Giáo trình nhập môn giải tích lồi ứng dụng phần 2 lê dũng mưu và nguyễn văn hiền

Chương TÍNH CHẤT CỰC TRỊ, BẤT ĐẲNG THỨC LỒI VÀ ĐỊNH LÝ HELLEY 9.1 Cực đại cực tiểu hàm lồi 128 9.2 Hạng hàm lồi 135 9.3 Bất đẳng thức lồi 139 9.4 Định lý Helley 143 9.5 Bài tập 148 Cực trị (cực đại, cực tiểu) hàm lồi tập lồi có tính chất riêng, lý thú Sự nghiên cứu tính chất cực trị hàm lồi tập lồi đề tài quan trọng lý thuyết tối ưu Chương trước hết giới thiệu số tính chất chung cực tiểu cực đại hàm lồi tập lồi Tiếp theo trình bày hạng hàm lồi, đại lượng đo "mức độ phi tuyến" Tính chất cực trị hàm lồi có liên quan chặt chẽ với bất đẳng thức lồi đề cập phần Cuối chương định lý Helley tương giao tập lồi 128 Nhập mơn giải tích lồi ứng dụng 9.1 Cực đại cực tiểu hàm lồi Trong nhiều vấn đề ứng dụng ta thường gặp tốn tìm cực tiểu cực đại hàm lồi tập lồi Hai tốn có tính chất khác Tuy nhiên tính chất lồi kéo theo đặc thù riêng cho toán Lợi dụng tính chất này, người ta đưa phương pháp giải khác cho toán kể Định nghĩa 9.1 Cho C ⊆ IRn khác rỗng f : IRn → IR Một điểm x ∗ ∈ C gọi cực tiểu địa phương f C tồn lân cận U x ∗ cho f ( x ∗ ) ≤ f ( x ) ∀ x ∈ U ∩ C Điểm x ∗ ∈ C gọi cực đại địa phương f ( x ) ≤ f ( x ∗ ) ∀ x ∈ U ∩ C Nếu f ( x ) ≥ f ( x ∗ ) ∀ x ∈ C, x ∗ gọi cực tiểu toàn cục hay cực tiểu tuyệt đối f C, f ( x ) ≤ f ( x ∗ ) ∀ x ∈ C, x ∗ gọi cực đại toàn cục hay cực đại tuyệt đối f C Cực tiểu hàm lồi Mệnh đề cho thấy điểm cực tiểu địa phương hàm lồi tập lồi điểm cực tiểu tuyệt đối Điều quan trọng cho phép sử dụng cơng cụ mang tính địa phương phép tính vi phân việc xây dựng lý thuyết phương pháp giải cho toán 9.1 Cực đại cực tiểu hàm lồi 129 Mệnh đề 9.1 Cho f : IRn → IR ∪ {+∞} lồi Khi điểm cực tiểu địa phương f tập lồi cực tiểu toàn cục Hơn tập hợp điểm cực tiểu f tập lồi Nếu f lồi chặt, điểm cực tiểu, tồn tại, Chứng minh Cho C ⊆ IRn Giả sử x ∗ điểm cực tiểu địa phương f C Khi tồn lân cận U x ∗ cho f ( x ) ≥ f ( x ∗ ) ∀ x ∈ U ∩ C Với x ∈ C, < λ < 1, C lồi U lân cận ∈ C, nên điểm xλ := (1 − λ) x ∗ + λx ∈ C ∩ U λ đủ nhỏ Do f ( x ∗ ) ≤ f ( xλ ) f lồi, ta có x∗ f ( x ∗ ) ≤ f ( x λ ) ≤ (1 − λ ) f ( x ∗ ) + λ f ( x ) Từ suy f ( x ∗ ) ≤ f ( x ) Chứng tỏ x ∗ cực tiểu toàn cục f C Giả sử x ∗ , y∗ ∈ C điểm cực tiểu f C Vậy f ( x ∗ ) = f (y∗ ) ≤ f ( x ) với x ∈ C Lấy z∗ := λx ∗ + (1 − λ)y∗ , với < λ < Do C lồi, nên z∗ ∈ C f lồi, nên f ( z ∗ ) ≤ λ f ( x ∗ ) + (1 − λ ) f ( y ∗ ) ≤ f ( x ) Suy z∗ điểm cực tiểu f C Chứng tỏ tập điểm cực tiểu f C lồi Dễ thấy tập hợp gồm nhiều điểm f lồi chặt Mệnh đề mang tính chất định tính Mệnh đề mang nhiều tính chất định lượng Ta xét tốn tìm cực tiểu hàm lồi tập lồi có dạng sau: (OP) f ( x ) với điều kiện gi ( x ) ≤ 0, i = 1, , m, h j ( x ) = 0, j = 1, , k x∈X 130 Nhập môn giải tích lồi ứng dụng X ⊆ IRn tập lồi đóng khác trống f , gi (i = 1, , m) hàm lồi hữu hạn X, h j ( j = 1, , k) hàm a-phin hữu