Giáo trình giải tích 1 phần 1 ts vũ gia tề

HỌC VIEN CONG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THƠNG TS VŨ GIA TÊ (Chủ biên) GIÁO TRÌNH Giải (ích NHÀ XUẤT BAN THONG TIN VA TRUYEN THONG MUC LUC Lời HÓI đÏẪN 55552: 2222222112111 T12 2.12122211112212 xe CHƯƠNG I: GIOTHAN CUA DAY SÓ . - HH 1.1 SỐ thực :2222211112021 E1 ve 12 1.1.1 Các tính chất tập só thực - - 12 1122, Tập số thie MO TONE siccsccnmernensenmmaaenevans 17 1.1.3 Cae khoang $6 thue occccccsssssssssseesssecsssessssessseesssvessssees 17 1.1.4 Giá trị tuyệt đối số thực . - ccccc.cccrx 18 1.1.5 Khoảng cách thông thường fR 18 1.2 Số phức 1.2.1 Định nghĩa dạng số phức 1.2.2 Các phép toán tap C 1-23: Áp dụng số phức vào lượng giác 29 1.3 Dãy số thực 1.3.1 Các khái niệm dãy số thực 32 1.3.2 Tính chất dãy số hội tụ , 33 1.3.3 Tính đơn diệu dãy số -ccccccccesrrrree 40 V3.4 DEY COD sescesias sonnenecceeseannrsvneeauneurs teedeepnnesonseosenngneseesenante 46 1;3:5 Nguyên lý CAIGHWssssosoevsosatadileiilitisagpsatetawega 48 Tóm tắt NGi AUN ccccccccccccc2222vctrtrtttrrrrrrrrrrrrrkei 49 BGT TẠP GHWƠING Ï cescssexnatiaingtiLseeednnoaserskSXEE12050.EEn80-35100AE0530005480 54 CHUONG 2: HÀM SÓ MỘT BIỂN SỐ .cccccse2 59 2.1 Các khái niệm hàm số sec 59 2.1.1 Các định riphfa :-ccsecseeeieiidBd 59 2.1.2 Cac ham s6 thong dUNQ cccccccceesssssssseeessesssssssseeeeees 64 2.1.3 Hàm số sơ cấp 020022222121211111111111 xe 75 2.2 Giới hạn hàm số 2.2.1 Khái niệm giới hạn 2.2.2 Tính chất hàm có giới hạn 2.2.3 Các giới hạn đáng nhớ 86 2.3 Đại lượng vô bé (VCB) đại lượng VO: CONS 1G (VEL) sesecnaoseaatooadGISGHGIHGNGD8L8GISSNNRN 89 2.3.1 Đại lượng, VD succssseioaaessnrinioittogdsiipicgkEbi68/3ã1588301 89 2.3.2 Đại lượng VÌ 2t t2 v2 ecxey 91 2.4 Sự liền tực HằTñ Bổ sanobebaiuedadgdodisuidliasiiagase 93 2/Á„1 Các Khát:nIcHT 6@iĐẤNxeeessensiiiniseiiinaiagtsrg40160985766 93 2.4.2 Các phép toán đại số hàm số liên tục 95 2.4.3 Tính chất hàm số liên tục đoạn 97 2.4.4 Tính liên tục neo 99 Töif:TII HGRHHfHfELiniittisetHt@Q6DUtAGGGIAGiultlavaisesysdatsa 101 Bài tập chương CHƯƠNG 3: PHÉP 3.1 Đạo hàm hàm số 3.1.1 Đạo hàm điểm 3.1.2 Các phép tính đại só hàm s tal MOE Ì PHsniraissathgdosigsưittlatSl0S4G8830008 086 125 3.1.3 Đạo hàm khoảng (ánh xạ đạo hàm) 127 3.1.4 Đạo hàm hàm số thông dụng 129 3.2 Vi phân hàm sỐ .-2 22 222222212 136 3.2.1 Định nghĩa vi phân điểm .-: 136 3.2.2 Vi phẩn:trên KhOẢNG ¡se sasnaosdnanadiaaaaisaaaa 138 3.3 Đạo hàm vi phân cấp cao - 5sccccsccccrrrccrer 139 3.3.1 Đạo hàm cấp cao -222222 222 122ccctrrrrrrrrrrvee 139 3.3.2 Vi phân cấp cao 3.3.3 Lớp hàm sô 3.4 Các định lý giá trị trung bình 3.4.1 Định lý Phéc ma (Fermat) 149 3.4.2 Định lý Rôn (Rolle) 3.4.3 Định lý số gia hữu hạn -/22-ccccvcccccrrrres 152 3.4.4 Định lý số gia hữu hạn suy rộng (định lý Cô sỉ (Cauchy)) de 154 3.5 Ứng dụng định lý giá trị trung bình 158 3.5.1 Công thức Taylo (Taylor) công thức Maclôranh (Mclaurin) -‹.