Giáo trình giải tích đa trị – Nguyễn Đông Yên

Thông tin tài liệu

Môc nµy ®−a ra mét sè kh¸i niệm và kết quả bổ trợ, đồng thời khảo sát mối quan hệ giữa khái niệm d−ới vi phân J-L một tr−ờng hợp đặc biệt của Jacobian xấp xỉ và d−ới vi phân Mordukhovich[r]

(1)BỘ SÁCH TOÁN CAO CẤP - VIỆN TOÁN HỌC NGUYỄN ĐÔNG YÊN GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH ĐA TRỊ nhà xuất khoa học tự nhiên và công nghệ (2) SÁCH ĐÃ IN TRONG BỘ NÀY: 2000: Phương trình vi phân ₫ạo hàm riêng (Tập 1) Trần Đức Vân 2001: Giáo trình Đại số tuyến tính Ngô Việt Trung Phương trình vi phân ₫ạo hàm riêng (Tập 2) Trần Đức Vân Nhập môn Lý thuyết ₫iều khiển Vũ Ngọc Phát 2002: Giải tích các hàm nhiều biến Đ.T Lục, P.H Điển,T.D Phượng Lý thuyết Hệ ₫ộng lực Nguyễn Đình Công 2003: Lôgic toán và Cơ sở toán học Phan Đình Diệu Giáo trình Đại số ₫ại Nguyễn Tự Cường Lý thuyết không gian Orlicz Hà Huy Bảng Đại số máy tính: Cơ sở Groebner Lê Tuấn Hoa Hàm thực và Giải tích hàm Hoàng Tụy Số học thuật toán H.H Khoái, P.H Điển 2004: Mã hóa thông tin: Cơ sở toán học và ứng dụng P.H Điển, H.H Khoái Lý thuyết Tổ hợp và Đồ thị Ngô Đắc Tân Xác suất và Thống kê Trần Mạnh Tuấn 2005: Giải tích Toán học: Hàm số biến Đ.T Lục, P.H Điển, T.D Phượng Lý thuyết Phương trình vi phân ₫ạo hàm riêng (Toàn tập) Trần Đức Vân Công thức kiểu Hopf-Lax-Oleinik cho phương trình Hamilton-Jacobi Trần Đức Vân Đại số tuyến tính qua các ví dụ và bài tập Lê Tuấn Hoa Lý thuyết Galois Ngô Việt Trung 2007: Lý thuyết tối ưu không trơn N.X Tấn, N.B Minh Giáo trình Giải tích ₫a trị Nguyễn Đông Yên Có thể đặt mua sách trực tiếp Viện Toán học, 18 Hoàng Quốc Việt, Hà Nội Điện thoại 84-4-7563474/205 (Văn phòng); 84-4-7563474/302 (Thư viện) Fax: 84-4-7564303 E-mail: nldan@math.ac.vn (VP), cnanh@math.ac.vn (TV) (3) Lời giới thiệu T rong năm gần đây, nhu cầu sách tham khảo tiếng Việt toán sinh viên các trường Ðại học, nghiên cứu sinh, cán nghiên cứu và ứng dụng toán học tăng lên rõ rệt Bộ sách "Toán cao cấp" Viện Toán học đời nhằm góp phần đáp ứng yêu cầu đó, làm phong phú thêm nguồn sách tham khảo và giáo trình đại học vốn có Bộ sách Toán cao cấp bao gồm nhiều tập, đề cập đến hầu hết các lĩnh vực khác toán học cao cấp, đặc biệt là các lĩnh vực liên quan đến các hướng phát triển mạnh toán học đại, có tầm quan trọng phát triển lý thuyết và ứng dụng thực tiễn Các tác giả sách này là người có nhiều kinh nghiệm công tác giảng dạy đại học và sau đại học, đồng thời là nhà toán học tích cực nghiên cứu Vì thế, mục tiêu các sách sách này là, ngoài việc cung cấp cho người đọc kiến thức nhất, còn cố gắng hướng họ vào các vấn đề thời liên quan đến lĩnh vực mà sách đề cập đến Bộ sách Toán cao cấp có là nhờ ủng hộ quý báu Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam, đặc biệt là cổ vũ Giáo sư Ðặng Vũ Minh và Giáo sư Nguyễn Khoa Sơn Trong việc xuất Bộ sách, chúng tôi nhận giúp đỡ tận tình Nhà xuất Ðại học quốc gia Hà Nội và Nhà xuất Khoa học Tự nhiên và Công nghệ Nhiều nhà toán học và ngoài Viện Toán học đã tham gia viết, thẩm định, góp ý cho sách Viện Toán học xin chân thành cám ơn các quan và cá nhân kể trên Do nhiều nguyên nhân khác nhau, Bộ sách Toán cao cấp chắn còn nhiều thiếu sót Chúng tôi mong nhận ý kiến đóng góp độc giả để sách hoàn thiện Chủ tịch Hội ₫ồng biên tập GS-TSKH Hà Huy Khoái (4) BỘ SÁCH TOÁN CAO CẤP - VIỆN TOÁN HỌC HỘI ĐỒNG BIÊN TẬP Hà Huy Khoái (Chủ tịch) Ngô Việt Trung Phạm Huy Ðiển (Thư ký) (5) GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH ĐA TRỊ Nguyễn Đông Yên Viện Toán học, Viện KH&CN Việt Nam NHÀ XUẤT BẢN KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÀ CÔNG NGHỆ (6) (7) Môc lôc Lêi nãi ®Çu Çc ký hiÖu vµ ch÷ viÕt t¾t TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ 1.1 ¸nh x¹ ®a trÞ 1.2 TÝnh nöa liªn tôc trªn vµ tÝnh nöa liªn tôc d−íi cña ¸nh 1.3 §Þnh lý Kakutani 1.4 Çc qu¸ tr×nh låi 1.5 Çc tÝnh chÊt Lipschitz cña ¸nh x¹ ®a trÞ x¹ ®a trÞ 9 18 27 37 45 §¹o 2.1 2.2 2.3 hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ 47 Nguyªn lý biÕn ph©n Ekeland 47 Nãn tiÕp tuyÕn 53 §¹o hµm 71 TÝch 3.1 3.2 3.3 3.4 ph©n cña ¸nh x¹ ®a trÞ ¸nh x¹ ®a trÞ ®o ®−îc, l¸t c¾t ®o ®−îc TÝch ph©n cña ¸nh x¹ ®a trÞ L¸t c¾t liªn tôc vµ l¸t c¾t Lipschitz TÝch ph©n Aumann cña ¸nh x¹ d−íi vi ph©n Clarke §èi 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 đạo hàm ánh xạ đa trị Sự phát triển lý thuyết đối đạo hàm Các khái niệm lý thuyết đối đạo hàm Vấn đề đánh giá d−ới vi phân hàm giá trị tối −u TÝnh comp¾c ph¸p tuyÕn theo d·y D−íi vi ph©n FrÐchet cña hµm gi¸ trÞ tèi −u D−íi vi ph©n Mordukhovich cña hµm gi¸ trÞ tèi −u D−íi vi ph©n Mordukhovich cña phiÕm hµm tÝch ph©n 77 77 91 95 98 103 104 106 116 118 120 136 148 (8) Hệ bất đẳng thức suy rộng 5.1 Giíi thiÖu chung 5.2 Các định nghĩa và kết bổ trợ 5.3 Tính ổn định 5.4 Quy t¾c nh©n tö Lagrange 5.5 TÝnh liªn tôc vµ tÝnh Lipschitz cña hµm gi¸ trÞ tèi −u 5.6 Chứng minh Mệnh đề 5.2.1 5.7 D−íi vi ph©n Mordukhovich vµ d−íi vi ph©n J-L 5.8 Đối đạo hàm Mordukhovich và Jacobian xấp xỉ 153 154 155 160 174 178 183 186 194 Phô lôc A 201 Phô lôc B 203 Tµi liÖu tham kh¶o 205 Danh môc tõ khãa 215 (9) Lêi nãi ®Çu Giải tích đa trị là h−ớng nghiên cứu t−ơng đối Toán học, mặc dù từ năm 30 kỷ XX các nhà toán học đã thấy cần phải nghiên cứu ¸nh x¹ ®a trÞ, tøc lµ ¸nh x¹ nhËn gi¸ trÞ lµ çc tËp hîp cña mét tËp hîp nµo đó Sự đời tạp chí quốc tế “Set-Valued Analysis” vào năm 1993 là mèc lín qu¸ tr×nh ph¸t triÓn cña h−íng nghiªn cøu nµy Vai trß cña gi¶i tích đa trị Toán học và các ứng dụng toán học đã đ−ợc công nhận rộng r·i Gi¶i tÝch ®a trÞ cã nhiÒu øng dông lý thuyÕt ph−¬ng tr×nh vi ph©n, ph−ơng trình đạo hàm riêng, bất đẳng thức biến phân và ph−ơng trình suy rộng, lý thuyÕt tèi −u, lý thuyÕt ®iÒu khiÓn, tèi −u ®a môc tiªu, khoa häc qu¶n lý, vµ toán kinh tế Hiện hầu nh− tất các kết nghiên cứu tính ổn định và độ nhạy nghiệm các bài toán tối −u phụ thuộc tham số và các bài toán bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số đ−ợc viết ngôn ngữ giải tÝch ®a trÞ Nh÷ng ng−êi ViÖt Nam ®Çu tiªn ®i s©u nghiªn cøu gi¶i tÝch ®a trÞ lµ Gi¸o s− Hoàng Tụy (với công trình điểm bất động ánh xạ đa trị, tính ổn định hệ bất đẳng thức suy rộng, ánh xạ đa trị lồi, ánh xạ tới hạn), Giáo s− Phạm Hữu Sách (với công trình ánh xạ đa trị lồi, đạo hàm ¸nh x¹ ®a trÞ vµ øng dông lý thuyÕt tèi −u vµ ®iÒu khiÓn) vµ cè Gi¸o s− Phan V¨n Ch−¬ng (víi nh÷ng c«ng tr×nh vÒ ¸nh x¹ ®a trÞ ®o ®−îc, lý thuyÕt bao hàm thức vi phân) Sau đây là danh sách không đầy đủ ng−ời Việt Nam đã có công trình nghiên cứu giải tích đa trị và các ứng dông: Th.S Ph¹m Ngäc Anh, Th.S L©m Quèc Anh, Th.S Tr−¬ng Quang B¶o, Th.S NguyÔn Huy Chiªu, TS Lª V¨n Chãng, GS TSKH Phan V¨n Ch−¬ng, TS TrÞnh C«ng DiÖu, TS Ph¹m C¶nh D−¬ng, PGS TSKH Ph¹m Huy §iÓn, TS NguyÔn H÷u §iÓn, PGS TS Tr−¬ng Xu©n §øc Hµ, Th.S NguyÔn Xu©n H¶i, TS TrÇn Ninh Hoa, PGS TS Lª V¨n Hèt, TS NguyÔn §×nh Huy, TS NguyÔn Quang Huy, GS TSKH Phan Quèc Kh¸nh, TS Bïi Träng Kiªn, GS TSKH §inh ThÕ Lôc, TS Lª Minh L−u, TS NguyÔn B¸ Minh, GS TSKH Lª Dòng M−u, TS NguyÔn MËu Nam, TS Huúnh V¨n Ng·i, GS TSKH Van Hien Nguyen, PGS TS TrÇn HuÖ N−¬ng, GS TSKH Vò Ngäc Ph¸t, GS TSKH Hoµng Xu©n Phó, PGS TS Huúnh ThÕ Phïng, TS T¹ Duy Ph−îng, GS TSKH Ph¹m H÷u S¸ch, GS TSKH NguyÔn Khoa S¬n, TS NguyÔn N¨ng T©m, PGS TSKH §ç Hång T©n, PGS TSKH NguyÔn Xu©n TÊn, GS TSKH NguyÔn Hång Th¸i, TS Hoµng D−¬ng TuÊn, TS Lª Anh TuÊn, Th.S NguyÔn §×nh TuÊn, GS Hoµng Tôy, PGS TSKH NguyÔn §«ng Yªn Gi¸o tr×nh nµy ®−îc so¹n trªn c¬ së çc bµi gi¶ng cña t¸c gi¶ vÒ gi¶i tÝch ®a trÞ cho häc viªn cao häc vµ nghiªn cøu sinh ë ViÖn To¸n häc, cho líp sinh viªn (10) chän cña tr−êng §¹i häc S− ph¹m Thµnh phè Hå ChÝ Minh, vµ cho líp cao häc ë Khoa To¸n øng dông thuéc §¹i häc Quèc gia T«n Trung S¬n (The National Sun Yat-Sen University), Cao Hùng, Đài Loan Mục đích chính chúng tôi lµ giíi thiÖu víi çc b¹n sinh viªn, häc viªn cao häc vµ nghiªn cøu sinh mét sè kÕt qu¶ c¬ b¶n cña gi¶i tÝch ®a trÞ Ngoµi ra, chóng t«i còng cè g¾ng tr×nh bµy vài vấn đề đ−ợc quan tâm lý thuyết này TËp s¸ch gåm ch−¬ng: TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ, §¹o hµm cña ¸nh xạ đa trị, Tích phân ánh xạ đa trị, Đối đạo hàm ánh xạ đa trị, và Hệ bất đẳng thức suy rộng Ba ch−ơng đầu t−ơng ứng với phần chính giải tích đa trÞ Ch−¬ng giíi thiÖu mét vµi nÐt vÒ lý thuyÕt vi ph©n B S Mordukhovich đề xuất - lý thuyết thu hút đ−ợc quan tâm đặc biệt nhiều nhóm nghiên cứu trên giới Ch−ơng đ−ợc dành để nghiên cứu tính ổn định nghiệm hệ bất đẳng thức suy rộng cho hàm véctơ liên tục, và çc øng dông C«ng cô chÝnh ë ®©y lµ kh¸i niÖm Jacobian xÊp xØ theo nghÜa V Jeyakumar vµ §inh ThÕ Lôc Jacobian suy réng theo nghÜa F H Clarke cho hàm véctơ Lipschitz địa ph−ơng là tr−ờng hợp riêng khái niệm này (Chúng ta l−u ý là các khái niệm đối đạo hàm, Jacobian xấp xỉ, và Jacobian suy réng Clarke n»m ngoµi khu«n khæ cña lý thuyÕt vi ph©n tr×nh bµy Ch−¬ng 2.) Trong mục th−ờng có số ví dụ minh họa và bài tập giúp bạn đọc củng cố kiến thức cuối sách có hai phụ lục giới thiệu các đề thi hết môn giải tích đa trị hai lớp học Các đề thi này giúp học viên củng cố kiến thức phạm vi hai ch−ơng đầu giáo trình Các định nghĩa, bổ đề, mệnh đề, định lý, nhận xét, ví dụ và bài tập đ−ợc đánh số ba số Ví dụ nh− Định lý 1.2.3 là định lý thứ mục thứ Ch−ơng Các công thức đ−ợc đánh sè b»ng hai chØ sè VÝ dô nh− (2.5) lµ c«ng thøc thø ë môc thø (trong mét ch−ơng nào đó) Để hiểu sâu lý thuyết ánh xạ đa trị và các ứng dụng, bạn đọc có thể tự m×nh nghiªn cøu thªm çc cuèn s¸ch chuyªn kh¶o cña Aubin vµ Ekeland (1984), Aubin vµ Frankowska (1990) - mét nh÷ng tµi liÖu tham kh¶o chÝnh cña chóng t«i so¹n çc bµi gi¶ng vÒ gi¶i tÝch ®a trÞ, Rockafellar vµ Wets (1998), Borwein vµ Zhu (2005), Mordukhovich (2006a,b) Hy väng r»ng tËp s¸ch nhá này có thể giúp bạn đọc có cảm hứng bắt đầu việc tự học gian nan nh−ng thú vị đó Bạn đọc quan tâm đến ứng dụng giải tích đa trị tối −u véctơ cã thÓ tham kh¶o çc cuèn s¸ch chuyªn kh¶o cña GS TSKH §inh ThÕ Lôc (1989), cña PGS TSKH NguyÔn Xu©n TÊn vµ TS NguyÔn B¸ Minh (2006) Xin ch©n thµnh çm ¬n GS TSKH Ph¹m H÷u S¸ch vµ PGS TSKH Ph¹m Huy Điển, ng−ời thầy tận tụy đã truyền cho chúng tôi niềm say mê nghiên cøu gi¶i tÝch ®a trÞ, gi¶i tÝch kh«ng tr¬n, lý thuyÕt tèi −u vµ øng dông Xin ch©n thành cám ơn GS TSKH Trần Đức Vân và GS TSKH Lê Tuấn Hoa đã luôn động viên, khích lệ chúng tôi v−ợt qua trì trệ quá trình viết lách kéo (11) dài Cảm ơn hai Giáo s− phản biện đã đọc kỹ thảo, góp nhiều ý kiến bổ Ých, vµ giíi thiÖu cho cuèn s¸ch ®−îc xuÊt b¶n Xin đ−ợc bày tỏ lòng biết ơn các bậc đàn anh cùng các bạn đồng nghiệp Hội Toán học Việt Nam nói chung, và Viện Toán học nói riêng, đã chia sẻ với chóng t«i nh÷ng nçi vui buån cña ng−êi lµm to¸n Cảm ơn các bạn sinh viên, học viên cao học và nghiên cứu sinh đã nhiệt tình tham dự các bài giảng đ−ợc lấy làm sở để soạn giáo trình này Cảm ơn Th.S Nguyễn Huy Chiêu đã thông báo cho chúng tôi số kết nghiên cứu để giới thiệu hai mục Ch−ơng và Ch−ơng Tập sách này đ−ợc dành để t−ởng nhớ Kỹ s− kinh tế Nguyễn Thị Minh Tâm (1963–2001), biªn tËp viªn T¹p chÝ Con sè vµ Sù kiÖn, ng−êi em g¸i th©n yªu cña t¸c gi¶ Mặc dù chúng tôi đã cố gắng, việc biên soạn chắn không tránh khỏi thiếu sót Chúng tôi mong nhận đ−ợc ý kiến phê bình, góp ý quý bạn đọc gửi hộp th− email ndyen@math.ac.vn, gửi địa Viện Toán học, ViÖn Khoa häc vµ C«ng nghÖ ViÖt Nam, 18 Hoµng Quèc ViÖt, Hµ Néi Ch©n thµnh çm ¬n TS T¹ Duy Ph−îng, TS NguyÔn Quang Huy, TS NguyÔn Mậu Nam và Th.S Nguyễn Huy Chiêu đã dành thời gian đọc thảo tập s¸ch nµy vµ gãp nhiÒu ý kiÕn bæ Ých §Æc biÖt, xin çm ¬n TS NguyÔn Quang Huy đã vẽ lại toàn các hình vẽ ch−ơng trình đồ họa trên máy tính Ngµy 25 th¸ng n¨m 2007 T¸c gi¶ (12) Çc ký hiÖu vµ ch÷ viÕt t¾t TNTA F :X⇒Y dom F rge F gph F ker F F −1 : Y ⇒ X [x, y] IN Q IR C ∅ IR = IR ∪ {−∞, +∞} [0, 1] (0, 1) IRn n IR+ x x x, y A A IRm×n detA B(x, δ) B̄(x, δ) BX B̄X SX X∗ B̄X ∗ int Ω Ω ∂Ω co Ω co Ω ThuËt ng÷ tiÕng Anh ¸nh x¹ ®a trÞ tõ X vµo Y miÒn h÷u hiÖu cña F miÒn ¶nh cña F đồ thị F tËp çc kh«ng ®iÓm cña F ¸nh x¹ ng−îc cña F ®o¹n th¼ng {(1 − t)x + ty : t 1} nèi hai ®iÓm x, y kh«ng gian vÐct¬ X tËp sè nguyªn d−¬ng tËp sè h÷u tØ tËp sè thùc tËp sè phøc tËp rçng tËp sè thùc suy réng tËp sè thùc {t ∈ IR : t 1} tËp sè thùc {t ∈ IR : < t < 1} kh«ng gian Euclide n chiÒu tập hợp véctơ với tọa độ không âm IRn vÐct¬ hµng lµ chuyÓn vÞ cña vÐct¬ cét x chuÈn cña vÐct¬ x tÝch v« h−íng cña çc vÐct¬ x vµ y ma trËn chuyÓn vÞ cña ma trËn A chuÈn cña ma trËn A tËp hîp çc ma trËn thùc cÊp m × n định thức ma trận vuông A h×nh cÇu më cã t©m x, b¸n kÝnh δ hình cầu đóng có tâm x, bán kính δ hình cầu đơn vị mở không gian X hình cầu đơn vị đóng X mặt cầu đơn vị X không gian đối ngẫu không gian Banach X hình cầu đơn vị đóng X∗ phÇn cña Ω bao đóng Ω biªn cña Ω bao låi cña Ω bao lồi đóng (=bao đóng bao lồi) Ω (13) d(x, Ω) cone M ri D aff D extr D 0+ D TΩ (x) TΩb (x) CΩ (x) N̂Ω (x) NΩ (x) NΩCl (x) dom f f (x) f (x; v) f (x; v) f ↑ (x; v) ∂ Cl f (x) ∂ ↑ f (x) ∂ JL f (x̄) ∂f (x) ∂ ∞ f (x) (x) ∂f DFz (·) D b Fz (·) CFz (·) D ∗ F (x̄, ȳ) ∗ F (x̄, ȳ) D ∗ F (x̄, ȳ) DC Cl J f (x̄) Jf (x̄) w xk → x w∗ x∗k → x∗ C (X, Y ) khoảng cách từ điểm x đến tập Ω h×nh nãn sinh bëi tËp hîp M phần t−ơng đối tập lồi D bao aphin cña D tËp çc ®iÓm cùc biªn cña D nãn lïi xa cña D nãn tiÕp tuyÕn Bouligand cña Ω t¹i x ∈ Ω, hoÆc nãn tiÕp tuyÕn cña tËp låi Ω t¹i x ∈ Ω nãn tiÕp tuyÕn trung gian (nãn kÒ) cña Ω t¹i x ∈ Ω nãn tiÕp tuyÕn Clarke cña Ω t¹i x ∈ Ω nãn ph¸p tuyÕn Bouligand cña Ω t¹i x ∈ Ω nãn ph¸p tuyÕn qua giíi h¹n (nãn ph¸p tuyÕn Mordukhovich) cña Ω t¹i x ∈ Ω, hoÆc nãn ph¸p tuyÕn cña tËp låi Ω t¹i x ∈ Ω nãn ph¸p tuyÕn Clarke cña Ω t¹i x ∈ Ω miÒn h÷u hiÖu cña hµm sè thùc f đạo hàm Fréchet f x đạo hàm theo h−ớng f x theo h−ớng v đạo hàm Clarke f x theo h−ớng v đạo hàm Clarke-Rockafellar f x theo h−ớng v d−íi vi ph©n Clarke cña f t¹i x d−íi vi ph©n Clarke-Rockafellar cña f t¹i x d−íi vi ph©n J-L (Jeyakumar-Luc) cña f t¹i x d−íi vi ph©n Mordukhovich cña f t¹i x, hoÆc d−íi vi ph©n cña hµm låi f t¹i x d−íi vi ph©n suy biÕn cña f t¹i x d−íi vi ph©n FrÐchet cña f t¹i x đạo hàm contingent F z đạo hàm kề F z đạo hàm Clarke F z đối đạo hàm Mordukhovich F (x̄, ȳ) đối đạo hàm Fréchet F (x̄, ȳ) đối đạo hàm Clarke F (x̄, ȳ) Jacobian Clarke cña hµm vÐct¬ f t¹i x̄, Jacobian xÊp xØ cña hµm vÐct¬ f t¹i x̄ dãy véctơ xk hội tụ đến véctơ x theo t«p« yÕu (®−îc ký hiÖu bëi w) dãy véctơ x∗k hội tụ đến véctơ x∗ theo t«p« yÕu∗ (®−îc ký hiÖu bëi w∗ ) tËp hîp çc hµm f : X → Y kh¶ vi FrÐchet liªn tôc ë trªn X (14) (15) Ch−¬ng TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ Với đời thoáng say mê Còn chán chê suông đời (TrÇn HuyÒn Tr©n, “Uèng r−îu víi T¶n §µ”, 1938) Ch−ơng này giới thiệu các khái niệm và số định lý chính tính liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ 1.1 ¸nh x¹ ®a trÞ Cho X, Y lµ hai tËp hîp bÊt kú Cho F : X ⇒ Y lµ ¸nh x¹ tõ X vµo tËp hîp gåm toµn bé çc tËp cña Y (®−îc ký hiÖu lµ 2Y ) Ta nãi F lµ ¸nh x¹ ®a trÞ tõ X vµo Y Nh− vËy, víi mçi x ∈ X, F (x) lµ mét tËp hîp cña Y Không loại trừ khả là với số phần tử x ∈ X nào đó ta có F (x) là tập rçng Ta th−ờng sử dụng ký hiệu F : X ⇒ Y để kiện X là ánh xạ đa trị tõ X vµo Y Nếu với x ∈ X tập F (x) gồm đúng phần tử Y , thì ta nói F là ánh xạ đơn trị từ X vào Y Khi đó, thay cho ký hiệu F : X ⇒ Y ng−ời ta sö dông ký hiÖu quen thuéc F : X → Y VÝ dô 1.1.1 XÐt ph−¬ng tr×nh ®a thøc (1.1) xn + a1 xn−1 + + an−1 x + an = 0, TNTA (ThuËt ng÷ tiÕng Anh): multifunction, set-valued map, set-valued mapping, point-to-set mapping, correspondence, set-valued operator (16) TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ 10 đó n ∈ IN là số nguyên d−ơng và ∈ IR (i = 1, , n) là các hệ số thực Quy t¾c cho t−¬ng øng mçi vÐct¬ a = (a1 , , an ) ∈ IRn víi tËp nghiÖm, ký hiÖu bëi F (a), cña (1.1) cho ta mét ¸nh x¹ ®a trÞ F : IRn ⇒ C (1.2) từ không gian Euclide IRn vào tập số phức C Theo Định lý đại số, F (a) = ∅ víi mäi a ∈ IRn vµ |F (a)| n ∀a ∈ IRn , đó |M | ký hiệu lực l−ợng tập hợp M Nếu ta đồng số phức x = u + iv ∈ C víi cÆp sè thùc (u, v) ∈ IR2 th×, thay cho (1.2), ta cã ¸nh x¹ F : IRn ⇒ IR2 §Þnh nghÜa 1.1.1 §å thÞ gph F , miÒn h÷u hiÖu dom F vµ miÒn ¶nh rge F cña ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y t−ơng ứng đ−ợc xác định các công thức gph F = {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x)}, dom F = {x ∈ X : F (x) = ∅}, vµ rge F = {y ∈ Y : ∃x ∈ X cho y ∈ F (x)} (Các ký hiệu đó có nguồn gốc từ ba chữ tiếng Anh là “graph”, “domain” và “range”.) Víi F lµ ¸nh x¹ ®a trÞ VÝ dô 1.1.1, ta cã gph F = {(a, x) ∈ IRn × C : xn + a1 xn−1 + + an−1 x + an = 0}, dom F = IRn , rge F = C ánh xạ ng−ợc F −1 : Y ⇒ X ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y đ−ợc xác định bëi c«ng thøc F −1 (y) = {x ∈ X : y ∈ F (x)} (y ∈ Y ) NÕu M ⊂ X lµ mét tËp cho tr−íc th× h¹n chÕ cña F trªn M lµ ¸nh x¹ ®a trÞ F|M : M ⇒ Y ®−îc cho bëi F|M (x) = F (x) ∀x ∈ M Bài tập 1.1.1 Chứng minh gph F −1 = Φ(gph F ), đó Φ : X ìY → Y ì X là song ánh xác định công thức Φ(x, y) = (y, x) (17) 1.1 ¸nh x¹ ®a trÞ 11 §Þnh nghÜa 1.1.2 Cho F : X ⇒ Y lµ ¸nh x¹ ®a trÞ, X vµ Y lµ çc kh«ng gian t«p« Nếu gph F là tập đóng không gian tôpô tích X ì Y , thì F đ−ợc gọi là ánh xạ đóng (hoặc ánh xạ có đồ thị đóng) NÕu X vµ Y lµ çc kh«ng gian tuyÕn tÝnh t«p« vµ nÕu gph F lµ tËp låi kh«ng gian tÝch X × Y , th× F ®−îc gäi lµ ¸nh x¹ ®a trÞ låi2 Nếu F (x) là tập đóng với x ∈ X, thì F đ−ợc gọi là ánh xạ có giá trị đóng NÕu Y lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh t«p« vµ nÕu F (x) lµ tËp låi víi mäi x ∈ X, th× F ®−îc gäi lµ ¸nh x¹ cã gi¸ trÞ låi Bµi tËp 1.1.2 Cho F : X ⇒ Y lµ ¸nh x¹ ®a trÞ, X vµ Y lµ çc kh«ng gian tuyÕn tÝnh t«p« Chøng minh r»ng: (a) Nếu F là ánh xạ đóng, thì F là ánh xạ có giá trị đóng (b) NÕu F lµ ¸nh x¹ ®a trÞ låi, th× F lµ ¸nh x¹ cã gi¸ trÞ låi (c) F lµ ¸nh x¹ ®a trÞ låi vµ chØ (1 − t)F (x) + tF (x ) ⊂ F ((1 − t)x + tx ) ∀x, x ∈ X, ∀t ∈ (0, 1) Chóng ta nh¾c l¹i r»ng tËp M ⊂ IRk ®−îc gäi lµ tËp låi ®a diÖn nÕu M cã thể biểu diễn d−ới dạng giao của số hữu hạn các nửa không gian đóng cña IRk Çc tÝnh chÊt cña tËp låi ®a diÖn ®−îc tr×nh bµy chi tiÕt cuèn chuyên khảo Rockafellar (1970) Ta có định lý biểu diễn sau đây: “Tập M ⊂ IRk lµ tËp låi ®a diÖn vµ chØ tån t¹i çc ®iÓm a1 , a2 , , ap ∈ M vµ çc ph−¬ng v1 , v , , v q ∈ IRk cho q p p i j ti = 1, M= i=1 ti a + j=1 λj v : t1 0, , 0, i=1 λ1 0, , λq ” (Xem Rockafellar (1970), §Þnh lý 19.1.) Hä çc ®iÓm vµ çc ph−¬ng {a1 , , ap ; v , , v q } ®−îc gäi lµ çc phÇn tö sinh cña M L−u ý r»ng hä çc phÇn tö sinh cña mét tËp låi ®a diÖn nãi chung kh«ng lµ nhÊt Các khái niệm và kết liên quan đến tập lồi, hàm lồi, d−ới vi phân hàm lồi có Rockafellar (1970) - tr−êng hîp kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu, Ioffe vµ Tihomirov (1979) - tr−êng hîp kh«ng gian v« h¹n chiÒu TNTA: polyhedral convex set TNTA: generators (18) TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ 12 Bµi tËp 1.1.3 T×m çc phÇn tö sinh cña çc tËp låi ®a diÖn sau: M = x = (x1 , x2 ) : x1 0, x2 0, x1 + x2 vµ M = x = (x1 , , xn ) : xi −1 ∀i = 1, , n} Bµi tËp 1.1.4 Cho A ∈ IR m×n lµ ma trËn thùc cÊp m × n, C ∈ IR s×n lµ ma trËn thùc cÊp s × n §Æt (1.3) F (b, d) = {x ∈ IRn : Ax b, Cx = d} ∀(b, d) ∈ IRm × IRs , đó bất đẳng thức y z hai véctơ y = (y , , ym ) và z = (z1 , , zm ) thuéc IR m cã nghÜa lµ xi zi víi mäi i = 1, 2, , m.5 Chøng minh r»ng ¸nh x¹ ®a trÞ F : IR n × Rs ⇒ IRn cho bëi (1.3) cã çc tÝnh chÊt sau: gph F lµ mét nãn låi ®a diÖn kh«ng gian tÝch IR m × IRs × IRn (do đó F là ánh xạ đa trị lồi) dom F lµ tËp låi ®a diÖn rge F = IR n Víi mçi (b, d) ∈ IR m × IRs , F (b, d) lµ tËp låi ®a diÖn IR n (cã thÓ lµ tËp rçng) Hãy lấy ví dụ đơn giản để chứng tỏ nói chung thì dom F = IRm × IRs NhËn xÐt r»ng tËp F (b, d) Bµi tËp 1.1.3 lµ tËp nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh vµ bÊt ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh (1.4) Ax b, Cx = d Liên quan đến ánh xạ đa trị F cho (1.3), ta có định lý sau đây §Þnh lý 1.1.1 (Walkup-Wets, 1969; xem Walkup vµ Wets (1969), Mangasarian vµ Shiau (1987), Lee, Tam vµ Yen (2005)) Víi mçi cÆp ma trËn (A, C) ∈ IRm×n × IRs×n tån t¹i mét h»ng sè > cho (1.5) F (b , d ) ⊂ F (b, d) + (b , d ) − (b, d)B̄IRn víi mäi (b, d) vµ (b , d ) thuéc tËp låi ®a diÖn dom F = {(b, d) : F (b, d) = ∅}, Trong c«ng thøc (1.3) còng nh− çc phÐp tÝnh ma trËn sÏ gÆp vÒ sau, vÐct¬ thuéc çc không gian Euclide hữu hạn chiều đ−ợc biểu diễn nh− cột số thực Tuy thế, đơn giản, trên các dòng văn thông th−ờng chúng ta biểu diễn các véctơ cột đó nh− véctơ hµng (19) 1.1 ¸nh x¹ ®a trÞ 13 đó (b , d ) − (b, d) = (b − b2 + d − d2 )1/2 1/2 s m = i=1 (bi − bi ) + j=1 (dj − dj ) víi mäi b = (b1 , , bm ), d = (d1 , , ds ), vµ ⎧ ⎨ B̄IRn = x = (x1 , , xn ) ∈ IRn : x = ⎩ 1/2 n x2i i=1 ⎫ ⎬ 1 ⎭ là hình cầu đơn vị đóng IRn TÝnh chÊt (1.5) cho thÊy r»ng F lµ ¸nh x¹ ®a trÞ Lipschitz trªn dom F víi số > Hằng số này phụ thuộc vào cặp ma trận (A, C) đã cho Các tính chÊt liªn tôc Lipschitz cña ¸nh x¹ ®a trÞ sÏ ®−îc kh¶o s¸t chi tiÕt h¬n ë Môc NÕu X, Y lµ hai kh«ng gian tuyÕn tÝnh t«p«, F : X ⇒ Y lµ ¸nh x¹ ®a trÞ, thì ta dùng các ký hiệu F̄ và co F để các ánh xạ đa trị đ−ợc cho các c«ng thøc F̄ (x) = F (x) ∀x ∈ X vµ (co F )(x) = co (F (x)) ∀x ∈ X, đó M là bao đóng tôpô M và co M là bao lồi M (Tức là co M là tËp låi nhá nhÊt chøa M ) Hiển nhiên F̄ là ánh xạ đa trị có giá trị đóng và co F là ánh xạ đa trị có giá trị lồi Tuy thế, F̄ có thể không phải là ánh xạ đa trị đóng và co F có thể kh«ng lµ ¸nh x¹ ®a trÞ låi! VÝ dô 1.1.2 Cho F (x) = {sin x, cos x} (∀x ∈ IR) Ta cã (co F )(x) = co {sin x, cos x} là ánh xạ đa trị không lồi từ IR vào IR với đồ thị là tập có gạch sọc Hình VÝ dô 1.1.3 Cho F (x) = (0, 1) nÕu x = {0} nÕu x = (20) TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ 14 Râ rµng F̄ (x) = [0, 1] {0} nÕu x = nÕu x = không phải là ánh xạ đa trị đóng H×nh Bao đóng và bao lồi ánh xạ F : X ⇒ Y , đó X và Y là các không gian tuyÕn tÝnh t«p«, lµ çc ¸nh x¹ cl F vµ conv F ®−îc cho t−¬ng øng bëi çc c«ng thøc sau cl F (x) = {y ∈ Y : (x, y) ∈ gph F } ∀x ∈ X vµ conv F (x) = {y ∈ Y : (x, y) ∈ co (gph F )} ∀x ∈ X DÔ thÊy r»ng nÕu F lµ ¸nh x¹ VÝ dô 1.1.2 th× (cl F )(x) = {sin x, cos x} vµ (conv F )(x) = [−1, 1] (∀x ∈ IR) Víi F lµ ¸nh x¹ VÝ dô 1.1.3 ta cã (cl F )(x) = [0, 1] vµ (conv F )(x) = (0, 1) [0, 1) (∀x ∈ IR) nÕu x = 0, nÕu x = §Þnh nghÜa 1.1.3 Cho F : X ⇒ Y vµ G : Y ⇒ Z lµ hai ¸nh x¹ ®a trÞ ¸nh x¹ ®a trÞ G◦F :X ⇒Z (21) 1.1 ¸nh x¹ ®a trÞ 15 cho bëi c«ng thøc (G ◦ F )(x) = x∈X G(F (x)) = x∈X ⎛ ⎝ ⎞ G(y)⎠ , y∈F (x) víi mäi x ∈ X, ®−îc gäi lµ ¸nh x¹ hîp (hay tÝch) cña F vµ G Bµi tËp 1.1.5 Cho X, Y , Z lµ çc kh«ng gian tuyÕn tÝnh, F : X ⇒ Y vµ G : Y ⇒ Z lµ hai ¸nh x¹ ®a trÞ låi Chøng minh r»ng G ◦ F lµ ¸nh x¹ ®a trÞ låi ứng với hàm số thực ϕ : X → IR, đó IR = [−∞, +∞] = IR ∪ {−∞} ∪ {+∞} lµ tËp sè thùc suy réng, ta cã hai ¸nh x¹ ®a trÞ sau ®©y: (1.6) epi ϕ : X ⇒ IR, (epi ϕ)(x) = {µ ∈ IR : µ ϕ(x)} ∀x ∈ X, vµ (1.7) hypo ϕ : X ⇒ IR, (hypo ϕ)(x) = {µ ∈ IR : µ ϕ(x)} ∀x ∈ X Nh¾c l¹i r»ng ϕ ®−îc gäi lµ hµm låi nÕu nh− ϕ((1 − t)x1 + tx2 ) (1 − t)ϕ(x1 ) + tϕ(x2 ) víi mäi x1 , x2 ∈ dom ϕ := {x ∈ X : ϕ(x) < ∞} Ta nãi ϕ lµ hµm lâm nÕu nh− −ϕ là hàm lồi (Theo định nghĩa, (−ϕ)(x) = −ϕ(x) với x ∈ X.) Bµi tËp 1.1.6 Cho X lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh Chøng minh r»ng hµm sè ϕ : X → I¯R lµ låi vµ chØ epi ϕ : X ⇒ IR lµ ¸nh x¹ ®a trÞ låi, ϕ lµ hµm lâm vµ chØ hypo ϕ : X ⇒ IR lµ ¸nh x¹ ®a trÞ låi Chóng ta kÕt thóc môc nµy víi mét vµi vÝ dô vÒ çc ¸nh x¹ ®a trÞ liªn quan đến các bài toán tối −u Ví dụ 1.1.4 Cho X, Y, Z là các không gian định chuẩn Cho f : X ì Z → IR ∪ {+∞} lµ hµm sè thùc, g : X × Z → Y lµ hµm vÐct¬, K ⊂ Y lµ h×nh nãn lồi, đóng; ∆ ⊂ X là tập hợp Xét bài toán tối −u phụ thuộc tham số (Pz ) min{f (x, z) : x ∈ ∆, g(x, z) K 0}, đó y1 K y ⇐⇒ y − y ∈ K (22) 16 TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ TËp hîp G(z) := {x ∈ X : x ∈ ∆, g(x, z) K 0} ®−îc gäi lµ tËp rµng buéc (hay tËp h¹n chÕ, tËp chÊp nhËn ®−îc) cña (Pz ) Hµm sè ϕ(z) := inf{f (x, z) : x ∈ G(z)} ®−îc gäi lµ hµm gi¸ trÞ tèi −u (hay hµm marginal) cña (Pz ) TËp F (z) := {x ∈ G(z) : f (x, z) = ϕ(z)} đ−ợc gọi là tập nghiệm (Pz ) Tập hợp các nghiệm địa ph−ơng (Pz ) ®−îc ký hiÖu lµ F0 (z) Nh− vËy, x̄ ∈ F0 (z) vµ chØ tån t¹i δ > cho f (x, z) f (x̄, z) với x ∈ G(z) ∩ B(x̄, δ), đó B(x̄, δ) := {x ∈ X : x − x̄ < δ} ký hiÖu h×nh cÇu më cã t©m t¹i x̄ vµ b¸n kÝnh δ Hµm gi¸ trÞ tối −u ϕ(ã), ánh xạ G(ã), và các ánh xạ nghiệm F (ã), F0 (ã) là đối t−ợng nghiên cứu chính lý thuyết ổn định tối −u hoá; xem Bonnans và Shapiro (2000) và tài liệu dẫn đó Trong lý thuyết đó ng−ời ta đ−a điều kiện cần và đủ để ϕ, G, F và F0 liên tục (theo nghĩa nào đó) khả vi (theo nghĩa nào đó), tùy thuộc vào cấu trúc cụ thể lớp bµi to¸n (Pz ) ®−îc xÐt Trong çc ch−¬ng sau chóng ta sÏ kh¶o s¸t mét sè ®iÒu kiện kiểu đó Mét tr−êng hîp riªng cña bµi to¸n tèi −u phô thuéc tham sè xÐt VÝ dô 1.1.4 lµ bµi to¸n quy ho¹ch toµn ph−¬ng phô thuéc tham sè Ví dụ 1.1.5 Cho các ma trận A ∈ IRmìn , C ∈ IRsìn và ma trận đối xứng D ∈ IRn×n XÐt bµi to¸n quy ho¹ch toµn ph−¬ng x Dx + c x : x ∈ IRn , Ax b, Cx = d (1.8) phô thuéc vµo tham sè z = (c, b, d) ∈ IRn × IRm × IRs ë ®©y ký hiÖu phÐp chuyÓn vÞ ma trËn vµ vÐct¬ Ký hiÖu hµm gi¸ trÞ tèi −u, tËp h¹n chÕ, tËp nghiÖm và tập nghiệm địa ph−ơng (1.8) t−ơng ứng ϕ(c, b, d), G(b, d), Sol(c, b, d) vµ loc(c, b, d) TÝnh chÊt cña hµm ϕ vµ çc ¸nh x¹ ®a trÞ Sol(·), loc(·) phô thuéc khá nhiều vào tính chất ma trận D Ví dụ nh−, D là ma trận xác định d−ơng (tức là v Dv > với v ∈ IRn \ {0}) thì Sol(ã) là ánh xạ đơn trị, liªn tôc trªn tËp dom G = {(b, d) ∈ IRm × IRs : G(b, d) = ∅} Ngoµi ra, loc(c, b, d) = Sol(c, b, d) víi mäi (c, b, d) ∈ IRn × IRm × IRs Chóng ta l−u ý tính chất Lipschitz ánh xạ G(ã) đã đ−ợc Định lý 1.1.1 Có thể đọc cách có hệ thống các kết tính ổn định nghiệm bµi to¸n quy ho¹ch toµn ph−¬ng Lee, Tam vµ Yen (2005) (23) 1.1 ¸nh x¹ ®a trÞ 17 Trong vÝ dô sau ®©y chóng ta xÐt bµi to¸n quy ho¹ch låi VÝ dô 1.1.6 Cho ∆ ⊂ X lµ mét tËp låi vµ ϕ : X → IR ∪ {∞} lµ mét hµm låi, đó X là không gian định chuẩn Xét bài toán quy hoạch lồi (P ) min{ϕ(x) : x ∈ ∆} Nón tiếp tuyến T∆ (x̄) ∆ x̄ ∈ ∆ đ−ợc định nghĩa công thức T∆ (x̄) = {t(x − x̄) : x ∈ ∆, t 0} Nón pháp tuyến N∆ (x̄) ∆ x̄ ∈ ∆ đ−ợc định nghĩa nh− sau N∆ (x̄) = {x∗ ∈ X ∗ : x∗ , v ∀v ∈ T∆ (x̄)} = {x∗ ∈ X ∗ : x∗ , x − x̄ ∀x ∈ ∆}, đó X ∗ ký hiệu không gian đối ngẫu X và x∗ , v ký hiệu giá trị / ∆, thì ta đặt N∆ (x̄) = ∅ phiÕm hµm tuyÕn tÝnh x∗ ∈ X ∗ t¹i v ∈ X NÕu x̄ ∈ Cã thÓ chøng minh r»ng x̄ ∈ ∆ lµ nghiÖm cña (P ) vµ chØ (1.9) ∈ ∂ϕ(x̄) + N∆ (x̄), đó ∂ϕ(x̄) := {x∗ ∈ X ∗ : x∗ , x − x̄ ϕ(x) − ϕ(x̄) ∀x ∈ X} lµ d−íi vi ph©n (subdifferential) cña ϕ t¹i x̄ ∈ dom ϕ = {x ∈ X : ϕ(x) ∈ IR}; xem Ioffe vµ Tihomirov (1979) §Æt (1.10) F (x) = ∂ϕ(x) + N∆ (x) ∀x ∈ dom ϕ, vµ F (x) = ∅ víi mäi x ∈ / dom ϕ Khi đó bao hàm thức (1.9) trở thành ∈ F (x̄) VËy viÖc gi¶i bµi to¸n (P ) ®−îc quy vÒ viÖc t×m nh÷ng ®iÓm x̄ ∈ X tháa m·n bao hµm thøc ∈ F (x̄), tøc lµ viÖc t×m çc ®iÓm c©n b»ng (çc kh«ng ®iÓm) cña ¸nh x¹ F cho bëi (1.10) HiÓn nhiªn (1.10) lµ ¸nh x¹ ®a trÞ cã gi¸ trÞ låi Tuy thÕ, nã kh«ng nhÊt thiÕt lµ ¸nh x¹ ®a trÞ låi (24) TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ 18 VÝ dô 1.1.7 Cho X = IR, ∆ = [−1, 1], ϕ(x) ≡ Khi ⎧ ∅ ⎪ ⎪ ⎨ (−∞, 0] F (x) := ∂ϕ(x) + N∆ (x) = N∆ (x) = {0} ⎪ ⎪ ⎩ [0, ∞) đó ánh xạ đa trị nÕu x ∈ /∆ nÕu x = −1 nÕu x = (−1, 1) nÕu x = có đồ thị là tập điểm tô đậm Hình Hiển nhiên gph F không phải là tập låi H×nh 1.2 TÝnh nöa liªn tôc trªn vµ tÝnh nöa liªn tôc d−íi cña ¸nh x¹ ®a trÞ Nh¾c l¹i r»ng mét hä çc tËp τ ⊂ 2X cña tËp hîp X ®−îc gäi lµ mét t«p« X nÕu (i) ∅ ∈ τ , X ∈ τ ; (ii) giao cña mét hä h÷u h¹n tuú ý çc tËp thuéc τ l¹i lµ mét tËp thuéc τ ; (iii) hîp cña mét hä tuú ý çc tËp thuéc τ lµ mét tËp thuéc τ Çc tËp thuéc τ ®−îc gäi lµ çc tËp më PhÇn bï X cña mét tËp më đ−ợc gọi là tập đóng Tập X đ−ợc trang bị tôpô τ đ−ợc gọi là không gian tôpô, và đ−ợc ký hiệu (X, τ ) Thay cho (X, τ ), đơn giản, nhiều ta viết X, tôpô τ đã đ−ợc xác định theo cách nào đó Nếu (X, d) lµ mét kh«ng gian mªtric th× ta ký hiÖu bëi B hä çc h×nh cÇu më B(x, ε) := {y ∈ X : d(y, x) < ε} (x ∈ X, ε > 0) (25) 1.2 TÝnh nöa liªn tôc trªn vµ tÝnh nöa liªn tôc d−íi 19 XÐt çc tËp lµ giao cña mét sè h÷u h¹n çc tËp thuéc B, vµ ký hiÖu bëi τ hä çc tËp cã thÓ biÓu diÔn d−íi d¹ng hîp cña mét hä tuú ý çc tËp giao nh− vËy Ta có τ là tôpô trên X; đó chính là tôpô t−ơng ứng với mêtric d đã cho trên X NÕu (X, τ ) lµ mét kh«ng gian t«p« vµ M ⊂ X lµ mét tËp tïy ý th× τM := {U ∩ M : U ∈ τ } lµ mét t«p« trªn M T«p« τM ®−îc gäi lµ t«p« c¶m sinh cña M TËp UM := U ∩ M ®−îc gäi lµ vÕt cña U trªn M Ta đã biết f : X → Y là ánh xạ đơn trị từ không gian tôpô X vào kh«ng gian t«p« Y , th× f ®−îc gäi lµ liªn tôc t¹i x̄ ∈ X nÕu víi mçi tËp më V chøa f (x̄) (V lµ l©n cËn më cña f (x̄) t«p« cña Y ) tån t¹i l©n cËn më U cña x̄ cho f (x) ∈ V ∀x ∈ U Ta nãi f lµ liªn tôc ë trªn X nÕu nã lµ liªn tôc t¹i mäi ®iÓm thuéc X DÔ thÊy r»ng f lµ liªn tôc ë trªn X nÕu, víi mçi tËp më V ⊂ Y , ¶nh ng−îc f −1 (V ) := {x ∈ X : f (x) ∈ V } cña V lµ tËp më X Có thể mở rộng khái niệm ánh xạ đơn trị liên tục sang cho ánh xạ đa trị theo hai çch kh¸c KÕt qu¶ lµ ta thu ®−îc hai kh¸i niÖm cã néi dung hoµn toµn kh¸c nhau: ¸nh x¹ ®a trÞ nöa liªn tôc trªn vµ ¸nh x¹ ®a trÞ nöa liªn tôc d−íi Theo Aubin và Frankowska (1990), hai khái niệm này đã đ−ợc B Bouligand và K Kuratowski ®−a n¨m 1932 Ngµy nay, nhiÒu ng−êi ta dïng çc côm tõ “¸nh x¹ ®a trÞ nöa liªn tôc trªn theo Berge” vµ “¸nh x¹ ®a trÞ nöa liªn tôc d−íi theo Berge” để hai khái niệm này, vì chúng đ−ợc khảo sát khá kỹ cuèn chuyªn kh¶o cña C Berge (1959) Cho F : X ⇒ Y lµ ¸nh x¹ ®a trÞ tõ kh«ng gian t«p« X vµo kh«ng gian t«p« Y §Þnh nghÜa 1.2.1 Ta nãi F lµ nöa liªn tôc trªn t¹i x̄ ∈ dom F nÕu víi mäi tËp më V ⊂ Y tháa m·n F (x̄) ⊂ V tån t¹i l©n cËn më U cña x̄ cho F (x) ⊂ V ∀x ∈ U NÕu F lµ nöa liªn tôc trªn t¹i mäi ®iÓm thuéc dom F , th× F ®−îc gäi lµ nöa liªn tôc trªn ë X TNTA: trace (26) TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ 20 §Þnh nghÜa 1.2.2 Ta nãi F lµ nöa liªn tôc d−íi t¹i x̄ ∈ dom F nÕu víi mäi tËp më V ⊂ Y tháa m·n F (x̄) ∩ V = ∅ tån t¹i l©n cËn më U cña x̄ cho F (x) ∩ V = ∅ ∀x ∈ U ∩ dom F NÕu F lµ nöa liªn tôc d−íi t¹i mäi ®iÓm thuéc dom F , th× F ®−îc gäi lµ nöa liªn tôc d−íi ë X Định nghĩa 1.2.3 Ta nói F là liên tục x̄ ∈ dom F F đồng thời là nửa liªn tôc trªn vµ nöa liªn tôc d−íi t¹i x̄ NÕu F lµ liªn tôc t¹i mäi ®iÓm thuéc dom F , th× F ®−îc gäi lµ liªn tôc ë trªn X VÝ dô 1.2.1 ¸nh x¹ ®a trÞ ⎧ ⎨ {0} F (x) = [−1, 1] ⎩ {1} nÕu x < nÕu x = nÕu x > tõ IR vµo IR lµ nöa liªn tôc trªn ë IR, nh−ng kh«ng lµ nöa liªn tôc d−íi t¹i x̄ = Nh− vËy, F kh«ng ph¶i lµ ¸nh x¹ liªn tôc ë trªn IR H×nh VÝ dô 1.2.2 ¸nh x¹ ®a trÞ F (x) = [0, 1] {0} nÕu x = nÕu x = kh«ng ph¶i lµ ¸nh x¹ liªn tôc ë trªn IR, v× F chØ lµ nöa liªn tôc d−íi t¹i x̄ = 0, không là nửa liên tục trên điểm đó (27) 1.2 TÝnh nöa liªn tôc trªn vµ tÝnh nöa liªn tôc d−íi VÝ dô 1.2.3 ¸nh x¹ ®a trÞ F (x) = [0, 1] [−1, 0] 21 nÕu x lµ sè h÷u tû nÕu x lµ sè v« tû kh«ng ph¶i lµ ¸nh x¹ liªn tôc ë trªn IR; h¬n thÕ, F kh«ng lµ nöa liªn tôc trªn vµ còng kh«ng lµ nöa liªn tôc d−íi t¹i bÊt cø ®iÓm x̄ ∈ IR nµo Bài tập 1.2.1 Chứng minh ánh xạ đơn trị f : X → Y từ không gian t«p« X vµo kh«ng gian t«p« Y lµ liªn tôc t¹i x̄ vµ chØ ¸nh x¹ F : X ⇒ Y cho bëi c«ng thøc F (x) = {f (x)} lµ nöa liªn tôc trªn (hoÆc nöa liªn tôc d−íi) t¹i x̄ H×nh Bài tập 1.2.2 Cho ánh xạ đa trị F : X → Y , đó X và Y là các không gian t«p« Chøng minh r»ng: (a) F lµ nöa liªn tôc trªn ë X vµ chØ nh©n F − (V ) := {x ∈ dom F : F (x) ⊂ V } cña mét tËp më bÊt kú V ⊂ Y lµ tËp më t«p« c¶m sinh cña dom F (b) F lµ nöa liªn tôc d−íi ë X vµ chØ ¶nh ng−îc F −1 (V ) := {x ∈ dom F : F (x) ∩ V = ∅} cña mét tËp më bÊt kú V ⊂ Y lµ tËp më t«p« c¶m sinh cña dom F ; xem H×nh Bµi tËp 1.2.3 H·y chøng tá r»ng ¸nh x¹ ®a trÞ F (x) = co {sin x, cos x} tõ IR vµo IR lµ liªn tôc ë trªn IR (28) TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ 22 Nhắc lại hàm số ϕ : X → IR ∪ {+∞} xác định trên không gian tôpô X đ−ợc gọi là nửa liên tục d−ới x̄ ∈ dom ϕ, đó dom ϕ = {x ∈ X : ϕ(x) < +∞} (2.1) ký hiÖu miÒn h÷u hiÖu cña ϕ, nÕu víi mäi ε > tån t¹i l©n cËn më U cña x̄ cho ϕ(x) ϕ(x̄) − ε ∀x ∈ U Hµm ϕ ®−îc gäi lµ nöa liªn tôc trªn t¹i x̄ ∈ dom ϕ nÕu víi mäi ε > tån t¹i l©n cËn më U cña x̄ cho ϕ(x) ϕ(x̄) + ε ∀x ∈ U NÕu X lµ kh«ng gian mªtric, th× ®iÒu kiÖn thø nhÊt cã thÓ viÕt d−íi d¹ng lim inf ϕ(x) ϕ(x̄), x→x̄ đó lim inf ϕ(x) := inf γ ∈ IR : ∃xk → x̄, lim ϕ(xk ) = γ x→x̄ k→∞ T−¬ng tù, ®iÒu kiÖn thø hai cã thÓ viÕt d−íi d¹ng lim sup ϕ(x) ϕ(x̄), x→x̄ đó lim sup ϕ(x) := sup γ ∈ IR : ∃xk → x̄, lim ϕ(xk ) = γ k→∞ x→x̄ Bài tập 1.2.4 Cho ϕ : X → IR ∪ {+∞} là hàm số thực xác định trên kh«ng gian t«p« X Chøng minh r»ng: (a) ϕ lµ nöa liªn tôc d−íi t¹i x̄ ∈ dom ϕ (xem (2.1)) vµ chØ ¸nh x¹ đa trị epi ϕ (đã đ−ợc định nghĩa Mục 1.1) là nửa liên tục d−ới x̄ (b) ϕ lµ nöa liªn tôc trªn t¹i x̄ ∈ dom ϕ vµ chØ ¸nh x¹ ®a trÞ hypo ϕ (đã đ−ợc định nghĩa Mục 1.1) là nửa liên tục trên x̄ §Þnh lý c¬ b¶n vÒ sù tån t¹i nghiÖm cña çc bµi to¸n tèi −u ®−îc ph¸t biÓu nh− sau §Þnh lý 1.2.1 (§Þnh lý Weierstrass) Cho X = ∅ lµ kh«ng gian t«p« comp¾c NÕu ϕ : X → IR lµ hµm sè nöa liªn tôc d−íi ë X, th× bµi to¸n (2.2) min{ϕ(x) : x ∈ X} cã nghiÖm NÕu ϕ lµ hµm sè nöa liªn tôc trªn ë X, th× bµi to¸n (2.3) max{ϕ(x) : x ∈ X} (29) 1.2 TÝnh nöa liªn tôc trªn vµ tÝnh nöa liªn tôc d−íi 23 cã nghiÖm Chứng minh Ta cần chứng minh khẳng định thứ nhất, vì hàm ϕ là nửa liªn tôc trªn vµ chØ hµm (−ϕ)(x) := −ϕ(x) lµ nöa liªn tôc d−íi, vµ x̄ lµ nghiÖm cña (2.3) vµ chØ x̄ lµ nghiÖm cña bµi to¸n min{(−ϕ)(x) : x ∈ X} Nh¾c l¹i r»ng kh«ng gian t«p« X ®−îc gäi lµ comp¾c nÕu tõ mçi phñ më {Uα }α∈A cña X cã thÓ trÝch mét phñ h÷u h¹n, tøc lµ tån t¹i çc chØ sè {α1 , , αs } ⊂ A cho s Uαi X= i=1 Gi¶ sö X lµ kh«ng gian comp¾c, X = ∅, ϕ : X → IR lµ hµm sè nöa liªn tôc d−íi ë X Ta cÇn chøng minh r»ng (2.2) cã nghiÖm, tøc lµ tån t¹i x̄ cho ϕ(x̄) = min{ϕ(x) : x ∈ X} (2.4) Gi¶ sö ph¶n chøng: Kh«ng cã x̄ nµo tháa m·n (2.4) §Æt γ = inf{ϕ(x) : x ∈ X} Nếu γ = −∞ thì ta đặt Ωk = {x ∈ X : ϕ(x) > −k} (k = 1, 2, 3, ) Do ϕ lµ nöa liªn tôc d−íi ë X nªn, víi mäi k, Ωk lµ tËp më DÔ thÊy r»ng ∞ Ωk VËy {Ωk }k∈IN lµ phñ më cña X Do X lµ kh«ng gian comp¾c vµ X= k=1 {Ωk } là họ tập lồng nhau, nên tồn k̄ ∈ IN cho X = Ωk̄ Khi đó ta ph¶i cã γ −k̄, tr¸i víi gi¶ thiÕt γ = −∞ B©y giê ta xÐt tr−êng hîp γ ∈ IR Với k ∈ IN ta đặt Ωk = x ∈ X : ϕ(x) > γ + k DÔ thÊy r»ng {Ωk }k∈IN lµ phñ më cña X (do kh«ng cã x̄ ∈ X nµo tháa m·n (2.4)) mà từ đó ta không thể trích phủ hữu hạn nào Vậy X không là không gian tôpô compắc, trái với giả thiết Định lý đã đ−ợc chứng minh Nh¾c l¹i r»ng kh«ng gian t«p« X ®−îc gäi lµ liªn th«ng (hay liªn th«ng t«p«) nÕu kh«ng tån t¹i hai tËp më U, V kh¸c rçng nµo X cho U ∪ V = X, U ∩ V = ∅ Ta biết ánh xạ đơn trị liên tục bảo tồn tính liên thông Cụ thể hơn, ta có định lý sau §Þnh lý 1.2.2 Cho f : X → Y lµ ¸nh x¹ liªn tôc tõ kh«ng gian t«p« liªn th«ng X vào không gian tôpô Y Khi đó rge f = {f (x) : x ∈ X}, (30) TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ 24 xÐt víi t«p« c¶m sinh tõ t«p« cña Y , lµ kh«ng gian liªn th«ng Chøng minh LËp luËn b»ng ph−¬ng ph¸p ph¶n chøng, ta gi¶ sö r»ng M := rge f không phải là không gian liên thông Khi đó tồn các tập mở U, V Y cho (2.5) UM ∪ VM = M, UM ∩ VM = ∅, UM = ∅, VM = ∅, đó UM := U ∩ M và VM := V ∩ M là các vết các tập U và V trên M §Æt X1 = f −1 (U ) = {x ∈ X : f (x) ∈ U }, X2 = f −1 (V ) = {x ∈ X : f (x) ∈ V } Ta cã: (i) X1 , X2 lµ çc tËp më X; (ii) X1 = ∅, X2 = ∅; (iii) X1 ∪ X2 = X; (iv) X1 ∩ X2 = ∅ ThËt vËy, f lµ liªn tôc, U vµ V lµ më, nªn X1 vµ X2 lµ më V× UM = U ∩ rge f = U ∩ {f (x) : x ∈ X} kh¸c rçng, nªn tån t¹i x ∈ X cho f (x) ∈ U VËy X1 = ∅ T−¬ng tù, X2 = ∅ LÊy tuú ý x ∈ X Do f (x) ∈ rge f = M vµ UM ∪ VM = M , ta cã f (x) ∈ UM hoÆc f (x) ∈ VM Nếu f (x) ∈ UM thì f (x) ∈ U ; đó x ∈ X1 Nếu f (x) ∈ VM thì x ∈ X2 Ta đã chứng minh (iii) nghiệm đúng Nếu tồn x ∈ X1 ∩ X2 thì ta có f (x) ∈ U và f (x) ∈ V Hiển nhiên là f (x) ∈ M Do đó f (x) ∈ UM và f (x) ∈ VM Vậy ta có UM ∩ VM = ∅, mâu thuẫn với (2.5) Tính chất (iv) đã ®−îc chøng minh Tõ (i)–(iv) suy r»ng X kh«ng liªn th«ng, tr¸i víi gi¶ thiÕt định lý Vậy rge f phải là không gian liên thông §Þnh lý sau ®©y chØ r»ng c¶ ¸nh x¹ ®a trÞ nöa liªn tôc trªn lÉn ¸nh x¹ ®a trị nửa liên tục d−ới bảo tồn tính liên thông Một tập không gian t«p« ®−îc gäi lµ liªn th«ng nÕu, xÐt víi t«p« c¶m sinh, nã lµ kh«ng gian t«p« liªn th«ng §Þnh lý 1.2.3 (xem Warburton (1983)) Cho F : X ⇒ Y lµ ¸nh x¹ ®a trÞ gi÷a çc kh«ng gian t«p« cho, víi mäi x ∈ X, F (x) lµ tËp liªn th«ng (cã thÓ rỗng) Khi đó: (a) NÕu F lµ ¸nh x¹ nöa liªn tôc trªn ë trªn X vµ nÕu dom F lµ tËp liªn th«ng, th× rge F lµ tËp liªn th«ng (b) NÕu F lµ ¸nh x¹ nöa liªn tôc d−íi ë X vµ nÕu dom F lµ tËp liªn th«ng, th× rge F lµ tËp liªn th«ng (31) 1.2 TÝnh nöa liªn tôc trªn vµ tÝnh nöa liªn tôc d−íi 25 Chøng minh (a) Gi¶ sö r»ng F lµ nöa liªn tôc trªn ë X, dom F lµ liªn th«ng, vµ F (x) lµ liªn th«ng víi mäi x ∈ X §Ó chøng minh b»ng ph¶n chøng, ta giả sử M := rge F không là liên thông Khi đó tồn các tập mở U, V Y thỏa mãn (2.5), đó UM := U ∩ M và VM := V ∩ M Đặt X1 = F − (U ) = {x ∈ dom F : F (x) ⊂ U }, X2 = F − (V ) = {x ∈ dom F : F (x) ⊂ V } Các tính chất sau nghiệm đúng: (i) X1 , X2 lµ çc tËp më t«p« c¶m sinh cña dom F ; (ii) X1 = ∅, X2 = ∅; (iii) X1 ∪ X2 = dom F ; (iv) X1 ∩ X2 = ∅ Thật vậy, tính chất (i) đ−ợc suy từ khẳng định (a) Bài tập 1.2.2 Do UM = U ∩ rge F = U ∩ F (x) x∈X kh¸c rçng, tån t¹i x ∈ X cho F (x) ∩ U = ∅ NÕu F (x) ∩ V = ∅ th× tõ (2.5) suy F (x), xÐt víi t«p« c¶nh sinh tõ t«p« cña Y , kh«ng lµ kh«ng gian liªn th«ng; tr¸i víi gi¶ thiÕt VËy F (x) ∩ V = ∅ Do F (x) ⊂ M vµ UM ∪ VM = M , ta có F (x) ⊂ U ; tức là x ∈ X1 Ta đã chứng tỏ X1 = ∅ T−¬ng tù, X2 = ∅ LÊy tuú ý x ∈ dom F Do F (x) = ∅ vµ F (x) ⊂ M , ta cã F (x) ∩ UM = ∅ hoÆc F (x) ∩ VM = ∅ NÕu tr−êng hîp thø nhÊt x¶y ra, th× lý luận đã trình bày trên, ta có x ∈ X1 Nếu tr−ờng hợp thứ hai xảy thì ta có x ∈ X2 Vậy dom F ⊂ X1 ∪ X2 , tức là (iii) nghiệm đúng Nếu tồn x ∈ X1 ∩ X2 th× ta cã F (x) = ∅, F (x) ⊂ U, F (x) ⊂ V Do F (x) ⊂ M , ta cã F (x) ⊂ UM vµ F (x) ⊂ VM V× F (x) = ∅ nªn UM ∩VM = ∅, trái với (2.5) Vậy ta có X1 ∩ X2 = ∅ Các tính chất (i)–(iv) đã đ−ợc chứng minh Từ đó suy dom F , xét với tôpô cảm sinh từ tôpô X, không phải lµ kh«ng gian liªn th«ng; tr¸i víi gi¶ thiÕt Tãm l¹i, rge F lµ kh«ng gian liªn th«ng (b) Gi¶ sö r»ng F lµ nöa liªn tôc d−íi ë X, dom F lµ liªn th«ng, vµ F (x) lµ liªn th«ng víi mäi x ∈ X NÕu M := rge F kh«ng liªn th«ng, th× tån các tập mở U, V Y thỏa mãn (2.5), đó UM := U ∩M và VM := V ∩M §Æt X1 = F −1 (U ) = {x ∈ dom F : F (x) ∩ U = ∅}, X2 = F −1 (V ) = {x ∈ dom F : F (x) ∩ V = ∅}, ta cã thÓ chøng tá r»ng çc tÝnh chÊt (i)–(iv) liÖt kª phÇn chøng minh trªn nghiệm đúng Từ đó suy dom F không liên thông, trái với giả thiết VËy rge F lµ tËp liªn th«ng (32) TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ 26 Bài tập 1.2.5 Trình bày chứng minh chi tiết khẳng định (b) định lý trên Xây dựng vài ví dụ đơn giản để chứng tỏ giả thiết (i) dom F lµ tËp liªn th«ng vµ (ii) F (x) lµ tËp liªn th«ng víi mäi x ∈ X khẳng định (b) Định lý 1.2.3 là không thể bỏ đ−ợc (trong çc gi¶ thiÕt kh¸c vÉn ®−îc gi÷ nguyªn) Bµi tËp 1.2.6 Cho F : X ⇒ Y vµ G : Y ⇒ Z t−¬ng øng lµ çc ¸nh x¹ đa trị nửa liên tục d−ới X và trên Y , đó X, Y và Z là các kh«ng gian t«p« Chøng minh r»ng ¸nh x¹ tÝch G ◦ F lµ nöa liªn tôc d−íi ë X Bµi tËp 1.2.7 Cho F : X ⇒ Y vµ G : X ⇒ Y lµ çc ¸nh x¹ ®a trÞ gi÷a çc kh«ng gian tuyÕn tÝnh t«p« Chøng minh r»ng nÕu F vµ G lµ nöa liªn tôc d−íi ë X, th× ¸nh x¹ F + G : X ⇒ Y ®−îc cho bëi c«ng thøc (F + G)(x) = F (x) + G(x) (∀x ∈ X) còng lµ nöa liªn tôc d−íi ë X Bµi tËp 1.2.8 ∗ Kh¶o s¸t çc tÝnh chÊt t−¬ng tù nh− nh÷ng tÝnh chÊt nãi các Bài tập 1.2.6 và 1.2.7 ánh xạ đa trị nửa liên tục trên Bµi tËp 1.2.9 Cho X, Y lµ çc kh«ng gian t«p«, F : X ⇒ Y lµ ¸nh x¹ ®a trÞ nöa liªn tôc trªn ë X Chøng minh r»ng nÕu F cã gi¸ trÞ comp¾c (tøc lµ F (x) lµ comp¾c víi mäi x ∈ X) vµ dom F lµ tËp comp¾c, th× rge F lµ tËp comp¾c Bµi tËp 1.2.10 ∗ Kh¶o s¸t tÝnh chÊt “b¶o toµn tÝnh comp¾c” nãi Bµi tập 1.2.9 ánh xạ đa trị nửa liên tục d−ới Ngoµi kh¸i niÖm ¸nh x¹ ®a trÞ nöa liªn tôc trªn nãi §Þnh nghÜa 1.2.1, ng−êi ta cßn xÐt kh¸i niÖm ¸nh x¹ ®a trÞ nöa liªn tôc trªn theo Hausdorff ¸nh x¹ ®a trÞ F : X ⇒ Y tõ kh«ng gian t«p« X vµo kh«ng gian mªtric Y ®−îc gäi lµ nöa liªn tôc trªn theo Hausdorff t¹i x̄ ∈ dom F nÕu víi mäi ε > tån t¹i l©n cËn më U cña x̄ cho F (x) ⊂ B(F (x̄), ε) ∀x ∈ U, đó B(F (x̄), ε) := {y ∈ Y : d(y, F (x̄)) < ε} với d(y, F (x̄)) := inf d(y, z) ký hiệu khoảng cách từ y đến F (x̄) Nếu F là z∈F (x̄) nöa liªn tôc trªn theo Hausdorff t¹i mäi ®iÓm thuéc dom F , th× F ®−îc gäi lµ nöa liªn tôc trªn theo Hausdorff ë trªn X Râ rµng lµ tÝnh nöa liªn tôc trªn theo Berge (xem §Þnh nghÜa 1.2.1) kÐo theo tÝnh nöa liªn tôc trªn theo Hausdorff Điều ng−ợc lại không đúng (33) 1.3 §Þnh lý Kakutani 27 Bµi tËp 1.2.11 §Æt X = IR, Y = IR , F (x) = {(x, |x| )} nÕu x = vµ F (x) = {0} × [0, +∞) nÕu x = H·y chøng tá r»ng F : X ⇒ Y lµ nöa liªn tôc trªn theo Hausdorff ë trªn X, nh−ng kh«ng lµ nöa liªn tôc trªn (theo Berge) ë trªn X H×nh TÝnh liªn th«ng cña miÒn h÷u hiÖu nãi chung kh«ng ®−îc b¶o toµn qua ¸nh xạ đa trị nửa liên tục trên theo Hausdorff Ví dụ sau đây chứng tỏ điều đó VÝ dô 1.2.4 §Æt X = IR, Y = IR2 , F (x) = (x, x1 ) nÕu x = vµ F (x) = {0} ì IR x = Khi đó, F : X ⇒ Y là nửa liên tục trên theo Hausdorf ë trªn X, dom F = IR lµ kh«ng gian liªn th«ng, F (x) lµ liªn th«ng víi mäi x, nh−ng 1 : x < ∪ {0} × IR ∪ x, : x>0 rge F = x, x x kh«ng lµ tËp liªn th«ng (nã gåm thµnh phÇn liªn th«ng) 1.3 §Þnh lý Kakutani Định lý Kakutani (1941) là định lý điểm bất động quan trọng đ−ợc thiết lËp cho ¸nh x¹ ®a trÞ nöa liªn tôc trªn Chóng ta t×m hiÓu chøng minh chi tiÕt định lý này để hiểu sâu ý nghĩa các tính chất nửa liên tục trên và nöa liªn tôc d−íi cña ¸nh x¹ ®a trÞ ®−îc xÐt môc tr−íc Ví dụ này thuộc Nguyễn Mậu Nam Hiệu t−ơng tự đạt đ−ợc với ánh xạ đa trị nãi Bµi tËp 1.2.11, mét d¹ng c¶i biªn cña ¸nh x¹ F ë ®©y (34) TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ 28 Phân hoạch đơn vị: Cho ψ : X → IR là hàm số thực xác định trên không gian tôpô X Giá (support) ψ đ−ợc ký hiệu supp ψ, và đ−ợc xác định công thức supp ψ = {x ∈ X : ψ(x) = ∅}, đó M ký hiệu bao đóng tập M §Þnh lý 1.3.1 (xem Rudin (1976), tr 251) Cho K lµ kh«ng gian mªtric comp¾c, {Vα }α∈A là phủ mở K Khi đó tồn các hàm liên tục ψi : K → IR (i = 1, 2, , s) cho (a) ψi (x) ∀x ∈ K, ∀i ∈ {1, , s}; s ψi (x) = (b) ∀x ∈ K; i=1 (c) Víi mçi i ∈ {1, , s} cã tån t¹i α ∈ A cho supp ψi ⊂ Vα Hä hµm liªn tôc {ψi }i=1, ,s cã çc tÝnh chÊt (a)–(c) ®−îc gäi lµ mét ph©n hoạch đơn vị t−ơng thích với phủ mở {Vα }α∈A Tõ §Þnh lý 1.3.1 ta rót hÖ qu¶ s©u ®©y Hệ 1.3.1 Giả sử {ψi }i=1, ,s là phân hoạch đơn vị t−ơng thích với phủ më {Vα }α∈A Víi mäi hµm liªn tôc f : K → IR ta cã s ψi (x)f (x), f (x) = i=1 đó các hàm fi (x) := ψi (x)f (x) (i = 1, , s) lµ liªn tôc trªn K vµ víi mçi i ∈ {1, , s} tån t¹i α ∈ A cho gi¸ cña hµm fi n»m Vα Chøng minh §Þnh lý 1.3.1: Víi mçi x ∈ K ta chän ®−îc chØ sè αx ∈ A cho x ∈ Vαx Do Vαx lµ tËp më, tån t¹i ρx > cho B̄(x, ρx ) ⊂ Vαx Hä çc h×nh cÇu më B(x, ρ2x ) x∈K lµ mét phñ më cña K Do K lµ kh«ng gian comp¾c, tån t¹i çc ®iÓm x1 , x2 , , xs ∈ K cho (3.1) K ⊂ B(x1 , ρx1 ρxs ) ∪ ∪ B(xs , ) 2 (35) 1.3 §Þnh lý Kakutani 29 Do B̄(xi , ρxi ) ⊂ B(xi , ρxi ) ⊂ B̄(xi , ρxi ), tån t¹i hµm liªn tôc ϕi : K → [0, 1] cho ϕi (x) = ∀x ∈ B̄(xi , ρxi ) vµ ϕi (x) = ∀x ∈ K \ B(xi , ρxi ) (Chúng ta nhắc lại M1 và M2 là hai tập đóng không giao kh«ng gian mªtric comp¾c X th× tån t¹i hµm sè liªn tôc ϕ : X → [0, 1] cho ϕ(x) = với x ∈ M1 và ϕ(x) = với x ∈ M2 Khẳng định đó suy từ Bổ đề Urysohn (xem Kelley (1957), Ch−ơng 4) Đặt ψ1 = ϕ1 và ψi+1 = (1 − ϕ1 ) (1 − ϕi )ϕi+1 (∀i = 1, 2, , s − 1) Hiển nhiên các tính chất (a) và (c) nghiệm đúng với họ hàm {ψi }i=1, ,s vừa chọn Rõ ràng đẳng thức (3.2) ψ1 + + ψi = − (1 − ϕ1 ) (1 − ϕi ) đúng với i = Nếu (3.2) đúng với số i < s, thì ta có ψ1 + + ψi + ψi+1 = − (1 − ϕ1 ) (1 − ϕi ) + (1 − ϕ1 ) (1 − ϕi )ϕi+1 = − (1 − ϕ1 ) (1 − ϕi )(1 − ϕi+1 ); tức là (3.2) đúng i đ−ợc thay i + Vậy ta có s (3.3) s ψi (x) = − (1 − ϕi (x)) i=1 i=1 víi mäi x ∈ K Do (3.1), víi mçi x ∈ K tån t¹i chØ sè j ∈ {1, , s} cho ρ j x ∈ B(xj , x ) Do đó ϕj (x) = Từ (3.3) suy s ψi (x) = i=1 Vậy tính chất (b) đã đ−ợc kiểm chứng (36) TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ 30 ¸nh x¹ ®a trÞ hªmi liªn tôc trªn: Giả sử X là không gian mêtric, Y là không gian định chuẩn, F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị Với p ∈ Y ∗ , đó Y ∗ là không gian đối ngẫu Y , và với x ∈ X ta đặt CF (p, x) = sup{p, y : y ∈ F (x)} (Theo quy −íc, sup ∅ = −∞, inf ∅ = +∞) Hµm sè hai biÕn CF (p, x) ®−îc gäi lµ hµm tùa cña cña F Mệnh đề 1.3.1 (xem Aubin và Frankowska (1990), Hệ 2.6.1) Giả sử F : X ⇒ Y lµ nöa liªn tôc trªn ë X, cã gi¸ trÞ comp¾c yÕu, kh¸c rçng; Y đ−ợc xét với tôpô yếu Khi đó, với p ∈ Y ∗ , hàm số x → CF (p, x) lµ nöa liªn tôc trªn ë dom F Chứng minh Giả sử F có các tính chất nh− phát biểu mệnh đề, và p ∈ Y ∗ lµ vÐct¬ cho tr−íc Ta cÇn chøng tá r»ng víi mäi x̄ ∈ dom F vµ ε > tån t¹i l©n cËn më U cña x̄ ∈ X cho CF (p, x) CF (p, x̄) + ε ∀x ∈ U Do F (x̄) lµ comp¾c yÕu vµ kh¸c rçng, tån t¹i ȳ ∈ F (x̄) cho CF (p, x̄) = p, ȳ §Æt V = {y ∈ Y : p, y < p, ȳ + ε} Ta cã V lµ l©n cËn më yÕu chøa F (x̄) V× F lµ nöa liªn tôc trªn t¹i x̄ (Y ®−îc xét với tôpô yếu), tồn lân cận mở U x̄ cho F (U ) ⊂ V Khi đó, với mçi x ∈ U ta cã CF (p, x) = sup{p, y : y ∈ F (x)} p, ȳ + ε (do F (x) ⊂ V ) = CF (p, x̄) + ε Mệnh đề đã đ−ợc chứng minh §Þnh nghÜa 1.3.1 ¸nh x¹ ®a trÞ F : X ⇒ Y tõ kh«ng gian mªtric X vµo không gian định chuẩn Y đ−ợc gọi là hêmi liên tục trên x ∈ dom F với mçi p ∈ Y ∗ hµm sè Cp (p, ·) lµ nöa liªn tôc trªn t¹i x Ta nãi F lµ hªmi liªn tôc trªn ë X nÕu nã lµ hªmi liªn tôc trªn t¹i mäi ®iÓm thuéc dom F Mệnh đề 1.3.1 đã điều kiện đủ để ánh xạ đa trị là hêmi liên tục trªn (37) 1.3 §Þnh lý Kakutani 31 Bất đẳng thức Ky Fan: Nguyên lý biến phân Ekeland (1974) và định lý sau đây là công cụ mạnh để nghiên cứu nhiều vấn đề giải tích phi tuyến và tối −u hoá Định lý 1.3.2 (Bất đẳng thức Ky Fan, 1972) Cho K là tập lồi, compắc kh«ng gian Banach X, ϕ : K × K → IR lµ hµm sè tháa m·n çc ®iÒu kiÖn: (i) ∀y ∈ K, ϕ(·, y) lµ hµm sè nöa liªn tôc d−íi; (ii) ∀x ∈ K, ϕ(x, ·) lµ hµm lâm; (iii) ∀y ∈ K, ϕ(y, y) Khi đó, tồn x̄ ∈ K cho ∀y ∈ K, ϕ(x̄, y) NhËn xÐt 1.3.1 (xem Aubin vµ Frankowska (1990), tr 80) §Þnh lý 1.3.2 vÉn đúng thay cho không gian Banach X ta xét không gian tuyến tính tôpô, lồi địa ph−ơng, Hausdorff (Ví dụ nh− X là không gian Banach xét với t«p« yÕu.) Chøng minh §Þnh lý 1.3.2: Tr−ớc hết, chúng ta chứng minh định lý cho tr−ờng hợp X là không gian Banach h÷u h¹n chiÒu Ta sÏ chøng minh b»ng ph−¬ng ph¸p ph¶n chøng Gi¶ sử kết luận định lý không đúng, tức là (3.4) ∀x ∈ K ∃y ∈ K cho ϕ(x, y) > Với y ∈ K, đặt Uy = {x ∈ K : ϕ(x, y) > 0} V× ϕ(·, y) lµ hµm sè nöa liªn tôc d−íi, nªn Uy lµ tËp më t«p« c¶m sinh cña K Râ rµng tõ (3.4) suy r»ng {Uy }y∈K lµ mét phñ më cña K Do K lµ comp¾c, tån t¹i y1 , y2 , , yk ∈ K cho K⊂ k Uyj j=1 Theo Định lý 1.3.1, tồn phân hoạch đơn vị {ψi }i=1, ,s K t−ơng thích víi phñ më {Uyj }j=1, ,k Tøc lµ ψ : K → [0, 1] (i = 1, , s) (38) TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ 32 s ψi (x) = víi mäi x ∈ K vµ víi mçi i ∈ {1, , s} lµ nh÷ng hµm liªn tôc, i=1 tån t¹i j(i) ∈ {1, , k} cho supp ψi ⊂ Uyj(i) XÐt ¸nh x¹ f : K → K cho bëi c«ng thøc s ψi (x)yj(i) f (x) = (∀x ∈ K) i=1 (V× K lµ tËp låi, yj(i) ∈ K víi mäi i, ψi (x) víi mäi i, vµ si=1 ψi (x) = 1, nªn f (x) ∈ K víi mäi x ∈ K.) Do ψi (·) (i = 1, , s) lµ çc hµm liªn tôc, f (x) là ánh xạ liên tục Theo Định lý điểm bất động Brouwer, tồn ȳ ∈ K cho ȳ = f (ȳ) Do gi¶ thiÕt (ii), ϕ(ȳ, ȳ) = ϕ(ȳ, (ȳ)) f = ϕ ȳ, si=1 ψi(ȳ)yj(i) si=1 ψi (ȳ)ϕ ȳ, yj(i) (3.5) §Æt I(ȳ) = {i ∈ {1, , s} : ψi (ȳ) > 0} s ψi (ȳ) = nªn I(ȳ) = ∅ Ngoµi ra, ta cã V× i=1 s ψi (ȳ)ϕ(ȳ, yj(i) ) = (3.6) i=1 ψi (ȳ)ϕ(ȳ, yj(i) ) > 0; i∈I(ȳ) vì i ∈ I(ȳ) thì ψi (ȳ) > 0, đó ȳ ∈ supp ψi ⊂ Uyj(i) = {x ∈ K : ϕ(x, yj(i) ) > 0} (Tõ tÝnh chÊt viÕt ë dßng trªn suy ϕ(ȳ, yj(i) ) > 0.) KÕt hîp (3.6) víi (3.5) ta ®−îc ϕ(ȳ, ȳ) > 0, m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt (iii) B©y giê ta xÐt tr−êng hîp X lµ kh«ng gian Banach bÊt kú vµ K lµ tËp lồi, compắc, khác rỗng X Ta có Định lý điểm bất động Schauder (xem Holmes (1974), tr 101) sau đây: “Cho A là tập lồi đóng khác rỗng không gian định chuẩn X, f : A → K là ánh xạ liên tục từ A vào tập compắc K ⊂ A Khi đó f có điểm bất động K” Lặp lại chứng minh trên và áp dụng Định lý điểm bất động Schauder thay cho Định lý điểm bất động Brouwer, (39) 1.3 §Þnh lý Kakutani 33 ta sÏ chØ ®−îc sù tån t¹i cña ®iÓm x̄ ∈ K cã tÝnh chÊt ϕ(x̄, y) víi mäi y ∈ K §Þnh lý vÒ sù tån t¹i ®iÓm c©n b»ng: Ta nh¾c l¹i r»ng nÕu K lµ mét tËp låi kh«ng gian tuyÕn tÝnh t«p« X th× nãn tiÕp tuyÕn TK (x) cña K t¹i x ∈ K ®−îc cho bëi c«ng thøc TK (x) = {t(y − x) : y ∈ K, t 0} = cone (K − x), đó cone M := {tz : z ∈ M } là hình nón sinh M và M là bao đóng M Nón pháp tuyến NK (x) K x là nón đối ngẫu âm TK (x), tức là NK (x) = (TK (x))∗ = {x∗ ∈ X ∗ : x∗ , v ∀v ∈ TK (x)} Định nghĩa 1.3.2 Cho F : X ⇒ X, đó X là không gian Banach, là ánh xạ có giá trị đóng (có thể rỗng) Tập lồi K ⊂ dom F đ−ợc gọi là miền vững8 cña F nÕu F (x) ∩ TK (x) = ∅ ∀x ∈ K §Þnh lý 1.3.3 (The Equilibrium Theorem - §Þnh lý vÒ sù tån t¹i ®iÓm c©n b»ng) Cho X lµ kh«ng gian Banach vµ F : X ⇒ X lµ ¸nh x¹ ®a trÞ hªmi liªn tôc trên X, có giá trị lồi đóng Nếu tập lồi compắc khác rỗng K ⊂ dom F lµ mét miÒn v÷ng cña F th× K chøa Ýt nhÊt mét ®iÓm c©n b»ng cña F , tøc lµ ∃x̄ ∈ K cho ∈ F (x̄) NhËn xÐt 1.3.2 NÕu ¸nh x¹ ®a trÞ G : K ⇒ X lµ hªmi liªn tôc trªn ë K và có giá trị lồi đóng, thì ánh xạ F : X ⇒ X cho công thức F (x) nÕu x ∈ K F (x) = ∅ nÕu x ∈ /K có tính chất đó Vì Định lý 1.3.3 áp dụng đ−ợc cho ánh xạ đa trị xác định trên K Chøng minh §Þnh lý 1.3.3: §Ó chøng minh b»ng ph−¬ng ph¸p ph¶n chøng, ta gi¶ sö r»ng F : X ⇒ X là ánh xạ đa trị thỏa mãn các giả thiết định lý, K ⊂ dom F là miền vững lồi, compắc, khác rỗng F , nh−ng với x ∈ K ta có ∈ / F (x) TNTA: viability domain (40) TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ 34 Với x ∈ K, F (x) là lồi đóng và ∈ / F (x), sö dông §Þnh lý t¸ch çc tËp låi (xem Rudin (1991), §Þnh lý 3.4) ta t×m ®−îc p ∈ X∗ cho sup p, y < 0, y∈F (x) hay CF (p, x) < Với p ∈ X ∗ ta đặt Up = {x ∈ K : CF (p, x) < 0} Do lËp luËn trªn, ∀x ∈ K ∃p ∈ X ∗ cho x ∈ Up VËy hä {Up }p∈X ∗ lµ mét phñ më cña K (Chóng ta nhËn xÐt r»ng v× F lµ hªmi liªn tôc trªn ë X nªn CF (p, ·) lµ hµm sè nöa liªn tôc trªn ë X Do đó Up là tập mở tôpô cảm sinh cña K.) V× K lµ comp¾c, tån t¹i çc phÇn tö p1 , p2 , , pk ∈ X ∗ cho Upj j=1, ,k lµ mét phñ më h÷u h¹n cña K Theo Định lý 1.3.1, tồn phân hoạch đơn vị {ψi }i=1, ,s trên K t−ơng ứng với phủ mở Khi đó, với i ∈ {1, , s} tồn j(i) ∈ {1, , k} cho supp ψi ⊂ Upj(i) XÐt hµm sè ϕ : K × K → IR cho bëi c«ng thøc s ψi (x)pj(i) , x − y ϕ(x, y) = i=1 Râ rµng lµ: (i) ∀y ∈ K, ϕ(·, y) lµ hµm sè liªn tôc; (ii) ∀x ∈ K, ϕ(x, ã) là hàm số aphin (do đó là hàm lõm); (iii) ∀y ∈ K, ϕ(y, y) = Vậy các giả thiết Định lý 1.3.2 đ−ợc thỏa mãn Do đó tồn x̄ ∈ K s cho víi mäi y ∈ K ta cã ϕ(x̄, y) §Æt p = ψi (x̄)pj(i) và để ý i=1 s ψi (x̄)pj(i) , x̄ − y ϕ(x̄, y) = i=1 = p, x̄ − y (41) 1.3 §Þnh lý Kakutani víi mäi y ∈ K V× 35 p, y − x̄ ∀y ∈ K nªn ta cã −p ∈ (TK (x̄))∗ = NK (x̄) (3.7) V× K lµ miÒn v÷ng cña F , nªn tån t¹i v ∈ F (x̄) ∩ TK (x̄) Do đó, l−u ý đến (3.7) ta có CF (p, x̄) p, v (3.8) §Æt I(x̄) = {i ∈ {1, , s} : ψi (x̄) > 0} s ψi (x̄) = vµ ψi (x̄) víi mäi i, nªn I(x̄) = ∅ Víi mçi i ∈ I(x̄), V× i=1 ψi (x̄) > nªn Từ đó suy x̄ ∈ supp ψi ⊂ Upj(i) sup si=1 ψi (x̄)pj(i) , y : y ∈ F (x̄) CF (p, x̄) = i∈I(x̄) ψi (x̄)CF (pj(i) , x̄) < Điều này mâu thuẫn với (3.8) Định lý đã đ−ợc chứng minh NhËn xÐt 1.3.3 (xem Aubin vµ Frankowska (1990), tr 84) §Þnh lý 1.3.3 vÉn đúng X là không gian tuyến tính tôpô, lồi địa ph−ơng, Hausdorff Định lý điểm bất động Kakutani: Định lý sau là dạng mở rộng định lý điểm bất động Kakutani (xem Định lý 1.3.5 d−íi ®©y) tõ tr−êng hîp çc kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu sang tr−êng hîp kh«ng gian v« h¹n chiÒu Định lý 1.3.4 (Định lý điểm bất động Ky Fan, 1972) Cho K là tập lồi, compắc, kh¸c rçng kh«ng gian Banach X Cho G : K ⇒ K lµ ¸nh x¹ ®a trÞ hªmi liên tục trên K, có giá trị lồi, đóng, khác rỗng Khi đó, tồn x̄ ∈ K cho x̄ ∈ G(x̄) Chứng minh Đặt F (x) = G(x) − x Từ các giả thiết đặt trên G suy F : K ⇒ X là ánh xạ đa trị hêmi liên tục trên, có giá trị lồi, đóng, khác rỗng Ngoµi ra, ta cã (3.9) F (x) = G(x) − x ⊂ K − x ⊂ TK (x) (42) TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ 36 víi mäi x ∈ K V× F (x) = ∅ víi mäi x ∈ K, nªn tõ (3.9) suy tËp låi K lµ miÒn v÷ng cña F Theo §Þnh lý 1.3.3, tån t¹i x̄ ∈ K cho ∈ F (x̄) Tøc lµ tån t¹i x̄ ∈ K cho x̄ ∈ G(x̄) Kết sau đây suy trực tiếp từ Định lý 1.3.4 và Mệnh đề 1.3.1 Định lý 1.3.5 (Định lý điểm bất động Kakutani, 1941) Cho K ⊂ IRn là tập lồi, comp¾c, kh¸c rçng Cho G : K ⇒ K lµ ¸nh x¹ ®a trÞ nöa liªn tôc trªn ë K, có giá trị lồi, đóng, khác rỗng Khi đó, tồn x̄ ∈ K cho x̄ ∈ G(x̄) Bµi tËp 1.3.1 §Æt K = [0, 1] ⊂ IR H·y x©y dùng çc ¸nh x¹ ®a trÞ G : K ⇒ K thích hợp để chứng tỏ phát biểu Định lý 1.3.5 ta bá ®i mét çc ®iÒu kiÖn sau (nh−ng vÉn gi÷ nguyªn ba ®iÒu kiện còn lại), thì kết luận định lý không còn đúng nữa: (i) G lµ ¸nh x¹ nöa liªn tôc trªn ë K; (ii) G cã gi¸ trÞ låi; (iii) G có giá trị đóng; (iv) G cã gi¸ trÞ kh¸c rçng (Gîi ý: XÐt çc ¸nh x¹ ®a trÞ {1} nÕu x 12 G1 (x) = {0} nÕu 12 < x 1, ⎧ ⎨ {x + 12 } nÕu x < 12 G2 (x) = {0, 1} nÕu x = 12 ⎩ {x − } nÕu 12 < x 1, (x, 1) nÕu x < G3 (x) = (0, 1) nÕu x = 1, ⎧ ⎨ [ , 1] nÕu x = G4 (x) = ∅ nÕu < x < ⎩ [0, 12 ] nÕu x = 1, và để ý ánh xạ đa trị G : K ⇒ K không có điểm bất động K vµ chØ gph G ∩ {(y, y) : y ∈ K} = ∅.) Bài tập 1.3.2 Vẽ đồ thị các ánh xạ G − G4 nói phần gợi ý cña bµi tËp trªn Bµi tËp 1.3.3 Chøng minh r»ng ¸nh x¹ G nãi phÇn gîi ý cña Bµi tËp 1.3.1 kh«ng lµ hªmi liªn tôc trªn ë K Bµi tËp 1.3.4 §Æt K = [0, 1] ⊂ IR H·y x©y dùng çc ¸nh x¹ ®a trÞ G : K ⇒ K thích hợp để chứng tỏ phát biểu Định lý 1.3.4 ta bá ®i mét çc ®iÒu kiÖn sau (nh−ng vÉn gi÷ nguyªn ba ®iÒu kiện còn lại), thì kết luận định lý không còn đúng nữa: (43) 1.4 Çc qu¸ tr×nh låi 37 (i) G lµ ¸nh x¹ hªmi liªn tôc trªn ë K; (ii) G cã gi¸ trÞ låi; (iii) G có giá trị đóng; (iv) G cã gi¸ trÞ kh¸c rçng Bài tập 1.3.5 Cho K = B̄IR2 là hình tròn đơn vị IR Cho F : K ⇒ IR2 là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên K, có giá trị lồi, đóng, kh¸c rçng Chøng minh r»ng nÕu ∀x ∈ ∂K ∃y ∈ F (x) cho x, y = 0, đó ∂K := K \ int K ký hiệu biên K, thì tồn x̄ ∈ K thỏa mãn ∈ F (x̄) 1.4 Çc qu¸ tr×nh låi ánh xạ đa trị có đồ thị là hình nón lồi có nhiều tính chất t−ơng tự nh− các tính chất toán tử tuyến tính Lớp các ánh xạ đa trị có đồ thị là hình nón lồi đã đ−ợc S M Robinson nghiên cứu khá kỹ năm 1972-1976 Định nghĩa 1.4.1 ánh xạ F : X ⇒ Y , đó X và Y là các không gian định chuÈn, ®−îc gäi lµ mét qu¸ tr×nh låi nÕu gph F lµ mét h×nh nãn låi kh«ng gian tích X ì Y Nếu gph F là hình nón lồi đóng X ì Y thì F đ−ợc gọi là quá trình lồi đóng 10 Nh¾c l¹i r»ng tËp K mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh Z ®−îc gäi lµ mét h×nh nãn nÕu ∈ K vµ λz ∈ K víi mäi z ∈ K vµ λ > VÝ dô 1.4.1 Çc tËp hîp sau ®©y lµ nh÷ng h×nh nãn IRn : n = {x = (x1 , , xn ) ∈ IRn : xi ∀i = 1, 2, , n}, K1 := IR+ K2 := {x = (x1 , , xn ) ∈ IRn : xi > ∀i = 1, 2, , n} ∪ {0} Çc tËp hîp sau ®©y lµ nh÷ng h×nh nãn C[a, b] (kh«ng gian gåm çc hµm sè f : [a, b] → IR liªn tôc trªn ®o¹n [a, b] ⊂ IR): K3 = {f ∈ C[a, b] : f (t) ∀t ∈ [a, b]}, K4 = {f ∈ C[a, b] : f (t) > ∀t ∈ [a, b]} ∪ {0} Bµi tËp 1.4.1 Chøng minh r»ng gph F lµ mét h×nh nãn vµ chØ ∈ F (0) vµ F (λx) = λF (x) víi mäi x ∈ X vµ λ > 10 TNTA: convex process TNTA: closed convex process (44) TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ 38 Định nghĩa 1.4.2 Cho F : X ⇒ Y là quá trình lồi đóng Chuẩn F F lµ sè thùc suy réng ®−îc cho bëi c«ng thøc F = (4.1) d(0, F (x)) , x x∈(dom F )\{0} sup đó d(a, M ) := inf a − x là khoảng cách từ a đến M x∈M Trong phÇn cßn l¹i cña môc nµy, nÕu kh«ng nãi g× thªm th× X, Y ®−îc gi¶ thiÕt lµ çc kh«ng gian Banach Từ Định nghĩa 1.4.1 suy F là quá trình lồi đóng thì F−1 là quá trình lồi đóng Định lý sau đ−a điều kiện đủ để F−1 là ánh x¹ ®a trÞ Lipschitz §Þnh lý 1.4.1 (TÝnh Lipschitz cña qu¸ tr×nh ng−îc) Cho F : X ⇒ Y lµ qu¸ trình lồi đóng Nếu rge F = Y thì F −1 là ánh xạ đa trị Lipschitz, tức là tån t¹i > cho F −1 (y ) ⊂ F −1 (y ) + y − y B̄Y (4.2) víi mäi y1 , y ∈ Y Để thiết lập (4.2) d−ới giả thiết quá trình lồi đóng F là ánh xạ đa trị tràn (tøc lµ rge F = X), chóng ta cÇn sö dông kÕt qu¶ sau §Þnh lý 1.4.2 (§Þnh lý Robinson-Ursescu) Cho F : X ⇒ Y lµ ¸nh x¹ ®a trÞ lồi, đóng Giả sử ȳ ∈ F (x̄) và ȳ ∈ int(rge F ) Khi đó tồn > và γ > cho víi mçi y ∈ B̄(ȳ, γ) tån t¹i x ∈ F −1 (y) tháa m·n (4.3) x − x̄ y − ȳ Chứng minh Chứng minh đầy đủ định lý này khá phức tạp (xem Ursescu (1975), Robinson (1976a), Aubin vµ Ekeland (1984)) Chóng ta sÏ chØ xÐt tr−êng hîp X lµ kh«ng gian Banach ph¶n x¹ §Æt (4.4) ϕ(y) = d(x̄, F −1 (y)) (∀y ∈ Y ) Khẳng định 1: ϕ là hàm lồi ThËt vËy, F lµ ¸nh x¹ ®a trÞ låi nªn F −1 còng lµ ¸nh x¹ ®a trÞ låi Do đó, với y, y ∈ Y và với t ∈ (0, 1) ta có F −1 ((1 − t)y + ty ) ⊃ (1 − t)F −1 (y) + tF −1 (y ) (45) 1.4 Çc qu¸ tr×nh låi 39 V× vËy, nÕu y ∈ rge F vµ y ∈ rge F th× ϕ((1− t)y + ty ) = d x̄, F −1 ((1 − t)y + ty ) −1 −1 d x̄, (1 − t)F (y) + tF (y ) −1 = inf x̄ − [(1 − t)u + tv] : u ∈ F (y), v ∈ F −1 (y ) inf (1 − t)(x̄ − u) + t(x̄ − v) : u ∈ F −1 (y), v ∈ F −1 (y ) = (1 − t) inf x̄ − u + t inf x̄ − v u∈F −1 (y) = (1 − t)ϕ(y) + tϕ(y ) v∈F −1 (y ) Dễ thấy ϕ(y) < +∞ và y ∈ rge F Ta đã chứng minh với mäi y, y ∈ domϕ = {y : ϕ(y) < +∞} ta cã ϕ((1 − t)y + ty ) (1 − t)ϕ(y) + tϕ(y ) ∀t ∈ (0, 1) / domϕ thì bất đẳng thức cuối là hiển nhiên Tóm lại, NÕu y ∈ / domϕ hoÆc y ∈ ϕ lµ hµm låi Khẳng định 2: ϕ là nửa liên tục d−ới Y Để chứng minh khẳng định này ta cần chứng tỏ các tập mức levϕ (λ) (λ ∈ IR) là đóng (xem Bài tập 1.4.2 d−ới đây) Lấy λ ∈ IR Giả sö {yk } ⊂ levϕ (λ), y k → y Ta sÏ chøng tá r»ng y ∈ levϕ (λ) Do X lµ không gian Banach phản xạ, các hình cầu đóng X là compắc yếu (Định lý Banach-Alaoglu) Với k, F −1 (y k ) là tập lồi đóng khác rỗng Theo Bổ đề Mazur (“Tập lồi đóng không gian định chuẩn là tập đóng yếu”), F−1 (y k ) là tập lồi đóng yếu, khác rỗng Do đó tồn xk ∈ F −1 (y k ) cho (4.5) xk − x̄ = inf x∈F −1 (y k ) x − x̄ vµ ThËt vËy, lÊy x ∈ M, đó M := F −1 (y k ) Đặt ρ = x̄ − x Mρ = {x ∈ M : x − x̄ ρ} Ta cã Mρ lµ tËp comp¾c yÕu, kh¸c rçng V× ψ(x) := x − x̄ lµ hµm låi, liªn tục, nên từ Bổ đề Mazur suy ψ là nửa liên tục d−ới X theo tôpô yÕu Theo §Þnh lý Weierstrass, tån t¹i xk ∈ Mρ tháa m·n (4.5) Ta cã xk − x̄ = d(x̄, F −1 (y k ) = ϕ(y k ) λ ∀k ∈ IN VËy {xk } ⊂ B̄(x̄, λ) Suy {xk } cã d·y héi tô theo t«p« yÕu Gi¶ sö w w r»ng xk → x ∈ B̄(x̄, λ) Do (xk , y k ) ∈ gph F , (xk , y k ) → (x, y), vµ gph F lµ tập lồi đóng yếu, ta có (x, y) ∈ gph F Do đó x ∈ F −1 (y) Vì xk − x̄ λ víi mäi k ∈ IN , ta cã x − x̄ λ Suy ϕ(y) = d(x̄, F −1 (y)) x − x̄ λ (46) TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ 40 VËy ta cã y ∈ levϕ (λ) Khẳng định 3: ϕ là liên tục trên int(rge F ) ThËt vËy, lÊy y0 ∈ int(rge F ) vµ ε > cho B̄(y , ε) ⊂ rge F XÐt hä çc tËp møc cña hµm ϕ: levϕ (k) = {y : ϕ(y) k} (k ∈ IN ) Trong chứng minh Khẳng định ta đã levϕ (k) là đóng với k ∈ IN Ta cã (4.6) ∞ levϕ (k) ∩ B̄(y , ε) B̄(y , ε) = k=1 Thật vậy, lấy y ∈ B̄(y , ε) ⊂ rge F Do ϕ(y) ∈ IR, tồn k ∈ IN để ϕ(y) k Khi đó, y ∈ levϕ (k) Để tiếp tục chứng minh, chúng ta cần sử dụng Định lý Baire: “Nếu M là không gian mêtric đủ, thì M không thể biểu diễn đ−ợc d−ới dạng hợp số đếm đ−ợc các tập đóng có phần rỗng” Do X là không gian Banach, B̄(y , ε) là không gian mêtric đủ Do định lý Baire và (4.6), tån t¹i k̄ ∈ IN cho int levϕ (k̄) ∩ B̄(y , ε) = ∅ V× vËy tån t¹i ŷ ∈ Y vµ ρ > cho B̄(ŷ, ρ) ⊂ levϕ (k̄) ∩ B̄(y , ε), tøc lµ ϕ(y) k̄ ∀y ∈ B̄(ŷ, ρ) Do ϕ lµ låi vµ bÞ chÆn ë trªn B̄(ŷ, ρ), nªn ϕ lµ liªn tôc ë trªn B(ŷ, ρ) ⊂ int(rge F ) (xem Ioffe và Tihomirov (1979)) Khi đó ϕ là liên tục trên int(rge F ) Vì ȳ ∈ int(rge F ) và hàm ϕ liên tục trên int(rge F ), ta có ϕ là Lipschitz địa ph−¬ng t¹i ȳ, tøc lµ tån t¹i γ > vµ 0 > cho |ϕ(y ) − ϕ(y)| 0 y − y ∀y, y ∈ B̄(ȳ, γ) (xem Ioffe vµ Tihomirov (1979)) Suy (4.7) |ϕ(y) − ϕ(ȳ)| 0 y − ȳ ∀y ∈ B̄(ȳ, γ) §Æt = 20 vµ l−u ý r»ng ϕ(ȳ) = v× ȳ ∈ F (x̄) Víi mçi y ∈ B̄(ȳ, γ), (4.7) tồn x ∈ F −1 (y) cho (4.3) nghiệm đúng Định lý đã đ−ợc chứng minh (47) 1.4 Çc qu¸ tr×nh låi 41 Bài tập 1.4.2 Cho hàm số thực suy rộng ϕ : X → IR ∪ {+∞}, đó X là không gian định chuẩn Chứng minh ϕ là nửa liên tục d−ới X vµ chØ çc tËp møc lev ϕ (λ) := {x ∈ X : ϕ(x) λ} (λ ∈ IR) là đóng Chøng minh §Þnh lý 1.4.1: Đặt x̄ = 0, ȳ = Do F là quá trình lồi đóng, ta có ȳ ∈ F (x̄) Từ giả thiÕt rge F = Y suy ȳ ∈ int(rge F ) Theo §Þnh lý 1.4.2, tån t¹i > vµ γ > cho víi mçi y ∈ B̄(ȳ, γ) tån t¹i x ∈ F −1 (y) tháa m·n (4.3) Víi mçi y ∈ Y tån t¹i t > cho ty ∈ B̄(ȳ, γ) = B̄(0, γ) Do (4.3), tån t¹i x ∈ F −1 (ty ) cho x − 0 ty − 0 V× F −1 lµ qu¸ tr×nh låi, nªn ta cã x ∈ tF −1 (y ) vµ x ty §Æt x = 1t x, ta cã x ∈ F −1 (y ) vµ x y Cố định hai điểm y1 , y ∈ Y Lấy tùy ý x1 ∈ F −1 (y ) Do tính chất đã chứng minh đoạn trên, ta chọn đ−ợc u ∈ F−1 (y − y ) cho u y − y §Æt x2 = x1 + u, ta cã x2 − x1 = u y − y (4.8) Ta l¹i cã x2 ∈ F −1 (y ) ThËt vËy, u ∈ F −1 (y − y ), x1 ∈ F −1 (y ), vµ F −1 là quá trình lồi đóng, ta có 1 2x + 12 u ∈ 12 F −1 (y ) + 12 F −1 (y − y ) ⊂ F −1 ( 12 y + 12 (y − y )) = F −1 ( 12 y ) = 12 F −1 (y ) Từ đó suy x1 + u ∈ F −1 (y ), hay x2 ∈ F −1 (y ) Do (4.8), tồn v ∈ B̄X cho x1 − x2 = y − y v VËy x1 ∈ F −1 (y ) + y − y B̄Y Ta đã chứng tỏ (4.2) nghiệm đúng với y1 , y ∈ Y Mệnh đề 1.4.1 (Định lý ánh xạ mở) Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị lồi, đóng Nếu rge F = Y thì F là ánh xạ mở; nghĩa là với tập mở U ⊂ X, tËp F (U ) = ∪x∈U F (x) lµ më Y Chứng minh Giả sử F thỏa mãn giả thiết mệnh đề Giả sử U ⊂ X là tập më LÊy ȳ ∈ F (U ) vµ gi¶ sö x̄ ∈ U lµ ®iÓm tháa m·n bao hµm thøc ȳ ∈ F (x̄) Do rge F = Y , ta cã ȳ ∈ int(rge F ) Theo §Þnh lý 1.4.2, tån t¹i γ > vµ > để với y ∈ B̄(ȳ, γ) tồn x ∈ F −1 (y) cho (4.3) nghiệm đúng Chọn γ ∈ (0, γ) đủ bé để có (4.9) B̄(x̄, γ ) ⊂ U (48) 42 TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ Khi đó, với y ∈ B̄(ȳ, γ ) tồn x ∈ F −1 (y) thỏa mãn x − x̄ y − ȳ γ Vậy x ∈ B̄(x̄, γ ) ⊂ U Do y ∈ F (x) và (4.9), từ đó ta có y ∈ F (U ) Vì bao hàm thức cuối đúng với y ∈ B̄(ȳ, γ ), nên B̄(ȳ, γ ) ⊂ F (U ) Ta đã chøng tá r»ng F (U ) lµ tËp më Nhận xét 1.4.1 Các định lý ánh xạ mở có vai trò quan trọng giải tích vµ gi¶i tÝch øng dông VÝ dô nh− mét sè ®iÒu kiÖn cÇn cùc trÞ (trong lý thuyÕt tối −u) hay điều kiện đủ cho tính điều khiển đ−ợc các hệ động lực (trong lý thuyÕt ®iÒu khiÓn) cã thÓ ®−îc dÉn nh− nh÷ng hÖ qu¶ trùc tiÕp cña cña çc định lý ánh xạ mở Định lý ánh xạ mở Mệnh đề 1.4.1 áp dụng đ−ợc cho các ánh xạ đa trị có đồ thị là tập lồi đóng Đồng thời với các nghiên cứu cña çc t¸c gi¶ n−íc ngoµi, Gi¸o s− Ph¹m H÷u S¸ch, Gi¸o s− Phan Quèc Kh¸nh và Phó Giáo s− Phạm Huy Điển đã có nhiều đóng góp việc xây dựng các định lý ánh xạ mở và định lý hàm ng−ợc tổng quát; xem Sach (1988a,b), Khanh (1986, 1988, 1989), Dien và Sach (1991) Trong các công trình đó, các ánh xạ đa trị đ−ợc xét không thiết phải có đồ thị lồi Nói riêng ra, ba bài b¸o nãi trªn, b»ng çch sö dông kh¸i niÖm kh«ng gian tùa mªtric (quasi-metric space) tác giả Phan Quốc Khánh đã thu đ−ợc các định lý ánh xạ mở tổng quát, mà từ đó ta có thể thu đ−ợc Định lý Ljusternik quen biết, Định lý quy nạp V Pták (Pták’s induction theorem, 1974), kết tr−ớc đó Phạm Hữu Sách, và nhiều kết khác Các kết Khanh (1986, 1988, 1989) đã thu hót ®−îc sù chó ý cña nhiÒu chuyªn gia ngµnh Nhận xét 1.4.2 Trong Ch−ơng giáo trình này có trình bày định lý ánh xạ mở địa ph−ơng (xem Định lý 5.4.1) và định lý hàm ng−ợc (xem Định lý 5.4.2) cho ánh xạ đa trị có dạng đặc biệt: F (x) = f (x) + K, đó F : IRn → IRm là ánh xạ đơn trị và K ⊂ IRm là tập lồi NhËn xÐt 1.4.3 Çc t¸c gi¶ Huúnh ThÕ Phïng vµ Ph¹m Huy §iÓn (xem Phung và Dien (1991)) đã điểm cân (không điểm) ánh xạ đa trị lồi đóng, tồn tại, có thể tính đ−ợc thuật toán gồm hữu hạn b−íc Bµi tËp 1.4.3 Cho A : X → Y lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh Chøng minh r»ng A lµ liªn tôc vµ chØ ¸nh x¹ F cho bëi c«ng thøc F (x) = {Ax} (x ∈ X) là ánh xạ đóng Bµi tËp 1.4.4 Chøng minh r»ng §Þnh lý ¸nh x¹ më Banach “Cho A : X → Y lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc NÕu A(X) = Y th× A lµ ¸nh x¹ më (tøc lµ víi mäi tËp më U ⊂ X, A(U ) lµ tËp më Y )” lµ hÖ qu¶ Mệnh đề 1.4.1 (49) 1.4 Çc qu¸ tr×nh låi 43 Ví dụ 1.4.1 (Quá trình lồi đóng) Cho K ⊂ Y là hình nón lồi đóng và cho f ∈ C (X, Y ) Với x0 ∈ X ta đặt Fx0 (v) = f (x0 )v + K (v ∈ X) Khi đó, Fx0 (ã) là quá trình lồi đóng phụ thuộc vào tham số x0 Mệnh đề 1.4.2 (Điều kiện đủ để quá trình lồi đóng có chuẩn hữu hạn) Cho F : X ⇒ Y là quá trình lồi đóng Nếu dom F = X, thì số F đ−ợc định nghÜa bëi c«ng thøc (4.1) lµ h÷u h¹n Chøng minh XÐt qu¸ tr×nh ng−îc F −1 : Y ⇒ X, F −1 (y) = {x ∈ X : y ∈ F (x)} Vì F là quá trình lồi đóng, nên F −1 là quá trình lồi đóng Ta có rge F −1 = {x ∈ X : ∃y ∈ Y cho x ∈ F −1 (y)} = {x ∈ X : ∃y ∈ Y cho y ∈ F (x)} = {x ∈ X : F (x) = ∅} = dom F Do gi¶ thiÕt dom F = X, ta cã rge F −1 = X ¸p dông §Þnh lý 1.4.1 cho ¸nh x¹ F −1 , ta t×m ®−îc hÖ sè > cho (4.10) (F −1 )−1 (x ) ⊂ (F −1 )−1 (x) + x − xB̄Y (∀x, x ∈ X) Víi mäi x ∈ X, (F −1 )−1 (x) = {y ∈ Y : x ∈ F −1 (y)} = {y ∈ Y : y ∈ F (x)} = F (x) Do đó (F −1 )−1 = F Vậy từ (4.10) ta có (4.11) F (x ) ⊂ F (x) + x − xB̄Y (∀x, x ∈ X) (Điều đó chứng tỏ F là ánh xạ đa trị Lipschitz trên X.) áp dụng (4.11) cho x = vµ l−u ý r»ng ∈ F (0), ta cã ∈ F (x) + xB̄Y (∀x ∈ X) Khi đó, với x ∈ X \ {0}, tồn y ∈ F (x) và v ∈ B̄Y cho = y + xv Suy y xv x VËy x d(0, F (x)) = ∀x ∈ X \ {0} x x (50) TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ 44 Từ đó ta có F = sup x=0 Mệnh đề đã đ−ợc chứng minh d(0, F (x)) x VÝ dô 1.4.2 §Æt F (x) = {y ∈ IR : y x2 } víi mäi x ∈ IR Ta cã F : IR ⇒ IR là ánh xạ đa trị lồi đóng, vì gph F = {(x, y) ∈ IR2 : y x2 } là tập lồi đóng / int(rge F ) Do đó giả thiết a) LÊy x̄ = 0, ȳ = V× rge F = IR+ , nªn ȳ ∈ Định lý 1.4.2 không đ−ợc thỏa mãn với ba {F, x̄, ȳ} đã chọn Nhận xét kết luận định lý đó không còn đúng Thật vậy, giả sử tồn γ > và > víi tÝnh chÊt (4.12) ∀y ∈ B̄(ȳ, γ) ∃x ∈ F −1 (y) cho x − x̄ y − ȳ Khi đó ∀y ∈ [−γ, γ] ∃x ∈ IR cho y x2 , |x| |y| Chän y = −γ, ta thÊy r»ng kh«ng tån t¹i x ∈ IR cho y x2 VËy kh«ng tån t¹i γ > vµ > víi tÝnh chÊt (4.12) b) B©y giê ta lÊy x̄ = 0, ȳ = HiÓn nhiªn ȳ ∈ int(rge F ) Do §Þnh lý 1.4.2, γ > vµ > víi tÝnh chÊt (4.12) H×nh Bµi tËp 1.4.5 Víi x̄, ȳ nh− phÇn b) cña VÝ dô 1.4.2, h·y chØ çc sè γ > vµ > tháa ®iÒu kiÖn (4.12) (51) 1.4 Çc tÝnh chÊt Lipschitz cña ¸nh x¹ ®a trÞ 45 1.5 Çc tÝnh chÊt Lipschitz cña ¸nh x¹ ®a trÞ Trong mục này, không nói gì thêm thì X, Y là các không gian định chuẩn tïy ý vµ F lµ ¸nh x¹ ®a trÞ tõ X vµo Y Định nghĩa 1.5.1 Giả sử x̄ ∈ int(dom F ) Ta nói F là Lipschitz địa ph−ơng 11 t¹i (hoÆc ë gÇn) x̄, nÕu tån t¹i > vµ δ > cho (5.1) F (x2 ) ⊂ F (x1 ) + x2 − x1 B̄Y với x1 , x2 ∈ B̄(x̄, δ) Trong tr−ờng hợp F (x) = {f (x)} là ánh xạ đơn trị, bao hµm thøc (5.1) trë thµnh f (x2 ) ∈ f (x1 ) + x2 − x1 B̄Y Nếu tồn > và δ > cho tính chất đó nghiệm đúng với x ∈ B̄(x̄, δ), thì ta nói ánh xạ đơn trị f là Lipschitz địa ph−ơng x̄ Định nghĩa 1.5.2 (Robinson (1979)) Ta nói F là Lipschitz trên địa ph−ơng12 t¹i (hoÆc ë gÇn) x̄ ∈ dom F nÕu tån t¹i > vµ δ > cho (5.2) F (x) ⊂ F (x̄) + x − x̄B̄Y với x ∈ B̄(x̄, δ) Trong tr−ờng hợp F (x) = {f (x)} là ánh xạ đơn trị, bao hµm thøc (5.2) trë thµnh f (x) ∈ f (x̄) + x − x̄B̄Y Nếu tồn > và δ > cho tính chất đó nghiệm đúng với x ∈ B̄(x̄, δ), thì ta nói ánh xạ đơn trị f là Lipschitz trên địa ph−ơng x̄ §Þnh nghÜa 1.5.3 (Robinson (1981)) Cho X = IRn , Y = IRm Ta nãi F : X ⇒ Y lµ ¸nh x¹ ®a trÞ ®a diÖn 13 nÕu tån t¹i mét sè h÷u h¹n çc tËp låi ®a diÖn ∆1 , ∆2 , , ∆s kh«ng gian tÝch IRn × Rm cho gph F = s ∆i i=1 §Þnh lý 1.5.1 (Robinson (1981)) NÕu F : IRn ⇒ IRm lµ ¸nh x¹ ®a trÞ ®a diÖn thì, với x̄ ∈ dom F , F là Lipschitz trên địa ph−ơng x̄ Định lý này đ−ợc chứng minh cách áp dụng Định lý 1.1.2 Bạn đọc cã thÓ xem chøng minh chi tiÕt Ch−¬ng cuèn chuyªn kh¶o cña G M Lee, NguyÔn N¨ng T©m vµ N § Yªn (Lee, Tam vµ Yen (2005)) 11 TNTA: locally Lipschitz at x̄, locally Lipschitz near x̄ TNTA: locally upper-Lipschitz 13 TNTA: polyhedral multifunction 12 (52) TÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ ®a trÞ 46 §Þnh nghÜa 1.5.4 (Aubin (1984)) Ta nãi F lµ gi¶-Lipschitz 14 ë gÇn ®iÓm (x̄, ȳ) ∈ gph F nÕu tån t¹i > 0, δ > vµ µ > cho F (x2 ) ∩ B(ȳ, µ) ⊂ F (x1 ) + x2 − x1 B̄Y víi mäi x1 , x2 ∈ B̄(x̄, δ) NhËn xÐt 1.5.1 NÕu F lµ gi¶-Lipschitz ë gÇn ®iÓm (x̄, ȳ) ∈ gph F , th× ta ph¶i cã x̄ ∈ int(dom F ) NhËn xÐt 1.5.2 TÝnh chÊt gi¶-Lipschitz cña ¸nh x¹ ®a trÞ cã vai trß quan träng gi¶i tÝch phi tuyÕn vµ lý thuyÕt tèi −u (xem Rockafellar vµ Wets (1998), Mordukhovich (2006a,b)) Để ghi công J.