hạn tập a-phin X Ta giả sử X có điểm hàm a-phin h j ( j = 1, , k) độc lập tuyến tính X, theo nghĩa, ∑kj=1 µ j h j ( x ) = với x ∈ X, µ j = với j Bài toán (OP) gọi quy hoạch lồi Hàm f gọi hàm mục tiêu Các điều kiện x ∈ X, gi ( x ) ≤ (i = 1, m), h j ( x ) = 0, ( j = 1, , k) gọi ràng buộc Tập D := { x ∈ X | gi ( x ) ≤ i = 1, , m, h j ( x ) = 0, j = 1, , k} gọi miền chấp nhận Một điểm x ∈ D gọi điểm chấp nhận toán (OP) Do X tập lồi, hàm gi (i = 1, , m) lồi X h j (j = 1, , k) a-phin, nên D tập lồi Điểm cực tiểu f D gọi nghiệm tối ưu toán (OP) Ta xây dựng hàm sau, gọi hàm Lagrange, cho toán (OP): m k i =1 j =1 L( x, λ, µ) := λ0 f ( x ) + ∑ λi gi ( x ) + ∑ µ j h j ( x ) Dựa vào hàm Lagrange, ta có kết sau: Định lý 9.1 (Karush-Kuhn-Tucker) Nếu x ∗ nghiệm tốn quy hoạch lồi (OP), tồn λi∗ ≥ (i = 0, 1, , m) µ∗j (j = 1, , k) không đồng thời cho L( x ∗ , λ∗ , µ∗ ) = L( x, λ∗ , µ∗ ) (điều kiện đạo hàm triệt tiêu) x∈X λi∗ gi ( x ∗ ) = (i = 1, , m) (điều kiện độ lệch bù) Hơn intX = ∅ điều kiện Slater sau thoả mãn ∃ x0 ∈ D : gi ( x0 ) < (i = 1, , m) 131 9.1 Cực đại cực tiểu hàm lồi λ0∗ > hai điều kiện đạo hàm triệt tiêu độ lệch bù trên, điều kiện đủ để điểm chấp nhận x ∗ nghiệm tối ưu toán (OP) Chứng minh Giả sử x ∗ nghiệm (OP) Đặt C := {(λ0 , λ1 , , λm , µ1 , , µk )| (∃ x ∈ X ) : f ( x ) − f ( x ∗ ) < λ0 , gi ( x ) ≤ λi , i = 1, , m, h j ( x ) = µ j j = 1, , k} Do X = ∅ lồi, f , gi lồi h j a-phin hữu hạn X, nên C tâp lồi, khác trống IRm+k+1 Hơn ∈ C Thật vậy, trái lại ∈ C, tồn điểm chấp nhận x thoả mãn f ( x ) < f ( x ∗ ) điều mâu thuẫn với việc x ∗ nghiệm tối ưu (OP) Khi theo định lý tách 1, tồn λi∗ (i = 0, 1, , m), µ∗j ( j = 1, , k) khơng đồng thời cho m k ∑ λi∗ λi + ∑ µ∗j µ j ≥ ∀(λ0 , , λm , µ1, , µk ) ∈ C i =0 (9.1) j =1 Chú ý với λ0 , , λm > 0, (λ0 , , λm , 0, , 0) ∈ C, theo định nghĩa C ta lấy x = x ∗ Từ ý này, ta suy tất λ0∗ , λ1∗ , , λ∗m ≥ Hơn nữa, với > x ∈ X, ta lấy λ0 = f ( x ) − f ( x ∗ ) + , λi = gi ( x ) (i = 1, , m), µ j = h j ( x ) (i = 1, , k) thay vào (9.1) cho → 0, m k i =1 i =1 λ0∗ f ( x ) + ∑ λi∗ gi ( x ) + ∑ µi∗ hi ( x ) ≥ λ0∗ f ( x ∗ ) + m ∑ i =1 λi∗ gi ( x ∗ ) + k ∑ µi∗ hi (x∗ ) ∀ x ∈ X i =1 Hay L( x ∗ , λ∗ , µ∗ ) ≤ L( x, λ∗ , µ∗ ) ∀ x ∈ X 132 Nhập mơn giải tích lồi ứng dụng Đây điều kiện đạo hàm triệt tiêu Để chứng minh điều kiện độ lệch bù, ta ý x ∗ chấp nhận được, nên gi ( x ∗ ) ≤ với i Nếu tồn i mà gi ( x ∗ ) = ξ < 0, với > 0, ta có ( , , ξ, , , , 0, , 0) ∈ C ( ξ vị trí thứ i + 1) Thay vào (9.1) cho → 0, ta thấy λi∗ ξ ≥ Nhưng ξ < 0, nên λi∗ ≤ Suy λi∗ = Điều kiện độ lệch bù thoả mãn Để chứng minh điều kiện đủ, ta giả sử điều kiện Slater thoả mãn Ta có λ0∗ > Thật vậy, λ0∗ = 0, điều kiện đạo hàm triệt tiêu điều kiện độ lệch bù, ta có m 0= ∑ i =1 λi∗ gi ( x ∗ ) + k ∑ j =1 µ∗j h j ( x ∗ ) m ≤ ∑ i =1 λi∗ gi ( x ) + k ∑ µ∗j h j (x) ∀ x ∈ X j =1 Thế λ0∗ = 0, nên phải có λi∗ > với i