Giáo trình Giải tích đa trị: Phần 1 cung cấp cho người học những kiến thức như: tính liên tục của ánh xạ đa trị; đạo hàm của ánh xạ đa trị; tích phân của ánh xạ đa trị. Mời các bạn cùng tham khảo!
BỘ SÁCH TOÁN CAO CẤP - VIỆN TOÁN HỌC NGUYỄN ĐƠNG N GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH ĐA TRỊ nhà xuất khoa học tự nhiên công nghệ SÁCH Đà IN TRONG BỘ NÀY: 2000: Phương trình vi phân ₫ạo hàm riêng (Tập 1) Trần Đức Vân 2001: Giáo trình Đại số tuyến tính Ngơ Việt Trung Phương trình vi phân ₫ạo hàm riêng (Tập 2) Trần Đức Vân Nhập môn Lý thuyết ₫iều khiển Vũ Ngọc Phát 2002: Giải tích hàm nhiều biến Đ.T Lục, P.H Điển,T.D Phượng Lý thuyết Hệ ₫ộng lực Nguyễn Đình Cơng 2003: Lơgic tốn Cơ sở tốn học Phan Đình Diệu Giáo trình Đại số ₫ại Nguyễn Tự Cường Lý thuyết khơng gian Orlicz Hà Huy Bảng Đại số máy tính: Cơ sở Groebner Lê Tuấn Hoa Hàm thực Giải tích hàm Hồng Tụy Số học thuật tốn H.H Khối, P.H Điển 2004: Mã hóa thơng tin: Cơ sở tốn học ứng dụng P.H Điển, H.H Khoái Lý thuyết Tổ hợp Đồ thị Ngô Đắc Tân Xác suất Thống kê Trần Mạnh Tuấn 2005: Giải tích Tốn học: Hàm số biến Đ.T Lục, P.H Điển, T.D Phượng Lý thuyết Phương trình vi phân ₫ạo hàm riêng (Tồn tập) Trần Đức Vân Cơng thức kiểu Hopf-Lax-Oleinik cho phương trình Hamilton-Jacobi Trần Đức Vân Đại số tuyến tính qua ví dụ tập Lê Tuấn Hoa Lý thuyết Galois Ngô Việt Trung 2007: Lý thuyết tối ưu khơng trơn N.X Tấn, N.B Minh Giáo trình Giải tích ₫a trị Nguyễn Đơng n Có thể đặt mua sách trực tiếp Viện Tốn học, 18 Hồng Quốc Việt, Hà Nội Điện thoại 84-4-7563474/205 (Văn phòng); 84-4-7563474/302 (Thư viện) Fax: 84-4-7564303 E-mail: nldan@math.ac.vn (VP), cnanh@math.ac.vn (TV) Lời giới thiệu T rong năm gần đây, nhu cầu sách tham khảo tiếng Việt toán sinh viên trường Ðại học, nghiên cứu sinh, cán nghiên cứu ứng dụng toán học tăng lên rõ rệt Bộ sách "Toán cao cấp" Viện Toán học đời nhằm góp phần đáp ứng yêu cầu đó, làm phong phú thêm nguồn sách tham khảo giáo trình đại học vốn có Bộ sách Tốn cao cấp bao gồm nhiều tập, đề cập đến hầu hết lĩnh vực khác toán học cao cấp, đặc biệt lĩnh vực liên quan đến hướng phát triển mạnh tốn học đại, có tầm quan trọng phát triển lý thuyết ứng dụng thực tiễn Các tác giả sách người có nhiều kinh nghiệm cơng tác giảng dạy đại học sau đại học, đồng thời nhà tốn học tích cực nghiên cứu Vì thế, mục tiêu sách sách là, việc cung cấp cho người đọc kiến thức nhất, cố gắng hướng họ vào vấn đề thời liên quan đến lĩnh vực mà sách đề cập đến Bộ sách Tốn cao cấp có nhờ ủng hộ quý báu Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam, đặc biệt cổ vũ Giáo sư Ðặng Vũ Minh Giáo sư Nguyễn Khoa Sơn Trong việc xuất Bộ sách, nhận giúp đỡ tận tình Nhà xuất Ðại học quốc gia Hà Nội Nhà xuất Khoa học Tự nhiên Cơng nghệ Nhiều nhà tốn học ngồi Viện Tốn học tham gia viết, thẩm định, góp ý cho sách Viện Tốn học xin chân thành cám ơn quan cá nhân kể Do nhiều nguyên nhân khác nhau, Bộ sách Tốn cao cấp chắn cịn nhiều thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp độc giả để sách hồn thiện Chủ tịch Hội ₫ồng biên tập GS-TSKH Hà Huy Khối BỘ SÁCH TỐN CAO CẤP - VIỆN TỐN HỌC HỘI ĐỒNG BIÊN TẬP Hà Huy Khối (Chủ tịch) Ngơ Việt Trung Phạm Huy Ðiển (Thư ký) GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH ĐA TRỊ Nguyễn Đơng n Viện Tốn học, Viện KH&CN Việt Nam NHÀ XUẤT BẢN KHOA HỌC TỰ NHIÊN V CễNG NGH Mục lục Lời nói đầu Các ký hiệu chữ viết tắt Tính liên tục ánh xạ đa trị 1.1 ánh xạ đa trÞ 1.2 TÝnh nưa liªn tơc trªn tính nửa liên tục dới ánh 1.3 Định lý Kakutani 1.4 Các trình lồi 1.5 Các tính chất Lipschitz ánh xạ đa trị xạ đa trị 9 18 27 37 45 Đạo 2.1 2.2 2.3 hàm ánh xạ đa trị 47 Nguyên lý biÕn ph©n Ekeland 47 Nãn tiÕp tuyÕn 53 Đạo hàm 71 TÝch 3.1 3.2 3.3 3.4 phân ánh xạ đa trị ánh xạ đa trị