Giáo trình giải tích 1

HỌC VIỆN CƠNG NGHỆ B u CHÍNH VIỄN thơng TS VŨ GIA TÊ (Chủ biên) GIÁO TRÌNH G iả i i í c h NHÀ XUẤT BẢN THƠNG TIN VÀ TRUYỀN THƠNG MỤC LỤC Lời nói đ u C H I)O N G 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SÓ 11 1.1 Số th ự c 12 1.1.1 Các tính chất ban cuatập số thực 12 1.1.2 Tập số thực mơ rộnạ 17 1.1.3 Các khoảng số th ự c 17 1.1.4 Giá trị tuyệt đối cua số thực 18 1.1.5 Khoảng cách thôna thưOTg fR 18 1.2 Số p h ứ c .19 1.2.1 Định nghĩa dạng số phức 19 1.2.2 Các phép toán lập c 21 1.2.3 Áp dụna, số phức vào livợng g iá c 29 1.3 Dãy số t h ự c 32 1.3.1 Các khái niệm bán vè dãv số thực 32 1.3.2 Tính chất dãv sổ hội tụ 33 1.3.3 Tính đơn diệu cua dãv s ố 40 1.3.4 Dãy c o n 46 1.3.5 Nguyên lý Cauchy 48 Tóm tắt nội dung 49 Bài tập chương 54 CHƯƠNG 2: HÀM s ố MỘT BIẺN s ố 59 2.1 Các khái niệm CO' hàm s ố 59 2.1.1 Các đinh nehĩa 59 2.1.2 Các hàm số thông đụna 64 2.1.3 Hàm số sơ cấp 75 2.2 Giói hạn hàm s ố 76 2.2.1 Khái niệm ciới hạn 76 2.2.2 Tính chất cua hàm có giới h n 77 2.2.3 Các giới hạn đáng n h 86 2.3 Đại lưọTíg vơ bé (VCB) đại lưọng vơ lón (V C L ) 89 2.3.1 Đại lượng V C B 89 2.3.2 Đại ỉượng V C L 91 2.4 Sự liên tục hàm s ố 93 2.4.1 Các khái niệm bán 93 2.4.2 Các phép toán đại số cứa hàm số liên tụ c 95 2.4.3 Tính chất cùa hàm số liên tục Irên đ o n 97 2.4.4 Tính liên tục đ ề u 99 Tóm tắt nội d u n g 101 Bài tập chương .; 113 CHƯƠNG 3: PHÉP TÍNH VI PHẢN HÀM MỘT BĨÉN SÓ 119 3.1 Đạo hàm hàm s ố 119 3.1.1 Đạo hàm điềm 119 3.1.2 Các phép tính đại số hàm số khả vi đ iể m 125 3.1.3 Đạo hàm khoảng (ánh xạ đạo hàm) 127 3.1.4 Đạo hàm hàm số thông d ụ n g 129 3.2 Vi phân hàm s ố 136 3.2.1 Định nghĩa vi phân đ iề m 136 3.2.2 Vi phân khoang 138 3.3 Đạo hàm vi phân cấp cao 139 3.3.1 Đạo hàm cấp c a o 139 3.3.2 Vi phân cấp c a o 142 3.3.3 Lớp hàm s ố 143 3.4 Các định lý giá trị trung bình 149 3.4.1 Định lý Phéc ma (Permat) 149 3.4.2 Định lý Rôn (Rolle) 151 3.4.3 Định lý số gia hữu h n 152 3.4.4 Định lý số gia hữu hạn suv rộng (định lý Cô si (Cauchv)) 154 3.5 ủ n g dụng định lý giá trị trung bình 158 3.5.1 Công thức Taylo (Taylor) công thức Maclôranh (M'claurin) 158 3.5.2 Qui tấc Lôpitan (L’Hospital) 162 3.6 Sự biến thiên hàm s ố 167 3.6.1 Tính đon điệu hàm v i 167 3.6.2 Điều kiện hàm số đạt cực trị 169 3.7 Bài tốn tìm giá trị lón nhất, giá trị bé 171 3.7.1 Hàm liên tục đoạn kín [a,b] 172 3.7.2 Hàm liên tục khoảng mở, khoảng vô h n 172 3.8 Hàm l i 173 3.8.1 Khái niệm hàm lồi, hàm lõm điểm u ố n 173 3.8.2 Điều kiện hàm lồ i 176 3.9 Tiệm cận đưòng cong 179 3.9.1, Khái niệm chung vẽ tiệm c ậ n 179 3.9.2 Phân loại cách tìm tiệm c ậ n 180 3.10 Bài toán khảo sát hàm