Phân dạng và kĩ thuật tính tích phân hàm một biến

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN VĂN THÁI PHÂN DẠNG VÀ KĨ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN MINH KHOA THÁI NGUYÊN - 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN VĂN THÁI PHÂN DẠNG VÀ KĨ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI MỞ ĐẦU Chương Phép tính tích phân hàm biến 1.1 Nguyên hàm tích phân bất định 1.2 Tích phân xác định Chương Phân dạng kĩ thuật tính tích phân hàm biến 12 2.1 Các dạng tốn tích phân phần 12 2.2 Các dạng tốn tích phân lượng giác 33 2.3 Các dạng tốn tích phân hàm vô tỉ 54 2.4 Các dạng tốn tích phân hữu tỉ 71 2.5 Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối bất đẳng thức tích phân 85 Chương Ứng dụng tích phân hàm biến 90 3.1 Diện tích hình phẳng xác định đường cong y  f ( x ) 90 3.2 Thể tích khối tròn xoay 96 KẾT LUẬN 100 TÀI LIỆU THAM KHẢO 101 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI MỞ ĐẦU Phép tính tích phân bắt nguồn từ nhu cầu sáng tạo phương pháp tổng qt để tìm diện tích, thể tích từ cách lâu Ngày nay, phép tính vi tích phân chiếm vị trí quan trọng Tốn học, ứng dụng rộng khắp lĩnh vực Xác suất thống kê, Vật lý, Thiên văn học, nghành cơng nghiệp đóng tàu, sản xuất ô tô, máy bay, Phép tính tích phân giới thiệu cho học sinh lớp 12, phổ biến trường Đại học cho khối sinh viên năm thứ năm thứ Đồng thời phép tính tích phân nội dung quan trọng kì thi tốt nghiêp THPT, tuyển sinh Đại học Trong luận văn chúng tơi trình bày số vấn đề “Phân dạng kĩ thuật tính tích phân hàm biến”, tốn ứng dụng tính diện tích hình phẳng thể tích khối trịn xoay Luận văn bao gồm chương Chương Trình bày khái niệm, tính chất nguyên hàm tích phân hàm biến Chương Tập chung vào việc phân dạng kĩ thuật tính tích phân hàm biến Chương Trình bày hai ứng dụng tích phân hàm biến, xác định diện tích hình phẳng thể tích khối tròn xoay Mặc dù cố gắng học tập nghiên cứu cách nghiêm túc, song chắn luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận ý kiến đóng góp để hiệu chỉnh tốt luận văn quý thầy cô, bạn bè đồng nghiệp Luận văn hoàn thành dẫn trực tiếp thầy hướng dẫn trợ giúp thầy khoa Tốn – Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Tôi xin chân thành cảm ơn Thầy giáo, TS Nguyễn Minh Khoa tận tình giảng dạy, bảo ủng hộ suốt trình nghiên cứu viết luận văn Cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại Học Khoa Học Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn thầy cô khoa Toán - Tin bạn bè học viên lớp cao học Toán K3b, giúp đỡ động viên ủng hộ tơi suốt q trình học tập, hồn thành luận văn Thái Nguyên, … tháng 10 năm 2011 Học viên Nguyễn Văn Thái Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Phép tính tích phân hàm biến 1.1 Nguyên hàm tích phân bất định 1.1.1 Định nghĩa Hàm số y  F ( x) gọi nguyên hàm hàm số y  f ( x ) ( a; b) nếu: F   x   f ( x ), x  (a; b) Ví dụ 1.1.1 Hàm số y  cos x nguyên hàm hàm số y  sin x (cos x)   sin x Hàm số y  arcsin x nguyên hàm hàm số y  (arcsin x)  1  x2 1  x2 , x   