-P Aubin việc đề xuất khái niệm này, Donchev và Rockafellar (1996) đề nghị gọi tính chất giả-Lipschitz lµ tÝnh liªn tôc Aubin (Aubin continuity) Trong Ch−¬ng chóng ta sÏ ®−a điều kiện đủ để ánh xạ nghiệm hệ bất đẳng thức phụ thuộc tham số là liên tục Aubin theo tham số Sử dụng kết đó, Ch−ơng 5, ta đ−a điều kiện đủ để hàm giá trị tối −u bài toán quy hoạch toán học phụ thuộc tham số là Lipschitz địa ph−ơng Bµi tËp 1.4.5 Cho x̄ ∈ X Chøng minh r»ng nÕu F : X ⇒ Y lµ gi¶Lipschitz ë gÇn mçi ®iÓm (x̄, ȳ) ∈ {x̄} × F (x̄) th× F lµ nöa liªn tôc d−íi x̄ Khẳng định ng−ợc lại có đúng không? 14 TNTA: pseudo-Lipschitz (53) Ch−¬ng §¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ Tay nµo cÇm ®−îc khãi s−¬ng Míi mong gi÷ næi yªu th−¬ng cho m×nh (TrÇn M¹nh H¶o, “Ru em Thóy KiÒu”) Ch−ơng này giới thiệu các khái niệm và số định lý chính đạo hàm ánh xạ đa trị Cách xây dựng đạo hàm ánh xạ đa trị thông qua nón tiếp tuyến Bouligand đồ thị đây đ−ợc J.-P Aubin (1981) đề xuất ông đã sử dụng cách tiếp cận này để nghiên cứu các tính chất nghiệm bao hàm thøc vi ph©n 2.1 Nguyªn lý biÕn ph©n Ekeland Đ−ợc I Ekeland đề xuất năm 1974, nguyên lý biến phân sau đây là công cụ hiệu để thiết lập các định lý ánh xạ mở, hàm ẩn, hàm ng−ợc giải tích không trơn Ngoài ra, từ năm 1976, F H Clarke đã sử dụng nguyên lý này để thiết lập quy tắc nhân tử Lagrange cho các bài toán quy hoạch toán häc kh«ng gian Banach víi d÷ liÖu lµ çc hµm sè kh«ng tr¬n Trong lý thuyết đối đạo hàm (xem Mordukhovich (2006a,b)), nguyên lý biến phân Ekeland đóng vai trò quan trọng Nguyên lý này là công cụ chính để thu đ−ợc các định lý ánh xạ mở, hàm ẩn, hàm ng−ợc cho ánh xạ đa trị ch−¬ng nµy vµ Ch−¬ng §Þnh lý 2.1.1 (Nguyªn lý biÕn ph©n Ekeland) Cho (X, d) lµ kh«ng gian mªtric đủ, ϕ : X → IR ∪ {+∞} là hàm số nửa liên tục d−ới, bị chặn d−ới X Khi đó, x̄ ∈ X thỏa mãn (1.1) ϕ(x̄) inf ϕ(x) + ε x∈X 47 (54) §¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ 48 víi ε > vµ nÕu λ > lµ sè thùc cho tr−íc, th× tån t¹i x ∈ X cho (i) ϕ( x) ϕ(x̄); (ii) d( x, x̄) λ; (iii) Víi mäi x ∈ X \ { x}, ϕ( x) < ϕ(x) + λε d(x, x ) Chøng minh Trong chøng minh nµy chóng ta sÏ sö dông kiÓu thø tù bé phËn Bishop và Phelps đ−a năm 1963 Với α > 0, ta định nghĩa thứ tự “α ” tÝch X × IR nh− sau: (1.2) (x1 , y ) α (x2 , y ) ⇔ y − y + αd(x1 , x2 ) Thø tù “α ” lµ ph¶n x¹, ph¶n xøng vµ b¾c cÇu • TÝnh ph¶n x¹: HiÓn nhiªn ta cã (x, y) α (x, y) víi mäi (x, y) ∈ X × IR • TÝnh ph¶n xøng: Gi¶ sö r»ng (x1 , y ) α (x2 , y ) vµ (x2 , y ) α (x1 , y ) Ta cÇn chøng tá r»ng (x1 , y ) = (x2 , y ) Do (1.2), (x1 , y ) α (x2 , y ) ⇔ d(x1 , x2 ) y1 − y2 α Theo gi¶ thiÕt, (1.3) d(x1 , x2 ) y1 − y2 y2 − y1 vµ d(x2 , x1 ) α α Suy 2d(x1 , x2 ) V× thÕ x1 = x2 Tõ (1.3) ta cã y1 y vµ y y Do đó (x1 , y ) = (x2 , y ) • TÝnh b¾c cÇu: Gi¶ sö r»ng (x1 , y ) α (x2 , y ) vµ (x2 , y ) α (x3 , y ) Khi đó y1 − y2 y2 − y3 vµ d(x2 , x3 ) d(x1 , x2 ) α α Suy y1 − y3 d(x1 , x2 ) + d(x2 , x3 ) α Do d(x1 , x3 ) d(x1 , x2 ) + d(x2 , x3 ), nªn ta cã d(x1 , x3 ) y1 − y3 α Từ đó suy (x1 , y ) α (x3 , y ) Khẳng định 1: Nếu (x1 , y ) ∈ X ì IR, thì Ω := {(x, y) ∈ X × IR : (x1 , y ) α (x, y)} (55) 2.1 Nguyªn lý biÕn ph©n Ekeland 49 là tập đóng ThËt vËy, gi¶ sö d·y {(xk , y k } ⊂ X × IR tháa m·n (x1 , y ) α (xk , y k ) (k = 2, 3, 4, ) vµ xk → x, y k → y Do d(x1 , xk ) (y − y k )/α víi mäi k ∈ IN , nªn ta cã d(x1 , x) (y − y)/α; tức là (x1 , y ) α (x, y) Vậy (x, y) ∈ Ω Ta đã chứng minh Ω là tập đóng Khẳng định 2: Cho M ⊂ X ì IR là tập đóng cho tồn γ > để y γ với (x, y) ∈ M Khi đó, với (x1 , y ) ∈ M tồn (x̄, ȳ) ∈ M cho (x1 , y ) α (x̄, ȳ) và (x̄, ȳ) là phần tử cực đại M theo thứ tự “α ” (tøc lµ, nÕu (x, y) ∈ M vµ (x̄, ȳ) α (x, y) th× (x, y) = (x̄, ȳ)) B¾t ®Çu tõ (x1 , y ) ∈ M ta x©y dùng d·y {(xk , y k )} nh− sau: Gi¶ sö (xk , y k ) đã đ−ợc xác định Đặt M k = {(x, y) ∈ M : (xk , y k ) α (x, y)} Theo Khẳng định 1, M k là tập đóng Ngoài ra, vì (xk , y k ) ∈ M k nên M k = ∅ §Æt γk = inf{y : ∃x ∈ X, (x, y) ∈ M k } HiÓn nhiªn γk γ vµ γk y k Chän (xk+1 , y k+1 ) ∈ M k cho y k+1 (1.4) γk + y k (Nếu γk = y k thì đặt (xk+1 , y k+1 ) = (xk , y k ) Giả sử γk < y k Do γk < (γk + y k )/2, tån t¹i (x, y) ∈ M cho γk y < (γk + y k )/2 §Æt (xk+1 , y k+1 ) = (x, y), ta thấy (1.4) nghiệm đúng.) Dãy {Mk } là các tập đóng lồng nhau: M k+1 ⊂ M k víi mäi k ∈ IN (ThËt vËy, nÕu (x, y) ∈ M k+1 th× (xk , y k ) α (xk+1 , y k+1 ) α (x, y) Do đó (x, y) ∈ M k ) Đặt d((x, y), (x , y )) = d(x, x ) + |y − y | Với k, ta cã γk γk+1 y k+1 vµ |y k+1 − γk+1 | k |y − γk | 2−k |y − γ| (ThËt vËy, (1.4) ta cã 1 y k+1 − γk+1 y k+1 − γk (y k − γk ) = |y k − γk | 2 Vì y k+1 − γk+1 0, từ đó suy |y k+1 − γk+1 | 2−k |y − γ1 | 2−k |y − γ|) (56) §¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ 50 Víi mäi (x, y) ∈ M k+1 ta cã |y k+1 − y| |y k+1 − γk+1 | 2−k |y − γ| V× (xk+1 , y k+1 ) α (x, y), nªn d(xk+1 , x) Do đó d(xk+1 , x) y k+1 − y α 2−k y k+1 − y |y − γ| α α Từ đó suy diam M k+1 := sup{d((x, y), (x , y )) : (x, y) ∈ M k+1 , (x , y ) ∈ M k+1 } → k → ∞ Vậy {M k } là dãy tập đóng lồng nhau, có đ−ờng kính giảm tới Vì X ì IR là không gian mêtric đủ, nên tồn phần tử (x̄, ȳ) ∈ X ì IR tháa m·n ∞ M k = {(x̄, ȳ)} k=1 Do (x̄, ȳ) ∈ tháa m·n (1.5) M 1, ta cã (x̄, ȳ) ∈ M vµ (x1 , y ) α (x̄, ȳ) Gi¶ sö (x, y) ∈ M (x̄, ȳ) α (x, y) Do (1.5) vµ (x̄, ȳ) ∈ M k víi mäi k ∈ IN , ta cã (xk , y k ) α (x̄, ȳ) α (x, y) Vậy (x, y) ∈ M k với k ∈ IN Từ đó suy (x, y) = (x̄, ȳ) Ta đã chứng minh (x̄, ȳ) là phần tử cực đại M Khẳng định đã đ−ợc chứng minh §Æt M = epi ϕ = {(x, y) ∈ X × IR : ϕ(x) y} Do hàm số ϕ là nửa liên tục d−ới, M là tập đóng X ì IR Thật vậy, ta sÏ chøng minh r»ng Ω := (X × IR) \ M lµ tËp më Gi¶ sö (x̄, ȳ) ∈ Ω Do ϕ(x̄)−ȳ V× ϕ lµ nöa liªn tôc d−íi (x̄, ȳ) ∈ / M , ta cã ϕ(x̄) > ȳ LÊy ε ∈ 0, t¹i x̄, tån t¹i l©n cËn më U cña x̄ cho ϕ(x) ϕ(x̄) − ε ∀x ∈ U (57) 2.1 Nguyªn lý biÕn ph©n Ekeland 51 §Æt V = (ȳ − ε, ȳ + ε), ta cã W := U × V lµ l©n cËn më cña (x̄, ȳ) vµ W ⊂ Ω ThËt thÕ, víi mäi (x, y) ∈ W ta cã ϕ(x) ϕ(x̄) − ε NÕu (x, y) ∈ M , th× y ϕ(x) ϕ(x̄) − ε Do y ∈ V , y < ȳ + ε V× thÕ, ȳ + ε > y ϕ(x̄) − ε Suy ε > (ϕ(x̄) − ȳ)/2, m©u thuÉn víi çch chän ε VËy (x, y) ∈ / M §iÒu đó chứng tỏ W ⊂ Ω Vậy Ω là tập mở, dó M là tập đóng Ta có (x̄, ϕ(x̄)) ∈ M Đặt (x1 , y ) = (x̄, ϕ(x̄)) Do Khẳng định 2, tồn ( x, y) cho (x1 , y ) α ( x, y) (1.6) vµ ( x, y) là phần tử cực đại M theo thứ tự “α ” ε §Æt α = Do (1.6), λ ) 0, y − y + αd(x̄, x hay y − ϕ(x̄) + αd(x̄, x ) (1.7) Ta cã y = ϕ( x) ThËt thÕ, gi¶ sö y > ϕ( x) Khi đó d( x, x ) < ( y − ϕ( x))/2 x, ϕ( x)) vµ ( x, y) = ( x, ϕ( x)) Điều đó chứng tỏ ( x, y) Suy ( x, y) α ( không thể là phần tử cực đại; mâu thuẫn Vậy y = ϕ( x) (1.8) ThÕ (1.8) vµo (1.7), ta cã (1.9) ϕ( x) − ϕ(x̄) + αd(x̄, x ) Suy ϕ( x) − ϕ(x̄) 0, tức là tính chất (i) kết luận định lý nghiệm đúng Do đó x) + ε ϕ(x̄) inf ϕ(x) + ε ϕ( x∈X Tõ (1.9) ta cã αd(x̄, x ) ϕ(x̄) − ϕ( x) ε Do đó λ ε =ε α ε Vậy tính chất (ii) nghiệm đúng Để kiểm tra tính chất (iii), ta lấy tùy ý x ∈ X \ { x} Nếu ϕ(x) = +∞ thì bất đẳng thức chặt (iii) là đúng Giả sử ϕ(x) ∈ IR V× (x, ϕ(x)) ∈ M , (x, ϕ(x)) = ( x, ϕ( x)) vµ ( x, ϕ( x)) lµ phÇn tö cực đại M , nên bất đẳng thức ( x, ϕ( x)) α (x, ϕ(x)) là sai Do đó d(x̄, x ) ϕ(x) − ϕ( x) + αd(x, x ) > 0, (58) §¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ 52 hay ε d(x, x ) > λ Vậy tính chất (iii) nghiệm đúng Định lý đã đ−ợc chứng minh ϕ(x) − ϕ( x) + Trong quá trình chứng minh trên, chúng ta đã thu đ−ợc dạng sau đây cña nguyªn lý biÕn ph©n Ekeland §Þnh lý 2.1.2 (xem Aubin vµ Frankowska (1990)) Cho (X, d) vµ ϕ nh− ë §Þnh lý 2.1.1 Khi đó, với x̄ ∈ dom ϕ và với α > 0, tồn x ∈ X cho (i) ϕ( x) − ϕ(x̄) + αd( x, x̄) 0; (ii) Víi mäi x ∈ X \ { x}, ϕ( x) < ϕ(x) + αd(x, x ) NhËn xÐt 2.1.1 Chøng minh nguyªn lý biÕn ph©n Ekeland tr×nh bµy ë trªn ®−îc lÊy tõ cuèn chuyªn kh¶o cña Clarke (1983) Cã nh÷ng chøng minh ng¾n gän cho định lý này; xem, ví dụ nh−, Ekeland (1974), Borwein và Zhu (2005), Mordukhovich (2006a; Theorem 2.26) NhËn xÐt 2.1.2 §iÓm x̄ ∈ X tháa ®iÒu kiÖn (1.1) ®−îc gäi lµ ®iÓm ε-cùc tiÓu1 cña hµm ϕ trªn tËp X NhËn xÐt 2.1.3 NÕu X lµ kh«ng gian Banach th× tõ tÝnh chÊt (iii) kÕt luËn cña §Þnh lý 2.1.1 suy ϕ( x) + ε ε x−x ϕ(x) + x − x ∀x ∈ X λ λ , ta cã f ( x) f (x) víi mäi x ∈ X; tøc lµ x lµ §Æt f (x) = ϕ(x) + λε x − x cùc tiÓu toµn côc cña hµm f (mét xÊp xØ cña ϕ) VËy, nãi mét çch th« thiÓn, nguyên lý Ekeland khẳng định với điểm ε-cực tiểu hàm số thực nửa liên tục d−ới trên không gian mêtric đủ, tồn điểm cực tiểu toàn cục hàm số xấp xỉ hàm số thực đó, cho điểm này cách điểm đã cho “không xa lắm” và giá trị hàm số thực ban đầu đó không lớn giá trị hàm số xấp xỉ điểm ε-cực tiểu đã cho Bµi tËp 2.1.1 H·y chøng tá r»ng nÕu ϕ(x̄) = inf ϕ(x), th× phÇn tö x x∈X kÕt luËn cña §Þnh lý 2.1.1 cã thÓ lÊy b»ng x̄ Bµi tËp 2.1.2 Cho X = [1, +∞) ⊂ IR, ϕ(x) = , x x̄ = 100, ε = , 100 λ= 10 H·y t×m tÊt c¶ nh÷ng ®iÓm x̂ ∈ X tháa m·n kÕt luËn cña §Þnh lý 2.1.1 (KÕt qu¶: x ∈ [x̄, x̄ + 10 ].) TNTA: ε-minimum (59) 2.1 Nãn tiÕp tuyÕn 53 2.2 Nãn tiÕp tuyÕn Đạo hàm hàm số thực có liên quan chặt chẽ đến tiếp tuyến đồ thị f (x) − f (x̄) x − x̄ (nếu giới hạn này tồn thì đó chính là hệ số góc tiếp tuyến d với đồ thị {(x, f (x)) : x ∈ IR} điểm (x̄, f (x̄))) và đặt XÐt hµm sè f : IR → IR vµ ®iÓm x̄ ∈ IR §Æt α = lim x→x̄ f (x̄)(v) = αv ∀v ∈ IR (Đối với các hàm số thực, ng−ời ta th−ờng đồng ánh xạ tuyến tính f (x̄) : IR → IR với số α.) Đồ thị ánh xạ đạo hàm trùng với đ−ờng thẳng d − (x̄, f (x̄)) qua gốc tọa độ H×nh Năm 1981, J.-P Aubin (xem Aubin (1981)) đề nghị xây dựng đạo hàm DFz (ã) ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y , đó X và Y là các không gian Banach, z = (x, y) ∈ gph F nh− ánh xạ đa trị từ X vào Y có đồ thị trùng với nón tiếp tuyến Bouligand đồ thị F z Để xây dựng khái niệm đạo hàm Nãn tiÕp tuyÕn nµy cã vai trß quan träng h×nh häc vi ph©n, ph−¬ng tr×nh vi ph©n, vµ đặc biệt là lý thuyết tối −u Nó th−ờng đ−ợc gọi là contingent cone hay Bouligand tangent cone, mặc dù khái niệm này đ−ợc G Bouligand và F Severi đ−a đồng thời hai bài báo c«ng bè trªn cïng mét sè t¹p chÝ; xem Mordukhovich (2006a; tr 14, 133), Bouligand (1930), Severi (1930) Trong việc sử dụng các tên gọi đôi có thể xảy “bất công” nh− vËy Theo thãi quen chung, chóng ta sÏ tiÕp tôc gäi tiÕp tuyÕn Bouligand-Severi nµy lµ nãn tiÕp tuyÕn Bouligand (60) §¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ 54 cña ¸nh x¹ ®a trÞ, ngoµi nãn tiÕp tuyÕn Bouligand ng−êi ta cßn sö dông nãn tiÕp tuyÕn Clarke (do F H Clarke ®−a n¨m 1975) vµ nãn tiÕp tuyÕn trung gian (do H Frankowska ®−a ra) Cho Γ ⊂ Z là tập không gian định chuẩn Z, và z ∈ Γ Ta nói véctơ v ∈ Z là véctơ tiếp tuyến Γ z̄ đại l−ợng d(z + tv, Γ) t (2.1) hội tụ đến t → 0+ Tùy thuộc vào kiểu cách hội tụ đại l−ợng (2.1) mµ ta cã çc kh¸i niÖm tiÕp tuyÕn kh¸c H×nh Tr−íc hÕt, chóng ta tr×nh bµy kh¸i niÖm nãn tiÕp tuyÕn Bouligand vµ mét sè tÝnh chÊt cña h×nh nãn tiÕp tuyÕn nµy Nãn tiÕp tuyÕn Bouligand: Định nghĩa 2.2.1 Cho M là tập không gian định chuẩn X, và x̄ là điểm thuộc bao đóng M M Nón tiếp tuyến Bouligand M x̄, ®−îc ký hiÖu bëi TM (x̄), lµ tËp hîp nh÷ng vÐct¬ v ∈ X tháa m·n ®iÒu kiÖn (2.2) lim inf t→0+ d(x̄ + tv, M ) = t Nh¾c l¹i r»ng d(x, M ) = inf x − y y∈M Vì d(x, M ) với x, đẳng thức (2.2) có nghĩa là k k } ⊂ IR \ {0} cho lim d(x̄ + t v, M ) = 0, ∃{t + (2.3) k→∞ tk k t → k → ∞ (61) 2.1 Nãn tiÕp tuyÕn 55 NhËn xÐt 2.2.1 TM (x̄) lµ h×nh nãn chøa 0, tøc lµ ∈ TM (x̄) vµ λv ∈ TM (x̄) ∀v ∈ TM (x̄), ∀λ > Mệnh đề 2.2.1 Ta có: (i) (2.4) TM (x̄) = {v : ∃{tk } ⊂ IR+ \ {0}, tk → 0, ∃{v k } ⊂ X, v k → v, x̄ + tk v k ∈ M ∀k ∈ IN }; (ii) TM (x̄) là nón đóng; (iii) TM (x̄) ⊂ cone(M − x̄) (2.5) Chøng minh (i) Ký hiÖu vÕ ph¶i cña (2.4) bëi V LÊy v ∈ TM (x̄) Chän {tk } ⊂ IR+ \ {0}, tk → 0, cho giíi h¹n (2.3) b»ng §Æt εk = d(x̄ + tk v, M ) , ta cã εk → 0+ Víi mçi k, tk d(x̄ + tk v, M ) = tk εk < tk εk + tk k Do đó tồn xk ∈ M để (x̄ + tk v) − xk < tk εk + tk k §Æt vk = xk − x̄ , ta cã k xk − x̄ < εk + v − v = v − k t k k VËy vk → v k → ∞ V× x̄ + tk v k = xk ∈ M víi mäi k, nªn v ∈ V Ng−îc l¹i, gi¶ sö v ∈ V Chän {tk }, {v k }, tk → 0+ , v k → v, cho x̄ + tk v k ∈ M víi mäi k Ta cã (x̄ + tk v) − (x̄ + tk v k ) d(x̄ + tk v, M ) = v − v k → k t tk Do đó (2.3) nghiệm đúng Suy v ∈ TM (x̄) (62) §¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ 56 (ii) Gi¶ sö !{wk } ⊂ TM (x̄), wk → w Víi mçi k ∈ IN , tÝnh chÊt (i), tån vµ v k ∈ X cho t¹i tk ∈ 0, k v k − wk < , k x̄ + tk v k ∈ M Ta cã tk → 0+ k → ∞, vµ v k − w v k − wk + wk − w < + wk − w → k Theo (i), từ đó ta có w ∈ TM (x̄) (iii) LÊy v ∈ TM (x̄) Chän {tk }, {v k }, tk → 0+ , v k → v, cho x̄ + tk v k ∈ M với k Khi đó, vk ∈ (M − x̄) ⊂ cone(M − x̄) ⊂ cone(M − x̄) tk V× v k → v, nªn ta cã v ∈ cone(M − x̄) Nãn tiÕp tuyÕn Bouligand kh«ng nhÊt thiÕt lµ nãn låi VÝ dô 2.2.1 §Æt M = {x = (x1 , x2 ) : x2 = |x1 |} ⊂ IR2 Víi x̄ := (0, 0), ta cã TM (0) = M = cone(M − 0) Nói chung, ta không có đẳng thức (2.5) H×nh VÝ dô 2.2.2 §Æt M = {x = (x1 , x2 ) : x2 = x21 } ⊂ IR2 LÊy x̄ = (0, 0), ta cã cone(M − x̄) = {v = (v1 , v2 ) : v2 0}, TM (x̄) = {v = (v1 , 0) : v1 ∈ IR} (63) 2.1 Nãn tiÕp tuyÕn 57 Dễ thấy cone(M − x̄) = {v = (v1 , v2 ) : v2 > 0} ∪ {(0, 0)} Do đó cone(M − x̄) không phải là nón đóng; xem Hình Mệnh đề sau đây cho ta công thức tính nón tiếp tuyến Bouligand tập nghiệm hệ bất đẳng thức cho các hàm khả vi Fréchet Mệnh đề 2.2.2 (Công thức tính nón tiếp tuyến Bouligand) Giả sử gi : X → IR (i = 1, , m) là các hàm số thực liên tục trên không gian định chuẩn X §Æt M = {x ∈ X : gi (x) ∀i = 1, , m} Giả sử x̄ ∈ M Đặt I(x̄) = {i : gi (x̄) = 0} Khi đó, (i) NÕu I(x̄) = ∅, th× TM (x̄) = X; (ii) NÕu I(x̄) = ∅ vµ gi (·) (i = 1, , m) lµ kh¶ vi FrÐchet t¹i x̄, th× TM (x̄) ⊂ {v ∈ X : gi (x̄)(v) ∀i ∈ I(x̄)}; (iii) NÕu I(x̄) = ∅, gi (·) (i = 1, , m) kh¶ vi FrÐchet t¹i x̄, vµ ®iÒu kiÖn chÝnh quy sau ®−îc tháa m·n (2.6) ∃v ∈ X để gi (x̄)(v ) < ∀i ∈ I(x̄) th× (2.7) TM (x̄) = {v ∈ X : gi (x̄)(v) ∀i ∈ I(x̄)} Chứng minh (i) Giả sử I(x̄) = ∅ Khi đó, gi (x̄) < với i = 1, , m Do çc hµm sè gi (·) lµ liªn tôc, tån t¹i δ > cho gi (x) < ∀i = 1, , m, ∀x ∈ B̄(x̄, δ) Từ đó suy B̄(x̄, δ) ⊂ M Vì vậy, TM (x̄) = X (ii) Gi¶ sö r»ng I(x̄) = ∅ vµ gi (·) (i = 1, , m) lµ kh¶ vi FrÐchet t¹i x̄ Lấy tùy ý v ∈ TM (x̄) Do Mệnh đề 2.2.1(i), ta chọn đ−ợc {tk }, tk → 0+ , {v k }, v k → v, cho x̄ + tk v k ∈ M víi mäi k ∈ IN Víi mçi i ∈ I(x̄), ta cã (gi (x̄ + tk v k ) − gi (x̄)) tk Lấy giới hạn k → ∞, từ bất đẳng thức cuối ta thu đ−ợc gi (x̄)(v) Đó lµ ®iÒu ph¶i chøng minh I(x̄) ®−îc gäi lµ tËp chØ sè ho¹t (the active index set) øng víi ®iÓm x̄ ∈ M §iÒu kiÖn chÝnh quy (regularity condition) kiÓu nµy cßn ®−îc gäi lµ ®iÒu kiÖn chuÈn hãa rµng buộc (constraint qualification), nh− M đóng vai trò tập ràng buộc bài toán tối −u (64) §¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ 58 (iii) Gi¶ sö r»ng I(x̄) = ∅, gi (·) (i = 1, , m) kh¶ vi FrÐchet t¹i x̄, vµ tån v0 ∈ X thỏa các bất đẳng thức chặt (2.6) Lấy tùy ý phần tử v thuéc tËp hîp viÕt ë vÕ ph¶i cña (2.7) Ta ph¶i chøng minh r»ng v ∈ TM (x̄) Lấy à ∈ (0, 1) và đặt và = (1 − à)v + àv Khi đó, gi (x̄)(v) ∀i ∈ I(x̄) vµ gi (x̄)(vµ ) = (1 − µ)gi (x̄)(v) + µgi (x̄)(v ) < ∀µ ∈ (0, 1) (2.8) (Bất đẳng thức cuối nghiệm đúng vì gi (x̄)(v) = và gi (x̄)(v ) < 0.) Ta có vµ ∈ TM (x̄) ∀µ ∈ (0, 1) ThËt vËy, víi mäi i ∈ I(x̄), v× gi (·) kh¶ vi FrÐchet t¹i x̄ nªn gi (x̄ + tvµ ) − gi (x̄) = tgi (x̄)(vµ ) + o(t), víi lim t→0+ o(t) = Từ đó suy t o(t) (gi (x̄ + tvµ ) − gi (x̄)) = gi (x̄)(vµ ) + t t Do vậy, l−u ý đến (2.8), ta chọn đ−ợc δi > cho gi (x̄ + tvµ ) − gi (x̄) ∀t ∈ (0, δi ) Do gi (x̄) = víi mäi i ∈ I(x̄), nªn víi δ := min{δi : i ∈ I(x̄)} ta cã gi (x̄ + tvµ ) ∀t ∈ (0, δ), ∀i ∈ I(x̄) / I(x̄), b»ng çch lÊy δ > bÐ h¬n (nÕu cÇn) ta sÏ cã V× gi (x̄) < víi mäi i ∈ gi (x̄ + tvµ ) ∀t ∈ (0, δ), ∀i = 1, , m Do vËy, x̄ + tvµ ∈ M ∀t ∈ (0, δ) Từ đó suy và ∈ TM (x̄) Cho à → 0+ và sử dụng tính đóng hình nón TM (x̄), ta cã v ∈ TM (x̄) Bài tập 2.2.1 Sử dụng Mệnh đề 2.2.1(iii) để tính nón T M (x̄) với M := {x = (x1 , x2 ) : x1 + x2 2, x2 x31 } ⊂ IR2 vµ x̄ = (1, 1) (KÕt qu¶: T M (x̄) = {v = (v1 , v2 ) : v1 + v2 0, v2 3v1 }; xem H×nh 10.) (65) 2.1 Nãn tiÕp tuyÕn 59 Bài tập 2.2.2 Hãy xây dựng ví dụ đơn giản để chứng tỏ đẳng thức (2.7) có thể không đúng nh− I(x̄) = ∅, g i (ã) (i = 1, , m) khả vi FrÐchet t¹i x̄, nh−ng ®iÒu kiÖn chÝnh quy (2.6) kh«ng ®−îc tháa m·n t¹i x̄ Bài tập 2.2.3 Chứng minh các khẳng định sau: (a) NÕu M1 ⊂ M2 vµ x̄ ∈ M1 , th× TM1 (x̄) ⊂ TM2 (x̄) (b) NÕu M1 ⊂ X, M2 ⊂ X, x̄ ∈ M1 ∩ M2 , th× TM1 ∩M2 (x̄) ⊂ TM1 (x̄) ∩ TM2 (x̄) Bµi tËp 2.2.4 B»ng mét vÝ dô thÝch hîp, h·y chøng tá r»ng chøng tá r»ng bao hàm thức khẳng định (b) bài tập trên có thể là bao hàm thøc chÆt (tËp hîp bªn vÕ tr¸i lµ tËp thùc sù cña tËp hîp bªn vÕ ph¶i) H×nh 10 Nhận xét 2.2.2 Trên sở Mệnh đề 2.2.2, ta có thể đặt vấn đề xây dựng công thức tính hình nón tiếp tuyến Bouligand cho tập hợp có cấu trúc xác định, ví dụ nh− tập nghiệm hệ hỗn hợp các đẳng thức và bất đẳng thức, tập nghiệm bài toán nào đó Nói chung, đó là vấn đề nan giải5 Chúng ta còn trở lại chủ đề này sau tìm hiểu các khái niệm nón tiếp tuyến trung gian vµ nãn tiÕp tuyÕn Clarke Mới đây, Nguyễn Huy Chiêu đã thu đ−ợc kết thú vị nón tiếp tuyến Bouligand cña çc tËp hîp IR2 cã thÓ biÓu diÔn ®−îc d−íi d¹ng tÝch cña hai tËp d·y (sequencial sets) IR; xem Chiªu (2006b) (66) §¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ 60 Nãn tiÕp tuyÕn trung gian vµ nãn tiÕp tuyÕn Clarke: Định nghĩa 2.2.2 Cho X là không gian định chuẩn Nón tiếp tuyến trung b (x̄), lµ tËp gian hay nãn kÒ cña tËp M ⊂ X t¹i x̄ ∈ M , ®−îc ký hiÖu bëi TM hîp nh÷ng vÐct¬ v ∈ X tháa m·n ®iÒu kiÖn (2.9) lim t→0+ d(x̄ + tv, M ) = t §iÒu kiÖn (2.9) cã nghÜa lµ ∀ε > ∃δ > cho d(x̄ + tv, M ) ε ∀t ∈ (0, δ) t Định nghĩa 2.2.3 Cho X là không gian định chuẩn Nón tiếp tuyến Clarke8 hay nãn tiÕp tuyÕn lµm trßn cña tËp M ⊂ X t¹i x̄ ∈ M , ®−îc ký hiÖu 10 bëi CM (x̄), lµ tËp hîp nh÷ng vÐct¬ v ∈ X tháa m·n ®iÒu kiÖn d(x + tv, M ) = M t t→0+ ,x−→x̄ (2.10) lim M ë ®©y x −→ x̄ ký hiÖu giíi h¹n M ∪ {x̄} §iÒu kiÖn (2.10) cã nghÜa lµ ∀ε > ∃δ > cho d(x + tv, M ) ε t ∀t ∈ (0, δ) ∀x ∈ M ∩ B(x̄, δ) Mệnh đề 2.2.3 Ta có: b (x̄) ⊂ T (x̄) ⊂ cone(M − x̄); (i) CM (x̄) ⊂ TM M (ii) b (x̄) = {v ∈ X TM : ∀{tk } ⊂ IR+ \ {0}, tk → 0, ∃{v k }, v k → v, x̄ + tk v k ∈ M ∀k ∈ IN }; (iii) CM (x̄) = {v ∈ X : ∀{tk } ⊂ IR+ \ {0}, tk → 0, ∀{xk } ⊂ M, xk → x̄, ∃{v k }, v k → v, xk + tk v k ∈ M ∀k ∈ IN }; TNTA: the intermediate tangent cone TNTA: the adjacent cone TNTA: the Clarke tangent cone TNTA: the circatangent cone 10 Chữ C ký hiệu CM (x̄) đ−ợc Aubin và Frankowska (1990) sử dụng để vinh danh F H Clarke, nhµ to¸n häc ng−êi Cana®a, mét sè nh÷ng ng−êi ®i tiªn phong viÖc x©y dùng gi¶i tÝch kh«ng tr¬n Clarke sinh n¨m 1948 ë Montreal ¤ng viÕt luËn ¸n TiÕn sÜ ë University of Washington d−íi sù h−íng dÉn cña R T Rockafellar, nhµ to¸n häc næi tiÕng ng−êi Mü (67) 2.1 Nãn tiÕp tuyÕn 61 b (x̄) là nón đóng; (iv) TM (v) CM (x̄) là nón lồi, đóng; b (x̄) ⊂ T b (x̄); (vi) CM (x̄) + TM M (vii) CM (x̄) + TM (x̄) ⊂ TM (x̄) Chøng minh Çc tÝnh chÊt (i)-(iv) cã thÓ chøng minh t−¬ng tù nh− çc tÝnh chất (i) và (ii) Mệnh đề 2.2.1 Đó là bài tập không khó, nh−ng bổ ích, đ−ợc dành cho bạn đọc (v) Ta cÇn chøng tá r»ng v1 + v ∈ CM (x̄) víi mäi v1 , v ∈ CM (x̄) Gi¶ sö r»ng v1 , v ∈ CM (x̄) Gi¶ sö {tk } ⊂ IR+ \ {0} vµ {xk } ⊂ M lµ çc d·y tháa m·n tk → 0, xk → x̄ Do v1 ∈ CM (x̄) vµ (iii), tån t¹i {v1,k }, v 1,k → v , cho x "k := xk + tk v 1,k ∈ M ∀k HiÓn nhiªn x "k → x̄ V× v ∈ CM (x̄), tån t¹i {v2,k }, v 2,k → v , x "k + tk v 2,k ∈ M Ta cã ∀k "k + tk v 2,k ∈ M xk + tk (v 1,k + v 2,k ) = x ∀k + → + ta kÕt luËn r»ng + ∈ CM (x̄) b (x̄) Gi¶ sö r»ng {tk } ⊂ IR \ {0}, (vi) Cho tïy ý v ∈ CM (x̄) vµ v ∈ TM + k b t → Do (ii) vµ v ∈ TM (x̄), tån t¹i {v2,k }, v 2,k → v , cho Do v1,k v 2,k v1 v2 , v1 v2 x "k := x̄ + tk v 2,k ∈ M ∀k M Do x "k −→ x̄ vµ v1 ∈ CM (x̄), tån t¹i {v1,k }, v 1,k → v , cho x "k + tk v 1,k ∈ M Ta cã ∀k "k + tk v 1,k ∈ M x̄ + tk (v 1,k + v 2,k ) = x b (x̄) v 1,k → v vµ v 2,k → v VËy v1 + v ∈ TM (vii) Chøng minh t−¬ng tù nh− (vi) b (x̄) = T (x̄)) §Æt VÝ dô 2.2.3 (TM M : i = 1, 2, ⊂ IR M= 2i Víi x̄ := ∈ M , ta cã TM (x̄) = IR+ , b TM (x̄) = {0} ∀k, (68) §¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ 62 Tr−íc hÕt, ta sÏ chøng tá r»ng v = ∈ TM (x̄) §Æt tk = k , v k = v víi mäi k ∈ IN V× x̄ + tk v k = k ∈ M ∀k, nªn v ∈ TM (x̄) Suy IR+ ⊂ TM (x̄) ⊂ cone(M − x̄) = IR+ b (x̄) ⊂ T (x̄) = IR NÕu ta Vậy TM (x̄) = IR+ Do Mệnh đề 2.2.3(i), TM M + b b chøng minh ®−îc r»ng v = ∈ / TM (x̄), th× TM (x̄) = {0} Gi¶ sö ph¶n chøng: b (x̄) Khi đó v = ∈ TM (2.11) lim t→0+ d(x̄ + tv, M ) = t LÊy t = k 1 + k+1 k 2 ! (k = 1, 2, ) Do (2.11), (2.12) d(x̄ + tk v, M ) = k→∞ tk lim # #1 # #2 # ! 