đo đợc, lát cắt đo đợc Tích phân ánh xạ đa trị Lát cắt liên tục lát cắt Lipschitz Tích phân Aumann ánh xạ dới vi phân Clarke Đối 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 đạo hàm ánh xạ đa trị Sự phát triển lý thuyết đối đạo hàm Các khái niệm lý thuyết đối đạo hàm Vấn đề đánh giá dới vi phân hàm giá trị tối u Tính compắc ph¸p tuyÕn theo d·y D−íi vi ph©n FrÐchet cđa hàm giá trị tối u Dới vi phân Mordukhovich hàm giá trị tối u Dới vi phân Mordukhovich phiếm hàm tích ph©n 77 77 91 95 98 103 104 106 116 118 120 136 148 Hệ bất đẳng thức suy rộng 5.1 Giíi thiƯu chung 5.2 Các định nghĩa kết bỉ trỵ 5.3 Tính ổn định 5.4 Quy tắc nhân tử Lagrange 5.5 Tính liên tục tính Lipschitz hàm giá trị tối u 5.6 Chứng minh Mệnh đề 5.2.1 5.7 Dới vi phân Mordukhovich dới vi phân J-L 5.8 Đối đạo hµm Mordukhovich vµ Jacobian xÊp xØ 153 154 155 160 174 178 183 186 194 Phô lôc A 201 Phụ lục B 203 Tài liệu tham khảo 205 Danh mục từ khóa 215 Lời nói đầu Giải tích đa trị hớng nghiên cứu tơng đối Toán học, từ năm 30 kỷ XX nhà toán học đà thấy cần phải nghiên cứu ánh xạ đa trị, tức ánh xạ nhận giá trị tập hợp tập hợp Sự đời tạp chí quốc tế Set-Valued Analysis vào năm 1993 mốc lớn trình phát triển hớng nghiên cứu Vai trò giải tích đa trị Toán học ứng dụng toán học đà đợc công nhận rộng rÃi Giải tích đa trị có nhiều ứng dụng lý thuyết phơng trình vi phân, phơng trình đạo hàm riêng, bất đẳng thức biến phân phơng trình suy rộng, lý thuyết tối u, lý thuyết điều khiển, tối u đa mục tiêu, khoa học quản lý, toán kinh tế Hiện hầu nh tất kết nghiên cứu tính ổn định độ nhạy nghiệm toán tối u phụ thuộc tham số toán bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số đợc viết ngôn ngữ giải tích đa trị Những ngời Việt Nam sâu nghiên cứu giải tích đa trị Giáo s Hoàng Tụy (với công trình điểm bất động ánh xạ đa trị, tính ổn định hệ bất đẳng thức suy rộng, ánh xạ đa trị lồi, ánh xạ tới hạn), Giáo s Phạm Hữu Sách (với công trình ánh xạ đa trị lồi, đạo hàm ánh xạ đa trị ứng dụng lý thuyết tối u điều khiển) cố Giáo s Phan Văn Chơng (với công trình ánh xạ đa trị đo đợc, lý thuyết bao hàm thức vi phân) Sau danh sách không đầy đủ ngời Việt Nam đà có công trình nghiên cứu giải tích đa trị ứng dụng: Th.S Phạm Ngọc Anh, Th.S Lâm Quốc Anh, Th.S Trơng Quang Bảo, Th.S Nguyễn Huy Chiêu, TS Lê Văn Chóng, GS TSKH Phan Văn Chơng, TS Trịnh Công Diệu, TS Phạm Cảnh Dơng, PGS TSKH Phạm Huy Điển, TS Nguyễn Hữu Điển, PGS TS Trơng Xuân Đức Hà, Th.S Nguyễn Xuân Hải, TS Trần Ninh Hoa, PGS TS Lê Văn Hốt, TS Nguyễn Đình Huy, TS Ngun Quang Huy, GS TSKH Phan Qc Kh¸nh, TS Bùi Trọng Kiên, GS TSKH Đinh Thế Lục, TS Lê Minh Lu, TS Nguyễn Bá Minh, GS TSKH Lê Dũng Mu, TS Nguyễn Mậu Nam, TS Huỳnh Văn NgÃi, GS TSKH Van Hien Nguyen, PGS TS Trần Huệ Nơng, GS TSKH Vũ Ngọc Phát, GS TSKH Hoàng Xuân Phú, PGS TS Huỳnh Thế Phùng, TS Tạ Duy Phợng, GS TSKH Phạm Hữu Sách, GS TSKH Nguyễn Khoa Sơn, TS Nguyễn Năng Tâm, PGS TSKH Đỗ Hồng Tân, PGS TSKH Nguyễn Xuân Tấn, GS TSKH Nguyễn Hồng Thái, TS Hoàng Dơng Tuấn, TS Lê Anh Tuấn, Th.S Nguyễn Đình Tuấn, GS Hoàng Tụy, PGS TSKH Nguyễn Đông Yên Giáo trình đợc soạn sở giảng tác giả giải tích đa trị cho học viên cao học nghiên cứu sinh Viện Toán học, cho lớp sinh viên chọn trờng Đại học S phạm Thành phố Hồ Chí Minh, cho lớp cao học Khoa Toán ứng dụng thuộc Đại học Quốc gia Tôn Trung Sơn (The National Sun Yat-Sen University), Cao Hùng, Đài Loan Mục đích giới thiệu với bạn sinh viên, học viên cao học nghiên cứu sinh số kết giải tích đa trị Ngoài ra, cố gắng trình bày vài vấn đề đợc quan tâm lý thuyết Tập sách gồm chơng: Tính liên tục ánh xạ đa trị, Đạo hàm ánh xạ đa trị, Tích phân ánh xạ đa trị, Đối đạo hàm ánh xạ đa trị, Hệ bất đẳng thức suy rộng Ba chơng đầu tơng ứng với phần giải tích đa