1;1 1.1.2 Định lý dạng tổng quát nguyên hàm Nếu khoảng  a; b  hàm số y  f ( x ) có nguyên hàm y  F ( x) , khoảng ấy: i) y  F ( x )  C với C số tùy ý nguyên hàm y  f ( x) ii) Mọi nguyên hàm hàm số y  f ( x) có dạng y  F ( x)  C , với C số tùy ý Chứng minh: i) Vì  F ( x )  C   F ( x)  f ( x) nên F ( x)  C , với C số tùy ý nguyên hàm y  f ( x) ii) Giả sử hàm số y  H ( x) nguyên hàm y  f ( x), x   a; b  Ta có:  H ( x)  F ( x )  H ( x)  F ( x)  f ( x )  f ( x )  0, x   a; b  Suy ra, H ( x )  F ( x)  C , x   a; b   H ( x )  F ( x)  C (đpcm) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.3 Tính chất Tính chất Cho y  f ( x ) hàm số có nguyên hàm, '   f  x  dx   f ( x )   Tính chất Nếu y  F ( x ) có đạo hàm, ta có d  F  x    F  x   c , c số Tính chất Giả sử f  x  ; g ( x) hai hàm số có nguyên hàm.Với hai số   f  x    g ( x) dx    f  x  dx   g  x  dx thực  ;  bất kỳ: Tính chất Nếu  f  t  dt  F  t   c thì:  f u  x   u  x  dx  F u  x    c  F  u   c với u  u ( x ) 1.1.4 Nguyên hàm số hàm    0dx  C d x  x   x dx  u  u (x)  C x  1 1  C dx  x  ln x  C   s in  x d x    c o s x  C   c o s x d x  sin x  C    e kx d x  k e kx  C ax x a d x   C   ln a dx   s in x   c o tx  C dx    ta n x  C cos2 x dx  2 x  x C  d u  u  C  u  d u  u  1  C  1 du  ln u  C u   s in  u d u    c o s  u  C   c o s u d u  s i n u  C   e  u d x   e  u  C    a u du  du   sin     u au  C, ln a  a 1   co t u  C du  ta n u  C co s2 u du  u  C u Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ 1.1.2 Tính nguyên hàm sau  I1   ( ax  b ) dx   I2  (  x4 a    ax  b  d  ax  b    I   x ( ax  b )  dx  4 x dx  x dx   x )dx  a  b a a  (a x  b )  b ( a x  b )  1  C a2  2 a2  1  1 a x d 3 3 x  x c    ax  b   b   ax  b   (ax  b) ( ax  b ) 1 c a (  1)  b  (ax  b)  d d  ax  b  a x  b 1.1.5 Một số nguyên hàm mở rộng dx x  a rc ta n  C  x a a dx a x  ln C 2 a  x 2a a x dx  ln ( x  x  a )  C 2 x a dx x  a rc s in  C ; a  a a2  x2  a            dx x x a dx x x2  a2  x a rc s in C a a  a ln a   ln  a x  b  d x   x  x2  a2 C x b   ln  a x  b   x  C a  Chú ý: Khi sử dụng công thức trên, ta cần phải chứng minh cơng thức cách lấy đạo hàm hai vế Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.2 Tích phân xác định 1.2.1 Định nghĩa Định nghĩa tổng tích phân: Giả sử hàm y  f ( x ) xác định bị chặn  a; b  Với phép phân hoạch   a; b  tức chia đoạn  a; b  thành: a  x0  x1  xn1  xn  b , lấy điểm k   xi 1; xi  , i  1; n ; gọi độ dài  xi 1; xi  i  xi  xi1 Khi đó: n  f ( ) i i  f (1 ) 1  f ( )    f ( n )  n gọi tổng tích phân hàm i 1 số y  f ( x) ứng với phép phân hoạch   a; b  Định nghĩa tích phân xác định: n Giả sử  f ( ) i i  f (1 ) 1  f ( )    f ( n )  n tổng tích phân hàm số i 1 n y  f ( x) ứng với phép phân hoạch   a; b  Nếu tồn giới hạn lim Maxi 0  f ( )  I i i i1 I gọi tích phân xác định hàm số y  f ( x)  a; b  kí hiệu là: b I   f ( x)dx a Khi hàm y  f ( x) gọi khả tích  a; b  1.2.2 Công thức Công thức Newton – Leipnitz Nếu  f ( x)dx  F ( x)  C , x   a; b  thì: b  f ( x ) dx  F ( x ) b a  F (b)  F (a ) a b Công