Giáo trình giải tích đa trị

194Phụ lục A 201Phụ lục B 203Tài liệu tham khảo205 Trang 9 3Lời nói đầuGiải tích đa trị là một h−ớng nghiên cứu t−ơng đối mới trong Toán học, mặc dùtừ những năm 30 của thế kỷ XX các nhà

á nh xạ đa trị

Ta sẽ thường sử dụng ký hiệuF :X⇒Y để chỉ sự kiện Xlà ánh xạ đa trị từX vàoY.

Nếu với mỗi x∈X tậpF(x) chỉ gồm đúng một phần tử của Y, thì ta nói

F làánh xạ đơn trị từX vào Y Khi đó, thay cho ký hiệu F :X ⇒ Y người ta sử dụng ký hiệu quen thuộc F :X→Y.

Ví dụ 1.1.1 Xét ph−ơng trình đa thức

1 TNTA (ThuËt ng÷ tiÕng Anh): multifunction, set-valued map, set-valued mapping, point-to-set mapping, correspondence, set-valued operator.

Trong bài viết này, chúng ta xem xét một hệ phương trình với n là số nguyên dương và các hệ số thực a_i thuộc tập hợp số thực IR Quy tắc tương ứng giữa mỗi véctơ a = (a_1, , a_n) trong không gian IR^n và tập nghiệm F(a) của hệ phương trình (1.1) tạo ra một ánh xạ đa trị.

(1.2) F :IR n ⇒C từ không gian EuclideIR n vào tập số phức C Theo Định lý cơ bản của đại số,

|F(a)|n ∀a∈IR n , ở đó |M| ký hiệu lực l−ợng của tập hợp M Nếu ta đồng nhất mỗi số phức x=u+iv∈Cvới cặp số thực (u, v)∈IR 2 thì, thay cho (1.2), ta có ánh xạ

Đồ thị gphF, miền hữu hiệu domF và miền ảnh rgeF của ánh xạ đa trị F: X ⇒ Y được xác định theo các công thức sau: gphF = {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ F(x)}, domF = {x ∈ X : F(x) = ∅}, và rgeF = {y ∈ Y : ∃x ∈ X sao cho y ∈ F(x)}.

(Các ký hiệu đó có nguồn gốc từ ba chữ tiếng Anh là “graph”, “domain” và

Ánh xạ đa trị F trong Ví dụ 1.1.1 được định nghĩa với gphF = {(a, x) ∈ IR n × C : x n + a1 x n−1 + + an−1 x + an = 0}, với miền xác định domF = IR n và miền giá trị rgeF = C Ánh xạ ngược F − 1 : Y ⇒ X của F được xác định theo công thức cụ thể.

Nếu M ⊂X là một tập con cho tr−ớc thì hạn chế củaF trên M là ánh xạ đa trịF | M :M ⇒Y đ−ợc cho bởi

Bài tập 1.1.1 Chứng minh rằng gphF −1 = Φ(gph F ), ở đó Φ : X ì Y →

Y ì X là song ánh xác định bởi công thức Φ(x, y) = (y, x).

1.1 ánh xạ đa trị 11 Định nghĩa 1.1.2 ChoF :X⇒Y là ánh xạ đa trị,X vàY là các không gian tôpô.

1 Nếu gphF là tập đóng trong không gian tôpô tích XìY, thìF đ−ợc gọi là ánh xạ đóng(hoặc ánh xạ có đồ thị đóng).

2 NếuX vàY là các không gian tuyến tính tôpô và nếu gphF là tập lồi trong không gian tích XìY, thìF đ−ợc gọi làánh xạ đa trị lồi 2

3 Nếu F(x) là tập đóng với mọi x ∈X, thì F đ−ợc gọi là ánh xạ có giá trị đóng.

4 NếuY là không gian tuyến tính tôpô và nếu F(x)là tập lồi với mọi x∈X, thì F đ−ợc gọi làánh xạ có giá trị lồi.

Bài tập 1.1.2 Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị, X và Y là các không gian tuyến tính tôpô Chứng minh rằng:

(a) Nếu F là ánh xạ đóng, thì F là ánh xạ có giá trị đóng.

(b) Nếu F là ánh xạ đa trị lồi, thì F là ánh xạ có giá trị lồi.

(c) F là ánh xạ đa trị lồi khi và chỉ khi

Tập M ⊂ IR^k được gọi là tập lồi đa diện 3 nếu nó có thể biểu diễn dưới dạng giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng của IR^k Các tính chất của tập lồi đa diện được trình bày chi tiết trong cuốn chuyên khảo của Rockafellar (1970) Định lý biểu diễn này khẳng định rằng tập lồi đa diện có những đặc điểm quan trọng trong nghiên cứu hình học và tối ưu hóa.

M ⊂IR k là tập lồi đa diện khi và chỉ khi tồn tại các điểm a 1 , a 2 , , a p ∈M và các ph−ơng v 1 , v 2 , , v q ∈IR k sao cho

(Xem Rockafellar (1970), Định lý 19.1.) Họ các điểm và các ph−ơng

{a 1 , , a p ;v 1 , , v q } đ−ợc gọi làcác phần tử sinh 4 củaM.

Lưu ý rằng họ các phần tử sinh của một tập lồi đa diện nói chung không là duy nhÊt.

Trong bài viết này, chúng tôi khám phá các khái niệm và kết quả liên quan đến tập lồi, hàm lồi và dưới vi phân của hàm lồi, được trình bày trong các công trình của Rockafellar (1970) cho không gian hữu hạn chiều và Ioffe cùng Tihomirov (1979) cho không gian vô hạn chiều Những nghiên cứu này đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết tối ưu và phân tích toán học, cung cấp nền tảng cho việc hiểu rõ hơn về tính chất của các hàm lồi và ứng dụng của chúng trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

Bài tập 1.1.3 Tìm các phần tử sinh của các tập lồi đa diện sau:

Bài tập 1.1.4 Cho A ∈ IR mìn là ma trận thực cấp m ì n, C ∈ IR sìn là ma trận thực cấp s ì n Đặt

Ánh xạ đa trị F : IR n ì R s ⇒ IR n được định nghĩa bởi F (b, d) = { x ∈ IR n : Ax b, Cx = d } cho mọi (b, d) ∈ IR m × IR s, trong đó bất đẳng thức y z giữa hai véctơ y và z thuộc IR m có nghĩa là x i z i với mọi i = 1, 2, , m Chứng minh rằng ánh xạ này có các tính chất đặc biệt.

1 gph F là một nón lồi đa diện trong không gian tích IR m ì IR s ì IR n

(do đó F là một ánh xạ đa trị lồi).

2 dom F là tập lồi đa diện.

4 Với mỗi (b, d) ∈ IR m ì IR s , F(b, d) là tập lồi đa diện trong IR n (có thể là tập rỗng).

Hãy lấy một ví dụ đơn giản để chứng tỏ rằng nói chung thì dom F =

Nhận xét rằng tập F(b, d) trong Bài tập 1.1.3 là tập nghiệm của hệ ph−ơng trình và bất ph−ơng trình tuyến tính

Liên quan đến ánh xạ đa trị F được định nghĩa bởi (1.3), có định lý quan trọng sau đây: Định lý 1.1.1 (Walkup-Wets, 1969; tham khảo Walkup và Wets (1969), Mangasarian và Shiau (1987), Lee, Tam và Yen (2005)) Định lý này áp dụng cho mỗi cặp ma trận (A, C) ∈.

IR mìn ìIR sìn tồn tại một hằng số >0 sao cho

(1.5) F(b , d )⊂F(b, d) + (b , d )−(b, d)B¯ IR n với mọi (b, d) và (b , d ) thuộc tập lồi đa diện domF ={(b, d) : F(b, d)=∅},

Trong công thức (1.3), véctơ thuộc không gian Euclide hữu hạn chiều được biểu diễn dưới dạng cột số thực trong các phép tính ma trận Tuy nhiên, để đơn giản hóa, chúng ta sẽ sử dụng các véctơ hàng trong các văn bản thông thường.

1.1 ánh xạ đa trị 13 ở đó

⎭ là hình cầu đơn vị đóng trongIR n

Ánh xạ đa trị F trên domF có tính chất Lipschitz với hằng số dương, phụ thuộc vào cặp ma trận (A, C) Tính chất này sẽ được phân tích sâu hơn trong Môc 5.

Nếu X và Y là hai không gian tuyến tính tôpô, thì ánh xạ đa trị F từ X đến Y được ký hiệu là F¯ và coF, biểu thị cho các ánh xạ đa trị theo các công thức cụ thể.

(coF)(x) =co(F(x)) ∀x∈X, ở đó M là bao đóng tôpô của M và coM là bao lồi của M (Tức là coM là tập lồi nhỏ nhất chứa M.)

F¯ là ánh xạ đa trị có giá trị đóng, trong khi coF là ánh xạ đa trị có giá trị lồi Tuy nhiên, cần lưu ý rằng F¯ không nhất thiết phải là ánh xạ đa trị đóng và coF cũng có thể không phải là ánh xạ đa trị lồi.

(coF)(x) =co{sinx,cosx} là ánh xạ đa trị không lồi từIR vàoIR với đồ thị là tập có gạch sọc trong Hình 1.

{0} nÕux= 0 không phải là ánh xạ đa trị đóng.

Bao đóng và bao lồi của ánh xạ F: X ⇒ Y, với X và Y là các không gian tuyến tính tôpô, được xác định bởi các ánh xạ clF và convF Cụ thể, bao đóng clF(x) được định nghĩa là tập hợp các điểm y thuộc Y sao cho cặp (x, y) nằm trong đồ thị của F, tức là clF(x) = {y ∈ Y : (x, y) ∈ gphF} với mọi x ∈ X Tương tự, bao lồi convF(x) là tập hợp các điểm y thuộc Y sao cho cặp (x, y) nằm trong bao lồi của đồ thị F, được biểu diễn bởi công thức convF(x) = {y ∈ Y : (x, y) ∈ co(gphF)} với mọi x ∈ X.

Dễ thấy rằng nếu F là ánh xạ trong Ví dụ 1.1.2 thì

(clF)(x) ={sinx,cosx} và (convF)(x) = [−1,1] (∀x∈IR).

VớiF là ánh xạ trong Ví dụ 1.1.3 ta có

[0,1) nÕu x= 0. Định nghĩa 1.1.3 ChoF :X⇒Y vàG:Y ⇒Z là hai ánh xạ đa trị.ánh xạ đa trị

1.1 ánh xạ đa trị 15 cho bởi công thức

⎠, với mọi x∈X, đ−ợc gọi làánh xạ hợp (haytích) của F vàG.

Bài tập 1.1.5 yêu cầu chứng minh rằng nếu X, Y, Z là các không gian tuyến tính và F: X ⇒ Y, G: Y ⇒ Z là hai ánh xạ đa trị lồi, thì G ◦ F cũng là ánh xạ đa trị lồi Để thực hiện điều này, ta cần xem xét các hàm số thực ϕ: X → IR liên quan đến các ánh xạ trên.

IR = [−∞,+∞] =IR∪ {−∞} ∪ {+∞} là tập số thực suy rộng, ta có hai ánh xạ đa trị sau đây:

(1.6) epiϕ:X⇒IR, (epiϕ)(x) ={à∈IR : àϕ(x)} ∀x∈X, và

Nhắc lại rằng ϕđ−ợc gọi là hàm lồinếu nh− ϕ((1−t)x 1 +tx 2 )(1−t)ϕ(x 1 ) +tϕ(x 2 ) với mọi x 1 , x 2 ∈ domϕ := {x ∈ X : ϕ(x) < ∞} Ta nói ϕlà hàm lõm nếu nh− −ϕlà hàm lồi (Theo định nghĩa, (−ϕ)(x) =−ϕ(x) với mọi x∈X.)

Bài tập 1.1.6 yêu cầu chứng minh rằng hàm số ϕ : X → IR ¯ là lồi nếu và chỉ nếu epi ϕ : X ⇒ IR là ánh xạ đa trị lồi Đồng thời, ϕ được coi là hàm lõm khi và chỉ khi hypoϕ : X ⇒ IR là ánh xạ đa trị lồi.

Chúng ta kết thúc mục này với một vài ví dụ về các ánh xạ đa trị liên quan đến các bài toán tối −u.

Ví dụ 1.1.4 Cho X, Y, Z là các không gian định chuẩn Cho f :XìZ →

IR∪ {+∞}là hàm số thực, g:XìZ →Y là hàm véctơ, K⊂Y là hình nón lồi, đóng; ∆⊂X là tập hợp bất kỳ Xét bài toán tốiưu phụ thuộc tham số

G(z) :={x∈X : x∈∆, g(x, z) K 0} đ−ợc gọi là tập ràng buộc (hay tập hạn chế, tập chấp nhận đ−ợc) của (P z ). Hàm số ϕ(z) := inf{f(x, z) : x∈G(z)} đ−ợc gọi làhàm giá trị tối −u (hay hàm marginal) của (P z ) Tập

Tính nửa liên tục trên và tính nửa liên tục d−ới của ánh xạ đa trị 18

Nhắc lại rằng một họ các tập con τ ⊂2 X của tập hợp X đ−ợc gọi là một tôpô trong X nÕu

(ii) giao của một họ hữu hạn tuỳ ý các tập thuộc τ lại là một tập thuộc τ; (iii) hợp của một họ tuỳ ý các tập thuộc τ là một tập thuộc τ.

Các tập thuộc τ được gọi là các tập mở, trong khi phần bù trong X của một tập mở được gọi là tập đóng Khi một tập X được trang bị một tôpô τ, nó được gọi là không gian tôpô và ký hiệu là (X, τ) Để đơn giản, nhiều khi chỉ viết X nếu tôpô τ đã được xác định Nếu (X, d) là một không gian mêtric, thì ký hiệu B đại diện cho họ các hình cầu mở.

1.2 Tính nửa liên tục trên và tính nửa liên tục d−ới 19

Xét các tập hợp là giao của một số hữu hạn các tập thuộc B, ký hiệu τ là tập hợp các tập có thể được biểu diễn dưới dạng hợp của một họ tùy ý các tập giao như vậy.

Ta cóτ là một tôpô trênX; đó chính là tôpô tương ứng với mêtricdđã cho trên

Trong không gian tôpô (X, τ), nếu M là một tập con tùy ý của X, thì tập hợp τ M được định nghĩa là {U∩M : U ∈τ}, tạo thành một tôpô trên M Tôpô này được gọi là tôpô cảm sinh của M Đồng thời, tập U M, được xác định là U ∩M, được gọi là vết của U trên M.

Nếu f: X → Y là ánh xạ đơn trị giữa không gian tôpô X và không gian tôpô Y, thì f được gọi là liên tục tại điểm x̄ ∈ X Điều này có nghĩa là với mỗi tập mở V chứa f(x̄) (V là lân cận mở của f(x̄) trong tôpô của Y), tồn tại một lân cận mở U của x̄ sao cho f(x) thuộc V với mọi x thuộc U.

Hàm f được coi là liên tục trên tập X nếu nó liên tục tại mọi điểm trong X Điều này có thể được diễn đạt rằng f liên tục trên X nếu với mỗi tập mở V thuộc Y, ảnh ngược f^(-1)(V) = {x ∈ X : f(x) ∈ V} là một tập mở trong X.

Khái niệm ánh xạ đơn trị liên tục có thể được mở rộng sang ánh xạ đa trị theo hai cách khác nhau, dẫn đến hai khái niệm hoàn toàn khác nhau: ánh xạ đa trị nửa liên tục trên và ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới Theo nghiên cứu của Aubin và Frankowska (1990), hai khái niệm này đã được B Bouligand đề xuất.

K Kuratowski đ−a ra năm 1932 Ngày nay, nhiều khi ng−ời ta dùng các cụm từ

Ánh xạ đa trị nửa liên tục trên theo Berge và ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới theo Berge là hai khái niệm quan trọng được nghiên cứu chi tiết trong cuốn chuyên khảo của C Berge (1959).

ChoF :X ⇒Y là ánh xạ đa trị từ không gian tôpôX vào không gian tôpô

Y. Định nghĩa 1.2.1 Ta nói F lànửa liên tục trêntại x¯∈domF nếu với mọi tập mởV ⊂Y thỏa mãn F(¯x)⊂V tồn tại lân cận mởU của x¯sao cho

Nếu F là nửa liên tục trên tại mọi điểm thuộc domF, thì F đ−ợc gọi là nửa liên tục trên ở trong X.

6 TNTA: trace. Định nghĩa 1.2.2 Ta nóiF lànửa liên tục d−ớitại x¯∈domF nếu với mọi tập mởV ⊂Y thỏa mãn F(¯x)∩V =∅tồn tại lân cận mở U củax¯ sao cho

Nếu hàm F là nửa liên tục từ dưới tại mọi điểm trong miền xác định của nó (domF), thì F được gọi là nửa liên tục từ dưới trong không gian X Để F được coi là liên tục tại một điểm x¯ thuộc domF, F cần phải đồng thời là nửa liên tục từ trên và nửa liên tục từ dưới tại điểm đó Nếu F liên tục tại tất cả các điểm trong miền xác định, thì F được xem là liên tục trong không gian X.

Ví dụ 1.2.1 ánh xạ đa trị

Nếu \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) là nửa liên tục trên \( \mathbb{R} \) khi \( x > 0 \), nhưng không nửa liên tục dưới tại \( \bar{x} = 0 \), thì \( f \) không phải là ánh xạ liên tục trên \( \mathbb{R} \).

{0} nÕu x= 0 không phải là ánh xạ liên tục ở trênIR, vìF chỉ là nửa liên tục d−ới tại x¯= 0,chứ không là nửa liên tục trên tại điểm đó.

1.2 Tính nửa liên tục trên và tính nửa liên tục d−ới 21

Hàm F(x) xác định giá trị trong khoảng [0,1] khi x là số hữu tỷ và trong khoảng [−1,0] khi x là số vô tỷ Hàm này không phải là ánh xạ liên tục trên tập số thực IR, đồng thời cũng không có tính chất nửa liên tục trên hoặc nửa liên tục dưới tại bất kỳ điểm nào x¯∈IR.

Bài tập 1.2.1 Chứng minh rằng ánh xạ đơn trị f : X → Y từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y là liên tục tại x ¯ khi và chỉ khi ánh xạ

F : X ⇒ Y cho bởi công thức F (x) = {f (x)} là nửa liên tục trên (hoặc nửa liên tục d−ới) tại x ¯

Bài tập 1.2.2 Cho ánh xạ đa trị F : X → Y , ở đó X và Y là các không gian tôpô Chứng minh rằng:

(a) F là nửa liên tục trên ở trong X khi và chỉ khi nhân

F − (V ) := {x ∈ dom F : F (x) ⊂ V } của một tập mở bất kỳ V ⊂ Y là tập mở trong tôpô cảm sinh của dom F.

(b) F là nửa liên tục d−ới ở trong X khi và chỉ khi ảnh ng−ợc

F −1 (V ) := {x ∈ dom F : F (x) ∩ V = ∅} của một tập mở bất kỳ V ⊂ Y là tập mở trong tôpô cảm sinh của dom F ; xem H×nh 4.

Bài tập 1.2.3 Hãy chứng tỏ rằng ánh xạ đa trị

F(x) = co {sin x, cos x} từ IR vào IR là liên tục ở trên IR.

Nhắc lại rằng hàm số ϕ:X → IR∪ {+∞} xác định trên không gian tôpô X được gọi là nửa liên tục dưới tạix¯∈domϕ, ở đó

(2.1) domϕ={x∈X : ϕ(x)0 tồn tại lân cận mở U của x¯ sao cho ϕ(x)ϕ(¯x)−ε ∀x∈U.

Hàm ϕđ−ợc gọi là nửa liên tục trên tại x¯ ∈domϕnếu với mọi ε >0 tồn tại lân cận mởU củax¯ sao cho ϕ(x)ϕ(¯x) +ε ∀x∈U.

Nếu X là không gian mêtric, thì điều kiện thứ nhất có thể viết d−ới dạng lim inf x→ x ¯ ϕ(x)ϕ(¯x), ở đó lim inf x→ x ¯ ϕ(x) := inf γ ∈IR : ∃x k →x,¯ lim k→∞ ϕ(x k ) =γ

T−ơng tự, điều kiện thứ hai có thể viết d−ới dạng lim sup x→ x ¯ ϕ(x)ϕ(¯x), ở đó lim sup x→ x ¯ ϕ(x) := sup γ ∈IR : ∃x k →x,¯ lim k→∞ ϕ(x k ) =γ

Bài tập 1.2.4 Cho ϕ : X → IR ∪ {+∞} là hàm số thực xác định trên không gian tôpô X Chứng minh rằng:

(a) ϕ là nửa liên tục d−ới tại ¯ x ∈ dom ϕ (xem (2.1)) khi và chỉ khi ánh xạ đa trị epi ϕ (đã được định nghĩa trong Mục 1.1) là nửa liên tục dưới tại x ¯

(b) ϕ là nửa liên tục trên tại x ¯ ∈ dom ϕ khi và chỉ khi ánh xạ đa trị hypo ϕ

Định lý 1.2.1 (Định lý Weierstrass) khẳng định rằng nếu X là không gian tôpô compact và ϕ:X→IR là hàm số nửa liên tục dưới trong X, thì bài toán tối ưu sẽ có nghiệm.

(2.2) min{ϕ(x) : x∈X} có nghiệm Nếu ϕlà hàm số nửa liên tục trên ở trongX, thì bài toán

1.2 Tính nửa liên tục trên và tính nửa liên tục d−ới 23 có nghiệm.

Chúng ta chỉ cần chứng minh khẳng định đầu tiên, vì hàm ϕ là nửa liên tục trên khi và chỉ khi hàm (−ϕ)(x) :=−ϕ(x) là nửa liên tục dưới Hơn nữa, x¯ là nghiệm của (2.3) khi và chỉ khi x¯ là nghiệm của bài toán tối thiểu min{(−ϕ)(x) : x∈X}.

Nhắc lại rằng không gian tôpô X đ−ợc gọi là compắc nếu từ mỗi phủ mở

{U α } α∈A của X có thể trích ra một phủ con hữu hạn, tức là tồn tại các chỉ số

Giả sử X là không gian compắc, X =∅, ϕ :X → IR là hàm số nửa liên tục d−ới ở trong X Ta cần chứng minh rằng (2.2) có nghiệm, tức là tồn tại x¯ sao cho

Giả sử phản chứng: Không có x¯ nào thỏa mãn (2.4) Đặt γ = inf{ϕ(x) : x ∈

Doϕlà nửa liên tục d−ới ở trongX nên, với mọik,Ω k là tập mở Dễ thấy rằng

Tập hợp {Ω k } k∈IN là một phủ mở của không gian X Vì X là không gian compact và {Ω k } là một họ tập lồng nhau, nên tồn tại một chỉ số k¯ ∈IN sao cho X = Ω¯ k Tuy nhiên, điều này dẫn đến việc γ −¯k, trái với giả thiết γ =−∞ Tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét trường hợp γ thuộc tập số thực IR.

Với mỗik∈IN ta đặt

Dễ dàng nhận thấy rằng tập hợp {Ω k } k∈IN là một phủ mở của không gian X, bởi vì không tồn tại điểm x¯∈ X nào thỏa mãn điều kiện (2.4) Từ đó, chúng ta không thể rút ra một phủ con hữu hạn nào Do đó, không gian X không phải là không gian tôpô compact, điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu Định lý đã được chứng minh.

Không gian tôpô X được gọi là liên thông nếu không tồn tại hai tập mở U và V khác rỗng nào trong X sao cho U ∪ V = X và U ∩ V = ∅ Ánh xạ đơn trị liên tục bảo tồn tính liên thông, và có định lý khẳng định rằng nếu f: X → Y là ánh xạ liên tục từ không gian tôpô liên thông.

X vào không gian tôpô Y Khi đó rgef ={f(x) : x∈X}, xét với tôpô cảm sinh từ tôpô của Y, là không gian liên thông.

Định lý Kakutani

Bài tập 1.2.11 Đặt X = IR, Y = IR 2 , F (x) = {(x, |x| 1 )} nếu x = 0 và

F (x) = {0} ì [0, +∞) nếu x = 0 Hãy chứng tỏ rằng F : X ⇒ Y là nửa liên tục trên theo Hausdorff ở trên X , nh−ng không là nửa liên tục trên (theo Berge) ở trên X

Tính liên thông của miền hữu hiệu không được bảo toàn khi áp dụng ánh xạ đa trị nửa liên tục theo Hausdorff Ví dụ dưới đây sẽ minh chứng cho điều này.

Ví dụ 1.2.4 7 Đặt X = IR, Y = IR 2 , F(x) (x, 1 x ) nếu x = 0 và

F(x) = {0} ìIR nếu x = 0 Khi đó, F : X ⇒ Y là nửa liên tục trên theo Hausdorf ở trên X, domF = IR là không gian liên thông, F(x) là liên thông với mọi x, nh−ng rgeF x,1 x

: x >0 không là tập liên thông (nó gồm 3 thành phần liên thông).

Định lý Kakutani (1941) là một trong những định lý quan trọng về điểm bất động, được áp dụng cho ánh xạ đa trị nửa liên tục Bài viết này sẽ trình bày chứng minh chi tiết của định lý, giúp người đọc hiểu rõ hơn về ý nghĩa của các tính chất nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới của ánh xạ đa trị.

Nguyễn Mậu Nam đã đưa ra 7 ví dụ, cho thấy hiệu quả tương tự như ánh xạ đa trị được đề cập trong Bài tập 1.2.11, đây là một dạng cải biên của ánh xạ F.

Cho ψ : X → IR là hàm số thực xác định trên không gian tôpô X Giá

Hỗ trợ của ψđ−ợc ký hiệu bởi suppψ và được xác định bởi công thức suppψ={x∈X : ψ(x)=∅}, trong đó M là bao đóng của tập M Theo Định lý 1.3.1 (xem Rudin, 1976, tr 251), nếu K là không gian mêtric compact và {V α } α∈A là một phủ mở của K, thì tồn tại các hàm liên tục ψ i :K → IR.

(c) Với mỗii∈ {1, , s} có tồn tại α∈A sao cho suppψ i ⊂V α

Họ hàm liên tục {ψ i } i =1 , ,s có các tính chất (a)–(c) đ−ợc gọi là một phân hoạch đơn vịtương thích với phủ mở{V α } α∈A

Từ Định lý 1.3.1 ta rút ra hệ quả sâu đây.

Giả sử {ψ i } i =1 , ,s là một phân hoạch đơn vị tương thích với phủ mở {V α } α∈A Đối với mọi hàm liên tục f: K → IR, có thể viết f(x) dưới dạng tổng của các hàm f i (x) = ψ i (x)f(x) với i = 1, , s Các hàm f i (x) đều liên tục trên K, và với mỗi i ∈ {1, , s}, tồn tại α ∈ A sao cho giá trị của hàm f i nằm trong V α.

Với mỗi x ∈K ta chọn đ−ợc chỉ số α x ∈ A sao cho x ∈V α x Do V α x là tập mở, tồn tạiρ x >0 sao cho

Họ các hình cầu mở

B(x, ρ 2 x ) x∈K là một phủ mở của K Do K là không gian compắc, tồn tại các điểmx 1 , x 2 , , x s ∈K sao cho

2 )⊂B(x i , ρ x i )⊂B¯(x i , ρ x i ), tồn tại hàm liên tục ϕ i :K→[0,1]sao cho ϕ i (x) = 1 ∀x∈B(x¯ i ,ρ x i

Nếu M1 và M2 là hai tập đóng không giao nhau trong không gian métric compact X, thì tồn tại hàm số liên tục ϕ: X → [0,1] sao cho ϕ(x) = 1 với mọi x ∈ M1 và ϕ(x) = 0 với mọi x ∈ M2 Khẳng định này được suy ra từ Bổ đề Urysohn (xem Kelley (1957), Chương 4) Đặt ψ1 = ϕ1 và ψi+1 = (1 - ϕ1) (1 - ϕi)ϕi+1 cho mọi i = 1, 2, , s - 1.

Hiển nhiên các tính chất (a) và (c) nghiệm đúng với họ hàm {ψ i } i =1 , ,s vừa chọn Rõ ràng đẳng thức

(3.2) ψ 1 + .+ψ i = 1−(1−ϕ 1 ) .(1−ϕ i ) đúng vớii= 1 Nếu (3.2) đúng với chỉ sối < s, thì ta có ψ 1+ .+ψ i +ψ i +1

= 1−(1−ϕ 1 ) .(1−ϕ i )(1−ϕ i +1 ); tức là (3.2) đúng cả khiiđ−ợc thay bằngi+ 1 Vậy ta có

(1−ϕ i (x)) với mọi x∈K Do (3.1), với mỗi x∈K tồn tại chỉ sốj ∈ {1, , s}sao cho x∈B(x j ,ρ x j

2 ) Do đó ϕ j (x) = 1 Từ (3.3) suy ra s i =1 ψ i (x) = 1.

Vậy tính chất (b) đã đ−ợc kiểm chứng 2 ánh xạ đa trị hêmi liên tục trên:

Giả sử X là không gian mêtric và Y là không gian định chuẩn, F :X ⇒ Y là ánh xạ đa trị Đối với mỗi điểm p thuộc Y ∗, nơi Y ∗ là không gian đối ngẫu của Y, và với mỗi x thuộc X, ta có thể thiết lập một mối quan hệ giữa các không gian này.

(Theo quy −ớc, sup∅ = −∞, inf∅ = +∞) Hàm số hai biến C F (p, x) đ−ợc gọi là hàm tựacủa của F.

Mệnh đề 1.3.1 (xem Aubin và Frankowska (1990), Hệ quả 2.6.1) Giả sử

F :X ⇒Y là nửa liên tục trên ở trong X, có giá trị compắc yếu, khác rỗng;

Y đ−ợc xét với tôpô yếu Khi đó, với mọi p∈Y ∗ , hàm số x→C F (p, x) là nửa liên tục trên ở trong domF.

Giả sử F có các tính chất như trong mệnh đề đã nêu, và p∈Y ∗ là véctơ cho trước Chúng ta cần chứng minh rằng với mọi ¯x∈domF và ε > 0, tồn tại một lân cận mở U của x¯∈X sao cho

Do F(¯x) là compắc yếu và khác rỗng, tồn tại y¯ ∈ F(¯x) sao cho C F (p,x) =¯ p,y¯ Đặt

Ta có F(¯x) nằm trong lân cận mở yếu Do F là nửa liên tục tại x¯ trong tôpô yếu, tồn tại lân cận mở U của x¯ sao cho F(U) nằm trong V Do đó, với mỗi x thuộc U, ta có tính chất liên quan đến F.

Mệnh đề đã được chứng minh cho thấy ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y từ không gian mêtric X vào không gian định chuẩn Y được gọi là hêmi liên tục tại x ∈ domF nếu với mỗi p ∈ Y*, hàm số C p (p,ã) là nửa liên tục tại x F được coi là hêmi liên tục trên trong X nếu nó thỏa mãn điều này tại mọi điểm thuộc domF Mệnh đề 1.3.1 đã chỉ ra điều kiện đủ để một ánh xạ đa trị là hêmi liên tục.

Bất đẳng thức Ky Fan:

Nguyên lý biến phân Ekeland (1974) cùng với định lý bất đẳng thức Ky Fan (1972) là những công cụ quan trọng trong nghiên cứu giải tích phi tuyến và tối ưu hóa Định lý 1.3.2 khẳng định rằng, với K là tập lồi và compact trong không gian Banach X, hàm số ϕ: K → IR cần thỏa mãn một số điều kiện nhất định.

