Tích chấp suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân fourier sine, fourier cosine và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - Nguyễn Văn Sang TÍCH CHẬP SUY RỘNG ĐỐI VỚI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER SINE, FOURIER COSINE VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun- 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - Nguyễn Văn Sang TÍCH CHẬP SUY RỘNG ĐỐI VỚI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER SINE, FOURIER COSINE VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN MINH KHOA Thái Nguyên- 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành quan tâm hướng dẫn tận tình TS Nguyễn Minh Khoa Nhân dịp này, xin gửi tới thầy lời cảm ơn chân thành sâu sắc Tôi xin cảm ơn thầy, cơng tác khoa Tốn - trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên, khoa Công Nghệ Thông Tin - Đại học Thái Nguyên, Viện tốn học Việt Nam nhiệt tình giảng dạy q trình tơi học tập Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới thầy, Ban giám hiệu, Tổ Toán - Tin Trường Trung học phổ thông Ba Bể, Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Bắc Kạn tạo điều kiện giúp đỡ q trình học tập, nghiên cứu hồn thiện luận văn cao học Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn gia đình, anh chị em học viên lớp cao học toán K3A bạn bè đồng nghiệp động viên khích tơi q trình học tập, nghiên cứu làm luận văn Thái Nguyên, ngày .tháng 08 năm 2011 Tác giả luận văn Nguyễn Văn Sang 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Danh mục ký hiệu Chương Các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine Fourier sine 1.1 Phép biến đổi tích phân Fourier 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Các tính chất biến đổi Fourier 9 1.2 Phép biến đổi tích phân Fourier cosine Fourier sine 13 1.2.1 Phép biến đổi tích phân Fourier cosine 1.2.2 Phép biến đổi tích phân Fourier sine 1.2.3 Các tính chất 13 15 16 Chương Tích chập suy rộng hai phép biến đổi tích phân 19 2.1 Tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = sin(ay) phép biến đổi tích phân Fourier cosine Fourier sine-3 20 2.1.1 Định nghĩa tính chất tích chập suy rộng 20 2.2 Tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = sin(ay)đối với phép biến đổi tích phân Fourier sine Fourier cosine-4 31 2.2.1 Định nghĩa tính chất tích chập suy rộng 31 Chương Một số ứng dụng 40 3.0 Định lý Wiener-Lévy 40 3.1 Giải phương trình tích phân kiểu Toeplizt-Halken 41 3.1.1 Xét phương trình tích phân ứng với tích chập (2.1.1) 3.1.2 Xét phương trình tích phân ứng với tích chập (2.2.1) 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 41 42 http://www.lrc-tnu.edu.vn 3.2 Giải hệ phương trình tích phân dạng chập 44 3.2.1 Xét hệ phương trình tích phân dạng chập ứng với tích chập (2.1.1) 3.2.2 Xét hệ phương trình tích phân