thức đảo cận Giả sử ( ) khả tích [a; b] thì: a a  f  x  dx  a Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên a  f  x dx  f  x dx http://www.lrc-tnu.edu.vn b Công thức tách cận Giả sử f ( x ) khả tích  a; b  ta có: b c b  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx , c  (a; b) a a c Cơng thức tích phân phần Giả sử u  u  x  ; v  v( x) khả tích  a; b  b Ta có: b u d v  u v b a a  v d u a Công thức đổi biến Giả sử y  f ( x ) liên tục  a; b  x   (t ) khả vi liên tục  c; d  min (t )c;d   a ; max (t )[ c;d ]  b ;   c   a;   d   b Ta có công b thức đổi biến số d  f  x  dx   f   t      t  dt a c 1.2.3 Tính chất Tính chất Nếu hàm số f ( x ) liên tục  a; b  khả tích  a; b  Tính chất Giả sử f  x  ; g ( x) khả tích  a; b  với   ;    ta có: b b b   f  x    g  x  dx    f  x  dx   g  x  dx a a a Tính chất Nếu f ( x) hàm chẵn liên tục [  a; a ] thì, a a  f  x dx  2 f  x dx a a Tính chất Nếu f ( x ) hàm lẻ liên tục [  a; a ]  f  x  dx  a b Tính chất Cho f ( x) liên tục [a; b] f (x)  x [a; b]   f (x)dx  a Tính chất Nếu f  x ; g  x hai hàm liên tục f  x  g  x x [a;b] Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn  a   (ĐHYD.HCM.96) I   x x  a dx Ta xét trường hợp sau: 1  x ax  a Nếu a   I    x  x  a dx    x  ax dx        0  0 a a 1  x ax   x ax  Nếu  a   I    x  x  a dx   x  x  a dx         0  a  a  a a3   1   a3 a  a3  I                3 2   2.5.2 Bất đẳng thức tích phân Giả sử f ( x); g ( x) hai hàm số liên tục  a ; b  Khi đó: b i Để chứng minh A   h( x)dx  B ta cần xác định f ( x); g ( x) hai a hàm số liên tục  a ; b  cho  f ( x )  h( x )  g ( x) x  [a; b]  b b    f ( x)dx  A;  g ( x )dx  B a  a b b b  m  min[a;b ] h( x) Hoặc ta tìm   A   mdx   h( x )dx   Mdx  B M  m ax[a;b]h( x ) a a a b ii Để chứng minh b  f ( x)dx   g ( x)dx a ta chứng minh a f ( x)  g ( x) x [a;b] , sau lấy tích phân hai vế Do bất đẳng thức dạng toán phức tạp với nhiều kĩ thuật, minh họa vài ví dụ đơn giản 87 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn   Ví Dụ 2.5.2.1 Chứng minh rằng:  16 dx   3cos x   Vì  cos x  x [0; ]   cos3 x  x [0; ]     10  liên tục [0; ]  3cos x Xét f ( x)  Suy ra,    dx    dx   3cos x    dx   16 dx   3cos x 1   x  [0; ]  3cos x   (đpcm) 10  3 sin xdx   Ví Dụ 2.5.2.2 Chứng minh rằng:  x sin x   x cos x  sin x x  [ ; ] Ta có f ( x)  Đặt x x2   g ( x)  x cos x  sin x  g ( x )   x sin x  x  [ ; ] , Xét f ( x)     g ( x )  x cos x  sin x nghịch biến x  [ ; ]  g ( x)  g ( )   f ( x )  nên f ( x)   36 0 12 sin x    nghịch biến x  [ ; ]  f    f ( x)  x 3     3 3 sin x 3 sin xdx 3 3 sin xdx     dx     dx    2 x  2 x  x     6   f  6 (đpcm) dx   1 x x Ví Dụ 2.5.2.3 Chứng minh rằng: ln   Ta có,  x  nên x  x   x2  x x  x   x2   x x   x  1 dx dx dx dx  1    ln    (đpcm)   Vậy  2 1 x 1 x x 1 x 1 x  x x 1 x 0 1 x x Một số luyện tập: 88 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Bài 1: Tính tích phân sau 1) I   x  11 dx x  5x  3 1 7) I   xe 3) I   2x  dx  4) I    x dx 3 2)I    x   x   dx 6)I  I    2cos 2xdx x2 4  5)I    sin xdx dx 8)I  1  