, π −1 (Gα ) ∈ τ với α ∈ Λ Ta có [  [ −1 π Gα = π −1 (Gα ) ∈ τ α∈Λ Do đó, S α∈Λ Gα ∈ B α∈Λ 25 (c) Giả sử A, B ∈ B , π −1 (A ∩ B) = π −1 (A) ∩ π −1 (B) ∈ τ Suy A ∩ B ∈ B 2) π : (X, τ ) → (X ∗ , B) liên tục Thật vậy, giả sử V ∈ B Khi đó, theo cách đặt B ta suy π −1 (V ) ∈ τ Như vậy, π liên tục 3) τ ∗ topo mạnh X ∗ cho π liên tục, B ⊂ τ ∗ Khẳng định τ ∗ ⊂ B Giả sử G ∈ τ ∗ , π : (X, τ ) → (X ∗ , τ ∗ ) liên tục nên π −1 (G) ∈ τ, kéo theo G ∈ B Nhận xét 1.9.3 1) U mở X ∗ ⇐⇒ π −1 (U ) mở X; 2) F đóng X ∗ ⇐⇒ π −1 (F ) đóng X Chứng minh (1) Suy trực tiếp từ định nghĩa (2) Ta có F đóng X ∗ ⇐⇒ X ∗ \ F ∈ τ ∗ ⇐⇒ π −1 (X ∗ \ F ) = X \ π −1 (F ) ∈ τ ⇐⇒ π −1 (F ) đóng X Như vậy, nhận xét chứng minh 26 CHƯƠNG TÍNH CHẤT CỦA DÃY I-HỘI TỤ TRONG KHƠNG GIAN METRIC SUY RỘNG Trong chương này, trước tiên chúng tơi trình bày ideal, lọc tập M , tính chất mối liên hệ ideal lọc tập hợp M Sau đó, chúng tơi trình bày khái niệm tính chất dãy I -hội tụ, chứng minh mối liên hệ tính chất dãy I -hội tụ với số tính chất loại hội tụ khác Trình bày chứng minh tính chất tập I -mở, tập I -đóng; mối quan hệ tập I -mở, tập mở dãy tập mở; mối quan hệ tập I -đóng, tập đóng dãy tập đóng Cuối cùng, chúng tơi trình bày không gian Fréchet-Urysohn , không gian I -Fréchet-Urysohn , khơng gian dãy, khơng gian I -dãy; nghiên cứu tính di truyền lên không gian con, không gian thương, không gian tổng mối liên hệ không gian 2.1 Ideal lọc tập hợp M Mục dành cho việc trình bày ideal, lọc tập M , tính chất mối liên hệ ideal lọc tập hợp M Định nghĩa 2.1.1 ([5]) Giả sử A = 2M họ gồm tất tập M I ⊂ A Khi đó, 1) I gọi ideal M thỏa mãn hai điều kiện sau (a) Nếu B ⊂ A ∈ I , B ∈ I ; (b) Nếu A, B ∈ I , A ∪ B ∈ I 2) Ideal I M gọi không tầm thường I = ∅ M ∈ / I; 27 3) Một idean không tầm thường I M gọi ideal chấp nhận {{x} : x ∈ M } ⊂ I ; 4) Giả sử I ideal không tầm thường M Ta ký hiệu FI = {A ⊂ M : M \ A ∈ I} 5) Ta ký hiệu If = {A ⊂ M : A hữu hạn} Nhận xét 2.1.2 ([5]) chấp nhận được; 1) Nếu M tập hợp vơ hạn, If ideal 2) Nếu I ideal chấp nhận M , I chứa tập hữu hạn M Thật vậy, giả sử M tập vơ hạn Khi đó, ta có ˆ Bởi M vơ hạn nên M ∈ / I ˆ Với x ∈ M , tập hợp {x} hữu hạn nên {x} ∈ If Suy If 6= ∅, {{x} : n ∈ X} ⊂ If Như vậy, If ideal chấp nhận (1) thỏa mãn Bây giờ, giả sử I ideal chấp nhận M F tập hữu hạn M Bởi I ideal chấp nhận nên {x} ∈ I với x ∈ F Do đó, theo Định nghĩa 2.1.1 (1a) ta suy F ∈ I Định nghĩa 2.1.3 ([5]) Một họ F ⊂ 2M gọi lọc M thỏa mãn điều kiện sau 1) ∅ ∈ / F F 6= ∅; 2) Nếu A, B ∈ F , A ∩ B ∈ F ; 3) Nếu A ∈ F , B ⊃ A, B ∈ F