s ố 182 3.10.1 Đườna cong trone tọa độ Đe 182 3.10.2 Đườne, cono cho bơi phirưníi trình tham số 186 3.10.3 Đường cong trona tọa độ cực 191 Tóm tắt nội d u n g 198 Bài tập chương J .205 C HUƠNG 4: TÍCH PHÂN XÁC Đ Ị N H .215 4.1 Khái niệm tích phân xác đ ịn h 215 4.1.1 Định nahĩa tích phân xác đ ị n h 215 4.1.2 Điều kiện tồn 218 4.1.3 Lớp hàm khả t í c h 221 4.1.4 Các tính chấl cua tích phân xác đ ị n h 222 4.1.5 Công thức Ncwton - L eibnil/ 226 4.2 Hai phương pháp CO' tính tích phân xác đ ị n h 233 4.2.1 Phép đôi biến 233 4.2.2 Phép lích phân lừna p h ầ n 234 4.3 Phưong pháp tính tích phân bất đ ịn h 240 4.3.1 Tính chất Bang nguyên hàm thường d ù n g 240 4.3.2 Mai phương pháp tính tích phân bất đ ị n h 242 4.3.3 Cách tính tích phân hất định hàm hữu l i 245 4.3.4 Tính nguvên hàm phân thức hữu tỉ số hàm thông d ụ n g 248 4.4 Một sổ ứng dụng cùa tích phânxác đ ịn h 254 4.4.1 'ĩính tliộn tích hình phãniỊ 255 4.4.2 Tính dụ dài đưcrng cone p h n g 258 4.4.3 Tính tliè tích \ ậi t h ê 261 4.4.4 Tính diện tích mặt tròn xoa'-’ .265 4.5 Tích phàn suy r ộ n g .267 4.5.1 Tích phân SLI\' rộns \ ứi cận vôh n 267 4.5.2 Tích phân su\' rộng \ới hàm dấu tích phân có cực điêm 277 Tóm tắt nội dĩiiiíĩ 285 Bài tập chương -/ 298 CH Ư Ơ N G 5: LÝ THIÍYÉT CHƯỎI 308 5.1 Chuỗi s ố 308 5.1.1 Các khái niệm chung 308 5.1.2 Chuỗi số duxrng 313 5.1.3 Chuồi đan d ấ u 322 5.1.4 Chuồi có số hạna, mang dấubất k ỳ 323 5.2 Chuỗi h àn i 326 5.2.1 Các khái niệm chuna chuồi h m 326 5.2.2 Sự hội tụ chuỗi h m 328 5.3 Chuỗi lũy thừa 336 5.3.1 Các khái niệm chuna chuồi lũy t h a 336 5.3.2 Khai triên số hàm thành chuỗi lũy t h a 346 5.4 Chuỗi P ourier .357 5.4.1 Các khái niệm chung 357 5.4.2 Điều kiện đủ đề hàm sổ khai iriẻn thành chuồi Pourier 362 5.4.3 Khíii I.riòn thành chuỗi 1'Ourier cua mội hàm sổ bấl kv 367 5.5 Tích phân Poiirier 375 5.5.1 'rích nliàii ỉaiurier íỉiới hạn cuu chuỗi 1'oLirier 375 5.5.2 Điều kiện đu cua cơna thức tích phân P ourier 376 5.5.3 Các dạnti dặc biệt cua cơng thức tích phân Pourier 376 Tóm tắt nội u u n ^ 377 Bài tập chư viv, 387 H n g dẫn đáp án 393 H ng dẫn í u .419 Tài liêu íh a m k h d ỡ .423 Hướng, dẫn vù đáp số 411 dx Tính = V21n X+ + + 2) + c (đặt x = - ) / x V x ' + 2x + f ( V x - ) V l -X -a r c s i n ^ / x + r Hai b c đồi biến : u = \/x, /= V 1+ ỉ/ ( + / ) ’ ( / ' + / - ) Vj ^/^/ 4.6 a —I n — 7^— —+ arc7íí — b (l-o ^/tỹ + c - / + 1) Đ ặt / = tgx + 2arctg^|c os— - In 'COS — -V , cos~ V + c Đ ặ t / " = c o s — X - /cos- /3 /'-I ,/— — arctg — ^ + c Đăt / = Ụtgx v3 d e - - ( s i n v + cos.\') + —^ In tg 5 Ự5 f ì/-; với / = v s i n x 1-r + c +c + ( ’ Đặt t g - = / V2 + s in x —^ I n ^ —+ (.