0 x2 e   x  dx x  Bài 2: Chứng minh  e sin x dx  9) I  x  (a  1) x  a dx 3  Bài 3: Chứng minh   x tan xdx  2 32   dx 2 Bài 4: Chứng minh   3 cos x  cos x  1 Bài 5: Chứng minh e 1 x dx   4 89 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Ứng dụng tích phân hàm biến 3.1 Diện tích hình phẳng xác định đường cong y  f ( x ) 3.1.1 Diện tích hình thang cong giới hạn bởi: (C ) : y  f ( x)  (Ox ) : y     x  a   x  b (a  b) b S   f ( x) dx (1) a Khi vào tốn cụ thể, ta cần tìm đủ đường thực bỏ dấu giá trị tuyệt đối theo phương pháp đồ thị phương pháp đại số Phương pháp đồ thị: Vẽ đồ thị (C ) : y  f ( x ) x  [ a; b] , có trường hợp sau b i Đồ thị nằm trục hoành  f ( x )    (1)  S   f ( x)dx a b ii Đồ thị nằm trục hoành  f ( x )    (1)  S    f ( x)dx a iii Đồ thị (C)  Ox  x0 [a; b] (Hình vẽ ) x0 b (1)  S   f ( x)dx   f ( x )dx a x0 Phương pháp đại số: Giải phương trình f ( x )  (*) Tìm nghiệm x0 [a; b] , lập bảng xét dấu x0 Với bảng b  S   f ( x)dx   f ( x)dx a x0 Chú ý: Diện tích S  90 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Với câu hỏi “Tính diện tích giới hạn (C) : y  f ( x) trục hồnh” Thì ta phải tìm thêm hai đường x  a; x  b làm hai cận tích phân (1) x  a; x  b hai nghiệm phương trình f ( x)  Đối với số hàm có tính chất đối xứng như: parabol, đường trịn, elip…Ta nên sử dụng tính chất đối xứng hàm để tính phần S, sau suy diện tích cần tìm Nên dùng phương pháp đồ thị để tìm S hiệu so với việc sử dụng phương pháp đại số Trừ đồ thị y  f (x) khó vẽ đồ thị, ta sử dụng phương pháp đại số b Nếu f ( x) khơng đổi dấu [a; b] S   f ( x)dx a Ví dụ 3.1.1.1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y  x  x , trục Ox đường x  Ta có, (C ) : y  x  x giao với Ox hoành độ giao điểm nghiệm phương trình x  x   x0 Do x  x  1 x  [0;1] nên S   x  x dx    x d 1  x  20 1 1 2 1  S   1  x  d 1  x   1  x   (đvdt) 20 3 Ví dụ 3.1.1.2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y  ln x , đường x  1; x  e x  ln x Ta có, y   x  [1; e]  S  x e S   dx   ln x     x  e  1  ln x  e  1  ln x dx x d  ln x   e 2 1  ln x   2  (đvdt) 3   91 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3.1.2 Diện tích hình phẳng giới hạn (C1 ) : y  f ( x) (C ) : y  g ( x )    x  a   x  b (a  b) b S   f ( x )  g ( x ) dx (2) a Công thức khai triển b i Nếu f ( x )  g ( x )x  [a; b]  (2)  S    f ( x)  g ( x ) dx a b ii Nếu f ( x )  g ( x )x  [a; b]  (2)  S    g ( x)  f ( x ) dx a x0 b iii Mỗi x0  [a; b]  (2)  S   f ( x )  g ( x) dx   f ( x)  g ( x) dx a x0 Phương pháp giải Ta sử dụng phương pháp đồ thị phương pháp đại số để bỏ dấu trị tuyệt đối (2) Ví dụ 3.1.2.1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn ( P1 ) : y  x  x ( P2 ) : y   x  x Xét phương trình hồnh độ giao điểm x  x2  x   x2  x   x  Qua đồ thị ta có, 3  2x3  S      x  x    x  x  dx  S    2x  6xdx    3x2   (đvdt)  0 0 2 Ví dụ 3.1.2.2 Parabol y  x  P  chia hình phẳng gới hạn đường trịn: x2  y  (C) thành hai phần, tính diện tích phần 92 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Hoành độ giao điểm  