(i) ∀y∈K, ϕ(ã, y) là hàm số nửa liên tục d−ới;

Khi đó, tồn tại x¯∈K sao cho

Định lý 1.3.2 vẫn giữ tính đúng đắn khi áp dụng cho không gian tuyến tính tôpô, lồi địa phương và Hausdorff, thay vì chỉ giới hạn trong không gian Banach X Một ví dụ điển hình là khi X được xem như một không gian Banach với tôpô yếu.

Trước tiên, chúng ta sẽ chứng minh định lý cho trường hợp không gian Banach hữu hạn chiều Chúng ta áp dụng phương pháp phản chứng để thực hiện điều này Giả sử kết luận của định lý không đúng, tức là

Vì hàm số ϕ(ã, y) là nửa liên tục d−ới, nên tập U y là mở trong tôpô cảm sinh của K Điều này dẫn đến việc {U y } với y thuộc K tạo thành một phủ mở cho K Do K là tập compact, tồn tại các điểm y 1 , y 2 , , y k thuộc K sao cho

Theo Định lý 1.3.1, tồn tại một phân hoạch đơn vị {ψ_i} (i = 1, ,s) của K tương thích với phủ mở {U_j} (j = 1, ,k) Điều này có nghĩa là các hàm ψ: K → [0,1] (i = 1, ,s) là liên tục, và tổng hợp các hàm này thỏa mãn điều kiện s ∑_{i=1} ψ_i(x) = 1 với mọi x ∈ K Hơn nữa, với mỗi i ∈ {1, ,s}, tồn tại j(i) ∈ {1, ,k} sao cho hỗ trợ của ψ_i nằm trong U_{j(i)}.

Xét ánh xạf :K →K cho bởi công thức f(x) s i =1 ψ i (x)y j ( i ) (∀x∈K).

Các quá trình lồi

(i) G là ánh xạ hêmi liên tục trên ở trong K;

(ii) G có giá trị lồi;

(iii) G có giá trị đóng;

(iv) G có giá trị khác rỗng.

Bài tập 1.3.5 Cho K = ¯ B IR 2 là hình tròn đơn vị trong IR 2 Cho F :

K ⇒ IR 2 là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên ở trong K, có giá trị lồi, đóng, khác rỗng Chứng minh rằng nếu

∀x ∈ ∂K ∃y ∈ F (x) sao cho x, y = 0, ở đó ∂K := K \ int K ký hiệu biên của K, thì tồn tại x ¯ ∈ K thỏa mãn

Các quá trình lồi ánh xạ đa trị có đồ thị là một hình nón lồi, mang nhiều tính chất tương tự như toán tử tuyến tính Lớp ánh xạ đa trị này đã được S M Robinson nghiên cứu kỹ lưỡng trong giai đoạn 1972-1976 Định nghĩa về ánh xạ F :X ⇒ Y, với X và Y là các không gian định chuẩn, được gọi là một quá trình lồi khi gphF là một hình nón lồi trong không gian tích X×Y Nếu gphF là một hình nón lồi đóng trong X×Y, thì F được gọi là một quá trình lồi đóng.

Nhắc lại rằng tập K trong một không gian tuyến tính Z đ−ợc gọi là một hình nón nếu0∈K vàλz ∈K với mọi z∈K vàλ >0.

Ví dụ 1.4.1 Các tập hợp sau đây là những hình nón trong IR n :

Các tập hợp sau đây là những hình nón trong C[a, b](không gian gồm các hàm sốf : [a, b]→IR liên tục trên đoạn [a, b]⊂IR):

Bài tập 1.4.1 Chứng minh rằng gph F là một hình nón khi và chỉ khi

10 TNTA: closed convex process. Định nghĩa 1.4.2 ChoF :X⇒Y là một quá trình lồi đóng Chuẩn F của

F là số thực suy rộng đ−ợc cho bởi công thức

(4.1) F= sup x∈ (dom F ) \{ 0 } d(0, F(x)) x , ở đó d(a, M) := inf x∈M a−xlà khoảng cách từ ađếnM.

Trong phần còn lại của mục này, nếu không nói gì thêm thì X, Y đ−ợc giả thiết là các không gian Banach.

Từ Định nghĩa 1.4.1, có thể kết luận rằng nếu F là quá trình lồi đóng, thì F − 1 cũng sẽ là một quá trình lồi đóng Định lý 1.4.1 cung cấp điều kiện đủ để khẳng định rằng F − 1 là một ánh xạ đa trị Lipschitz Cụ thể, nếu rgeF = Y, thì tồn tại một hằng số dương >0 sao cho F − 1 thỏa mãn tính Lipschitz.

Để thiết lập (4.2) với giả thiết rằng quá trình lồi đóng F là ánh xạ đa trị tràn (rgeF = X), chúng ta cần áp dụng Định lý Robinson-Ursescu Theo Định lý 1.4.2, nếu F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị lồi, đóng và y¯ ∈ F(¯x) với y¯ thuộc int(rgeF), thì tồn tại >0 và γ >0 sao cho với mọi y ∈ B(¯¯ y, γ) sẽ có x ∈ F − 1 (y) thỏa mãn.

Chứng minh Chứng minh đầy đủ của định lý này khá phức tạp (xem Ursescu

(1975), Robinson (1976a), Aubin và Ekeland (1984)) Chúng ta sẽ chỉ xét tr−ờng hợp X là không gian Banach phản xạ Đặt

Khẳng định 1: ϕlà hàm lồi.

Thật vậy, do F là ánh xạ đa trị lồi nên F − 1 cũng là ánh xạ đa trị lồi Do đó, với mọi y, y ∈Y và với mọit∈(0,1) ta có

Vì vậy, nếu y∈rgeF và y ∈rgeF thì ϕ((1−t)y+ty )

Dễ thấy rằngϕ(y)0sao cho

Doϕlà lồi và bị chặn ở trênB(ˆ¯ y, ρ), nênϕlà liên tục ở trênB(ˆy, ρ)⊂int(rgeF) (xem Ioffe và Tihomirov (1979)) Khi đóϕ là liên tục trên int(rgeF).

Vì y¯∈int(rgeF) và hàmϕliên tục trên int(rgeF), ta cóϕlà Lipschitz địa ph−ơng tại y, tức là tồn tại¯ γ >0và 0 >0 sao cho

(xem Ioffe và Tihomirov (1979)) Suy ra

(4.7) |ϕ(y)−ϕ(¯y)| 0 y−y ∀y¯ ∈B(¯¯ y, γ). Đặt = 2 0 và lưu ý rằng ϕ(¯y) = 0vì y¯ ∈ F(¯x) Với mỗi y ∈B¯(¯y, γ), do

(4.7) tồn tại x ∈ F − 1 (y) sao cho (4.3) nghiệm đúng Định lý đã đ−ợc chứng minh 2

Bài tập 1.4.2 Cho hàm số thực suy rộng ϕ : X → IR ∪{+∞}, ở đó X là không gian định chuẩn Chứng minh rằng ϕ là nửa liên tục dưới ở trong

X khi và chỉ khi các tập mức lev ϕ (λ) := { x ∈ X : ϕ(x) λ } (λ ∈ IR) là đóng.

Chứng minh Định lý 1.4.1 bắt đầu với việc đặt x¯ = 0 và y¯ = 0 Vì F là quá trình lồi đóng, nên y¯ thuộc F(¯x) Từ giả thiết rgeF = Y, ta suy ra y¯ thuộc int(rgeF) Theo Định lý 1.4.2, tồn tại một số dương > 0 và γ > 0 sao cho với mỗi y thuộc B(¯¯ y, γ), tồn tại x thuộc F − 1(y) thỏa mãn điều kiện (4.3) Đối với mỗi y thuộc Y, luôn tồn tại t > 0 sao cho ty thuộc B(¯¯ y, γ) = ¯B(0, γ).

Do (4.3), tồn tại x ∈ F − 1 (ty ) sao cho x−0 ty −0 Vì F − 1 là quá trình lồi, nên ta có x ∈ tF − 1 (y ) và x ty Đặt x = 1 t x, ta có x ∈F − 1 (y ) và x y

Cố định hai điểm y 1 , y 2 ∈ Y Lấy tùy ý x 1 ∈ F − 1 (y 1 ) Do tính chất đã chứng minh ở đoạn trên, ta chọn đ−ợc u ∈ F − 1 (y 2 −y 1 ) sao cho u y 2 −y 1 Đặtx 2 =x 1 +u, ta có

Ta lại có x 2 ∈F − 1 (y 2 ) Thật vậy, dou∈F − 1 (y 2 −y 1 ), x 1 ∈F − 1 (y 1 ), và do

F − 1 là quá trình lồi đóng, ta có

Từ đó suy ra x 1 +u∈F − 1 (y 2 ), hay x 2 ∈F − 1 (y 2 ) Do (4.8), tồn tại v∈B¯ X sao chox 1 −x 2 =y 1 −y 2 v VËy x 1 ∈F − 1 (y 2 ) +y 1 −y 2 B¯ Y

Ta đã chứng tỏ rằng (4.2) nghiệm đúng với mọi y 1 , y 2 ∈Y 2

Mệnh đề 1.4.1 (Định lý ánh xạ mở) khẳng định rằng, với ánh xạ đa trị lồi F: X ⇒ Y, nếu rgeF = Y, thì F được coi là ánh xạ mở Điều này có nghĩa là đối với mọi tập mở U ⊂ X, tập F(U) = ∪ x∈U F(x) sẽ là một tập mở trong Y.

Chứng minh Giả sử F thỏa mãn giả thiết của mệnh đề Giả sử U ⊂X là tập mở Lấyy¯∈F(U) và giả sửx¯∈U là điểm thỏa mãn bao hàm thứcy¯∈F(¯x).

Do rgeF =Y, ta có y¯∈int(rgeF) Theo Định lý 1.4.2, tồn tạiγ >0và >0 để với mỗi y ∈B(¯¯ y, γ) tồn tại x ∈F − 1 (y) sao cho (4.3) nghiệm đúng Chọn γ ∈(0, γ) đủ bé để có

Khi đó, với mỗi y∈B¯(¯y, γ ) tồn tại x∈F − 1 (y) thỏa mãn x−x¯y−y¯γ

Vậy x ∈B(¯¯ x, γ ) ⊂U Doy ∈F(x) và do (4.9), từ đó ta có y∈F(U) Vì bao hàm thức cuối đúng với mọi y ∈B¯(¯y, γ ), nên B(¯¯ y, γ ) ⊂ F(U) Ta đã chứng tỏ rằng F(U) là tập mở 2

Các định lý ánh xạ mở đóng vai trò quan trọng trong giải tích và ứng dụng giải tích, với các ứng dụng như điều kiện cần cho cực trị trong lý thuyết tối ưu và điều kiện đủ cho tính điều khiển được trong lý thuyết điều khiển Định lý ánh xạ mở trong Mệnh đề 1.4.1 chỉ áp dụng cho các ánh xạ đa trị có đồ thị là tập lồi đóng Ngoài ra, các tác giả trong nước như Giáo sư Phạm Hữu Sách, Giáo sư Phan Quốc Khánh và Phó Giáo sư Phạm Huy Điển đã có nhiều đóng góp quan trọng trong việc phát triển các định lý ánh xạ mở và định lý hàm ngược tổng quát.

Trong các nghiên cứu của Dien và Sach (1991) cùng các tác giả khác (1986, 1988, 1989), các ánh xạ đa trị được khảo sát mà không yêu cầu đồ thị phải lồi Cụ thể, tác giả Phan Quốc Khánh đã áp dụng khái niệm không gian tựa mêtric để phát triển các định lý ánh xạ mở tổng quát Từ những định lý này, chúng ta có thể suy ra Định lý Ljusternik và Định lý quy nạp.

Định lý suy diễn của Pták (1974) là một kết quả quan trọng, dựa trên nghiên cứu trước đó của Phạm Hữu Sách, cùng với nhiều kết quả khác Các nghiên cứu của Khanh (1986, 1988, 1989) cũng đã thu hút sự chú ý đáng kể từ các chuyên gia trong ngành.

Trong Chương 5 của giáo trình, định lý ánh xạ mở địa phương (Định lý 5.4.1) và định lý hàm ngược (Định lý 5.4.2) được trình bày cho ánh xạ đa trị có dạng đặc biệt F(x) = f(x) + K, trong đó F: ℝⁿ → ℝᵐ là ánh xạ đơn trị và K ⊂ ℝᵐ là tập lồi.

Bài tập 1.4.3 Cho A : X → Y là toán tử tuyến tính Chứng minh rằng A là liên tục khi và chỉ khi ánh xạ F cho bởi công thức F (x) = {Ax} (x ∈

Bài tập 1.4.4 Chứng minh rằng Định lý ánh xạ mở Banach “Cho A :

X → Y là toán tử tuyến tính liên tục Nếu A(X) = Y thì A là ánh xạ mở (tức là với mọi tập mở U ⊂ X, A(U ) là tập mở trong Y )” là hệ quả của Mệnh đề 1.4.1.

Ví dụ 1.4.1 mô tả quá trình lồi đóng với K ⊂ Y là hình nón lồi đóng và f thuộc C 1 (X, Y) Đối với mỗi x 0 trong X, ta định nghĩa F x 0 (v) = f (x 0 )v + K, với v thuộc X Như vậy, F x 0 (ã) trở thành một quá trình lồi đóng phụ thuộc vào tham số x 0.

Mệnh đề 1.4.2 (Điều kiện đủ để một quá trình lồi đóng có chuẩn hữu hạn).

Cho F :X⇒Y là quá trình lồi đóng Nếu domF =X, thì sốFđ−ợc định nghĩa bởi công thức (4.1) là hữu hạn.

Chứng minh Xét quá trình ng−ợc F − 1 : Y ⇒ X, F − 1 (y) ={x ∈ X : y ∈

F(x)} VìF là quá trình lồi đóng, nên F − 1 cũng là quá trình lồi đóng Ta có rgeF − 1 ={x∈X : ∃y∈Y sao cho x∈F − 1 (y)}

Do giả thiết domF =X, ta có rgeF − 1 =X áp dụng Định lý 1.4.1 cho ánh xạF − 1 , ta tìm đ−ợc hệ số >0 sao cho

Do đó(F − 1 ) − 1 =F Vậy từ (4.10) ta có

(Điều đó chứng tỏ F là ánh xạ đa trị Lipschitz trên X.) áp dụng (4.11) cho x = 0 và lưu ý rằng 0∈F(0), ta có

Khi đó, với mọi x∈X\ {0}, tồn tạiy∈F(x) vàv ∈B¯ Y sao cho

Mệnh đề đã đ−ợc chứng minh 2

Các tính chất Lipschitz của ánh xạ đa trị

Trong bài viết này, chúng ta xem xét các không gian định chuẩn tùy ý X và Y, cùng với ánh xạ đa trị F từ X vào Y Định nghĩa 1.5.1 cho biết nếu x¯ thuộc vào miền trong của domF, thì F được coi là Lipschitz địa phương tại x¯, nếu tồn tại một hằng số >0 và δ >0 để thỏa mãn điều kiện Lipschitz.

(5.1) F(x 2 )⊂F(x 1 ) +x 2 −x 1 B¯ Y với mọix 1 , x 2 ∈B(¯¯ x, δ) Trong trường hợp F(x) ={f(x)}là ánh xạ đơn trị, bao hàm thức (5.1) trở thành f(x 2 )∈f(x 1 ) +x 2 −x 1 B¯ Y

Nếu tồn tại > 0 và δ > 0 sao cho tính chất đó đúng với mọi x ∈ B(¯x, δ), thì ánh xạ đơn trị f được gọi là Lipschitz địa phương tại x Định nghĩa 1.5.2 (Robinson, 1979) nêu rõ rằng F được coi là Lipschitz trên địa phương tại (hoặc gần) ¯x ∈ domF nếu có > 0 và δ > 0 thỏa mãn điều kiện này.

(5.2) F(x)⊂F(¯x) +x−x¯B¯ Y với mọi x∈B(¯¯ x, δ) Trong trường hợp F(x) ={f(x)} là ánh xạ đơn trị, bao hàm thức (5.2) trở thành f(x)∈f(¯x) +x−x¯ B¯ Y

Nếu tồn tại một hằng số dương > 0 và δ > 0 sao cho tính chất đó đúng với mọi x thuộc B(¯¯ x, δ), thì ánh xạ đơn trị f được gọi là Lipschitz trên địa phương tại x Định nghĩa 1.5.3 (Robinson, 1981) nêu rõ rằng cho không gian X = IR n và Y = IR m, ánh xạ F sẽ được xác định trong bối cảnh này.

X ⇒ Y làánh xạ đa trị đa diện 13 nếu tồn tại một số hữu hạn các tập lồi đa diện ∆ 1 ,∆ 2 , ,∆ s trong không gian tíchIR n ìR m sao cho gphF s i =1

Định lý 1.5.1 của Robinson (1981) khẳng định rằng nếu F: IR^n ⇒ IR^m là một ánh xạ đa trị đa diện, thì đối với mọi x¯ thuộc miền xác định của F, F là Lipschitz trên địa phương tại x¯ Chứng minh của định lý này được thực hiện thông qua Định lý 1.1.2 Độc giả có thể tham khảo chi tiết phần chứng minh trong Chương 7 của cuốn chuyên khảo do G M Lee, Nguyễn Năng Tâm và N Đ Yên biên soạn (Lee, Tam và Yen (2005)).

11 TNTA: locally Lipschitz at x, locally Lipschitz near ¯ x ¯

13 TNTA: polyhedral multifunction. Định nghĩa 1.5.4 (Aubin (1984)) Ta nói F là giả-Lipschitz 14 ở gần điểm (¯x,y)¯ ∈gphF nếu tồn tại >0,δ >0 vàà >0 sao cho

Nhận xét 1.5.1 Nếu F là giả-Lipschitz ở gần điểm (¯x,y)¯ ∈gphF, thì ta phải cã x¯∈int(domF).

Tính chất giả-Lipschitz của ánh xạ đa trị đóng vai trò quan trọng trong giải tích phi tuyến và lý thuyết tối ưu, như được đề cập trong các nghiên cứu của Rockafellar và Wets (1998) cũng như Mordukhovich (2006a,b) Để ghi nhận công lao của J.-P Aubin trong việc phát triển khái niệm này, Donchev và Rockafellar (1996) đã đề xuất gọi tính chất này là tính liên tục Aubin Trong Chương 5, chúng tôi sẽ trình bày các điều kiện đủ để ánh xạ nghiệm của một hệ bất đẳng thức phụ thuộc tham số có tính liên tục Aubin theo tham số Đồng thời, chúng tôi cũng sẽ đưa ra điều kiện đủ để hàm giá trị tối ưu của một bài toán quy hoạch toán học phụ thuộc tham số là Lipschitz địa phương.

Bài tập 1.4.5 Cho x ¯ ∈ X Chứng minh rằng nếu F : X ⇒ Y là giả- Lipschitz ở gần mỗi điểm (¯ x, y) ¯ ∈ {¯ x} ì F (¯ x) thì F là nửa liên tục d−ới tại x Khẳng định ng−ợc lại có đúng không? ¯

Ch−ơng 2 Đạo hàm của ánh xạ đa trị

Tay nào cầm đ−ợc khói s−ơng Mới mong giữ nổi yêu th−ơng cho mình

(Trần Mạnh Hảo, “Ru em Thúy Kiều”)

Chương này trình bày các khái niệm cơ bản và những định lý quan trọng liên quan đến đạo hàm của ánh xạ đa trị Đạo hàm của ánh xạ đa trị được xây dựng thông qua nón tiếp tuyến Bouligand của đồ thị, như được J.-P Aubin đề xuất vào năm 1981 Phương pháp này đã được Aubin áp dụng để nghiên cứu các tính chất của nghiệm trong bao hàm thức vi phân.

Nguyên lý biến phân Ekeland

Nguyên lý biến phân do I Ekeland đề xuất vào năm 1974 là công cụ quan trọng trong việc thiết lập các định lý ánh xạ mở, hàm ẩn và hàm ngược trong giải tích không trơn F H Clarke đã áp dụng nguyên lý này vào năm 1976 để xây dựng quy tắc nhân tử Lagrange cho các bài toán quy hoạch toán học trong không gian Banach với dữ liệu hàm không trơn Nguyên lý này cũng đóng vai trò then chốt trong lý thuyết đối đạo hàm, như được đề cập trong các công trình của Mordukhovich (2006a,b) Trong chương này và Chương 5, nguyên lý biến phân Ekeland là công cụ chính để phát triển các định lý ánh xạ mở, hàm ẩn và hàm ngược cho ánh xạ đa trị Định lý 2.1.1 (Nguyên lý biến phân Ekeland) khẳng định rằng với không gian mêtric đủ (X, d) và hàm số nửa liên tục dưới ϕ:X → IR∪ {+∞} bị chặn dưới trong X, nếu x¯∈X thỏa mãn

47 với ε >0 và nếuλ >0là số thực cho tr−ớc, thì tồn tại x∈X sao cho

Chứng minh Trong chứng minh này chúng ta sẽ sử dụng kiểu thứ tự bộ phận do Bishop và Phelps đ−a ra năm 1963 Với mỗi α > 0, ta định nghĩa thứ tự

“ α ” trong tÝch X×IR nh− sau:

Thứ tự “ α ” là phản xạ, phản xứng và bắc cầu.

• Tính phản xạ: Hiển nhiên ta có(x, y) α (x, y) với mọi(x, y)∈XìIR.

•Tính phản xứng: Giả sử rằng(x 1 , y 1 ) α (x 2 , y 2 )và(x 2 , y 2 ) α (x 1 , y 1 ).

Ta cần chứng tỏ rằng (x 1 , y 1 ) = (x 2 , y 2 ) Do (1.2),

Suy ra 2d(x 1 , x 2 )0 Vì thế x 1 =x 2 Từ (1.3) ta cóy 1 y 2 vày 2 y 1 Do đó (x 1 , y 1 ) = (x 2 , y 2 ).

• Tính bắc cầu: Giả sử rằng (x 1 , y 1 ) α (x 2 , y 2 ) và (x 2 , y 2 ) α (x 3 , y 3 ). Khi đó d(x 1 , x 2 ) y 1 −y 2 α và d(x 2 , x 3 ) y 2 −y 3 α

Khẳng định 1: Nếu(x 1 , y 1 )∈XìIR, thì

2.1 Nguyên lý biến phân Ekeland 49 là tập đóng.

Thật vậy, giả sử dãy {(x k , y k } ⊂XìIRthỏa mãn

(x 1 , y 1 ) α (x k , y k ) (k= 2,3,4, ) và x k → x, y k → y Do d(x 1 , x k ) (y 1 −y k )/α với mọik ∈IN, nên ta có d(x 1 , x)(y 1 −y)/α; tức là(x 1 , y 1 ) α (x, y) Vậy(x, y)∈Ω Ta đã chứng minh rằng Ωlà tập đóng.

Khẳng định 2: Cho M ⊂ XìIR là tập đóng, tồn tại γ > 0 để yγ với mọi (x, y) ∈ M Đối với mỗi (x1, y1) ∈ M, tồn tại (¯x, y)¯ ∈ M sao cho (x1, y1) α (¯x, y)¯, và (¯x, y)¯ là phần tử cực đại trong M theo thứ tự “α”, nghĩa là nếu (x, y) ∈ M và (¯x, y)¯ α (x, y) thì (x, y) = (¯x, y)¯.

Bắt đầu từ(x 1 , y 1 )∈Mta xây dựng dãy{(x k , y k )}nh−sau: Giả sử(x k , y k ) đã đ−ợc xác định Đặt

Theo Khẳng định 1, M k là tập đóng Ngoài ra, vì(x k , y k )∈M k nênM k =∅. Đặt γ k = inf{y : ∃x∈X, (x, y)∈M k }.

Hiển nhiên γ k γ vàγ k y k Chọn(x k +1 , y k +1 )∈M k sao cho

(Nếuγ k =y k thì đặt(x k +1 , y k +1 ) = (x k , y k ) Giả sửγ k < y k Doγ k (ϕ(¯x)−y)/2, mâu thuẫn với cách chọn¯ ε Vậy(x, y) ∈/ M Điều đó chứng tỏ rằng W ⊂Ω Vậy Ωlà tập mở, do dó M là tập đóng.

Ta có (¯x, ϕ(¯x))∈M Đặt (x 1 , y 1 ) = (¯x, ϕ(¯x)) Do Khẳng định 2, tồn tại

(1.6) (x 1 , y 1 ) α (x, y) và(x,y) là phần tử cực đại trong M theo thứ tự “ α ”. Đặt α= ε λ Do (1.6), y−y 1 +αd(¯x,x)0, hay

Ta có y =ϕ(x) Thật thế, giả sử y > ϕ( x) Khi đó d(x,x) 0, hay ϕ(x) − ϕ(x) + ελd(x, x) > 0.

Vậy tính chất (iii) nghiệm đúng Định lý đã đ−ợc chứng minh 2

Trong quá trình chứng minh, chúng ta đã đạt được một dạng của nguyên lý biến phân Ekeland Theo Định lý 2.1.2 (xem Aubin và Frankowska, 1990), cho không gian (X, d) và hàm ϕ được nêu trong Định lý 2.1.1, tồn tại một điểm x ∈ X cho mọi x̄ ∈ dom ϕ và mọi α > 0.

Nguyên lý biến phân Ekeland được chứng minh trong cuốn chuyên khảo của Clarke (1983) và có những chứng minh ngắn gọn hơn từ Ekeland (1974), Borwein và Zhu (2005), cùng với Mordukhovich (2006a; Định lý 2.26).

Nhận xét 2.1.2 Điểm x¯∈X thỏa điều kiện (1.1) đ−ợc gọi làđiểmε-cực tiểu 1 của hàm ϕtrên tập X.

Nếu X là không gian Banach, từ tính chất (iii) trong Định lý 2.1.1 suy ra rằng ϕ(x) + ε λx−xϕ(x) + ε λx−x với mọi x∈X Đặt f(x) = ϕ(x) + λ ε x−x, ta có f(x) f(x) cho mọi x∈X, nghĩa là x là cực tiểu toàn cục của hàm f, một xấp xỉ của ϕ Nguyên lý Ekeland khẳng định rằng với mỗi điểm ε-cực tiểu của hàm số thực nửa liên tục dưới trên không gian mêtric đủ, tồn tại điểm cực tiểu toàn cục của một hàm số xấp xỉ, cách điểm đã cho “không xa lắm” và giá trị của hàm số thực tại đó không lớn hơn giá trị của hàm số xấp xỉ tại điểm ε-cực tiểu đã cho.

Bài tập 2.1.1 Hãy chứng tỏ rằng nếu ϕ(¯ x) = inf x∈X ϕ(x), thì phần tử x trong kết luận của Định lý 2.1.1 có thể lấy bằng x ¯

Hãy tìm tất cả những điểm x ˆ ∈ X thỏa mãn kết luận của Định lý 2.1.1. (Kết quả: x ∈ [¯ x, x ¯ + 10 1 ].)

Nãn tiÕp tuyÕn

Đạo hàm của hàm số thực có liên quan chặt chẽ đến tiếp tuyến của đồ thị.

Xét hàm số f : IR → IR và điểm x¯ ∈ IR Đặt α = lim x→ ¯ x f(x)−f(¯x) x−x¯ (nếu giới hạn này tồn tại thì đó chính là hệ số góc của tiếp tuyến dvới đồ thị

{(x, f(x)) : x∈IR}tại điểm(¯x, f(¯x))) và đặt f (¯x)(v) =αv ∀v∈IR.

(Đối với các hàm số thực, người ta thường đồng nhất ánh xạ tuyến tính f (¯x) :

IR→IR với số α.) Đồ thị của ánh xạ đạo hàm trùng với đường thẳng d−(¯x, f(¯x)) đi qua gốc tọa độ.

Năm 1981, J.-P Aubin (xem Aubin (1981)) đề nghị xây dựng đạo hàm

DF z (ã) của ánh xạ đa trị F: X ⇒ Y, với X và Y là các không gian Banach, được xác định tại z = (x, y) ∈ gphF, trong đó ánh xạ đa trị từ X vào Y có đồ thị trùng với nón tiếp tuyến Bouligand 2 của đồ thị F tại điểm z Khái niệm đạo hàm được xây dựng dựa trên điều này.

Nón tiếp tuyến đóng vai trò quan trọng trong hình học vi phân, phương trình vi phân và lý thuyết tối ưu Khái niệm này, thường được gọi là nón contingent hay nón tiếp tuyến Bouligand, được G Bouligand và F Severi phát triển đồng thời trong hai bài báo xuất bản cùng một số tạp chí.

Trong nghiên cứu về ánh xạ đa trị, việc sử dụng các tên gọi đôi khi dẫn đến sự "bất công" Theo thói quen, nón tiếp tuyến Bouligand-Severi thường được gọi là nón tiếp tuyến Bouligand Ngoài nón này, còn có nón tiếp tuyến Clarke do F H Clarke giới thiệu năm 1975 và nón tiếp tuyến trung gian do H Frankowska phát triển.

Cho Γ⊂Z là một tập con của không gian định chuẩn Z, và z∈Γ Ta nói véctơ v∈Z là mộtvéctơ tiếp tuyến của Γtại z¯khi đại l−ợng

(2.1) d(z+tv,Γ) t hội tụ đến 0 khi t → 0 + Tùy thuộc vào kiểu cách hội tụ của đại l−ợng (2.1) mà ta có các khái niệm tiếp tuyến khác nhau.

Tr−ớc hết, chúng ta trình bày khái niệm nón tiếp tuyến Bouligand và một số tính chất của hình nón tiếp tuyến này.

Nón tiếp tuyến Bouligand của một tập con M trong không gian định chuẩn X tại điểm x¯, thuộc bao đóng của M, được ký hiệu là T M (¯x) Tập hợp này bao gồm các véctơ v trong X thỏa mãn một điều kiện nhất định.

Nhắc lại rằng d(x, M) = inf y∈M x−y. Vì d(x, M)0với mọi x, đẳng thức (2.2) có nghĩa là

∃{t k } ⊂IR + \ {0} sao cho lim k→∞ d(¯x+t k v, M) t k = 0, t k →0 khi k→ ∞.

Nhận xét 2.2.1 T M (¯x)là hình nón chứa 0, tức là 0∈T M (¯x) và λv∈T M (¯x) ∀v∈T M (¯x), ∀λ >0.

Chứng minh (i) Ký hiệu vế phải của (2.4) bởi V Lấy v ∈ T M (¯x) Chọn {t k } ⊂ IR + \ {0}, t k → 0, sao cho giới hạn trong (2.3) bằng 0 Đặt ε k d(¯x+t k v, M) t k , ta có ε k →0 + Với mỗi k, d(¯x+t k v, M) =t k ε k < t k ε k +1 kt k

Do đó tồn tại x k ∈M để

Vậy v k →v khi k→ ∞ Vìx¯+t k v k =x k ∈M với mọi k, nên v∈V. Ng−ợc lại, giả sử v ∈ V Chọn {t k }, {v k }, t k → 0 + , v k → v, sao cho ¯ x+t k v k ∈M với mọi k Ta có d(¯x+t k v, M) t k (¯x+t k v)−(¯x+t k v k ) t k =v−v k →0.

Do đó (2.3) nghiệm đúng Suy ra v∈T M (¯x).

(ii) Giả sử {w k } ⊂T M (¯x),w k →w Với mỗi k∈IN, do tính chất (i), tồn tại t k ∈ 0,1 k

Ta có t k →0 + khik→ ∞, và v k −wv k −w k +w k −w< 1 k +w k −w →0.

Theo (i), từ đó ta ców∈T M (¯x).

(iii) Lấy v ∈ T M (¯x) Chọn {t k }, {v k }, t k → 0 + , v k → v, sao cho ¯x+ t k v k ∈M với mọi k Khi đó, v k ∈ 1 t k (M −x)¯ ⊂cone(M−x)¯ ⊂cone(M−x).¯ Vì v k → v, nên ta cóv∈cone(M−x).¯ 2

Nón tiếp tuyến Bouligand không nhất thiết là nón lồi.

Ví dụ 2.2.1 Đặt M ={x = (x 1 , x 2 ) : x 2 =|x 1 |} ⊂IR 2 Với x¯:= (0,0), ta cã

Nói chung, ta không có đẳng thức trong (2.5).

Ví dụ 2.2.2 Đặt M ={x= (x 1 , x 2 ) : x 2 =x 2 1 } ⊂IR 2 Lấyx¯= (0,0), ta có cone(M−x)¯ ={v= (v 1 , v 2 ) : v 2 0},

Dễ thấy rằng cone(M −x) =¯ {v = (v 1 , v 2) : v 2 > 0} ∪ {(0,0)} Do đó cone(M −x)¯ không phải là nón đóng; xem Hình 9.

Mệnh đề sau đây cho ta công thức tính nón tiếp tuyến Bouligand của tập nghiệm của hệ bất đẳng thức cho bởi các hàm khả vi Fréchet.

Mệnh đề 2.2.2 (Công thức tính nón tiếp tuyến Bouligand) Giả sử g i : X →

IR (i= 1, , m) là các hàm số thực liên tục trên không gian định chuẩn X. Đặt

M ={x∈X : g i (x)0 ∀i= 1, , m}. Giả sửx¯∈M Đặt I(¯x) ={i : g i (¯x) = 0} 3 Khi đó,

(ii) NếuI(¯x)=∅và g i (ã) (i= 1, , m) là khả vi Fréchet tạix, thì¯

(iii) Nếu I(¯x) = ∅, g i (ã) (i = 1, , m) khả vi Fréchet tại x, và điều kiện¯ chính quy 4 sau đ−ợc thỏa mãn

Chứng minh (i) Giả sử rằngI(¯x) =∅ Khi đó,g i (¯x)0 sao cho g i (x)0 sao cho d(¯x+tv, M) t ε ∀t∈(0, δ). Định nghĩa 2.2.3 Cho X là không gian định chuẩn Nón tiếp tuyến Clarke 8 hay nón tiếp tuyến làm tròn 9 của tậpM ⊂X tại x¯ ∈M, đ−ợc ký hiệu 10 bởi

C M (¯x), là tập hợp những véctơv ∈X thỏa mãn điều kiện

(2.10) lim t→ 0 + ,x −→ M x ¯ d(x+tv, M) t = 0. ởđây x−→ M x¯ ký hiệu giới hạn trong M∪ {x¯}. Điều kiện (2.10) có nghĩa là

6 TNTA: the intermediate tangent cone.

8 TNTA: the Clarke tangent cone.

Chữ C trong ký hiệu C M (¯ x) được Aubin và Frankowska (1990) sử dụng để vinh danh F H Clarke, một nhà toán học người Canada và là một trong những người tiên phong trong lĩnh vực giải tích không trơn Clarke sinh năm 1948 tại Montreal và đã hoàn thành luận án Tiến sĩ tại University of Washington dưới sự hướng dẫn của R T Rockafellar, một nhà toán học nổi tiếng người Mỹ.

Các tính chất (i)-(iv) có thể được chứng minh tương tự như các tính chất (i) và (ii) trong Mệnh đề 2.2.1 Đây là một bài tập không khó nhưng rất bổ ích dành cho độc giả.

(v) Ta cần chứng tỏ rằngv 1 +v 2 ∈C M (¯x)với mọiv 1 , v 2 ∈C M (¯x) Giả sử rằng v 1 , v 2 ∈C M (¯x) Giả sử {t k } ⊂IR + \ {0} và{x k } ⊂M là các dãy thỏa mãn t k → 0, x k →x Do¯ v 1 ∈C M (¯x) và do (iii), tồn tại {v 1 ,k }, v 1 ,k → v 1 , sao cho

Hiển nhiên "x k →x Vì¯ v 2 ∈C M (¯x), tồn tại{v 2 ,k }, v 2 ,k →v 2 ,

Dov 1 ,k +v 2 ,k →v 1 +v 2 , ta kết luận rằngv 1 +v 2 ∈C M (¯x).

(vi) Cho tùy ý v 1 ∈C M (¯x)vàv 2 ∈T M b (¯x) Giả sử rằng {t k } ⊂IR + \ {0}, t k →0 Do (ii) và dov 2 ∈T M b (¯x), tồn tại{v 2 ,k }, v 2 ,k →v 2 , sao cho

Dox" k M −→x¯ và dov 1 ∈C M (¯x), tồn tại{v 1 ,k }, v 1 ,k →v 1 , sao cho

(vii) Chứng minh t−ơng tự nh−(vi) 2

Tr−ớc hết, ta sẽ chứng tỏ rằng v = 1∈T M (¯x) Đặt t k = 1

Vậy T M (¯x) = IR + Do Mệnh đề 2.2.3(i), T M b (¯x) ⊂ T M (¯x) = IR + Nếu ta chứng minh đ−ợc rằng v = 1∈/ T M b (¯x), thì T M b (¯x) ={0} Giả sử phản chứng: v= 1∈T M b (¯x) Khi đó

3, nên (2.12) là sai Vậy ta phải có v= 1 ∈/ T M b (¯x).

Ví dụ 2.2.4 (T M b (¯x)=C M (¯x)) Lấy ¯x= (0,0) ∈IR 2 và

Thật vậy, các đẳng thức T M b (¯x) = T M (¯x) = M là hiển nhiên Vì C M (¯x) ⊂

T M b (¯x), nên để chứng minh rằng C M (¯x) ={0} ta chỉ cần chứng tỏ rằngv 1 :(1,0)∈/C M (¯x) vàv 2 := (0,1)∈/ C M (¯x) Nếu v 1 ∈C M (¯x), thì

Lấy t k = 1/k, x k = (0,1/k) (k= 1,2, ) Vì t k →0 + vàx k M −→x, nên từ¯ (2.13) ta suy ra k→∞ lim d(x k +t k v 1 , M) t k = 0. Đẳng thức này không thể xảy ra, bởi vì d(x k +t k v 1 , M) t k = d((0, 1 k ) + 1 k (1,0), M)

= 1 với mọi k∈IN Vậyv 1 ∈/C M (¯x) Do tính đối xứng, ta cũng có v 2 ∈/C M (¯x). Tập m−ợt, tập có tính chất khả vi, tập chính quy tiếp tuyến: Định nghĩa 2.2.4.

1 Ta nói M là m−ợt 11 tại x¯ ∈ M nếu ánh xạ đa trị T M (ã) : X ⇒ X, x → T M (x), là nửa liên tục dưới tại x (Ta đặt¯ T M (x) = ∅ với mọi x /∈ M.

2 Ta nói M là có tính chất khả vi 12 tại x¯∈M nếuT M b (¯x) =T M (¯x).

3 Ta nói M là chính quy tiếp tuyến 13 tại x¯∈M nếuC M (¯x) =T M (¯x).

Một tập M được coi là mờ (tương ứng, có tính chất khả vi, chính quy tiếp tuyến) nếu nó có tính chất mờ (tương ứng, khả vi, chính quy tiếp tuyến) tại mỗi điểm thuộc tập M.

Chúng ta sẽ trở lại với các khái niệm trong Định nghĩa 2.2.4 sau khi chứng minh rằng nón tiếp tuyến Bouligand, bao gồm nón tiếp tuyến trung gian và nón tiếp tuyến Clarke, có thể được biểu diễn như giới hạn Painlevé-Kuratowski của một họ tập hợp.

Đạo hàm

Lưu ý rằng, đối với ví dụ đang xét, ta không thể tìm được véctơv 0 ∈X =IR 2 nào thỏa mãn điều kiện (b) trong (2.19).

Bài tập 2.2.8 Cho ∆ = X = IR 2 , x ¯ = (1, 1), và

Tính các hình nón tiếp tuyến T M (¯ x), T M b (¯ x) và C M (¯ x) (Kết quả:

C M (¯ x) = T M b (¯ x) = T M (¯ x) = {v = (v 1 , v 2 ) : v 1 0, v 2 = 3v 1 }; xem Hình 11 ở trang tr−ớc.)

ChoX và Y là các không gian định chuẩn, và F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị Đạo hàm contingent, hay còn gọi là đạo hàm Bouligand, DF z ¯(ã) : X ⇒ Y của F tại điểm z¯ (¯x,y)¯ ∈ gphF là ánh xạ đa trị có đồ thị trùng với hình nón tiếp tuyến Bouligand Tgph F (¯z).

Nếu F ≡ f là ánh xạ đơn trị, ta ký hiệu Df ¯ x (ã) thay cho DF (¯ x, f (¯ x )) (ã) Đạo hàm kề D b F z ¯ (ã) của F tại điểm ¯ z = (¯x, y)¯ ∈ gph F là ánh xạ đa trị, với đồ thị trùng với hình nón tiếp tuyến trung gian Tgph b F (¯z).

Nếu F ≡f là ánh xạ đơn trị, thì ta viếtD b f ¯ x (ã) thay cho D b F (¯ x,f (¯ x )) (ã). Định nghĩa 2.3.3(Đạo hàm Clarke) Đạo hàm Clarke 18 CF z ¯(ã) :X ⇒Y của

F tại điểmz¯= (¯x,y)¯ ∈gphF là ánh xạ đa trị có đồ thị trùng với hình nón tiếp tuyến Clarke Cgph F (¯z), tức là

Chúng tôi vẫn chưa tìm được từ thích hợp để dịch thuật ngữ "contingent" sang tiếng Việt Khi được sử dụng như một tính từ, "contingent" mang nghĩa là bất định, tùy chọn hoặc ngẫu nhiên.

Cụm từ “contingent derivative” được dịch là “đạo hàm tiếp liên”, tuy nhiên cách dịch này có thể không chính xác Trong tiếng Việt, thuật ngữ “tiếp liên” dường như không tồn tại, không rõ nghĩa và cũng không được ghi nhận trong Từ điển tiếng Việt của Giáo sư Hoàng Phê cùng các đồng tác giả.

18 Đạo hàm Clarke CF z ¯ (ã) còn đ−ợc gọi là đạo hàm tiếp tuyến làm tròn 19

Nếu F ≡f là ánh xạ đơn trị, thì ta viếtCf x ¯(ã) thay cho CF (¯ x,f (¯ x )) (ã).

Khái niệm đạo hàm được xây dựng dựa trên các cấu trúc hình học, cụ thể là các nón tiếp tuyến của đồ thị ánh xạ đa trị tại một điểm xác định Trong Chương 4 của giáo trình, chúng ta sẽ tìm hiểu về đối đạo hàm, một ánh xạ đa trị từ không gian đối ngẫu Y∗ vào không gian đối ngẫu X∗, mang lại thông tin về tốc độ thay đổi của ánh xạ đa trị trong các không gian nền Đối đạo hàm được hình thành từ các nón pháp tuyến của đồ thị ánh xạ đa trị tại một điểm cụ thể Ngoài hai phương pháp xây dựng xấp xỉ bậc nhất, còn có thể áp dụng thủ thuật vô hướng hóa để xem xét ánh xạ đa trị.

F :X ⇒Y từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y bằng việc xét hàm tựa

Nếu F là ánh xạ đa trị có giá trị lồi đóng, thì họ hàm số thực

C F (y ∗ ,ã) :X →IR (với y ∗ ∈Y ∗) được định nghĩa để lưu giữ đầy đủ thông tin về F Nhờ vào họ hàm số {C F (y ∗ ,ã)} với y∗∈Y ∗, chúng ta có thể khôi

Khảo sát các tính chất vi phân của hàm số thực {C F (y ∗ ,ã)} với y ∗ ∈ Y ∗ cho thấy tốc độ thay đổi của F, qua đó áp dụng phương pháp hàm tựa Các nghiên cứu của Phó Giáo s− Phạm Huy Điển và các tác giả khác (Dien, 1982, 1985; Dien và Sach, 1989; Dien và Yen, 1991; Thibault, 1991) đã chứng minh hiệu quả của phương pháp này trong việc xác định điều kiện cần cho cực trị trong bài toán tối ưu với ràng buộc đa trị, cũng như các tính chất vi phân của hàm giá trị tối ưu Khái niệm sơ đạo hàm 20 của ánh xạ đa trị được Giáo s− Phạm Hữu Sách đề xuất cũng dựa trên hàm tựa, trong đó sơ đạo hàm của F : X ⇒ Y tại z¯ = (¯x, y)¯ ∈ gphF là một ánh xạ đa trị T : X ⇒ Y, Lipschitz địa phương tại 0 ∈ X Đối với mọi ε > 0, tồn tại lân cận U của x¯ sao cho với mọi x ∈ U, có tồn tại y ∈ F(x) với tính chất sup y ∗ ∈ B ¯ Y ∗ y ∗ , y − y¯ − [C T (y ∗ , x − x¯) − C T (y ∗ , 0)] ε x − x¯, trong đó C T (y ∗ , x) là hàm tựa của T Từ khái niệm này, ta có thể đưa ra các định lý ánh xạ mở, hàm ẩn, hàm ngược.

Đạo hàm là một khái niệm quan trọng trong toán học, bao gồm các lý thuyết như đạo hàm của hàm hợp, định lý giá trị trung bình và quy tắc nhân tử Lagrange Nguyên lý tựa dạng tổng quát cũng đóng vai trò quan trọng trong việc áp dụng các khái niệm này Để hiểu rõ hơn, người đọc có thể tham khảo các ví dụ cụ thể trong tài liệu từ Sach (1988a, b) và nghiên cứu của Dien và Sach.

Nghiên cứu gần đây của Gorokhovich và Zabreiko (2005) đã mở rộng khái niệm về đạo hàm của ánh xạ đa trị dựa trên khái niệm hàm tựa.

Dựa trên các khái niệm đạo hàm contingent và đạo hàm Clarke, tính lồi và tính lồi theo nón của ánh xạ đa trị F :X ⇒ Y có thể được đặc trưng thông qua tính đơn điệu và tính đơn điệu theo nón của các họ ánh xạ đạo hàm {DF z (ã)} z∈ gph F và {CF z (ã)} z∈ gph F Các nghiên cứu liên quan đã được trình bày trong các tài liệu của Sach (1996), Sach và Yen (1997) Đặc biệt, F được coi là ánh xạ đa trị lồi theo nón K (hay K-lồi) nếu với mọi x1, x2 ∈ X và t ∈ (0,1), điều kiện tính lồi được thỏa mãn.

Trong trường hợp đặc biệt, khi K = {0} và F là ánh xạ có giá trị đóng, khái niệm này tương đương với ánh xạ đa trị lồi đã được thảo luận trong Chương 1 Chúng ta nói rằng ánh xạ đạo hàm contingent {DF z (ã)} với z thuộc gph F là đơn điệu theo nón K, hay K-đơn điệu, nếu với mọi điểm z1 = (x1, y1) và z2 = (x2, y2) thuộc gph F, ta có

, ở đó F(x) =ˆ F(x) +K là ánh xạ mở rộngcủa F theo nón K Tính lồi theo nón K của họ ánh xạ đạo hàm Clarke {CF z (ã)} z∈ gph F đ−ợc định nghĩa hoàn toàn t−ơng tự.

Có thể sử dụng đạo hàm contingent để xây dựng các điều kiện cần cực trị trong các tối −u véctơ đa trị (xem D T Luc (1989), D T Luc và C Malivert (1992)).

Bài tập 2.3.1 Xét ánh xạ đa trị F : IR ⇒ IR cho bởi công thức

Để tính các ánh xạ đạo hàm DF z ¯ (ã), D b F ¯ z (ã) và CF ¯ z (ã) tại điểm ¯ z = (1, 1), cần lưu ý rằng đồ thị của hàm F trùng với tập M trong Bài tập 2.2.8 Hãy áp dụng kết quả từ việc tính các hình nón tiếp tuyến của M tại điểm x ¯ = (1, 1) để hoàn thành bài toán này.

Professor Petr Petrovich Zabreiko from Belarus State University in Minsk is a renowned expert in functional analysis His notable Vietnamese students include Associate Professor Nguyen Hong Thai from the University of Szczecin in Poland and Associate Professor Nguyen Van Minh from the National University of Hanoi and the University of West Georgia in the United States.

Định lý 2.3.2 khẳng định rằng nếu X là không gian Banach và Y là không gian định chuẩn hữu hạn chiều, thì với ánh xạ đa trị đóng F: X ⇒ Y, nếu z̄ = (x̄, ȳ) thuộc đồ thị của F và rge(CF z̄) = Y, thì ȳ nằm trong phần nội của rgeF Hơn nữa, ánh xạ ngược F − 1 là ánh xạ đa trị giả-Lipschitz tại điểm (x̄, ȳ).

(a) Phát biểu Định lý 2.3.1 cho trường hợp F = f là ánh xạ đơn trị khả vi Fréchet tại mọi điểm trong một lân cận của điểm x ¯ ∈ X

(b) Cho X = Y = IR, F (x) = { f (x) }, f (x) = x 3 Hãy tìm tất cả những điểm x ¯ ∈ IR sao cho Định lý 2.3.1 áp dụng đ−ợc với z ¯ := (¯ x, f (¯ x)).

(a) Phát biểu Định lý 2.3.2 cho trường hợp F = f là ánh xạ đơn trị khả vi Fréchet liên tục trong một lân cận của điểm x ¯ ∈ X

(b) Cho X = Y = IR, F (x) = {f (x)}, f (x) = x 4 Hãy tìm tất cả những điểm x ¯ ∈ IR sao cho Định lý 2.3.2 áp dụng đ−ợc với z ¯ := (¯ x, f (¯ x)).

á nh xạ đa trị đo đ−ợc, lát cắt đo đ−ợc

Ánh xạ đa trị đo được là một khái niệm mở rộng tự nhiên từ ánh xạ đơn trị trong giải tích hàm Một trong những kết quả quan trọng liên quan đến khái niệm này là định lý von Neumann, khẳng định rằng ánh xạ đa trị đo được có giá trị khác rỗng có lát cắt đo được.

Trong mục này, giả sử Y là một không gian mêtric đầy đủ và khả li 1, cùng với A là một σ-đại số các tập con của tập hợp X Các tập thuộc A được gọi là các tập đo được Khi xét tập X với σ-đại số A, cặp (X, A) được gọi là không gian đo được Ký hiệu σ-đại số Borel của không gian mêtric Y là B.

B làσ-đại số nhỏ nhất chứa tất cả các tập mở của Y.

Nhắc lại rằng họ Ađ−ợc gọi là mộtσ-đại số nếu nó thỏa mãn ba tính chất sau:

(iii) hợp của một họ tùy ý gồm một số đếm đ−ợc các tập thuộc A là một tËp thuécA.

Từ (i)-(iii) suy ra rằng ∅ ∈ A và giao của một họ tùy ý gồm một số đếm đ−ợc các tập thuộc Alà một tập thuộc A.

Trong định nghĩa và các khẳng định ở bài tập 3.1.1–3.1.3, chúng ta không cần giả định Y là không gian mêtric đủ hay khả li, mà chỉ cần Y là không gian tôpô Khi đó, B vẫn được ký hiệu là σ-đại số sinh ra bởi các tập mở của Y.

B chứa tất cả các tập đóng của Y Định nghĩa ánh xạ đơn trị đo được: ánh xạ f: X → Y được gọi là đo được nếu với mỗi tập mở V ⊂ Y, ảnh ngược f −1(V) = {x ∈ X : f(x) ∈ V} là tập thuộc A Do đó, ảnh ngược của mỗi tập mở là tập đo được.

Dễ thấy rằng hàm số thực ϕ :X → IR là đo đ−ợc khi và chỉ khi với mọi α∈IRtập hợp ϕ − 1 ((−∞, α)) :={x∈X : ϕ(x)< α} là đo đ−ợc.

Bài tập 3.1.1 yêu cầu chứng minh rằng ánh xạ đơn trị f : X → Y là đo được khi và chỉ khi với mọi tập đóng C ⊂ Y, tập ảnh ngược f −1 (C) thuộc σ-algebra A Điều này có nghĩa là mỗi tập đóng trong Y sẽ tạo ra một tập đo được trong X thông qua ánh xạ f.

Bài tập 3.1.2 Chứng minh rằng ánh xạ đơn trị f : X → Y là đo đ−ợc khi và chỉ khi

(ảnh ng−ợc của mỗi tập Borel là một tập đo đ−ợc.)

1 Ta nói Y là không gian khả li nếu tồn tại tập con đếm đ−ợc trù mật trong Y

2 TNTA: measurable space; xem Rudin (1987), tr 8.

3 Giả thiết Y là không gian mêtric đủ, khả li chỉ cần cho các định lý về sự tồn tại lát cắt đo đ−ợc (xem các định lý 3.1.1–3.1.3).

3.1 ánh xạ đa trị đo đ−ợc, lát cắt đo đ−ợc 79

Bài tập 3.1.3 Cho f : X → Y là giới hạn theo điểm của một dãy ánh xạ đo đ−ợc f k : X → Y (k ∈ IN), nghĩa là f (x) = lim k→∞ f k (x) ∀ x ∈ X

Chứng minh rằng f là ánh xạ đo đ−ợc (Gợi ý: Do Y là khả li, tồn tại tập điểm {y i : i ∈ N} trù mật trong Y Khi đó, với mỗi tập mở V ⊂ Y ta có f −1 (V )

) ánh xạ đơn trị đ−ợc gọi làđơn giản nếu nó chỉ có một số hữu hạn giá trị.

Bài tập 3.1.4 chứng minh rằng ánh xạ đơn giản f: X → Y là đo được khi và chỉ khi ảnh ngược của mỗi điểm thuộc Y là một tập đo được (có thể rỗng) thuộc X Định nghĩa 3.1.2 mở rộng khái niệm ánh xạ đơn trị đo được trong Định nghĩa 3.1.1 Theo đó, nếu F: X ⇒ Y là ánh xạ đa trị có giá trị đóng, thì chúng ta sẽ xem xét tính đo được của nó.

F là đo đ−ợc nếu với mỗi tập mởV ⊂Y,

F − 1 (V) :={x∈X : F(x)∩V =∅} là tập thuộc A (ảnh ng−ợc của mỗi tập mở là tập đo đ−ợc.)

Ví dụ 3.1.1 Cho X = [−1,2] ⊂IR, A là σ-đại số các tập con đo đ−ợc theo

Lebesgue 4 của X, Y = IR, F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị đ−ợc cho bởi công thức F(x) ={−1} nếux 0, F(0) = [−1,1] Ta có

F là ánh xạ đa trị đo đ−ợc; xem Hình 12.

Bài tập 3.1.5 Sử dụng Định nghĩa 3.1.2, hãy chứng tỏ rằng ánh xạ F nói trong ví dụ trên là ánh xạ đa trị đo đ−ợc.

Bài tập 3.1.6 yêu cầu xây dựng một ví dụ về ánh xạ đa trị không đo được F: X ⇒ Y, dựa trên các tập hợp đã cho trong Ví dụ 3.1.1 Để thực hiện điều này, ta có thể chọn K là một tập con của (0, 1) không đo được theo Lebesgue, như đã được đề cập trong tài liệu của Rudin (1987, tr 53-54) Ánh xạ F được định nghĩa như sau: F(x) = {1} cho mọi x thuộc K và F(x) = {0} cho mọi x thuộc khoảng [−1, 2] nhưng không thuộc K.

4 Xem Rudin (1987) và Hoàng Tụy (2003).

Bài tập 3.1.7 Chứng minh rằng: a) Nếu F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị đo đ−ợc, thì dom F ∈ A; b) Nếu F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị đo đ−ợc, thì với mọi y ∈ Y ta có

Nếu F: X ⇒ Y là ánh xạ đa trị không nhất thiết có giá trị đóng và thỏa mãn F −1(V) ∈ A với mọi tập mở V ⊂ Y, thì ánh xạ F ¯ : X ⇒ Y được định nghĩa bởi F ¯ (x) = F(x) với mọi x ∈ X sẽ là ánh xạ đa trị đo được Hơn nữa, để biểu diễn {y} dưới dạng giao của một số đếm được các hình cầu mở, ta có thể áp dụng định nghĩa F −1({y}) ∈ A.

Việc xây dựng khái niệm ánh xạ đa trị đo được, như đã thể hiện trong nhận xét 3.1.1, cho thấy rằng các ánh xạ nhận giá trị đóng không phải là một trường hợp quá cực đoan.

Cần lưu ý rằng đối với các ánh xạ đa trị, tính đo được yếu chưa chắc đã tương đương với tính chất “ảnh ngược của mỗi tập đóng là tập đo được” Điều này có nghĩa là ảnh ngược của mỗi tập Borel qua ánh xạ đa trị đo được yếu có thể không phải là một tập đo được Định lý 3.1.3 cung cấp điều kiện đủ cho sự tương đương giữa tính đo được yếu và tính đo được mạnh Để đơn giản, các ánh xạ đa trị thỏa mãn điều kiện “ảnh ngược của mỗi tập mở là tập đo được” sẽ được gọi là ánh xạ đa trị đo được, như đã được nêu trong Aubin và Frankowska (1990), trang 307–308.

3.1 ánh xạ đa trị đo đ−ợc, lát cắt đo đ−ợc 81

Bài tập 3.1.8 yêu cầu chứng minh rằng tập mở V ⊂ Y trong không gian metric khả li có thể được biểu diễn dưới dạng hợp của một số đếm được các hình cầu mở trong Y Để thực hiện điều này, giả sử Y được định nghĩa như một tập hợp {y_i : i ∈ IN} Họ các hình cầu {B(y_i, τ_i) : i ∈ IN, τ_i ∈ Q, τ_i > 0} là đếm được Đối với mỗi điểm y ∈ V, tồn tại một bán kính ρ = ρ(y) > 0 sao cho hình cầu B(y, ρ) nằm trong tập X Chọn i ∈ IN sao cho y_i nằm trong hình cầu B(y, ρ/4) và sau đó chọn τ_i ∈ Q, τ_i > 0 sao cho ρ/4 < τ_i < ρ/2.

Bài tập 3.1.9 yêu cầu chứng minh rằng tập mở V ⊂ Y trong không gian mêtric khả li có thể được biểu diễn dưới dạng hợp của một số đếm được các hình cầu đóng trong Y Để làm rõ điều này, chú ý rằng với ký hiệu trong bài tập, tồn tại y thuộc B(y ¯ i , τ i) nằm trong V, từ đó khẳng định rằng V có thể được tạo thành từ các hình cầu đóng.

Bài tập 3.1.10 yêu cầu chứng minh rằng ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y là đo đ−ợc trong không gian đo đ−ợc (X, A) và không gian mêtric khả li Y, với điều kiện rằng F −1 (C) ∈ A cho mọi tập đóng C ⊂ Y Gợi ý cho bài tập là xem xét tập mở V ⊂ Y, từ đó có thể biểu diễn V dựa trên khẳng định ở bài tập 3.1.9.

Lát cắt là ánh xạ đơn trị f: X → Y thỏa mãn điều kiện f(x) ∈ F(x) với mọi x ∈ X Nếu f là ánh xạ đo được, nó được gọi là lát cắt đo được của F Trong trường hợp X là tập con trong không gian định chuẩn và f là ánh xạ liên tục hoặc Lipschitz địa phương, thì f được xem là lát cắt liên tục hoặc lát cắt Lipschitz địa phương của F Theo định lý von Neumann (1949), trong không gian đo được (X, A) và không gian mêtric Y đủ khả li, nếu F: X ⇒ Y là ánh xạ đa trị đo được, có giá trị đóng và khác rỗng, thì tồn tại một lát cắt đo được f: X → Y của F.

Tập hợp Y 0 ={y i : i∈IN} là một tập con đếm được trù mật trong Y Chúng ta sẽ xây dựng một dãy ánh xạ đo được f k :X→Y (k= 0,1,2, ) với giá trị nằm trong Y 0, sao cho f k hội tụ theo điểm đến một lát cắt của F khi k tiến tới vô cùng Kết quả từ Bài tập 3.1.3 cho thấy rằng f là lát cắt đo được cần tìm.

Với mỗi x∈X, giả sửi=i(x) là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho

Tích phân của ánh xạ đa trị

Trong suốt mục này,(X,A, à) là một không gian có độ đo đủ, σ−hữu hạn, và

Y là không gian Banach khả li 12

Ta sử dụng ký hiệu L 1 (X;Y, à) để chỉ tập hợp các ánh xạ đơn trị đo đ−ợc khả tích từ X vào Y, tức là

Giả sử F :X ⇒ Y là ánh xạ đa trị có giá trị đóng, khác rỗng Ta ký hiệu tập hợp các lát cắt khả tíchcủa F bởi F:

Ta nóiF là giới nội khả tích 13 nếu tồn tại một hàmγ ∈L 1 (X;IR, à) sao cho

Nếu F có tính chất đó, thì mỗi lát cắt đo đ−ợc củaF là một phần tử thuộc tập

Trong bài viết này, chúng tôi đề cập đến 12 trường hợp phổ biến và ứng dụng rộng rãi nhất trong không gian X = IR^n, nơi A là σ-đại số gồm các tập con đo được theo Lebesgue của IR^n, và à là độ đo Lebesgue trên IR^n Đồng thời, Y = IR^m là không gian Euclide hữu hạn chiều, theo tài liệu của Clarke (1983, trang 111).

Trước khi định nghĩa tích phân của ánh xạ đa trị, cần lưu ý đến phép lấy tích phân của các hàm nhận giá trị véctơ Định nghĩa 3.2.1 (theo Rudin, 1991, trang 77) nêu rõ rằng nếu f: X → Y là ánh xạ đo được, thì với mỗi y∗ ∈ Y∗, hàm số y∗ ◦ f được xác định theo một công thức nhất định.

(2.1) (y ∗ ◦f)(x) =y ∗ , f(x) ∀x∈X là khả tích 15 Nếu tồn tại véctơy ∈Y sao cho y ∗ , y )

X (y ∗ ◦f)(x)dà ∀y ∗ ∈Y ∗ thì ta nói tích phân của f trên X theo độ đo à bằng y, và viết

Tính duy nhất của tích phân của hàm nhận giá trị véctơ là hiển nhiên, vì không thể có nhiều hơn một phần tử y thỏa mãn điều kiện (2.2) Nếu X là không gian tôpô và A chứa σ-đại số Borel của X, với f: X→Y là hàm liên tục và f(X)⊂Y là tập compắc, thì tồn tại tích phân (2.2) theo Rudin (1991, tr 77) Đặc biệt, nếu Y = IR m và f = (f 1, , f m), thì tích phân (2.2) tồn tại khi và chỉ khi mỗi hàm f i (i= 1, , m) là khả tích.

Đối với các hàm véctơ nhận giá trị trong không gian Banach hữu hạn chiều, người ta thường lấy công thức (2.3) làm định nghĩa tích phân*

R J Aumann đã đề xuất định nghĩa tích phân của ánh xạ đa trị bằng cách gọi tập hợp các tích phân của các lát cắt đo được khả tích của F là tích phân của F Theo định nghĩa này, tích phân được xác định dựa trên các lát cắt khả tích, góp phần làm rõ khái niệm tích phân trong bối cảnh ánh xạ đa trị.