ứng với tích chập (2.2.1) 44 47 3.3 Giải gần phương trình tích phân dạng chập 50 3.3.1 Tích phân kỳ dị, tích phân dạng Cauchy, công thức Sokhotski 3.3.2 Lớp hm tha iu kin Hăolder 3.3.3 Bài toán bờ Riemann 3.3.4 Giải gần phương trình tích phân dạng chập 50 51 52 53 Kết luận 58 Tài liệu tham khảo 59 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI MỞ ĐẦU Phép biến đổi tích phân nghiên cứu phát triển từ sớm có vai trị quan quan trọng giải tích tốn học số ngành khoa học tự nhiên khác Phép biến đổi tích phân cơng cụ hiệu việc giải toán điều kiện đầu, điều kiện biên phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng số lớp toán Vật lý toán Cùng với phát triển phép biến đổi tích phân, tích chập phép biến đổi tích phân xuất vào khoảng đầu kỷ 20 Các tích chập nghiên cứu tích chập phép biến đổi Fourier [15], [16], tích chập phép biến đổi Laplace [8], [ 16], tích chập phép biến đổi Mellin [8] sau đời tích chập phép biến đổi Hilbert [16], phép biến đổi Hankel [17], [18], phép biến đổi Kontorovich-Lebedev [17], phép biến đổi Stieltjes [7] tích chập phép biến đổi Fourier cosine [8], [15] Các tích chập có nhiều ứng dụng tính tốn tích phân, tính tổng chuỗi, tốn Vật lý tốn, phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình hệ phương trình tích phân, lý thuyết xác suất xử lý ảnh Phép biến đổi Laplace L xác định [8] Z+∞ e−yx f (x)dx, y ∈ C (L f )(y) = (0.1) Tích chập hai hàm f g phép biến đổi tích phân Laplace L xác định theo [7] ( f ∗ g)(x) = Zx L f (x − t)g(t)dt, x > (0.2) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa sau L( f ∗ g)(y) = (L f )(y)(Lg)(y), ∀y > L (0.3) Tuy nhiên trước năm 50 kỷ trước, tích chập biết tích chập khơng có hàm trọng nhiều phép biến đổi tích phân chưa xác định tích chập Số lượng tích chập phép biến đổi tích phân hạn chế gần không phát triển Những bế tắc khai thơng 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn lớp tích chập mở rộng hơn, tích chập có hàm trọng xuất Năm 1958 lần tích chập với hàm trọng đời Đó tích chập với hàm trọng π γ0 (x) = [Γ(p + ix + )]−2 phép biến đổi tích phân Mehler Fox [20] xsh(πx) tìm Vilenkin Y Ya Dẫu phải gần 10 năm sau, năm 1967 Kakichev V A.[17] tìm phương pháp kiến thiết để định nghĩa tích chập phép biến đổi tích phân K với hàm trọng γ(x) dựa đẳng thức nhân tử hóa γ K( f ∗ g)(x) = γ(x)(K f )(x)(Kg)(x) Với ý tưởng kỹ thuật phương pháp nhà toán học tìm số tích chập phép biến đổi tích phân khác Các tích chập hàm trọng tìm chẳng hạn tích chập phép biến đổi tích phân Hankel [17], [19], Meijer [19], Kontorovich Lebedev [17], Fourier sine [17], Somemerfeld [19] Nhờ tích chập với hàm trọng đời mà tranh tích chập phép biến đổi tích phân phong phú Tuy nhiên với bổ sung lớp tích chập suy rộng, nhiều điều lý thú lĩnh vực phát hiện, mở rộng phát triển Khởi xướng việc xây dựng tích chập hai hàm phép