P  đường tròn nghiệm hệ:  y  2x  x  4  ( L )   2  x  y   x   y  2 Gọi tọa độ giao điểm là: B  2;  C  2; 2  Khi đó, SAOB   2xdx  2 2 13 8  x dx  x I  I 3   dx  2 cos t  Đặt x  2 sin t     x   t  ; x  2  t    I 2    2 2 cos t  8sin tdt   cos tdt  4   sin 2t    1  cos 2t dt   t   2     4  S AOB        3 Do tính đối xứng nên S AOBC  S AOB  2  lại là: S   R  S AOBC  8  2   6  (đvdt) Suy phần diện tích (đvdt) 3.1.3 Diện tích hình phẳng giới hạn nhiều đường cong Giả sử có đường cong (C1 );(C2 );(C3 );(C4 ) có đồ thị hình vẽ Để xác định diện tích hình phẳng giới hạn chúng, cần vẽ đồ thị xác định hoành độ giao điểm chung ( x1; x2 ; x3; x4 ) chúng Khi S  S1  S2  S3 93 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn x2 x3 x4  S    C1  C3 dx    C4 C3 dx    C4 C2 dx x1 x2 x3 Ví dụ 3.1.3.1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y  x ; y  x ; y  27 x Giải: Xét đồ thị ( P1 ) : y  x ; ( P2 ) : y  x ; ( H ) : y  27 x Phương trình hồnh độ giao điểm (P1) ( H ) x  27  x   A(3;9) x Phương trình hồnh độ giao điểm ( P2 ) ( H ) là: x 27   x   B (6; ) x Diện tích miền giới hạn cần tìm là: 3 6  x2   27 x   x3 x3  S  S1  S2    x  dx      dx    27 ln x    x  24  24  0 3  S  27 ln (đvdt) Ví dụ 3.1.3.2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (P) : y  4x  x2 tiếp tuyến ( P) , biết tiếp tuyến qua M ( ; 6) Giả sử (d ) : y  k ( x  )  tiếp tuyến ( P) Ta có hệ: 94 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn  4 x  x  k ( x  )   x   k     x   k  4  k   2x Suy tiếp tuyến ( P) là: (d1 ) : y  x 1;(d2 ) : y  4x 16 5 Do đó, S    2x   4x  x2 dx    4x  16  4x  x2 dx  x  1 S  x  4   (đvdt) Một số luyện tập: Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn (P) : y  x2  4x  Ox Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn (P) : y  x2  4x  (d ) : y  x  1; x  2; x  Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn y  x2  x  2; y  x2  4x  5; y  x2  4x  y  Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn x  y   ; y3  x 1 Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn y  xex y  0; x  1; x  Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn y  ex y   x  1 ; x  Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn y  x2  2x ; y  x  Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn y  x  sin x ; y  x; x  0; x   95 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3.2 Thể tích khối trịn xoay Khi tìm thể tích khối trịn xoay, ta cần xác định: Miền hình phẳng ( H ) sinh ra: đường giới hạn ( H ) Nếu ( H ) xoay quanh trục Ox hàm dấu tích phân y  f ( x) ,biến x Nếu ( H ) xoay quanh trục Oy hàm dấu tích phân x  f ( y) ,biến y 3.2.1 Thể tích khối trịn xoay sinh diện tích S quay xung quanh trục Ox Bài Toán y  f ( x)   (C ) :  y0  x  a; x  b (a  b )  b  V  Vx    f ( x)dx a Bài Toán  (C1 ) : y  f ( x )  (C ) : y  g ( x )  (C ) :  0  f ( x )  g ( x )  x  a; x  b b  V  Vx     g ( x )  f ( x)  dx a Nếu toán cho (C1) : y  f ( x) (C2 ) : y  g ( x) , ta cần xác định x  a x  b cận tích phân cách giải phương trình f ( x)  g ( x)   Ví dụ 