‹+ 158 3.5.2 Qui tắc Lôpitan (L`Hospital) c. :ccccccec 162 3.6 Sự biến thiên hàm số +re 167 3.6.1 Tính đơn điệu hàm khả vi 5-5552 167 3.6.2 Điều kiện hàm số đạt cực trị ccccccccccrrsccee 169 3.7 Bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị bé 171 3.7.1 Hàm liên tục đoạn kín [a.b] -. -: 172 3.7.2 Hàm liên tục khoảng mơ, khoảng vô hạn 172 3.8 Hàm lồi 3.8.1 Khái niệm hàm lỗi, hàm lõm điểm uốn 173 3.8.2 Điều kiện hàm lồi :22222cctcrrtrrrrrrrrrvee 176 3.9 Tiệm cận đường cong .-: cccccccccccey 179 3.9.1 Khái niệm chung vẻ tiệm cận - -. cee 179 3.9.2 Phân loại cách tìm tiệm cận -c cssxsecs 180 3.10 Bài toán khảo sát hàm số 3.10.1 Đường cong tọa độ Đề 3.10.2 Đường cong cho phương trình tham sơ 186 3.10.3 Đường:cong tọa độ cực cssesasasesaeees 191 Tm tit Gi AUIDG coscesssssssssssssssesssesssssssessssesssucssssssssesusessnsessiteees 198 BELTED CHUNG S a va x00 nconeesneoi Ini eee TENE as Hea ReneneweoR snes 205 CHUONG 4: TICH PHAN XAC ĐỊNH 2c 215 4.1 Khái niệm tích phân xác định . 215 4.1.1 Dinh nghia tich phan xác định casessscasiaesassiens 215 4.1.2 Điều kiện tổn eo 218 4.1.3 Lớp hàm khả tích ccccereirerrree 221 4.1.4 Các tính chất tích phân xác định 222 4.1.5 Cong thie Newton = ILEIDTHUsusssszsossieatiaidsaeie 226 4.2 Hai phương pháp tính tich phan xac dinh 333 4.2.1 Phép đổi biến cccccesticeerrrrr 233 4.2.2 Phép tích phân phản co 234 4.3 Phương pháp tính tích phân bắt định 240 4.3.1 Tỉnh chất Bảng nguyên hàm (Hưng dŨNHỠ messeeesasesssecesitsenistgdonsazl25026143530066413A051566 240 4.3.2 Hai phương pháp tính tích phan bat định 242 4.3.3 Cách tính tích phân bát định hàm hữu tỉ 245 4.3.4 Tinh nguyên hàm phân thức hữu tỉ số hàm thông dụng -.-+ 248 4.4 Một số ứng dụng tích phân xác định 4.4.1 Tính diện tích hình phăng 4.4.2 Tính độ dài đường cong phang 4.4.3 Tính thê tích vật thê 34.4 Lĩnh diện tích: tiệt ẤT NON xasnssetanisEAAnag0á 66 265 4.5 Tích phân suy rộng che 267 4.5.1 Tích phân suy rộng với cận vơ hạn 267 4.5.2 Tích phân suy rộng với hàm dấu tích BHẩn:cõ;cuo BIỂN ccmassscsinsennersoverenseneesoensneysen eden 271 TÔI II HGILĂITNElo khu le tt DANG NH4 GHRIGIGĐSRGIRSRSHBSuDk 285 Đài lập, CHHƠIG lÍ caniitisargiatiditttannntisnti401130106013110811303831160086818 298 CHƯƠNG 5: LÝ THUYẾT CHUỎI -5ccscccreerre 308 l9 308 5.1.1: Các khái riiệm CHƯHP siaissssssicssesisbs0510664463300303586638466 308 5.1.2 Chuỗi số dương cóc: 21 2x22 ccrtrrrrrkrrrres 313 5.1.3 Chuỗi dan dấu 5.1.4 Chuỗi có số hạng mang 5.2 Chuỗi hàm 5.2.1 Các khái niệm chung chuỗi hàm 326 5.2.2 Sự hội tụ chuỗi hảm .eceeeeeree 328 