X F dà của ánh xạ đa trị đo đ−ợc F :X ⇒Y là tập hợp các tích phân của các lát cắt đo đ−ợc khả tích củaF:

X F dàlà một tập con củaY.

15 Nếu f ∈ F, thì f có tính chất đó.

Bài tập 3.2.1 Cho X, A và F nh− trong Ví dụ 3.1.1 Cho à là độ đo Lebesgue trên đoạn [−1, 2] Tính tích phân

X F dà (Gợi ý: Với mỗi f ∈ F ta có f (x) ∈ F (x) với mọi x, ngoại trừ x ∈ X f , ở đó X f là một tập có độ đo 0 Đặt f ˜ (x) = f (x) với mọi x ∈

X \ X f và chọn tùy ý f ˜ (x) ∈ F(x) với x ∈ X f Do rge F là giới nội, nên f ˜ ∈ F và ta có )

Trong công thức (2.4), chúng ta chỉ cần xem xét các lát cắt f thuộc tập F sao cho f(x) thuộc F(x) với mọi x thuộc X Tập hợp các lát cắt này được ký hiệu là F0 Một lát cắt f thuộc F0 khi và chỉ khi tồn tại một giá trị α trong khoảng [-1, 1] sao cho f(x) = -1 khi x < 0, f(0) = α, và f(x) = 1 khi x > 0.

Tích phân của ánh xạ đa trị sở hữu nhiều tính chất hấp dẫn, bao gồm một số đặc điểm tương tự như tích phân của các hàm số thực.

Mệnh đề 3.2.1 (xem Aubin và Frankowska (1990), tr 327) Giả sử F i :X ⇒

Y (i= 1,2) là các ánh xạ đa trị có giá trị đóng, khác rỗng Đặt

Khi đó, các tính chất sau nghiệm đúng:

X C F (p, x)dà, ở đó C F (p, x) = sup{p, y : y∈F(x)} là hàm tựa của F;

Tập A ∈ A được gọi là một nguyên tử của độ đo nếu độ đo của A lớn hơn 0 và với mọi tập con A ⊂ A, độ đo của A hoặc bằng 0 hoặc bằng độ đo của A Nếu độ đo không chứa các nguyên tử, nó được gọi là không có nguyên tử.

Ví dụ 3.2.1 Độ đo Lebesgue trên IR n là độ đo không có nguyên tử.

Điểm w∈K được gọi là điểm cực biên của tập lồi K trong không gian định chuẩn nếu không có u, v ∈ K và λ ∈ (0,1) sao cho w = (1−λ)u + λv Tập hợp các điểm cực biên của K được ký hiệu là extrK.

Sau đây là một kết quả về tính lồi của tích phân Aumann. Định lý 3.2.1(R J Aumann, G Debreu và C Olech; xem Aubin và Frankowska

(1990), tr 329, 419) Cho F :X ⇒ IR m là ánh xạ đa trị đo đ−ợc có giá trị đóng, khác rỗng Nếuàlà độ đo không có nguyên tử, thì

X F dàlà tập lồi và extr co

Ngoài ra, nếu F còn là giới nội khả tích, thì

Chứng minh của định lý này (xem Aubin và Frankowska (1990), tr 333–

Theo Định lý 3.2.2 (Định lý về tính lồi của Lyapunov), nếu à là độ đo không có nguyên tử và hàm f thuộc không gian L 1 (X;IR m , à), thì tập hợp các tích phân của hàm véctơ khả tích theo các tập đo đ−ợc thuộc A sẽ có tính lồi Điều này có nghĩa là các tập hợp này duy trì tính chất lồi trong các điều kiện nhất định, góp phần vào việc hiểu rõ hơn về cấu trúc của các hàm véctơ trong không gian đo.

A∈A là tập con lồi, compắc trongIR m

Trong Định lý 3.2.1, nếu thay cho IR n ta xét một không gian Banach vô hạn chiều Y, thì ch−a chắc tích phân

Tập lồi X F đã được xác định, và bao đóng của nó cũng là một tập lồi Định lý 3.2.3 của J J Uhl, F Hiai và H Umegaki, được trình bày trong công trình của Aubin và Frankowska, khẳng định điều này.

(1990), tr 330, 419) Cho Y là không gian Banach khả li, F :X ⇒Y là ánh xạ đa trị đo đ−ợc có giá trị đóng, khác rỗng Nếuàlà độ đo không có nguyên tử, thì

! , thì phần tử f ∈ F thỏa mãn

Lát cắt liên tục và lát cắt Lipschitz

(iv) NếuF là ánh xạ đa trị giới nội khả tích, thì

Chứng minh của định lý này có thể xem trong Aubin và Frankowska (1990), tr 340-342.

Bài tập 3.2.2 Xét ánh xạ đa trị F : IR ⇒ IR cho bởi công thức

F (x) = co{sin x, cos x} a) Chứng minh F là đo đ−ợc, giới nội khả tích trên [0, 2π]. b) TÝnh tÝch ph©n

(Gợi ý: F là ánh xạ đa trị liên tục và giới nội trên [0, 2π] Theo Định lý 3.2.1,

0 F dà là lồi, compắc Vẽ tập gph F tr−ớc khi tiến hành tính toán Kết quả:

Lát cắt liên tục và lát cắt Lipschitz là những khái niệm quan trọng trong toán học Định lý 3.3.1 của E Michael (1956) nêu ra điều kiện đủ để ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới có lát cắt liên tục Cụ thể, nếu X là không gian mêtric compắc và Y là không gian Banach, thì ánh xạ đa trị F: X ⇒ Y, với tính chất nửa liên tục và giá trị lồi đóng khác rỗng, sẽ đảm bảo rằng F có lát cắt liên tục.

Chứng minh của định lý được đề cập có thể tham khảo trong tác phẩm của Aubin và Frankowska (1990) trên trang 357, hoặc trong Chiêu (2004) Đặc biệt, trong Định lý 3.3.1, giả thiết về tính compact của không gian metric X có thể được loại bỏ, như đã chỉ ra trong Zeidler (1986) trang 466 Hơn nữa, ánh xạ đa trị nửa liên tục với giá trị lồi đóng khác rỗng, từ một không gian metric compact vào một không gian Banach, chưa chắc đã tồn tại lát cắt liên tục.

Ánh xạ đa trị nửa liên tục có giá trị lồi đóng khác rỗng từ không gian mêtric compact vào không gian Banach thường có lát cắt liên tục Cụ thể, hãy xem xét không gian X = [-1, 1] và ánh xạ đa trị F: X ⇒ ℝ được định nghĩa bởi một công thức nhất định Việc chứng minh điều này có thể được thực hiện bằng cách phân tích tính chất của ánh xạ và áp dụng các định lý liên quan đến sự liên tục và sự tồn tại của lát cắt.

Hàm F(x) được định nghĩa như sau: F(x) = {-1} với mọi x < 0, F(0) = [-1, 1], và F(x) = {1} với mọi x > 0 Định nghĩa 3.3.1 nêu rõ rằng cho không gian metric X và không gian Banach Y, ánh xạ đơn trị f: X → Y được gọi là Lipschitz địa phương nếu với mọi điểm ¯x ∈ X, tồn tại δ > 0 và K > 0 sao cho |f(x) - f(x')| ≤ K · d(x, x') với mọi x, x' ∈ B(¯x, δ).

Nếu tồn tại hằng số >0 sao cho f(x) − f(x)d(x, x) với mọi x, x ∈ X, thì ánh xạ F được gọi là ánh xạ Lipschitz trên X Ngoài ra, ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y được xem là Lipschitz địa phương nếu với mọi điểm ¯ x ∈ X, tồn tại δ >0 và >0 thỏa mãn điều kiện tương ứng.

Nếu tồn tại >0 sao cho

Nếu F(x) ⊂ F(x) + d(x, x) ¯B với mọi x, x ∈ X, thì F được gọi là ánh xạ đa trị Lipschitz trên X Định lý sau đây đề cập đến sự tồn tại của lát cắt xấp xỉ cho ánh xạ đa trị nửa liên tục Định lý 3.3.2 (A Cellina; xem Aubin và Frankowska (1990), tr 358–360).

X là không gian mêtric compact, và Y là không gian Banach F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị nửa liên tục với giá trị lồi khác rỗng Từ đó, tồn tại ánh xạ đơn trị Lipschitz địa phương f ε : X → Y sao cho đồ thị của f ε nằm trong B(gphF, ε) và f ε (x) thuộc co(rgeF) Định nghĩa khoảng cách giữa hai điểm được xác định bởi d((x, y), (x', y')) := max{d(x, x'), y - y'}.

Trong Định lý 3.3.2, giả thiết về tính compắc của Xcó thể bỏ đi đ−ợc (xem Aubin và Frankowska (1990), tr 358).

Nhiều tác giả đã áp dụng Định lý Michael về sự tồn tại lát cắt liên tục để nghiên cứu nghiệm của bất đẳng thức biến phân suy rộng và các bài toán cân bằng Đặc biệt, Định Cellina về sự tồn tại của lát cắt xấp xỉ Lipschitz địa phương cũng có thể được sử dụng để chứng minh định lý tồn tại nghiệm.

Lát cắt liên tục và lát cắt Lipschitz đóng vai trò quan trọng trong bất đẳng thức biến phân suy rộng với toán tử đa trị nửa liên tục Đặc biệt, vi phân của các hàm lồi, như ∂ϕ(ã) với ϕ(x) := x (x ∈ IR n), và vi phân Clarke của các hàm Lipschitz địa phương thường chỉ là ánh xạ đa trị nửa liên tục, không phải nửa liên tục dưới Điều này làm nổi bật sự cần thiết của Định lý Cellina trong nghiên cứu này.

Ví dụ 3.3.1 (xem Chiêu (2004), tr 23) Đặt X = IR và xét ánh xạ đa trị

F :X → IR cho bởi công thức F(x) ={0} với mọi x 0 Ta có F là nửa liên tục trên ở trong X Ngoài ra,

F có giá trị lồi, compắc và không rỗng Mặc dù F không có lát cắt liên tục, nhưng vẫn tồn tại lát cắt xấp xỉ Lipschitz địa phương với độ chính xác tùy ý Cụ thể, với mỗi ε > 0, ánh xạ đơn trị Lipschitz f ε (x) được xác định.

1 nÕu x 1 2 ε là một lát cắt xấp xỉ của F với độ chính xác ε, bởi vì gphf ε ⊂B(gphF, ε).

Định lý 3.3.3 (Aubin và Frankowska, 1990, tr 372) đưa ra điều kiện đủ cho sự tồn tại của lát cắt Lipschitz trong không gian mêtric X Cụ thể, nếu F: X ⇒ IR^n là ánh xạ đa trị Lipschitz có giá trị lồi và đóng khác rỗng, thì F sẽ có lát cắt Lipschitz.

Chứng minh của định lý này có thể xem trong Aubin và Frankowska (1990), hoặc trong Chiêu (2004).

19 Xem Kien, Yao và Yen (2007).

20 Xem công thức (4.3) và Nhận xét 3.4.1 d−ới đây.

Tích phân Aumann của ánh xạ d−ới vi phân Clarke

Các kết quả trình bày trong mục này thuộc về Nguyễn Huy Chiêu (xem Chiêu

(2004, 2006a)) Bạn đọc có quan tâm xin đọc các chứng minh chi tiết trong luận văn và trong bài báo đó.

Trong lý thuyết tích phân Lebesgue, người ta đã chứng minh rằng nếu f : [a, b] → IR là hàm số Lipschitz xác định trên đoạn [a, b] ⊂ IR, thì công thức Newton-Leibnitz

Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá công thức b(a, f(t)) = f(b) - f(a), với độ đo Lebesgue trên đoạn [a, b] và nhấn mạnh rằng f là Lipschitz trên đoạn này, dẫn đến sự tồn tại của đạo hàm Fréchet f(x) hầu khắp theo định lý Rademacher Chúng ta sẽ xem xét cách thức mà vế phải của công thức này thay đổi khi toán tử đạo hàm f(a) và tích phân Lebesgue ở vế trái được thay thế bằng ánh xạ vi phân Clarke ∂Cl f(a) và tích phân Aumann Bài viết không chỉ trình bày lời giải cho vấn đề này mà còn đưa ra một ứng dụng thực tiễn cùng với một ví dụ minh họa thú vị.

Giả sử X là không gian Banach và f: X → IR là một hàm Lipschitz địa phương Đạo hàm theo hướng Clarke của f tại điểm x ∈ X theo hướng v ∈ X được xác định bởi một công thức cụ thể.

D−ới vi phân Clarke củaf tại x là tập hợp

Theo nhận xét 3.4.1 (xem Clarke, 1983), nếu hệ số Lipschitz của hàm f trong lân cận của x lớn hơn 0, thì ∂ Cl f(x) là một tập hợp không rỗng, lồi và compact yếu trong không gian X* Hơn nữa, với mọi x* thuộc ∂ Cl f(x) và mọi v thuộc X, ta có f 0(x; v) = max{x*, v : x* ∈ ∂ Cl f(x)}.

Nếu X là không gian hữu hạn chiều, thì ánh xạ đa trị ∂ Cl f(ã) là nửa liên tục trên tạix.

Nếu f : [a, b]→IR là hàm số Lipschitz và là độ đo Lebesgue trên [a, b], thì ánh xạ đa trị ∂ Cl f(ã) là giới nội khả tích Khẳng định này được chứng minh dễ dàng nhờ một tính chất đã nêu trong Nhận xét 3.4.1.

3.4 Tích phân Aumann của ánh xạ d−ới vi phân Clarke 99

Nhận xét 3.4.3 (xem Aubin và Frankowska (1990), tr 343) Nếu X = [a, b],

Y =R n ,à là độ đo Lebesgue trên [a, b],F :X ⇒ Y là ánh xạ đa trị giới nội khả tích, có giá trị đóng khác rỗng, thì tập hợp*

Hàm số f được gọi là chính quy tại điểm x nếu với mọi vector v thuộc không gian X, đạo hàm theo hướng f(x; v) = lim t→ 0+ (f(x + tv) - f(x)) / t tồn tại và bằng f'(x; v).

Bài tập 3.4.1 Cho f (x) = |x| và g(x) = −|x| với mọi x ∈ IR Các hàm số f : IR → IR và g : IR → IR đó có là chính quy Clarke tại

Kết quả sau đây là của Nguyễn Huy Chiêu. Định lý 3.4.1 (xem Chiêu (2004, 2006a)) Giả sử f : [a, b] → IR là hàm số Lipschitz xác định trên đoạn [a, b]⊂R Khi đó ta có

Tích phân Aumann của ánh xạ đa trị ∂ Cl f(t) được hiểu theo nghĩa tich phân Aumann, và Định lý 3.4.1 cung cấp công thức rõ ràng để tính tích phân này cho hàm số thực Lipschitz trên đoạn [a, b] ⊂ IR Để thực hiện tính toán, chỉ cần tính tích phân Lebesgue của các hàm số thực f 0 (ã;−1) và f 0 (ã; 1) trên đoạn [a, b] Kết quả này dẫn đến một hệ quả quan trọng.

Hệ quả 3.4.1 Giả sử f : [a, b]→R là hàm số Lipschitz Khi đó,

) b a ∂ Cl f(t)dà={f(b)−f(a)} khi và chỉ khi

Tích phân Lebesgue của hàm số thực là điều kiện cần và đủ để thỏa mãn (4.5), tức là (4.6) là điều kiện cần và đủ cho tích phân Aumann * b a ∂ Cl f(t)dà là tập hợp có một phần tử Ví dụ 3.4.1 dưới đây sẽ chứng minh rằng tích phân * b a ∂ Cl f(t)dà không phải lúc nào cũng tạo thành tập hợp có một phần tử.

Nhận xét 3.4.4 Theo Hệ quả 3.4.1, nếu f 0 (t; 1) +f 0 (t;−1) = 0hầu khắp trên [a, b], th×* b a ∂ Cl f(t)dt={f(b)−f(a)}.

Hệ quả 3.4.2 Giả sử f : [a, b] → IR là hàm Lipschitz, chính quy Clarke hầu khắp trên [a, b] Khi đó, đẳng thức(4.5) nghiệm đúng.

Bài tập 3.4.2 Cho f và g nh− trong Bài tập 3.4.1 Hãy kiểm chứng kết luận của Định lý 3.4.1 và các hệ quả 3.4.1, 3.4.2 đối với các hàm f và g khi lÊy [a, b] = [ − 2π, π].

H×nh 15 Định nghĩa 3.4.3(xem Clarke (1983), tr 30-31) Hàm véctơ f :X →Y, ở đó

X, Y là các không gian Banach, đ−ợc gọi là khả vi chặt 23 tại x¯ ∈X nếu tồn tại toán tử tuyến tính liên tụcD s f(¯x) :X →Y sao cho x→ ¯ x, t→ lim 0 + f(x+tv)−f(x) t =D s f(¯x)(v)

Sử dụng kết quả của R T Rockafellar (Borwein và Zhu, 2005), N H Chiêu đã phát triển một ví dụ tương tự như Ví dụ 3.4.1 Hơn nữa, trong bài viết năm 2006, Chiêu đã thiết lập các công thức tương tự như (4.4) cho dưới vi phân Fréchet và dưới vi phân Mordukhovich, và chúng ta sẽ nghiên cứu các dưới vi phân này trong Chương 4.

3.4 Tích phân Aumann của ánh xạ d−ới vi phân Clarke 101 và sự hội tụ là đều theo v trong mỗi tập con compắc của X.

Nhận xét 3.4.5 (xem Clarke (1983), tr 32) Nếu f là khả vi Fréchet liên tục tại x, thì¯ f là Lipschitz địa phương tại x¯và khả vi chặt tại x.¯

Giả sử f: [a, b] → ℝ là hàm Lipschitz Nếu f khả vi chặt hầu khắp trên [a, b] hoặc f là hàm lồi trên [a, b], thì đẳng thức (4.5) nghiệm đúng Khẳng định này được suy ra từ Hệ quả 3.4.2 và các sự kiện cho thấy nếu f khả vi chặt tại x hoặc f là hàm lồi, thì nó chính quy Clarke tại x (xem Clarke, 1983, tr 40).

Định lý 3.4.1 cung cấp điều kiện đủ để khôi phục một hàm số Lipschitz địa phương thông qua ánh xạ dưới vi phân Clarke của nó.

Năm 1982 R T Rockafellar chứng minh rằng nếu f, g : R n → IR là các hàm Lipschitz địa phương,f là chính quy Clarke, và

∂ Cl g(x)⊂∂ Cl f(x) ∀x∈R n , thì tồn tại một hằng sốC∈IRsao cho g(x) =f(x) +C ∀x∈R n

Kết quả của Rockafellar đã được phát triển bởi nhiều tác giả, bao gồm Thibault và Zagrodny (1995), Ngai, Luc và Théra (2000), Wu và Ye (2000) Định lý 3.4.1 cho phép mở rộng kết quả của Rockafellar sang không gian vô hạn chiều Theo Định lý 3.4.2 (Chiêu, 2004, 2006a), nếu X là không gian Banach và f, g : X → IR là các hàm Lipschitz địa phương, với f là chính quy Clarke và ∂ Cl g(x) ⊂ ∂ Cl f(x) cho mọi x ∈ X, thì tồn tại hằng số C ∈ IR sao cho g(x) = f(x) + C với mọi x ∈ X.

Để minh họa cho Định lý 3.4.1, chúng ta sẽ xem xét một ví dụ cho thấy đoạn thẳng ở vế phải của (4.5) có khả năng chứa vô hạn phần tử.

Giả sử {r k } k∈N là tập hợp tất cả các số hữu tỷ trên khoảng (a, b) ⊂ IR với a < b Đối với mỗi k ∈ N, chọn δ k > 0 đủ nhỏ sao cho (r k − δ k , r k + δ k ) ⊂ (a, b) và δ k < 2 − (k + 3)(b − a) Đặt A = ∪ ∞ k =0 (r k − δ k , r k + δ k ) và P = [a, b] \ A Vì A là tập mở trong IR, ta có thể biểu diễn.

(a m , b m ), ở đó{(a m , b m )} m∈N là dãy các khoảng mở rời nhau (đôi một không giao nhau). Định nghĩa hàm sốf : [a, b]→IRbằng cách đặt f(x) ⎧⎪

Khi đó, f là Lipschitz trên [a, b]và tập* b a ∂ Cl f(t)dà chứa vô hạn phần tử 24

Khảo sát một hàm Lipschitz trên đoạn [a, b] ⊂ IR cho thấy rằng tập điểm không chính quy Clarke của hàm này có độ đo Lebesgue dương, điều này chứng tỏ tính phức tạp của lập luận Để tìm hiểu sâu hơn, xin tham khảo chi tiết trong Chiêu (2006a).

Ch−ơng 4 Đối đạo hàm của ánh xạ đa trị

Yêu cành hoa bên những vực sâu Yêu hoa một phần nh−ng chính là yêu sự hái Biết bao tình yêu còn lại

Nhờ một cành hoa không đâu.

(Chế Lan Viên, “Hái hoa”, 12-6-1980)

Trong chương này, chúng ta sẽ giới thiệu lý thuyết đối đạo hàm và ứng dụng của nó trong việc xây dựng các công thức tính toán hoặc ước lượng các dạng vi phân như vi phân Fréchet, vi phân Mordukhovich, và vi phân Clarke Những công cụ này sẽ được áp dụng cho hàm giá trị tối ưu trong các bài toán quy hoạch toán học phụ thuộc tham số.

Sự phát triển của lý thuyết đối đạo hàm

Ngay sau sự ra đời của lý thuyết vi phân của F H Clarke vào những năm 1973-

Vào năm 1975 và 1976, B S Mordukhovich đã giới thiệu những khái niệm cơ bản của lý thuyết vi phân, bao gồm nón pháp tuyến không lồi của các tập hợp, đối đạo hàm qua giới hạn của ánh xạ đa trị, và D−ới vi phân không lồi của hàm số nhận giá trị thực suy rộng.

Lý thuyết của Mordukhovich được phát triển đồng thời với lý thuyết vi phân của Clarke, trong đó các khái niệm quan trọng bao gồm nón tiếp tuyến Clarke, nón pháp tuyến Clarke, đạo hàm theo hướng Clarke và dưới vi phân Clarke.

Năm 1988 10 B S Mordukhovich in cuốn sách đầu tiên của ông (xem Mor- dukhovich (1988)) ở nhà xuất bản Nauka Cuốn sách tiếng Nga này trình bày

2 Theo suy nghĩ chúng tôi, kết quả ở các mục 4.5 và 4.6 còn có thể đào sâu và phát triển đ−ợc thêm nữa.

3 Khi đó ông Mordukhovich đang dạy học tại một trường đại học ở Minxcơ - thủ đô của nước Cộng hoà Bạch Nga (nay là Belarus).

4 Không có nón tiếp tuyến nào t−ơng ứng với nón pháp tuyến này!

5 Còn đ−ợc gọi là đối đạo hàm theo nghĩa Mordukhovich.

7 Nón pháp tuyến Clarke của tập M ⊂ X , ở đó X là một không gian Banach, tại x ¯ ∈ M đ−ợc định nghĩa bởi công thức

Ta quy −ớc rằng N M Cl (¯ x) = ∅ với mọi x / ¯ ∈ M

Trong chương 3, mục 3.4, vi phân Clarke ban đầu chỉ được định nghĩa cho các hàm Lipschitz địa phương Tuy nhiên, R T Rockafellar đã đưa ra một định nghĩa mới, cho phép áp dụng vi phân Clarke cho các hàm bất kỳ có giá trị thực và xác định trên không gian Banach, như được trình bày trong nghiên cứu của F H Clarke năm 1983.

Năm 10, B S Mordukhovich cùng gia đình chuyển từ Minxcơ sang Mỹ, nơi ông giảng dạy tại Khoa Toán của Đại học Tổng hợp Quốc gia Wayne ở Detroit, Michigan Gia đình ông định cư tại Ann Arbor, một thành phố xinh đẹp với kiến trúc Âu Châu và là thủ phủ của bang Michigan Wayne, tên gọi của vùng đất có Detroit - trung tâm của ngành công nghiệp ôtô Mỹ, là nơi Tạp chí Mathematical Reviews đặt trụ sở Ann Arbor cũng là địa điểm tổ chức nhiều hội thảo quốc tế về quy hoạch toán học.

Lý thuyết đối đạo hàm đã có những bước phát triển đáng kể, mang lại nhiều ý tưởng và kết quả quan trọng Những ứng dụng của lý thuyết này không chỉ đóng góp vào quy hoạch toán học mà còn trong lĩnh vực điều khiển tối ưu, giúp nâng cao hiệu quả và độ chính xác trong các bài toán thực tiễn.

Trong giai đoạn 1993-1996, B S Mordukhovich đã công bố nhiều bài báo quan trọng, giới thiệu các ý tưởng và kỹ thuật mới, đồng thời phát triển một phiên bản vô hạn chiều cho lý thuyết vi phân Ông chỉ ra rằng một số tính chất cơ bản của ánh xạ đa trị, như tính giả-Lipschitz theo nghĩa Aubin, tính chính quy mêtric và tính mở địa phương, có thể được đặc trưng thông qua khái niệm đối đạo hàm qua giới hạn, hay còn gọi là đối đạo hàm theo nghĩa Mordukhovich.

Trong giai đoạn 2005-2006, B S Mordukhovich đã công bố nhiều bài báo nghiên cứu mới và một bộ sách hai tập với tổng cộng hơn 1200 trang tại Nhà xuất bản Springer.

Mordukhovich xây dựng lý thuyết vi phân vô hạn chiều của ông theo l−ợc đồ sau 15 :

B−ớc 1 Định nghĩa khái niệm d−ới vi phân 16 của các hàm số nhận giá trị trong tËp sè thùc suy réng.

Bước 2 Sử dụng dưới vi phân để định nghĩa nón pháp tuyến (nói chung là không lồi) của các tập hợp.

Bước 3 Sử dụng nón pháp tuyến (không lồi) để định nghĩa đối đạo hàm

(coderivative) của ánh xạ đa trị.

Bước 4: Phát triển các quy tắc tính toán trong giải tích, bao gồm công thức tính đạo hàm của tổng hai ánh xạ đa trị, công thức tính đạo hàm của hàm hợp, và công thức tính nón pháp tuyến của giao của một họ tập hợp trong các không gian Banach hoặc không gian Asplund.

11 Một số bài đ−ợc viết chung với Y Shao, một nghiên cứu sinh Trung Quốc của B S Mor- dukhovich trong thời gian đó.

Trong số 12 bài viết, có ba bài được thực hiện chung với nghiên cứu sinh Nguyễn Mậu Nam (Mordukhovich và Nam, 2005a,b; 2006) và hai bài viết khác hợp tác với cả Nam và chúng tôi (Mordukhovich, Nam và Yen, 2006, 2007) Nguyễn Mậu Nam hiện đang công tác tại Đại học S− phạm Huế.

B S Mordukhovich đã hướng dẫn nhiều nghiên cứu sinh Việt Nam, bao gồm Trương Quang Bảo từ Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Tp Hồ Chí Minh và Nguyễn Thị Yến Nhi từ Đại học Sư phạm Huế.

Tập I của cuốn sách “Lý thuyết cơ sở” bao gồm 4 chương chính: Chương 1 trình bày về phép tính vi phân suy rộng trong các không gian Banach; Chương 2 khám phá nguyên lý cực trị trong giải tích biến phân; Chương 3 tập trung vào phép tính toán đầy đủ trong các không gian Asplund; và Chương 4 phân tích các đặc trưng của tính đặt chỉnh cùng với phép phân tích độ nhạy.

Tập II được phát hành với tiêu đề “Ứng dụng”, bao gồm 4 chương: Chương 5 trình bày về tối ưu có ràng buộc và điểm cân bằng, Chương 6 khám phá điều khiển tối ưu cho các hệ tiến hoá trong không gian Banach, và Chương 7 tập trung vào điều khiển tối ưu.

−u các hệ có tham số phân phối [distributed systems], 8 Các ứng dụng trong kinh tế.

15 Bước 1 và Bước 2 có thể đổi chỗ cho nhau; xem Mordukhovich (2006a; Chương 1).

16 D−ới vi phân Fréchet (Fréchet subdifferential), d−ới vi phân qua giới hạn (limiting subdifferential), d−íi vi ph©n proximal (proximal subdifferential).

Bước 5 áp dụng các khái niệm và quy tắc tính toán nói trên để

Trong giải tích biến phân, việc chứng minh các định lý cơ bản như định lý ánh xạ mở, định lý hàm ẩn, định lý hàm ngược và các điều kiện cực trị là rất quan trọng Những định lý này không chỉ cung cấp nền tảng lý thuyết vững chắc mà còn ứng dụng rộng rãi trong lý thuyết tối ưu Sự hiểu biết sâu sắc về các định lý này giúp giải quyết các bài toán phức tạp trong toán học và các lĩnh vực liên quan.

- nghiên cứu hoặc đặc tr−ng các tính chất đáng quan tâm của các ánh xạ và hàm số xuất hiện trong các lý thuyết toán học 18 ;

- đ−a ra các thuật toán giải các lớp bài toán khác nhau 19

Chúng ta lưu ý rằng lý thuyết vi phân xây dựng theo lược đồ trên vẫn đang tiếp tục đ−ợc phát triển và đ−a đến những thành quả mới.

Có thể nêu hai câu hỏi:

Mối quan hệ giữa các kết quả thu được từ lý thuyết vi phân của Mordukhovich và các lý thuyết vi phân khác là rất quan trọng, vì chúng cung cấp cái nhìn sâu sắc về sự tương đồng và khác biệt trong cách tiếp cận giải quyết các vấn đề tối ưu hóa Sự so sánh này không chỉ làm nổi bật tính hiệu quả của lý thuyết Mordukhovich mà còn mở ra hướng đi mới cho nghiên cứu và ứng dụng trong lĩnh vực toán học và kinh tế.

2 Liệu có thể xây dựng đ−ợc một lý thuyết tích phân t−ơng ứng với lý thuyết vi phân của Mordukhovich hay không?

Mối quan hệ giữa các điều kiện cực trị thu được từ lý thuyết đối đạo hàm và lý thuyết vi phân của Clarke đã được trình bày trong nghiên cứu của Mordukhovich (2006a,b), cung cấp câu trả lời rõ ràng cho câu hỏi đầu tiên Đối với câu hỏi thứ hai, chúng tôi kỳ vọng rằng trong khoảng 5-7 năm tới, sẽ có những câu trả lời chấp nhận được Mục 4.7 giới thiệu một số kết quả bước đầu trong hướng nghiên cứu này.

Các khái niệm cơ bản của lý thuyết đối đạo hàm

Tại sao phải sử dụng đối đạo hàm?

Chóng ta cÇn lưu ý nh÷ng ®iÒu sau:

Cách tiếp cận bằng không gian đối ngẫu (dual-space approach) thường mang lại hiệu quả cao, và trong một số trường hợp, nó còn vượt trội hơn so với cách tiếp cận bằng không gian nền (primal-space approach).

Có 18 định lý liên quan đến tính ổn định và độ nhạy nghiệm của các bài toán tối ưu phụ thuộc vào tham số Một số định lý này sẽ được chứng minh trong các mục 4.5 và 4.6 của chương này.

19 Kết quả theo h−ớng này ch−a có nhiều.

Mối quan hệ giữa các kết quả của Mordukhovich và Shao, cũng như giữa Mordukhovich và Nam, đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu tính ổn định vi phân của các bài toán tối ưu với ràng buộc đa trị Những kết quả này không chỉ làm rõ các khía cạnh lý thuyết mà còn cung cấp cái nhìn sâu sắc về ứng dụng của chúng trong các bài toán tối ưu hóa phức tạp.

J Gauvin, F Dubeau, F H Clarke, R T Rockafellar, và các tác giả khác.

21 Bổ đề Farkas về tính tương thích của một hệ bất đẳng thức tuyến tính (xem Rockafellar

(1970), tr 200) là một ví dụ.

4.2 Các khái niệm cơ bản của lý thuyết đối đạo hàm 107

- Cả cách tiếp cận bằng không gian đối ngẫu lẫn cách tiếp cận bằng không gian nền đều hữu ích, đều áp dụng đ−ợc.

- Đối đạo hàm của một ánh xạ tương ứng với toán tử liên hợp của một ánh xạ tuyến tính.

Ta hãy làm rõ thêm điều lưu ý thứ ba.

Ánh xạ đơn trị f: X → Y giữa các không gian Banach được định nghĩa với ký hiệu f(¯x) là đạo hàm Fréchet tại điểm x¯ ∈ X, nếu tồn tại Nếu f(¯x) là một toán tử tuyến tính từ X đến Y, thì toán tử liên hợp (f(¯x))∗: Y∗ → X∗ cũng được xác định.

2 Cho A : X → Y là toán tử tuyến tính liên tục với toán tử liên hợp A ∗ :

3 Ký hiệu A=f (¯x) và A ∗ = (f (¯x)) ∗ , ta có 23

Công thức sau cùng gợi ý cho ta cách định nghĩa đối đạo hàm của ánh xạ đa trị.

Tiếp theo, chúng ta sẽ xét các khái niệm

- đối đạo hàm và một số ví dụ minh họa.

22 Nó đ−ợc gọi là đối đạo hàm Fréchet của f tại x ¯

23ởđây gph f := {(x, f(x)) : x ∈ X} là đồ thị của f và

N ˆ gph f (¯ x, f (¯ x)) = {(x ∗ , y ∗ ) : (x ∗ , y ∗ ), (x, f (¯ x)(x)) = 0 ∀x ∈ X } là nón pháp tuyến Fréchet của đồ thị đó tại (¯ x, f (¯ x)).

Xét ánh xạ đa trị F :X ⇒ X ∗ giữa không gian Banach X và không gian đối ngẫu X ∗ của nó Ký hiệu

Lim sup x→ ¯ x F(x) : x ∗ ∈X ∗ : ∃ x k →x, x¯ ∗ k w → ∗ x ∗ , x ∗ k ∈F(x k ) ∀k= 1,2, đ−ợc dùng để chỉgiới hạn trên theo dãy theo nghĩa Painlevé-Kuratowski 24 trong tôpô chuẩn của X và tôpô yếu ∗ (đ−ợc ký hiệu bằng chữ w ∗ ) củaX ∗

Các ký hiệu x→ ϕ x¯đối với một hàm ϕ:X→IR và x→ Ω x¯đối với một tập

Ω⊂X t−ơng ứng có nghĩa là x→x¯ với ϕ(x)→ϕ(¯x) và x→x¯ với x∈Ω.

Cho X là không gian Banach, ϕ:X → IR là hàm nhận giá trị trong tập số thực suy rộng, hữu hạn tại x Với mỗi¯ ε0, đặt

Các phần tử của tập hợp ở vế trái công thức được gọi là các ε-dưới gradient Fréchet của ϕ tại x, trong khi tập hợp đó được xem là ε-dưới vi phân Fréchet của ϕ tại x Tập hợp ¯ ∂ϕ(¯ x) := ∂ 0 ϕ(¯x) được định danh là d−ới vi phân Fréchet d−ới, hay ngắn gọn hơn là d−ới vi phân Fréchet 25 của ϕ tại x Rõ ràng rằng ¯ ∂ϕ(¯ x) là một tập hợp con của ∂ ε ϕ(¯x) với mọi ε > 0.

Vi phân Fréchet của hàm số ϕ tại điểm x̄ được định nghĩa bởi phương trình ∂ + ϕ(x̄) = −∂(−ϕ)(x̄) Để hiểu rõ hơn về gradient Fréchet và vi phân Fréchet, cần lưu ý rằng phần tử x∗ ∈ X∗ được gọi là đạo hàm Fréchet của ϕ tại x̄ nếu giới hạn sau tồn tại: lim (x → x̄) [ϕ(x) − ϕ(x̄) − x∗] / [x − x̄] = 0.

Nếu X là không gian hữu hạn chiều, thì tập Lim sup x→ x ¯ F (x) xác định bởi (2.1) sẽ trùng với giới hạn trên theo Painlevé-Kuratowski của tập {F (x)} với x thuộc X khi x tiến đến x ¯, như được chỉ ra trong công thức (2.14) trong Chương 2.

25 TNTA: (lower) Fr´echet subdifferential.

26 TNTA: upper Fr´echet subdifferential.

Thay dấu lim bằng dấu lim inf và điều chỉnh các ký hiệu, ta có điều kiện yếu hơn cho phần tử x ∗ nh− như sau: lim inf x→ x ¯ ϕ(x)−ϕ(¯x)− x ∗ , x−x¯ x−x¯ −ε Điều này cho phép kiểm tra xem x ∗ ∈X ∗ có phải là ε-dưới gradient Fréchet của ϕ tại x¯ hay không Việc thay đổi tiêu chuẩn trong định nghĩa đạo hàm Fréchet bằng một tiêu chuẩn tương tự nhưng yếu hơn giúp xây dựng phép tính vi phân cho các hàm số bất kỳ.

Dễ thấy rằng nếu x ∗ là đạo hàm Fréchet củaϕtại x¯ thì

Véctơ x ∗ ∈X ∗ đ−ợc gọi là d−ới gradient proximal (hay d−ới gradient gần kề) củaϕtại x¯ nếu tồn tại ε0 sao cho

(2.4) lim inf x→ x ¯ ϕ(x)−ϕ(¯x)− x ∗ , x−x¯ x−x¯ 2 −ε; tức là tồn tại ε0 vàδ >0sao cho ϕ(x)−ϕ(¯x)x ∗ , x−x −¯ εx−x¯ 2 ∀x∈B(¯x, δ).

Tập hợp ∂ P ϕ(¯x) gồm tất cả các d−ới gradient gần kề của ϕ tại x¯ đ−ợc gọi là d−ới vi phân proximal (hayd−ới vi phân gần kề 28 ) củaϕtại x.¯

So với công thức định nghĩa đạo hàm Fréchet của hàm số thực, điều kiện cho phần tử x ∗ ∈ ∂ P ϕ(¯x) trong (2.4) có sự khác biệt đáng kể Cụ thể, điều kiện này mạnh hơn khi cấp độ xấp xỉ o(x−x¯) được thay bằng o(x−x¯ 2), nhưng lại yếu hơn khi lim được thay bằng lim inf, dấu "=" được thay bằng dấu "≤", và số 0 được thay bằng số ε Đạo hàm Fréchet của hàm số tại một điểm không nhất thiết là một dưới gradient gần kề.

D−ới vi phân qua giới hạn

27 Nói chính xác hơn, đó là phép tính vi phân suy rộng (generalized differentiation).

28 TNTA: (lower) proximal subdifferential. đ−ợc gọi là d−ới vi phân qua giới hạn 29 (hay d−ới vi phân Mordukhovich).

Nh− vậy, x ∗ ∈ ∂ϕ(¯x) khi và chỉ khi tồn tại các dãy x k → ϕ x,¯ ε k → 0 + , và x ∗ k ∈∂ϕ ε k ϕ(x k ), sao cho x ∗ k −→ w ∗ x ∗

Từ đó ta thấy rằng dưới vi phân Mordukhovich ∂ϕ(¯x) được tính qua các dưới vi phân Fréchet∂ϕ ε (x) với ε >0 đ−ợc lấy đủ bé vàx đ−ợc lấy đủ gần x.¯

Nhận xét 4.2.1 (xem Mordukhovich (2006a)) Nếu X là không gian Asplund (theo nghĩa là mọi hàm lồi, liên tục ϕ:U →IR xác định trên một tập lồi, mở

U ⊂ X là một không gian khả vi Fréchet trên tập con trù mật của U Điều này tương đương với việc các không gian con đóng và khả li của X có không gian đối ngẫu khả li Nếu ϕ là nửa liên tục dưới trong lân cận của x, thì trong công thức (2.5), ta có thể đặt ε = 0.

Ngoài ra, ta có ∂ϕ(¯x) =∅ với mọi hàm Lipschitz địa phương trên không gian Asplund.

Chứng minh chi tiết của hai mệnh đề sau có trong Mordukhovich (2006a).

Mệnh đề 4.2.1 Nếuϕlà khả vi chặt 31 tại x¯ thì tập∂ϕ(¯x)chỉ chứa một phần tử, đó là đạo hàm chặt của ϕtại x.¯

Mệnh đề 4.2.2 Nếu ϕ là hàm lồi, thì tập ∂ϕ(¯x) trùng với dưới vi phân theo nghĩa giải tích lồi củaϕ tạix, tức là¯

Tất cả các không gian Banach phản xạ đều thuộc loại không gian Asplund Ngoài ra, mọi không gian Banach có hàm chuẩn khả vi Fréchet tại những điểm khác 0 cũng được xem là không gian Asplund Đặc biệt, mọi không gian Euclide hữu hạn chiều và mọi không gian Hilbert đều là không gian Asplund (Tham khảo Phelps (1993)).

31 Theo Định nghĩa 1.13 trong Mordukhovich (2006a), hàm f : X → Y giữa các không gian Banach đ−ợc gọi là khả vi chặt tại x ¯ ∈ X nếu f khả vi Fréchet tại x ¯ và x→ lim x, u→ ¯ ¯ x f(x) − f(u) − f (¯ x)(x − u) x − u = 0

Khái niệm trong Định nghĩa 3.4.3 của Ch−ơng 3 cho thấy rằng trong không gian hữu hạn chiều, hai khái niệm được đề cập là tương đ−ơng Cụ thể, nếu một hàm là khả vi Fréchet liên tục trong một lân cận của một điểm, thì hàm đó cũng khả vi chặt tại điểm đó.

Ta nói rằng ϕ là hàm chính quy dưới 32 nếu ∂ϕ(¯x) = ∂ϕ(¯x) Các hàm chính quy này đủ rộng, không chỉ bao gồm các hàm khả vi chặt và hàm lồi, mà còn nhiều lớp hàm quan trọng khác trong giải tích biến phân và lý thuyết tối ưu.

Dưới vi phân suy biến của hàm ϕ tại điểm x được định nghĩa là ∂ ∞ ϕ(¯x) := Lim sup x → ϕ x ¯ ε,λ↓ 0 λ∂ ε ϕ(x) Tập hợp ¯ ∂ ∞ ϕ(¯x) chứa thông tin quan trọng về hàm ϕ khi ϕ không phải là hàm Lipschitz địa phương tại x; nếu ϕ là Lipschitz địa phương tại x¯, thì ∂ ∞ ϕ(¯x) sẽ chỉ chứa giá trị {0} Điều này có nghĩa là x ∗ thuộc ∂ ∞ ϕ(¯x) khi và chỉ khi tồn tại các dãy x k → ϕ x, ¯ ε k → 0 +, λ k → 0 +, và x ∗ k thuộc λ k ∂ ε k ϕ(x k), sao cho x ∗ k hội tụ về w ∗ x ∗.

Bài tập 4.2.1 Chứng minh rằng ∂ ∞ ϕ(¯ x) là một hình nón trong X ∗

Để chứng minh rằng nếu ϕ là Lipschitz địa phương tại ¯ x, thì ∂ ∞ ϕ(¯ x) ⊂ {0}, ta sử dụng công thức (2.6) Cần lưu ý rằng với ϕ Lipschitz địa phương tại x ¯, tồn tại một lân cận U của x ¯ sao cho tập hợp { ∂ϕ(x) } với x ∈ U là giới nội đều Điều này có nghĩa là tồn tại một hằng số K > 0 sao cho x ∗ K đối với mọi x ∈ U và mọi x ∗ ∈ ∂ϕ(x).

Vấn đề đánh giá dưới vi phân của hàm giá trị tối ưu

Các hàm giá trị tối −u đ−ợc hiểu là các hàm số nhận giá trị trong tập số thực suy rộng có dạng sau:

(3.1) à(x) := inf{ϕ(x, y) : y∈G(x)}, ở đóϕ:XìY →IR làhàm giá 48 hayhàm mục tiêu 49 nhận giá trị trong tập số thực suy rộngIR,G:X⇒Y làánh xạ đa trị mô tả ràng buộc 50 giữa các không

47 Các tính toán chi tiết liên quan đến ví dụ này được trình bày ở Mục 5.8 trong Chương 5.

50 TNTA: constraint set-valued mapping.

Vấn đề đánh giá dưới vi phân của hàm giá trị tối ưu trong không gian Banach liên quan đến thuật ngữ giá/ràng buộc, trong đó hàm số (3.1) được xác định là hàm giá trị tối ưu (hay hàm marginal) của bài toán tối ưu có tham số.

(3.2) Tìm cực tiểuϕ(x, y) với ràng buộc y∈G(x) với ánh xạ nghiệmM(ã) xác định bởi công thức

Các hàm số dạng (3.1) đóng vai trò quan trọng trong giải tích biến phân, tối

Trong suốt 30 năm qua, nghiên cứu về các tính chất khả vi và khả vi theo hướng của hàm giá trị tối ưu đã trở thành một lĩnh vực quan trọng, bên cạnh việc đưa ra các điều kiện đủ để hàm giá trị tối ưu là liên tục hoặc Lipschitz địa phương tại một tham số cho trước Các kết quả trong lĩnh vực này thường được gọi là tính ổn định vi phân của các bài toán tối ưu, và đã thu hút sự quan tâm đáng kể từ các nhà nghiên cứu, như được thể hiện trong các bài báo của Gauvin và Tolle.

Gauvin (1979), Auslender (1979) và các nghiên cứu từ năm 1977 là những công trình tiên phong trong việc khám phá các tính chất vi phân của hàm giá trị tối ưu trong các bài toán quy hoạch phi tuyến với các hàm trơn và không lồi Để tìm hiểu thêm về lý thuyết và ứng dụng của hàm giá trị tối ưu, người đọc có thể tham khảo các tài liệu của Auslender và Teboulle (2003), Bonnans và Shapiro (2000), Borwein và Zhu (2005), cùng với các nghiên cứu của Clarke (1983), Dien và Yen.

(1991), Gauvin và Dubeau (1982, 1984), Gollan (1984), Ha (2005), Lucet và

Ye (2001, 2002), Mordukhovich (1992, 2006a, 2006b), Mordukhovich và Nam (2005a), Mordukhovich và Shao (1996a), Rockafellar (1982, 1985), Rockafellar và Wets (1998), Thibault (1991), và các tài liệu đ−ợc trích dẫn trong đó.

Tính đạo hàm và đối đạo hàm của ánh xạ nghiệm M(ã) là một vấn đề phức tạp đang thu hút sự chú ý của nhiều nhà nghiên cứu.

Hàm giá trị tối ưu dạng (3.1) có tính chất không trơn, mặc dù các hàm giá là trơn và tập ràng buộc được mô tả bởi các hàm trơn Do đó, cần nghiên cứu tính chất vi phân mở rộng của hàm giá trị tối ưu để hiểu rõ hơn về độ nhạy, tính ổn định của các bài toán tối ưu và điều khiển có nhiễu, điều kiện cực trị, và tính điều khiển được địa phương Để thu thập thông tin này, việc đánh giá các đạo hàm mở rộng của hàm giá trị tối ưu tại tham số x¯ là rất quan trọng, thông qua các cấu trúc vi phân mở rộng của ϕ và G.

Đạo hàm suy rộng có hai loại chính: đạo hàm theo hướng trong không gian nền và đạo hàm dưới vi phân trong không gian đối ngẫu Trong một số trường hợp như dữ liệu trơn và dữ liệu lồi, hai phương pháp này tương đương Tuy nhiên, có nhiều tình huống mà cấu trúc trong không gian đối ngẫu không thể được thu được từ không gian nền, nhưng vẫn cung cấp thông tin quý giá về hình dạng của hàm giá trị tối ưu, đặc biệt trong phân tích độ nhạy và thiết lập các điều kiện tối ưu.

Trong các mục 4.5 và 4.6, chúng ta sẽ trình bày các quy tắc tính toán và đánh giá dưới vi phân Fréchet và Mordukhovich của hàm trong (3.1) thông qua dưới vi phân của hàm giá ϕ và đối đạo hàm của ánh xạ ràng buộc G Các quy tắc này được thiết lập cho không gian vô hạn chiều, trong khi nhiều quy tắc khác thường dựa vào giả thiết các không gian X và Y là hữu hạn chiều Chúng ta cũng sẽ minh họa các kết quả này bằng một số ví dụ cụ thể.

Tính compắc pháp tuyến theo dãy

Một trong những khác biệt chính giữa giải tích biến phân hữu hạn chiều và vô hạn chiều là yêu cầu về tính compắc pháp tuyến khi xét các ánh xạ và tập hợp trong không gian vô hạn chiều Việc thỏa mãn các yêu cầu này là cần thiết để đạt được những kết luận quan trọng khi lấy giới hạn dãy theo tôpô yếu.

52 TNTA: sequentially normally compact (SNC).

4.4 Tính compắc pháp tuyến theo dãy 119 x ∗ k ∈N ε k (x k ; Ω) ta cã

Nếu X là không gian Asplund và Ω là tập đóng địa phương trong lân cận điểm x, thì trong định nghĩa, chúng ta có thể loại bỏ ký hiệu ε k mà không làm thay đổi tính chất được xét.

Trong Định nghĩa 4.4.1 có đòi hỏi, đối với những dãy véctơ nào đó trong

Nếu dãy trong không gian X∗ hội tụ về 0 theo tôpô yếu ∗, thì dãy các chuẩn tương ứng cũng phải hội tụ về 0 Điều này có nghĩa là sự hội tụ của dãy về 0 theo tôpô yếu ∗ dẫn đến sự hội tụ của nó về 0 theo chuẩn của X∗ Để hiểu rõ hơn về yêu cầu này, chúng ta sẽ xem xét ví dụ sau.

Ví dụ 4.4.1 Lấy X = 2 là không gian Hilbert của các dãy số thực x (x 1 , x 2 , ) thỏa điều kiện ∞ i =1 x 2 i < +∞ với chuẩn và tích vô h−ớng đ−ợc cho bởi x ∞ i =1 x 2 i

Nhờ Định lý Riesz, ta có thể đồng nhất không gian X ∗ với X và tôpô w ∗ của X ∗ với tôpô yếu w của X Xét dãy x (k) = (0, , 0, 1, 0, ), trong đó số 1 đứng ở vị trí thứ k, ta thấy x (k) → w 0, vì với mọi v = (v1, v2, ) ∈ X, tính chất lim k→∞ x (k), v = 0 hiển nhiên đúng Tuy nhiên, x (k) = 1 0 khi k→ ∞ Định nghĩa 4.4.2 cho rằng ánh xạ đa trị F:X ⇒ Y được gọi là compắc pháp tuyến theo dãy (¯x,y)¯ ∈ gphF nếu đồ thị của nó có tính chất này Đối với các ánh xạ, ta có thể định nghĩa một tính chất yếu hơn tính compắc pháp tuyến theo dãy Định nghĩa 4.4.3 cho rằng ánh xạ đa trị F:X⇒Y là compắc pháp tuyến riêng rẽ theo dãy (PSNC) tại (¯x,y)¯ nếu với mọi dãy εk ↓0, (xk, yk)→ (¯x,y)¯ mà (xk, yk) ∈ gphF và (x∗k, yk∗) ∈ N εk ((xk, yk); gphF) thì có các điều kiện nhất định.

Theo Mordukhovich (2006a), nếu X và Y là các không gian Asplund và F là ánh xạ đa trị với đồ thị đóng, thì trong định nghĩa, chúng ta có thể loại bỏ ký hiệu ε k, tức là có thể đặt ε k = 0.

Nhận xét 4.4.3 (xem Mordukhovich (2006a)) Tính chất compắc pháp tuyến riêng rẽ theo dãy luôn nghiệm đúng khi F là giả-Lipschitz (liên tục Aubin) tại

53 TNTA: partial sequentially normally compact (PSNC).

(¯x,y), tức là khi tồn tại các lân cận¯ U củax¯vàV củay¯cùng với hằng số 0 sao cho

F(u)∩V ⊂ F(v) + u − vB¯ Y với mọi u, v ∈ U Định nghĩa 4.4.4: Hàm số ϕ : X → IR được gọi là epi-compắc pháp tuyến theo dãy (SNEC) tại x¯ nếu tập trên đồ thị (epigraph) epiϕ:={(x, α)∈X×IR : ϕ(x)α} của nó là SNC tại (¯x, ϕ(¯x)).

Nếu ϕlà Lipschitz địa phương tạix, thì nó là SNEC tại¯ x.¯

Trong Mục 4.6, các khái niệm được đề cập trong định nghĩa 4.4.1–4.4.4 sẽ được sử dụng Tuy nhiên, do giới hạn của giáo trình, chúng tôi sẽ không phân tích sâu về các khái niệm này Độc giả quan tâm có thể tham khảo thêm cuốn chuyên khảo của Mordukhovich (2006a).

D−ới vi phân Fréchet của hàm giá trị tối −u

Mục này trình bày các công thức tính toán dưới vi phân Fréchet của hàm giá trị tối −u tổng quát mà không giả định ánh xạ đa trị G có cấu trúc đặc thù Bằng cách áp dụng các công thức này cho trường hợp G(x) là tập nghiệm của hệ đẳng thức và bất đẳng thức phụ thuộc tham số, hoặc G(x) là tập nghiệm của bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số, chúng ta có thể thu được các đánh giá dưới vi phân Fréchet của hàm thông qua tập nhân tử Lagrange trong bài toán quy hoạch toán học được xem xét.

Chúng ta sẽ chứng minh rằng các dưới gradient Fréchet của hàm số thực có thể được đặc trưng thông qua các hàm số xấp xỉ d−ới, với điều kiện hàm số đó khả vi Fréchet tại điểm được xét.

Bổ đề 4.5.1 (theo Mordukhovich, 2006a, Định lý 1.88) khẳng định rằng trong không gian Banach Z, nếu hàm số ϕ: Z → IR là hữu hạn tại điểm z¯∈Z, thì z∗ thuộc biên của ϕ tại z¯ nếu và chỉ nếu tồn tại một hàm số s: Z → IR hữu hạn trong lân cận của z và khả vi tại điểm này.

Fréchet tại z, và thỏa mãn các tính chất sau¯

54 TNTA: sequentially normally epi-compact (SNEC).

55 Khi đó (3.2) là bài toán quy hoạch toán học phụ thuộc tham số.

56 Khi đó (3.2) là bài toán quy hoạch toán học với ràng buộc cân bằng phụ thuộc tham số.

4.5 D−ới vi phân Fréchet của hàm giá trị tối −u 121

Giả sử z ∗ ∈∂ϕ(¯ z), từ định nghĩa gradient Fréchet, có tồn tại một lân cận U của z¯ sao cho ϕ(z) > −∞ với mọi z ∈ U Hàm s(z) được định nghĩa là min{ϕ(z), ϕ(¯z) + z ∗ , z − z¯} cho mọi z ∈ Z, thỏa mãn tất cả các tính chất cần thiết Cụ thể, s(z) hữu hạn trên U vì s(z) > −∞ với mọi z ∈ U và s(z) ϕ(¯z) + z ∗ , z − z¯ < ∞ với mọi z ∈ Z.

Từ công thức định nghĩa s ta suy ra rằng s(¯z) =ϕ(¯z) và s(z)ϕ(z) với mọi z∈Z Ngoài ra, lim sup z→ z ¯ s(z)−s(¯z)− z ∗ , z−z¯ z−z¯ 0.

Do điều kiện z ∗ ∈ ∂ϕ(¯ z), sử dụng định nghĩa dưới gradient Fréchet và công thức của hàm sta thu đ−ợc lim inf z→ z ¯ s(z)−s(¯z)− z ∗ , z−z¯ z−z¯ 0.

Từ đó, suy ra rằng trong lân cận của \( \bar{z} \), khả vi Fréchet tại \( \bar{z} \) và \( (z) = z^* \) Ngược lại, nếu \( z^* \in Z^* \) và tồn tại hàm số \( s: Z \rightarrow \mathbb{R} \) thỏa mãn các tính chất trong (5.1), thì ta có: \[\liminf_{z \to \bar{z}} \frac{\phi(z) - \phi(\bar{z}) - z^*}{z - \bar{z}} = 0,\]và \[\liminf_{z \to \bar{z}} \frac{s(z) - s(\bar{z}) - z^*}{z - \bar{z}} = 0.\]Chứng minh kết thúc.

Bài tập 4.5.1 Kiểm tra kết luận của của Bổ đề 4.5.1 cho các trường hợp

Trong bài viết này, chúng ta xem xét hai trường hợp với Z = IR², ϕ(z) = z và ϕ(z) = −z, cùng với điều kiện z̄ = 0 Hình minh họa sẽ chứng minh rằng ∂ϕ(¯z) = [−1, 1] trong trường hợp đầu tiên và ∂ϕ(¯z) = ∅ trong trường hợp thứ hai Định lý tiếp theo cung cấp một đánh giá trên cho dưới vi phân Fréchet của hàm giá trị tối ưu tổng quát tại tham số x̄ đã cho Đánh giá này được thiết lập thông qua đối đạo hàm Fréchet của ánh xạ mô tả ràng buộc G và các tập dưới vi phân Fréchet trên của hàm giá ϕ Điều kiện cơ bản là ∂ + ϕ(¯x, ȳ) khác rỗng đối với một phần tử ȳ ∈ M(¯x) Yêu cầu này được thỏa mãn trong nhiều lớp bài toán tối ưu Định lý 4.5.1 khẳng định rằng nếu hàm giá trị tối ưu trong (3.1) là hữu hạn tại x̄ ∈ domM và ȳ ∈ M(¯x) là véctơ thỏa mãn ∂ + ϕ(¯x, ȳ) = ∅, thì một số kết quả quan trọng sẽ được xác lập.

57 Một vài kết quả tương tự như các định lý 4.5.1 và 4.5.2 đã được thiết lập cho hàm giá trị tối

−u trong bài toán quy hoạch toán học có tham số với dữ liệu là các hàm trơn; xem Gollan (1984),Maurer và Zowe (1979).

Chứng minh Để kiểm chứng (5.2), ta lấy tùy ýu ∗ ∈∂à(¯ x) và với mỗi ε >0 ta chọn η >0sao cho

Lấy cố định một véctơ tùy ý (x ∗ , y ∗ ) ∈ ∂ + ϕ(¯x,y) Do (2.3), áp dụng Bổ đề¯ 4.5.1 cho véctơ(−x ∗ ,−y ∗ )∈∂( −ϕ)(¯x,y)¯ ta tìm đ−ợc hàm số s:XìY →IR khả vi Fréchet tại (¯x,y)¯ sao cho

(5.4) s(¯x,y) =¯ ϕ(¯x,y),¯ s (¯x,y) = (x¯ ∗ , y ∗ ), s(x, y)ϕ(x, y) ∀(x, y)∈X×Y. Để ý rằng à(x)ϕ(x, y) s(x, y)với mọiy ∈G(x) Từ (5.3) và (5.4) ta suy ra u ∗ , x−x¯ ϕ(x, y)−ϕ(¯x,y) +¯ εx−x¯ s(x, y)−s(¯x,y) +¯ εx−x¯

=x ∗ , x−x¯ +y ∗ , y−y¯ +o(x−x¯ +y−y¯ ) +εx−x¯ với mọi(x, y) mà x∈B(¯x, η) và y∈G(x) Vìε >0 đ−ợc chọn tùy ý, từ đó suy ra lim sup

( x,y ) gph −→ G (¯ x, y ¯ ) u ∗ −x ∗ , x−x¯ − y ∗ , y−y¯ x−x¯ +y−y¯ 0. Điều đó chứng tỏ rằng (u ∗ −x ∗ ,−y ∗ ) ∈∂δ((¯ x,y);¯ gphG),ở đó δ(ã;gphG) là hàm chỉ của tập gphG Lưu ý đến (2.7) ta thu được

Do (2.9), từ đó ta có u ∗ −x ∗ ∈D ∗ G(¯x,y)(y¯ ∗ ).

Vậy ta có bao hàm thức u ∗ ∈x ∗ +D ∗ G(¯x,y)(y¯ ∗ ),tức là (5.2) nghiệm đúng 2

4.5 D−ới vi phân Fréchet của hàm giá trị tối −u 123 Định nghĩa 4.5.1 (xem Robinson (1979)) ánh xạ h:D → Y đ−ợc gọi là

Lipschitz trên địa phương tại x¯∈D, với D là một tập con của X, nếu tồn tại η > 0 và 0 sao cho h(x)−h(¯x) / (x−x¯) ∀x∈B(¯x, η)∩D Định nghĩa ánh xạ đa trị F:D ⇒ Y, với D ⊂ X, có lát cắt Lipschitz trên địa phương tại (¯x,y)¯ ∈ gphF nếu tồn tại ánh xạ đơn trị h:D→ Y Lipschitz tại x¯, sao cho h(¯x) = ¯y và h(x) ∈ F(x) với mọi x∈D trong lân cận của x¯ Định lý 4.5.2 đưa ra điều kiện đủ để đảm bảo rằng thức (5.2) là đúng dưới dạng một đẳng thức Theo đó, ngoài các giả thiết của Định lý 4.5.1, nếu ϕ khả vi Fréchet tại (¯x,y)¯ và ánh xạ nghiệm M:domG⇒Y có lát cắt Lipschitz trên địa phương tại (¯x,y), thì kết quả sẽ được xác nhận.

! là véctơ gradient của ϕtại (¯x,y).¯

Theo Định lý 4.5.1, ta có ∂à(¯ x) ⊂ x ∗ +D ∗ G(¯x,y)(y¯ ∗ ) Để chứng minh rằng bao hàm ng−ợc lại x ∗ +D ∗ G(¯x,y)(y¯ ∗ )⊂∂à(¯ x) là đúng dưới các điều kiện phụ đã nêu trong định lý, ta sẽ cố định một phần tử bất kỳ u ∗ ∈/ ∂à(¯ x) và cần chứng tỏ rằng.

Do định nghĩa dưới gradient Fréchet, điều kiệnu ∗ ∈/∂à(¯ x) kéo theo lim inf x→ x ¯ à(x)−à(¯x)− u ∗ , x−x¯ x−x¯ 0 và dãy x k →x,¯ x k = ¯x với mọi k∈IN, sao cho

59 TNTA: admits a local upper Lipschitzian selection.

Nếu \( x_k \notin \text{dom} G \), thì \( G(x_k) = \emptyset \) và do đó \( a(x_k) = \inf \{ \phi(x_k, y) : y \in G(x_k) \} = +\infty \), điều này mâu thuẫn với (5.7) Do đó, cần có \( x_k \in \text{dom} G \) với mọi \( k \in \mathbb{N} \) Xét lát cắt Lipschitz tại \( (\bar{x}, \bar{y}) \) của ánh xạ nghiệm \( M: \text{dom} G \Rightarrow Y \) trong giả thiết của định lý Đặt \( y_k := h(x_k) \) và nhận thấy rằng \( a(\bar{x}) = \phi(\bar{x}, \bar{y}) \), \( a(x_k) = \phi(x_k, y_k) \) Từ (5.7), suy ra \( u^*, x_k - \bar{x} \phi(x_k, y_k) - \phi(\bar{x}, \bar{y}) + \bar{\epsilon} x_k - \bar{x} \).