3.2.1 Xét hình phẳng ( H ) giới hạn P( x): y2  8x x  Tính thể tích khối trịn xoay quay ( H ) quanh trục Ox 96 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ta có, P( x) : y  x  y   x ( x  0) Thể tích khối xoay ( H ) quay quanh trục Ox V  Vx     8x  2 dx  8  xdx  16 (đvtt) 3.2.2 Thể tích khối trịn xoay sinh diện tích S quay xung quanh trục Oy x  f ( y)   (C ) :  x0  y  a; y  b ( a  b )  Bài Toán b  V  Vy    f ( y )dy a Bài Toán  (C1 ) : x  f ( y )  (C ) : x  g ( y )  (C ) :  0  f ( y )  g ( y )  y  a; y  b b  V  Vy     g ( y )  f ( y )  dy a Ví dụ 3.2.2.1 Xét hình phẳng ( H ) giới hạn (C1 ) : y  x ; (C2 ) : y   x y  Tính thể tích khối trịn xoay quay ( H ) quanh trục Oy Ta có, y  x  x  f ( y )  y y   x  x  g ( y)   y Tọa độ giao điểm A  (C1 )  (C2 )  y x x 1 nghiệm,    A(1;1)  y   x  y  Do thể tích khối trịn xoay ( H ) quay quanh trục Oy 97 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1  y3  32 Vy      y   y  dy     y  dy    y   (đvtt)    15   0 Ví dụ 3.2.2.2 Xét hình phẳng ( H ) giới hạn ( P ) : y  x  x (Ox) : y  Tính thể tích khối trịn xoay quay ( H ) quanh: a) trục Ox b) trục Oy Ta có: a) Thể tích khối trịn xoay ( H ) quanh quanh truc hoành 2 V    y dx     2x  x 2  4 x5  16 dx   x  x     15 3 (đvtt) 2 b) Ta có, (P) : y  2x  x  x  2x  y  (*) Vì    y   y  [0;1] nên  x  1 1 y (*)    x2    y ( x1 , x2  [0;1]) Thể tích khối trịn xoay ( H ) quanh quanh truc tung là: 1 V     x  x dy =   x2  x1  x2  x1 dy =4   ydy 2  8 1  y  3  8 (đvtt) Một số luyện tập: 1) Tính VOx biết: D   y  x ln x, y  0, x  1, x  e (ĐHXDHN.97) 2) Cho D miền giới hạn đồ thị y  tg x; y  0; x  0; x   a)Tính diện tích miền phẳng D b)Cho D quay quanh Ox , tính thể tích vật thể trịn xoay tạo thành (CĐSP.BTre.A 2002) 98 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn  3) Tính VOx biết: D   y  4) Tính VOx  x3 , y  x2   (ĐH.HH.99)  biết: D   y  x ; y  x  4 (ĐH.Luật 96) 5) Tính VOx biết: D   y  x  x  6; y   x  x  6 (ĐHQGHN 99B)  6) Tính VOx biết: D  y  x2 ; y  x  (ĐH.NN1 HN 98)   7) Tính VOx biết: D  y  x ln 1  x  ; y  0; x  (HV.NH TPHCM 99) e 8) Tính VOy biết: D   y  e x ; y  ; y  0; x  0   ( CĐ.CN.HN 03) 99 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn KẾT LUẬN Trong luận văn chúng tơi hồn thành việc sau Trình bày khái quát phép tính tích phân hàm biến Và phần phân dạng phép tích tích phân hàm biến với khoảng 80 dạng toán, với lượng tập lấy từ đề kỳ thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng Trong năm gần đây, toán tích phân ln vấn đề khó tiếp cận em học sinh phổ thông Chúng thực đề tài với mục đích có thêm tài liệu bổ ích giúp em học sinh tiếp cận dễ dàng với tốn tích phân kỳ thi tuyển sinh 100 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A.K SHARMA Text book of inntegral calculus Discovery Publishing house New Delhi – 110002 2005 [2] Mir publishers Moscow 1981 ACourse of Mathematical analysis [3] Nguyễn Đình Trí Tốn cao cấp – Tập II Nhà xuất Đại học trung học chuyên nghiệp – 1985 101 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn