Giáo trình Giải tích (Dành cho sinh viên các ngành kỹ thuật và công nghệ): Phần 1 - Trường Đại học Vinh

Giáo trình Giải tích (Dành cho sinh viên các ngành kỹ thuật và công nghệ): Phần 1 - Trường Đại học Vinh được biên soạn gồm 4 chương với các nội dung số thực và giới hạn của dãy số; giới hạn của hàm số và hàm số liên tục; phép tính vi phân hàm một biến; tích phân của hàm một biến.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH VŨ THỊ HỒNG THANH (CHỦ BIÊN) ĐINH HUY HOÀNG, TRẦN VĂN ÂN, KIỀU PHƯƠNG CHI, NGUYỄN VĂN ĐỨC, NGUYỄN HUY CHIÊU, TRẦN ĐỨC THÀNH, NGUYỄN THỊ QUỲNH TRANG, ĐẬU HỒNG QN GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH (DÀNH CHO SINH VIÊN CÁC NGÀNH KỸ THUẬT VÀ CÔNG NGHỆ) VINH - 2018 MỤC LỤC Thông tin học phần Mở đầu Chương 1 Số thực giới hạn dãy số Số thực 1.1 Tập hợp số thực 1.2 Tập hợp số thực mở rộng 1.3 Tập bị chặn, cận trên, cận Giới hạn dãy số 2.1 Các khái niệm tính chất dãy số hội tụ 2.2 Điều kiện hội tụ dãy đơn điệu, số e 10 2.3 Tiêu chuẩn Cauchy 12 2.4 Giới hạn vô hạn 16 Câu hỏi thảo luận 17 Chương Giới hạn hàm số hàm số liên tục 20 Hàm số giới hạn hàm số 21 1.1 Các khái niệm hàm số 21 1.2 Một số loại hàm số đặc biệt 24 1.3 Các hàm số sơ cấp hàm số sơ cấp 25 1.4 Định nghĩa giới hạn hàm số 30 1.5 Các phép tính định lý giới hạn hàm 33 1.6 Các dạng vô định, đại lượng vô bé đại lượng vô lớn 37 Hàm số liên tục 40 Giáo trình Giải tích 2.1 Các khái niệm tính chất hàm số liên tục 40 2.2 Tính liên tục hàm sơ cấp 42 2.3 Các định lý hàm số liên tục đoạn 42 2.4 Hàm số liên tục 43 ( )v(x) Giới hạn dạng lim u(x) 44 2.5 x→a Câu hỏi thảo luận 47 Chương 3 50 Đạo hàm hàm biến 51 1.1 Các định nghĩa tính chất 51 1.2 Đạo hàm bên phải, đạo hàm bên trái 52 1.3 Ý nghĩa hình học học đạo hàm 54 1.4 Các quy tắc tính đạo hàm 55 1.5 Bảng đạo hàm số hàm số sơ cấp 56 Vi phân hàm biến 57 2.1 Hàm khả vi vi phân hàm biến 57 2.2 Các quy tắc lấy vi phân tính bất biến vi phân cấp 58 2.3 Các định lý hàm khả vi 59 2.4 Ứng dụng vi phân để tính gần 61 Đạo hàm vi phân cấp cao 62 3.1 Định nghĩa đạo hàm vi phân cấp cao 62 3.2 Công thức Newton-Leibniz 63 3.3 Tính khơng bất biến vi phân cấp cao 64 3.4 Khai triển Taylor, Maclaurin hàm khả vi 65 Một số ứng dụng phép tính vi phân 68 4.1 Quy tắc L′ Hospital 69 4.2 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số 72 Chương Phép tính vi phân hàm biến Tích phân hàm biến 89 Nguyên hàm tích phân không xác định 90 1.1 Định nghĩa tính chất 90 4 1.2 Phương pháp đổi biến số phương pháp tích phân phần 93 1.3 Tích phân hàm hữu tỷ 97 1.4 Tích phân số hàm vơ tỷ 102 1.5 Tích phân hàm lượng giác 105 Tích phân xác định 107 2.1 Định nghĩa tính chất tích phân xác định 107 2.2 Tính tích phân phần, đổi biến số 109 Ứng dụng tích phân xác định 113 3.1 Tính độ dài cung 113 3.2 Tính diện tích hình phẳng 119 3.3 Tính thể tích vật thể 122 3.4 Thể tích vật thể trịn xoay 124 3.5 Tính diện tích xung quanh mặt trịn xoay 125 3.6 Một số ứng dụng vật lý 127 Tích phân suy rộng 129 4.1 Tích phân suy rộng loại I 4.2 Tích phân suy rộng loại II 136 Chương Giáo trình Giải tích Chuỗi số chuỗi hàm 129 144 Chuỗi số 145 1.1 Các khái niệm 145 1.2 Một số tính chất chuỗi hội tụ 146 1.3 Chuỗi số dương dấu hiệu hội tụ 147 1.4 Chuỗi có dấu tuỳ ý 151 Chuỗi hàm 154 2.1 Các khái niệm tính chất 154 2.2 Sự hội tụ dấu hiệu hội tụ 155 Chuỗi luỹ thừa 158 3.1 Khái niệm tính chất chuỗi luỹ thừa 158 3.2 Các tính chất tổng chuỗi luỹ thừa 160 3.3 4 4.1 Chuỗi lượng giác 165 4.2 Điều kiện để khai triển hàm thành chuỗi Fourier 166 4.3 Khai triển Fourier hàm chẵn, hàm lẻ hàm 167 Giới hạn, tính liên tục vi phân hàm nhiều biến 178 Không gian Rn 179 1.1 Cấu trúc tuyến tính khoảng cách Rn 179 1.2 Định nghĩa tính chất dãy hội tụ Rn 180 Giới hạn hàm nhiều biến 182 2.1 Các khái niệm tính chất 182 2.2 Giới hạn lặp, giới hạn kép mối liên hệ chúng 185 Tính liên tục hàm nhiều biến 187 3.1 Các khái niệm tính chất hàm liên tục 187 3.2 Tính liên tục theo biến mối liên hệ với tính liên tục 188 Đạo hàm riêng vi phân hàm nhiều biến 188 4.1 Đạo hàm riêng, tính khả vi vi phân hàm nhiều biến 188 4.2 Đạo hàm hàm hợp tính bất biến vi phân 194 4.3 Đạo hàm vi phân cấp cao 195 Cực trị không điều kiện cực trị có điều kiện 197 5.1 Cực trị không điều kiện 197 5.2 Cực trị có điều kiện 199 Chương Khai triển hàm thành chuỗi lũy thừa 162 Chuỗi Fourier 165 Chương Giáo trình Giải tích Tích phân bội 205 Tích phân hai lớp 206 1.1 Định nghĩa tính chất tích phân hai lớp 206 1.2 Đưa tích phân hai lớp tích phân lặp 208 1.3 Đổi biến tích phân hai lớp 212 Tích phân ba lớp 219 2.1 Định nghĩa tính chất cở tích phân ba lớp 219 2.2 Cách tính tích phân ba lớp 221 2.3 Đổi biến tích phân ba lớp 225 Ứng dụng tích phân bội 231 3.1 Tính diện tích miền phẳng 231 3.2 Tính thể tích vật thể 232 3.3 Tính diện tích mặt cong 234 3.4 Tính khối lượng tìm tọa độ trọng tâm vật thể 235 Chương Giáo trình Giải tích Phương trình vi phân 240 Các khái niệm phương trình vi phân 241 1.1 Khái niệm phương trình vi phân 241 1.2 Nghiệm Bài toán Cauchy 242 Phương trình vi phân cấp 243 2.1 Các khái niệm kết 243 2.2 Phương trình có biến số phân ly 246 2.3 Phương trình vi phân đẳng cấp 247 2.4 Phương trình tuyến tính 251 2.5 Phương trình Bernoulli 253 2.6 Phương trình vi phân tồn phần thừa số tích phân 254 2.7 Phương trình Lagrange phương trình Clairaut 258 Phương trình vi phân cấp hai 260 3.1 Mở đầu phương trình vi phân cấp hai 260 3.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai 262 3.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số 266 Hệ phương trình vi phân cấp 271 4.1 Các khái niệm 271 4.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số số 273 THÔNG TIN VỀ HỌC PHẦN Đây học phần thuộc nhóm kiến thức sở cho sinh viên khối ngành Kỹ thuật - Cơng nghệ, giảng dạy học kỳ năm thứ Nếu sinh viên học học phần Đại số tuyến tính, việc tiếp thu nhiều kiến thức học phần tốt Giảng viên dạy học phần 75 tiết lớp, gồm 60 tiết lý thuyết 15 tiết tập, sinh viên tự học 150 tiết Thi trắc nghiệm kỳ lần thi tự luận vào cuối kỳ Học phần cung cấp kiến thức sở Toán Giải tích giúp cho sinh viên có cơng cụ để tiếp thu các học phần chuyên ngành thuộc ngành Kỹ thuật - Cơng nghệ Thơng qua đó, rèn luyện cho sinh viên tính cẩn thận, xác, tỉ mỉ sáng tạo, đồng thời, giúp sinh viên rèn luyện làm quen với số kỹ hợp tác làm việc nhóm, tổ chức nhóm làm việc, chuẩn bị thuyết trình báo cáo kết làm việc nhóm trước tập thể MỞ ĐẦU Bài giảng dùng cho sinh viên ngành kỹ thuật cơng nghệ, biên soạn theo đề cương chi tiết học phần Giải tích chương trình đào tạo đại học hệ qui theo chương trình tiếp cận CDIO Trường Đại học Vinh, ban hành năm 2017 Vì đặc thù ngành học kỹ thuật, cơng nghệ thời lượng hạn chế nên cố gắng hình thành khái niệm, giới thiệu tính chất bản, không sâu vào vấn đề nặng lý thuyết mà tập trung vào kết ứng dụng Bên cạnh đó, tài liệu để người có nhu cầu nghiên cứu tìm đọc Nội dung tập giảng lý thuyết giới hạn, liên tục, phép tính vi phân, phép tính tích phân hàm biến số lý thuyết chuỗi, hàm nhiều biến, tính liên tục tính khả vi hàm nhiều biến, tích phân bội đại cương phương trình vi phân Một số vấn đề đó, sinh viên làm quen chương trình phổ thơng, giảng dạy giảng viên trình bày lướt qua việc tính đạo hàm, khảo sát vẽ đồ thị hàm số, tìm ngun hàm, cách tính tích phân xác định, Trong giáo trình này, chúng tơi trình bày đầy đủ vấn đề mức độ chi tiết Bài giảng trước sinh viên lên lớp nghe giảng khoảng 90 tiết Bây giờ, đào tạo theo chương trình tiếp cận CDIO, để phát huy khả tự học, sinh viên lên lớp nghe giảng 75 tiết, phần lại phải tự nghiên cứu nhà Để tạo điều kiện thuận lợi cho người đọc, sau định nghĩa, định lý chúng tơi đưa nhiều ví dụ minh hoạ, sau chương có đưa vấn đề thảo luận hệ thống tập Đây lần biên soạn giảng theo chương trình tiếp cận CDIO, chúng tơi có nhiêu cố gắng cịn có sai sót Chúng tơi mong nhận góp ý, phê bình người đọc CHƯƠNG SỐ THỰC VÀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ I.1 GIỚI THIỆU Để nghiên cứu khái niệm giải tích (như hội tụ, liên tục, phép tính vi phân, phép tính tích phân, ) địi hỏi người học phải nắm vững khái niệm số thực, dãy số, hội tụ dãy số tính chất chúng Vì vậy, chương trình bày đại cương số thực, dãy số, hội tụ dãy số tính chất chúng I.2 MỤC TIÊU CỦA CHƯƠNG Giới thiệu cấu trúc tập số thực, trình bày khái niệm tính chất giới hạn dãy số I.3 CHUẨN ĐẦU RA CỦA CHƯƠNG Giới thiệu cấu trúc tập số thực, nắm khái niệm phân biệt maximum với suprimum, minimum với infimum biết cách tìm inf, sup số tập hợp, điều kiện tồn sup, inf Phát biểu khái niệm loại dãy: dãy hội tụ, dãy con, dãy đơn điệu, dãy bị chặn Phát biểu tính chất dãy số hội tụ biết vận dụng để tính giới hạn dãy số Trình bày điều kiện hội tụ dãy đơn điệu biết vận dụng để xét tồn giới hạn dãy số Trình bày mối liên hệ dãy hội tụ dãy bị chặn Trình bày định nghĩa dãy có giới hạn ±∞ mối quan hệ dãy có giới hạn ±∞ với dãy bị chặn Biết cách tìm giới hạn số dãy số Giáo trình Giải tích I.4 NỘI DUNG CỦA CHƯƠNG Số thực 1.1 Tập hợp số thực Vì thời lượng không cho phép, không sâu nghiên cứu việc xây dựng tập số thực tính chất Chúng ta cơng nhận tồn tập số thực nhận biết tập số thực qua mô tả sau Như thường lệ, ta ký hiệu Tập số tự nhiên {0, 1, 2, } ký hiệu N Tập số tự nhiên dương {1, 2, } ký hiệu N∗ Tập số nguyên { , −2, −1, 0, 1, 2, } ký hiệu Z Các số −1, −2, −3, −4, gọi số nguyên âm {m } m Tập số hữu tỷ : m ∈ Z, n ∈ N∗ ký hiệu Q Hai số hữu tỷ , n n r m r gọi viết = ms = nr Người ta chứng minh s n s số hữu tỷ biểu diễn dạng số thập phân hữu hạn hay vơ hạn tuần hồn Các số thập phân vơ hạn khơng tuần hồn gọi số vô tỷ Tập hợp gồm số hữu tỷ số vô tỷ gọi tập số thực (nói gọn tập số thực) ký hiệu R Các phép toán, thứ tự (các bất đẳng thức) tập số thực; khái niệm tính chất giá trị tuyệt đối giới thiệu chương trình tốn phổ thơng, khơng trình bày lại, muốn tìm hiểu đầy đủ vấn đề việc xây dựng tập số thực tính chất bạn đọc tìm đọc tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] chương Sau trình bày số tính chất tập số thực cần dùng sau Trên tập số thực R ta trang bị phép toán cộng nhân thỏa mãn tính chất kết hợp, giao hốn, phân phối phép nhân với phép cộng, phép cộng có phần tử không mà cộng với số thực x nó, phép nhân có phần tử đơn vị mà nhân với số thực x nó, số thực có phần tử đối số thực khác có phần tử nghịch đảo Mỗi số thực x ∈ R đặt tương ứng với số thực khơng âm |x| 129 Giáo trình Giải tích c) Trọng tâm đoạn vật chất ∫ b xρ(x)dx xG = ∫ a b ρ(x)dx a 3.6.4 Ví dụ Trên trục toạ độ Ox cho đoạn vật chất OA có mật độ khối lượng phân bố theo phương trình hồnh độ ρ(x) = x2 Giả sử A có hồnh độ x = a Tìm khối lượng, trọng tâm đoạn vật chất OA ∫ a a3 Khối lượng đoạn vật chất m = x2 dx = ∫ a a4 Mômen khối lượng đoạn vật chất điểm O Mx=0 = x3 dx = ∫ a a4 x3 dx 3a Hoành độ trọng tâm đoạn vật chất xG = ∫ 0a = = a3 x2 dx Tích phân suy rộng Trong phần trước nghiên cứu tích phân xác định hàm số Khi đó, hàm dấu tích phân hàm bị chặn tập lấy tích phân [a, b] tập bị chặn Trong lý thuyết ứng dụng việc mở rộng tập lấy tích phân lên miền khơng bị chặn; hàm dấu tích phân khơng bị chặn cần thiết Trong phần nghiên cứu hai hướng mở rộng thu hai loại tích phân suy rộng 4.1 Tích phân suy rộng loại I Cho a ∈ R f : [a, +∞) → R hàm khả tích đoạn [a, b], (b Khi đẳng thức ∫ F (b) = a) b f (x)dx, b a a xác định hàm F : [a, +∞) → R Ta có định nghĩa sau (4.20) 130 Giáo trình Giải tích 4.1.1 Định nghĩa Nếu hàm F (4.20) có giới hạn I (hữu hạn vơ hạn) b → +∞ I gọi tích phân suy rộng hàm f [a, +∞) ký hiệu ∫ +∞ f (x)dx (4.21) a Như ta viết ∫ ∫ +∞ b f (x)dx = lim b→+∞ a f (x)dx (4.22) a ∫+∞ Ta gọi f (x)dx tích phân suy rộng loại I a ∫+∞ Trong định nghĩa I hữu hạn ta nói tích phân f (x)dx hội a tụ I viết ∫ +∞ f (x)dx = I a ∫+∞ Ngược lại, I vô hạn không tồn ta nói tích phân f (x)dx phân kỳ a Tương tự ta có định nghĩa sau: 4.1.2 Định nghĩa Cho f : (−∞, a] → R hàm khả tích đoạn [b, a], (b a) Tích phân suy rộng hàm f (−∞, a] giới hạn (nếu có) ∫ a ∫ a f (x)dx := lim f (x)dx b→−∞ −∞ (4.23) b 4.1.3 Định nghĩa Cho f : (−∞, +∞) → R hàm khả tích đoạn [a, b], (a b) Tích phân suy rộng hàm f (−∞, +∞) xác dịnh ∫ +∞ ∫ a ∫ +∞ f (x)dx := f (x)dx + f (x)dx (4.24) −∞ −∞ a a ∈ R tổng vế phải có nghĩa ∫+∞ Ta chứng minh xác định f (x)dx không phụ thuộc vào −∞ a ∈ R ∫+∞ 4.1.4 Ví dụ 1) Tính tích phân −∞ dx + x2 131 Ta có ∫+∞ dx = lim + x2 b→+∞ ∫b dx = lim + x2 b→+∞ −∞ ( b) arctan x dx = lim + x2 b→−∞ ∫0 dx = lim + x2 b→−∞ ( ∫+∞ −∞ dx = + x2 ∫0 −∞ b→+∞ π 0) = − lim arctan b = arctan x b→−∞ b b Ta thu = lim arctan b = 0 ∫0 Giáo trình Giải tích ∫+∞ dx + + x2 π dx = π + x2 ∫+∞ xe−x dx Ta có 2) Tính tích phân ∫+∞ ∫ b −x2 xe dx = − lim e−x d(−x2 ) b→+∞ 0 ( b) = − lim e−x b→+∞ 1 = − lim (1 − e−b ) = − b→+∞ Ví dụ sau kết thường sử dụng khảo sát hội tụ tích phân suy rộng loại I ∫+∞ 4.1.5 Ví dụ Xét hội tụ tích phân dx a > α ∈ R xα a Ta có với b > a > hàm f (x) = α = x−α liên tục [a, b] Do x ∫b a tồn ∫b a   ln b − ln a α = ( ) dx  = xα  b1−α − a1−α α ̸=   1−α Cho b → +∞ ta thu ∫+∞ a   dx +∞ = a1−α xα   α−1 α α > dx xα 132 Giáo trình Giải tích Vậy tích phân hội tụ α > Từ định nghĩa tích phân suy rộng loại I tính chất giới hạn hàm số dễ dàng có tính chất sau (việc chứng minh dành cho bạn đọc) ∫+∞ 4.1.6 Định lý Điều kiện cần đủ để f (x)dx hội tụ với ε > tồn a b0 > a cho ∫ ∫ b ∫ b′ f (x)dx − f (x)dx = f (x)dx < ε, ∀ b, b′ b0 b a a b′ ∫+∞ ∫+∞ 4.1.7 Định lý 1) f (x)dx hội tụ f (x)dx hội tụ với A a a A ∫ ∫ +∞ A f (x)dx = a ∫+∞ f (x)dx f (x)dx + a A ∫+∞ ∫+∞ f (x)dx = f (x)dx hội tụ lim 2) Nếu A→+∞ a A 4.1.8 Định lý ∫+∞ ∫+∞ ∫+∞ ( Giả sử f (x)dx g(x)dx hội tụ Khi đó, αf (x) + a ) βg(x) dx hội tụ với α, β ∈ R ∫+∞ ( ) αf (x) + βg(x) dx = α a a a ∫+∞ ∫+∞ f (x)dx + β g(x)dx a a Trong phần nghiên cứu tích phân suy rộng hàm không âm Đối với hàm không âm ta có nhiều dấu hiệu tốt cho việc khảo sát hội tụ 4.1.9 Định lý Cho hàm f : [a, ∞) → R, f (x) với x a f khả tích ∫+∞ [a, b], (a < b) Khi đó, f (x)dx hội tụ tồn K > a cho ∫b f (x)dx a K, ∀ b a 133 Giáo trình Giải tích Chứng minh định lý bạn đọc tham khảo tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] chương Định lý sau gọi dấu hiệu so sánh 4.1.10 Định lý Cho hàm f, g : [a, ∞) → R, f (x) g(x), ∀x a f, g khả tích [a, b], (a < b) Khi đó, ∫+∞ ∫+∞ 1) Nếu g(x)dx hội tụ f (x)dx hội tụ a a ∫+∞ ∫+∞ f (x)dx phân kỳ g(x)dx phân kỳ 2) Nếu a a Chứng minh định lý suy trực tiếp từ Định lý 4.1.9 Từ Định lý 4.1.7 Định lý 4.1.10 ta có hệ sau Chứng minh dành cho bạn đọc 4.1.11 Hệ Cho f, g : [a, ∞) → R hai hàm không âm [a, +∞) f, g f (x) khả tích [a, b], (a < b) Giả sử lim = A, (0 A +∞) Khi x→+∞ g(x) ∫+∞ ∫+∞ 1) Nếu A < +∞ g(x)dx hội tụ f (x)dx hội tụ a 2) Nếu < A a ∫+∞ ∫+∞ +∞ f (x)dx phân kỳ g(x)dx phân kỳ a a ∫+∞ ∫+∞ f (x)dx hội tụ (phân kỳ) g(x)dx 3) Nếu < A < +∞ a a hội tụ (tương ứng phân kỳ) ∫+∞ 4.1.12 Ví dụ Khảo sát hội tụ tích phân ln(1 + x) dx + x5 Viết lại tích phân dạng ∫+∞ Ta chứng minh ln(1 + x) dx = + x5 ∫1 ln(1 + x) dx + + x5 ∫+∞ ∫+∞ ln(1 + x) dx + x5 ln(1 + x) dx + x5 134 Giáo trình Giải tích hội tụ Thật vậy, ta có 0< ∫+∞ Từ tích phân tụ dx x ln(1 + x) x < + x5 + x5 ∫+∞ hội tụ suy x 2x = 2x , ∀x ∫+∞ ln(1 + x) dx hội tụ Vậy + x5 ln(1 + x) dx hội + x5 Trong phần lại mục ta nghiên cứu tích phân suy rông loại I hàm với dấu tùy ý ∫+∞ f (x)dx Tích phân gọi hội tụ 4.1.13 Định nghĩa Cho tích phân a ∫+∞ tuyệt đối tích phân |f (x)|dx hội tụ a ∫+∞ f (x)dx hội tụ tuyệt đối hội tụ 4.1.14 Định lý Nếu tích phân a Chứng minh định lý bạn đọc tham khảo tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] chương 4.1.15 Nhận xét Chiều ngược lại định lý khơng Xét tích phân ∫+∞ sin x dx Theo phương pháp tích phân phần ta có x ∫b sin x cos x dx = − x x ∫ b b + 1 cosb cos x dx = − + x2 b ∫ b cos x dx x2 Mặt khác ∫ suy cos x x2 +∞ ∀x x2 cos x dx hội tụ, nghĩa x2 ∫ b ∫ +∞ cos x cos x lim = dx b→+∞ x2 x2 cos b = ta thu b→+∞ b ∫+∞ ∫ b ∫ +∞ sin x cos x sin x dx = lim =1+ dx b→+∞ x x x2 1 Từ lim 135 ∫+∞ Tức Giáo trình Giải tích sin x dx hội tụ x ∫+∞ Giả sử sin x dx hội tụ tuyệt đối Khi đó, bất đẳng thức x a sin2 x x ∫+∞ kéo theo tích phân sin x x ∀x sin2 x dx hội tụ Viết lại tích phân x ∫+∞ sin2 x dx dạng x ∫+∞ sin2 x dx = x ∫+∞ 1 dx − 2x Tương tự ta chứng minh tụ Ta nhận điều vô lý Vậy cos 2x dx 2x ∫+∞ ∫+∞ ∫+∞ cos 2x dx hội tụ Suy 2x ∫+∞ dx hội 2x sin x x hội tụ không hội tụ tuyệt đối x a Sau đây, trình bày vài dấu hiệu nhận biết hội tụ tích phân suy rộng loại I hàm có dấu tuỳ ý Đầu tiên dấu hiệu Abel 4.1.16 Định lý Cho hàm f, g : [a, +∞) → R Nếu ∫+∞ 1) f (x)dx hội tụ, a 2) Hàm g đơn điệu bị chặn [a, +∞), ∫+∞ f (x)g(x)dx hội tụ a Tiếp theo dấu hiệu Dirichlet 4.1.17 Định lý Cho hàm f, g : [a, +∞) → R Giả sử ∫b K với b a; f (x)dx 1) f khả tích [a, b] a 2) Hàm g đơn điệu lim g(x) = x→+∞ ∫+∞ Khi đó, f (x)g(x)dx hội tụ a 136 Giáo trình Giải tích Chúng ta bỏ qua chứng minh định lý Nếu bạn đọc quan tâm chứng minh tìm đọc tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [5] chương ∫+∞ sin x dx xα 4.1.18 Ví dụ Với α > tích phân ∫+∞ cos x dx hội tụ theo dấu xα hiệu Dirichlet 4.2 Tích phân suy rộng loại II ∫b Trong mục ta xét tích phân f (x)dx f hàm khơng bị chặn a [a, b] Tích phân cịn gọi tích phân suy rộng loại II 4.2.1 Định nghĩa Cho c ∈ [a, b] hàm số f xác định [a, b] trừ điểm x = c Nếu tồn lân cận U điểm c [a, b] cho f không bị chặn U \ {c} ta gọi c điểm kì dị f 4.2.2 Ví dụ Điểm x = điểm kỳ dị hàm f (x) = [0, 1] Điểm x = x điểm kỳ dị hàm f (x) = [1, +∞) ln x 4.2.3 Định nghĩa Cho f : [a, b) → R b điểm kì dị f Giả sử f khả tích ∫ b−ε đoạn [a, b − ε] với < ε < b − a Nếu tồn giới hạn lim f (x)dx, ε→0 a ∫b f (x)dx Như ta gọi I tích phân suy rộng loại II f [a, b] ký hiệu a ∫b ∫ b−ε f (x)dx := lim f (x)dx ε→0 (4.25) a a Tương tự f : (a, b] → R, a điểm kì dị f f khả tích đoạn [a + ε, b] với < ε < b − a ta định nghĩa ∫b ∫ b f (x)dx := lim ε→0 a f (x)dx a+ε Nếu c ∈ (a, b) điểm kì dị hàm f [a, b] ta định nghĩa ∫b ∫c f (x)dx := a ∫b f (x)dx + a f (x)dx, c (4.26) 137 ∫c tích phân Giáo trình Giải tích ∫b f (x)dx a f (x)dx xác định tổng vế c phải hữu hạn Nếu giới hạn (4.28), (4.29) tồn hữu hạn ta nói tích phân tương ứng hội tụ Nếu ngược lại tích phân tương ứng gọi phân kỳ ∫1 dx √ 4.2.4 Ví dụ Xét hội tụ tích phân − x2 Đây tích phân suy rộng hàm f (x) = √ với điểm kì dị x = 1 − x2 Từ định nghĩa ta có ∫1 dx √ = lim − x2 ϵ→0 ∫1−ε ( dx √ = lim arcsin x − x2 ε→0 ∫b 4.2.5 Ví dụ Xét hội tụ tích phân a 1−ε ∫b a+ε ε→0 dx , (x − a)α ∫b lim ε→0 a+ε Vì a π (a < b, α ∈ R) dx với điểm kì dị x = a (x − a)α  ln(b − a) − ln ε dx ( ) = (x − a)α  (b − a)1−α − ε1−α 1−α Suy ∫b = lim arcsin(1 − ε) = Đây tích phân suy rộng hàm f (x) = Ta có )  +∞ dx = (x − a)α  (b − a)1−α 1−α α dx hội tụ α < phân kỳ α (x − a)α α = α ̸= 1 α < 1 4.2.6 Nhận xét 1) Bằng phép đổi biến x = b + a − u điểm kì dị a f (x) đưa điểm kì dị b hàm g(u) = f (b + a − u) [a, b] Như ta cần ∫b khảo sát tích phân suy rộng có dạng f (x)dx với b điểm kì dị a 2) Bằng phép đổi biến x = b − tích phân y 1 b−a b−a ∫b−ε ∫ε ∫ε dy f (x)dx = f (b − ) = g(y)dy y y a 138 Giáo trình Giải tích ∫b Vì tích phân suy rộng loại II có dạng f (x)dx đưa tích phân suy a rộng loại I có dạng ∫∞ g(y)dy b−a Như tính chất tích phân suy rộng loại II suy từ tính chất tích phân suy rộng loại I Trong mục này, trình bày số tính chất tích phân suy rộng loại II, bỏ qua chứng minh Như nhận xét mục trước, ta nhận tính chất từ tính chất tích phân suy rộng loại I Trong mục ∫b này, xét tích phân f (x)dx với b điểm kì dị Tuy nhiên kết a cho trường hợp a điểm kì dị ∫b f (x)dx hội tụ với 4.2.7 Định lý Điều kiện cần đủ để tích phân suy rộng a ε > tồn δ0 > cho ∫ b−δ′ f (x)dx < ε với δ, δ : < δ, δ ′ < δ0 b−δ 4.2.8 Định lý Cho f : [a, b) → R f (x) 0, ∀x ∈ [a, b) Điều kiện cần đủ ∫b để tích phân suy rộng f (x)dx hội tụ tồn K > cho a ∫ b−ε f (x)dx < K với ε ∈ (0, b − a) a 4.2.9 Định lý Cho f, g : [a, b) → R hàm số không âm, f (x) [a, b) b điểm kì dị chúng Khi đó, ∫b ∫b 1) Nếu g(x)dx hội tụ f (x)dx hội tụ a a ∫b 2) Nếu ∫b f (x)dx phân kỳ a g(x)dx phân kỳ a g(x) ∀x ∈ 139 Giáo trình Giải tích 4.2.10 Hệ Giả sử f ,g xác định định lý lim− x→b K f (x) = K (0 g(x) +∞) Khi ∫b 1) Nếu K < +∞ ∫b g(x)dx hội tụ a f (x)dx hội tụ a ∫b 2) Nếu < K +∞ ∫b g(x)dx phân kỳ a a ∫b 3) Nếu < K < +∞ f (x)dx phân kỳ ∫b f (x)dx, a g(x)dx đồng thời hội tụ hay phân kỳ a ∫1 4.2.11 Ví dụ Xét hội tụ tích phân suy rộng dx sinα x Ta có f (x) = x ∈ (0, 1] Ta có sinα x với x ∈ (0, 1] Xét hàm g(x) = xα với f (x) xα = lim+ =1 α x→0 g(x) x→0 sin x ∫1 ∫1 dx dx hội tụ α < Do hội tụ α < α x sinα x lim+ 0 4.2.12 Định nghĩa Cho f : [a, b) :→ R b điểm kì dị f Tích phân suy ∫b ∫b rộng f (x)dx gọi hội tụ tuyệt đối |f (x)|dx hội tụ a a ∫b Rõ ràng tích phân hội tụ f (x)dx hội tụ tuyệt đối hội tụ Điều a ngược lại khơng ∫1 4.2.13 Ví dụ Khảo sát hội tụ tích phân sin 3xdx √ x−1 Ta có sin 3x √ x−1 √ , ∀x ∈ [0, 1) x−1 ∫1 ∫1 ∫1 sin 3x sin 3xdx dx √ √ √ dx hội tụ, hay Do tích phân hội tụ, nên hội tụ x−1 x−1 x−1 ∫1 tuyệt đối Suy 0 sin 3xdx √ hội tụ x−1 140 Giáo trình Giải tích CÂU HỎI THẢO LUẬN VÀ BÀI TẬP CỦA CHƯƠNG Câu hỏi thảo luận 1) Các khái niệm ngun hàm, tích phân khơng xác định, phương pháp tính nguyên hàm lớp hàm hữu tỷ, vô tỷ, lượng giác 2) Khái niệm tích phân xác định, tính chất tích phân xác định Mối liên hệ nguyên hàm tích phân xác định Các phương pháp tính tích phân xác định 2) Các ứng dụng tích phân xác định việc tính độ dài cung, diện tích, thể tích, ; vật lý kỹ thuật 3) Các khái niệm tích phân suy rộng xét hội tụ tích phân suy rộng Bài tập chương Bài Chọn phép biến đổi thích hợp tính tích phân sau: ∫ √ 1) x2 − xdx ∫ x2 √ 2) dx 1−x ∫ dx 3) x e + ex ∫ dx √ 4) + ex ∫ x2 dx √ 5) x2 − Bài Dùng phuơng pháp tích phân phần tính tích phân sau ∫ 1) x3 e−x dx ∫ 2) x2 sin 2xdx ∫ 3) x arctan xdx ∫ 4) x arcsin xdx 141 ∫ Giáo trình Giải tích x3 e−x dx 5) ∫ x2 sin 2xdx ∫ 7) a) eax sin bxdx, ∫ √ 8) x2 − a2 dx 6) ∫ b) eax cos bxdx Bài Tính tích phân sau ∫ xdx 1) (x + 1)(x + 2) ∫ 2) dx x(x2 + x + 1) ∫ x+1 3) dx x + 2x + ∫ x2 + 4) dx (x + 1)(x + 2)2 ∫ dx 5) x −1 ∫ x+1 6) dx x3 − Bài Tính tích phân sau ∫ 1) sin 5x cos xdx ∫ cos4 x 2) dx sin3 x ∫ sin3 x 3) dx cos4 x ∫ dx 4) sin x sin 2x ∫ dx 5) sin x + cos x + Bài Giả sử f (x) hàm số xác định liên tục đoạn [−a, a] Chứng minh ∫a 1) ∫a f (x)dx = −a f (x)dx, f (x) hàm chẵn 142 Giáo trình Giải tích ∫a 2) f (x)dx = 0, f (x) hàm lẻ −a Bài Tính tích phân sau: ∫1 √ 1) x15 + 3x8 dx; ∫e e ∫2 ∫ 3) − 12 dx √ ; − x2 ex |x − 1|dx 4) ∫1 5) | ln x|dx 2) ∫1 x ln xdx; 6) −1 x2 xdx +x+1 Bài Tính độ dài cung đuờng sau: 1) 2) y = 2px, với (0 x a), p > 1 x = y − ln y, với (1 y e) Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đuờng cho hệ tọa độ Descartes: 1) y = x2 + 1, x + y − = 2) y = 0, y = (x + 1)2 , x + y − = 3) y = 2x + 1, x − y − = 4) y = |x2 − 4x + 3|, y = x + Bài Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay miền D giới hạn đồ thị hàm số 1) y = 0, y = x3 x = quanh trục Ox 2) y = −x2 + y = quanh trục Ox 3) x = 0, y = x y = xung quanh trục Oy Bài 10 Tính tích phân sau: ∫+∞ dx ; 1) x ln2 x e ∫+∞ 2) e− x dx ; x2 143 Giáo trình Giải tích ∫1 3) ∫2 ln xdx; 4) (x − 2)dx √ x−1 TÀI LIỆU THAM KHẢO CỦA CHƯƠNG [1] Nguyễn Ngọc Cư, Lê Huy Đạm, Trịnh Danh Đằng Trần Thanh Sơn (2004), Giải tích 1, (Giáo trình dùng cho sinh viên Trường Đại học Xây dựng sinh viên Trường Đại học Cao đẳng kỹ thuật), Nhà xuất ĐHQG-Hà nội [2] Đinh Huy Hoàng, Kiều Phương Chi, Nguyễn Văn Đức, Vũ Hồng Thanh, Trần Đức Thành (2017), Giáo trình Giải tích (Dành cho sinh viên KTCN), Nhà xuất Đại học Vinh [3] Nguyễn Văn Kh, Lê Mậu Hải (2002), Giải tích tốn học, Tập 1, Nhà xuất ĐH Sư phạm [4] Y.Y Liasko, AC Boiatruc (1978), Giải tích tốn học, ví dụ toán, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp [5] Lê Viết Ngư, Phan Văn Danh, Nguyễn Định (2000), Tốn cao cấp, Tập (Giải tích hàm biến), Nhà xuất Giáo dục ... luận vào cuối kỳ Học phần cung cấp kiến thức sở Tốn Giải tích giúp cho sinh viên có cơng cụ để tiếp thu các học phần chuyên ngành thuộc ngành Kỹ thuật - Công nghệ Thông qua đó, rèn luyện cho sinh. .. giảng dùng cho sinh viên ngành kỹ thuật cơng nghệ, biên soạn theo đề cương chi tiết học phần Giải tích chương trình đào tạo đại học hệ qui theo chương trình tiếp cận CDIO Trường Đại học Vinh, ban... xn +1 = + n Theo bất đẳng thức Cauchy x1 + x2 + + xn +1 √ n +1 x1 x2 xn xn +1 n +1 √ ( ) ( + n + n1 )n +1 ( )n n +1 ⇔ > 1+ , ∀n (1 + )n ⇔ + n +1 n n +1 n Vậy un +1 > un ∀n hay {un } dãy tăng 12 Giáo trình