Sử dụng tính chất Lipschitz trên địa phương của h(ã) tại x, ta có¯ x k −x¯ 1 y k −y¯ với k∈IN đủ lớn. Điều đó kéo theo các đánh giá u ∗ −x ∗ , x k −x¯ − y ∗ , y k −y¯

2 ε x k −x¯ + 2 ε y k −y¯ +o(x k −x¯ +y k −y¯ ) ε(x k −x¯ +y k −y) +¯ o(x k −x¯ +y k −y),¯ ở đó ε:= min{ε/2, ε/(2 )} Vì vậy, lim sup

( x,y ) gph −→ G (¯ x, ¯ y ) u ∗ −x ∗ , x−x − y¯ ∗ , y−y¯ x−x¯ +y−y¯ ε; có nghĩa là (u ∗ −x ∗ ,−y ∗ ) ∈/ Ngph G (¯x,y) Tính chất đó chứng tỏ rằng (5.6)¯ nghiệm đúng Chứng minh kết thúc 2

Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét một số ví dụ để làm rõ đặc trưng của hai định lý đã đề cập và các giả thiết liên quan Chúng ta bắt đầu bằng việc chứng minh rằng bao hàm thức (5.2) trong Định lý 4.5.1 có thể trở thành đẳng thức, ngay cả khi hàm giá ϕ không khả vi Fréchet Để thuận tiện, chúng ta sẽ ký hiệu các biểu thức ở vế trái và vế phải của (5.2) lần lượt là LHS (left-hand side) và RHS (right-hand side).

Ví dụ 4.5.1 Lấy X =Y =IR Đặtϕ(x, y) =−|y|và

4.5 D−ới vi phân Fréchet của hàm giá trị tối −u 125

Dễ thấy rằng gphG= {(x, y) ∈ IR 2 : y 2 −x 0} Tính hàm giá trị tối −u theo công thức (3.1), ta có à(x) −√ x nÕu x0,

{ −1/(2√ ¯ x)} nếu x >¯ 0 và hoặc là y¯=√ ¯ x hoặcy¯=−√ ¯ x.

Vậy (5.2) nghiệm đúng dưới dạng đẳng thức với mọi(¯x,y)¯ ∈gphM.

Ví dụ 4.5.2 Lấy X =Y =IR Đặtϕ(x, y) =−|x|+ 2y và

Ta có à(x) =|x|và 0∈M(0) Dễ thấy rằng

{x ∗ + [−2,2]}= [−1,1], nghĩa là (5.2) nghiệm đúng dưới dạng đẳng thức.

Trong hai ví dụ đã nêu, hàm mục tiêu ϕ(x, y) được xác định là hàm lõm, trong khi ánh xạ đa trị mô tả ràng buộc G lại là lồi Do đó, đánh giá (5.2) có thể nghiệm đúng dưới dạng đẳng thức cho những bài toán tối ưu không lồi Ví dụ tiếp theo sẽ minh chứng rằng giả thiết về sự tồn tại lát cắt Lipschitz trên địa phương trong Định lý 4.5.2 là thiết yếu và không thể bị loại bỏ.

Ví dụ 4.5.3 Lấy X =Y =IR vàx¯= ¯y= 0 Xét hàm giá trị tối −u à(x) xác định bởi (3.1) với ϕ(x, y) = 0 và G(x) := [&

Khi đó ta có à(x) = 0 và ∂ + ϕ(x, y) ={0} với mọi (x, y)∈IR 2

Ngoài ra, nghiệm G tại điểm (0,0) bằng IRì(−∞,0], dẫn đến LHS = {0} và RHS = IR, chứng tỏ rằng điều kiện bao hàm (5.2) là chặt chẽ Cần lưu ý rằng ánh xạ nghiệm (3.3) không có tính chất Lipschitz địa phương tại điểm (¯x,y).¯

Mặc dù giả thiết về sự tồn tại của lát cắt Lipschitz trên địa phương trong Định lý 4.5.2 là cần thiết, nhưng nó không phải là điều kiện cần thiết để đạt được dấu bằng trong bao hàm thức (5.2).

Ví dụ 4.5.4 Lấy X =Y =IR vàx¯= ¯y = 0 Xét hàm sốà(x) trong (3.1) với ϕ(x, y) := (x−y 2 ) 2 và G(x) :=IR.

Sử dụng (3.1) và (3.3) ta tìm đ−ợc à(x) x 2 nÕu x0

4.5 D−ới vi phân Fréchet của hàm giá trị tối −u 127 và

Trong khi ánh xạ nghiệmM(ã)không có lát cắt Lipschitz trên địa phương, đẳng thức vẫn xảy ra trong (5.2) vì rằng

Giả thiết về sự tồn tại của lát cắt Lipschitz trên địa phương là điều kiện đủ, tuy nhiên, nó không phải là điều kiện cần thiết để đạt được dấu đẳng thức trong (5.2).

Bài tập 4.5.2 Bằng các tính toán cụ thể, hãy kiểm tra các kết quả nói trong các ví dụ 4.5.1-4.5.4.

Dựa vào các định lý 4.5.1 và 4.5.2, chúng ta có thể xác định quy tắc tính vi phân Fréchet cho tổng hai hàm số cũng như quy tắc hàm hợp tương ứng Ngoài ra, các quy tắc tương tự cũng được trình bày trong tài liệu của Mordukhovich, Nam và Yen.

(2006) Nhận xét rằng các quy tắc tính toán chính xác 60 các phần tử d−ới gradient Fréchet (khác với các quy tắc tính toán mờ 61 trong Borwein và Zhu

(2005), Mordukhovich (2006a)) thu đ−ợc ở đây là khá thú vị.

Hệ quả 4.5.1 (Quy tắc tính d−ới vi phân Fréchet của tổng) Cho ϕ i :X → IR (i = 1,2) là các hàm số thực, hữu hạn tại x Giả sử rằng¯ ∂ + ϕ 1(¯x) =∅ Khi đó

Chứng minh Đặt ϕ(x, y) =ϕ 1 (x) +y, G(x) = [ϕ 2 (x),∞) và để ý rằng gphG=epiϕ 2 , trong khi à(x) := inf y∈G ( x ) ϕ(x, y) =ϕ 1 (x) +ϕ 2 (x).

Ngoài ra, y¯ := ϕ 2 (¯x) ∈ M(¯x), ở đó M đ−ợc xác định bởi (3.3) Lấy tùy ý x ∗ ∈∂ + ϕ 1(¯x), ta có (x ∗ ,1) ∈∂ + ϕ(¯x,y) Do Định lý 4.5.1,¯

Quy tắc (5.8) đã đ−ợc chứng minh 2

D−ới vi phân Mordukhovich của hàm giá trị tối −u

Trong phần này, chúng ta sẽ trình bày các công thức đánh giá dưới vi phân Mordukhovich của hàm giá trị tối ưu (3.1) Dưới vi phân Mordukhovich được định nghĩa qua giới hạn, cụ thể là giới hạn trên theo dãy theo nghĩa Painlevé-Kuratowski của một họ ε−d−ới vi phân Fréchet (tham khảo công thức (2.5)) Do đó, các kết quả trong phần này có độ phức tạp cao hơn so với các kết quả tương ứng ở Mục 4.5, và sự phức tạp này được thể hiện rõ ràng trong các phân tích tiếp theo.

- giả thiết của các định lý sẽ cồng kềnh hơn,

- điều kiện để các đánh giá dạng bao hàm thức đạt đ−ợc dấu bằng sẽ ngặt nghèo hơn.

Các dưới vi phân suy biến nêu ra trong Mục 4.2 sẽ giữ vai trò then chốt trong nội dung này Điều kiện chính quy, hay còn gọi là điều kiện chuẩn hoá ràng buộc, thường được thể hiện qua các dưới vi phân suy biến trong các định lý.

4.6 D−ới vi phân Mordukhovich của hàm giá trị tối −u 137

Trong bài viết này, chúng ta giả định rằng các không gian X và Y là các không gian Asplund Đồng thời, hàm giá trị ϕ trong (3.1) được xem là nửa liên tục dưới và ánh xạ đa trị mô tả ràng buộc G là ánh xạ có đồ thị đóng trong lân cận của điểm được xét Điều này có nghĩa là giao của tập gph G với một hình cầu đóng, có bán kính dương, chứa điểm được xét là tập đóng trong X và Y.

Cấu trúc của các công thức đánh giá dưới vi phân Mordukhovich ∂à(¯x) và dưới vi phân suy biến ∂ ∞ à(¯x) của hàm giá trị tối ưu khác với các công thức trong Mục 4.5, mặc dù vẫn có nhiều điểm tương đồng Sự khác biệt chủ yếu là không giả thiết ∂ + ϕ(¯x,y)¯ = ∅ và thay vì sử dụng giao của một họ tập theo tham số (x ∗ , y ∗ )∈∂ + ϕ(¯x,y)¯ như trong Định lý 4.5.1, chúng ta sẽ sử dụng hợp của họ tập theo các tham số (x ∗ , y ∗ )∈∂ϕ(¯x,y)¯ hoặc (x ∗ , y ∗ )∈∂ ∞ ϕ(¯x,y)¯ để đánh giá các dưới vi phân ∂à(¯x) và ∂ ∞ à(¯x) Ngoài ra, cần có những giả thiết phụ về tính compact pháp tuyến theo dãy của ánh xạ G và tính epi-compact pháp tuyến theo dãy của hàm số ϕ.

Các đánh giá cho ∂à(¯x) và ∂ ∞ à(¯x) có mối liên hệ chặt chẽ với các điều kiện đủ cho tính Lipschitz địa phương của à(ã) và các điều kiện cần thiết để đạt cực trị trong bài toán tối ưu tương ứng.

Chúng ta sẽ so sánh các kết quả thu đ−ợc ở đây với các kết quả đã thu đ−ợc bằng những cách tiếp cận khác.

Giả sử x¯∈domM và y¯∈M(¯x) với M(ã) được xác định bởi (3.3) Định nghĩa 4.6.1 xác định ánh xạ nghiệm M(ã) là à-nửa liên tục dưới nội bộ tại (¯x, y¯) nếu với mỗi dãy x k → à x¯ tồn tại dãy y k ∈M(x k) sao cho dãy {y k} có một dãy con hội tụ đến y¯ Định nghĩa 4.6.2 cho biết ánh xạ nghiệm M(ã) được gọi là à-bán-compắc nội bộ tại x¯ nếu với mỗi dãy x k → à x¯ tồn tại dãy y k ∈ M(x k) sao cho dãy {y k} có một dãy con hội tụ.

Các tính chất được đề cập trong hai định nghĩa trên là sự mở rộng của các tính chất nửa liên tục dưới nội bộ và bán-compắc nội bộ, được xác định cho các ánh xạ đa trị tổng quát theo Mordukhovich (2006a), Định nghĩa 1.63 Sự khác biệt chính là điều kiện x k → x¯ trong Mordukhovich (2006a) giờ đây được thay thế bằng một điều kiện yếu hơn là x k → x Cần lưu ý rằng hai định nghĩa này chỉ áp dụng cho ánh xạ nghiệm có dạng (3.3).

Các điều kiện cần thiết cho tính chất à-nửa liên tục và tính chất à-bán-compắc nội bộ của ánh xạ nghiệm đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả như Clarke (1983), Gauvin và Dubeau (1982), Gollan (1984), Mordukhovich (1992), và Rockafellar (1982) Cụ thể, tính chất à-bán-compắc nội bộ đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích các ánh xạ nghiệm.

M(ã) tại x¯ phản ánh tính thuần 72 của nó, một đặc điểm được Rockafellar (1982) xác định cho không gian hữu hạn chiều, và sau đó Gollan (1984) đã mở rộng khái niệm này cho không gian vô hạn chiều.

Ví dụ 4.6.1 Đặt X=Y =IR, ϕ(x, y) =xy, G(x) = [−1,1]với mọi x∈X, ¯ x= 0 Xét hàmà(ã) cho bởi (3.1) và ánh xạ đa trịM(ã) cho bởi (3.3) Khi đó, à(x) ⎧⎨

Vì vậy, x k tiến tới 0 khi và chỉ khi x k tiến tới à 0 Dựa trên các công thức xác định à và M, ta có thể kết luận rằng M là à-bán-compắc nội bộ và cũng là bán-compắc nội bộ tại x Tuy nhiên, M không phải là à-nửa liên tục dưới nội bộ tại điểm (¯x,y) với bất kỳ điểm ¯y ∈ M(¯x) = [−1,1]nào.

Từ đó ta tính đ−ợc à(x) −1 nÕu x0,

Lấy điểm (¯x,y) = (0,¯ −1) thuộc đồ thị của M, ta thấy rằng điều kiện x k → à x¯ có nghĩa là x k tiến tới 0 và x k khác 0 với k đủ lớn Điều này dẫn đến việc M là nửa liên tục d−ới nội bộ tại (¯x,y), tuy nhiên, ¯ M không thỏa mãn tính chất này Cụ thể, với dãy ¯ x k :=− 1/k tiến tới 0 = ¯x, không thể tìm dãy y k thuộc M(x k) sao cho y k tiến tới y¯=−1 Về tính chất bán-compắc nội bộ, M được xác định là bán-compắc nội bộ tại ¯ x, do đó nó cũng là à-bán-compắc nội bộ tại ¯ x.

4.6 D−ới vi phân Mordukhovich của hàm giá trị tối −u 139

Kết quả đầu tiên trong mục này là Định lý 4.6.1, với hai khẳng định đầu tiên lấy từ Mordukhovich (2006a), Định lý 3.38, liên quan đến tính chất nửa liên tục dưới nội bộ và bán-compắc nội bộ của M(ã) Các chứng minh trong Mordukhovich (1992) và Mordukhovich cùng Shao (1996a) vẫn giữ nguyên khi áp dụng các tính chất yếu hơn Tính chất thứ ba được thiết lập trong Mordukhovich, Nam và Yen (2007), chứng minh nhờ vào tính chất (i) và Định lý 4.5.2 Định lý 4.6.1 khẳng định rằng nếu M(ã) là ánh xạ nghiệm theo công thức (3.3) và x¯∈domM, thì các khẳng định sau đây là đúng.

(i) Giả sử rằng M là à-nửa liên tục d−ới nội bộ tại (¯x,y)¯ ∈gphM, ϕ là SNEC tại(¯x,y)¯ hoặc Glà SNC tại (¯x,y), và điều kiện chính quy¯

(6.1) ∂ ∞ ϕ(¯x,y)¯ ∩(−Ngph G (¯x,y)) =¯ {0} đ−ợc thỏa mãn (các điều kiện đó tự động thỏa mãn nếu ϕ là Lipschitz địa phương tại(¯x,y)) Khi đó ta có các bao hàm thức¯

(ii) Giả sử rằng M làà-bán-compắc nội bộ tạix¯và các giả thiết khác của

(i)đ−ợc thỏa mãn tại mọi điểm(¯x,y)¯ ∈gphM Khi đó ta có các bao hàm thức

(iii)Ngoài các giả thiết của(i),giả sử thêm rằngϕlà khả vi chặt tại(¯x,y),¯ ánh xạ đa trịM:domG⇒Y có lát cắt Lipschitz trên địa phương tại(¯x,y), và¯

Glà chính quy pháp tuyến tại(¯x,y) Khi đó, hàm giá trị tối¯ −u àlà chính quy dưới tại x¯và (6.2) nghiệm đúng dưới dạng đẳng thức, nghĩa là

Chứng minh Chỉ cần kiểm tra (iii) Do điều kiện ϕ là khả vi chặt tại (¯x,y),¯ (6.3) trở thành bao hàm thức

Mặt khác, Định lý 4.5.2 và tính chính quy pháp tuyến của G tại (¯x,y), cùng¯ với các giả thiết khác của (iii), đảm bảo rằng đẳng thức

∂à(¯ x) =ϕ x (¯x,y) +¯ D ∗ G(¯x,y)(ϕ¯ y (¯x,y))¯ nghiệm đúng đối với dưới vi phân Fréchet của à Vì rằng ta luôn có∂à(¯ x) ⊂

∂à(¯x), từ đó suy ra (6.6) và tính chính quy dưới của àtại ¯x 2

Sử dụng Định lý 4.6.1 để tính toán các dưới vi phân ∂à(¯ x) và ∂ ∞ à(¯ x) của hàm à tại điểm ¯ x = 1 trong Ví dụ 4.6.1 Bên cạnh đó, hãy áp dụng các kết quả ở Mục 4.5 để tính ∂à(¯ x).

Sử dụng Định lý 4.6.1, chúng ta sẽ tính toán các dưới vi phân ∂à(¯ x) và ∂ ∞ à(¯ x) của hàm à trong Ví dụ 4.6.2 tại điểm ¯ x = 0 Đồng thời, cần thực hiện việc tính toán ∂à(¯ x) dựa trên các kết quả đã trình bày ở Mục 4.5.

Dựa vào Định lý 4.6.1 cùng với những tính chất cơ bản của đạo hàm Mordukhovich và đạo hàm suy biến của các hàm số giá trị trong tập số thực suy rộng, chúng ta có thể xác định các điều kiện cần thiết cho cực trị trong các bài toán tối ưu có ràng buộc đa trị Ngoài ra, các điều kiện này cũng giúp đảm bảo tính ổn định Lipschitz cho các bài toán đó.

Hệ quả 4.6.1 Giả sử x¯∈domM, ở đó M đ−ợc cho bởi (3.3), và giả sử y¯ là một nghiệm của bài toán tối −u phụ thuộc tham số:

Tìm cực tiểu hàm số ϕ(¯x, y) với ràng buộc y ∈G(¯x).

D−ới vi phân Mordukhovich của phiếm hàm tích phân

Các kết quả trong mục này thuộc về Nguyễn Huy Chiêu (xem Chieu (2006c)).

Định lý 4.7.1 cung cấp công thức tính tích phân Aumann cho ánh xạ d−ới vi phân Fréchet của hàm số thực Lipschitz Giả sử f : [a, b]→R là hàm số Lipschitz, điều này cho phép áp dụng định lý để phân tích và tính toán các giá trị liên quan đến tích phân Aumann.

Công thức tính tích phân Aumann cho ánh xạ vi phân Mordukhovich tương tự như trường hợp ánh xạ vi phân Clarke Định lý 4.7.2 được chứng minh dựa vào Định lý 3.2.1, công thức (6.14), và Định lý 3.4.1 Nếu hàm số f : [a, b]→R là hàm Lipschitz, thì các điều kiện của định lý này sẽ được áp dụng.

4.7 D−ới vi phân Mordukhovich của phiếm hàm tích phân 149

Các công thức tính vi phân Fréchet và Mordukhovich của phiếm hàm tích phân được trình bày, trong đó hàm số dưới dấu tích phân liên tục tại mọi điểm trong một lân cận ngoại trừ điểm được xét, có thể gián đoạn tại chính điểm đó Định lý 4.7.4 khẳng định rằng hàm số f : [a, b]→IR là hàm số thực khả tích Lebesgue trên đoạn [a, b].

Xét hàm tích phân F(x) được định nghĩa bởi công thức F(x) = ∫[a, x] f(t) dt, với x thuộc khoảng [a, b] Giả sử rằng hàm f liên tục tại mọi điểm trong một lân cận thủng của điểm x¯ thuộc (a, b) và tồn tại các giới hạn hữu hạn α = lim x→ x− ¯ 0 f(t) và β = lim x→ x ¯ +0 f(t).

Bài tập 4.7.1 Xét hàm số f (t) =

1 nÕu t ∈ [0, 1] và phiếm hàm tích phân F (x) :=

−1 f (t) dà Hãy tính các d−ới vi phân

∂F (0) và ∂F (0) theo hai cách: a) Bằng các công thức (7.1) và (7.2); b) Bằng định nghĩa (sau khi xác định đ−ợc công thức hiển của hàm F ).

Bài tập 4.7.2 Xét hàm số f (t) =

−1 nÕu t ∈ [0, 1] và phiếm hàm tích phân F (x) :=

−1 f (t) dà Hãy tính các d−ới vi phân

Công thức tính dưới vi phân Clarke của phiếm tích phân dạng F(x) = x a f(t) đã được trình bày trong tài liệu của Clarke (1983) tại trang 34 Cụ thể, phương pháp này có thể được áp dụng thông qua các công thức (7.1) và (7.2), hoặc theo định nghĩa sau khi xác định công thức hiển của hàm F.

Bài tập 4.7.3 ∗ Sử dụng các định nghĩa trong Mục 4.2 và Định lý giá trị trung bình đối với tích phân Riemann, hãy đ−a ra chứng minh cho Định lý 4.7.4.

Câu hỏi đặt ra là liệu có thể xây dựng các công thức tương tự như (7.1) và (7.2) cho trường hợp hàm f có vô số điểm gián đoạn trong một lân cận thủng của điểm x¯∈ (a, b) hay không Nếu f là hàm hằng giữa bất kỳ hai điểm gián đoạn liên tiếp nào, thì có thể áp dụng Định lý 4.7.5 Định lý này khẳng định rằng với các dãy số thực {t k }, {τ k }, {α k }, và {β k } thỏa mãn điều kiện a < t 0 < t 1 < < t k < t k +1 < < x < < τ¯ k +1 < τ k < < τ 1 < τ 0 = b, và khi k→∞ lim t k = lim k→∞ τ k = ¯x, nếu hai chuỗi ∞ k =1 α k (t k −t k− 1 ) và ∞ k =1 β k (τ k− 1 −τ k ) hội tụ tuyệt đối, thì có thể xem xét phiếm hàm tích phân F(x) = ∫_a^x f(t)dt.

⎩ α i nÕu t i− 1 t < t i , i= 1,2, α 0 nÕu t= ¯x β j nÕu τ j t < τ j− 1 , j = 1,2, Đặt α:=−lim inf k→∞

[β j +1 , β j ], ở đó N 1 := {i∈IN :α i α i +1 }, N 2 := {j ∈IN :β j +1 β j },{ lim i k →∞ α i k } và { lim j k →∞ β j k } t−ơng ứng là tập hợp tất cả các điểm tụ của các dãy {α k } và {β k } Khi đó các khẳng định sau nghiệm đúng:

(ii) Nếuα= +∞ hoặc β=−∞, thì∂F (¯x) =∅ và ∂F(¯x) = Ω.

(iv)Nếuα=−∞vàβ ∈R, thì∂F (¯x) = (−∞, β]và∂F(¯x) = Ω∪(−∞, β].

4.7 D−ới vi phân Mordukhovich của phiếm hàm tích phân 151

Sau đây là 5 ví dụ ứng với 5 khả năng đ−ợc mô tả trong định lý nói trên.

Trong các ví dụ này ta luôn lấy a= 0, b= 1, x¯= 1 2

Ví dụ 4.7.1 Đặt t k = 1 2 − 2 1 k , τ k = 1 2 + 2 1 k , β k = 7 với mọi k∈IN, và α k 3 + 2 1 k nÕu k= 2i

4 + 2 1 k nÕu k= 2i+ 1 ở đó i = 0,1, Bằng tính toán trực tiếp, ta có Ω = [3,4]∪ {7}, α = 11 3 ,

Ví dụ 4.7.2 Đặtt k = 1 2 − 2 1 k , τ k = 1 2 + 2 1 k , β k =β∈R, vàα k 3 2 k với mọi k∈N Ta tính đ−ợc Ω ={β} vàα= +∞ Theo Định lý 4.7.5,∂F (¯x) =∅và

3 2 k víi mọi k∈IN Ta có Ω =∅, α=−∞, vàβ = +∞ Vì vậy, theo Định lý 4.7.5,

3 2 k với mọi k∈IN Ta thấy ngay rằng Ω ={β} và α=−∞ Vì vậy,∂F (¯x) = (−∞, β] và∂F(¯x) = (−∞, β].

Ví dụ 4.7.5 Đặt t k = 1 2 − 2 1 k , τ k = 1 2 + 2 1 k , β k 3 2 k và α k = α ∈ R với mọi k ∈IN Ta có Ω = {α} và β = +∞ Từ Định lý 4.7.5 suy ra rằng

Hệ bất đẳng thức suy rộng

M−a vẫn hay m−a trên hàng lá nhỏ Buổi chiều ngồi ngóng những chuyến m−a qua

Trong chương này, chúng ta khảo sát tính chất của ánh xạ đa trị đặc biệt, cụ thể là ánh xạ nghiệm của hệ bất đẳng thức suy rộng với hàm véctơ liên tục Kết quả sẽ là các định lý hàm ẩn cho ánh xạ đa trị Nguyên lý biến phân Ekeland từ Chương 2 là công cụ thiết yếu cho các chứng minh Bằng cách áp dụng các định lý về tính nửa liên tục dưới và tính giả-Lipschitz của ánh xạ nghiệm, chúng ta sẽ đưa ra các điều kiện đủ cho tính liên tục hoặc tính Lipschitz địa phương của hàm giá trị tối ưu trong bài toán quy hoạch toán học phụ thuộc tham số Hơn nữa, chúng ta sẽ so sánh vi phân Mordukhovich và vi phân theo nghĩa V Jeyakumar và Đinh Thế Lục (hay còn gọi là dưới vi phân J-L), cũng như đối đạo hàm theo nghĩa Mordukhovich và Jacobian xấp xỉ theo nghĩa V Jeyakumar và Đ T Lục, từ đó làm rõ mối liên hệ giữa các khái niệm vi phân này với những khái niệm đã được thảo luận trong Chương 4.

Ch−ơng này đ−ợc viết trên cơ sở các bài báo của Jeyakumar và Yen (2004), Nam và Yen (2007), Yen (1997).

Giáo sư Đinh Thế Lục là một chuyên gia hàng đầu tại Việt Nam về tối ưu véctơ, giải tích không trơn và giải tích đa trị Ông hiện đang công tác tại Viện Toán học Hà Nội và giảng dạy tại Khoa Toán, Đại học Tổng hợp Avignon, Pháp.

Giới thiệu chung

Xét hệ bất đẳng thức suy rộng

Trong bài viết này, chúng ta xem xét hàm véctơ liên tục f: IR n → IR m với điều kiện 0∈f(x) + K, trong đó x thuộc tập hợp C ⊂ IR n và K ⊂ IR m là các tập lồi đóng, không rỗng Nhiễu 2 của hệ (1.1) được biểu diễn dưới dạng một hệ bất đẳng thức suy rộng có tham số.

Trong bài viết này, chúng ta xem xét hàm véctơ f : IR n × P → IR m, với p là tham số biến thiên trong tập P ⊂ IR r Giả sử rằng hàm số f(x, p) là liên tục đối với mỗi p ∈ P và tồn tại một p0 ∈ P sao cho 0 ∈ f(x, p) + K, với x ∈ C.

Nhiễu (1.2) đ−ợc ký hiệu bởi {f(x, p), P, p 0 } Với mỗi p∈P, đặt

Ta có G(p) là tập nghiệm của (1.2) VậyG(ã) là hàm ẩn xác định bởi hệ bất đẳng thức có tham số (1.2) Nhận xét rằng nếu

:={y= (y 1 , , y m )∈IR m : y 1 0, , y s 0, y s +1 = .=y m = 0} thì (1.1) (t−ơng ứng, (1.2)) là một hệ thống gồm s bất ph−ơng trình và m−s phương trình với tập ràng buộc C Ta nói (1.1) là hệ bất đẳng thức trơn (t.ư.,

Lipschitz địa phương, liên tục) nếu f hàm thuộc lớp C 1 (IR n , IR m ) (t.ư., một hàm Lipschitz địa phương, một hàm liên tục).

Robinson (1976b) đã đưa ra một định lý quan trọng về tính ổn định của nghiệm trong hệ bất đẳng thức trơn, cho rằng nếu hệ này chính quy tại một nghiệm, thì nghiệm đó sẽ ổn định trước những biến động nhỏ Kết quả này đã được mở rộng cho các hệ không trơn (Borwein, 1986; Dien và Yen, 1991; Yen, 1987, 1997) và cho các hệ có toán tử nón pháp tuyến (Mordukhovich, 1994c,d; Rockafellar và Wets, 1998) Mục tiêu chính của chương này là thiết lập các điều kiện tổng quát cho tính ổn định của nghiệm trong các bất đẳng thức suy rộng liên tục.

Các định nghĩa và kết quả bổ trợ

Trong bài viết này, chúng tôi thảo luận về các hàm trơn và không nhất thiết phải là Lipschitz địa phương, với dạng (1.1) Chúng tôi áp dụng các kết quả này để phát triển các định lý hàm ngược, định lý ánh xạ mở, và quy tắc nhân tử Lagrange cho bài toán tối ưu với hệ ràng buộc là hệ bất đẳng thức suy rộng, được gọi là bài toán tối ưu có ràng buộc nón 3 khi K là hình nón Mục tiêu này được đạt được thông qua việc sử dụng lý thuyết Jacobian xấp xỉ do các tác giả đề xuất.

V Jeyakumar và Đinh Thế Lục (xem Jeyakumar và Luc (1998, 1999, 2002a,b)) và sử dụng một dạng mở rộng mới của điều kiện chính quy Robinson cho các hàm véctơ liên tục.

Jacobian xấp xỉ theo nghĩa Jeyakumar-Luc là công cụ hiệu quả cho các vấn đề liên quan đến hàm liên tục, không nhất thiết Lipschitz địa phương Nó tuân theo hệ thống quy tắc tính toán đầy đủ, linh hoạt và sắc nét hơn so với Jacobian suy rộng Clarke Jacobian suy rộng Clarke luôn là tập lồi, dẫn đến việc lấy bao lồi không thể tránh khỏi trong tính toán Không chỉ vậy, Jacobian suy rộng Clarke còn là một dạng Jacobian xấp xỉ, cùng với nhiều loại đạo hàm của hàm véctơ, như tiền đạo hàm theo nghĩa Ioffe và ‘thùng đạo hàm’ không giới nội theo nghĩa Warga, cũng là ví dụ về Jacobian xấp xỉ.

Trong Mục 5.8 ở cuối chương này, chúng ta sẽ chứng tỏ rằng đối đạo hàm theo nghĩa Mordukhovich (xem Mordukhovich (1994b), Rockafellar và Wets

Jacobian xấp xỉ và các định lý hàm ẩn là hai khái niệm hoàn toàn khác nhau, điều này giải thích tại sao không thể áp dụng các kết quả từ Mordukhovich (1994a,c) và Rockafellar cùng Wets (1998) vào chương này Trong Mục 5.3, chúng ta sẽ tiến hành so sánh chi tiết hơn về sự khác biệt giữa các định lý hàm ẩn được trình bày ở đây và những kết quả của Mordukhovich.

Trong chương này, chúng tôi mở rộng các định lý hàm ẩn và các điều kiện đủ cho tính liên tục cũng như tính Lipschitz địa phương của hàm giá trị tối ưu, dựa trên các định lý tương ứng trong Yen (1997) Đặc biệt, chúng tôi xem xét trường hợp tập ràng buộc cố định C là khác rỗng, đóng và lồi, trong khi trong nghiên cứu của Yen (1997) chỉ yêu cầu C là khác rỗng và đóng.

5.2 Các định nghĩa và kết quả bổ trợ

Mục này giới thiệu các sự kiện cơ bản liên quan đến xấp xỉ Jacobian, bao gồm các định nghĩa về tính chính quy, mức độ nhiễu chấp nhận được, và tính ổn định của hệ bất đẳng thức suy rộng liên tục theo dạng (1.1).