1 ## + k+1 − k+1 # d(tk , M ) d(x̄ + tk v, M ) 2k 2 ! = = k k 1 t t + k+1 k 2 1 2k+1 = , = 1 + k+1 2k b (x̄) nªn (2.12) lµ sai VËy ta ph¶i cã v = ∈ / TM V× b (x̄) = C (x̄)) LÊy x̄ = (0, 0) ∈ IR2 vµ VÝ dô 2.2.4 (TM M M = {x = (x1 , x2 ) : x1 0, x2 = 0} ∪ {x = (x1 , x2 ) : x1 = 0, x2 0} Ta cã b (x̄) = TM (x̄) = M, TM CM (x̄) = {0} b (x̄) = T (x̄) = M lµ hiÓn nhiªn V× C (x̄) ⊂ Thật vậy, các đẳng thức TM M M b TM (x̄), nên để chứng minh CM (x̄) = {0} ta cần chứng tỏ v1 := / CM (x̄) NÕu v1 ∈ CM (x̄), th× (1, 0) ∈ / CM (x̄) vµ v := (0, 1) ∈ (2.13) d(x + tv , M ) = M t t→0+ , x−→x̄ lim (69) 2.1 Nãn tiÕp tuyÕn 63 M LÊy tk = 1/k, xk = (0, 1/k) (k = 1, 2, ) V× tk → 0+ vµ xk −→ x̄, nªn tõ (2.13) ta suy d(xk + tk v , M ) lim = k→∞ tk §¼ng thøc nµy kh«ng thÓ x¶y ra, bëi v× d((0, k1 ) + k1 (1, 0), M ) d(xk + tk v , M ) = k k 1t d k, k ,M k = = 1 =1 k k / CM (x̄) Do tính đối xứng, ta có v2 ∈ / CM (x̄) víi mäi k ∈ IN VËy v1 ∈ TËp m−ît, tËp cã tÝnh chÊt kh¶ vi, tËp chÝnh quy tiÕp tuyÕn: §Þnh nghÜa 2.2.4 Ta nãi M lµ m−ît 11 t¹i x̄ ∈ M nÕu ¸nh x¹ ®a trÞ TM (·) : X ⇒ X, / M x → TM (x), là nửa liên tục d−ới x̄ (Ta đặt TM (x) = ∅ với x ∈ Khi đó, dom TM (ã) = M ) b (x̄) = T (x̄) Ta nãi M lµ cã tÝnh chÊt kh¶ vi 12 t¹i x̄ ∈ M nÕu TM M Ta nãi M lµ chÝnh quy tiÕp tuyÕn 13 t¹i x̄ ∈ M nÕu CM (x̄) = TM (x̄) Ta nãi M lµ tËp m−ît (t−¬ng øng, tËp cã tÝnh chÊt kh¶ vi, tËp chÝnh quy tiÕp tuyÕn) nÕu M lµ m−ît (t−¬ng øng, cã tÝnh chÊt kh¶ vi, chÝnh quy tiÕp tuyÕn) t¹i mçi ®iÓm thuéc M Ta sÏ quay l¹i víi çc kh¸i niÖm nãi §Þnh nghÜa 2.2.4 sau chøng tá r»ng nãn tiÕp tuyÕn Bouligand (nãn tiÕp tuyÕn trung gian, nãn tiÕp tuyÕn Clarke) cã thÓ biÓu diÔn nh− giíi h¹n PainlevÐ-Kuratowski cña mét hä tËp hîp Nãn tiÕp tuyÕn vµ giíi h¹n PainlevÐ-Kuratowski cña hä tËp hîp: §Þnh nghÜa 2.2.5 (Giíi h¹n theo PainlevÐ-Kuratowski) Cho {Ωµ }µ∈M lµ hä tËp hîp phô thuéc vµo tham sè µ ∈ M , M lµ kh«ng gian mªtric, Ωµ ⊂ X víi à, X là không gian định chuẩn Giả sử à̄ ∈ M Tập hợp (2.14) Lim sup Ωµ := {x ∈ X : lim inf d(x, Ωµ ) = 0} µ→µ̄ µ→µ̄ ®−îc gäi lµ giíi h¹n trªn theo PainlevÐ-Kuratowski cña hä {Ωµ }µ∈M µ → µ̄ TËp hîp (2.15) 11 Lim inf Ωµ := {x ∈ X : lim d(x, Ωµ ) = 0} µ→µ̄ TNTA: sleek 12 TNTA: derivable 13 TNTA: tangentially regular µ→µ̄ (70) §¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ 64 ®−îc gäi lµ giíi h¹n d−íi theo PainlevÐ-Kuratowski cña hä {Ωµ }µ∈M µ → µ̄ Do (2.14), x ∈ Lim sup Ωµ ⇔ µ→µ̄ ! ∃{µk }k∈IN ⊂ M, µk → µ̄, lim d(x, Ωµk ) = k→∞ Do (2.15), x ∈ Lim inf Ωµ ⇔ ∀ε > ∃δ > : d(x, Ωµ ) < ε ∀µ ∈ B̄(µ̄, δ) µ→µ̄ Nãi çch kh¸c, x ∈ Lim inf Ωµ ⇔ µ→µ̄ k ∀{µ }k∈IN ! ⊂ M, µ → µ̄, lim d(x, Ωµk ) = k k→∞ Nhận xét 2.2.3 Từ định nghĩa suy Lim inf Ωà ⊂ Lim sup Ωà µ→µ̄ µ→µ̄ Bµi tËp 2.2.5 Chøng minh r»ng Lim sup Ωµ vµ Lim inf Ωµ lµ nh÷ng tËp µ→µ̄ µ→µ̄ đóng X (Chứng minh: Giả sử {xj } ⊂ Lim sup Ωµ , µ→µ̄ xj → x̄ Víi mçi k ∈ IN , lÊy j(k) ∈ IN cho xj(k) − x̄ < k V× xj(k) ∈ Lim sup Ωµ , nªn tån t¹i µk ∈ M cho µ→µ̄ d(µk , µ̄) < , k d(xj(k) , Ωµk ) < k Do đó ta chọn đ−ợc y k ∈ Ωàk thỏa mãn điều kiện x j(k) − y k < k1 Với các dãy {xj(k) }, {àk } và {y k } đó, ta có àk → à̄, xj(k) → x̄ (khi k → ∞), vµ víi mçi k: d(x̄, Ωµk ) x̄ − y k x̄ − xj(k) + xj(k) − y k < + = k k k Vậy lim d(x̄, Ωàk ) = Do đó x̄ ∈ Lim sup Ωà Để chứng minh k→∞ µ→µ̄ Lim inf Ωà là đóng, ta giả sử phản chứng Lim inf Ωà không đóng µ→µ̄ µ→µ̄ / Lim inf Ωµ VËy tån t¹i Khi đó tồn {xj } ⊂ Lim inf Ωà , xj → x̄, x̄ ∈ µ→µ̄ ε > vµ {µk }, µk → µ̄ cho (2.16) d x̄, Ωµk ε ∀k ∈ IN µ→µ̄ (71) 2.1 Nãn tiÕp tuyÕn 65 Do xj → x̄, tån t¹i j ∈ IN cho xj − x̄ < 4ε Do lim d(xj , Ωµ ) = vµ µk → µ̄, tån t¹i k ∈ IN tháa ®iÒu kiÖn d(xj , Ωµk ) < Ta cã µ→µ̄ ε d(x̄, Ωµk ) x̄ − xj + d(xj , Ωµk ) < ε ε ε + = , 4 m©u thuÉn víi (2.16).) Bài tập 2.2.6 Cho M ⊂ X là tập không gian định chuẩn, x̄ ∈ M Chøng minh r»ng (a) TM (x̄) = Lim sup t→0+ M − x̄ , t M − x̄ , t M −x (c) CM (x̄) = Lim inf M t + t→0 , x−→x̄ b (b) TM (x̄) = Lim inf + t→0 (Chứng minh: (a) Theo định nghĩa, v ∈ T M (x̄) và lim inf t→0+ d(x̄ + tv, M ) = 0; t tøc lµ tån t¹i {tk } ⊂ IR+ \ {0}, tk → 0, {v k } ⊂ X, v k → v cho x̄ + tk v k ∈ M víi mäi k ∈ IN Râ rµng lµ x̄ + t k v k ∈ M vµ chØ M − x̄ VËy v ∈ TM (x̄) vµ chØ tån t¹i {t k } ⊂ IR+ \ v k ∈ tk M − x̄ M − x̄ {0}, tk → 0, cho lim d(v, ) = 0; tøc lµ v ∈ Lim sup k→∞ tk t t→0+ Các khẳng định (b) và (c) đ−ợc chứng minh hoàn toàn t−ơng tự.) Quan hÖ gi÷a tËp m−ît vµ tËp chÝnh quy tiÕp tuyÕn: §Þnh lý sau chøng tá r»ng, d−íi nh÷ng ®iÒu kiÖn kh¸ tæng qu¸t, mét tËp m−ît ph¶i lµ tËp chÝnh quy tiÕp tuyÕn §Þnh lý 2.2.1 (xem Aubin vµ Frankowska (1990)) Cho X lµ kh«ng gian Banach, M ⊂ X là tập đóng Nếu M là m−ợt x̄ ∈ M (tức là ánh xạ đa trị x → TM (x) lµ nöa liªn tôc d−íi t¹i x̄) th× M lµ chÝnh quy tiÕp tuyÕn t¹i x̄ (tøc lµ CM (x̄) = TM (x̄)) Tập hợp M = 21i : i = 1, 2, ⊂ IR xét Ví dụ 2.2.4 là tập đóng, kh«ng lµ chÝnh quy tiÕp tuyÕn t¹i x̄ = (0, 0) Theo §Þnh lý 2.2.1, M kh«ng thÓ lµ m−ît t¹i x̄ (72) §¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ 66 Quan hÖ gi÷a hä nãn Bouligand {TM (x)}x∈M vµ nãn tiÕp tuyÕn Clarke CM (x̄): §Þnh lý sau cho thÊy r»ng giíi h¹n d−íi theo PainlevÐ-Kuratowski cña hä nãn tiÕp tuyÕn Bouligand {TM (x)}x∈M (khi x → x̄) lµ mét bé phËn cña nãn tiÕp tuyÕn Clarke CM (x̄) §Þnh lý 2.2.2 (B Cornet 1981, J S Treiman 1983; xem Aubin vµ Frankowska (1990)) Cho X là không gian Banach, M ⊂ X là tập đóng Khi đó, với mäi x̄ ∈ M , Lim inf TM (x) ⊂ CM (x̄) M x−→x̄ Khi X là không gian định chuẩn hữu hạn chiều, thì bao hàm thức cuối trở thành đẳng thức Cụ thể hơn, ta có định lý sau §Þnh lý 2.2.3 (B Cornet 1981, J S Treiman 1983; xem Aubin vµ Frankowska (1990)) Cho X là không gian định chuẩn hữu hạn chiều, M ⊂ X là tập đóng Khi đó, với x̄ ∈ M , Lim inf TM (x) = Lim inf co(TM (x)) = CM (x̄) M x−→x̄ M x−→x̄ Bạn đọc có thể tìm hiểu chứng minh hai định lý trên chuyên kh¶o cña Aubin vµ Frankowska (1990), tr 128-138 b (x̄) vµ C (x̄) lµ trïng nÕu M lµ tËp låi hoÆc Çc h×nh nãn TM (x̄), TM M M là tập nghiệm hệ bất đẳng thức/đẳng thức cho các hàm trơn thỏa mãn điều kiện chính quy nào đó Mệnh đề 2.2.4 Nếu M là tập lồi gian định chuẩn X và x̄ ∈ M , thì (2.17) b (x̄) = TM (x̄) = cone(M − x̄) CM (x̄) = TM Chứng minh Ta đã chứng minh b (x̄) ⊂ TM (x̄) ⊂ cone(M − x̄) CM (x̄) ⊂ TM Vậy để thu đ−ợc (2.17) ta cần chứng tỏ cone(M − x̄) ⊂ CM (x̄) Vì CM (x̄) là tập đóng, nên cần chứng minh cone(M − x̄) ⊂ CM (x̄) (73) 2.1 Nãn tiÕp tuyÕn 67 x − x̄ t M Gi¶ sö xk −→ x̄, tk → 0+ Chän k̄ ∈ IN cho tk ∈ (0, t) víi mäi k k̄ §Æt nÕu k < k̄ v k = x − xk nÕu k k̄ t x − x̄ = v k → ∞ NÕu k < k̄, th× xk + tk v k = xk ∈ M NÕu Ta cã vk → t k k k̄ th× tt ∈ (0, 1) vµ ta cã ! k tk tk k k k k kx − x = 1− xk + x ∈ M x +t v =x +t t t t Lấy tùy ý v ∈ cone(M − x̄), và lấy t > 0, x ∈ M để có biểu diễn v = (do M là tập lồi) Theo Mệnh đề 2.2.3, điều đó chứng tỏ v ∈ CM (x̄) Từ mệnh đề vừa đ−ợc chứng minh suy tập lồi không gian định chuÈn lµ chÝnh quy tiÕp tuyÕn Định lý 2.2.1 nói tập đóng không gian Banach là tËp m−ît, th× nã lµ tËp chÝnh quy tiÕp tuyÕn Nh− vËy tÝnh m−ît (sleekness) nãi chung mạnh tính chính quy tiếp tuyến (tangential regularity) Mệnh đề tiếp sau đây cho thấy các tập lồi đóng không gian Banach thì hai tính chất đó là t−ơng đ−ơng Mệnh đề 2.2.5 Mọi tập lồi đóng không gian Banach là tập m−ợt Chứng minh Ta có thể chứng minh mệnh đề này cách sử dụng Định lý tách các tập lồi Giả sử M là tập lồi đóng không gian Banach X ánh x¹ ®a trÞ nãn ph¸p tuyÕn NM (·) : X ⇒ X ∗ (x → NM (x) ∀x ∈ X), đó X đ−ợc xét với tôpô chuẩn và X∗ đ−ợc xét với tôpô yếu∗ , là đóng ThËt vËy, gi¶ sö {pα } vµ {xα } lµ çc d·y suy réng cho pα ∈ NM (xα ) víi w∗ mäi α, xα → x̄, vµ pα −→ p̄ Ta sÏ chØ r»ng p̄ ∈ NM (x̄) Do NM (x) = ∅ víi mäi x ∈ / M , nªn ta cã thÓ gi¶ sö r»ng xα ∈ M víi mäi α Víi mäi y ∈ M vµ víi mäi α, ta cã pα , y − xα = pα , y − x̄ + pα , x̄ − xα w∗ LÊy giíi h¹n theo α (l−u ý r»ng v× pα −→ p̄, nªn {pα } lµ d·y giíi néi), ta ®−îc p̄, y − x̄ Vì bất đẳng thức cuối đúng với y ∈ M , nên p̄ ∈ NM (x̄) Tính đóng ánh xạ nón pháp tuyến đã đ−ợc chứng minh (74) §¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ 68 Lấy x̄ ∈ M Ta khẳng định ánh xạ đa trị nón tiếp tuyến TM (·) : X ⇒ X là nửa liên tục d−ới x̄ (Ta có dom TM (ã) = M ) Nếu khẳng định đó là sai, M th× tån t¹i v̄ ∈ TM (x̄), ε > vµ d·y {xk } cho xk −→ x̄ cho víi mçi k ∈ IN ta cã TM (xk ) ∩ B̄(v̄, ε) = ∅ Do đó, với k, sử dụng Định lý tách các tập lồi (xem Rudin (1973), Định 3.4), ta t×m ®−îc pk ∈ X ∗ , pk = cho sup v∈TM (xk ) pk , v inf pk , v v∈B̄(v̄,ε) Vì TM (xk ) là hình nón, điều đó kéo theo sup pk , v 0, v∈TM (xk ) tøc lµ pk ∈ NM (xk ) V× ∈ TM (xk ), nªn tõ nh÷ng ®iÒu nãi trªn ta cã 0 inf pk , v = pk , v̄ − εpk v∈B̄(v̄,ε) = pk , v̄ − ε Do hình cầu đơn vị X∗ là compắc yếu∗ (theo Định lý Banach-Alaoglu), d·y {pk } cã d·y héi tô theo t«p« yÕu∗ Kh«ng gi¶m tæng qu¸t, ta cã thÓ gi¶ w∗ sử pα −→ p̄ Do pk ∈ NM (xk ) với k và xk → x̄, từ tính đóng ¸nh x¹ NM (·) suy p̄ ∈ NK (x̄) V× vËy p, v̄ MÆt kh¸c, cho k → ∞, từ các bất đẳng thức ε pk , v̄ (k ∈ IN ), ta thu đ−ợc ε p, v̄ Ta đã đến m©u thuÉn VËy ¸nh x¹ ®a trÞ TM (·) lµ nöa liªn tôc d−íi t¹i x̄ V× x̄ ∈ M ®−îc lÊy tïy ý, ta kÕt luËn r»ng M lµ tËp m−ît Mệnh đề 2.2.2 đã thiết lập công thức tính nón tiếp tuyến Bouligand tập nghiệm hệ bất đẳng thức cho các hàm số khả vi Fréchet Tiếp sau đây chúng ta sÏ t×m hiÓu c«ng thøc tÝnh nãn tiÕp tuyÕn Bouligand cña tËp nghiÖm hÖ hçn hợp các bất đẳng thức và đẳng thức và cho các hàm trơn (tức là các hàm sè kh¶ vi FrÐchet liªn tôc) Cho X là không gian Banach, ∆ ⊂ X là tập đóng, Ω ⊃ ∆ là tập mở, gi : Ω → IR (i = 1, , m) vµ hj : Ω → IR (j = 1, , s) lµ çc hµm kh¶ vi FrÐchet liªn tôc §Æt (2.18) M = {x ∈ ∆ : gi (x) ∀i = 1, m, hj (x) = ∀j = 1, s} (75) 2.1 Nãn tiÕp tuyÕn 69 Ta có M ⊂ X là tập đóng Với x ∈ M , ta đặt I(x) = {i : gi (x) = 0} và gọi I(x) là tập số hoạt ứng với điểm x ∈ M Để cho gọn, ta đặt h(x) = (h1 (x), , hs (x)) , đó dấu chØ phÐp chuyÓn vÞ ma trËn Nh− vËy, h lµ ¸nh x¹ tõ Ω vµo IR s Mệnh đề 2.2.6 (Công thức tính nón tiếp tuyến Bouligand; xem Aubin và Frankowska (1990)) Gi¶ sö M ®−îc cho bëi (2.18) Gi¶ sö x̄ ∈ M vµ ®iÒu kiÖn chÝnh quy sau ®−îc tháa m·n: (a) h (x̄)(C∆ (x̄)) = IRs (2.19) (b) ∃v0 ∈ X để h (x̄)(v ) = 0, gi (x̄)(v ) < ∀i ∈ I(x̄) Khi đó, v ∈ TM (x̄) và v ∈ T∆ (x̄) và gi (x̄)(v) ∀i ∈ I(x̄) (2.20) hj (x̄)(v) = ∀j = 1, s Nãi mét çch h×nh ¶nh, ®iÒu kiÖn (a) (2.19) nãi r»ng phÇn h¹n chÕ toán tử đạo hàm h (x̄) : X → IRs trên nón CM (x̄) là tràn Ta còn trở lại víi kiÓu ®iÒu kiÖn nµy xÐt kh¸i niÖm to¸n tö trµn trªn nãn Ch−¬ng Điều kiện (b) (2.19) nói có tồn véctơ v nào đó không gian tiÕp xóc 14 cña ®a t¹p {x ∈ X : h(x) = 0} t¹i ®iÓm x̄ h−íng vµo phÇn cña h×nh nãn tiÕp tuyÕn Bouligand cña tËp hîp {x ∈ X : g(x) ∀i = 1, , m} Mệnh đề 2.2.7 (Công thức tính nón tiếp tuyến Clarke; xem Aubin và Frankowska (1990)) Gi¶ sö M ®−îc cho bëi (2.17) víi ∆ = X Gi¶ sö x̄ ∈ M vµ ®iÒu kiÖn chính quy (2.19) đ−ợc thỏa mãn (với CM (x̄) đ−ợc thay X) Khi đó, với v ∈ X, v ∈ CM (x̄) vµ chØ ®iÒu kiÖn (2.20) ®−îc tháa m·n b (x̄) ⊂ T (x̄), ta Từ các mệnh đề 2.2.6 và 2.2.7 và tính chất CM (x̄) ⊂ TM M rút điều kiện đủ sau đây cho tính chính quy tiếp tuyến tập nghiệm (2.18) t¹i mét ®iÓm cho tr−íc Hệ 2.2.1 D−ới các giả thiết Mệnh đề 2.2.7, ta có b (x̄) CM (x̄) = TM = TM (x̄) = {v ∈ X : gi (x̄)(v) ∀i ∈ I(x̄), hj (x̄)(v) = ∀j = 1, s} 14 Lµ tËp hîp {v ∈ X : h (x̄)(v) = 0} (76) §¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ 70 Bµi tËp 2.2.7 Cho ∆ = X Chøng minh r»ng ®iÒu kiÖn (a) (2.19) t−ơng đ−ơng với đòi hỏi “hệ véctơ h 1 (x̄), , hs (x̄)} [của không gian X ∗ ] là độc lập tuyến tính” NhËn xÐt 2.2.4 Trong tr−êng hîp ∆ = X = IRn , ®iÒu kiÖn chÝnh quy (2.19) trë thµnh ®iÒu kiÖn chuÈn hãa rµng buéc Mangasarian-Fromovitz 15 - nãi gän lµ ®iÒu kiÖn MFCQ 16 , v× nã ®−îc ®−a bµi b¸o cña Mangasarian vµ Fromovitz (1967) Nhận xét 2.2.5 Điều kiện MFCQ và các dạng mở rộng nó đóng vai trò quan trọng các nghiên cứu tính ổn định, ổn định vi phân, và độ nhạy nghiệm các bài toán tối −u (xem, ví dụ nh−, Gauvin và Dubeau (1981), Mordukhovich (2006a,b), Ch−¬ng vµ Ch−¬ng gi¸o tr×nh nµy) H×nh 11 Ví dụ đơn giản sau đây cho thấy điều kiện MFCQ bị vi phạm, thì kết luận các mệnh đề 2.2.6, 2.2.7 và Hệ 2.2.1 nói chung không còn đúng VÝ dô 2.2.5 §Æt ∆ = X = IR2 , m = s = 1, g1 (x) = x2 + x21 , h(x) = x2 víi mäi x = (x1 , x2 ) ∈ IR2 , vµ x̄ = (0, 0) XÐt tËp M cho bëi (2.18) Ta cã M = {x̄} vµ b (x̄) = TM (x̄) = {(0, 0)} CM (x̄) = TM Trong đó, {v ∈ X : gi (x̄)(v) ∀i ∈ I(x̄), hj (x̄)(v) = ∀j = 1, s} = IR × {0} 15 16 TNTA: the Mangasarian-Fromovitz Constraint Qualification TNTA: the MFCQ condition (77) 2.3 §¹o hµm 71 L−u ý rằng, ví dụ xét, ta không thể tìm đ−ợc véctơ v ∈ X = IR2 nµo tháa m·n ®iÒu kiÖn (b) (2.19) Bµi tËp 2.2.8 Cho ∆ = X = IR , x̄ = (1, 1), vµ M = x = (x1 , x2 ) : x21 + x22 2, x2 = x31 b TÝnh çc h×nh nãn tiÕp tuyÕn T M (x̄), TM (x̄) vµ CM (x̄) (KÕt qu¶: b CM (x̄) = TM (x̄) = TM (x̄) = {v = (v1 , v2 ) : v1 0, v2 = 3v1 }; xem H×nh 11 ë trang tr−íc.) 2.3 §¹o hµm Cho X, Y là các không gian định chuẩn, F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị Định nghĩa 2.3.1 (Đạo hàm contingent, đạo hàm Bouligand) Đạo hàm contingent17 , hay đạo hàm Bouligand, DFz̄ (ã) : X ⇒ Y F điểm z̄ = (x̄, ȳ) ∈ gph F là ánh xạ đa trị có đồ thị trùng với hình nón tiếp tuyến Bouligand Tgph F (z̄), tức là DFz̄ (u) = v ∈ Y : (u, v) ∈ Tgph F (z̄) ∀u ∈ X Nếu F ≡ f là ánh xạ đơn trị, thì ta viết Dfx̄ (ã) thay cho DF(x̄,f (x̄)) (ã) §Þnh nghÜa 2.3.2 (§¹o hµm kÒ) §¹o hµm kÒ Db Fz̄ (·) : X ⇒ Y cña F t¹i ®iÓm z̄ = (x̄, ȳ) ∈ gph F là ánh xạ đa trị có đồ thị trùng với hình nón tiếp tuyến trung b (z̄), tøc lµ gian Tgph F b (z̄) D b Fz̄ (u) = v ∈ Y : (u, v) ∈ Tgph F ∀u ∈ X Nếu F ≡ f là ánh xạ đơn trị, thì ta viết Db fx̄ (ã) thay cho Db F(x̄,f (x̄)) (ã) §Þnh nghÜa 2.3.3 (§¹o hµm Clarke) §¹o hµm Clarke18 CFz̄ (·) : X ⇒ Y cña F điểm z̄ = (x̄, ȳ) ∈ gph F là ánh xạ đa trị có đồ thị trùng với hình nón tiếp tuyÕn Clarke Cgph F (z̄), tøc lµ CFz̄ (u) = v ∈ Y : (u, v) ∈ Cgph F (z̄) 17 ∀u ∈ X Chúng tôi ch−a tìm đ−ợc từ thích hợp để dịch thuật ngữ này tiếng Việt Trong vai trò tính từ, chữ “contingent” có nghĩa là bất định, tùy chọn, ngẫu nhiên Có ng−ời đã dịch “contingent derivative” thành “đạo hàm tiếp liên” Cách dịch này có lẽ không đạt, vì tiếng ViÖt d−êng nh− kh«ng cã ch÷ “tiÕp liªn” (kh«ng râ nghÜa, kh«ng cã Tõ ®iÓn tiÕng ViÖt cña Giáo s− Hoàng Phê và các đồng tác giả) 18 Đạo hàm Clarke CFz̄ (ã) còn đ−ợc gọi là đạo hàm tiếp tuyến làm tròn19 (78) §¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ 72 Nếu F ≡ f là ánh xạ đơn trị, thì ta viết Cfx̄ (ã) thay cho CF(x̄,f (x̄)) (ã) Ba khái niệm đạo hàm nêu trên đ−ợc xây dựng nhờ các cấu trúc hình học đó là các nón tiếp tuyến đồ thị ánh xạ đa trị đ−ợc xét điểm cho tr−íc Trong Ch−¬ng cña gi¸o tr×nh nµy, chóng ta sÏ nghiªn cøu kh¸i niÖm đối đạo hàm, là ánh xạ đa trị từ không gian đối ngẫu Y ∗ vào không gian đối ngẫu X ∗ , l−u giữ các thông tin đã đ−ợc mã hóa ngôn ngữ các không gian đối ngẫu tốc độ thay đổi ánh xạ đa trị các không gian Đối đạo hàm đ−ợc xây dựng nhờ các nón pháp tuyến đồ thị ánh xạ đa trị điểm cho tr−ớc Ngoài hai cách xây dựng xấp xỉ bậc đó, ng−êi ta cßn cã thÓ sö dông thñ thuËt v« h−íng hãa: thay viÖc xÐt ¸nh x¹ ®a trÞ F : X ⇒ Y từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y viÖc xÐt hµm tùa CF (y ∗ , x) := sup{y ∗ , y : y ∈ F (x)} (x ∈ X, y ∗ ∈ Y ∗ ) Nếu F là ánh xạ đa trị có giá trị lồi đóng, thì họ hàm số thực CF (y ∗ , ·) : X → IR (y ∗ ∈ Y ∗ ) đ−ợc định nghĩa nh− l−u giữ đầy đủ các thông tin F Thật vậy, đó dùa vµo hä hµm sè {CF (y ∗ , ·)}y∗∈Y ∗ ta cã thÓ t×m l¹i ®−îc F b»ng c«ng thøc F (x) = {y ∈ Y : y ∗ , y CF (y ∗ , x) víi mäi y ∗ ∈ Y ∗ } Kh¶o s¸t çc tÝnh chÊt vi ph©n cña hä hµm sè thùc {CF (y ∗ , ·)}y∗ ∈Y ∗ , ta cã ®−îc các thông tin tốc độ thay đổi F Ph−ơng pháp này đ−ợc gọi là ph−ơng ph¸p hµm tùa Mét sè c«ng tr×nh cña Phã Gi¸o s− Ph¹m Huy §iÓn vµ çc t¸c gi¶ kh¸c (xem Dien (1982, 1985), Dien vµ Sach (1989), Dien vµ Yen (1991), Thibault (1991)) vÒ ®iÒu kiÖn cÇn cùc trÞ cho bµi to¸n tèi −u víi rµng buéc ®a trÞ, tËp nghiÖm cña bao hµm thøc ®a trÞ phô thuéc tham sè, çc tÝnh chÊt vi ph©n hàm giá trị tối −u , đã cho thấy tính hiệu cách tiếp cận này Khái niệm sơ đạo hàm 20 ánh xạ đa trị Giáo s− Phạm Hữu Sách đề xuất sử dụng hàm tựa, nh−ng đó là hàm tựa ánh xạ đạo hàm Cụ thể hơn, sơ đạo hµm cña F : X ⇒ Y t¹i z̄ = (x̄, ȳ) ∈ gph F lµ mét ¸nh x¹ ®a trÞ T : X ⇒ Y , Lipschitz địa ph−ơng ∈ X, cho với ε > tồn lân cận U x̄ tháa m·n: ∀x ∈ U ∃y ∈ F (x) víi tÝnh chÊt y ∗ , y − ȳ − [CT (y ∗ , x − x̄) − CT (y ∗ , 0)] εx − x̄, sup y ∗ ∈B̄Y ∗ đó CT (y ∗ , x) ký hiệu hàm tựa T ; xem Sach (1988a), tr 220 Xuất phát từ khái niệm này ta có thể đ−a các định lý ánh xạ mở, hàm ẩn, hàm ng−ợc, định 20 TNTA: prederivative (79) 2.3 §¹o hµm 73 lý đạo hàm hàm hợp, định lý giá trị trung bình, quy tắc nhân tử Lagrange, nguyªn lý tùa d¹ng tæng qu¸t (xem, vÝ dô nh−, Sach (1988a,b), Dien vµ Sach (1989), Yen (1987)) Nghiên cứu mà chúng tôi đ−ợc biết đạo hàm cña ¸nh x¹ ®a trÞ dùa trªn kh¸i niÖm hµm tùa lµ c«ng tr×nh cña Gorokhovich vµ Zabreiko 21 (2005) Dựa trên các khái niệm đạo hàm contingent và đạo hàm Clarke các định nghĩa 2.3.1 và 2.3.3, ng−ời ta có thể đặc tr−ng tính lồi và tính lồi theo nón ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y thông qua tính đơn điệu và tính đơn điệu theo nón các họ ánh xạ đạo hàm {DFz (ã)}z∈gph F và {CFz (ã)}z∈gph F Các kết qu¶ theo h−íng nµy cã thÓ xem Sach (1996), Sach vµ Yen (1997), vµ çc tài liệu đ−ợc dẫn các bài báo đó đây chúng ta nhắc lại hai khái niệm chính là tính lồi theo nón và tính đơn điệu theo nón Cho K ⊂ Y là nón låi Ta nãi F lµ ¸nh x¹ ®a trÞ låi theo nãn K, nãi gän lµ K-låi, nÕu víi mäi x1 , x2 ∈ X vµ t ∈ (0, 1) ta cã (1 − t)F (x1 ) + tF (x2 ) ⊂ F ((1 − t)x1 + tx2 ) + K (Trong tr−ờng hợp đặc biệt, K = {0} và F là ánh xạ có giá trị đóng, khái niệm này trùng với khái niệm ánh xạ đa trị lồi đã xét Ch−ơng 1.) Ta nói họ ánh xạ đạo hàm contingent {DFz (ã)}z∈gph F là đơn điệu theo nón K, hay K-đơn điệu, với điểm z1 = (x1 , y ) và z = (x2 , y ) thuộc gph F ta cã $ % ∈ co DF̂z (x2 − x1 ) + DF̂z (x1 − x2 ) , đó F̂ (x) = F (x) + K là ánh xạ mở rộng F theo nón K Tính lồi theo nón K họ ánh xạ đạo hàm Clarke {CFz (ã)}z∈gph F đ−ợc định nghĩa hoàn toµn t−¬ng tù Có thể sử dụng đạo hàm contingent để xây dựng các điều kiện cần cực trị çc tèi −u vÐct¬ ®a trÞ (xem D T Luc (1989), D T Luc vµ C Malivert (1992)) Bµi tËp 2.3.1 XÐt ¸nh x¹ ®a trÞ F : IR ⇒ IR cho bëi c«ng thøc F (x) = y ∈ IR : x2 + y 2, y = x3 Tính các ánh xạ đạo hàm DF z̄ (ã), D b Fz̄ (ã) và CFz̄ (ã), đó z̄ = (1, 1) (Gîi ý: §Ó ý r»ng gph F trïng víi tËp M Bµi tËp 2.2.8 vµ sö dông kÕt qu¶ tÝnh çc h×nh nãn tiÕp tuyÕn cña M t¹i ®iÓm x̄ = (1, 1).) 