trị Chơng giới thiệu vài nÐt vỊ lý thut vi ph©n B S Mordukhovich ®Ị xt - mét lý thut hiƯn ®ang thu hót đợc quan tâm đặc biệt nhiều nhóm nghiên cứu giới Chơng đợc dành để nghiên cứu tính ổn định nghiệm hệ bất đẳng thức suy rộng cho hàm véctơ liên tục, ứng dụng Công cụ khái niệm Jacobian xấp xỉ theo nghĩa V Jeyakumar Đinh Thế Lôc Jacobian suy réng theo nghÜa F H Clarke cho hàm véctơ Lipschitz địa phơng trờng hợp riêng khái niệm (Chúng ta lu ý khái niệm đối đạo hàm, Jacobian xấp xỉ, Jacobian suy rộng Clarke nằm khuôn khổ lý thuyết vi phân trình bày Chơng 2.) Trong mục th−êng cã mét sè vÝ dơ minh häa vµ bµi tập giúp bạn đọc củng cố kiến thức cuối sách có hai phụ lục giới thiệu đề thi hết môn giải tích đa trị hai lớp học Các đề thi giúp học viên củng cố kiến thức phạm vi hai chơng đầu giáo trình Các định nghĩa, bổ đề, mệnh đề, định lý, nhận xét, ví dụ tập đợc đánh số ba số Ví dụ nh Định lý 1.2.3 định lý thứ mục thứ Chơng Các công thức đợc đánh số hai số Ví dụ nh (2.5) công thức thứ mục thứ (trong chơng đó) Để hiểu sâu lý thuyết ánh xạ đa trị ứng dụng, bạn đọc tự nghiên cứu thêm sách chuyên khảo Aubin Ekeland (1984), Aubin Frankowska (1990) - tài liệu tham khảo soạn giảng giải tích đa trị, Rockafellar Wets (1998), Borwein vµ Zhu (2005), Mordukhovich (2006a,b) Hy väng tập sách nhỏ giúp bạn đọc có cảm hứng bắt đầu việc tự học gian nan nhng thú vị Bạn đọc quan tâm đến ứng dụng giải tích đa trị tối u véctơ tham khảo sách chuyên khảo GS TSKH §inh ThÕ Lơc (1989), cđa PGS TSKH Ngun Xuân Tấn TS Nguyễn Bá Minh (2006) Xin chân thành cám ơn GS TSKH Phạm Hữu Sách PGS TSKH Phạm Huy Điển, ngời thầy tận tụy đà truyền cho niềm say mê nghiên cứu giải tích đa trị, giải tích không trơn, lý thuyết tối u ứng dụng Xin chân thành cám ơn GS TSKH Trần Đức Vân GS TSKH Lê Tuấn Hoa đà động viên, khích lệ vợt qua trì trệ trình viết lách kéo Tích phân ánh xạ đa trị 88 ánh xạ : A [0, +] đợc gọi độ đo dơng -đại số A với họ đếm đợc tập đôi không giao {Ak }k∈IN , ë ®ã Ak ∈ A víi mäi k ∈ IN , ta cã Ak µ k∈IN à(Ak ) = kIN Tập X với -đại số A độ đo dơng A (hay ba (X, A, à)) đợc gọi không gian có độ đo 10 Ta nói hữu hạn X hợp họ đếm đợc tập có độ đo hữu hạn Nếu với mäi A ∈ A tháa m·n µ(A) = vµ víi mäi A ⊂ A ta cã A ∈ A, ta nói đại số A àđủ (tức đủ theo độ đo à) Bộ ba (X, A, à) đợc gọi không gian có độ đo đủ, -hữu hạn 11 độ đo dơng hữu hạn A àđủ Ví dụ 3.1.2 Cho X = IRn , A đại số tập đo đợc theo Lebesgue IRn , độ đo Lebesgue IRn Ta có (X, A, à) không gian có độ đo đủ, -hữu hạn Cho (X, A) không gian đo đợc, Y không gian mêtric Nh đà quy ớc từ đầu mục này, B ký hiệu đại số Borel Y Ta xét đại số sinh họ tËp (1.12) {A × B ⊂ X × Y : A ∈ A, B ∈ B}, vµ ký hiƯu nã bëi A ⊗ B Nh− vËy, A ⊗ B lµ đại số nhỏ X ì Y chứa họ tập (1.12) Để chứng minh Định lý đặc trng, phải dựa vào hai bổ đề sau Bổ đề 3.1.1 (xem Castaing vµ Valadier (1977)) Cho (X, A, µ) không gian có độ đo đủ, -hữu hạn, Y không gian mêtric đủ, khả li Nếu M A ⊗ B, th× prX (M ) := {x ∈ X : ∃y ∈ Y, (x, y) ∈ M } tập thuộc A (Hình chiếu lên X tập đo đợc theo A B đo đợc theo A.) Bổ đề 3.1.2 Giả sử (X, A) không gian đo đợc, Y Z hai không gian mêtric khả li, g : X ì Y Z ánh xạ Caratheodory (điều có nghĩa với y Y ánh xạ g(Ã, y) đo đợc, với x X ánh xạ g(x, Ã) liên tục) Khi g đo ®−ỵc theo A ⊗ B 10 11 TNTA: measure space; xem Rudin (1987), tr 16 TNTA: complete σ-finite measure space 3.1 ánh xạ đa trị đo đợc, lát cắt đo đợc 89 Chứng minh Ta cần chứng minh tồn dÃy ánh xạ gk : X ì Y Z (k IN ) đo đợc theo A B hội tụ theo điểm đến g (xem Bài tập 3.1.3) Giả sử {yi : i IN } tập điểm đếm đợc trù mật Y Giả sử (x, y) XìY Với k IN , ký hiệu i = i(k) ∈ IN lµ chØ sè nhá nhÊt cho y B(yi , k1 ) hay, hoàn toàn tơng đơng, yi B(y, k1 ) (1.13) Ta đặt gk (x, y) = g(x, yi ) Do (1.13) vµ tÝnh liên tục ánh xạ g(x, Ã) ta có lim gk (x, y) = lim g(x, yi(k) ) = g(x, y) k→∞ k→∞ víi mäi (x, y) ∈ X × Y Ta phải chứng minh gk đo đợc theo A B Đặt Yi,k := B(yi , k −1 i−1 )\ B(yj , k−1 ) j=1 Vì {yi : i IN } trï mËt Y , nªn ta cã ∞ Yi,k = Y (1.14) i=1 Râ rµng Yi,k ∈ B víi (i, k) IN ì IN Ngoài ra, gk (x, y) = g(x, yi ) ∀(x, y) ∈ X ì Yi,k Điều chứng tỏ gk đo đợc theo A B Thật vậy, giả sư W ⊂ Z lµ tËp më tïy ý Ta cã gk−1 (W ) = {(x, y) ∈ X × Y : gk (x, y) ∈ W } ∞ = {(x, y) ∈ X × Yi,k : g(x, yi ) ∈ W } i=1 ∞ = (g(·, yi ))−1 (W ) ì Yi,k i=1 tập thuộc A B Định lý 3.1.3 (Characterization Theorem - Định lý đặc tr−ng; xem Aubin vµ Frankowska (1990), tr 310) Cho (X, A, à) không gian có độ đo đủ, -hữu hạn, Y không gian mêtric đủ, khả li Cho F : X Y ánh xạ đa trị có giá trị đóng, khác rỗng Khi đó, khẳng định (a), (b), (c) Định lý 3.1.2 khẳng định sau tơng đơng: Tích phân ánh xạ đa trị 90 (d) gph F A ⊗ B; (e) F −1 (C) ∈ A víi mäi tËp ®ãng C ⊂ Y ; (f) F −1 (B) ∈ A víi mäi tËp Borel B ∈ B Chøng minh Do (a) (b) (c), định lý ®−ỵc chøng minh nÕu chóng ta chøng tá ®−ỵc r»ng (f) ⇒ (e), (e) ⇒ (a), (a) ⇒ (c), (c) (d), (d) (f) (Tất nhiên ta không cần chứng minh khẳng định (a) (c) nữa.) (f) (e) Hiển nhiên, tập đóng tập Borel (e) (a) Khẳng định đà đợc thiết lập Bài tập 3.1.10 (c) (d) Giả sử víi mäi y ∈ Y hµm sè d(y, F (·)) đo đợc Vì F có giá trị đóng, khác rỗng, nên ta có (1.14) gph F = {(x, y) ∈ X × Y : d(y, F (x)) = 0} Vì với x X hàm số d(Ã, F (x)) liên tục, nên áp dụng Bổ đề 3.1.2 cho tr−êng hỵp g(x, y) := d(y, F (x)) ∀(x, y) ∈ X × Y ta suy r»ng g : X ì Y IR đo đợc theo A ⊗ B Do (1.14), gph F = g−1 ({0}) Theo khẳng định b) Bài tập 3.1.7, ta có gph F ∈ A ⊗ B (d) ⇒ (f) Gi¶ sử gph F A B giả sư B ⊂ Y lµ tËp Borel bÊt kú DƠ thÊy r»ng F −1 (B) = prX (gph F ∩ (X × B)) V× gph F ∈ A ⊗ B X ì B A B, từ ta cã F −1 (B) ∈ A theo Bỉ ®Ị 3.1.1 Định lý đặc trng cho ta hệ sau tơng đơng tính đo đợc (còn gọi tính đo đợc yếu) tính đo đợc mạnh ánh xạ đa trị Hệ 3.1.1 Cho X = IRn , A đại số tập đo đợc theo Lebesgue IRn , độ đo Lebesgue IRn Cho Y không gian mêtric đủ, khả li, F : X Y ánh xạ đa trị có giá trị đóng, khác rỗng Khi đó, F đo đợc chØ F −1 (C) ∈ A víi mäi tËp ®ãng C ⊂ Y Bµi tËp 3.1.16 Cho X = IR n , A đại số tập đo đợc theo Lebesgue IR n , độ đo Lebesgue IR n Cho Y không gian mêtric đủ, khả li, F : X Y ánh xạ đa trị có giá trị đóng, khác rỗng Chứng minh rằng: 3.2 Tích phân Aumann 91 a) Nếu F nửa liên tục dới X, F ánh xạ đa trị đo đợc; b) Nếu F nửa liên tục trên X, F ánh xạ đa trị đo đợc (Gợi ý: Lu ý F nửa liên tục dới X ảnh ngợc tập mở Y tập mở X, F nửa liên tục X ảnh ngợc tập đóng Y tập đóng X áp dụng Hệ 3.1.1 để chứng minh khẳng định b).) Nhận xét 3.1.3 Có ánh xạ đa trị đo đợc nhng không nửa liên tục nửa liên tục dới điểm thuộc miền xác định Ví dụ, F : IR IR cho bëi c«ng thøc f (x) = {0} nÕu x ∈ Q vµ f (x) = {1} nÕu x∈ / Q Kết hợp khẳng định nói Bài tập 3.1.16 với Định lý 3.1.1 (t.., với Định lý 3.1.2) ta có kết luận tồn lát cắt đo đợc (t.., tồn họ đếm đợc trù mật lát cắt đo đợc) ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, nửa liên tục dới Theo thuật ngữ mục tiếp sau, Y không gian Banach khả li, ta lấy tích phân ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, nửa liên tục dới tập đo đợc X = IRn 3.2 Tích phân ánh xạ đa trị Trong suốt mục này, (X, A, à) không gian có độ đo đủ, hữu hạn, Y không gian Banach kh¶ li 12 Ta sư dơng ký hiƯu L1 (X; Y, à) để tập hợp ánh xạ đơn trị đo đợc khả tích từ X vào Y , tøc lµ L1 (X; Y, µ) = f : X Y : f đo đợc, X f (x) dà < Giả sử F : X Y ánh xạ đa trị có giá trị đóng, khác rỗng Ta ký hiệu tập hợp lát cắt kh¶ tÝch cđa F bëi F: F = {f ∈ L1 (X; X, µ) : f (x) ∈ F (x) hầu khắp X} Ta nói F giới nội khả tích 13 tồn hàm L1 (X; IR, à) cho Y hầu khắp X F (x) ⊂ γ(x)B NÕu F cã tÝnh chÊt đó, lát cắt đo đợc F phần tử thuộc tập F Trờng hợp hay đợc xÐt nhÊt vµ cã nhiỊu øng dơng nhÊt lµ X = IRn , A -đại số gồm tập đo đợc theo Lebesgue IRn , độ đo Lebesgue IRn , Y = IRm không gian Euclide hữu hạn chiều; xem Clarke (1983), tr 111 13 TNTA: intergrably bounded 12 TÝch ph©n ánh xạ đa trị 92 Trớc định nghĩa tích phân ánh xạ đa trị, cần nhắc đến phép lấy tích phân hàm nhận giá trị véctơ 14 Định nghĩa 3.2.1 (xem Rudin (1991), tr 77) Gi¶ sư f : X → Y ánh xạ đo đợc cho với y ∈ Y ∗ hµm sè y∗ ◦ f cho bëi c«ng thøc (y ∗ ◦ f )(x) = y ∗ , f (x) (2.1) x X khả tích 15 Nếu tồn véctơ y Y cho y∗, y = X (y ∗ ◦ f )(x)dµ y Y ta nói tích phân f X theo độ đo y, vµ viÕt (2.2) f dµ y= X DƠ thÊy r»ng có nhiều phần tử y thỏa m·n (2.2) VËy tÝnh nhÊt cđa tÝch ph©n cđa hàm nhận giá trị véctơ hiển nhiên Nếu X không gian tôpô, A chứa đại số Borel X, f : X Y hàm liên tục, f (X) Y tập compắc, tồn tích phân (2.2); xem Rudin (1991), tr 77 Nếu Y = IRm vµ f = (f1 , , fm ), từ định nghĩa suy tích phân (2.2) tồn hàm fi (i = 1, , m) khả tích Khi ta có f dµ = (2.3) X X f1 (x)dµ, , X fm (x)dà Đối với hàm véctơ nhận giá trị không gian Banach hữu hạn chiều, ngời ta thờng lấy công thức (2.3) làm định nghĩa tích phân X f dà Để định nghĩa tích phân ánh xạ đa trị, R J Aumann đề nghị gọi tập hợp tích phân lát cắt đo đợc khả tích F tích phân F Định nghĩa 3.2.2 (R J Aumann, 1965) Tích phân X F dà ánh xạ đa trị đo đợc F : X Y tập hợp tích phân lát cắt đo đợc khả tích cđa F : F dµ := (2.4) X VËy 14 15 X X F dµ lµ mét tËp cđa Y TNTA: vector-valued integration NÕu f ∈ F, th× f có tính chất f dà : f F 3.2 Tích phân Aumann 93 Bài tập 3.2.1 Cho X, A vµ F nh− VÝ dơ 3.1.1 Cho độ đo Lebesgue đoạn [1, 2] Tính tích phân F dà (Gợi ý: Với X f ∈ F ta cã f (x) ∈ F (x) víi mäi x, ngo¹i trõ x ∈ X f , Xf tập có độ đo §Ỉt f˜(x) = f (x) víi mäi x ∈ X \ Xf vµ chän tïy ý f˜(x) ∈ F (x) víi x ∈ Xf Do rge F lµ giíi nội, nên f F ta có f(x) dà = X f (x) dà Vì vậy, công thức (2.4) cần xét X lát cắt f F mµ f (x) ∈ F (x) víi mäi x X Ký hiệu tập lát cắt F0 §Ĩ ý r»ng f ∈ F tồn [1, 1] cho f (x) = −1 nÕu x < 0, f (0) = α, f (x) = nÕu x > Từ suy X F dà = {1}.) Tích phân ánh xạ đa trị có nhiều tính chất thú vị, có số tính chất tơng tự nh trờng hợp tích phân hàm số thực Mệnh đề 3.2.1 (xem Aubin Frankowska (1990), tr 327) Gi¶ sư Fi : X ⇒ Y (i = 1, 2) ánh xạ đa trị có giá trị đóng, khác rỗng Đặt G(x) := F1 (x) + F2 (x) Khi đó, tính chất sau nghiƯm ®óng: (i) Víi mäi λ ∈ IR, (ii) (λF ) dµ = λ X coF dµ = co X F dµ; X F dµ; X (iii) Víi mäi p ∈ Y ∗ , sup p, y : y ∈ F dµ X = X CF (p, x) dµ, ë ®ã CF (p, x) = sup{ p, y : y ∈ F (x)} lµ hµm tùa cđa F ; (iv) G dµ = X X F1 dµ + X F2 dà Định nghĩa 3.2.3 Tập A A đợc gọi nguyên tử 16 độ đo µ(A) > vµ víi mäi A ⊂ A, µ(A ) hoặc à(A) Độ đo đợc gọi nguyên tử 17 không chứa nguyên tử Ví dụ 3.2.1 Độ đo Lebesgue IRn độ đo nguyên tử 16 17 TNTA: atom TNTA: nonatomic TÝch ph©n ánh xạ đa trị 94 Nhắc lại điểm w K đợc gọi điểm cực biên 18 tập lồi K không gian định chuẩn không tồn u, v K ∈ (0, 1) cho w = (1 − λ)u + v Tập điểm cực biên K đợc ký hiệu extr K Sau kết tính lồi tích phân Aumann Định lý 3.2.1 (R J Aumann, G Debreu vµ C Olech; xem Aubin vµ Frankowska (1990), tr 329, 419) Cho F : X IRm ánh xạ đa trị đo đợc có giá trị đóng, khác rỗng Nếu độ đo nguyên tử, extr co F dà X Ngoài ra, F giới nội khả tích, X F dà tập lồi F dà X X F dà tập compắc Chứng minh định lý (xem Aubin Frankowska (1990), tr 333 340) dựa vào định lý sau tính lồi tập hợp tích phân hàm véctơ khả tích theo tập đo đợc thuộc A §Þnh lý 3.2.2 (Lyapunov’s Convexity Theorem - §Þnh lý cđa Lyapunov tính lồi) Giả sử độ đo nguyên tử f L1 (X; IRm , à) Khi đó, tập hợp f dà (A) := A tập lồi, compắc AA IRm Trong Định lý 3.2.1, thay cho IRn ta xét không gian Banach vô hạn chiều Y , cha tích phân X F dà đà tập lồi Tuy thế, bao đóng tập lồi Cụ thể ta có định lý sau Định lý 3.2.3 (J J Uhl, F Hiai vµ H Umegaki; xem Aubin vµ Frankowska (1990), tr 330, 419) Cho Y không gian Banach khả li, F : X Y ánh xạ đa trị đo đợc có giá trị đóng, khác rỗng Nếu độ đo nguyên tử, (i) X (ii) F dà tËp låi; F dµ = co X F dµ; X (iii) NÕu y ∈ extr nhÊt; 18 TNTA: extreme point X F dà , phần tử f F tháa m·n X f dµ = y lµ 3.3 Lát cắt liên tục lát cắt Lipschitz 95 (iv) Nếu F ánh xạ đa trị giới nội khả tích, X coF dà = F dà X Chứng minh định lý xem Aubin Frankowska (1990), tr 340-342 Bài tập 3.2.2 Xét ánh xạ đa trị F : IR IR cho c«ng thøc F (x) = co{sin x, cos x} a) Chứng minh F đo đợc, giới nội khả tích [0, 2] F dà b) Tính tích phân (Gợi ý: F ánh xạ đa trị liên tục giới nội [0, 2] Theo Định lý F dà lồi, compắc Vẽ tập gph F trớc tiến hành tính 3.2.1, toán Kết quả: F dà = 2.) 3.3 Lát cắt liên tục lát cắt Lipschitz Định lý sau đa điều kiện đủ để ánh xạ đa trị nửa liên tục dới có lát cắt liên tục Định lý 3.3.1 (E Michael, 1956) Cho X không gian mêtric compắc, Y không gian Banach, F : X Y ánh xạ đa trị nửa liên tục dới, có giá trị lồi đóng khác rỗng Khi F có lát cắt liên tục Chứng minh định lý xem Aubin Frankowska (1990), tr 357, Chiêu (2004) Trong Định lý 3.3.1, giả thiết tính compắc không gian mêtric X bỏ đợc (xem Zeidler (1986), tr 466) ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, có giá trị lồi đóng khác rỗng, từ không gian mêtric compắc vào không gian Banach cha đà có lát cắt liên tục Bài tập 3.3.1 Cho ví dụ cụ thể để chứng tỏ ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, có giá trị lồi đóng khác rỗng, từ không gian mêtric compắc vào không gian Banach cha đà có lát cắt liên tục (Gợi ý: Đặt X = [1, 1] xét ánh xạ đa trị F : X IR cho bëi c«ng thøc F (x) = {−1} víi mäi x < 0, F (0) = [−1, 1] vµ F (x) = {1} víi mäi x > 0.) TÝch phân ánh xạ đa trị 96 Định nghĩa 3.3.1 Cho X không gian mêtric, Y không gian Banach a) Ta nói ánh xạ đơn trị f : X Y Lipschitz địa phơng với x X tồn > > cho f (x ) − f (x) NÕu tån t¹i d(x , x) ∀x, x ∈ B(¯ x, δ) > cho f (x ) − f (x) ∀x, x ∈ X d(x , x) th× F đợc gọi ánh xạ Lipschitz X b) Ta nói ánh xạ đa trị F : X Y Lipschitz địa phơng với x X tồn > > cho ¯Y F (x ) ⊂ F (x) + d(x , x)B NÕu tån t¹i ∀x , x ∈ B(¯ x, δ) > cho ¯Y F (x ) ⊂ F (x) + d(x , x)B ∀x , x X, F đợc gọi ánh xạ đa trị Lipschitz X Định lý sau bàn tồn lát cắt xấp xỉ ánh xạ đa trị nửa liên tục Định lý 3.3.2 (A Cellina; xem Aubin vµ Frankowska (1990), tr 358–360) Cho X không gian mêtric compắc, Y không gian Banach, F : X Y ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, có giá trị lồi khác rỗng Khi đó, tồn ánh xạ đơn trị Lipschitz địa phơng f : X Y cho gph fε ⊂ B(gph F, ε) vµ fε (x) ∈ co(rge F ), ë ®ã d((x, y), (x , y )) := max{d(x, x ), y − y } vµ B(gph F, ε) = {(x, y) ∈ X × Y : d((x, y), gph F ) < } Trong Định lý 3.3.2, giả thiết tính compắc X bỏ đợc (xem Aubin Frankowska (1990), tr 358) Nhiều tác giả đà sử dụng Định lý Michael tồn lát cắt liên tục để nghiên cứu tồn nghiệm bất đẳng thức biến phân suy rộng toán cân Điều thú vị ta sử dụng Định Cellina tồn lát cắt xấp xỉ Lipschitz địa phơng để chứng minh định lý tồn nghiệm 3.3 Lát cắt liên tục lát cắt Lipschitz 97 cho bất đẳng thức biến phân suy rộng với toán tử đa trị nửa liên tục trên19 Nếu để ý thêm nói chung dới vi phân hàm lồi (ví dụ nh (Ã) (x) := x , x IRn ) dới vi phân Clarke hàm Lipschitz địa phơng 20 thờng ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, không nửa liên tục dới, ta thấy cần thiết Định lý Cellina Ví dụ 3.3.1 (xem Chiêu (2004), tr 23) Đặt X = IR xét ánh xạ đa trị F : X IR cho bëi c«ng thøc F (x) = {0} víi mäi x < 0, F (0) = [0, 1] vµ F (x) = {1} víi mäi x > Ta cã F nửa liên tục X Ngoài ra, F có giá trị lồi, compắc, khác rỗng Mặc dù F lát cắt liên tục, nhng có lát cắt xấp xỉ Lipschitz địa phơng với độ xác tùy ý Thật vậy, với > 0, ánh xạ đơn trị Lipschitz x 12 ε ⎨0 fε (x) = 1ε x + 12 nÕu − 12 ε < x < 12 ε ⎩ x 12 lát cắt xấp xỉ F với độ xác , gph f B(gph F, ) Hình 14 Định lý sau đa điều kiện đủ cho tồn lát cắt Lipschitz Định lý 3.3.3 (xem Aubin Frankowska (1990), tr 372) Cho X không gian mêtric F : X IRn ánh xạ đa trị Lipschitz có giá trị lồi đóng khác rỗng Khi đó, F có lát cắt Lipschitz Chứng minh định lý xem Aubin Frankowska (1990), Chiêu (2004) 19 20 Xem Kien, Yao Yen (2007) Xem công thức (4.3) Nhận xét 3.4.1 dới Tích phân ánh xạ đa trị 98 3.4 Tích phân Aumann ánh xạ dới vi phân Clarke Các kết trình bày mục thuộc Nguyễn Huy Chiêu (xem Chiêu (2004, 2006a)) Bạn đọc có quan tâm xin đọc chứng minh chi tiết luận văn báo Trong lý thuyết tích phân Lebesgue, ngời ta đà chứng minh r»ng nÕu f : [a, b] → IR lµ hµm số Lipschitz xác định đoạn [a, b] IR, công thức Newton-Leibnitz b (4.1) a f (t) dà = f (b) f (a), ký hiệu độ đo Lebesgue [a, b], nghiệm (Ta lu ý rằng, f Lipschitz [a, b], đạo hàm Fréchet f (x) tồn hầu khắp [a, b] theo định lý Rademacher; xem Clarke (1983).) Vấn đề đặt vế phải công thức nh toán tử đạo hàm f (Ã) tích phân Lebesgue vế trái đợc thay tơng ứng ánh xạ dới vi phân Clarke Cl f (Ã) tích phân Aumann Ngoài việc trình bày lời giải cho vấn đề đó, xét ứng dụng kết thu đợc ví dụ minh họa thú vị Giả sử X không gian Banach f : X IR hàm số Lipschitz địa phơng Định nghĩa 3.4.1 Đạo hàm theo hớng Clarke f x X theo hớng v X đợc xác định công thøc (4.2) f (x; v) := lim sup x →x, t→0+ f (x + tv) − f (x ) t Dới vi phân Clarke f x tập hợp (4.3) Cl f (x) := {x ∈ X ∗ : x∗ , v f (x; v), ∀v ∈ X} NhËn xÐt 3.4.1 (xem Clarke (1983)) NÕu > lµ hƯ sè Lipschitz cđa f lân cận x, Cl f (x) tập hợp khác rỗng, lồi, compắc yếu X víi mäi x∗ ∈ ∂ Cl f (x), vµ víi mäi v ∈ X ta cã Ngoµi ra, x∗ f (x; v) = max{ x∗ , v : x∗ Cl f (x)} Nếu X không gian hữu hạn chiều, ánh xạ đa trị Cl f (Ã) nửa liên tục x Nhận xét 3.4.2 NÕu f : [a, b] → IR lµ hµm số Lipschitz độ đo Lebesgue [a, b], ánh xạ đa trị Cl f (Ã) giới nội khả tích Khẳng định đợc chứng minh dƠ dµng nhê mét tÝnh chÊt nãi NhËn xÐt 3.4.1 3.4 Tích phân Aumann ánh xạ dới vi phân Clarke 99 Nhận xét 3.4.3 (xem Aubin Frankowska (1990), tr 343) NÕu X = [a, b], Y = Rn , độ đo Lebesgue [a, b], F : X Y ánh xạ đa trị giới nội khả tích, có giá trị đóng khác rỗng, tập hợp X F dà lồi, compắc Định nghĩa 3.4.2 (xem Clarke (1983), tr 39) Hàm số f đợc gọi quy Clarke 21 x nếu, với v X, đạo hàm theo hớng f (x; v) := lim t→0+ f (x + tv) f (x) t tồn ta có f (x; v) = f (x; v) Bµi tËp 3.4.1 Cho f (x) = |x| vµ g(x) = −|x| víi x IR Các hàm số f : IR IR g : IR IR có quy Clarke (a) x = 0, (b) x = 0, hay không? Tại sao? Kết sau Nguyễn Huy Chiêu Định lý 3.4.1 (xem Chiêu (2004, 2006a)) Giả sử f : [a, b] IR hàm số Lipschitz xác định ®o¹n [a, b] ⊂ R Khi ®ã ta cã b (4.4) a ∂ Cl f (t) dµ = − b a f (t; −1) dµ, b f (t; 1) dà , a b tích phân a Cl f (t) dà ánh xạ đa trị Cl f (Ã) đợc hiểu theo nghĩa tích phân Aumann Định lý 3.4.1 cho ta công thức hiển để tính tích phân Aumann ánh xạ dới vi phân Clarke hàm số thực Lipschitz đoạn [a, b] IR cho trớc: để tính tích phân đó, ta cần tính tích phân Lebesgue hàm số thùc f (·; −1) vµ f (·; 1) đoạn [a, b] Từ kết ta cã hƯ qu¶ sau HƯ qu¶ 3.4.1 Gi¶ sư f : [a, b] → R lµ hµm sè Lipschitz Khi ®ã, b (4.5) a ∂ Cl f (t) dµ = {f (b) − f (a)} vµ chØ b (4.6) a 21 TNTA: Clarke regular f (t; 1) + f (t; −1) dµ = Tích phân ánh xạ đa trị 100 Nh (4.6), lấy tích phân Lebesgue hàm số thực, điều kiện cần đủ để có (4.5); tức (4.6) điều kiện cần đủ ®Ĩ tÝch ph©n b Aumann a ∂ Cl f (t) dà tập hợp có phần tử Ví dụ 3.4.1 dới 22 b chứng tỏ lúc tích phân a Cl f (t) dà tập hợp có phần tử Nhận xÐt 3.4.4 Theo HƯ qu¶ 3.4.1, nÕu f (t; 1) + f (t; 1) = hầu khắp b [a, b], a Cl f (t)dt = {f (b) − f (a)} HƯ qu¶ 3.4.2 Gi¶ sư f : [a, b] → IR lµ hµm Lipschitz, quy Clarke hầu khắp [a, b] Khi đó, đẳng thức (4.5) nghiệm Bài tập 3.4.2 Cho f vµ g nh− Bµi tËp 3.4.1 H·y kiĨm chøng kết luận Định lý 3.4.1 hệ 3.4.1, 3.4.2 hàm f g lấy [a, b] = [2, ] Hình 15 Định nghĩa 3.4.3 (xem Clarke (1983), tr 30-31) Hàm véctơ f : X → Y , ë ®ã ¯ ∈ X nÕu tồn X, Y không gian Banach, đợc gọi khả vi chặt23 x x) : X Y cho toán tử tuyến tính liên tục Ds f (¯ lim x→¯ x, 22 t→0+ f (x + tv) − f (x) = Ds f (¯ x)(v) t Sư dơng mét kÕt qu¶ cđa R T Rockafellar (xem Borwein vµ Zhu (2005), VÝ dơ 5.2.12, tr 191), N H Chiêu đà xây dựng đợc ví dụ cã cïng hiƯu øng nh− VÝ dơ 3.4.1 Ngoµi ra, Chieu (2006c) đà thiết lập công thức tơng tự nh (4.4) cho dới vi phân Fréchet dới vi phân Mordukhovich - nghiên cứu dới vi phân Chơng 23 TNTA: strictly differentiable 3.4 Tích phân Aumann ánh xạ dới vi phân Clarke 101 hội tụ theo v tập compắc X Nhận xét 3.4.5 (xem Clarke (1983), tr 32) Nếu f khả vi Fréchet liên tục x , f Lipschitz địa phơng x khả vi chặt x Nhận xét 3.4.6 Giả sử f : [a, b] → IR lµ hµm sè Lipschitz NÕu f khả vi chặt hầu khắp [a, b] f lồi [a, b], đẳng thức (4.5) nghiệm Khẳng định suy từ Hệ 3.4.2 kiện nói f khả vi chặt x f hàm lồi quy Clarke x (xem Clarke (1983), tr 40) Sau ứng dụng Định lý 3.4.1 viƯc chØ ®iỊu kiƯn ®đ cho phép khôi phục hàm số Lipschitz địa phơng từ ánh xạ dới vi phân Clarke Năm 1982 R T Rockafellar chøng minh r»ng nÕu f, g : Rn IR hàm Lipschitz địa phơng, f lµ chÝnh quy Clarke, vµ ∂ Cl g(x) ⊂ ∂ Cl f (x) x Rn , tồn mét h»ng sè C ∈ IR cho g(x) = f (x) + C ∀x ∈ Rn (xem Wu and Ye(2000)) Kết Rockafellar đà đợc số tác giả khác phát triển theo hớng khác nhau; xem Thibault vµ Zagrodny (1995), Ngai, Luc vµ ThÐra (2000), Wu Ye (2000) Định lý 3.4.1 cho phép mở rộng kết nói Rockafellar sang trờng hợp không gian vô hạn chiều Định lý 3.4.2 (xem Chiêu (2004, 2006a)) Giả sử X không gian Banach, f, g : X IR hàm số Lipschitz địa phơng X Nếu f quy Clarke vµ ∂Cl g(x) ⊂ ∂ Cl f (x) víi x X, tồn số C ∈ IR cho g(x) = f (x) + C víi mäi x ∈ X B©y giê chóng ta xÐt ví dụ minh họa cho Định lý 3.4.1 Ví dụ chứng tỏ đoạn thẳng vế phải (4.5) chứa vô hạn phần tử Ví dụ 3.4.1 (xem Chiêu (2006a)) Giả sử {rk }kN tập hợp tất số hữu tỷ khoảng (a, b) IR, a < b Với k ∈ N, ta chän δk > ®đ bÐ cho (rk −δk , rk +δk ) ⊂ (a, b) k < 2(k+3) (ba) Đặt A = k=0 (rk −δk , rk +δk ) vµ P = [a, b]\A Vì A tập mở IR, ta có thĨ biĨu diƠn ∞ (am , bm ), A= m=0 102 Tích phân ánh xạ đa trị {(am , bm )}mN dÃy khoảng mở rời (đôi không giao nhau) Định nghĩa hàm số f : [a, b] IR cách đặt ⎧ ⎪ ⎨ nÕu x ∈ P 2 f (x) = (x − am ) (x − bm ) sin (bm − am )(x − am )(x − bm ) ⎪ ⎩ nÕu x ∈ (am , bm ) Khi đó, f Lipschitz [a, b] vµ tËp b Cl a ∂ f (t) dµ chøa vô hạn phần tử 24 Lập luận chứng minh khẳng định phức tạp ý tởng Ví dụ 3.4.1 khảo sát hàm số Lipschitz đoạn [a, b] IR mà tập điểm không quy Clarke có độ đo Lebesgue dơng Xin xem chi tiÕt Chiªu (2006a) 24 ... generators 1 Tính liên tục ánh xạ đa trị 12 Bài tập 1. 1.3 Tìm phần tử sinh tập lồi đa diện sau: M = x = (x1 , x2 ) : x1 0, x2 0, x1 + x2 vµ M = x = (x1 , , xn ) : xi ? ?1 ∀i = 1, , n} Bµi tập 1. 1.4... (Gợi ý: Xét ánh xạ đa trị G1 (x) = {1} nÕu x {0} nÕu 12 < x 1, ⎧ ⎨ {x + 12 } nÕu x < 12 G2 (x) = {0, 1} nÕu x = 12 ⎩ {x − } nÕu 12 < x 1, (x, 1) (0, 1) ⎧ ⎨ [ , 1] G4 (x) = ∅ ⎩ [0, 12 ] G3 (x) = nÕu... Mordukhovich cđa phiÕm hàm tích phân 77 77 91 95 98 10 3 10 4 10 6 11 6 11 8 12 0 13 6 14 8 Hệ bất đẳng thức suy réng 5 .1 Giíi thiƯu chung