3 TNTA: cone-constrained optimization problem.

Trong không gian Euclide Z, mặt cầu đơn vị được ký hiệu là S Z Bao đóng của hình nón sinh ra từ tập hợp M ⊂ Z được ký hiệu là coneM Nón đối ngẫu âm của tập M được ký hiệu là M ∗.

Nón lùi xa 6 (xem Jeyakumar và Luc (2002a,b), Rockafellar và Wets (1998))

M ∞ của tập M ⊂Z là tập hợp tất cả những véctơ w∈Z sao cho tồn tại dãy

Dãy số dương {t k} hội tụ đến 0 và dãy {z k} thuộc M dẫn đến w = lim k→∞ t k z k Đối với một hình nón M thuộc Z và một số ε trong khoảng (0,1), lân cận ε-nón M ε của M được xác định theo công thức trong nghiên cứu của Jeyakumar và Luc (2002a,b).

M ε ={z+εzB¯ Z :z∈M}. Để cho đơn giản, ta sẽ viết M ∞ ε thay cho (M ∞ ) ε

Jacobian xấp xỉ là một khái niệm quan trọng trong toán học, được định nghĩa cho ánh xạ liên tục f: IR n → IR m Tập con đóng J f(x) trong không gian L(IR n, IR m), nơi chứa các toán tử tuyến tính từ IR n vào IR m, được gọi là Jacobian xấp xỉ của f tại điểm x¯ ∈ IR n Định nghĩa này nhấn mạnh rằng với mọi vector u = (u 1, , u n) ∈ IR n và v = (v 1, , v m) ∈ IR m, các tính chất liên quan đến Jacobian xấp xỉ sẽ được áp dụng.

A∈Jf (¯ x ) v, Au, ở đó (v◦f)(x) =v 1 f 1 (x) +ã ã ã+v m f m (x) là hàm hợp củav vàf, và

Đạo hàm theo hướng Dini của hàm hợp v◦f tại điểm x¯ theo hướng u được biểu diễn bằng công thức (v◦f)(¯x+tu)−(v◦f)(¯x) Trong trường hợp m = 1, ký hiệu ∂ JL f(¯x) thường được sử dụng thay cho J f(¯x), và ∂ JL f(¯x) được gọi là đạo hàm J-L của f tại x¯.

Bài tập 5.2.1 Chứng minh rằng nếu f là khả vi Fréchet tại x ¯ với đạo hàm Fréchet f (¯ x), thì J f(¯ x) = {f (¯ x)} là một Jacobian xấp xỉ của f tại ¯ x.

Bài tập 5.2.2 Chứng minh rằng nếu (2.1) nghiệm đúng với mọi u ∈

IR n \ { 0 } và v ∈ S IR n , thì J f (¯ x) là Jacobian xấp xỉ của f tại x ¯

7 TNTA: upper Dini directional derivative.

5.2 Các định nghĩa và kết quả bổ trợ 157

Nếu f là hàm véctơ Lipschitz địa phương tại x, nghĩa là tồn tại¯ >0 sao cho f(x )−f(x) x −x với mọi x, x trong một lân cận của x, thì¯ Jacobian suy rộng theo nghĩa Clarke (1983)

(2.3) J Cl f(¯x) :=co k→∞ lim f (x k ) :{x k } ⊂Ω f , x k →x¯ là một Jacobian xấp xỉ lồi, compắc củaf tại x.¯ ở đây

Ω f ={x∈IR n :∃đạo hàm Fréchet f (x) củaf tại x}.

Sự kiện này phát sinh từ các tính chất của Jacobian suy rộng Clarke, như được trình bày trong nghiên cứu của Clarke (1983) Nếu hàm f là Lipschitz địa phương tại điểm x¯ và m = 1, thì tập hợp J Cl f(¯x) sẽ trùng khớp với vi phân suy rộng Clarke ∂ Cl f(¯x) tại điểm x¯, theo tài liệu của Clarke (1983) và Mục 3.4 trong Chương 3.

Bài tập 5.2.3 Cho ϕ(x) = |x|, x ∈ IR Hãy chứng tỏ rằng tập hợp

∂ JL ϕ(0) := {−1, 1} ⊂ ∂ Cl ϕ(0) là một d−ới vi phân J-L của ϕ tại 0.

Bài tập 5.2.4 yêu cầu xét ánh xạ f: IR → IR^2 được xác định bởi công thức f(x) = (|x|, −x) với mọi x ∈ IR Cần chứng minh rằng Jf(0) = [−1, 1] × {−1} và Jf(0) = {−1, 1} × {−1} là các Jacobian xấp xỉ của f tại điểm 0 Sử dụng công thức (2.3) để chứng minh rằng tập hợp ∂f(0) = [−1, 1] × {−1} là Jacobian suy rộng Clarke của f tại 0.

Hãy xem xét một ví dụ đơn giản về Jacobian xấp xỉ của một hàm liên tục, nhưng không phải là Lipschitz địa phương tại điểm được xét Nhiều ví dụ khác cũng được trình bày trong các nghiên cứu của Jeyakumar và Luc (1998, 2002a).

Giả sử hàm f(x) = x^(1/3) với x thuộc IR, ta có x¯ = 0 Khi đó, tập Jacobian J f(¯x) nằm trong khoảng [α, +∞) với α là một số thực tùy ý, thể hiện một Jacobian xấp xỉ của f tại x¯ Đối với x¯ = 0, tập J f(¯x) = {1/3 x¯^(-2/3)} là một Jacobian xấp xỉ của f tại x Điều này cho thấy ánh xạ Jacobian xấp xỉ x → J f(x) là nửa liên tục tại x¯ = 0.

Bài tập 5.2.5 Cho f (x) = −x 1/3 + x, x ∈ IR Hãy chứng tỏ rằng f + (0; u) = −∞ nÕu u > 0 f + (0; u) = + ∞ nÕu u < 0 và

Từ đó hãy suy ra rằng J f (0) := (−∞, α] với α < 0 đ−ợc chọn tùy ý là Jacobian xấp xỉ của f tại 0 Tính nón lùi xa

8ởđây, với mọi A = (α, β) ∈ Jf(0) và với mọi u ∈ IR , ta đặt Au = (αu, βu)

Tồn tại một dưới vi phân J-L không chứa 0 của hàm ϕ tại điểm 0 nếu và chỉ nếu điều kiện nhất định được thỏa mãn Nếu tồn tại, công thức của dưới vi phân này có thể được xác định rõ ràng Để tính nón lùi xa của tập hợp các dưới vi phân đó, cần áp dụng các phương pháp toán học phù hợp nhằm tìm ra các giá trị và đặc điểm của chúng.

Quy tắc hàm hợp là yếu tố then chốt trong việc chứng minh các kết quả ở phần tiếp theo Để đảm bảo sự đầy đủ trong trình bày, chúng tôi sẽ cung cấp chứng minh chi tiết cho mệnh đề này trong Mục 5.6.

Mệnh đề 5.2.1(Quy tắc hàm hợp; xem Jeyakumar và Luc (2002a), Hệ quả 4.2).

Cho f :IR n →IR m là ánh xạ liên tục, g:IR m →IR là hàm số thực liên tục. Giả sử rằng

(i) f có một ánh xạ Jacobian xấp xỉ J f nửa liên tục trên tại x¯∈IR n ;

(ii) g là khả vi Fréchet trong lân cận của f(¯x) và ánh xạ gradient g (ã) là liên tục tại f(¯x) với g (f(¯x))= 0.

Tính ổn định

Mục này trình bày các điều kiện cần thiết cho ánh xạ đa trị p→G(p)∩V, trong đó G(p) là nghiệm của phương trình (1.2) và V là một lân cận của x0 Chúng tôi xem xét tính liên tục nửa dưới trong lân cận của p0, cùng với tính chính quy mêtric của G tại (p0, x0) và tính chất giả-Lipschitz của G tại (p0, x0) Hai ví dụ sẽ được đưa ra để chứng minh rằng, khác với trường hợp hàm ngược đa trị, đối với hàm ẩn đa trị, tính chính quy mêtric và tính giả-Lipschitz là hai khái niệm khác nhau.

Trong mục này có ba định lý chính:

Định lý 5.3.1 đưa ra điều kiện đủ để ánh xạ đa trị bị cắt gọn p→G(p)∩V, trong đó V là một lân cận của 0, và là nửa liên tục dưới trong lân cận của p.

- Định lý 5.3.2 bàn về tính chính quy mêtric của G(ã) tại (p 0 , x 0 );

- Định lý 5.3.3 đề cập đến tính giả-Lipschitz của hàm ẩn G(ã) tại (p 0 , x 0 ).

Trong suốt mục này chúng ta giả thiết rằngx 0 ∈C là một nghiệm của (1.1) và{f(x, p), P, p 0 } là một nhiễu chấp nhận đ−ợc của (1.1) tại x 0

Bổ đề về tính mở đều của họ toán tử tuyến tính là một kết quả quan trọng hỗ trợ cho các kết quả trong bài viết này Đây là một sự mở rộng của Bổ đề 3.1 trong nghiên cứu của Jeyakumar và Luc (2002b), trong đó các tác giả đã xem xét trường hợp K = {0} và P = {p0}.

Bổ đề 5.3.1 Nếu (1.1) là chính quy tại x 0 , thì tồn tại γ >0và δ >0 sao cho

+- cone(K+f(x, p))∩B¯ IR m với mọi x∈B(x¯ 0 , δ)∩C,p∈B(p 0 , δ)∩P, và

Chúng ta sẽ chứng minh Bổ đề 3.1 theo lược đồ trong Jeyakumar và Luc (2002b) Giả sử kết luận của bổ đề là sai Với mỗi k ≥ 1 và δ = k - 1, ta có thể tìm được v_k thuộc B¯ IR^m, x_k thuộc B¯(x_0, k - 1) ∩ C, và p_k thuộc B(p_0, k - 1) ∩ P.

Không giảm tổng quát, ta có thể giả sử rằng k→∞ lim v k =v 0 ∈B¯ IR m

Chúng ta khẳng định rằng, bằng cách lấy dãy con (nếu cần thiết), hoặc

(3.5) lim k→∞ t k A k =A ∗ ∈co((J 1 f(x 0 , p 0 )) ∞ \ {0}) ở đó {t k } là một dãy số dương hội tụ đến 0.

Trước tiên chúng ta hãy chứng tỏ rằng (3.4) và (3.5) dẫn đến điều mâu thuẫn. Nếu (3.4) nghiệm đúng, thì do (1.3) và điều kiện chính quy (2.5) ta có

Vì f(x 0 , p 0) +K ⊂cone(f(x 0 , p 0) +K)), từ bao hàm thức cuối ta suy ra rằng

Ω :=A 0 [T C (x 0 )∩B¯ IR n ] + [cone(f(x 0 , p 0 ) +K)∩B¯ IR m ] là tập lồi compắc, và 0 ∈ Ω Nếu 0 ∈/ intΩ thì, theo định lý tách các tập lồi (xem Rudin (1991), Định lý 3.4), tồn tại η∈S IR m sao cho

Với mỗi v ∈ ℝ^m, tồn tại u ∈ T C (x₀) và v ∈ cone(f(x₀, p₀) + K) sao cho v = A₀u + w Nếu chọn t > 0 đủ nhỏ sao cho u ∈ B̅ ℝⁿ và tw ∈ B̅ ℝ^m, thì tv = A₀(tu) + tw ∈ Ω Do đó, η, tv₀ và do vậy η, v₀ Vì bất đẳng thức đúng với mọi v ∈ ℝ^m, điều này dẫn đến mâu thuẫn Vậy 0 ∈ int Ω Từ đó suy ra có thể tìm được ε > 0 và k₀ > 1 sao cho

DoA k →A 0, tồn tại k 1 k 0 sao cho

Bây giờ ta sẽ chỉ ra rằng tồn tạik 2 k 1 sao cho

+- cone(f(x k , p k ) +K)∩B¯ IR m với mọi k k 2 Thật vậy, nếu điều đó không đúng, thì ta có thể giả sử rằng với mỗi ktồn tại phần tử u k ∈B(v¯ 0 , ε/2) thỏa mãn u k ∈/k 0

Theo định lý tách các tập lồi, tồn tại ξ k ∈S IR m sao cho

(3.10) ξ k , u k ξ k , k 0 (A 0 z+w) với mỗi z∈T C (x k )∩B¯ IR n andw ∈cone(f(x k , p k ) +K)∩B¯ IR m Bằng cách sử dụng các dãy con (nếu cần), ta có thể giả sử rằng k→∞ lim u k =u 0 ∈B(v¯ 0 ,ε

Để chứng minh khẳng định (3.11) đúng với mọi z thuộc tập hợp cone(C−x 0)∩B¯ IR n và w thuộc cone(f(x 0, p 0) +K)∩B¯ IR m, ta chỉ cần xem xét cặp (z, w) thoả mãn hai điều kiện trên Giả sử z=t(c−x 0) và w=τ(f(x 0, p 0) +v), trong đó c thuộc C, t và τ là các số không âm, và v thuộc K Đối với mỗi k, ta định nghĩa z k=t(c−x k) và w k=τ(f(x k, p k) +v).

Khi đó z k ∈ T C (x k ), w k ∈ cone(f(x k , p k ) +K), z k → z và w k → w khi k → ∞ Nếu z k ∈ B¯ IR n thì ta đặt z k = z k Nếu z k ∈/ B¯ IR n thì ta đặt z k = (z/z k )z k Tương tự, nếu w k ∈ B¯ IR m thì ta đặt w k = w k Nếu

5.3 Tính ổn định 163 w k ∈/B¯ IR m thì ta đặt w k = (w/w k )w k Rõ ràng rằngz k ∈T C (x k )∩B¯ IR n vàw k ∈cone(f(x k , p k ) +K)∩B¯ IR m với mỗik Để ý rằngz k →zvàw k →w khik→ ∞ Do (3.10), ta cã ξ k , u k ξ k , k 0(A 0 z k +w k ) với mọi k.

Chok→ ∞ta thu đ−ợc (3.11) Vìu 0 ∈B(v 0 , ε/2), kết hợp (3.11) với (3.7) ta đi đến ξ 0 , v 0 + 2 ε ξ 0 , u 0 sup{ξ 0 , k 0(A 0 z+w) :z∈T C (x 0)∩B¯ IR n , w∈cone(f(x 0 , p 0 ) +K)∩B¯ IR m } sup{ξ 0 , v:v ∈B(v 0 , ε)}

=ξ 0 , v 0 +ε; đó là điều mâu thuẫn Ta đã chứng tỏ rằng tồn tại k 2 k 1 sao cho (3.9) đúng với mọi kk 2 Sử dụng (3.8) và (3.9) ta có

Chọn kk 2 đủ lớn, ta có v k ∈B¯(v 0 , ε/4) Khi đó (3.12) kéo theo

Giả sử nghiệm (3.5) là đúng, theo điều kiện chính quy, ta có (3.6) với A 0 được thay bằng A ∗ Do đó, tồn tại ε > 0 và k 0 > 1 sao cho (3.7) cũng đúng với A 0 thay bằng A ∗ Các tính chất (3.8)–(3.10) vẫn giữ nguyên nếu A 0 được thay bằng A ∗ và A k được thay bằng t k A k Từ đó, tính chất (3.12) có thể được biểu diễn dưới dạng mới.

+- cone(f(x k , p k ) +K)∩B¯ IR m với mọi k k 2 Bằng cách chọn k k 2 đủ lớn sao cho v k ∈ B(v¯ 0 , ε/4) và

0< t k 1 ta nhận đ−ợc (3.13), điều mâu thuẫn với (3.3).

Chứng minh của bổ đề sẽ kết thúc nếu ta có thể chỉ ra rằng hoặc (3.4) hoặc là (3.5) nghiệm đúng 11

Vì J 1 f(ã) là nửa liên tục trên tại (x 0 , p 0 ), tồn tạik 0 1 sao cho

Ta có thể giả sử rằng kết luận đó là đúng với mọik1 Vì vậy, với mỗik1, tồn tại M kj ∈J 1 f(x k , p k ), N kj ∈(J 1 f(x 0 , p 0 )) ∞ , P kj vàP k với

P k 1, P kj 1, λ kj ∈[0,1], j = 1, , nm+ 1 sao cho nm +1 j =1 λ kj = 1 và

A k nm +1 j =1 λ kj (M kj +N kj + 1 kN kj P kj ) + 1 kP k

Nếu các dãy {λ kj M kj } k 1 và {λ kj N kj } k 1, với j= 1, , nm+ 1, đều giới nội, thì dãy {A k} cũng sẽ giới nội Bằng cách xem xét các dãy con, ta có thể giả định rằng khi k tiến tới vô cùng, lim A k = A 0, lim λ kj = λ 0 j, lim λ kj N kj = N 0 j, và lim λ kj M kj = M 0 j cho mỗi j = 1, , nm + 1 Do (J 1 f(x 0, p 0)) ∞ là hình nón đóng, chúng ta có thể rút ra các kết luận cần thiết.

Ngoài ra, ta cũng có nm +1 j =1 λ 0 j = 1 Chúng ta phân chia tổng nm +1 j =1 λ kj M kj thành hai tổng: Tổng thứ nhất

1 bao gồm những số hạng với dãy{M kj } k1 giới nội, và tổng

Trong bài viết này, chúng ta xem xét dãy số hạng {M kj} với k ≥ 1 không giới hạn Các giới hạn λ 0 j, với j thuộc tập chỉ số của tổng thứ hai, đều bằng 0 Đồng thời, các giới hạn M 0 j tương ứng là các hướng lùi xa của tập J 1 f(x 0, p 0).

1 λ 0 j = 1 và, do tính nửa liên tục trên của J 1 f tại (x 0 , p 0 ), k→∞ lim

Phần chứng minh này lặp lại hoàn toàn phần hai của chứng minh Bổ đề 3.1 trong Jeyakumar và Luc (2002b), trong đó M k được thay bởi A k, y k bởi (x k, p k), F(y k) bởi J 1 f(x k, p k), và F(0) bởi J 1 f(x 0, p 0) Tính nửa liên tục của F tại 0 giờ đây được thay bằng tính nửa liên tục của J 1 f tại (x 0, p 0) Để tiện cho sự tra cứu của bạn đọc, chúng tôi trình bày toàn bộ các lập luận chi tiết, khác với cách trình bày rút gọn trong Jeyakumar và Yen (2004).

A 0 ∈coJ 1 f(x 0 , p 0) +co(J 1 f(x 0 , p 0)) ∞ ⊂co(J 1 f(x 0 , p 0)), tức là (3.4) nghiệm đúng.

Trong số các dãy {λ kj M kj } k 1 , {λ kj N kj } k 1 , j = 1, , nm+ 1, nếu có những dãy không giới nội thì bằng cách lấy các dãy con, ta có thể giả sử rằng một trong các dãy, chẳng hạn nh−{λ kj 0 M kj 0 } k1 với j 0 ∈ {1, , nm+ 1}, có phần tử λ kj 0 M kj 0 (k1) là véctơ đạt chuẩn lớn nhất trong số các véctơ λ k 1 M k 1 , , λ k,nm +1 M k,nm +1 , λ k 1 N k 1 , , λ k,nm +1 N k,nm +1.

(Nếu dãy đ−ợc chọn là{λ kj 0 N kj 0 } k 1 , thì ta cũng lập luận t−ơng tự.) Xét dãy

Dãy {A k /λ kj 0 M kj 0 } k 1 là một giới nội, cho phép giả sử nó hội tụ đến một ma trận A ∗ nào đó Do đó, A ∗ thuộc co(J 1 f(x 0 , p 0)) ∞ Cần lưu ý rằng co(J 1 f(x 0 , p 0)) ∞ là nón nhọn; nếu không, co[(J 1 f(x 0 , p 0)) ∞ \ {0}] sẽ chứa ma trận 0, điều này mâu thuẫn với giả thiết về toán tử tràn.

/ λ kj (M kj +N kj + 1 kN kj P kj ) + 1 kP k

/λ kj 0 M kj 0 và vì ta có thể giả sử rằng mỗi số hạng ở tổng bên phải là một dãy giới nội,

A ∗ là tổng hữu hạn của các phần tử thuộc co(J 1 f(x 0 , p 0 )) ∞, với ít nhất một số hạng khác 0, dẫn đến A ∗ là ma trận khác 0, chứng minh rằng (3.5) là đúng Bổ đề đã được chứng minh Định lý tiếp theo sẽ được chứng minh dựa trên lược đồ chứng minh Định lý 3.1 trong Yen (1997) Khác với Jacobian suy rộng Clarke, Jacobian xấp xỉ có thể là các tập không lồi và không compact của các ánh xạ tuyến tính, do đó cần có một số cải tiến trong kỹ thuật chứng minh cho Định lý minimax.

Định lý 5.3.1 về tính ổn định nghiệm chỉ ra rằng nếu hệ thống (1.1) là chính quy tại điểm x₀ và {f(x, p), P, p₀} là một nhiễu chấp nhận được, thì tồn tại các lân cận U của p₀ và V của x₀ sao cho giao điểm G(p) ∩ V không rỗng với mọi p thuộc U Hơn nữa, ánh xạ đa trị G(ã) = G(ã) ∩ V sẽ là nửa liên tục dưới trong U.

Chứng minh rằng (1.1) là chính quy tại x₀ và {f(x, p), P, p₀} là một nhiễu chấp nhận được của (1.1) tại x₀ Theo Bổ đề 5.3.1, tồn tại γ > 0 và δ ∈ (0, δ*) sao cho (3.1) đúng với mọi x ∈ B(x̅₀, δ) ∩ C, p ∈ B(p₀, δ) ∩ P, và A thỏa mãn (3.2) Ở đây, δ* > 0 và U* là số thực cùng lân cận được mô tả trong yêu cầu.

(iv) của Định nghĩa 5.2.3.Cố định một sốλ∈(0, γ − 1 ) Vì0∈f(x 0 , p 0) +Kvà vì ánh xạ đa trịp→f(x 0 , p) +K là nửa liên tục d−ới tạip 0, tồn tạiδ 1 ∈(0, δ) sao cho

Quy tắc nhân tử Lagrange

Dựa trên các định lý hàm ẩn đã được trình bày trước đó, chúng ta sẽ phát triển định lý ánh xạ mở, định lý hàm ngược, và quy tắc nhân tử Lagrange cho bài toán quy hoạch toán học với tập ràng buộc là tập nghiệm của một hệ bất đẳng thức suy réng Định lý 5.4.1 (Định lý ánh xạ mở đa trị) khẳng định rằng nếu C⊂IR n và K⊂IR m là những tập lồi đóng khác rỗng, và f: IR n → IR m là hàm véctơ liên tục, thì với x 0 ∈ C, nếu f có ánh xạ Jacobian xấp xỉ J f nửa liên tục trong một lân cận của x 0, và mỗi toán tử A∈coJ f(x 0 )∪co((J f(x 0 )) ∞ \ {0}) là tràn trên, thì định lý ánh xạ mở sẽ được áp dụng.

C tại x 0 đối với f(x 0 ) +K Khi đó

Chứng minh Đặt P =IR m ,p 0 = 0, f(x, p) =f(x)−p (x∈IR n ) Rõ ràng x 0 là nghiệm của hệ bất đẳng thức suy rộng

Trong bài viết này, chúng ta xem xét phương trình (4.2) với điều kiện 0∈f(x) +K, x∈C, và {f(x, p), P, p 0} là một nhiễu của (4.2) tại x 0 Ánh xạ Jacobian xấp xỉ J f(ã, p) được xác định cho f(ã, p) với mỗi p ∈P, từ đó suy ra rằng {f(x, p), P, p 0} là nhiễu chấp nhận được tại x 0, đồng thời (4.2) cũng chính quy tại x 0 Hơn nữa, với mỗi x∈IR n, f(x,ã) là hàm liên tục trên P Áp dụng Định lý 5.3.1 cho hệ (4.2), ta tìm được lân cận U của p 0 = 0 và lân cận V của x 0 sao cho G(p) :={x∈C :p∈f(x) +K} ∩V không rỗng với mọi p∈U, dẫn đến U ⊂f(C∩V) +K, do đó (4.1) nghiệm đúng Cuối cùng, theo Định lý 5.4.2, ánh xạ đa trị p→G(p) là giả-Lipschitz tại (0, x 0) và tồn tại à >0 cùng với các lân cận U của 0∈IR m và V của x 0 sao cho d(x, G(p)) à d(p, f(x) +K) với mọi p∈U và x∈V, nghĩa là hàm ngược đa trị G(ã) là chính quy mêtric tại (0, x 0).

Chứng minh Lấy P = IR m , p 0, f(x, p) nh− trong chứng minh trên áp dụng Định lý 5.3.2 và Định lý 5.3.3 cho hệ (4.2) với nhiễu chấp nhận đ−ợc

{f(x, p), P, p 0 } ta nhận đ−ợc các kết luận mong muốn 2

5.4 Quy tắc nhân tử Lagrange 175

Nếu K = {0}, thì Định lý 5.4.1 là trùng với định lý ánh xạ mở trong

Jeyakumar và Luc (2002b) yêu cầu giả thiết rằng C là một tập đóng và ánh xạ Jacobian xấp xỉ J f(ã) phải nửa liên tục trong lân cận của x 0, vì chứng minh định lý sử dụng quy tắc hàm hợp tại điểm này Trong nghiên cứu trước đó, Jeyakumar và Luc (2002a) đã chứng minh định lý ánh xạ mở với giả thiết C=IR n, K={0}, và mỗi phần tử A thuộc coJ f(x 0)∪co((J f(x 0)) ∞ \ {0}) là toán tử khả nghịch Định lý 5.4.2 chỉ ra những tính chất địa phương của hàm ngược đa trị của ánh xạ x→ f(x) + K dưới điều kiện K={0} Nếu mỗi phần tử A thuộc coJ f(x 0)∪co((J f(x 0)) ∞ \{0}) tràn trên C tại x 0, thì hàm ngược đa trị là chính quy mêtric tại (0, x 0) và giả-Lipschitz tại (f(x 0), x 0) Hai tính chất này là tương đương cho hàm ngược đa trị, như đã nêu ở cuối mục trước, và tính chính quy mêtric đã được nghiên cứu bởi Borwein và Zhuang (1988), Ioffe (2000), Journani (2000), và Mordukhovich.

(1993, 1994d), Penot (1989), và nhiều tác giả khác (xem các tài liệu đ−ợc trích dẫn trong Journani (2000) và Mordukhovich (1994d)).

Sử dụng Định lý 5.3.1 và định lý tách các tập lồi chúng ta dễ dàng thu đ−ợc các điều kiện cần cực trị cho bài toán tối −u

Tìm cực tiểu của hàm ϕ(x) với ràng buộc x thuộc tập C và 0 thuộc f(x) + K, trong đó ϕ: IR^n → IR và f: IR^n → IR^m là các hàm liên tục, C và K là các tập lồi đóng không rỗng Giả sử ϕ có ánh xạ dưới vi phân J-L∂ JL ϕ(ã) và f có ánh xạ Jacobian xấp xỉ J f(ã) Nếu K = IR^m và x0 thuộc C là nghiệm địa phương của bài toán, thì theo Mệnh đề 5.2.2 và định lý tách (xem trong sách của Rudin), có thể rút ra kết luận quan trọng về điều kiện tối ưu.

(1991), Định lý 3.4) suy ra rằng

Trong trường hợp K = IR m, Định lý 5.4.3 (Điều kiện Fritz-John suy rộng) nêu rằng nếu x0 ∈ C là nghiệm địa phương của phương trình (4.3) và các ánh xạ đa trị ∂ JL ϕ(ã) cùng J f(ã) là nửa liên tục trên một lân cận của x0, thì tồn tại một véctơ khác không (λ0, λ) thuộc một không gian xác định.

IR + ì(−(f(x 0 ) +K) ∗ ), véctơ x ∗ ∈co∂ JL ϕ(x 0 )∪co((∂ JL ϕ(x 0 )) ∞ \ {0}), và toán tửA∈coJ f(x 0 )∪co((J f(x 0 )) ∞ \ {0}) sao cho

NếuK là hình nón, thìλ∈ −K ∗ và λ, f(x 0) = 0.

Chứng minh Giả sử x 0 ∈ C là một nghiệm địa phương của (4.3) Đặt

" f(x) = (ϕ(x) −ϕ(x 0 ), f(x)) với mọi x ∈ IR n Dễ thấy rằng công thức

Jf(x) =" ∂ JL ϕ(x)ìJ f(x)(x∈IR n ) xác định một ánh xạ Jacobian xấp xỉ của

" f Chúng ta khẳng định rằng tồn tạiA"∈coJf"(x 0)∪co((Jf"(x 0)) ∞ \ {0}) sao cho

, ở đóK" :=R + ìK Thật vậy, ta có

Vì x 0 là nghiệm địa phương của (4.3), nên không tồn tại dãy {x k } ⊂ C nào thỏa mãn điều kiện

0∈f"(x k )−q k +K" (∀k), ở đó q k := (−1/k,0) ∈ IRìIR m Từ đó suy ra rằng, với mọi lân cận V của x 0 , ánh xạ đa trịq →G(q)" ∩V ở đó

G(q) ={x∈C : 0∈f"(x)−q+K} (∀q= (α, p)∈IR×IR m ), không là nửa liên tục dưới tạiq 0 := (0,0) Theo Định lý 5.3.1, hệ bất đẳng thức

0∈f"(x) +K," x∈C không thể chính quy tại x 0 Vì thế phải tồn tại

A∈coJf"(x 0 )∪co((Jf"(x 0 )) ∞ \ {0}) thỏa (4.5) Do định lý tách các tập lồi, từ (4.5) suy ra sự tồn tại véctơ khác không (λ 0 , λ)∈IRìIR m thỏa

(4.6) (λ 0 , λ), w0 ∀w∈A(T" C (x 0 )) +f(x" 0 ) +K." Đặt A" = (x ∗ , A), ở đó x ∗ ∈ co∂ JL ϕ(x 0 )∪co((∂ JL ϕ(x 0 )) ∞ \ {0}), và A ∈ coJ f(x 0)∪co((J f(x 0)) ∞ \ {0}) Từ (4.6) suy ra rằngλ 0 α0với mọiα0 vàλ, w0với mọiw∈f(x 0)+K Do đó(λ 0 , λ)∈IR + ì(−(f(x 0)+K) ∗ ). V× 0∈f"(x 0 ) +K, (4.6) còng kÐo theo"

(λ 0 , λ), w0 ∀w∈A(T" C (x 0 )), vậy (4.4) nghiệm đúng NếuKlà hình nón, thì bao hàm thứcλ∈ −(f(x 0 )+K) ∗ kéo theo λ∈ −K ∗ và λ, f(x 0 ) = 0 Định lý đã đ−ợc chứng minh 2

Nếu C = IR n và K = IR s + ì {0} m−s với 0s m, Định lý 5.4.3 mô tả quy tắc nhân tử trong nghiên cứu của Jeyakumar và Luc (2002b; Định lý 5.1) Ngoài ra, các quy tắc nhân tử Lagrange khác, dựa trên khái niệm Jacobian suy rộng, đã được thiết lập bởi Luc (2003) cũng như Wang và Jeyakumar (2000).

Quy tắc nhân tử Lagrange 177, theo Định lý 5.4.4 (Điều kiện Kuhn-Tucker suy rộng), nêu rằng nếu x₀ ∈ C là nghiệm địa phương của (4.3) và các ánh xạ đa trị ∂JLϕ(x) và Jf(x) là nửa liên tục trên một lân cận của x₀, đồng thời điều kiện chính quy (2.5) được thỏa mãn, thì tồn tại λ ∈ −(f(x₀) + K)∗, x∗ ∈ co∂JLϕ(x₀) ∪ co((∂JLϕ(x₀))∞ \ {0}), và A ∈ coJf(x₀) ∪ co((Jf(x₀))∞ \ {0}).