21 Gi¸o s− Petr Petrovich Zabreiko (Belarus State University, Minsk, Belarus) lµ mét chuyªn gia næi tiÕng vÒ Gi¶i tÝch hµm GS TSKH NguyÔn Hång Th¸i (University of Szczecin, Ba Lan) vµ PGS TSKH NguyÔn V¨n Minh (§¹i häc Quèc gia Hµ Néi; University of West Georgia, Mü) lµ çc häc trß ViÖt Nam cña «ng (80) §¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ 74 Trong giải tích cổ điển (xem Rudin (1976)), sử dụng khái niệm đạo hàm Fréchet ng−ời ta đã xây dựng các định lý ánh xạ mở, hàm ẩn, hàm ng−ợc kết đ−ợc sử dụng rộng rãi hình học vi phân, tôpô vi phân, lý thuyÕt ph−¬ng tr×nh vi ph©n, lý thuyÕt bËc, vµ nhiÒu lý thuyÕt to¸n häc khác Hoàn toàn t−ơng tự, dựa vào các khái niệm đạo hàm vừa đ−ợc trình bày trên, ng−ời ta đã đ−a các định lý ánh xạ mở, hàm ẩn, hàm ng−ợc cho ánh xạ đa trị đây chúng ta xem xét hai định lý hàm ng−ợc tiêu biểu thuộc Aubin và Frankowska (1984) Định lý thứ sử dụng giả thiết tính mở họ đạo hàm contingent Định lý thứ hai sử dụng giả thiết tính tràn đạo hàm Clarke Các định lý này đ−ợc chứng minh nguyên lý biến ph©n Ekeland V× çc chøng minh lµ kh¸ cång kÒnh, phøc t¹p, nªn sÏ kh«ng ®−îc tr×nh bµy ë ®©y Định lý 2.3.1 (Định lý hàm ng−ợc cho ánh xạ đa trị sử dụng đạo hàm contingent; xem Aubin vµ Frankowska (1990), tr 204-205) Gi¶ sö X, Y lµ çc kh«ng gian Banach, F : X ⇒ Y lµ ¸nh x¹ ®a trÞ, z̄ = (x̄, ȳ) ∈ gph F Gi¶ sö tån t¹i çc h»ng sè c > 0, δ > vµ α ∈ [0, 1) cho ∀(x, y) ∈ (gph F ) ∩ B(z̄, δ), ∀v ∈ Y, ∃u ∈ X, ∃w ∈ Y để v ∈ DF(x,y) (u) + w, u cv, w αv Khi đó ȳ ∈ int(rge F ) và ta có F −1 là ánh xạ đa trị giả-Lipschitz (x̄, ȳ) Định lý 2.3.2 (Định lý hàm ng−ợc cho ánh xạ đa trị sử dụng đạo hàm Clarke; xem Aubin vµ Frankowska (1984, 1990)) Gi¶ sö X lµ kh«ng gian Banach, Y là không gian định chuẩn hữu hạn chiều, F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị đóng, z̄ = (x̄, ȳ) ∈ gph F NÕu rge (CFz̄ ) = Y , th× ȳ ∈ int(rge F ) vµ ta cã F −1 lµ ¸nh x¹ ®a trÞ gi¶-Lipschitz t¹i (x̄, ȳ) Bµi tËp 2.3.2 (a) Phát biểu Định lý 2.3.1 cho tr−ờng hợp F = f là ánh xạ đơn trị khả vi FrÐchet t¹i mäi ®iÓm mét l©n cËn cña ®iÓm x̄ ∈ X (b) Cho X = Y = IR, F (x) = {f (x)}, f (x) = x3 H·y t×m tÊt c¶ nh÷ng ®iÓm x̄ ∈ IR cho §Þnh lý 2.3.1 ¸p dông ®−îc víi z̄ := (x̄, f (x̄)) (81) 2.3 §¹o hµm 75 Bµi tËp 2.3.3 (a) Phát biểu Định lý 2.3.2 cho tr−ờng hợp F = f là ánh xạ đơn trị khả vi FrÐchet liªn tôc mét l©n cËn cña ®iÓm x̄ ∈ X (b) Cho X = Y = IR, F (x) = {f (x)}, f (x) = x4 H·y t×m tÊt c¶ nh÷ng ®iÓm x̄ ∈ IR cho §Þnh lý 2.3.2 ¸p dông ®−îc víi z̄ := (x̄, f (x̄)) Những quy tắc tính (nói đúng là các −ớc l−ợng) đạo hàm hàm hợp sau đây cho thấy loại đạo hàm ánh xạ đa trị xét mục này có vai trò riêng: đạo hàm Clarke tham gia điều kiện chính quy, đạo hàm kề tham gia công thức tính đạo hàm contingent hàm hợp22 §Þnh lý 2.3.3 (§¹o hµm cña hµm hîp; xem Aubin vµ Frankowska (1990), tr 198-199) Giả sử X, Z là các không gian Banach, Y là không gian định chuẩn h÷u h¹n chiÒu, F : X ⇒ Y, G : Y ⇒ Z, ȳ ∈ F (x̄), z̄ ∈ G(ȳ) Gi¶ sö F vµ G là các ánh xạ đóng Nếu điều kiện sau thỏa mãn rge CF(x̄,ȳ) − dom CG(ȳ,z̄) = Y th× (i) Db G(ȳ,x̄) ◦ DF(x̄,ȳ) ⊂ D(G ◦ F )(x̄,z̄) ; b ⊂ Db (G ◦ F )(x̄,z̄) ; (ii) Db G(ȳ,x̄) ◦ DF(x̄,ȳ) (iii) CG(ȳ,x̄) ◦ CF(x̄,ȳ) ⊂ C(G ◦ F )(x̄,z̄) Bµi tËp 2.3.4 & ¸p dông §Þnh lý 2.3.3 cho tr−êng hîp X = Y = Z = IR, F (x) = { |x|}, G(y) = {z : z y }, vµ x̄ = ȳ = z̄ = Trong tr−êng hợp này, các bao hàm thức các khẳng định (i)–(iii) có trở thành các đẳng thức hay không? Không rõ là quy tắc (i) Định lý 2.3.3 có còn đúng không nh− ánh xạ D b G(ȳ,x̄) vế trái bao hàm thức đ−ợc thay ánh xạ DG(ȳ,x̄) - là ánh xạ có đồ thị lớn 22 (82) 76 §¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ (83) Ch−¬ng TÝch ph©n cña ¸nh x¹ ®a trÞ Hái tªn, r»ng “BiÓn-D©u-Ngµn” Hỏi quê, “Xứ Mơ Màng”, đã quên (Bïi Gi¸ng) Ch−¬ng nµy tr×nh bµy kh¸i niÖm tÝch ph©n Aumann (tÝch ph©n ®a trÞ) V× l¸t cắt đo đ−ợc là sở để xây dựng tích phân Aumann, nên chúng ta tìm hiểu kỹ các định lý tồn lát cắt đo đ−ợc ánh xạ đa trị Ngoài ra, ch−¬ng cã giíi thiÖu çc kÕt qu¶ cña NguyÔn Huy Chiªu (2004, 2006a) vÒ tÝch ph©n Aumann cña ¸nh x¹ d−íi vi ph©n Clarke Çc kÕt qu¶ Chieu (2006c) vÒ tÝch ph©n Aumann cña ¸nh x¹ d−íi vi ph©n Mordukhovich vµ d−íi vi ph©n Mordukhovich cña phiÕm hµm tÝch ph©n sÏ ®−îc giíi thiÖu môc cuèi cña ch−¬ng sau Các định lý lát cắt đo đ−ợc và tích phân Aumann có vai trò quan trọng lý thuyết bao hàm thức vi phân (ph−ơng trình vi phân đa trị) Bạn đọc có quan tâm có thể đọc bao hàm thức vi phân Aubin và Frankowska (1990), Aubin vµ Cellina (1984) øng dông cña bao hµm thøc vi ph©n çc vấn đề điều khiển tối −u đ−ợc trình bày Clarke (1983) 3.1 ¸nh x¹ ®a trÞ ®o ®−îc, l¸t c¾t ®o ®−îc Kh¸i niÖm ¸nh x¹ ®a trÞ ®o ®−îc më réng mét çch tù nhiªn kh¸i niÖm ¸nh x¹ (đơn trị) đo đ−ợc giải tích hàm Một kết quan trọng đây là định lý cña von Neumann nãi r»ng ¸nh x¹ ®a trÞ ®o ®−îc cã gi¸ rÞ kh¸c rçng cã l¸t c¾t ®o ®−îc 77 (84) TÝch ph©n cña ¸nh x¹ ®a trÞ 78 Trong suốt mục này, giả sử Y là không gian mêtric đầy đủ, khả li , và A là σ-đại số các tập tập hợp X Các tập thuộc A đ−ợc gọi là các tập đo đ−ợc Tập X xét với σ-đại số A (hay cặp (X, A)) đ−ợc gọi là không gian đo đ−ợc Ký hiệu σ-đại số Borel không gian mêtric Y B - tức là B là σ-đại số nhỏ chứa tất các tập mở Y Nhắc lại họ A đ−ợc gọi là σ-đại số nó thỏa mãn ba tính chất sau: (i) X ∈ A, (ii) X \ A thuéc A víi mäi A ∈ A, (iii) hợp họ tùy ý gồm số đếm đ−ợc các tập thuộc A là tËp thuéc A Từ (i)-(iii) suy ∅ ∈ A và giao họ tùy ý gồm số đếm ®−îc çc tËp thuéc A lµ mét tËp thuéc A Trong định nghĩa sau và các khẳng định các bài tập 3.1.1–3.1.3 ta không cần giả thiết Y là không gian mêtric đủ, khả li, mà cần giả sử Y là không gian tôpô Khi đó, B ký hiệu σ-đại số sinh các tập mở Y Hiển nhiên B chứa tất các tập đóng Y Định nghĩa 3.1.1 (ánh xạ đơn trị đo đ−ợc; xem Aubin và Frankowska (1990), tr 307, và Rudin (1987), tr 8) ánh xạ đơn trị f : X → Y đ−ợc gọi là đo ®−îc nÕu ta cã f −1 (V ) := {x ∈ X : f (x) ∈ V } lµ tËp thuéc A víi mçi tËp më V ⊂ Y (¶nh ng−îc cña mçi tËp më lµ tËp ®o ®−îc.) DÔ thÊy r»ng hµm sè thùc ϕ : X → IR lµ ®o ®−îc vµ chØ víi mäi α ∈ IR tËp hîp ϕ−1 ((−∞, α)) := {x ∈ X : ϕ(x) < α} lµ ®o ®−îc Bài tập 3.1.1 Chứng minh ánh xạ đơn trị f : X → Y là đo đ−ợc và với tập đóng C ⊂ Y ta có f −1 (C) ∈ A (ảnh ng−ợc tập đóng là tập đo đ−ợc.) Bài tập 3.1.2 Chứng minh ánh xạ đơn trị f : X → Y là đo đ−ợc vµ chØ ∀B ∈ B(Y ), f −1 (B) ∈ A (¶nh ng−îc cña mçi tËp Borel lµ mét tËp ®o ®−îc.) Ta nói Y là không gian khả li tồn tập đếm đ−ợc trù mật Y TNTA: measurable space; xem Rudin (1987), tr Giả thiết Y là không gian mêtric đủ, khả li cần cho các định lý tồn lát cắt đo đ−ợc (xem các định lý 3.1.1–3.1.3) (85) 3.1 ¸nh x¹ ®a trÞ ®o ®−îc, l¸t c¾t ®o ®−îc 79 Bµi tËp 3.1.3 Cho f : X → Y lµ giíi h¹n theo ®iÓm cña mét d·y ¸nh x¹ ®o ®−îc fk : X → Y (k ∈ IN ), nghÜa lµ f (x) = lim fk (x) k→∞ ∀x ∈ X Chøng minh r»ng f lµ ¸nh x¹ ®o ®−îc (Gîi ý: Do Y lµ kh¶ li, tån t¹i tËp điểm {yi : i ∈ N} trù mật Y Khi đó, với tập mở V ⊂ Y ta có f −1 (V ) = {x ∈ X : f (x) ∈ V } 1 ⊂ V, f (x) ∈ B yi , x ∈ X : B yi , = j 2j j1 i1 1 = ⊂ V, f (x) ∈ B yi , − x ∈ X : B yi , j 2j j1 i1 1 1 = − x ∈ X : B yi , ⊂ V, fk (x) ∈ B yi , ) j 2j j1 i1 1 p1 kp ánh xạ đơn trị đ−ợc gọi là đơn giản nó có số hữu hạn giá trị Bài tập 3.1.4 Chứng minh ánh xạ đơn giản f : X → Y là đo đ−ợc vµ chØ ¶nh ng−îc cña mçi ®iÓm thuéc Y lµ mét tËp ®o ®−îc (cã thÓ rçng) thuéc X Định nghĩa sau đây mở rộng khái niệm ánh xạ đơn trị đo đ−ợc Định nghÜa 3.1.1 §Þnh nghÜa 3.1.2 (¸nh x¹ ®a trÞ ®o ®−îc; xem Aubin vµ Frankowska (1990), Định nghĩa 8.1.1) Giả sử F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị có giá trị đóng Ta nói F lµ ®o ®−îc nÕu víi mçi tËp më V ⊂ Y , F −1 (V ) := {x ∈ X : F (x) ∩ V = ∅} lµ tËp thuéc A (¶nh ng−îc cña mçi tËp më lµ tËp ®o ®−îc.) Ví dụ 3.1.1 Cho X = [−1, 2] ⊂ IR, A là σ-đại số các tập đo đ−ợc theo Lebesgue cña X, Y = IR, F : X ⇒ Y lµ ¸nh x¹ ®a trÞ ®−îc cho bëi c«ng thøc F (x) = {−1} nÕu x < 0, F (x) = {1} nÕu x > 0, F (0) = [−1, 1] Ta cã F lµ ¸nh x¹ ®a trÞ ®o ®−îc; xem H×nh 12 Bµi tËp 3.1.5 Sö dông §Þnh nghÜa 3.1.2, h·y chøng tá r»ng ¸nh x¹ F nãi vÝ dô trªn lµ ¸nh x¹ ®a trÞ ®o ®−îc Bµi tËp 3.1.6 Cho X, A vµ Y nh− VÝ dô 3.1.1 H·y x©y dùng vÝ dô mét ¸nh x¹ ®a trÞ kh«ng ®o ®−îc F : X ⇒ Y (Gîi ý: LÊy K ⊂ (0, 1) lµ mét tËp kh«ng ®o ®−îc theo Lebesgue (xem Rudin (1987), tr 53-54) và đặt F (x) = {1} với x ∈ K, F (x) = {0} với x ∈ [−1, 2] \ K.) Xem Rudin (1987) vµ Hoµng Tôy (2003) (86) TÝch ph©n cña ¸nh x¹ ®a trÞ 80 Bµi tËp 3.1.7 Chøng minh r»ng: a) NÕu F : X ⇒ Y lµ ¸nh x¹ ®a trÞ ®o ®−îc, th× dom F ∈ A; b) NÕu F : X ⇒ Y lµ ¸nh x¹ ®a trÞ ®o ®−îc, th× víi mäi y ∈ Y ta cã F −1 ({y}) ∈ A (Gîi ý: H·y biÓu diÔn {y} d−íi d¹ng giao cña mét sè đếm đ−ợc các hình cầu mở.) c) Nếu F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị (không thiết có giá trị đóng) thỏa m·n tÝnh chÊt F −1 (V ) ∈ A víi mäi tËp më V ⊂ Y , th× F̄ : X ⇒ Y , ë đó F̄ (x) = F (x) với x ∈ X, là ánh xạ đa trị đo đ−ợc H×nh 12 NhËn xÐt 3.1.1 TÝnh chÊt c) bµi tËp trªn cho thÊy r»ng viÖc x©y dùng khái niệm ánh xạ đa trị đo đ−ợc cho các ánh xạ nhận giá trị đóng không là qu¸ cùc ®oan Cần l−u ý các ánh xạ đa trị, tính đo đ−ợc theo Định nghĩa 3.1.2 (gọi là tính đo đ−ợc yếu ) ch−a đã t−ơng đ−ơng với tính chất “ảnh ng−ợc tập đóng là tập đo đ−ợc” (gọi là tính đo đ−ợc mạnh6 ) Do đó, ảnh ng−ợc tập Borel qua ánh xạ đa trị đo đ−ợc yếu ch−a đã là tập đo đ−ợc Định lý 3.1.3 d−ới đây đ−a điều kiện đủ cho t−ơng đ−ơng cña tÝnh ®o ®−îc yÕu vµ tÝnh ®o ®−îc m¹nh V× kh¸i niÖm tÝch ph©n Aumann đ−ợc xây dựng các đối t−ợng thỏa mãn điều kiện đủ đó nên, đơn giản, ta gọi các ánh xạ đa trị thỏa mãn điều kiện “ảnh ng−ợc tập më lµ tËp ®o ®−îc” lµ ¸nh x¹ ®a trÞ ®o ®−îc; xem Aubin vµ Frankowska (1990), tr 307–308 TNTA: weak measurability TNTA: strong measurability (87) 3.1 ¸nh x¹ ®a trÞ ®o ®−îc, l¸t c¾t ®o ®−îc 81 Bµi tËp 3.1.8 Cho V ⊂ Y lµ tËp më kh«ng gian mªtric kh¶ li Chứng minh V biểu diễn đ−ợc d−ới dạng hợp số đếm đ−ợc çc h×nh cÇu më Y (Gîi ý: Gi¶ sö Y = {y i : i ∈ IN } Hä çc hình cầu {B(y i , τi ) : i ∈ IN, τi ∈ Q, τi > 0} là đếm đ−ợc Với y ∈ V , tån t¹i ρ = ρ(y) > cho B(y, ρ) ⊂ X Chän i ∈ IN cho yi ∈ B(y, ρ/4), sau đó chọn τ i ∈ Q, τi > 0, cho ρ/4 < τi < ρ/2 Khi đó y ∈ B(yi , τi ) ⊂ V ) H×nh 13 Bµi tËp 3.1.9 Cho V ⊂ Y lµ tËp më kh«ng gian mªtric kh¶ li Chứng minh V biểu diễn đ−ợc d−ới dạng hợp số đếm đ−ợc các hình cầu đóng Y (Gợi ý: Để ý rằng, các ký hiệu bài tËp trªn, ta còng cã y ∈ B̄(yi , τi ) ⊂ V ) Bµi tËp 3.1.10 Cho (X, A) lµ kh«ng gian ®o ®−îc, Y lµ kh«ng gian mªtric kh¶ li, F : X ⇒ Y lµ ¸nh x¹ ®a trÞ cho F −1 (C) ∈ A víi mäi tập đóng C ⊂ Y Chứng minh F là ánh xạ đa trị đo đ−ợc (theo Định nghĩa 3.1.2) (Gợi ý: Cho V ⊂ Y là tập mở Do khẳng định bài tập 3.1.9, ta cã thÓ biÓu diÔn V d−íi d¹ng V = ∞ B̄(yj , τj ) (τj > víi mäi j) j=1 Khi đó, F −1 (V ) = ∞ F −1 B̄(yj , τj ) ) j=1 Định nghĩa 3.1.3 (Lát cắt) ánh xạ đơn trị f : X → Y thỏa mãn điều kiện f (x) ∈ F (x) víi mäi x ∈ X ®−îc gäi lµ mét l¸t c¾t cña F NÕu f lµ ¸nh x¹ (88) TÝch ph©n cña ¸nh x¹ ®a trÞ 82 ®o ®−îc, th× ta nãi nã lµ mét l¸t c¾t ®o ®−îc cña F NÕu X lµ tËp không gian định chuẩn và f là ánh xạ liên tục Lipschitz địa ph−ơng, thì ta nói nó là lát cắt liên tục lát cắt Lipschitz địa ph−ơng F §Þnh lý 3.1.1 (von Neumann, 1949) Cho (X, A) lµ kh«ng gian ®o ®−îc, Y lµ không gian mêtric đủ, khả li, và F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị đo đ−ợc, có giá trị đóng, khác rỗng Khi đó, tồn lát cắt đo đ−ợc f : X → Y F Chøng minh Gi¶ sö Y0 = {yi : i ∈ IN } là tập đếm đ−ợc trù mật Y Ta xây dựng dãy ánh xạ đo đ−ợc fk : X → Y (k = 0, 1, 2, ) nhận giá trị Y0 cho fk hội tụ theo điểm đến lát cắt f F k → ∞ Do kết Bài tập 3.1.3, từ đó suy f là lát cắt đo đ−ợc cần t×m Víi mçi x ∈ X, gi¶ sö i = i(x) lµ sè tù nhiªn nhá nhÊt cho (1.1) F (x) ∩ B(yi , 1) = ∅ (V× Y0 lµ trï mËt Y , víi mäi y ∈ Y vµ víi mäi ε > tån t¹i i ∈ IN cho y ∈ B(yi , ε) VËy tËp hîp çc chØ sè i ∈ IN tháa m·n (1.1) lµ kh¸c rçng Hiển nhiên tập đó có phần tử nhỏ nhất.) Ta đặt (1.2) f0 (x) = yi ∀x ∈ X, đó i = i(x) ánh xạ f0 là đo đ−ợc Thật vậy, với i ∈ IN , f0−1 (yi ) = {x ' ∈ X : F (x) ∩ B(yi , 1) = ∅} {x ∈ X : F (x) ∩ B(yj , 1) = ∅ ∀j = 1, 2, , i − 1} i−1 ' −1 X\ F −1 (B(yj , 1)) = F (B(yi , 1)) j=1 lµ tËp hîp thuéc A F lµ ¸nh x¹ ®a trÞ ®o ®−îc Víi mäi tËp më V ⊂ Y , tõ đó ta suy f0−1 (yi ) f0−1 (V ) = i∈{j : yj ∈V } là tập hợp thuộc A Điều đó chứng tỏ f0 là ánh xạ đo đ−ợc Đối với f0 , (1.1) vµ (1.2) ta cßn cã (1.3) d(f0 (x), F (x)) < ∀x ∈ X (89) 3.1 ¸nh x¹ ®a trÞ ®o ®−îc, l¸t c¾t ®o ®−îc 83 Giả sử ta đã xây dựng đ−ợc dãy hữu hạn các ánh xạ fk : X → Y (k = 0, 1, , m) nhËn gi¸ trÞ Y0 cho (1.4) d(fk (x), F (x)) < 2−k (∀x ∈ X, ∀k ∈ {0, 1, , m}) vµ (1.5) d(fk (x), fk+1 (x)) < 2−(k−1) (∀x ∈ X, ∀k ∈ {0, 1, , m − 1}) Đối với m = 0, vì (1.3) nghiệm đúng nên ta có (1.4) Tính chất (1.5) đ−ợc thỏa mãn vì lúc này tập số {0, 1, , m − 1} là rỗng Với i ∈ IN , ta đặt Si = {x ∈ X : fm (x) = yi } ∞ Các tập {Si }i∈IN là đôi không giao nhau, và ta có X = Si Do (1.4), i=1 (1.6) F (x) ∩ B(yi , 2−m ) = ∅ ∀x ∈ Si Cố định điểm x ∈ X và chọn i ∈ IN cho x ∈ Si Ký hiệu j = j(x) số tù nhiªn nhá nhÊt cho (1.7) [F (x) ∩ B(yi , 2−m )] ∩ B(yj , 2−(m+1 ) = ∅ Do (1.6), sè tù nhiªn j = j(x) nh− vËy lµ tån t¹i vµ nhÊt §Æt fm+1 (x) = yj Khi đó, lấy y là phần tử thuộc tập hợp vế trái (1.7), ta có d(fm (x), fm+1 (x)) = d(yi , yj ) d(yi , y) + d(yj , y) 2−m + 2−(m+1) < 2−(m−1) Ngoµi ra, tõ (1.7) suy r»ng d(fm+1 (x), F (x)) < 2−(m+1) Vậy ta đã xây dựng đ−ợc ánh xạ đo đ−ợc (xem Bài tập 3.1.10) fm+1 : X → Y nhËn gi¸ trÞ Y0 cho (1.4) vµ (1.5), víi m ®−îc thay bëi m + 1, nghiÖm đúng Tõ (1.5) suy r»ng, víi mäi x ∈ X, d·y {fk (x)}k∈IN lµ d·y Cauchy ThËt vËy, theo (1.5) ta cã (1.8) d(fk+p(x), fk (x)) d(fk+p(x), fk+p−1 (x)) + d(fk+p−1(x), fk+p−2 (x)) + + d(fk+1 (x), fk (x)) 2−(k+p−2) + 2−(k+p−3) + + 2−(k−1) 2−k+2 (90) TÝch ph©n cña ¸nh x¹ ®a trÞ 84 với k ∈ IN và p ∈ IN Vì Y là không gian mêtric đủ, nên tồn giới hạn lim fk (x) ∈ Y Ký hiệu phần tử giới hạn đó là f (x) Từ (1.8) suy dãy k→∞ {fk } hội tụ đến f Cho k = m và lấy giới hạn bất đẳng thức (1.4) m → ∞, ta nhËn ®−îc ∀x ∈ X d(f (x), F (x)) = Vì F (x) là tập đóng với x ∈ X, từ đó suy f (x) ∈ F (x) VËy f lµ l¸t c¾t ®o ®−îc cña F ∀x ∈ X Bµi tËp 3.1.11 Chøng minh r»ng ¸nh x¹ f m+1 ®−îc x©y dùng chøng minh trªn lµ ®o ®−îc (Gîi ý: LËp luËn t−¬ng tù nh− chøng minh f lµ ¸nh x¹ ®o ®−îc.) Bµi tËp 3.1.12 H·y chØ mét vµi l¸t c¾t ®o ®−îc kh¸c cña a) ¸nh x¹ ®a trÞ F VÝ dô 3.1.1, b) ¸nh x¹ ®a trÞ F : IR n ⇒ IRn , n 2, ®−îc cho bëi c«ng thøc F (x) = ∂ϕ(x) (x ∈ IRn ), đó ∂ϕ(x) ký hiệu d−ới vi phân hàm lồi ϕ(u) = u điểm x (Ký hiệu miền xác định F X và lấy A là họ các tập đo đ−ợc theo Lebesgue cña X.) Trong chứng minh Định lý 3.1.1, các giả thiết sau đã đ−ợc sử dụng triệt để: (i) X lµ kh«ng gian mªtric kh¶ li, (ii) X là không gian mêtric đủ, (iii) F lµ ¸nh x¹ ®o ®−îc, (iv) F là ánh xạ có giá trị đóng, khác rỗng C Castaing7 đã phát các điều kiện (i)–(iv) đ−ợc thỏa mãn, thì tồn lát cắt đo đ−ợc nào đó ánh xạ đa trị F , mà còn tồn họ đếm đ−ợc các lát cắt đo đ−ợc {fk }k∈IN F cho (1.9) F (x) = {fk (x) : k ∈ IN } (∀x ∈ X) Nh− vËy, víi mçi x ∈ X, tËp gi¸ trÞ {fk (x) : k ∈ IN } cña çc l¸t c¾t lµ trï mật tập F (x) Khi tính chất (1.9) nghiệm đúng, thì ng−ời ta nói {fk } là Charles Castaing lµ nhµ to¸n häc Ph¸p gèc ViÖt, gi¸o s− to¸n häc ë UniversitÐ de Montpellier II (Montpellier, Ph¸p), thµnh viªn Ban cè vÊn cña t¹p chÝ Acta Mathematica Vietnamica (91) 3.1 ¸nh x¹ ®a trÞ ®o ®−îc, l¸t c¾t ®o ®−îc 85 họ đếm đ−ợc các lát cắt đo đ−ợc trù mật ; xem Aubin và Frankowska (1990), tr 310 Định lý sau đây vừa tồn họ đếm đ−ợc các lát cắt đo đ−ợc trù mật ánh xạ đa trị đo đ−ợc, vừa khẳng định tính chất đó đặc tr−ng cho tÝnh ®o ®−îc cña çc ¸nh x¹ ®a trÞ ë ®©y còng sÏ chøng tá r»ng ta cã thÓ đặc tr−ng tính đo đ−ợc ánh xạ đa trị thông qua tính đo đ−ợc họ hàm khoảng çch x → d(y, F (x)) (y ∈ Y ) §Þnh lý 3.1.2 (C Castaing, 1967) Cho (X, A) lµ kh«ng gian ®o ®−îc, Y lµ không gian mêtric đủ, khả li, và F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị có giá trị đóng, khác rỗng Khi đó, các khẳng định sau là t−ơng đ−ơng: (a) F lµ ¸nh x¹ ®a trÞ ®o ®−îc; (b) Tồn họ đếm đ−ợc các lát cắt đo đ−ợc trù mật {fk }k∈IN F ; (c) Víi mçi y ∈ Y , hµm sè x → d(y, F (x)) lµ ®o ®−îc Chứng minh (a) ⇒ (b) Giả sử Y0 = {yi : i ∈ IN } là tập đếm đ−ợc trï mËt Y Víi mçi k ∈ IN vµ i ∈ IN ta xÐt ¸nh x¹ ®a trÞ Fi,k : X ⇒ Y cho bëi c«ng thøc F (x) ∩ B(yi , k−1 ) nÕu F (x) ∩ B(yi , k−1 ) = ∅ Fi,k (x) = F (x) tr−êng hîp cßn l¹i (Ta thÊy r»ng Fi,k lµ ¸nh x¹ c¾t gän cña F §Ó ý thªm r»ng b¸n kÝnh cña çc hình cầu B(yi , k−1 ) càng nhỏ k càng lớn.) Rõ ràng F̄i,k : X ⇒ Y , đó F̄i,k (x) := Fi,k (x), là ánh xạ đa trị có giá trị đóng, khác rỗng, và F̄i,k (x) ⊂ F (x) ∀x ∈ X Ngoµi ra, F̄i,k lµ ¸nh x¹ ®a trÞ ®o ®−îc ThËt vËy, gi¶ sö V ⊂ Y lµ tËp më bÊt kú cho tr−íc V× −1 (V ) = {x ∈ X : F̄i,k (x) ∩ V = ∅} F̄i,k = {x ∈ X : Fi,k (x) ∩ V = ∅} = {x∈ X : F (x) ∩ (B(yi , k−1 ) ∩ V ) = ∅} ( (X \ {x ∈ X : F (x) ∩ B(yi , k−1 ) = ∅}) ∩{x ∈ X : F (x) ∩ V = ∅} ( (X \ F −1 (B(yi , k−1 ))) ∩ F −1 (V ) = F −1 (B(yi , k−1 ) ∩ V ) TNTA: dense countable family of measurable selections (92) TÝch ph©n cña ¸nh x¹ ®a trÞ 86 −1 vµ F lµ ®o ®−îc, nªn F̄i,k (V ) ∈ A Điều đó chứng tỏ F̄i,k là ánh xạ đa trÞ ®o ®−îc Theo §Þnh lý 3.1.1, F̄i,k cã l¸t c¾t ®o ®−îc fi,k : X → Y Râ rµng {fi,k }(i,k)∈IN ìIN là họ đếm đ−ợc các lát cắt đo đ−ợc F Ta chứng minh r»ng (1.10) {fi,k (x) : (i, k) ∈ IN × IN } = F (x) ∀x ∈ X LÊy tïy ý x ∈ X, y ∈ F (x), vµ ε > §Ó thu ®−îc (1.10), ta chØ cÇn chøng minh r»ng (1.11) ∃(i, k) ∈ IN × IN cho fi,k (x) ∈ B(y, ε) Chän k ∈ IN cho k−1 < ε/2 vµ chän i ∈ IN cho d(y, yi ) < k−1 Khi đó, vì y ∈ F (x) ∩ B(yi , k−1 ), nên F (x) ∩ B(yi , k−1 ) = ∅ Do vậy, Fi,k (x) = F (x) ∩ B(yi , k−1 ) Vì fi,k (x) ∈ F̄i,k (x), từ đó ta có fi,k (x) ∈ B̄(yi , k−1 ) Vậy d(fi,k (x), y) d(fi,k (x), yi ) + d(yi , y) < k−1 + k−1 < ε, vµ ta cã (1.11) (b) ⇒ (c) Giả sử {fk }k∈IN họ đếm đ−ợc các lát cắt đo đ−ợc trù mật cña F LÊy tïy ý y ∈ Y Víi mçi k ∈ IN , xÐt hµm sè x → d(y, fk (x)) Víi mäi α ∈ IR, tËp hîp Xα := {x ∈ X : d(y, fk (x)) < α} = {x ∈ X : fk (x) ∈ B(y, α)} = fi−1 (B(y, α)) thuộc A Điều đó chứng tỏ rằng, với k ∈ IN , d(y, fk (ã)) là hàm số thực đo ®−îc V× vËy, theo §Þnh lý 1.14 Rudin (1987), hµm sè x → inf d(y, fk (x)) k∈IN lµ ®o ®−îc Do (1.9) ta cã inf d(y, fk (x)) = d(y, F (x)) k∈IN Suy hµm sè x → d(y, F (x)) lµ ®o ®−îc (c) ⇒ (a) Gi¶ sö r»ng víi mçi y ∈ Y hµm sè x → d(y, fk (x)) lµ ®o ®−îc Khi đó, với α ∈ IR ta có {x ∈ X : d(y, F (x)) < α} là tập đo đ−ợc Vì {x ∈ X : d(y, F (x)) < α} = {x ∈ X : F (x) ∩ B(y, α) = ∅} = F −1 (B(y, α)), (93) 3.1 ¸nh x¹ ®a trÞ ®o ®−îc, l¸t c¾t ®o ®−îc 87 nªn F −1 (B(y, α)) ∈ A Cho tr−íc mét tËp më tïy ý V ⊂ Y , sö dông kÕt qu¶ ë Bµi tËp 3.1.8 ta cho thÓ biÓu diÔn V d−íi d¹ng V = ∞ B(yj , τj ) (τj > víi mäi j) j=1 Khi đó, F −1 (V ) = ∞ F −1 (B(yj , τj ))) j=1 lµ tËp ®o ®−îc VËy F lµ ¸nh x¹ ®a trÞ ®o ®−îc Bài tập 3.1.13 Hãy kiểm chứng khẳng định (a) ⇒ (b) Định lý 3.1.2 các ánh xạ đa trị Bài tập 3.1.12 Bµi tËp 3.1.14 XÐt ¸nh x¹ ®a trÞ F VÝ dô 3.1.1 vµ lÊy y = −3 VÏ đồ thị hàm số x → d(y, F (x)) Giải thích hàm số đó là đo ®−îc Bµi tËp 3.1.15 Kh«ng sö dông §Þnh lý von Neumann, h·y ®−a chøng minh trực tiếp cho khẳng định (a) ⇔ (c) Định lý 3.1.5 Chứng minh đó có cần dựa vào các giả thiết (i) X lµ kh«ng gian mªtric kh¶ li, (ii) X là không gian mêtric đủ, hay kh«ng? Nhận xét 3.1.2 Sự tồn chứng minh trực tiếp khá đơn giản cho khẳng định (a) ⇔ (c) cña §Þnh lý 3.1.2 cho thÊy r»ng viÖc sö dông hµm kho¶ng çch9 lµ mét kü thuËt hiÖu qu¶ gióp chøng minh sù t−¬ng ®−¬ng gi÷a (a) vµ (b) Phần cuối mục này đ−ợc dành để chứng minh Định lý đặc tr−ng cho ánh xạ đa trị đo đ−ợc Ngoài t−ơng đ−ơng (a) ⇔ (b) ⇔ (c) đã thu đ−ợc trên, các đặc tr−ng khác đ−ợc chứng minh d−ới giả thiết phụ (khá rắc rối!) sau đây: A là σ-đại số t−ơng ứng với độ đo d−ơng, σ-hữu hạn à X, và A là à-đủ (Trong Định lý von Neumann và Định lý Castaing, A là σ-đại sè tïy ý cña X.) Định nghĩa 3.1.4 (Độ đo; không gian có độ đo; độ đo đủ; độ đo σ-hữu hạn) Hàm khoảng cách chính là dạng hàm giá trị tối −u (hàm marginal) đóng vai trò quan trọng số chứng minh và cấu trúc toán học Cho đến nay, các tính chất vi phân hàm khoảng cách là đối t−ợng đ−ợc ng−ời ta quan tâm nghiên cứu; xem Mordukhovich và Nam (2005b, 2006) và các tài liệu đ−ợc trích dẫn đó (94) TÝch ph©n cña ¸nh x¹ ®a trÞ 88 ánh xạ à : A → [0, +∞] đ−ợc gọi là độ đo d−ơng trên σ-đại số A với họ đếm đ−ợc các tập đôi không giao {Ak }k∈IN , đó Ak ∈ A víi mäi k ∈ IN , ta cã Ak = µ(Ak ) µ k∈IN k∈IN Tập X với σ-đại số A và độ đo d−ơng à trên A (hay ba (X, A, à)) đ−ợc gọi là không gian có độ đo 10 Ta nói à là σ−hữu hạn X là hợp họ đếm đ−ợc các tập có độ đo hữu hạn NÕu víi mäi A ∈ A tháa m·n µ(A) = vµ víi mäi A ⊂ A ta cã A ∈ A, thì ta nói σ−đại số A là à−đủ (tức là đủ theo độ đo à) Bộ ba (X, A, à) đ−ợc gọi là không gian có độ đo đủ, σ-hữu hạn 11 à là độ đo d−ơng σ−hữu hạn và A là à−đủ Ví dụ 3.1.2 Cho X = IRn , A là σ−đại số các tập đo đ−ợc theo Lebesgue IRn , à là độ đo Lebesgue trên IRn Ta có (X, A, à) là không gian có độ đo đủ, σ-hữu hạn Cho (X, A) là không gian đo đ−ợc, Y là không gian mêtric Nh− đã quy −ớc từ đầu mục này, B ký hiệu σ−đại số Borel Y Ta xét σ−đại số sinh bëi hä tËp (1.12) {A × B ⊂ X × Y : A ∈ A, B ∈ B}, và ký hiệu nó A ⊗ B Nh− vậy, A ⊗ B là σ−đại số nhỏ X ì Y chøa hä tËp (1.12) Để chứng minh Định lý đặc tr−ng, chúng ta phải dựa vào hai bổ đề sau Bổ đề 3.1.1 (xem Castaing và Valadier (1977)) Cho (X, A, à) là không gian có độ đo đủ, σ-hữu hạn, Y là không gian mêtric đủ, khả li Nếu M ∈ A ⊗ B, th× prX (M ) := {x ∈ X : ∃y ∈ Y, (x, y) ∈ M } lµ tËp thuéc A (H×nh chiÕu lªn X cña mét tËp ®o ®−îc theo A ⊗ B lµ ®o ®−îc theo A.) Bổ đề 3.1.2 Giả sử (X, A) là không gian đo đ−ợc, Y và Z là hai không gian mêtric khả li, g : X ì Y → Z là ánh xạ Caratheodory (điều đó có nghĩa là với mäi y ∈ Y ¸nh x¹ g(·, y) lµ ®o ®−îc, vµ víi mäi x ∈ X ¸nh x¹ g(x, ·) lµ liªn tục) Khi đó g là đo đ−ợc theo A ⊗ B 10 11 TNTA: measure space; xem Rudin (1987), tr 16 TNTA: complete σ-finite measure space (95) 3.1 ¸nh x¹ ®a trÞ ®o ®−îc, l¸t c¾t ®o ®−îc 89 Chøng minh Ta chØ cÇn chøng minh r»ng tån t¹i d·y ¸nh x¹ gk : X × Y → Z (k ∈ IN ) đo đ−ợc theo A ⊗ B và hội tụ theo điểm đến g (xem Bài tập 3.1.3) Giả sử {yi : i ∈ IN } là tập điểm đếm đ−ợc trù mật Y Giả sử (x, y) ∈ XìY Với mçi k ∈ IN , ký hiÖu i = i(k) ∈ IN lµ chØ sè nhá nhÊt cho y ∈ B(yi , k−1 ) hay, hoµn toµn t−¬ng ®−¬ng, yi ∈ B(y, k−1 ) (1.13) Ta đặt gk (x, y) = g(x, yi ) Do (1.13) vµ tÝnh liªn tôc cña ¸nh x¹ g(x, ·) ta cã lim gk (x, y) = lim g(x, yi(k) ) = g(x, y) k→∞ k→∞ víi mäi (x, y) ∈ X × Y Ta chØ cßn ph¶i chøng minh r»ng gk lµ ®o ®−îc theo A ⊗ B §Æt i−1 −1 B(yj , k−1 ) Yi,k := B(yi , k ) \ j=1 V× {yi : i ∈ IN } lµ trï mËt Y , nªn ta cã ∞ (1.14) Yi,k = Y i=1 Râ rµng Yi,k ∈ B víi mäi (i, k) ∈ IN × IN Ngoµi ra, gk (x, y) = g(x, yi ) ∀(x, y) ∈ X × Yi,k Điều đó chứng tỏ gk là đo đ−ợc theo A ⊗ B Thật vậy, giả sử W ⊂ Z là tËp më tïy ý Ta cã gk−1 (W ) = {(x, y) ∈ X × Y : gk (x, y) ∈ W } ∞ {(x, y) ∈ X × Yi,k : g(x, yi ) ∈ W } = = i=1 ∞ (g(·, yi ))−1 (W ) × Yi,k i=1 lµ tËp thuéc A ⊗ B Định lý 3.1.3 (Characterization Theorem - Định lý đặc tr−ng; xem Aubin và Frankowska (1990), tr 310) Cho (X, A, à) là không gian có độ đo đủ, σ-hữu hạn, Y là không gian mêtric đủ, khả li Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị có giá trị đóng, khác rỗng Khi đó, các khẳng định (a), (b), (c) Định lý 3.1.2 và các khẳng định sau là t−ơng đ−ơng: (96) TÝch ph©n cña ¸nh x¹ ®a trÞ 90 (d) gph F ∈ A ⊗ B; (e) F −1 (C) ∈ A với tập đóng C ⊂ Y ; (f) F −1 (B) ∈ A víi mäi tËp Borel B ∈ B Chứng minh Do (a) ⇔ (b) ⇔ (c), định lý đ−ợc chứng minh chúng ta chøng tá ®−îc r»ng (f) ⇒ (e), (e) ⇒ (a), (a) ⇒ (c), (c) ⇒ (d), (d) ⇒ (f) (Tất nhiên ta không cần chứng minh khẳng định (a) ⇒ (c) nữa.) (f) ⇒ (e) Hiển nhiên, vì tập đóng là tập Borel (e) ⇒ (a) Khẳng định này đã đ−ợc thiết lập Bài tập 3.1.10 (c) ⇒ (d) Gi¶ sö r»ng víi mäi y ∈ Y hµm sè d(y, F (·)) lµ ®o ®−îc V× F có giá trị đóng, khác rỗng, nên ta có (1.14) gph F = {(x, y) ∈ X × Y : d(y, F (x)) = 0} Vì với x ∈ X hàm số d(ã, F (x)) là liên tục, nên áp dụng Bổ đề 3.1.2 cho tr−êng hîp g(x, y) := d(y, F (x)) ∀(x, y) ∈ X × Y ta suy r»ng g : X × Y → IR lµ ®o ®−îc theo A ⊗ B Do (1.14), gph F = g−1 ({0}) Theo khẳng định b) Bài tập 3.1.7, ta có gph F ∈ A ⊗ B (d) ⇒ (f) Gi¶ sö r»ng gph F ∈ A ⊗ B vµ gi¶ sö B ⊂ Y lµ tËp Borel bÊt kú DÔ thÊy r»ng F −1 (B) = prX (gph F ∩ (X × B)) Vì gph F ∈ A ⊗ B và X ì B ∈ A ⊗ B, từ đó ta có F −1 (B) ∈ A theo Bổ đề 3.1.1 Định lý đặc tr−ng cho ta hệ sau đây t−ơng đ−ơng tính đo ®−îc (cßn gäi lµ tÝnh ®o ®−îc yÕu) vµ tÝnh ®o ®−îc m¹nh cña ¸nh x¹ ®a trÞ Hệ 3.1.1 Cho X = IRn , A là σ−đại số các tập đo đ−ợc theo Lebesgue IRn , à là độ đo Lebesgue trên IRn Cho Y là không gian mêtric đủ, khả li, và F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị có giá trị đóng, khác rỗng Khi đó, F là đo đ−ợc và F −1 (C) ∈ A với tập đóng C ⊂ Y Bài tập 3.1.16 Cho X = IR n , A là σ−đại số các tập đo đ−ợc theo Lebesgue IR n , à là độ đo Lebesgue trên IR n Cho Y là không gian mêtric đủ, khả li, và F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị có giá trị đóng, khác rçng Chøng minh r»ng: (97) 3.2 TÝch ph©n Aumann 91 a) NÕu F lµ nöa liªn tôc d−íi ë X, th× F lµ ¸nh x¹ ®a trÞ ®o ®−îc; b) NÕu F lµ nöa liªn tôc trªn ë trªn X, th× F lµ ¸nh x¹ ®a trÞ ®o ®−îc (Gîi ý: L−u ý r»ng F lµ nöa liªn tôc d−íi ë X vµ chØ ¶nh ng−îc cña mçi tËp më Y lµ tËp më X, F lµ nöa liªn tôc trªn X và ảnh ng−ợc tập đóng Y là tập đóng X áp dụng Hệ 3.1.1 để chứng minh khẳng định b).) NhËn xÐt 3.1.3 Cã nh÷ng ¸nh x¹ ®a trÞ lµ ®o ®−îc nh−ng kh«ng lµ nöa liªn tôc trên nửa liên tục d−ới điểm nào thuộc miền xác định nó Ví dô, F : IR ⇒ IR cho bëi c«ng thøc f (x) = {0} nÕu x ∈ Q vµ f (x) = {1} nÕu x∈ / Q Kết hợp các khẳng định nói Bài tập 3.1.16 với Định lý 3.1.1 (t.