biến đổi tích phân Chuchill R V Năm 1941, lần tích chập suy rộng hai hàm hai phép biến đổi tích phân khác cơng bố Đó tích chập suy rộng hai hàm f g phép biến đổi tích phân Fourier sine Fourier cosine [15] ( f ∗ g)(x) = √ 2π Z+∞ f (y)[g(|x − y|) − g(x + y)]dy, x > (0.4) với đẳng thức nhân tử hóa Fs ( f ∗ g)(y) = (Fs f )(y)(Fc g)(y), ∀y > (0.5) Nhưng tới tận năm 90 kỷ trước, vài trường hợp tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân công bố Năm 1998, Kakichev V.A Nguyễn Xuân Thảo đưa phương pháp thiết kế để xác định tích chập suy rộng ba phép biến đổi tích phân với hàm trọng γ(y) mà chúng ln có đẳng thức nhân tử hóa γ K1 ( f ∗ g)(y) = γ(y)(K2 f )(y)(K3 f )(y) 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (0.6) http://www.lrc-tnu.edu.vn Tư tưởng kỹ thuật phương pháp mở đường cho số tích chập suy rộng với hàm trọng hai phép biến đổi tích phân Một số tích chập tiếp tục xuất Chẳng hạn tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân Fourier cosine Fourier sine xác định ( f ∗ g)(x) = √ 2π Z+∞ f (y)[sign(y − x)g(|y − x|) + g(y + x)]dy, x > (0.7) với đẳng thức nhân tử hóa Fc ( f ∗ g)(y) = (Fs f )(y)(Fs g)(y), ∀y > (0.8) Như ta biết, tích chập đóng vai trị quan trọng lý thuyết phép biến đổi tích phân nhà toán học quan tâm nghiên cứu.Việc xây dựng nghiên cứu tích chập suy rộng thực có ý nghĩa khoa học lĩnh vực lý thuyết tích chập, phương trình hệ phương trình tích phân Vì chọn hướng nghiên cứu luận văn xây dựng nghiên cứu số tích chập suy rộng hai phép biến đổi tích phân Fourier cosine Fourier sine Qua ứng dụng thành công vào việc giải số lớp phương trình tích phân, hệ phương trình tích phân dạng chập nghiên cứu giải gần phương trình tích phân dạng chập Bố cục luận văn ngồi phần mở đầu kết luận gồm có ba chương Chương Chúng nghiên cứu ba phép biên đổi tích phân Fourier, Fourier cosine Fourier sine Các tính chất ba phép biến đổi tích phân nói đề cập chương này, kèm theo số ví dụ minh họa cho tính chất Chương Xây dựng hai tích chập với hàm trọng hai phép biến đổi tích phân nói Chương phép biến đổi tích phân Fourier cosine Fourier sine Các tích chập xây dựng chương là: tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = sin(ay) hai phép biến đổi tích phân Fourier cosine Fourier sine Chương Chúng tập trung vào việc ứng dụng hai tích chập suy rộng xây dựng Chương để giải số lớp phương trình tích phân kiểu ToepliztHankel, hệ phương trình tích phân dạng chập Ngồi chúng tơi cịn nghiên cứu việc giải gần phương trình tích phân dạng chập 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Danh mục ký hiệu R C ∀x L(R) : Tập số thực : Tập số phức : Với x : Tập hợp tất hàm f xác định R cho: +∞ R | f (x)|dx < +∞ −∞ L(R+ ) : Tập hợp tất hàm f xác định (0, +∞) cho: +∞ R | f (x)|dx < +∞ L2 (R) : Tập hợp tất hàm f xác định R cho: +∞ R f (x)dx < +∞ −∞ L(R+ , ex ) : Tập hợp tất hàm f xác định (0, +∞) cho: +∞ R ex | f (x)|dx < +∞ C(R) : Tập hợp tất hàm f liên tục R cho: k f k = sup| f (t)| < +∞ t∈R f0 f 00 f 000 f (n) : Đạo hàm hàm f : Đạo hàm cấp hàm f : Đạo hàm cấp hàm f : Đạo hàm cấp n hàm f 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine Fourier sine Thông qua phép biến đổi tích phân ta xây dựng đại số với phép toán nhân chập tương ứng Trong chương chúng tơi nghiên cứu ba phép biến đổi tích phân Đó phép biến đổi tích phân Fourier, phép biến đổi tích phân Fourier cosine Fourier sine Nội dung chương trình bày sau Mục 1.1 Trình bày phép biến đổi tích phân Fourier số tính chất Mục 1.2 Trình bày phép biến đổi tích phân Fourier cosine, Fourier sine số tính chất chúng Tài liệu tham khảo chương [1] 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn γ | f (y)|.|[g(|x + y − a|) + g(|x − y + a|) ( f ∗ g)(x) dx = √ 2π 0 − g(x + y + a) − g(|x − y − a|)]|dydx  Z+∞ Z+∞ Z+∞ ≤ √ | f (y)| |g(|x + y − a|)|dx + |g(|x − y + a|)|dx 2π 0 Z+∞ Z+∞ 0 |g(x + y + a)|dx + + (2.1.3)  |g(|x − y − a|)|dx dy 20Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 20 http://www.lrc-tnu.edu.vn Mặt khác, Z+∞ |g(x + y + a)|dx Z+∞ |g(|x − a − y|)|dx + 0 Z+∞ Z+∞ |g(t)|dt = (2.1.4) −a−y y+a Z+∞ Z+∞ |g(t)|dt = |g(|t|)|dt + |g(|t|)|dt + + y+a y+a Z |g(|t|)|dt Z+∞ |g(t)|dt =2 0 Tương tự, Z+∞ Z+∞ 0 |g(|x + a − y|)|dx + Z+∞ y−a Z 0 |g(t)|dt + = |g(|x − a + y|)|dx = Z+∞ |g(t)|dt + a−y |g(|t|)|dt + Z+∞ |g(|t|)|dt = y−a Z+∞ |g(|t|)|dt y−a Z+∞ (2.1.5) |g(t)|dt Từ (2.1.3), (2.1.4) (2.1.5), ta đến r Z+∞ Z+∞ Z+∞ γ | f (t)|dt |g(t)|dt < +∞ ( f ∗ g)(x) dx ≤ π 0 γ Vì ( f ∗ g)(x) ∈ L(R+ ) Bây ta chứng minh đẳng thức nhân tử hóa (2.1.2) Từ sin(ax)(Fs f )(x)(Fc g)(x) = π Z+∞Z+∞ sin(ax) sin(xu) cos(xv) f (u).g(v)dudv 0 sin(ax) sin(xu) cos(xv) = [cos x(u − v − a) + cos x(u + v − a) − cos x(u + v + a) − cos x(u − v + a)] ta nhận sin(ax)(Fs f )(x)(Fc g)(x) = 2π Z+∞Z+∞ [cos x(u − v − a) + cos x(u + v − a) (2.1.6) − cos x(u + v + a) − cos x(u − v + a)] f (u)g(v)dudv 21Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 21 http://www.lrc-tnu.edu.vn Với phép đổi biến y = u,t = u + v + a, ta nhận 2π Z+∞Z+∞ cos x(u + v + a) f (u).g(v)dudv = = Z+∞ Z+∞ 2π cos xt f (y).g(t − y − a)dtdy y+a (2.1.7) Z+∞Z+∞ 2π cos xt f (y).g(|t − y − a|)dtdy − y+a Z+∞ Z 2π cos xt f (y).g(y − t + a)dtdy 0 Tương tự, với phép đổi biến y = u, −t = u − v + a ta có 2π Z+∞Z+∞ cos x(u − v + a) f (u).g(v)dudv = = 2π 2π Z+∞ Z+∞ cos xt f (y).g(t + y + a)dtdy −a−y cos xt f (y).g(t + y + a)dtdy + 2π Hơn (2.1.8) Z+∞Z+∞ Z+∞ Z0 cos xt f (y).g(t + y + a)dtdy −y−a Z+∞ Z0 cos xt f (y).g(t + y + a)dtdy −y−a =− Z+∞ Z0 cos xt f (y).g(y − t + a)dtdy (2.1.9) y+a y+a Z+∞ Z cos xt f (y).g(y − t + a)dtdy = 0 22Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 22 http://www.lrc-tnu.edu.vn Từ (2.1.7), (2.1.8) (2.1.9), ta nhận − 2π Z+∞Z+∞ [cos x(u + v + a) + cos x(u − v + a)] f (u).g(v)dudv =− 2π Z+∞Z+∞ (2.1.10) cos xt.