đó, λi∗ = với i, có µ∗j > với j Trong trường hợp đầu, thay x0 vào bất đẳng thức trên, m 0= ∑ λi∗ gi (x∗ ) + k ∑ µ∗j h j (x∗ ) ≤ m ∑ λi∗ gi (x0 ) + ∑ µ∗j h j (x0 ) < k i =1 j =1 i =1 j =1 Mâu thuẫn Trong trường hợp sau, ta có k 0= ∑ j =0 µ∗j h j ( x ∗ ) k ≤ ∑ µ∗j h j (x) ∀ x ∈ X j =0 Do intX = ∅ h j a-phin với j, nên từ suy ∑kj=0 µ∗j h j ( x ) = ∀ x ∈ X Từ hàm h j độc lập tuyến tính X, ta có µ∗j = với j Điều mâu thuẫn với việc tất nhân tử λi∗ µ∗j khơng đồng thời Vậy λ0∗ > 133 9.1 Cực đại cực tiểu hàm lồi Do λ0∗ > 0, nên cách chia cho λ0∗ > 0, ta coi hàm Lagrange m k L( x, λ, µ) = f ( x ) + ∑ λi gi ( x ) + ∑ µ j h j ( x ) i =1 j =1 Do điều kiện đạo hàm triệt tiêu độ lệch bù, nên với x chấp nhận được, ta có: m k i =1 j =1 f ( x ∗ ) = f ( x ∗ ) + ∑ λ i gi ( x ∗ ) + ∑ µ j h j ( x ∗ ) m k i =1 j =1 ≤ f ( x ) + ∑ λ i gi ( x ) + ∑ µ j h j ( x ) ≤ f ( x ) Chứng tỏ x ∗ lời giải tối ưu (OP) Chú ý Khi X tập mở (nói riêng tồn khơng gian) hàm khả vi, điều kiện đạo hàm triệt tiêu m k j =1 i =1 = λ0∗ ∇ f ( x ∗ ) + ∑ λ∗j ∇ g j ( x ∗ ) + ∑ µi∗ ∇hi ( x ∗ ) Cực đại hàm lồi Các tính chất cực đại hàm lồi khác hẳn tính chất cực tiểu Cụ thể ta thấy cực đại địa phương hàm lồi không thiết cực đại tuyệt đối Ví dụ hàm f ( x ) = x2 có điểm cực đại địa phương đoạn [−1, 2] x = −1, điểm cực đại tuyệt đối lại x = Nếu xét hàm đoạn [−2, 2] ta thấy tập điểm cực đại tuyệt đối đoạn khơng lồi gồm hai điểm −2 Dưới đây, khơng nói thêm, ta ln hiểu cực đại cực đại tuyệt đối Từ định nghĩa hàm lồi, ta thấy rằng, f lồi thường tập lồi C a, b ∈ C, với x thuộc đoạn (a, b), tức x = λa + (1 − λ)b, < λ < 1, ta có f ( x ) ≤ λ f (a) + (1 − λ) f (b) ≤ max{ f (a), f (b)} 134 Nhập mơn giải tích lồi ứng dụng Từ suy cực đại hàm lồi f đoạn [ a, b] đạt đầu mút đoạn Một cách tổng quát ta có: Mệnh đề 9.2 (i) Giả sử f hàm lồi thường IRn C ⊆ IRn tập lồi Khi f đạt cực đại C điểm tương đối C, f số C (ii) Nếu f hàm lồi, thường IRn bị chặn tập a-phin, số tập Chứng minh (i) Giả sử a ∈ riC điểm f đạt cực đại C Theo tính chất điểm tương đối, nên với x ∈ C, tồn y ∈ C cho a ∈ ( x, y) Do f ( x ) ≤ f (a) , f (y) ≤ f (a), f lồi, theo nhận xét trên, ta suy f ( x ) = f (a) (ii) Nếu f không số tập a-phin M, có nghĩa tồn a, b ∈ M cho f (a) < f (b) Mọi điểm x thuộc nửa đường thẳng xuất phát từ a có hướng b − a có dạng x = a + λ(b − a) với λ > Khi b= λ−1 x+ a λ λ Với λ > 1, theo tính lồi f ta có f (b) ≤ λ−1 f (x) + f ( a ) λ λ Từ giả thiết f ( x ) ≤ m < ∞ với x ∈ M, ta suy f (b) − f ( a) ≤ 1 f ( x ) − f (a) ≤ [m − f (a)] λ λ λ Điều với λ > 1, nên cho λ → +∞ vế phải, f (a) hữu hạn, nên vế phải tiến tới 0, theo giả thiết, vế trái f (b) − f (a) > Mâu thuẫn Vậy f phải số tập a-phin M 9.2 Hạng hàm lồi 135 Hệ 9.1 Nếu hàm lồi đạt cực đại tập lồi có điểm cực biên, cực đại đạt điểm cực biên tập lồi Chứng minh Giả sử x ∗ điểm cực đại f tập lồi C Nếu x ∗ điểm cực biên C, tồn a, b ∈ C λ ∈ (0, 1) cho x ∗ = λa + (1 − λ)b Theo (i) Mệnh đề 9.2, ta có: f ( x ∗ ) = f ( x ) với x ∈ [ a, b] Hệ 9.2 Cho Γ := {λd|λ ≥ 0} Γa := a + Γ với a, d ∈ IRn Giả sử f hàm lồi thường IRn f bị chặn trên nửa đường thẳng Γa Khi f bị chặn trên nửa đường thẳng song song với Γa Ngoài cực đại f nửa đường thẳng Γa đạt đầu mút Chứng minh Do f bị chặn trên tia Γa , nên Γa ⊂ dom f Nếu Γb //Γa , Γb ⊂ dom f Theo Hệ 9.2 tính bị chặn hàm lồi nửa đường thẳng không phụ thuộc vào đầu mút nửa đường thẳng mà phụ thuộc vào hướng 9.2 Hạng hàm lồi Từ định nghĩa, ta thấy hàm a-phin hàm vừa lồi vừa lõm Trong trường hợp toán cực đại hay cực tiểu hàm tuyến tính có tất tính chất cực tiểu cực đại hàm lồi, nêu mục Điều gợi ý đến việc xem xét "mức độ tuyến tính" hàm lồi Một câu hỏi đặt là: hàm lồi không hàm aphin, "mức độ phi tuyến "của Hạng hàm lồi đại lượng đo mức độ phi tuyến Giả sử f hàm lồi thường IRn Khi với 136 Nhập mơn giải tích lồi ứng dụng α ∈ IR, tập L f (α ) := { x : f ( x ) ≤ α } lồi Tập thường gọi tập mức Tập U f (α ) := { x : f ( x ) ≥ α } gọi tập mức Dĩ nhiên α lớn, tập mức ứng với rộng Tuy nhiên tất tập mức có chung nón lùi xa khơng gian thẳng Cụ thể ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 9.3 Cho f hàm lồi, thường, nửa liên tục IRn Khi tất tập mức L f (α) (nếu khác rỗng) có chung nón lùi xa khơng gian thẳng Nón lùi xa tập hợp hướng nửa đường thẳng, theo hàm f bị chặn trên, cịn khơng gian thẳng khơng gian song song với khơng gian a-phin f số Chứng minh Giả sử Γa hướng xuất phát từ a, theo f bị chặn Với α ∈ IR a ∈ L f (α), f lồi bị chặn trên Γa , nên cực đại f Γa đạt đầu mút a Tức f ( x ) ≤ f (a) với x ∈ Γa Suy Γa ⊆ L f ( f (a)) Ngược lại, Γa hướng thuộc nón lùi xa tập mức L f (α), Γa ⊂ L f (α) với a ∈ L f (α) Vậy f ( x ) ≤ α với x ∈ Γa Chứng tỏ f bị chặn trên nửa đường thẳng Γa Phần khẳng định không gian thẳng tập mức nêu mệnh đề suy từ định nghĩa khơng gian thẳng tính chất hàm lồi bị chặn tập a-phin, số tập Theo Mệnh đề 9.3 tập mức hàm lồi, thường, nửa liên tục có chung nón lùi xa khơng gian thẳng Nón gọi nón lùi xa , cịn khơng gian gọi không gian hàm số 217 12.2 Định lý minimax Mệnh đề 12.2 Giả sử X lồi, đóng, khác rỗng, f , g j (j = 1, , m) lồi, nửa liên tục X điều kiện Slater thoả mãn Khi x ∗ nghiệm tối ưu (OP) tồn y∗ cho ( x ∗ , y∗ ) điểm yên ngựa hàm Lagrange L X × IRm + Trong trường hợp ∗ này, y nghiệm tối ưu toán đối ngẫu (OD) thoả mãn điều kiện độ lệch bù y∗j g j ( x ∗ ) = với j Chứng minh Giả sử x ∗ nghiệm tối ưu (OP) Theo mệnh đề trên, hai toán (OP) (OQ) cặp đối ngẫu xác Khi đó, tồn y∗ ≥ cho f ( x ∗ ) = d(y∗ ) = inf L( x, y∗ ) x∈X Từ có f ( x ∗ ) ≤ L( x, y∗ ) ∀ x ∈ X Nói riêng, x = x ∗ ta ∗ m ∗ f ( x ) ≤ f ( x ) + ∑ y∗j g j ( x ∗ ) j =1 Từ y∗j ≥ g j ( x ∗ ) ≤ với j, nên y∗j g j ( x ∗ ) = ∀ j f ( x ∗ ) = L( x ∗ , y∗ ) ≤ L( x, y∗ ) ∀ x ∈ X Chứng tỏ x ∗ điểm cực tiểu L(., y∗ ) X có Ngồi ra, lại từ y∗j g j ( x ∗ ) = ∀ j định nghĩa L( x ∗ , y∗ ), ta m L( x ∗ , y∗ ) = f ( x ∗ ) ≥ f ( x ∗ ) + ∑ y j g j ( x ∗ ) = L( x ∗ , y) ∀y ≥ j =1 Vậy y∗ điểm cực đại hàm L( x ∗ , ) IRm + Kết hợp lại, ta ∗ ∗ thấy ( x , y ) điểm yên ngựa L X × IRm + 218 Nhập mơn giải tích lồi ứng dụng Bây giả sử ( x ∗ , y∗ ) điểm yên ngựa L X × IRm + ∗ Trước hết ta có g j ( x ) ≤ với j Thật vậy, tồn i cho gi ( x ∗ ) > 0, lấy y = ξei , ξ ≥ ei véc-tơ đơn vị thứ i cho ξ → +∞, L( x ∗ , ξei ) → +∞ ξ → +∞ Điều mâu thuẫn với L( x ∗ , y) ≤ L( x ∗ , y∗ ) Từ ta có ∗ ∗ m ∗ L( x , 0) = f ( x ) ≥ f ( x ) + ∑ y∗j g j ( x ∗ ) = L( x ∗ , y∗ ) j =1 Thế ( x ∗ , y∗ ) điểm yên ngựa, nên L( x ∗ , y∗ ) ≥ L( x ∗ , y) với y ≥ 0, nên từ bất đẳng thức trên, ta suy y∗j g j ( x ∗ ) = với j Khi đó, x ∗ điểm cực tiểu hàm L(., y∗ ) X, nên ∗ ∗ m ∗ f ( x ) = L( x , y ) ≤ f ( x ) + ∑ y j g j (x∗ ) ∀ x ∈ X j =1 Vậy f ( x ∗ ) ≤ f ( x ) ∀ x ∈ X, g j ( x ) ≤ j = 1, , m Chứng tỏ x ∗ nghiệm tối ưu (OP) Để chứng tỏ y∗ nghiệm tối ưu toán đối ngẫu (OD) ta ý m f (x) + ∑ y j g j (x) d(y) = inf x∈X j =1 m ≤ f ( x ∗ ) + ∑ y j g j ( x ∗ ) ≤ f ( x ∗ ) ∀y ≥ j =1 Thế d(y∗ ) = L( x, y∗ ) x∈X m = f ( x ∗ ) + ∑ y∗j g j ( x ∗ ) = f ( x ∗ ) j =1 219 12.2 Định lý minimax Vậy d(y∗ ) ≥ d(y) ∀y ≥ Chứng tỏ y∗ nghiệm tối ưu toán đối ngẫu (OD) Bài tốn cân Phần ta có dịp xét mơ hình cân cho trị chơi khơng hợp tác hai đối thủ Bây ta xét mô hình có nhiều đối tác (đối thủ) tham gia, đối tác có hàm lợi ích riêng Giả sử định đối tác lại phụ thuộc vào chiến lược đối tác khác Thơng thường lợi ích đối tác hay mâu thuẫn, chí đối kháng Trong trường hợp phương án tối ưu cho tất đối tác thường khơng tồn Khi người ta nghĩ đến phương án mang tính cân để "thu hút’" đối tác, theo nghĩa đối tác khỏi điểm cân bằng, đối tác lại chọn phương án cân bằng, đối tác bị thua thiệt Ta hiểu rõ thêm khái niệm cân xét toán cân Nash trị chơi khơng hợp tác, trình bày Một cách hình thức, ta mơ tả toán cân sau: Cho C tập lồi đóng IRn φ : C × C → IR Xét toán sau, thường gọi toán cân bất đẳng thức Ky Fan: Tìm x ∈ C cho φ( x, y) ≥ ∀y ∈ C (EP) Về mặt hình thức, tốn đơn giản, nhiên bao hàm nhiều lớp toán quan trọng thuộc nhiều lĩnh vực Dưới số ví dụ điển hình Bài tốn tối ưu Xét tốn min{ ϕ( x )| x ∈ C} 220 Nhập môn giải tích lồi ứng dụng Đặt φ( x, y) := ϕ(y) − ϕ( x ) Hiển nhiên ϕ( x ) ≤ ϕ(y) ∀y ∈ C ⇔ φ( x, y) ≥ ∀y ∈ C Vậy toán tối ưu trường hợp riêng toán (EP) Bất đẳng thức biến phân Trong Chương ta xét đến toán bất đẳng thức biến phân đơn trị ứng dụng phép chiếu vng góc cho tốn Dưới đây, ta xét tốn bất đẳng thức biến phân đa trị sau: n Cho C tập lồi đóng khác rỗng IRn F : C → IR ánh xạ đa trị (tức với x ∈ C, giá trị F( x ) tập khác rỗng IRn ) Xét tốn: Tìm x ∈ C, v ∈ F( x ) cho v, y − x ≥ ∀y ∈ C (V I ) Giả sử với x ∈ C, tập F( x ) lồi, compact khác rỗng Với x, y ∈ C, đặt φ( x, y) := max v, y − x v∈ F ( x ) Từ suy rằng, φ( x, y) ≥ với y ∈ C, x nghiệm (VI) Một trường hợp riêng quan trọng toán (VI) C = F đơn trị Khi tốn (VI) tương đương với tốn sau, gọi tốn bù: IRn+ Tìm x ≥ 0, cho F( x ) ≥ 0, x T F( x ) = (CP) 221 12.2 Định lý minimax Ta toán (CP) tương đương với bất đẳng thức biến phân Tìm x ≥ 0, cho F( x ), y − x ≥ ∀y ≥ theo nghĩa tập nghiệm hai toán trùng Thật vậy, x nghiệm bất đẳng thức biến phân F( x ), y − x ≥ ∀y ≥ Lần lượt chọn y = x + ei (véc tơ đơn vị thứ i) ta có Fi ( x ) = F( x ), x + ei − x = F( x ), ei ) ≥ Vậy Fi ( x ) ≥ với i Ngoài chọn y = ta có ≤ − F( x ), x ≤ Suy x T F( x ) = Điều ngược lại nghiệm toán bù nghiệm bất đẳng thức biến phân hiển nhiên Bài toán điểm bất động Kakutani Cho F : C → 2C Điểm x gọi điểm bất động F x ∈ F( x ) Giả sử với x ∈ C, F( x ) lồi, compact, khác rỗng Khi tốn tìm điểm bất động F tương đương với toán cân (EP) Thật vậy, với x, y ∈ C, đặt φ( x, y) := max x − v, y − x v∈ F ( x ) Thật vậy, hiển nhiên x ∈ F( x ), theo định nghĩa φ( x, y) ta có φ( x, y) ≥ ∀y ∈ C Ngược lại, giả sử x nghiệm toán (EP), tức x ∈ C φ( x, y) ≥ với y ∈ C Khi lấy y ∈ F( x ) cho x − y, y − x = max x − v, v − x v∈ F ( x ) Do F( x ) = ∅, compact, nên y tồn Khi x nghiệm (EP), nên ≤ φ( x, y) = x − y, y − x = −|| x − y||2 222 Nhập môn giải tích lồi ứng dụng Suy x = y ∈ F( x ) Do x điểm bất động F Cân Nash trò chơi khơng hợp tác Xét trị chơi có p người chơi (đấu thủ) Gỉa sử Cj ⊂ IRPj tập phương án mà đấu thủ thứ j lựa chọn (gọi tập chiến lược) Đặt C := C1 × C2 × × C p gọi ϕ j : C → IR hàm lợi ích đấu thủ j Gỉa sử ϕ j ( x1 , x j , , x p ) lợi ích đấu thủ j đấu thủ chọn phương án chơi x j ∈ Cj , đấu thủ k khác chọn phương án chơi xk ∈ Ck với k = j Định nghĩa 12.1 (điểm cân Nash)Ta gọi x ∗ = ( x1∗ , , x ∗p ) điểm cân ϕ = ( ϕ1 , ϕ p ) C = C1 × C2 × × C p với j y j ∈ Cj , ta có ϕ j ( x1∗ , , x ∗j−1, y j , x ∗j+1, x ∗p ) ≤ ϕ j ( x1∗ , , x ∗j−1, x ∗j , x ∗j+1, x ∗p ) Định nghĩa cho thấy đối thủ j rời khỏi phương án cân bằng, đối thủ khác giữ phương án cân bằng, đối thủ j bị thua thiệt Đây lý mà khái niệm cân chấp nhận thực tế Điểm cân gọi cân Nash khái niệm nhà kinh tế học F Nash đưa Dưới toán cân Nash hiểu tốn tìm điểm cân (Nash) ϕ C Ta ký hiệu toán N(ϕ, C) Bài tốn cân Nash mơ tả dạng toán cân (EP) Thật vậy, xây dựng hàm φ : C × C → IR, cách đặt p φ( x, y) := ∑ ϕ j ( x ) − ϕ j ( x1 , , x j−1, y j , x j+1, , x p ) j =1 Hiển nhiên x ∗ điểm cân Nash, φ( x ∗ , y) ≥ ∀y ∈ C Ngược lại, giả sử x ∗ ∈ C nghiệm toán (EP), tức φ( x ∗ , y) ≥ ∀y ∈ C Ta chứng tỏ x ∗ = ( x1∗ , , x ∗p ) với x ∗j ∈ Cj 223 12.2 Định lý minimax điểm cân Nash Thật vậy, trái lại, tồn j y j ∈ Cj cho ϕ j ( x1∗ , , x ∗j−1, x ∗j , x ∗j+1, , x ∗p ) < ϕ j ( x1∗ , , x ∗j−1, y j , x ∗j+1, , x ∗p ) Khi với phương án y = ( x1∗ , , x ∗j−1, y j , x ∗j+1, x ∗p ), theo định nghĩa hàm φ, ta có φ( x ∗ , y) = ϕ j ( x1∗ , , x ∗j−1, y j , x ∗j+1, , x ∗p ) − ϕ j ( x ∗ ) < Mâu thuẫn với việc x ∗ nghiệm (EP) Nhận xét Trong tốn vừa kể trên, hàm cân φ có tính chất φ(y, y) = với y ∈ C Dưới ta chứng minh kết tồn nghiệm toán cân (EP) dựa Định lý Minimax 12.1 Mệnh đề 12.3 Cho C tập lồi đóng khác rỗng hàm φ có tính chất: φ( x, ) hàm tựa lồi, nửa liên tục C, φ(., y) hàm tựa lõm, nửa liên tục trên C Ngoài φ(y, y) = với y ∈ C Giả sử (A1) Có tập hữu hạn N∗ ⊂ C cho tập C( N∗ ) := { x ∈ C | φ( x, y) ≥ 0} y∈ N∗ compact, (B1) Có tập hữu hạn M∗ ⊂ C cho tập D ( M∗ ) := {y ∈ C | max φ( x, y) ≤ 0} x ∈ M∗ compact Khi tốn (EP) có nghiệm Chứng minh Đặt f ( x, y) := −φ( x, y) D ≡ C Khi hàm f thoả mãn điều kiện Định lý 12.1 Theo Định lý Minimax 12.1, ta có sup inf f ( x, y) = inf sup f ( x, y) (12.5) y∈ C x ∈ C x ∈ C y∈ C 224 Nhập mơn giải tích lồi ứng dụng Ta chứng tỏ inf sup f ( x, y) = x ∈ C y∈ C (12.6) Thật vậy, ta có inf sup f ( x, y) ≥ inf f ( x, x ) = 0; x ∈ C y∈ C x∈C đẳng thức cuối f ( x, x ) = Mặt khác sup inf f ( x, y) ≤ sup f (y, y) = y∈ C x ∈ C (12.7) y∈ C Từ (12.5), (12.6) (12.7) suy sup inf f ( x, y) = inf sup f ( x, y) = y∈ C x ∈ C x ∈ C y∈ C Giả sử điều kiện (A1) thoả mãn, theo Định lý 12.1 tồn x ∈ C( N∗ ) ⊂ C cho sup f ( x, y) = x ∈C ( N∗ ) y∈C Đặt s( x ) := supy∈C f ( x, y) Do f (., y) nửa liên tục C, nên s nửa liên tục C Do C( N∗ ) tập compact, nên tồn x ∗ ∈ C( N∗ ), cho s( x ∗ ) = minx∈C ( N∗ ) s( x ) = Hay s( x ∗ ) = supy∈C f ( x ∗ , y) = Suy f ( x ∗ , y) ≤ với y ∈ C Vậy φ( x ∗ , y) = − f ( x ∗ , y) ≥ với y ∈ C Chứng tỏ x ∗ nghiệm toán cân (EP) Nhận xét Cũng tương tự định lý 2.1 điều kiện (A1) thoả mãn có điều kiện sau: Tồn tập hữu hạn N∗ ⊂ C cho miny∈ N∗ φ( x, y) → −∞ x ∈ C, || x || → +∞ 225 12.3 Bài tập Tương tự (B1) thoả mãn Tồn tập hữu hạn M∗ ⊂ C cho maxx∈ M∗ φ( x, y) → +∞ y ∈ C, ||y|| → +∞ 12.3 Bài tập 12.1 Cho f hàm lồi, đóng thường IRn Chứng minh rằng: ( x + ∂ f )−1 hàm đơn trị xác định khắp nơi 12.2 Tìm ví dụ chứng tỏ tốn cân tìm x ∗ ∈ C cho φ( x ∗ , x ) ≥ ∀ x ∈ C khơng có nghiệm cho dù C tập lồi compact khác rỗng hàm φ liên tục C × C 12.3 Giả sử φ( x, x ) = với x ∈ C Chứng tỏ x ∗ nghiệm tốn cân Tìm x ∗ ∈ C cho φ( x ∗ , x ) ≥ 0∀ x ∈ C x ∗ ∈ S( x ∗ ), S( x ) tập hợp điểm cực tiểu hàm φ( x, ) C 12.4 Giả sử φ( x, x ) = với x ∈ C Đặt g( x ) := sup{−φ( x, y)} y∈ C Chứng tỏ g( x ) ≥ 0, x ∈ C g( x ) = 0, x ∈ C φ( x, y) ≥ với y ∈ C 226 Nhập mơn giải tích lồi ứng dụng 12.5 Cho T : C → IRn thoả mãn điều kiện Lipschitz || T ( x ) − T (y)|| ≤ L|| x − y|| ∀ x, y ∈ C Chứng tỏ tồn số c > 0, d > cho với x, y, z ∈ C, ta có T (y) − T ( x ), z − y ≥ −c||y − x ||2 − d||z − y||2 Tài liệu tham khảo [1] Aubin J.P and Ekeland I (1984)Applied Nonlinear Analysis, John Willey and Sons [2] Blum E and Oettli W (1994) From optimization and variational inequality to equilibrium problems, Math Student 63, 127 - 149 [3] Facchinei F Pang J.S (2003) Finite-Dimensional