−., với §Þnh lý 3.1.2) ta cã kÕt luËn vÒ sù tån t¹i l¸t c¾t ®o ®−îc (t.−., vÒ sù tån t¹i mét họ đếm đ−ợc trù mật các lát cắt đo đ−ợc) ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, hoÆc nöa liªn tôc d−íi Theo çc thuËt ng÷ cña môc tiÕp sau, nÕu Y lµ kh«ng gian Banach kh¶ li, th× ta cã thÓ lÊy tÝch ph©n ¸nh x¹ ®a trÞ nöa liªn tôc trªn, hoÆc nöa liªn tôc d−íi trªn çc tËp ®o ®−îc X = IRn 3.2 TÝch ph©n cña ¸nh x¹ ®a trÞ Trong suốt mục này, (X, A, à) là không gian có độ đo đủ, σ−hữu hạn, và Y lµ kh«ng gian Banach kh¶ li 12 Ta sử dụng ký hiệu L1 (X; Y, à) để tập hợp các ánh xạ đơn trị đo đ−ợc kh¶ tÝch tõ X vµo Y , tøc lµ ) f (x)dµ < ∞ L (X; Y, µ) = f : X → Y : f ®o ®−îc, X Giả sử F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị có giá trị đóng, khác rỗng Ta ký hiệu tËp hîp çc l¸t c¾t kh¶ tÝch cña F bëi F: F = {f ∈ L1 (X; X, µ) : f (x) ∈ F (x) hÇu kh¾p trªn X} Ta nãi F lµ giíi néi kh¶ tÝch 13 nÕu tån t¹i mét hµm γ ∈ L1 (X; IR, µ) cho F (x) ⊂ γ(x)B̄Y hÇu kh¾p trªn X Nếu F có tính chất đó, thì lát cắt đo đ−ợc F là phần tử thuộc tập F Tr−ờng hợp hay đ−ợc xét và có nhiều ứng dụng là X = IRn , A là σ-đại số gồm các tập đo đ−ợc theo Lebesgue IRn , à là độ đo Lebesgue trên IRn , còn Y = IRm là kh«ng gian Euclide h÷u h¹n chiÒu; xem Clarke (1983), tr 111 13 TNTA: intergrably bounded 12 (98) TÝch ph©n cña ¸nh x¹ ®a trÞ 92 Tr−ớc định nghĩa tích phân ánh xạ đa trị, chúng ta cần nhắc đến phÐp lÊy tÝch ph©n cña çc hµm nhËn gi¸ trÞ vÐct¬ 14 §Þnh nghÜa 3.2.1 (xem Rudin (1991), tr 77) Gi¶ sö f : X → Y lµ ¸nh x¹ ®o ®−îc cho víi mçi y∗ ∈ Y ∗ hµm sè y∗ ◦ f cho bëi c«ng thøc (y ∗ ◦ f )(x) = y ∗ , f (x) (2.1) ∀x ∈ X lµ kh¶ tÝch 15 NÕu tån t¹i vÐct¬ y ∈ Y cho ) ∗ (y ∗ ◦ f )(x)dµ y , y = ∀y ∗ ∈ Y ∗ X thì ta nói tích phân f trên X theo độ đo à y, và viết ) f dµ (2.2) y= X DÔ thÊy r»ng kh«ng thÓ cã nhiÒu h¬n mét phÇn tö y tháa m·n (2.2) VËy tÝnh nhÊt cña tÝch ph©n cña hµm nhËn gi¸ trÞ vÐct¬ lµ hiÓn nhiªn NÕu X lµ không gian tôpô, A chứa σ−đại số Borel X, f : X → Y là hàm liên tục, và f (X) ⊂ Y lµ tËp comp¾c, th× tån t¹i tÝch ph©n (2.2); xem Rudin (1991), tr 77 Nếu Y = IRm và f = (f1 , , fm ), thì từ định nghĩa trên suy tích phân (2.2) tồn và hàm fi (i = 1, , m) là khả tích Khi đó ta có ) ) ) f dµ = (2.3) X X f1 (x)dµ, , X ! fm (x)dµ §èi víi çc hµm vÐct¬ nhËn gi¸ trÞ kh«ng gian Banach* h÷u h¹n chiÒu, ng−ời ta th−ờng lấy công thức (2.3) làm định nghĩa tích phân X f dà Để định nghĩa tích phân ánh xạ đa trị, R J Aumann đề nghị gọi tập hîp çc tÝch ph©n cña çc l¸t c¾t ®o ®−îc kh¶ tÝch cña F lµ tÝch ph©n cña F * §Þnh nghÜa 3.2.2 (R J Aumann, 1965) TÝch ph©n X F dµ cña ¸nh x¹ ®a trÞ ®o ®−îc F : X ⇒ Y lµ tËp hîp çc tÝch ph©n cña çc l¸t c¾t ®o ®−îc kh¶ tÝch cña F : ) ) F dµ := f dµ : f ∈ F (2.4) X VËy 14 15 * X X F dµ lµ mét tËp cña Y TNTA: vector-valued integration Nếu f ∈ F, thì f có tính chất đó (99) 3.2 TÝch ph©n Aumann 93 Bài tập 3.2.1 Cho X, A và F nh− Ví) dụ 3.1.1 Cho à là độ đo Lebesgue trªn ®o¹n [−1, 2] TÝnh tÝch ph©n F dµ (Gîi ý: Víi mçi X f ∈ F ta có f (x) ∈ F (x) với x, ngoại trừ x∈ X f , đó Xf là tập có độ đo Đặt f˜(x) = f (x) với x ∈ X \ Xf và chọn tùy ý f˜(x) ∈ F (x)) víi x ∈ Xf Do rge F lµ giíi néi, nªn f˜ ∈ F vµ ta cã ) f (x) dµ V× vËy, c«ng thøc (2.4) chØ cÇn xÐt çc f˜(x) dµ = X X l¸t c¾t f ∈ F mµ f (x) ∈ F (x) víi mäi x ∈ X Ký hiÖu tËp çc l¸t c¾t đó F0 Để ý f ∈ F và tồn α ∈ [−1, 1] cho f (x) = −1 x < 0, f (0) = α, f (x) = x > Từ đó suy ) X F dµ = {1}.) Tích phân ánh xạ đa trị có nhiều tính chất thú vị, đó có số tÝnh chÊt t−¬ng tù nh− tr−êng hîp tÝch ph©n cña çc hµm sè thùc Mệnh đề 3.2.1 (xem Aubin và Frankowska (1990), tr 327) Giả sử Fi : X ⇒ Y (i = 1, 2) là các ánh xạ đa trị có giá trị đóng, khác rỗng Đặt G(x) := F1 (x) + F2 (x) Khi đó, các tính chất sau nghiệm đúng: ) ) (λF ) dµ = λ F dµ; (i) Víi mäi λ ∈ IR, X (ii) X ) ) coF dµ = co X F dµ; X (iii) Víi mäi p ∈ Y ∗ , ) ) F dµ = CF (p, x) dµ, sup p, y : y ∈ X X đó CF (p, x) = sup{p, y : y ∈ F (x)} là hàm tựa F ; ) ) ) G dµ = F1 dµ + F2 dµ (iv) X X X Định nghĩa 3.2.3 Tập A ∈ A đ−ợc gọi là nguyên tử 16 độ đo à µ(A) > vµ víi mäi A ⊂ A, µ(A ) hoÆc b»ng hoÆc b»ng µ(A) §é ®o µ ®−îc gäi lµ kh«ng cã nguyªn tö 17 nÕu µ kh«ng chøa çc nguyªn tö Ví dụ 3.2.1 Độ đo Lebesgue trên IRn là độ đo không có nguyên tử 16 17 TNTA: atom TNTA: nonatomic (100) TÝch ph©n cña ¸nh x¹ ®a trÞ 94 Nh¾c l¹i r»ng ®iÓm w ∈ K ®−îc gäi lµ ®iÓm cùc biªn 18 cña tËp låi K không gian định chuẩn không tồn u, v ∈ K và λ ∈ (0, 1) cho w = (1 − λ)u + λv TËp çc ®iÓm cùc biªn cña K ®−îc ký hiÖu lµ extr K Sau ®©y lµ mét kÕt qu¶ vÒ tÝnh låi cña tÝch ph©n Aumann §Þnh lý 3.2.1 (R J Aumann, G Debreu vµ C Olech; xem Aubin vµ Frankowska (1990), tr 329, 419) Cho F : X ⇒ IRm lµ ¸nh x¹ ®a trÞ ) ®o ®−îc cã gi¸ trÞ đóng, khác rỗng Nếu à là độ đo không có nguyên tử, thì ! ) extr co ) ⊂ F dµ X X F dµ lµ tËp låi vµ F dµ ) Ngoµi ra, nÕu F cßn lµ giíi néi kh¶ tÝch, th× X X F dµ lµ tËp comp¾c Chứng minh định lý này (xem Aubin và Frankowska (1990), tr 333– 340) dựa vào định lý sau đây tính lồi tập hợp các tích phân hàm vÐct¬ kh¶ tÝch theo çc tËp ®o ®−îc thuéc A §Þnh lý 3.2.2 (Lyapunov’s Convexity Theorem - §Þnh lý cña Lyapunov vÒ tÝnh lồi) Giả sử à là độ đo không có nguyên tử và f ∈ L1 (X; IRm , à) Khi đó, tập hợp ) f dµ ν(A) := A lµ tËp låi, comp¾c A∈A IRm Trong §Þnh lý 3.2.1, nÕu thay )cho IRn ta xÐt mét kh«ng gian Banach v« h¹n chiÒu Y , th× ch−a ch¾c tÝch ph©n X F dà đã là tập lồi Tuy thế, bao đóng nó là tập lồi Cụ thể là ta có định lý sau §Þnh lý 3.2.3 (J J Uhl, F Hiai vµ H Umegaki; xem Aubin vµ Frankowska (1990), tr 330, 419) Cho Y lµ kh«ng gian Banach kh¶ li, F : X ⇒ Y lµ ¸nh xạ đa trị đo đ−ợc có giá trị đóng, khác rỗng Nếu à là độ đo không có nguyên tö, th× ) F dµ lµ tËp låi; (i) X ) ) (ii) F dµ = co X F dµ; X (iii) NÕu y ∈ extr nhÊt; 18 TNTA: extreme point ! ) X F dµ , th× phÇn tö f ∈ F tháa m·n ) X f dµ = y lµ (101) 3.3 L¸t c¾t liªn tôc vµ l¸t c¾t Lipschitz 95 (iv) NÕu F lµ ¸nh x¹ ®a trÞ giíi néi kh¶ tÝch, th× ) ) X coF dµ = F dµ X Chứng minh định lý này có thể xem Aubin và Frankowska (1990), tr 340-342 Bµi tËp 3.2.2 XÐt ¸nh x¹ ®a trÞ F : IR ⇒ IR cho bëi c«ng thøc F (x) = co{sin x, cos x} a) Chøng minh F lµ ®o ®−îc, giíi néi kh¶ tÝch trªn [0, 2π] ) 2π b) TÝnh tÝch ph©n F dµ (Gîi ý: F lµ ¸nh x¹ ®a trÞ liªn tôc vµ giíi néi trªn [0, 2π] Theo §Þnh lý ) 2π 3.2.1, F dµ lµ låi, comp¾c VÏ tËp gph F tr−íc tiÕn hµnh tÝnh ) 2π √ to¸n KÕt qu¶: F dµ = 2.) 3.3 L¸t c¾t liªn tôc vµ l¸t c¾t Lipschitz Định lý sau đây đ−a điều kiện đủ để ánh xạ đa trị nửa liên tục d−ới có lát cắt liªn tôc §Þnh lý 3.3.1 (E Michael, 1956) Cho X lµ kh«ng gian mªtric comp¾c, Y lµ kh«ng gian Banach, F : X ⇒ Y lµ ¸nh x¹ ®a trÞ nöa liªn tôc d−íi, cã gi¸ trÞ lồi đóng khác rỗng Khi đó F có lát cắt liên tục Chứng minh định lý trên có thể xem Aubin và Frankowska (1990), tr 357, hoÆc Chiªu (2004) Trong §Þnh lý 3.3.1, gi¶ thiÕt vÒ tÝnh comp¾c cña kh«ng gian mªtric X cã thÓ bá ®i ®−îc (xem Zeidler (1986), tr 466) ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, có giá trị lồi đóng khác rỗng, từ không gian mêtric compắc vào không gian Banach ch−a đã có lát cắt liên tục Bài tập 3.3.1 Cho ví dụ cụ thể để chứng tỏ ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, có giá trị lồi đóng khác rỗng, từ không gian mêtric compắc vào không gian Banach ch−a đã có lát cắt liên tục (Gợi ý: §Æt X = [−1, 1] vµ xÐt ¸nh x¹ ®a trÞ F : X ⇒ IR cho bëi c«ng thøc F (x) = {−1} víi mäi x < 0, F (0) = [−1, 1] vµ F (x) = {1} víi mäi x > 0.) (102) TÝch ph©n cña ¸nh x¹ ®a trÞ 96 §Þnh nghÜa 3.3.1 Cho X lµ kh«ng gian mªtric, Y lµ kh«ng gian Banach a) Ta nói ánh xạ đơn trị f : X → Y là Lipschitz địa ph−ơng với x̄ ∈ X tån t¹i δ > vµ > cho f (x ) − f (x) d(x , x) ∀x, x ∈ B(x̄, δ) NÕu tån t¹i > cho f (x ) − f (x) d(x , x) ∀x, x ∈ X th× F ®−îc gäi lµ ¸nh x¹ Lipschitz trªn X b) Ta nói ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y là Lipschitz địa ph−ơng với x̄ ∈ X tån t¹i δ > vµ > cho F (x ) ⊂ F (x) + d(x , x)B̄Y ∀x , x ∈ B(x̄, δ) NÕu tån t¹i > cho F (x ) ⊂ F (x) + d(x , x)B̄Y ∀x , x ∈ X, th× F ®−îc gäi lµ ¸nh x¹ ®a trÞ Lipschitz trªn X §Þnh lý sau ®©y bµn vÒ sù tån t¹i l¸t c¾t xÊp xØ cña ¸nh x¹ ®a trÞ nöa liªn tôc trªn §Þnh lý 3.3.2 (A Cellina; xem Aubin vµ Frankowska (1990), tr 358–360) Cho X lµ kh«ng gian mªtric comp¾c, Y lµ kh«ng gian Banach, F : X ⇒ Y lµ ¸nh xạ đa trị nửa liên tục trên, có giá trị lồi khác rỗng Khi đó, tồn ánh xạ đơn trị Lipschitz địa ph−ơng fε : X → Y cho gph fε ⊂ B(gph F, ε) vµ fε (x) ∈ co(rge F ), đó d((x, y), (x , y )) := max{d(x, x ), y − y } và B(gph F, ε) = {(x, y) ∈ X × Y : d((x, y), gph F ) < ε} Trong §Þnh lý 3.3.2, gi¶ thiÕt vÒ tÝnh comp¾c cña X cã thÓ bá ®i ®−îc (xem Aubin vµ Frankowska (1990), tr 358) Nhiều tác giả đã sử dụng Định lý Michael tồn lát cắt liên tục để nghiên cứu tồn nghiệm bất đẳng thức biến phân suy rộng và các bµi to¸n c©n b»ng §iÒu thó vÞ lµ ta cã thÓ sö dông §Þnh Cellina vÒ sù tån t¹i lát cắt xấp xỉ Lipschitz địa ph−ơng để chứng minh định lý tồn nghiệm (103) 3.3 L¸t c¾t liªn tôc vµ l¸t c¾t Lipschitz 97 cho bất đẳng thức biến phân suy rộng với toán tử đa trị nửa liên tục trên19 Nếu để ý thêm nói chung d−ới vi phân các hàm lồi (ví dụ nh− ∂ϕ(ã) đó ϕ(x) := x, x ∈ IRn ) và d−ới vi phân Clarke các hàm Lipschitz địa ph−¬ng 20 th−êng chØ lµ ¸nh x¹ ®a trÞ nöa liªn tôc trªn, kh«ng lµ nöa liªn tôc d−íi, th× ta cµng thÊy sù cÇn thiÕt cña §Þnh lý Cellina VÝ dô 3.3.1 (xem Chiªu (2004), tr 23) §Æt X = IR vµ xÐt ¸nh x¹ ®a trÞ F : X → IR cho bëi c«ng thøc F (x) = {0} víi mäi x < 0, F (0) = [0, 1] vµ F (x) = {1} víi mäi x > Ta cã F lµ nöa liªn tôc trªn ë X Ngoµi ra, F cã gi¸ trÞ låi, comp¾c, kh¸c rçng MÆc dï F kh«ng cã l¸t c¾t liªn tôc, nh−ng có lát cắt xấp xỉ Lipschitz địa ph−ơng với độ chính xác tùy ý Thật vậy, với ε > 0, ánh xạ đơn trị Lipschitz ⎧ nÕu x − 12 ε ⎨0 fε (x) = 1ε x + 12 nÕu − 12 ε < x < 12 ε ⎩ nÕu x 12 ε là lát cắt xấp xỉ F với độ chính xác ε, vì gph fε ⊂ B(gph F, ε) H×nh 14 Định lý sau đây đ−a điều kiện đủ cho tồn lát cắt Lipschitz §Þnh lý 3.3.3 (xem Aubin vµ Frankowska (1990), tr 372) Cho X lµ kh«ng gian mêtric và F : X ⇒ IRn là ánh xạ đa trị Lipschitz có giá trị lồi đóng khác rỗng Khi đó, F có lát cắt Lipschitz Chứng minh định lý này có thể xem Aubin và Frankowska (1990), hoÆc Chiªu (2004) 19 20 Xem Kien, Yao vµ Yen (2007) Xem c«ng thøc (4.3) vµ NhËn xÐt 3.4.1 d−íi ®©y (104) TÝch ph©n cña ¸nh x¹ ®a trÞ 98 3.4 TÝch ph©n Aumann cña ¸nh x¹ d−íi vi ph©n Clarke Çc kÕt qu¶ tr×nh bµy môc nµy thuéc vÒ NguyÔn Huy Chiªu (xem Chiªu (2004, 2006a)) Bạn đọc có quan tâm xin đọc các chứng minh chi tiết luận văn và bài báo đó Trong lý thuyết tích phân Lebesgue, ng−ời ta đã chứng minh f : [a, b] → IR là hàm số Lipschitz xác định trên đoạn [a, b] ⊂ IR, thì công thức Newton-Leibnitz ) b f (t) dµ = f (b) − f (a), (4.1) a đó à ký hiệu độ đo Lebesgue trên [a, b], nghiệm đúng (Ta l−u ý rằng, f là Lipschitz trên [a, b], đạo hàm Fréchet f (x) tồn hầu khắp trên [a, b] theo định lý Rademacher; xem Clarke (1983).) Vấn đề đặt là vế phải công thức này nh− nào toán tử đạo hàm f (ã) và tích phân Lebesgue vế tr¸i ®−îc thay t−¬ng øng bëi ¸nh x¹ d−íi vi ph©n Clarke ∂Cl f (·) vµ tÝch ph©n Aumann Ngoài việc trình bày lời giải cho vấn đề đó, chúng ta xét øng dông cña kÕt qu¶ thu ®−îc vµ mét vÝ dô minh häa thó vÞ Giả sử X là không gian Banach và f : X → IR là hàm số Lipschitz địa ph−¬ng §Þnh nghÜa 3.4.1 §¹o hµm theo h−íng Clarke cña f t¹i x ∈ X theo h−íng v ∈ X đ−ợc xác định công thức (4.2) f (x; v) := lim sup x →x, t→0+ f (x + tv) − f (x ) t D−íi vi ph©n Clarke cña f t¹i x lµ tËp hîp (4.3) ∂ Cl f (x) := {x∗ ∈ X ∗ : x∗ , v f (x; v), ∀v ∈ X} NhËn xÐt 3.4.1 (xem Clarke (1983)) NÕu > lµ hÖ sè Lipschitz cña f l©n cËn cña x, th× ∂Cl f (x) lµ tËp hîp kh¸c rçng, låi, comp¾c yÕu∗ X ∗ Ngoµi ra, x∗ víi mäi x∗ ∈ ∂ Cl f (x), vµ víi mäi v ∈ X ta cã f (x; v) = max{x∗ , v : x∗ ∈ ∂ Cl f (x)} NÕu X lµ kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu, th× ¸nh x¹ ®a trÞ ∂Cl f (·) lµ nöa liªn tôc trªn t¹i x Nhận xét 3.4.2 Nếu f : [a, b] → IR là hàm số Lipschitz và à là độ đo Lebesgue trên [a, b], thì ánh xạ đa trị ∂Cl f (ã) là giới nội khả tích Khẳng định này đ−ợc chøng minh dÔ dµng nhê mét tÝnh chÊt nãi NhËn xÐt 3.4.1 (105) 3.4 TÝch ph©n Aumann cña ¸nh x¹ d−íi vi ph©n Clarke 99 NhËn xÐt 3.4.3 (xem Aubin vµ Frankowska (1990), tr 343) NÕu X = [a, b], Y = Rn , à là độ đo Lebesgue trên [a, b], F : X* ⇒ Y là ánh xạ đa trị giới nội khả tích, có giá trị đóng khác rỗng, thì tập hợp X F dà là lồi, compắc §Þnh nghÜa 3.4.2 (xem Clarke (1983), tr 39) Hµm sè f ®−îc gäi lµ chÝnh quy Clarke 21 x nếu, với v ∈ X, đạo hàm theo h−ớng f (x; v) := lim t→0+ f (x + tv) − f (x) t tån t¹i vµ ta cã f (x; v) = f (x; v) Bµi tËp 3.4.1 Cho f (x) = |x| vµ g(x) = −|x| víi mäi x ∈ IR Çc hµm số f : IR → IR và g : IR → IR đó có là chính quy Clarke (a) x̄ = 0, (b) x̄ = 0, hay kh«ng? T¹i sao? KÕt qu¶ sau ®©y lµ cña NguyÔn Huy Chiªu §Þnh lý 3.4.1 (xem Chiªu (2004, 2006a)) Gi¶ sö f : [a, b] → IR lµ hµm sè Lipschitz xác định trên đoạn [a, b] ⊂ R Khi đó ta có ) (4.4) a b ) $ ) b ∂ Cl f (t) dµ = − f (t; −1) dµ, a b % f (t; 1) dµ , a *b đó tích phân a ∂ Cl f (t) dà ánh xạ đa trị ∂Cl f (ã) đ−ợc hiểu theo nghĩa tÝch ph©n Aumann Định lý 3.4.1 cho ta công thức hiển để tính tích phân Aumann ánh xạ d−íi vi ph©n Clarke cña hµm sè thùc Lipschitz trªn mét ®o¹n [a, b] ⊂ IR cho tr−ớc: để tính tích phân đó, ta cần tính tích phân Lebesgue các hàm số thực f (ã; −1) và f (ã; 1) trên đoạn [a, b] Từ đó kết đó ta có hệ sau Hệ 3.4.1 Giả sử f : [a, b] → R là hàm số Lipschitz Khi đó, ) b (4.5) a ∂ Cl f (t) dµ = {f (b) − f (a)} vµ chØ ) b (4.6) a 21 TNTA: Clarke regular f (t; 1) + f (t; −1) dµ = (106) TÝch ph©n cña ¸nh x¹ ®a trÞ 100 Nh− (4.6), đó lấy tích phân Lebesgue hàm số thực, là điều kiện cần *và đủ để có (4.5); tức là (4.6) là điều kiện cần và đủ để tích phân b Aumann a ∂ Cl f (t) dµ lµ tËp hîp cã mét phÇn tö VÝ dô 3.4.1 d−íi ®©y 22 sÏ *b chøng tá r»ng kh«ng ph¶i lóc nµo tÝch ph©n a ∂ Cl f (t) dµ còng lµ tËp hîp cã mét phÇn tö NhËn xÐt 3.4.4 Theo HÖ qu¶ 3.4.1, nÕu f (t; 1) + f (t; −1) = hÇu kh¾p trªn *b [a, b], th× a ∂ Cl f (t)dt = {f (b) − f (a)} HÖ qu¶ 3.4.2 Gi¶ sö f : [a, b] → IR lµ hµm Lipschitz, chÝnh quy Clarke hÇu khắp trên [a, b] Khi đó, đẳng thức (4.5) nghiệm đúng Bµi tËp 3.4.2 Cho f vµ g nh− Bµi tËp 3.4.1 H·y kiÓm chøng kÕt luận Định lý 3.4.1 và các hệ 3.4.1, 3.4.2 các hàm f và g lÊy [a, b] = [−2π, π] H×nh 15 Định nghĩa 3.4.3 (xem Clarke (1983), tr 30-31) Hàm véctơ f : X → Y , đó X, Y lµ çc kh«ng gian Banach, ®−îc gäi lµ kh¶ vi chÆt23 t¹i x̄ ∈ X nÕu tån t¹i to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc Ds f (x̄) : X → Y cho lim x→x̄, 22 t→0+ f (x + tv) − f (x) = Ds f (x̄)(v) t Sö dông mét kÕt qu¶ cña R T Rockafellar (xem Borwein vµ Zhu (2005), VÝ dô 5.2.12, tr 191), N H Chiêu đã xây dựng đ−ợc ví dụ có cùng hiệu ứng nh− Ví dụ 3.4.1 Ngoài ra, Chieu (2006c) đã thiết lập các công thức t−ơng tự nh− (4.4) cho d−ới vi phân Fréchet và d−ới vi ph©n Mordukhovich - chóng ta sÏ nghiªn cøu çc d−íi vi ph©n nµy Ch−¬ng 23 TNTA: strictly differentiable (107) 3.4 TÝch ph©n Aumann cña ¸nh x¹ d−íi vi ph©n Clarke 101 và hội tụ là theo v tập compắc X NhËn xÐt 3.4.5 (xem Clarke (1983), tr 32) NÕu f lµ kh¶ vi FrÐchet liªn tôc x̄, thì f là Lipschitz địa ph−ơng x̄ và khả vi chặt x̄ NhËn xÐt 3.4.6 Gi¶ sö f : [a, b] → IR lµ hµm sè Lipschitz NÕu f lµ kh¶ vi chÆt hầu khắp trên [a, b] f là lồi trên [a, b], thì đẳng thức (4.5) nghiệm đúng Khẳng định này suy từ Hệ 3.4.2 và các kiện nói f là khả vi chÆt t¹i x hoÆc f lµ hµm låi th× nã chÝnh quy Clarke t¹i x (xem Clarke (1983), tr 40) Sau đây là ứng dụng Định lý 3.4.1 việc điều kiện đủ cho phép khôi phục hàm số Lipschitz địa ph−ơng từ ánh xạ d−ới vi phân Clarke cña nã N¨m 1982 R T Rockafellar chøng minh r»ng nÕu f, g : Rn → IR lµ çc hàm Lipschitz địa ph−ơng, f là chính quy Clarke, và ∂ Cl g(x) ⊂ ∂ Cl f (x) ∀x ∈ Rn , th× tån t¹i mét h»ng sè C ∈ IR cho g(x) = f (x) + C ∀x ∈ Rn (xem Wu and Ye(2000)) Kết Rockafellar đã đ−ợc số tác giả khác ph¸t triÓn theo çc h−íng kh¸c nhau; xem Thibault vµ Zagrodny (1995), Ngai, Luc vµ ThÐra (2000), Wu vµ Ye (2000) §Þnh lý 3.4.1 cho phÐp më réng kÕt qu¶ nãi trªn cña Rockafellar sang tr−êng hîp kh«ng gian v« h¹n chiÒu §Þnh lý 3.4.2 (xem Chiªu (2004, 2006a)) Gi¶ sö r»ng X lµ kh«ng gian Banach, f, g : X → IR là các hàm số Lipschitz địa ph−ơng trên X Nếu f là chính quy Clarke vµ ∂Cl g(x) ⊂ ∂ Cl f (x) víi mäi x ∈ X, th× tån t¹i h»ng sè C ∈ IR cho g(x) = f (x) + C víi mäi x ∈ X B©y giê chóng ta xÐt mét vÝ dô minh häa cho §Þnh lý 3.4.1 VÝ dô nµy chøng tá r»ng ®o¹n th¼ng ë vÕ ph¶i cña (4.5) cã thÓ chøa v« h¹n phÇn tö VÝ dô 3.4.1 (xem Chiªu (2006a)) Gi¶ sö {rk }k∈N lµ tËp hîp tÊt c¶ çc sè h÷u tỷ trên khoảng (a, b) ⊂ IR, a < b Với k ∈ N, ta chọn δk > đủ bé cho (rk −δk , rk +δk ) ⊂ (a, b) vµ δk < 2−(k+3) (b−a) §Æt A = ∪∞ k=0 (rk −δk , rk +δk ) vµ P = [a, b]\A V× A lµ tËp më IR, ta cã thÓ biÓu diÔn A= ∞ m=0 (am , bm ), (108) TÝch ph©n cña ¸nh x¹ ®a trÞ 102 đó {(am , bm )}m∈N là dãy các khoảng mở rời (đôi không giao nhau) Định nghĩa hàm số f : [a, b] → IR cách đặt ⎧ ⎪ ⎨ nÕu x ∈ P 2 f (x) = (x − am ) (x − bm ) sin (bm − am )(x − am )(x − bm ) ⎪ ⎩ nÕu x ∈ (am , bm ) Khi đó, f là Lipschitz trên [a, b] và tập *b a ∂ Cl f (t) dµ chøa v« h¹n phÇn tö 24 Lập luận chứng minh khẳng định này khá phức tạp ý t−ởng chính Ví dụ 3.4.1 là khảo s¸t mét hµm sè Lipschitz trªn ®o¹n [a, b] ⊂ IR mµ tËp ®iÓm kh«ng chÝnh quy Clarke cña nã cã độ đo Lebesgue d−ơng Xin xem chi tiết Chiêu (2006a) 24 (109) Ch−¬ng Đối đạo hàm ánh xạ đa trị Yªu cµnh hoa bªn nh÷ng vùc s©u Yªu hoa mét phÇn nh−ng chÝnh lµ yªu sù h¸i BiÕt bao t×nh yªu cßn l¹i Nhê mét cµnh hoa kh«ng ®©u (ChÕ Lan Viªn, “H¸i hoa”, 12-6-1980) Trong ch−ơng này, sau giới thiệu vắn tắt lý thuyết đối đạo hàm, chúng ta sử dụng công cụ đối đạo hàm để xây dựng các công thức tính toán −ớc l−îng çc d−íi vi ph©n (d−íi vi ph©n FrÐchet, d−íi vi ph©n Mordukhovich, vµ d−íi vi ph©n Clarke) cña hµm gi¸ trÞ tèi −u çc bµi to¸n quy ho¹ch to¸n häc phô thuéc tham sè Ch−¬ng nµy ®−îc viÕt trªn c¬ së mét bµi gi¶ng cña chóng t«i vÒ lý thuyÕt đối đạo hàm, bài báo chung B S Mordukhovich, Nguyễn Mậu Nam và N § Yªn (Mordukhovich, Nam vµ Yen (2007)), vµ mét b¶n th¶o bµi b¸o cña NguyÔn Huy Chiªu (xem Chieu (2006c)) Mục 4.1 giới thiệu phát triển lý thuyết đối đạo hàm ánh xạ đa trÞ Môc 4.2 ®iÓm qua mét sè kh¸i niÖm c¬ së cña lý thuyÕt nµy vµ ®−a çc ví dụ minh họa Mục 4.3 giới thiệu bài toán tìm các công thức tính đánh giá d−íi vi ph©n (lµ tËp çc d−íi gradient) cña hµm gi¸ trÞ tèi −u bµi to¸n quy ho¹ch to¸n häc cã tham sè d−íi rµng buéc ®a trÞ Mét sè kiÕn thøc chuÈn bÞ cho viÖc nghiªn cøu bµi to¸n nµy ®−îc tr×nh bµy Môc 4.4 Môc 4.5 vµ Môc 4.6 giíi thiÖu çc c«ng thøc cho phÐp tÝnh to¸n/−íc l−îng çc d−íi vi ph©n FrÐchet hoÆc d−íi vi ph©n qua giíi h¹n Trong hai môc nµy cã tr×nh bµy mét Cßn ®−îc gäi lµ d−íi vi ph©n Mordukhovich 103 (110) 104 Đối đạo hàm ánh xạ đa trị sè vÝ dô minh häa cho çc kÕt qu¶ thu ®−îc Môc 4.7 th«ng b¸o mét vµi kÕt qu¶ míi cña NguyÔn Huy Chiªu vÒ tÝch ph©n Aumann cña ¸nh x¹ d−íi vi ph©n Mordukhovich vµ vÒ d−íi vi ph©n Mordukhovich cña phiÕm hµm tÝch ph©n 4.1 Sự phát triển lý thuyết đối đạo hàm Ngay sau đời lý thuyết vi phân F H Clarke vào năm 19731975, năm 1976 B S Mordukhovich đã đề xuất khái niệm lý thuyÕt vi ph©n cña «ng, bao gåm: a) Nãn ph¸p tuyÕn kh«ng låi ([nonconvex] normal cone) cña çc tËp hîp ; b) Đối đạo hàm qua giới hạn (limiting coderivative) ánh xạ đa trị; c) D−íi vi ph©n kh«ng låi ([nonconvex] subdifferential) cña hµm sè nhËn gi¸ trÞ thùc suy réng Lý thuyÕt cña Mordukhovich ®−îc ph¸t triÓn song song víi lý thuyÕt vi ph©n cña Clarke Çc kh¸i niÖm chÝnh cña lý thuyÕt cña Clarke bao gåm nãn tiÕp tuyến Clarke , nón pháp tuyến Clarke , đạo hàm theo h−ớng Clarke , và d−ới vi ph©n Clarke N¨m 1988 10 B S Mordukhovich in cuèn s¸ch ®Çu tiªn cña «ng (xem Mordukhovich (1988)) ë nhµ xuÊt b¶n Nauka Cuèn s¸ch tiÕng Nga nµy tr×nh bµy Theo suy nghĩ chúng tôi, kết các mục 4.5 và 4.6 còn có thể đào sâu và phát triển đ−ợc thªm n÷a Khi đó ông Mordukhovich dạy học tr−ờng đại học Minxcơ - thủ đô n−ớc Céng hoµ B¹ch Nga (nay lµ Belarus) Kh«ng cã nãn tiÕp tuyÕn nµo t−¬ng øng víi nãn ph¸p tuyÕn nµy! Còn đ−ợc gọi là đối đạo hàm theo nghĩa Mordukhovich Xem Môc 2.2, Ch−¬ng Nón pháp tuyến Clarke tập M ⊂ X, đó X là không gian Banach, x̄ ∈ M đ−ợc định nghĩa công thức Cl (x̄) := {x∗ ∈ X ∗ : x∗ , v a 0, ∀v ∈ CM (x̄)} NM Cl (x̄) = ∅ víi mäi x̄ ∈ / M Ta quy −íc r»ng NM Xem Môc 3.4, Ch−¬ng Xem Mục 3.4, Ch−ơng Lúc đầu, d−ới vi phân Clarke đ−ợc định nghĩa cho các hàm số Lipschitz địa ph−ơng Về sau, R T Rockafellar đề xuất định nghĩa cho phép ta làm việc đ−ợc với các hàm nhận giá trị thực suy rộng, xác định trên không gian