[g(|t − y − a|) + g(t + y + a)] f (y)dtdy 0 Với phép đổi biến y = u,t = y − a + v, ta có 2π Z+∞Z+∞ cos x(u − a + v) f (u).g(v)dudv = = 2π 2π Z+∞ Z+∞ cos xt f (y).g(t − y + a)dtdy y−a cos xt f (y).g(|t − y + a|)dtdy − (2.1.11) Z+∞Z+∞ y−a Z+∞ Z 2π cos xt f (y).g(|t − y + a|)dtdy 0 Với phép đổi biến y = u,t = v − u + a, ta nhận 2π Z+∞Z+∞ cos x(u − a − v) f (u).g(v)dudv = = 2π 2π Z+∞ Z+∞ cos xt f (y).g(t + y − a)dtdy a−y cos xt f (y).g(|t + y − a|)dtdy − (2.1.12) Z+∞Z+∞ 2π a−y Z+∞ Z cos xt f (y).g(|t + y − a|)dtdy 0 23Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 23 http://www.lrc-tnu.edu.vn Mặt khác, y−a Z+∞ Z cos xt f (y).g(|t − y + a|)dtdy 0 =− (2.1.13) a−y Z+∞ Z cos xt f (y).g(|t + y − a|)dtdy 0 Từ (2.1.11 ), (2.1.12) (2.1.13), ta có 2π Z+∞Z+∞ [cos x(u + v − a) + cos x(u − v − a)] f (u).g(v)dudv = 2π Z+∞Z+∞ (2.1.14) cos(xt).[g(|t − y + a|) + g(t + y − a)] f (y)dtdy 0 Cuối từ (2.1.6), (2.1.10) (2.1.14) ta thu sin(ax)(Fs f )(x)(Fc f )(x) =  Z+∞ Z+∞ cos(xt) f (y)[g(|t + y − a|) + g(|t − y + a|) 2π 0  − g(t + y + a) − g(|t − y − a|)]dy dt Đẳng thức cuối (2.1.1) dẫn tới γ sin(ax).(Fs f )(x).(Fc g)(x) = Fc ( f ∗ g)(x) Việc chứng minh hoàn thành  Nhận xét Đây định lý quan trọng tích chập Sử dụng định lý cho phép ta chứng minh số tính chất tích chập Hơn định lý giúp ta chuyển hóa lớp rộng phương trình tích phân tuyến tính với nhân phức tạp, hệ phương trình tích phân phi tuyến sang hệ phương trình đại số tuyến tính Định lý 2.1.2 Trong khơng gian L(R+ ) tích chập suy rộng (2.1.1) khơng giao hốn γ γ ( f ∗ g)(x) = −(g ∗ f )(x) + √ [sign(a − x).( f ∗ g)(|x − a|) + ( f ∗ g)(|x + a|)] L L 3 2π (2.1.15) Ở ( f ∗ g) tích chập tốn tử tích phân Laplace (0.2) L 24Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 24 http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh Thật vậy, với phép đổi biến t = x + y − a,t = y − x − a,t = x + y + a,t = y − x + a ta nhận h √ ( f ∗ g)(x) = 2π γ Z+∞ g(|t|) f (t − x + a)dt + Z+∞ g(|t|) f (t − x − a)dt − Z+∞ g(|t|) f (t + x − a)dt i −x+a x+a = √ 2π g(|t|) f (t + x + a)dt −x−a x−a − Z+∞ n Z+∞ [ f (|t − x + a|) + f (t + x + a) − f (|t − x − a|) − f (|t + x − a|)]g(t)dt Z0 + g(|t|) f (t − x + a)dt + Z0 g(|t|) f (t + x + a)dt x−a −(x+a) Z0 Z0 − g(|t|) f (t − x − a)dt − x+a (2.1.16) g(|t|) f (t + x − a)dt o −(x−a) n = −(g ∗ f )(x) + √ 2π γ Z0 g(|t|) f (t − x + a)dt x−a − Z0 g(|t|) f (t + x − a)dt − g(|t|) f (t − x − a)dt x+a −(x−a) Z0 Z0 o g(|t|) f (t + x + a)dt + −(x+a) Với phép đổi biến u = −t, ta x−a Z a−x Z 0 g(|t|) f (|t − x + a|)dt = − −(x+a) Z g(|t|) f (|t + x + a|)dt = − 25Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên g(|u|) f (|u + x − a|)du a+x Z g(|u|) f (|u − x − a|)du 25 http://www.lrc-tnu.edu.vn