Đ ăttay = / 2v2 V 2-sin2.v s i n( x + /)} h In sin(/?-ơ) sin(x + a) + C' B iêu diên s i n ( a - / ? ) = = sin |(x -t-a )-( x + /?)| x~c/ sin — -2 i In X+ a cosơ cos~ — Giáo trình Giai lích I 412 4,7 a x - c o t h x + ( ’ S d ụ n g c o t h ' x ^ l + — Ị sh^x í ' L% ~ b ^ c h x — —c h x - ^ c h x + C’ 24 16 c V c h r - + C ’ Biểu diễn Vchx +1 = V c h ’x -1 Vchx - shx-2 d — + c chx X + - X ' 4.8 a Í Ỉ M + C b —X +Ì + C >1 +c d —(x + l)|x + l| + —( l - x ) | l - x | + c 4.9 a / „ = xin" x -^ " x i n " " ' x - ( « - In" x - « l n ” ' x + n{n-])\n"~' x + =x +(-!)"■'/7(A?-l) 21nx + (-l)"n + (' /, b ^ L ( n - 1)./,,^,- c o s x s i n ' ' “'X = - cos A' + —cos X J +c - —cos X + ( +c Hướng dân vù đáp \ó 413 sinA' /7 “ , * ^.1 '^ 7^ (^ + l) c o s J n+ \ -> ^Ị Kj = s i n x - s i n ^ x - - s i n ' A SÌn’ -V+ C’ d L = / { n - \ ) a H x - -crỴ^' 4.10 a / ( x ) = ( x - l ) ' ’ +(', 'x + c 2{ n- \ ) u- Đ ặ lx '+ = / - c c < x < b f { x ) = Đặt In X = / e' + C' - < A' < +00 Đặt sin ' X = I c / ( x ) = ^ ( x - l ỳ ' + i 4.11 a b c 4.12 a n - l n - l b c e n 4.13 a -^ a r c tg \/2 f g-1 In a n 2ah d n d 2sina n 6n b - 7T c n d 24 (Đ ặt í = x - - ) X g, 4.15 a arctg - , , íí + V T + r h In -~ = — + ■f2 b 2( ] - e - ' ) f 7Ĩ a{n-2) „ 2, i — (Đặt X= í/sin Giáo trình Giủi tích I 414 c ;^(9-4^/3) 36 12 1, 2 848 c 4.17 a 105 45 f A - n d ^ - i n i h líí-2 V g- cr -h~ n c — b - 4.18 a n e - d ,2 b - 4.19 a Ĩ 4a^ c ln2 1 , n' e - c o t h — 2 d 3m~ In 12 g ah arctg 4.20 a 72 V3 4.21 a a 22 a In/^ 4.23 a — ah' c ốna' b ah , b - na c — b -ah b 2n- c I n a c tĩ a h •) d ^ ( + 4>/2) d A 19 128 d — - n Hướng dẫn vù đáp vo 4.24 a - 415 b + «^)- 7C - ^ + In c \67t a 4.25 a In Vi + V 1+ c/ a b - - g n\ c 4.27 a n d — 3V3 h -Ịn 4.26 a H ội tụ n - m > \ , d Hội tụ 2;r rr e ĩ b Hội tụ c Hội tụ e Hội tụ c b - - I n 2 d —ln2 (2n)!! (Đ ặt X = s i n ' / ) (2/7 + 1)!! h - - l n 4.28 a P h â n kỳ h - - l n g- - b Hội tụ c Hội tụ k < \ , phân kỳ k > \ d Hội tụ p < \ , q - ] , q > - ] f Hội tụ Chương 5.2 a b c d 5.3 a P hân k ỳ b Phân kỳ c Hội tụ d Hội tụ e P hân k ỳ f Hội tụ a > phân kỳ a < g P h â n k ỳ h Hội tụ i Hội tụ j P h â n kỳ 416 Giáo trình Giai lích I k Hội tụ 5.6 a Hội tụ Hội tụ m Hội tụ n P h â n kỳ b Hội tụ c Hội tụ d H ội tụ e Hội tụ f Hội tụ a < phân kỳ a> l g Hội tụ h, Hội tụ i Hội tụ 5.7 a Hội tụ tuyệt đối b Hội tụ tuyêt đôi c Hội tụ tuyệt đôi _ g Phân kỳ f Hội tụ 11 X d Hội tụ >1 e Hội tụ / h Hội tụ tuvệl đôi b Liên tục với X > c K h ả vi với X >1 b [a, + c») a>0 5.12 a IR h x = c -1 < X < d < X < e ->/ < x < + V f g - 0 < h -1 < X < < 1, - < X < > 5.14 a -1 < X < 5,15 a X < co s= X 2rì + \ x", 3" X < / x-\