NếuK là hình nón, thìλ∈ −K ∗ và λ, f(x 0) = 0.

Giả sử x 0 ∈ C là nghiệm địa phương của (4.3) Theo Định lý 5.4.3, tồn tại véctơ khác không (λ 0 , λ) ∈ IR + ì(−(f(x 0) +K) ∗ ), với x ∗ ∈ co∂ϕ(x 0 )∪co((∂ϕ(x 0 )) ∞ \ {0}) và A ∈ coJ f(x 0 )∪co((J f(x 0 )) ∞ \ {0}) Điều này cho thấy (4.4) nghiệm đúng Nếu λ 0 = 0, thì (4.4) bao hàm thức λ ∈.

Trong trường hợp λ = 0, phương trình (2.5) không thể nghiệm đúng, điều này dẫn đến kết luận rằng λ > 0 Bằng cách chia cả hai vế của phương trình (4.4) cho λ0 và thay thế λ bằng λ - 0 1 λ nếu cần thiết, chúng ta có thể xác định rằng nghiệm của phương trình (4.7) tồn tại với λ thuộc khoảng −(f(x0) + K) ∗ nào đó.

Nếu ϕ và f là các hàm Lipschitz địa phương, ta có thể chọn dưới vi phân suy rộng Clarke ∂ Cl ϕ(x) của ϕ tại x và Jacobian suy rộng Clarke J Cl f(x) của f tại x, tương ứng làm các tập ∂ JL ϕ(x) và J f(x) Trong trường hợp này, quy tắc nhân tử Lagrange được phát biểu lại như sau.

Hệ quả 5.4.1 Giả sử x 0 ∈C là nghiệm địa phương của (4.3) Giả sửϕ và f là các hàm Lipschitz địa phương Nếu điều kiện chính quy

0∈int(A[T C (x 0 )] +f(x 0 ) +K) ∀A∈∂ Cl f(x 0 ) đ−ợc thỏa mãn, thì tồn tại λ∈ −(f(x 0 ) +K) ∗ ,x ∗ ∈∂ Cl ϕ(x)vàA∈∂ Cl f(x 0 ) sao cho (4.7) nghiệm đúng NếuK là nón, thìλ∈ −K ∗ và λ, f(x 0) = 0.

Phương pháp chứng minh điều kiện Kuhn-Tucker cho bài toán tối ưu trơn có ràng buộc nón được thực hiện dựa trên định lý về tính ổn định, dựa vào khái niệm chính quy của Robinson, như đã được Craven đề xuất (Craven, 1978, tr 60).

Để xây dựng ví dụ cho các định lý 5.4.1-5.4.4 và Hệ quả 5.4.1, có thể xem xét các bài toán tối ưu với tập ràng buộc là tập nghiệm của hệ đẳng thức và bất đẳng thức được đề cập trong các mục 4.5 và 4.6 Trong đó, biến x có thể được coi là tham số p, trong khi biến y đóng vai trò là biến x.

Tính liên tục và tính Lipschitz của hàm giá trị tối −u

Dựa vào các Định lý 5.3.1 và 5.3.3, chúng ta có thể xác định các điều kiện cần thiết để đảm bảo tính liên tục và tính Lipschitz địa phương của hàm giá trị tối ưu trong bài toán tối ưu.

Giả sử rằng C, K, P được xác định như ở Mục 5.4, với f: IR^n \ P → IR^m và ϕ: IR^n \ P → IR là các hàm liên tục Đối với mỗi p ∈ P, hàm f(ã, p) có ánh xạ Jacobian xấp xỉ J 1 f(ã, p) nửa liên tục trong IR^n Chúng ta sẽ xem xét bài toán tối ưu phụ thuộc vào tham số p ∈ P.

(5.1) Tìm cực tiểu ϕ(x, p) với ràng buộc x∈C, 0∈f(x, p) +K.

Ký hiệu tập ràng buộc, giá trị tối −u, và tập nghiệm của (5.1) t−ơng ứng bởi

G(p), ν(p),vàQ(p). Định lý 5.5.1(Tính liên tục của hàm giá trị tối −u) Giả sử rằng

(a) tồn tại tập compắc Σ ⊂IR n sao cho Q(p)∩Σ= ∅ với mọi p trong một lân cận củap 0 ;

(b) tồn tạix 0 ∈Q(p 0 )∩Σsao cho ánh xạ (x, p)→J 1 f(x, p) là nửa liên tục trên tại (x 0 , p 0 ) và

Khi đó,ν là liên tục tại p 0

Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh rằng ν là nửa liên tục d−ới tại p 0 Giả sử phản chứng rằng tồn tại ε >0 và dãyp i →p 0 sao cho

Do điều kiện (a), với iđủ lớn ta chọn đ−ợc x i ∈Q(p i )∩Σ.

Vì Σlà compắc và ánh xạG(ã) là đóng, ta có thể giả sử rằng x i →x¯∈G(p 0 )∩Σ.

5.5 Tính liên tục và tính Lipschitz của hàm giá trị tốiưu 179

Choi→ ∞, từ đó ta có ϕ(¯x, p 0)ν(p 0)−ε, mâu thuẫn với việc ν(p 0 ) là giá trị tối −u của (5.1) ứng với giá trị tham số p=p 0

Bây giờ ta đi chứng minh rằng ν là nửa liên tục trên tạip 0 Do tính liên tục củaϕ, tồn tại lân cậnV ε củax 0 và lân cậnU ε củap 0 sao cho

Để chứng minh kết quả, ta xem xét điều kiện (5.4) với mọi (x, p) thuộc V ε và U ε Áp dụng Định lý 5.3.1, có thể xác định một lân cận U của p 0 sao cho U nằm trong U ε Đối với mỗi p trong U, tồn tại véctơ x(p) thuộc G(p) và V ε Lưu ý rằng từ (5.4), ta có ν(p)ϕ(x(p), p) gần ϕ(x 0 , p 0 ) trong khoảng ε cho mọi p thuộc U.

Vì ε >0 có thể chọn nhỏ tùy ý, ta có lim sup p→p 0 ν(p)ϕ(x 0 , p 0) =ν(p 0).

Chứng minh kết thúc cho Định lý 5.5.2 về tính Lipschitz địa phương của hàm giá trị tối ưu Giả sử rằng hàm ϕ là Lipschitz địa phương trên IR n với điều kiện (a) và một điều kiện bổ sung được thỏa mãn.

(c) với mỗi x 0 ∈Q(p 0 )∩Σ, ánh xạ đa trị (x, p)→J 1 f(x, p) là nửa liên tục trên tại (x 0 , p 0 ), tồn tại k > 0 và các lân cận U 0 của p 0 và V 0 của x 0 sao cho (3.22)nghiệm đúng.

Khi đó,ν là Lipschitz địa phương tại p 0

Vì Q(p) là đóng với mọip, nên Σ 1 là tập compắc Ta đi chứng minh rằng tồn tại >0và tập mởΩ chứaΣ1 sao cho

(5.5) |ϕ(x , p )−ϕ(x, p)|(x −x+p −p) với mọi (x, p) và(x , p ) thuộc Ω Nhận xét rằng tập

E :=co(Q(p 0 )∩Σ) là lồi, compắc Với mỗi x¯∈E, tồn tại ¯ x >0, lân cậnV x ¯ củax¯ và lân cận U ¯ x thỏa mãn

Vì E là compắc, tồn tại x 1 , , x q ∈E sao cho

Rõ ràng Ω là tập mở chứa Σ 1 Giả sử (x, p),(x , p ) ∈ Ω Vì V˜ là lồi, nên [x, x ]⊂V˜ Do đó,

{V x i : i= 1, , q} và tồn tại dãy điểm a 0 := x, a 1 , a 2 , , a s := x thuộc đoạn thẳng [x, x ] sao cho với mỗi j ∈ {0,1, , s−1} tồn tại i ∈ {1, , q} thỏa mãn điều kiện [a j , a j +1]⊂V x i Từ (5.6) ta suy ra rằng

Chúng ta đã thu được kết quả (5.5) Tiếp theo, ánh xạ đa trị p→Q(p)∩Σ là nửa liên tục tại p₀ Cụ thể, nếu pᵢ → p₀, xᵢ → x̄ và xᵢ ∈ Q(pᵢ)∩Σ với mọi i ∈ ℕ, thì x̄ ∈ Q(p₀)∩Σ Bởi vì ν(pᵢ) = ϕ(xᵢ, pᵢ) và ν liên tục tại p₀ theo Định lý 5.5.1, ta có v(p₀) = ϕ(x̄, p₀) Hơn nữa, tính đóng của G(ã) đảm bảo x̄ ∈ G(p₀) Do đó, x̄ thuộc Q(p₀)∩Σ Từ đó, ta suy ra rằng ánh xạ p→Q(p)∩Σ là nửa liên tục tại p₀ Giả sử có một tập mở W ⊂ ℝⁿ, với Q(p₀)∩Σ ⊂ W, và tồn tại dãy pᵢ → p₀.

5.5 Tính liên tục và tính Lipschitz của hàm giá trị tốiưu 181

Với mỗi i ∈ IN, ta chọn một điểm x i thuộc (G(p i )∩Σ)∩(IR n \W) Do Σ là tập compact và IR n \W là tập đóng, ta có thể giả sử rằng dãy con x i hội tụ về một điểm x¯∈IR n \W Tuy nhiên, điều này dẫn đến mâu thuẫn vì x¯ lại thuộc W, trái với tính chất đã chứng minh trước đó rằng ¯ x∈Q(p 0 )∩Σ.

Với mỗi z ∈ Q(p 0) ∩Σ, do giả thiết (c) và do Định lý 5.3.3, tồn tại k z >0, δ z >0, các lân cậnV z củazvàU z củap 0 sao cho(V z +δ z B)ìU z ⊂Ω và

DoQ(p 0)∩Σ là compắc, tồn tạiz 1 , , z q ∈Q(p 0)∩Σsao cho

Do (a), ta có thể giả sử rằng

Nh− ta đã chỉ ra ở trên, ánh xạ p→Q(p)∩Σlà nửa liên tục trên tạip 0; vì vậy tồn tại lân cậnU 1 ⊂U củap 0 sao cho

Hơn thế, ta có thể giả sử rằng

Bây giờ lấy tùy ý p, p ∈U 1 Nếu x¯ ∈Q(p)∩Σ, thì ta có ν(p) =ϕ(¯x, p).Từ (5.8) suy ra rằng có thể chọn đ−ợc i∈ {1, , q}sao cho ¯ x∈(Q(p)∩Σ)∩V z i

Vì thế, do (5.7), tồn tại x ∈G(p ) sao cho

Sử dụng (5.9) ta thu đ−ợc x ∈x¯+δB¯ IR n ⊂V z i +δ z i B¯ IR n

Do đó(x , p )∈Ω Sử dụng (5.5) và (5.10) ta có ν(p )−ν(p) ϕ(x , p )−ϕ(¯x, p)

Vậy ν(ã) là Lipschitz địa phương tạip 0 2

Mệnh đề sau mô tả một tình huống thường gặp, ở đó điều kiện (a) được thỏa mãn.

Mệnh đề 5.5.1 Giả sử rằng

(d) tồn tại x 0 ∈ Q(p 0 ) sao cho ánh xạ đa trị (x, p) → J 1 f(x, p) là nửa liên tục trên tại (x 0 , p 0) và điều kiện (5.2) nghiệm đúng.

(5.12) lim x→ + ∞ ; p→p 0 ϕ(x, p) = +∞, thì điều kiện (a) đ−ợc thỏa mãn.

Rõ ràng (5.12) kéo theo (5.11) Nếu (5.11) thỏa mãn, thì tồn tạiρ >0, λ >0 và lân cậnU 0 củap 0 sao cho

(5.13) ϕ(x, p)ϕ(x 0 , p 0 ) +ρ với mọi(x, p) thỏa mãn x > λ, p∈U 0 Do điều kiện (d), Định lý 5.3.1 áp dụng đ−ợc Vì thế, với mỗi lân cận V của x 0 , tồn tại lân cận U ⊂U 0 của p 0 sao cho

Ngoài ra, có thể chọn V vàU sao cho

Chứng minh Mệnh đề 5.2.1

Vì với mỗi p∈U tồn tại x(p)∈G(p)∩V, nên (5.14) kéo theo ϕ(x(p), p)< ϕ(x 0 , p 0 ) +ρ.

Kết hợp điều này với (5.13), ta thu đ−ợc

Giá trị tối ưu ν(p) đạt được tại một điểm x thuộc G(p)∩Σ, nhờ vào việc G(p) là đóng và ϕ là liên tục Điều này chứng tỏ rằng Q(p) luôn khác rỗng với mọi p thuộc U, xác nhận tính chất (a) đã được thiết lập.

Điều kiện (5.11) được coi là dấu hiệu ổn định cơ bản của hàm mục tiêu, và nếu điều kiện này được thỏa mãn, thì hàm giá trị tối ưu ν(p) sẽ liên tục tại p0 Ngược lại, nếu điều kiện này bị vi phạm, cần tìm kiếm dấu hiệu ổn định khác trong tập ràng buộc Cụ thể, nếu tồn tại tập compact Σ⊂R n sao cho G(p) ⊂ Σ với mọi p trong lân cận của p0 và điều kiện (b) được thỏa mãn, thì theo Định lý 5.5.1, ν sẽ liên tục tại p0 Đặc biệt, có thể chọn Σ = C, nếu C là tập lồi compact.

Bằng cách áp dụng các lược đồ được đề xuất bởi Borwein (1986), từ các định lý 5.3.1 đến 5.3.3, chúng ta có thể phát triển các công thức tính nón tiếp tuyến cho các tập đóng và xác định đạo hàm theo hướng của hàm giá trị tối ưu.

Để minh họa cho Định lý 5.5.1, Định lý 5.5.2 và Mệnh đề 5.5.1, chúng ta có thể xây dựng một số ví dụ đơn giản Một cách tiếp cận là xem xét các bài toán tối ưu hóa có tập ràng buộc là tập nghiệm của hệ đẳng thức hoặc bất đẳng thức được trình bày ở các mục 4.5 và 4.6 Trong đó, biến x có thể được coi là tham số p và biến y sẽ đóng vai trò là biến x Những ví dụ này sẽ giúp làm rõ các khái niệm và ứng dụng của các định lý và mệnh đề đã nêu.

Mục này trình bày chứng minh Mệnh đề 5.2.1 Chúng ta sẽ sử dụng bổ đề sau.

Bổ đề 5.6.1 (theo Jeyakumar và Luc, 2002a) cho rằng nếu F: IR n ⇒ IR s là ánh xạ đa trị nửa liên tục tại x 0 ∈ IR n và t i > 0 hội tụ về 0, với q i ∈ coF(x 0 + t i B¯ IR n) sao cho lim i→∞ q i = ∞ và lim i→∞ q i /q i = q ∗ với q ∗ ∈ IR s, thì q ∗ thuộc (coF(x 0)) ∞ Hơn nữa, nếu co(F(x 0)) ∞ là nón nhọn, thì q ∗ cũng thuộc co(F(x 0)) ∞ = (coF(x 0)) ∞.

13 Hình nón M đ−ợc gọi là nón nhọn nếu M ∩ (−M) = {0}.

Chứng minh Do tính nửa liên tục trên của F tại x 0, với mỗiε >0, tồn tạii 0 đủ lớn sao cho

F(x 0 +t i B¯ IR n )⊂F(x 0 ) +εB¯ IR s với mọi ii 0

V× vËy, q i ∈co(F(x 0 ) +εB¯ IR s )⊂co(F(x 0 ) +εB¯ IR s ) +εB¯ IR s với mọi ii 0

Suy ra q ∗ ∈[co(F(x 0) +εB¯ IR s ) +εB(0,1)] ∞ ⊂[co(F(x 0) +εB¯ IR s )] ∞

Bao hàm thức co(F(x 0 )) ∞ ⊂ (coF(x 0 )) ∞ luôn đúng do F(x 0 ) ⊂ coF(x 0) và (coF(x 0)) ∞ là nón lồi đóng Để chứng minh bao hàm thức ngược lại, giả sử p∈(coF(x 0)) ∞ với p= 0 Theo định lý Caratheodory, tồn tại các tổ hợp lồi p i = s +1 j =1 λ ij p ij với λ ij ≥ 0, trong đó p ij ∈F(x 0 ) và tổng các hệ số λ ij bằng 1, sao cho p/p= lim i→∞ p i /p i và lim i→∞ p i =∞.

Giả sử rằng lim i→∞ λ ij = λ j 0 với i j = 1, , s + 1 và s + 1 j = 1 λ j = 1 Đối với mỗi j, xem xét dãy {λ ij p ij /p i } i 1, chúng ta khẳng định rằng dãy này là giới nội, do đó có thể giả sử rằng nó hội tụ đến một phần tử p 0 j ∈ (F(x 0 )) ∞ Nếu điều này đúng với mỗi chỉ số j, thì p s +1 j = 1 p 0 j ∈ co(F(x 0 )) ∞, điều này cần được chứng minh Để chứng minh, ta giả sử phản chứng rằng {λ ij p ij /p i } i 1 không phải là giới nội Đặt ij = λ ij p ij /p i, bằng cách lấy dãy con nếu cần thiết, ta có thể giả sử rằng a ij 0 = max{a ij : j = 1, , s + 1} với mỗi i, dẫn đến lim i→∞ a ij 0 = ∞.

0 = lim i→∞ p i /(p i a ij 0 ) = lim i→∞ s +1 j =1 a ij /a ij 0

Chúng ta lại có thể giả sử rằng {a ij /a ij 0 } i 0 hội tụ đến một phần tử a 0 j ∈

(F(x 0 )) ∞ với j= 1, , s+ 1vì rằng các dãy là giới nội Vì a 0 j 0 = 0, đẳng

5.6 Chứng minh Mệnh đề 5.2.1 185 thức 0 = s +1 j =1 a 0 j chứng tỏ rằng co(F(x 0)) ∞ không phải là nón nhọn, mâu thuÉn 2

Sử dụng Bổ đề 5.6.1, bây giờ ta sẽ chứng minh Mệnh đề 5.2.1 - một trường hợp riêng của Định lý 4.1 trong Jeyakumar và Luc (2002a).

Chúng ta muốn chỉ ra rằng với mọi u∈IR n vàα∈IR,

(6.1) (αg◦f) + (¯x, u)sup q∈Q (αp 0 qu), ở đó p 0 =g (f(¯x)) và Q:= J f(¯x) + (J f(¯x)) ε ∞ Vì (6.1) là hiển nhiên trong tr−ờng hợp u= 0 hayα = 0, ta giả sử rằngu = 0và α= 0 Giả sử t i >0 là dãy số hội tụ tới 0 sao cho

Từ định lý giá trị trung bình (xem Jeyakumar và Luc (1999), Hệ quả 5.1) suy ra rằng, với mỗit i , tồn tạip i ∈cog ([f(¯x), f(¯x+t i u)])vàq i ∈coJ f([¯x,x¯+t i u]) sao cho

Do giả thiết của chúng ta, lim i→∞ p i =p 0 Bằng cách xét một dãy con (nếu cần thiết), ta chỉ phải khảo sát hai tr−ờng hợp sau:

(a) {q i }hội tụ đến một véctơ q 0 nào đó;

(b) lim i→∞ q i =∞ với {q i /q i } hội tụ đến mộtq ∗ nào đó.

Từ (6.2) và(6.3) suy ra rằng

Trong tr−ờng hợp (a), do tính nửa liên tục trên củaJ f tạix, ta có¯ q 0 ∈coJ f(¯x).

Xét trường hợp (b) theo Bổ đề 5.6.1, ta có q ∗ ∈ (coJ f(¯x)) ∞ Nếu co(J(f(¯x)) ε ∞ không nhọn, thì co(J(f(¯x)) ε ∞ sẽ trùng với toàn bộ không gian L(IR n , IR m) Với u = 0 và tính chất đó cùng giả thiết p 0 = 0, ta suy ra rằng sup q∈Q (αp 0 qu) sup q∈L (IR n , IR m).

Khi (αp 0 qu) = +∞, điều này chứng tỏ rằng nghiệm của (6.1) là đúng Nếu hình nón co(J f(¯x)) ∞ là nhọn, theo Bổ đề 5.6.1, nó sẽ chứa q ∗ Đặt β := αp 0 q ∗ u, nếu β > 0, từ sự kiện λq ∗ ∈ co(J f(¯x)) ∞ với mọi λ0, ta có thể rút ra quan hệ sau: sup q∈Q (αp 0 qu) ≥ sup q∈q r + co(J f(¯x)) ε ∞.

(αp 0 qu)lim sup λ→∞ (αp 0 (q r +λq ∗ )u)+∞, ở đó q r là một phần tử tùy ý của J f(¯x).Quan hệ đó kéo theo (6.1).

Nếu β 0, u >0, y ∗ 2 = 0, trong khi (y ∗ ◦f) + (0;u) +∞ T−ơng tự, nếu ta chọn J f(0) = [0,+∞)ì IR và x¯ = 0, thì (7.8) không đ−ợc thỏa mãn vì sup

Tập hợp A∈Jf(0) y∗, Au = 0 nÕu y∗ 1 > 0, u < 0, y2∗ = 0 cho thấy rằng các tập Jf(0) đã chọn không phải là Jacobian xấp xỉ của f tại 0 Tuy nhiên, tập hợp kiểu Jf(0) : {(−∞,−1]∪[2,+∞)} trong IR là một Jacobian xấp xỉ hợp lệ của f tại 0.

Hàm số f: R → R^2 được định nghĩa bởi công thức f(x) = (−|x|^(1/3), x^(1/3)) với mọi x ∈ R là một hàm liên tục, nhưng không Lipschitz địa phương tại điểm 0 Đồ thị của hàm số này được biểu diễn bởi gph f = {(x, −|x|^(1/3), x^(1/3)): x ∈ R} Bằng cách áp dụng công thức (7.3) và định nghĩa nón pháp tuyến Fréchet NΩ(x), chúng ta có thể chứng minh các tính chất liên quan của hàm số này.

Ngph f ((0,0,0)) =Ngph f ((0,0,0)) =R×W, ở đó W = {y ∗ = (y ∗ 1 , y ∗ 2 ) ∈ R 2 : −y 1 ∗ y 2 ∗ y 1 ∗ } Vì vậy, với mỗi y ∗ = (y ∗ 1 , y ∗ 2 )∈R 2 ta cã

Trong trường hợp còn lại, ánh xạ đối đạo hàm D ∗ f(0)(ã) không thể được biểu diễn dưới dạng một tập hợp toán tử tuyến tính Có thể chứng minh rằng với mọi y ∗ = (y 1 ∗ , y 2 ∗ )∈R 2 và u∈IR, điều này vẫn đúng.

Sử dụng (2.8) ta có thể chứng tỏ rằng tập

J f(0) ={(α,−α) : α0} ∪ {(α, α) : α0} là một Jacobian xấp xỉ củaf tại 0 nếu ta nhúng J f(0)vàoL(R,R 2 ) bằng cách đặt Au= (αu, βu) với mọi A= (α, β)∈J f(0)và u∈IR.

Ví dụ 5.8.3 (Mordukhovich, 1988, tr 65) xem xét hàm f(x) = |x₁| − |x₂| với mọi x = (x₁, x₂) ∈ R² và x̄ = (0,0) Hàm này không lồi, không lõm và không phải là chính quy Clarke tại x̄ = (0,0) Mục tiêu là xác định ánh xạ đối đạo hàm.

D ∗ f(¯x)(ã) :R⇒R 2 ta phải tính đ−ợc nón pháp tuyếnNgph f (¯x) Để ý rằng gphf ={(x 1 , x 2 , t) : t=f(x 1 , x 2 )}

Ký hiệu 4 tập lồi đa diện trong hợp ở vế phải lần l−ợt bởi Γ 1 , Γ 2 , Γ 3 , và Γ 4 Giả sử z= (x 1 , x 2 , t)∈gphf.

Nếu z thuộc vào phần trong tương đối của Γ 1 (tương ứng, Γ 2 , Γ 3 , và Γ4), thì Ngph f (z) = {λ(1,−1,−1) : λ ∈ R} (t−ơng ứng, Ngph f (z) {λ(1,1,−1) : λ∈R}, Ngph f (z) ={λ(−1,1,−1) : λ∈R}, vàNgph f (z) {λ(−1,−1,−1) : λ∈R}).

T Γ 1(z) ={(v 1 , v 2 , α)∈R 3 : v 2 0, 0 =v 1 −v 2 −α}, sử dụng Bổ đề Farkas (xem Rockafellar (1970), tr 200) ta có

5.8 Đối đạo hàm Mordukhovich và Jacobian xấp xỉ 199

DoNgph f (z) =N Γ 1 (z)∩N Γ 2 (z), ta suy ra rằng

Rõ ràng rằng nón pháp tuyến Fréchet này không phụ thuộc vào vị trí củaz= 0 trên nửa đ−ờng thẳngΓ 1 ∩Γ 2

Nếu x 1 2 thì F là tràn.)

Ánh xạ đa trị nửa liên tục trên là một loại ánh xạ mà tại mỗi điểm trong miền xác định, các giá trị ánh xạ có thể tạo thành một tập hợp con không rỗng, trong khi ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới lại yêu cầu rằng tập hợp giá trị ánh xạ phải chứa ít nhất một điểm trong một khoảng lân cận của mỗi điểm Ví dụ, ánh xạ đa trị nửa liên tục trên có thể được minh họa bằng hàm số cho phép giá trị ánh xạ thay đổi theo một cách không liên tục nhưng vẫn giữ được tính liên tục trong một khoảng nhất định, trong khi ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới có thể được chứng minh qua một hàm số mà tại mỗi điểm, giá trị ánh xạ không thể giảm xuống dưới một mức nhất định Hai khái niệm này thể hiện sự khác biệt rõ rệt trong cách mà các giá trị ánh xạ được phân bố và liên kết với miền xác định.

(b) Phát biểu và chứng minh định lý về sự bảo tồn tính liên thông tôpô qua ánh xạ đa trị nửa liên tục d−ới.

(a) Phát biểu định lý điểm bất động Kakutani.

Nếu bỏ đi một trong bốn điều kiện của định lý mà vẫn giữ nguyên ba điều kiện còn lại, kết luận của định lý có thể không còn đúng nữa Ví dụ, nếu điều kiện về tính liên tục bị loại bỏ, có thể xảy ra trường hợp định lý không áp dụng được Tương tự, việc bỏ điều kiện về tính khả vi có thể dẫn đến những kết quả không chính xác Nếu điều kiện về tính đồng nhất không được giữ, định lý cũng có thể không được thực hiện Cuối cùng, nếu điều kiện về tính giới hạn không còn, các kết luận có thể trở nên sai lệch Những ví dụ này cho thấy tầm quan trọng của từng điều kiện trong phát biểu của định lý.

(i) G là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên,

(ii) Gcó giá trị lồi,

(iii) Gcó giá trị đóng,

(iv) Gcó giá trị khác rỗng, ở đó Glà ánh xạ đa trị đ−ợc xét.

Các nón tiếp tuyến T M (¯x), T M b (¯x), và C M (¯x) được định nghĩa như sau: T M (¯x) là nón tiếp tuyến tại điểm ¯x trên mặt phẳng, T M b (¯x) là nón tiếp tuyến bên trong, còn C M (¯x) là nón tiếp tuyến bên ngoài Mối quan hệ giữa các nón này và hình nón cone(M−x) thể hiện sự tương đồng trong cấu trúc hình học, trong đó C M (¯x) bằng với T M b (¯x) và T M b (¯x) lớn hơn T M (¯x) Ba ví dụ chứng minh mối quan hệ này bao gồm: trường hợp nón tiếp tuyến tại điểm cực trị, nón tiếp tuyến cho mặt phẳng cắt qua hình nón, và nón tiếp tuyến cho một đường cong không đều.

(b) Cho ánh xạ đa trị F :R⇒IR,

- HỏiF có phải là ánh xạ đa trị lồi hay không?

- Tính các tập Tgph F (¯z) vàTgph F (z), ở đó z¯= (−1,0) vàz= (0,1).

Công thức của các đạo hàm DF z ¯, DF z 0, CF z ¯ và CF 0 z sẽ được trình bày rõ ràng Cần xem xét xem các đạo hàm này có phải là các quá trình lồi đóng hay không, cũng như đánh giá tính chất ánh xạ tràn của chúng Việc phân tích này sẽ giúp hiểu rõ hơn về tính chất toán học của các đạo hàm này trong bối cảnh nghiên cứu.

Bài 5 (1 điểm) Chọn giải một trong hai bài tập sau:

Cho X, Y là các không gian tôpô, và F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị nửa liên tục trong X Nếu domF là tập compact và F là ánh xạ có giá trị compact, thì ta có thể chứng minh rằng rgeF cũng là tập compact.

2 Cho X, Y là các không gian tôpô,F :X⇒Y là ánh xạ đa trị có đồ thị đóng Chứng minh rằngF(x) là tập đóng với mọix∈X.

Phô lôc B Đề thi hết môn giải tích đa trị ở Đại học S−phạm Tp Hồ Chí Minh

(Ngày thi: 28/8/2003 Lớp Sinh viên chọn, ĐHSP Tp Hồ Chí Minh)

Bài 1 (2 điểm) Cho ánh xạ đa trị F :R⇒R, F(x) ={y∈R : yx 3 }.

(a) Xác định các tập domF và rgeF.

(b) F có phải là ánh xạ đa trị lồi hay không?

(c)F có phải là ánh xạ đa trị đóng (tức là ánh xạ có đồ thị đóng) hay không? (d) Viết công thức tính tập F − 1 (y) với y∈IR.

(e) Xác định tập hợp gph(F − 1 ◦F) Tính tập (F − 1 ◦F)(x) với x∈IR.

Tính hình nón Bouligand T M (¯x) Gọi G : R ⇒ IR là ánh xạ đa trị có đồ thị trùng với hình nónT M (¯x) đó Xác định các tập domGvà rgeG.

Bài 3 (2 điểm) Cho X, Y là các không gian tôpô, F :X ⇒ Y là ánh xạ đa trị Chứng minh rằng nếu

(i) domF là tập liên thông,

(ii) F(x)là tập liên thông với mọi x∈domF, và

(iii) F là nửa liên tục d−ới ở trong X, thì rgeF là tập liên thông.

Bài 4 (1 điểm) đề cập đến không gian tuyến tính X và Y, cùng với ánh xạ tuyến tính A: X → Y và hình nón lồi K ⊂ Y Chúng ta cần chứng minh rằng F: X ⇒ Y, được định nghĩa bởi công thức F(x) = Ax + K (với x ∈ X), là ánh xạ đa trị lồi Hơn nữa, cần chứng minh rằng F là ánh xạ đa trị thuần nhất d−ơng.

Bài 5(1 điểm) ChoX,Y là các không gian tôpô, F :X⇒Y là ánh xạ đa trị có đồ thị đóng Chứng minh rằngF(x) là đóng với mọix∈X.

Tiêu đề	Giáo Trình Giải Tích Đa Trị
Tác giả	Nguyễn Đông Yên
Người hướng dẫn	GS-TSKH Hà Huy Khoái (Chủ tịch), Ngô Việt Trung, Phạm Huy Điển (Thư ký)
Trường học	Viện Toán học
Chuyên ngành	Giải tích đa trị
Thể loại	Giáo trình
Năm xuất bản	2007
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	224
Dung lượng	2,59 MB