5.3 Chuỗi lũy thừa 5.3.1 Các khái niệm chung vẻ chuỗi lũy thừa 5.3.2 Khai triên số hàm thành chuỗi lũy thừa 346 5:4; Chuỗi EGFÏETsøsiiesocdnsiiisiriegiiibdgsslidvnssixasssasasie 5.4.1 Các khái niệm chung 5.4.2 Điều kiện đủ để hàm số khai triển H119 8701 T7 ơƠƠ 362 200 Gido trinh Giai tich Ƒ | 4, 4| #]eo= Fay BD ~ Fede) g(x) #0 ¢ Dao ham va vi phân cấp cao Cho 2e øeM, / gefR` khả vi n lần A' X có hệ thức sau đây: 1.(ƒ+g) =/00+ g1, đ7(7+g)= đh/ tảng, tứ) 2.(4/)”=A/,với AeÑ » (f= SOP ke0 4"(4/)0=44"/, de) = k=0 Cia ag g(x)#0 X ' khả vi n ln trờn Ơ & â Cỏc nh lý giá trị trung bình Nếu (x) kha vi tai a đạt cực trị địa phương f(a)=0 Cho ƒ e RÍ“”Ì thoả mãn điều kiện: a) f liên tục [a b] b) / khả vi (a, b), c) f(a) = f(b) Khi tồn ee (a.b) cho f(c)=0 Cho / e RÍ“”Ì thoả mãn điều kiện: a) Liên tục trén [a, b], b) Khả vi (a b), tồn e e (a,b) cho: I(b)- f(a) =(b-a) fc) 4.Cho f ge RÍ“”Ì thoả mãn điều kiện: a) f, g liên tục [a b] tai a thi Chuong3: Phép tinh vi| phan hàm số biển so b) / g 201 khả vi (a b) c) g(x) #0, Vxe (ah) Khi dé tin ¢ (a,b) cho: f(b)— f(a) fe) ah)— gla) gle) e Công thức Taylo (Taylor), công thức Maclôranh (M°?cLaurin) Néu P(x) đa thie Taylor cia f(x) tai lin cận a có dạng: P)= Goi /00)+ Cau.) nt! r(x) = f(v)- P(x) r(x) = hay fe? (7+)! 1a phan du Taylor bac n tai a cua f(x) (v-a)""' voi ce (ax) c=a+0(x-a) ely 2) n= (x-a)’ n! 00 (z-ở.a) ƒ{x)0 Vxe.V Để U(a f{a)) điểm uốn đồ thị hàm fe R* voi aeX,f kha vi hai lần X điều kiện cần da la f(a) = f*(x) đổi dấu x qua điểm a Chương 3: Phép tính vi phân hàm xó mót biên số 205 BÀI TẬP CHƯƠNG 3.1 Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số a f(x)=V2x4+1 b rogexg x ts few te d f(x) = Ve x 3.2 Tính đạo hàm hàm số a y=lx=Đ*œ+Ð] sin, khix#0 ne N’ GQ y= x [re ° Khi bo y=4y E » d y=x|x| x=0 3.3 Chứng tỏ f (x) khả vi x = a lim#/4@)=#G) = f(a)-af (a) xa x-a 3.4 Chứng minh hàm số /(x) = |x~2|ø(x) ø(x) hàm số liên tục ø(a) #0 không khả vỉ tai x =a 3.5 Tính đạo hàm f,`(0) f`(0) hàm số sau đây: a f(x) =Vsinx? x & f(X)=F 1468 T b f(x) = aresin x#0 khix =0 atx 206 Gido trinh Giai lich Dee d f(x)= ve khix #0, ne x =0 N 3.6 Tính đạo hàm hàm số: a y=Inigs b y=In(x+ Vx? +1) at c yxe" x e “y 1+-E W d y=arcsin i f - =InšInx-l he y= thở xlnx+l = arch TTax }=2Arel8 ye hở k 1-# l+x X2ax - x? la (1+cos4x)* m y= n y=arcsin,|[——— so ; l+x lxe[s++) x o y=log; log; log; x “ 3.7 Tính đạo hàm sau phương pháp đạo hàm lơga: a y=x” b y=(sinx)° € yo Sten? d »-(4) ‡l(x-3)? e y= io g y=x" +" Il l+x f y=3 = h yox"2'x? Ỷ 207 Chương 3: Phép tính vi phân hàm số biến số Ề x v i y= ~(xlnx=x~]) k y =log,,,, sinx @ 3.8 Tinh vi phân hàm só b Cho ƒ(x)=x`~2x+l Tính Aƒ() #@) Œ y=3'+ +6" x=1 dv=0,2 3.9 Ứng dụng vi phân chứng minh: a Ja°+x wate, v6i |x|