Variational Inequalities and Complementary Problems, Springer-Verlag, NewYork [4] Konnov I V (2000) Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities, Springer-Verlag, Berlin [5] Lê Dũng Mưu (1998) Nhập môn phương pháp tối ưu, Nhà xuất KHKT [6] Đỗ Văn Lưu and Phan Huy Khải (2000) Giải tích lồi, Nhà xuất KHKT [7] Nguyen V H (2002) Lecture Notes on Equilibrium Problems CIUF-CUD Summer School on Optimization and Applied Mathematics, Nha Trang [8] Rockafellar R T (1970) Convex Analysis, Princeton University Press 228 TÀI LIỆU THAM KHẢO [9] Tuy H (2003) Convex Analysis and Global Optimization Kluwer Academic Publishers Danh mục từ khóa D A a-phin 12 đạo hàm theo hướng 168 điểm biên 41 điểm cực biên 42, 50 B bất đẳng thức biến phân 73 điểm cực tiểu toàn cục 44 bao đóng 110 điểm 41 bao a-phin 12, 36 điểm tương đối 26 Bao lồi 36 điểm yên ngựa 207 Bao lồi đóng 43 đỉnh 18 bao lồi cận 119 đỉnh không suy biến 58 bao nón lồi 36 Đoạn thẳng 12 biên tương đối 26 độ thẳng 53 độc lập a-phin 17 đóng 106, 187 C cực đại địa phương 128 đơn điệu 74 cực đại toàn cục 128 đơn điệu cực đại 186 cực đại tuyệt đối 128 đơn điệu mạnh 74 cực tiểu địa phương 128 đơn điệu tuần hoàn 185 cực tiểu địa phương 44 đơn điệu tuần hoàn cực đại 186 cực tiểu tuyệt đối 128 đơn hình 18 cạnh 50 đơn hình chuẩn tắc 18 Carathéodory 39 đường thẳng 11 tắc 59 diện 50 thường 106 đạo hàm 173 chiều 36 tuyến tính 109 230 DANH MỤC TỪ KHÓA E L −cực tiểu 201 lồi chặt 104 -dưới đạo hàm 199 lồi mạnh 104 Lipschitz địa phương 114 H hình chiếu 68 M hàm mặt cầu 107 mặt 60 hàm a-phin 107 mở tương đối 26 hàm cận 119 miền chấp nhận 44 hàm cận 118 miền hữu dụng 103 hàm 107 miền ràng buộc 44 hàm chuẩn 107 N hàm khoảng cách 107 hàm lồi 104 nón 19 hàm lõm 105 nón đối cực 21 hàm Lagrange 130 nón chấp nhận 22 hàm liên hợp 154 nón lồi 19, 20 hàm mục tiêu 44 nón lồi đóng 21 hàm tựa 98, 107 nón lồi đa diện 19 hàm tổng chập 108 nón lùi xa 20, 136 hàm yên ngựa 207 nón nhọn 19 hệ bất đẳng thức lồi 140 nón pháp tuyến 21 hệ số lồi 106 nón tiếp xúc 22 hướng chấp nhận 21 nửa không gian 15 hướng cực biên 50 nửa không gian đóng 15 hướng lùi xa 20 nửa không gian mở 15 hướng vô hạn 20 nửa không gian tựa 50 nửa liên tục 110 K nửa liên tục 110, 187 không gian 15, 16 P không gian song song 16 không gian 136 phép biến đổi Legendrekhông gian thẳng 53, 137 Fenchel 154 khả vi phân 173 phương án chấp nhận 44 DANH MỤC TỪ KHÓA phiếm hàm cỡ 30 phiếm hàm Minkowski 30 S siêu phẳng 14, 15 siêu phẳng tựa 50 T tách 82 tách 85 tách chặt 82 tập đối cực 96 tập đóng 41 tập a-phin 14, 15 tập com-pắc 41 tập lồi 12 tập lồi đa diện 18 tập mức 136 tập mức 136 tọa độ trọng tâm 42 tổ hợp a-phin 12 tổ hợp lồi 12 thứ nguyên 36 thứ nguyên 16 dương 109 tia cực biên 50 đồ thị 104 V véc-tơ pháp tuyến 15 231 ... 140 Nhập mơn giải tích lồi ứng dụng gọi hệ bất đẳng thức lồi, I tập số ký hiệu