Banach; xem F H Clarke (1983) 10 Cũng năm đó, B S Mordukhovich cùng gia đình chuyển từ Minxcơ sang Mỹ ông là gi¸o s−, gi¶ng d¹y t¹i Khoa To¸n, tr−êng §¹i häc Tæng hîp Quèc gia Wayne (The Wayne State University) thành phố Detroit, bang Michigan Ông và gia đình sống thành phố Ann Arbor Wayne là tên tr−ớc ng−ời thổ dân đặt cho vùng đất có Detroit - thành phố đầu não công nghiệp ôtô Mỹ Ann Arbor, thành phố đẹp mang dáng dấp kiến trúc Âu Châu, là thủ phủ bang Michigan Tạp chí Mathematical Reviews đặt trụ sở Ann Arbor Một số hội thảo quốc tế quy hoạch toán học đã đ−ợc tổ chức thành phố này (111) 4.1 Sự phát triển lý thuyết đối đạo hàm 105 nh÷ng ý t−ëng vµ kÕt qu¶ chÝnh cña lý thuyÕt cña «ng, cïng víi çc øng dông quan träng quy ho¹ch to¸n häc vµ ®iÒu khiÓn tèi −u Trong kho¶ng nh÷ng n¨m 1993-1996 B S Mordukhovich c«ng bè mét lo¹t bài báo quan trọng 11 đó ông đ−a nhiều ý t−ởng và kỹ thuật mới, phát triển phiên vô hạn chiều sâu sắc và đẹp đẽ cho lý thuyết vi phân ông, đồng thời số tính chất ánh xạ đa trị (nh− tính giả-Lipschitz theo nghĩa Aubin, tính chính quy mêtric, tính mở địa ph−ơng) có thể đặc tr−ng đ−ợc cách sử dụng khái niệm đối đạo hàm qua giới hạn (đối đạo hàm theo nghĩa Mordukhovich) Trong giai ®o¹n 2005-2006 B S Mordukhovich tiÕp tôc c«ng bè a) nhiÒu bµi b¸o tr×nh bµy çc kÕt qu¶ nghiªn cøu míi12 , b) mét bé s¸ch hai tËp 13 víi tæng sè h¬n 1200 trang in, ë Nhµ xuÊt b¶n Springer.14 Mordukhovich x©y dùng lý thuyÕt vi ph©n v« h¹n chiÒu cña «ng theo l−îc đồ sau 15 : B−íc §Þnh nghÜa kh¸i niÖm d−íi vi ph©n 16 cña çc hµm sè nhËn gi¸ trÞ tËp sè thùc suy réng B−ớc Sử dụng d−ới vi phân để định nghĩa nón pháp tuyến (nói chung là kh«ng låi) cña çc tËp hîp B−ớc Sử dụng nón pháp tuyến (không lồi) để định nghĩa đối đạo hàm (coderivative) cña ¸nh x¹ ®a trÞ B−íc Ph¸t triÓn çc quy t¾c tÝnh to¸n (calculus rules) nh− c«ng thøc tÝnh đối đạo hàm tổng hai ánh xạ đa trị, công thức tính đối đạo hàm hàm hîp, c«ng thøc tÝnh nãn ph¸p tuyÕn cña giao cña mét hä tËp hîp (trong çc kh«ng gian Banach, hoÆc çc kh«ng gian Asplund) 11 Một số bài đ−ợc viết chung với Y Shao, nghiên cứu sinh Trung Quốc B S Mordukhovich thời gian đó 12 Trong số đó có ba bài (Mordukhovich và Nam (2005a,b; 2006)) viết chung với Nguyễn Mậu Nam - mét nghiªn cøu sinh ViÖt Nam cña «ng - vµ hai bµi viÕt chung víi Nam vµ chóng t«i (Mordukhovich, Nam vµ Yen (2006, 2007)) Ngoµi NguyÔn MËu Nam (§¹i häc S− ph¹m HuÕ), B S Mordukhovich cßn h−íng dÉn çc nghiªn cøu sinh ViÖt Nam kh¸c, nh− Tr−¬ng Quang B¶o (§¹i häc Khoa häc Tù nhiªn, §¹i häc Quèc gia Tp Hå ChÝ Minh), NguyÔn ThÞ YÕn Nhi (§¹i häc S− ph¹m HuÕ) 13 Xem B S Mordukhovich (2006a,b) 14 D−ới tựa đề “Lý thuyết sở”, tập I có ch−ơng sách: Phép tính vi phân suy rộng các không gian Banach, Nguyên lý cực trị giải tích biến phân, Phép tính toán đầy đủ các không gian Asplund, Các đặc tr−ng tính đặt chỉnh và phép phân tích độ nhậy Tập II đ−ợc công bố d−ới tựa đề “ứng dụng” với ch−ơng sách: Tối −u có ràng buộc và điểm c©n b»ng, §iÒu khiÓn tèi −u çc hÖ tiÕn ho¸ çc kh«ng gian Banach, §iÒu khiÓn tèi −u çc hÖ cã tham sè ph©n phèi [distributed systems], Çc øng dông kinh tÕ 15 B−ớc và B−ớc có thể đổi chỗ cho nhau; xem Mordukhovich (2006a; Ch−ơng 1) 16 D−íi vi ph©n FrÐchet (FrÐchet subdifferential), d−íi vi ph©n qua giíi h¹n (limiting subdifferential), d−íi vi ph©n proximal (proximal subdifferential) (112) 106 Đối đạo hàm ánh xạ đa trị B−ớc áp dụng các khái niệm và quy tắc tính toán nói trên để - chứng minh các định lý (nh− các định lý ánh xạ mở, định lý hàm ẩn, định lý hàm ng−ợc, các điều kiện cực trị, ) giải tích biến phân17 và lý thuyÕt tèi −u; - nghiên cứu đặc tr−ng các tính chất đáng quan tâm các ánh xạ và hµm sè xuÊt hiÖn çc lý thuyÕt to¸n häc 18 ; - ®−a çc thuËt to¸n gi¶i çc líp bµi to¸n kh¸c 19 Chúng ta l−u ý lý thuyết vi phân xây dựng theo l−ợc đồ trên tiếp tục đ−ợc phát triển và đ−a đến thành Cã thÓ nªu hai c©u hái: Mối quan hệ các kết thu đ−ợc lý thuyết vi phân Mordukhovich và kết đã thu đ−ợc các lý thuyết vi phân khác20 là nh− thÕ nµo? LiÖu cã thÓ x©y dùng ®−îc mét lý thuyÕt tÝch ph©n t−¬ng øng víi lý thuyÕt vi ph©n cña Mordukhovich hay kh«ng? Cïng víi mèi quan hÖ gi÷a çc ®iÒu kiÖn cùc trÞ thu ®−îc b»ng lý thuyÕt đối đạo hàm và các điều kiện cực trị thu đ−ợc lý thuyết vi phân Clarke đã đ−ợc Mordukhovich (2006a,b), các kết nghiên cứu trình bày çc môc 4.5 vµ 4.6 cho ta c©u tr¶ lêi kh¸ râ rµng cho c©u hái thø nhÊt §èi víi c©u hái thø hai, chóng t«i hy väng r»ng sau kho¶ng 5-7 n¨m n÷a ng−êi ta còng sÏ t×m c©u tr¶ lêi chÊp nhËn ®−îc Môc 4.7 giíi thiÖu mét vµi kÕt qu¶ b−íc ®Çu theo h−íng nµy 4.2 Các khái niệm lý thuyết đối đạo hàm Tại phải sử dụng đối đạo hàm? Chóng ta cÇn l−u ý nh÷ng ®iÒu sau: - Cách tiếp cận không gian đối ngẫu (dual-space approach) nhiều rÊt h÷u hiÖu; cã nh÷ng tr−êng hîp cßn h÷u hiÖu h¬n21 c¶ çch tiÕp cËn b»ng kh«ng gian nÒn (primal-space approach) 17 TNTA: variational analysis Các định lý tính ổn định và độ nhậy nghiệm các bài toán tối −u phụ thuộc tham số thuộc loại này Một số định lý nh− đ−ợc chứng minh các mục 4.5 và 4.6 ch−¬ng nµy 19 KÕt qu¶ theo h−íng nµy ch−a cã nhiÒu 20 VÝ dô nh− mèi quan hÖ gi÷a çc kÕt qu¶ cña Mordukhovich vµ Shao, cña Mordukhovich vµ Nam tính ổn định vi phân các bài toán tối −u với ràng buộc đa trị và các kết thuộc J Gauvin, F Dubeau, F H Clarke, R T Rockafellar, vµ çc t¸c gi¶ kh¸c 21 Bổ đề Farkas tính t−ơng thích hệ bất đẳng thức tuyến tính (xem Rockafellar (1970), tr 200) lµ mét vÝ dô 18 (113) 4.2 Các khái niệm lý thuyết đối đạo hàm 107 - Cả cách tiếp cận không gian đối ngẫu lẫn cách tiếp cận không gian hữu ích, áp dụng đ−ợc - Đối đạo hàm ánh xạ t−ơng ứng với toán tử liên hợp ánh x¹ tuyÕn tÝnh Ta h·y lµm râ thªm ®iÒu l−u ý thø ba Cho f : X → Y là ánh xạ đơn trị các không gian Banach Ký hiệu f (x̄) đạo hàm Fréchet f x̄ ∈ X (nếu nó tồn tại) Giả sử (f (x̄))∗ : Y ∗ → X ∗ lµ to¸n tö liªn hîp 22 cña to¸n tö tuyÕn tÝnh f (x̄) : X → Y Cho A : X → Y lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc víi to¸n tö liªn hîp A∗ : Y ∗ → X ∗ Víi mäi y∗ ∈ Y ∗ , A∗ y ∗ , x = y ∗ , Ax ∀x ∈ X V× vËy, A∗ y ∗ , x − y ∗ , Ax = ∀x ∈ X, hay (A∗ y ∗ , −y ∗ ), (x, Ax) = ∀x ∈ X Ký hiÖu A = f (x̄) vµ A∗ = (f (x̄))∗ , ta cã 23 (A∗ y ∗ , −y ∗ ) ∈ N̂gph f (x̄, f (x̄)); v× thÕ A∗ y ∗ = {x∗ : (x∗ , −y ∗ ) ∈ N̂gph f (x̄, f (x̄))} Công thức sau cùng gợi ý cho ta cách định nghĩa đối đạo hàm ánh x¹ ®a trÞ TiÕp theo, chóng ta sÏ xÐt çc kh¸i niÖm - d−íi vi ph©n, - nãn ph¸p tuyÕn, - đối đạo hàm vµ mét sè vÝ dô minh häa 22 Nó đ−ợc gọi là đối đạo hàm Fréchet f x̄ 23 ë ®©y gph f := {(x, f (x)) : x ∈ X} là đồ thị f và N̂gph f (x̄, f (x̄)) = {(x∗ , y ∗ ) : (x∗ , y ∗ ), (x, f (x̄)(x)) = ∀x ∈ X} là nón pháp tuyến Fréchet đồ thị đó (x̄, f (x̄)) (114) Đối đạo hàm ánh xạ đa trị 108 D−íi vi ph©n XÐt ¸nh x¹ ®a trÞ F : X ⇒ X∗ gi÷a kh«ng gian Banach X vµ kh«ng gian đối ngẫu X ∗ nó Ký hiệu w∗ Lim sup F (x) := x∗ ∈ X ∗ : ∃ xk → x̄, x∗k → x∗ , x→x̄ (2.1) x∗k ∈ F (xk ) ∀k = 1, 2, đ−ợc dùng để giới hạn trên theo dãy theo nghĩa Painlevé-Kuratowski24 t«p« chuÈn cña X vµ t«p« yÕu∗ (®−îc ký hiÖu b»ng ch÷ w∗ ) cña X ∗ ϕ Ω Các ký hiệu x → x̄ hàm ϕ: X → IR và x → x̄ tập Ω ⊂ X t−¬ng øng cã nghÜa lµ x → x̄ víi ϕ(x) → ϕ(x̄) vµ x → x̄ víi x ∈ Ω D−íi vi ph©n FrÐchet Cho X lµ kh«ng gian Banach, ϕ: X → IR lµ hµm nhËn gi¸ trÞ tËp sè thực suy rộng, hữu hạn x̄ Với ε 0, đặt (2.2) ϕ(x) − ϕ(x̄) − x∗ , x − x̄ −ε ∂ε ϕ(x̄) := x∗ ∈ X ∗ : lim inf x→x̄ x − x̄ Çc phÇn tö cña tËp hîp ë vÕ tr¸i c«ng thøc nµy ®−îc gäi lµ çc ε-d−íi gradient Fréchet ϕ x̄, còn thân tập hợp đó đ−ợc gọi là ε-d−ới vi phân Fréchet cña ϕ t¹i x̄ TËp hîp ∂ϕ(x̄) := ∂0 ϕ(x̄) ®−îc gäi lµ d−íi vi ph©n FrÐchet d−íi ⊂ ∂ε ϕ(x̄) hay nãi gän h¬n lµ d−íi vi ph©n FrÐchet 25 cña ϕ t¹i x̄ Râ rµng ∂ϕ(x̄) víi mäi ε TËp hîp ∂+ ϕ(x̄) = −∂(−ϕ)(x̄) (2.3) ®−îc gäi lµ d−íi vi ph©n FrÐchet trªn 26 cña ϕ t¹i x̄ Để có thể hiểu rõ thêm các định nghĩa ε-d−ới gradient Fréchet và ε-d−ới vi phân Fréchet nêu trên, ta nhắc lại phần tử x∗ ∈ X ∗ đ−ợc gọi là đạo hàm FrÐchet cña ϕ t¹i x̄ nÕu ϕ(x) − ϕ(x̄) − x∗ , x − x̄ = x→x̄ x − x̄ lim 24 Nếu X là không gian hữu hạn chiều, thì tập Lim supx→x̄ F (x) xác định (2.1) trùng với giới hạn trên theo Painlevé-Kuratowski họ tập {F (x)}x∈X (khi x → x̄) xác định công thøc (2.14) Ch−¬ng 25 TNTA: (lower) Fréchet subdifferential 26 TNTA: upper Fréchet subdifferential (115) 4.2 Các khái niệm lý thuyết đối đạo hàm 109 Thay dÊu lim b»ng dÊu lim inf, thay dÊu b»ng bëi dÊu vµ thay sè bëi sè âm −ε, ta có điều kiện yếu đặt lên phần tử x∗ nh− sau: lim inf x→x̄ ϕ(x) − ϕ(x̄) − x∗ , x − x̄ −ε x − x̄ Đó chính là điều kiện để kiểm tra xem phần tử x∗ ∈ X ∗ có phải là ε-d−ới gradient Fréchet ϕ x̄ hay không Việc thay tiêu chuẩn định nghĩa đạo hàm Fréchet tiêu chuẩn hoàn toàn t−ơng tự, cùng cấu trúc vµ ë d¹ng yÕu h¬n (nh−ng còng rÊt tù nhiªn!), cho phÐp x©y dùng phÐp tÝnh vi ph©n 27 cho çc hµm sè bÊt kú Dễ thấy x∗ là đạo hàm Fréchet ϕ x̄ thì ⊂ ∂ε ϕ(x̄) ∀ε {x∗ } = ∂ϕ(x̄) D−íi vi ph©n proximal VÐct¬ x∗ ∈ X ∗ ®−îc gäi lµ d−íi gradient proximal (hay d−íi gradient gÇn kÒ) cña ϕ t¹i x̄ nÕu tån t¹i ε cho (2.4) lim inf x→x̄ ϕ(x) − ϕ(x̄) − x∗ , x − x̄ −ε; x − x̄2 tøc lµ tån t¹i ε vµ δ > cho ϕ(x) − ϕ(x̄) x∗ , x − x̄ − εx − x̄2 ∀x ∈ B(x̄, δ) TËp hîp ∂ P ϕ(x̄) gåm tÊt c¶ çc d−íi gradient gÇn kÒ cña ϕ t¹i x̄ ®−îc gäi lµ d−íi vi ph©n proximal (hay d−íi vi ph©n gÇn kÒ 28 ) cña ϕ t¹i x̄ So với công thức định nghĩa đạo hàm Fréchet hàm số thực vừa đ−ợc nhắc lại trên, điều kiện đặt lên phần tử x∗ ∈ ∂ P ϕ(x̄) (2.4) vừa mạnh (cấp độ xấp xỉ o(x − x̄) đ−ợc thay o(x − x̄2 )), vừa yếu (lim ®−îc thay b»ng lim inf, dÊu b»ng ®−îc thay bëi dÊu vµ sè ®−îc thay bëi sè −ε) §¹o hµm FrÐchet cña hµm sè t¹i mét ®iÓm & ch−a đã là d−ới gradient gÇn kÒ ThËt vËy, víi X = R, ϕ(x) = x |x|, x̄ = 0, ta cã ϕ (x̄) = vµ ∂ P ϕ(x̄) = ∅ D−íi vi ph©n qua giíi h¹n TËp hîp (2.5) ∂ϕ(x̄) := Lim sup ∂ε ϕ(x) ϕ x→x̄ ε↓0 27 28 Nói chính xác hơn, đó là phép tính vi phân suy rộng (generalized differentiation) TNTA: (lower) proximal subdifferential (116) Đối đạo hàm ánh xạ đa trị 110 ®−îc gäi lµ d−íi vi ph©n qua giíi h¹n 29 (hay d−íi vi ph©n Mordukhovich) ϕ Nh− vËy, x∗ ∈ ∂ϕ(x̄) vµ chØ tån t¹i çc d·y xk → x̄, εk → 0+ , vµ ε ϕ(xk ), cho x∗k ∈ ∂ϕ k w∗ x∗k −→ x∗ Từ đó ta thấy d−ới vi phân Mordukhovich ∂ϕ(x̄) đ−ợc tính qua các d−ới ε (x) với ε > đ−ợc lấy đủ bé và x đ−ợc lấy đủ gần x̄ vi ph©n FrÐchet ∂ϕ HiÓn nhiªn ta cã ∂ϕ(x̄) ⊂ ∂ϕ(x̄) NhËn xÐt 4.2.1 (xem Mordukhovich (2006a)) NÕu X lµ kh«ng gian Asplund (theo nghĩa là hàm lồi, liên tục ϕ : U → IR xác định trên tập lồi, mở U ⊂ X lµ kh¶ vi FrÐchet trªn mét tËp trï mËt cña U hay, mét çch t−¬ng đ−ơng, các không gian đóng, khả li X có không gian đối ngẫu khả li)30 vµ nÕu ϕ lµ nöa liªn tôc d−íi l©n cËn cña x̄, th× c«ng thøc (2.5) ta cã thÓ cho ε = 0; tøc lµ ∂ϕ(x̄) = Lim sup ∂ϕ(x) ϕ x→x̄ Ngoài ra, ta có ∂ϕ(x̄) = ∅ với hàm Lipschitz địa ph−ơng trên không gian Asplund Chứng minh chi tiết hai mệnh đề sau có Mordukhovich (2006a) Mệnh đề 4.2.1 Nếu ϕ là khả vi chặt 31 x̄ thì tập ∂ϕ(x̄) chứa phần tử, đó là đạo hàm chặt ϕ x̄ Mệnh đề 4.2.2 Nếu ϕ là hàm lồi, thì tập ∂ϕ(x̄) trùng với d−ới vi phân theo nghÜa gi¶i tÝch låi cña ϕ t¹i x̄, tøc lµ ∂ϕ(x̄) = {x∗ ∈ X ∗ : x∗ , x − x̄ ϕ(x) − ϕ(x̄) ∀x ∈ X} 29 TNTA: limiting subdifferential Mọi không gian Banach phản xạ là không gian Asplund Mọi không gian Banach có hàm chuẩn khả vi Fréchet điểm khác 0, là không gian Asplund Nói riêng ra, không gian Euclide hữu hạn chiều và không gian Hilbert là không gian Asplund (Xem Phelps (1993)) 31 Theo §Þnh nghÜa 1.13 Mordukhovich (2006a), hµm f : X → Y gi÷a çc kh«ng gian Banach ®−îc gäi lµ kh¶ vi chÆt t¹i x̄ ∈ X nÕu f kh¶ vi FrÐchet t¹i x̄ vµ 30 f (x) − f (u) − f (x̄)(x − u) = x→x̄, u→x̄ x − u lim Kh¸i niÖm nµy suy kh¸i niÖm nãi §Þnh nghÜa 3.4.3 Ch−¬ng B»ng lËp luËn trùc tiÕp, ta cã thÓ chøng minh r»ng nÕu X lµ kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu, th× hai kh¸i niÖm võa ®−îc nãi tíi lµ t−¬ng ®−¬ng Mét hµm lµ kh¶ vi FrÐchet liªn tôc mét l©n cËn cña mét ®iÓm, th× nó khả vi chặt điểm đó (117) 4.2 Các khái niệm lý thuyết đối đạo hàm 111 = ∂ϕ(x̄) Hä çc hµm chÝnh Ta nãi ϕ lµ chÝnh quy d−íi 32 t¹i x̄ nÕu ∂ϕ(x̄) quy d−ới là đủ rộng Ngoài các hàm khả vi chặt và hàm lồi, nó còn bao gồm nhiÒu líp hµm quan träng kh¸c gi¶i tÝch biÕn ph©n vµ lý thuyÕt tèi −u33 TËp hîp (2.6) ∂ ∞ ϕ(x̄) := Lim sup λ∂ε ϕ(x) ϕ x→x̄ ε,λ↓0 đ−ợc gọi là d−ới vi phân qua giới hạn suy biến hay đơn giản là d−ới vi phân suy biÕn 34 cña ϕ t¹i x̄ TËp ∂∞ ϕ(x̄) chøa th«ng tin kh«ng tÇm th−êng vÒ hµm ϕ ϕ không phải là hàm số Lipschitz địa ph−ơng x̄, vì ϕ là Lipschitz địa ph−ơng x̄ thì ∂∞ ϕ(x̄) ⊂ {0} (xem Bài tập 4.2.2 d−ới đây) Nh− ϕ vËy, x∗ ∈ ∂ ∞ ϕ(x̄) vµ chØ tån t¹i çc d·y xk → x̄, εk → 0+ , λk → 0+ , vµ x∗k ∈ λk ∂εk ϕ(xk ), cho w∗ x∗k −→ x∗ Bµi tËp 4.2.1 Chøng minh r»ng ∂ ∞ ϕ(x̄) lµ mét h×nh nãn X ∗ Bài tập 4.2.2 Sử dụng công thức (2.6) để chứng minh ϕ là Lipschitz địa ph−ơng x̄, thì ∂ ∞ ϕ(x̄) ⊂ {0} (Gợi ý: Để ý ϕ là Lipschitz địa ph−ơng x̄ thì tồn lân cận U x̄ cho họ tập ∗ hîp {∂ϕ(x)} x∈U là giới nội đều; tức là tồn K > cho x K ∗ víi mäi x ∈ U vµ víi mäi x ∈ ∂ϕ(x).) Nãn ph¸p tuyÕn Cho tập hợp Ω ⊂ X, đó X là không gian Banach Xét hàm 35 δΩ (ã) / Ω Ω Theo định nghĩa, δΩ (x) = x ∈ Ω và δΩ (x) = +∞ x ∈ Nãn ph¸p tuyÕn FrÐchet vµ nãn ph¸p tuyÕn qua giíi h¹n (cßn ®−îc gäi lµ nãn pháp tuyến Mordukhovich) Ω x̄ ∈ Ω đ−ợc định nghĩa t−ơng ứng các c«ng thøc (2.7) Ω (x̄) := ∂δ(x̄; Ω) N vµ (2.8) 32 NΩ (x̄) := ∂δ(x̄; Ω) TNTA: lower regular Xem Mordukhovich (2006a,b), Rockafellar vµ Wets (1998) 34 TNTA: singular (limiting) subdifferential 35 TNTA: indicator function 33 (118) Đối đạo hàm ánh xạ đa trị 112 Ω (x̄) = ∅ vµ NΩ (x̄) = ∅ thông qua d−ới vi phân t−ơng ứng hàm Ta đặt N nÕu x̄ ∈ / Ω Ω (x̄) vµ chØ Do (2.7) vµ c«ng thøc cña hµm chØ, ta cã x∗ ∈ N lim inf Ω x→x̄ −x∗ , x − x̄ 0, x − x̄ hay lim sup Ω x→x̄ x∗ , x − x̄ x − x̄ §iÒu kiÖn cuèi lµ kh¸ thuËn tiÖn cho viÖc tÝnh to¸n nãn ph¸p tuyÕn FrÐchet Đặt N ε (x̄) = ∂ε δ(x̄; Ω) và gọi đó là tập các véctơ ε-pháp tuyến Fréchet Ω Ω x̄ ∈ Ω Từ các định nghĩa suy x∗ ∈ NΩε (x̄) và x∗ , x − x̄ ε x − x̄ lim sup Ω x→x̄ Do (2.8) vµ (2.5), nãn ph¸p tuyÕn Mordukhovich NΩ (x̄) cña Ω t¹i x̄ ∈ Ω ®−îc ε (x) với x ∈ Ω đ−ợc lấy đủ xác định qua các tập véctơ ε-pháp tuyến Fréchet N Ω gần x̄ và ε đ−ợc lấy đủ bé Kết hợp (2.7) với (2.8), ta thấy x∗ ∈ NΩ (x̄) w∗ Ω vµ chØ tån t¹i çc d·y xk → x̄, εk → 0+ vµ x∗k → x∗ cho lim sup Ω x→xk x∗ , x − xk εk x − xk NhËn xÐt 4.2.2 Do NhËn xÐt 4.2.1, nÕu X lµ kh«ng gian Asplund vµ nÕu Ω lµ tập đóng địa ph−ơng lân cận điểm x̄ (tức là tồn hình cầu đóng tâm x̄ với bán kính d−ơng có giao với Ω là tập đóng X), thì Ω (x) NΩ (x̄) = Lim sup N Ω x→x̄ Ω Điều đó có nghĩa là x∗ ∈ NΩ (x̄) và tồn các dãy xk → x̄, w∗ x∗k → x∗ cho lim sup Ω x→xk x∗ , x − xk x − xk Ω (x̄) là hình nón đóng yếu ∗ X ∗ Bµi tËp 4.2.3 Chøng minh r»ng N Bµi tËp 4.2.4 Chøng minh r»ng N Ω (x̄) lµ h×nh nãn 36 X ∗ 36 Trong Mordukhovich (2006a; tr 11) cã tr×nh bµy vÝ dô chøng tá r»ng nÕu X lµ kh«ng gian v« h¹n chiÒu (vÝ dô nh− X lµ kh«ng gian Hilbert v« h¹n chiÒu) th× h×nh nãn NΩ (x̄) cã thÓ kh«ng đóng tôpô w∗ (119) 4.2 Các khái niệm lý thuyết đối đạo hàm 113 Ω (x̄), Bµi tËp 4.2.5 TÝnh çc tËp N Ωε (x) (ε > 0) vµ çc nãn ph¸p tuyÕn N NΩ (x̄) çc tr−êng hîp sau: a) X = IR2 , Ω = {x = (x1 , x2 ) : x2 = 0}, x̄ = (0, 1); b) X = IR2 , Ω = {x = (x1 , x2 ) : x2 0}, x̄ = (0, 1) Đối đạo hàm XÐt ¸nh x¹ ®a trÞ F : X ⇒ Y gi÷a çc kh«ng gian Banach Nh− ë çc ch−¬ng tr−ớc, ta đặt dom F := {x ∈ X : F (x) = ∅} vµ gph F := {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x)} Đối đạo hàm Fréchet 37 F (x̄, ȳ) ∈ gph F và đối đạo hàm qua giới hạn 38 (hay đối đạo hàm Mordukhovich) F (x̄, ȳ) t−ơng ứng đ−ợc cho các c«ng thøc ∗ F (x̄, ȳ)(y ∗ ) := x∗ ∈ X ∗ : (x∗ , −y ∗ ) ∈ N (x̄, ȳ) , (2.9) D gph F (2.10) D ∗ F (x̄, ȳ)(y ∗ ) := x∗ ∈ X ∗ : (x∗ , −y ∗ ) ∈ Ngph F (x̄, ȳ) ∗ f (x̄, f (x̄)) ∗ f (x̄) thay cho D Nếu F (x) = {f (x)} là ánh xạ đơn trị, thì ta viết D ∗ ∗ vµ D f (x̄) thay cho D f (x̄, f (x̄)) NÕu f t−¬ng øng lµ kh¶ vi FrÐchet vµ kh¶ vi chặt 39 x̄, thì các đối đạo hàm (2.9) và (2.10) đ−ợc tính nh− sau: ∗ f (x̄)(y ∗ ) = (f (x̄))∗ (y ∗ ) ∀y ∗ ∈ Y ∗ D vµ D∗ f (x̄)(y ∗ ) = (f (x̄))∗ (y ∗ ) ∀y ∗ ∈ Y ∗ ∗ f (x̄)(y ∗ ) vµ D ∗ f (x̄)(y ∗ ) lµ çc tËp cã mét phÇn Lóc nµy, víi mäi y∗ ∈ Y ∗ , D tö NÕu f lµ kh¶ vi chÆt t¹i x̄, th× ∗ f (x̄)(y ∗ ) = (f (x̄))∗ (y ∗ ) ∀y ∗ ∈ Y ∗ D ∗ f (x̄)(y ∗ ) = D (ánh xạ đối đạo hàm Mordukhovich trùng với ánh xạ đối đạo hàm Fréchet.) Ta đã thấy các đối đạo hàm (2.9) và (2.10) là mở rộng tự nhiên toán tử đạo hàm liên hợp ánh xạ đơn trị khả vi 37 TNTA: FrÐchet coderivative TNTA: limiting coderivative 39 Xem khái niệm khả vi chặt chú thích Mệnh đề 4.2.1 38 (120) Đối đạo hàm ánh xạ đa trị 114 ¸nh x¹ F : X ⇒ Y ®−îc gäi lµ chÝnh quy ph¸p tuyÕn 40 t¹i (x̄, ȳ) nÕu ∗ F (x̄, ȳ)(y ∗ ) = D∗ F (x̄, ȳ)(y ∗ ) ∀y ∗ ∈ Y ∗ D Ngoài các hàm khả vi chặt, tính chất này còn nghiệm đúng với các ánh xạ đa trị có đồ thị lồi Tuy nhiên, tính chính quy pháp tuyến có thể không nghiệm đúng nhiều tr−ờng hợp quan trọng Quan hệ đối đạo hàm ánh xạ đơn trị Lipschitz địa ph−ơng f : X → Y vµ d−íi vi ph©n FrÐchet cña hµm v« h−íng ho¸ (y ∗ ◦ f )(x) := y ∗ , f (x) (y ∗ ∈ Y ∗ ) cña nã ®−îc m« t¶ bëi c«ng thøc 41 sau: ∗ ◦ f )(x̄) ∀y ∗ ∈ Y ∗ ∗ f (x̄)(y ∗ ) = ∂(y D (2.11) Chøng minh cña c«ng thøc nµy cã Mordukhovich (2006a) Çc vÝ dô Chóng ta xÐt mét sè vÝ dô minh häa cho nh÷ng kh¸i niÖm trõu t−îng võa ®−îc tr×nh bµy ë trªn VÝ dô 4.2.1 42 NÕu Ω = {x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : x2 0, x1 0} vµ x̄ = (0, 0), th× Ω (x̄) NΩ (x̄) = N = {x = (x1 , x2 ) : x1 0, x2 0} VÝ dô 4.2.2 43 NÕu Ω = {x = (x1 , 0) ∈ R2 : x1 0} ∪{x = (0, x2 ) ∈ R2 : x2 0} vµ x̄ = (0, 0), th× Ω (x̄) = {x = (x1 , x2 ) : x1 0, x2 0} N vµ NΩ (x̄) Ω (x̄) ∪ [0, +∞) × {0} ∪ {0} × [0, +∞) =N 40 TNTA: normally regular §−îc gäi lµ c«ng thøc v« h−íng ho¸ 42 V× tËp Ω nµy lµ låi, nãn ph¸p tuyÕn qua giíi h¹n trïng víi nãn ph¸p tuyÕn theo nghÜa gi¶i tÝch låi 43 Tập Ω này là không lồi Cấu trúc hình nón pháp tuyến qua giới hạn phản ánh đầy đủ cấu trúc địa ph−ơng Ω x̄ 41 (121) 4.2 Các khái niệm lý thuyết đối đạo hàm 115 VÝ dô 4.2.3 44 NÕu Ω = {x = (x1 , 0) ∈ R2 : x1 1} ∪{x = (0, & x2 ) ∈ R2 : x1 1, x2 = x1 − x21 } vµ x̄ = (0, 0), th× Ω (x̄) = {x = (x1 , x2 ) : x1 0, x2 0} N vµ NΩ (x̄) Ω (x̄) ∪ [0, +∞) × {0} ∪ {0} × [0, +∞) =N H×nh 16 VÝ dô 4.2.4 45 NÕu f (x) = |x| víi mäi x ∈ R vµ x̄ = 0, th× (x̄) = ∂f (x̄) = [−1, 1] ∂ P f (x̄) = ∂f VÝ dô 4.2.5 46 NÕu f (x) = −|x| víi mäi x ∈ IR vµ x̄ = 0, th× (x̄) = ∅, ∂ P f (x̄) = ∂f ∂f (x̄) = {−1, 1} Cấu trúc địa ph−ơng tập Ω này (0, 0) t−ơng tự nh− cấu trúc tập hợp xét Ví dụ 4.2.2 l©n cËn cña ®iÓm (0, 0) 45 V× hµm sè f nµy lµ låi, nªn d−íi vi ph©n qua giíi h¹n trïng víi d−íi vi ph©n theo nghÜa gi¶i tÝch låi 46 Hµm f nµy kh«ng låi vµ d−íi vi ph©n qua giíi h¹n còng lµ tËp kh«ng låi D−íi vi ph©n Clarke cña f t¹i x̄ lµ ®o¹n [−1, 1], mét tËp hîp låi comp¾c 44 (122) Đối đạo hàm ánh xạ đa trị 116 VÝ dô 4.2.6 47 §Æt f (x) = |x1 | − |x2 | víi mäi x = (x1 , x2 ) ∈ R2 vµ lÊy x̄ = (0, 0) Hµm sè f kh«ng låi, còng kh«ng lâm Ta cã Ngphf ((x̄, 0)) = Lim sup N gphf (z) z→(x̄,0) = cone{(1, −1, −1), (1, 1, −1), (−1, 1, −1), (−1, −1, −1)} ∪{(−µ, µ − λ, µ) : 2µ λ 0} ∪{(µ, λ − µ, µ) : 2µ λ 0} ∪{(−λ − µ, µ, µ) : −2µ λ 0} ∪{(−λ − µ, −µ, µ) : −2µ λ ≥ 0} Suy f (x̄)(y ∗ ) D ∗⎧ {(y ∗ , −y ∗ ), (y ∗ , y ∗ ), (−y ∗ , y ∗ ), (−y ∗ , −y ∗ )} ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∪{(−λ∗ + y ∗ , −y ∗ ) : 2y ∗ λ∗ 0} ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∪{(−λ∗ + y ∗ , y ∗ ) : 2y ∗ λ∗ 0} ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ nÕu y∗ > 0, ⎨ ∗ ∗ ∗ = {(y , −y ), (y , y ∗ ), (−y ∗ , y ∗ ), (−y ∗ , −y ∗ )} ⎪ ⎪ ⎪ ∪{(y ∗ , −y ∗ − λ∗ ) : −2y ∗ λ∗ 0} ⎪ ⎪ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ⎪ ⎪ ⎪ ∪{(−y , y + λ ) : −2y λ 0} ⎪ ⎪ ∗ ⎪ nÕu y < 0, ⎪ ⎩ {(0, 0)} nÕu y∗ = V× thÕ, víi mçi y∗ , D ∗ f (0)(y ∗ ) lµ tËp comp¾c kh¸c rçng L−u ý thªm r»ng, víi hÇu hÕt çc y∗ ∈ IR, D ∗ f (0)(y ∗ ) lµ tËp kh«ng låi Bài tập 4.2.6 Sử dụng các định nghĩa và công thức mục này để kiểm tra các khẳng định nói các ví dụ 4.2.1-4.2.5 4.3 Vấn đề đánh giá d−ới vi phân hàm giá trị tối −u Çc hµm gi¸ trÞ tèi −u ®−îc hiÓu lµ çc hµm sè nhËn gi¸ trÞ tËp sè thùc suy réng cã d¹ng sau: (3.1) µ(x) := inf {ϕ(x, y) : y ∈ G(x)}, đó ϕ: X ì Y → IR là hàm giá 48 hay hàm mục tiêu 49 nhận giá trị tập số thùc suy réng IR, G: X ⇒ Y lµ ¸nh x¹ ®a trÞ m« t¶ rµng buéc 50 gi÷a çc kh«ng 47 Các tính toán chi tiết liên quan đến ví dụ này đ−ợc trình bày Mục 5.8 Ch−ơng TNTA: cost function 49 TNTA: objective function 50 TNTA: constraint set-valued mapping 48 (123) 4.3 Vấn đề đánh giá d−ới vi phân hàm giá trị tối −u 117 gian Banach ThuËt ng÷ gi¸/rµng buéc cã nguån gèc tõ tèi −u cã rµng buéc, ë đó hàm số (3.1) th−ờng đ−ợc gọi là hàm giá trị tối −u 51 (hay hàm marginal) cña bµi to¸n tèi −u cã tham sè (3.2) T×m cùc tiÓu ϕ(x, y) víi rµng buéc y ∈ G(x) với ánh xạ nghiệm M (ã) xác định công thức (3.3) M (x) := {y ∈ G(x) : µ(x) = ϕ(x, y)} Các hàm số dạng (3.1) đóng vai trò quan trọng giải tích biến phân, tối −u cã rµng buéc, lý thuyÕt ®iÒu khiÓn, vµ nhiÒu øng dông kh¸c cña çc lý thuyết đó Song song với việc đ−a điều kiện đủ để hàm giá trị tối −u là liên tục Lipschitz địa ph−ơng tham số cho tr−ớc (xem, ví dụ nh−, Môc 5.5 Ch−¬ng 5), kho¶ng thêi gian 30 n¨m trë l¹i ®©y, ng−êi ta đã quan tâm nghiên cứu các tính chất khả vi và khả vi theo h−ớng hàm gi¸ trÞ tèi −u Çc kÕt qu¶ theo h−íng nµy th−êng ®−îc gäi lµ çc kÕt qu¶ vÒ tính ổn định vi phân các bài toán tối −u Các bài báo Gauvin và Tolle (1977), Gauvin (1979), Auslender (1979) thuéc sè nh÷ng nghiªn cøu ®Çu tiªn vÒ çc tÝnh chÊt vi ph©n hµm gi¸ trÞ tèi −u çc bµi to¸n quy ho¹ch phi tuyÕn cho bëi çc hµm tr¬n, kh«ng låi Th«ng tin thªm vÒ lý thuyÕt vµ øng dông cña çc hµm gi¸ trÞ tèi −u cã thÓ xem Auslender vµ Teboulle (2003), Bonnans vµ Shapiro (2000), Borwein vµ Zhu (2005), Clarke (1983), Dien vµ Yen (1991), Gauvin vµ Dubeau (1982, 1984), Gollan (1984), Ha (2005), Lucet vµ Ye (2001, 2002), Mordukhovich (1992, 2006a, 2006b), Mordukhovich vµ Nam (2005a), Mordukhovich vµ Shao (1996a), Rockafellar (1982, 1985), Rockafellar và Wets (1998), Thibault (1991), và các tài liệu đ−ợc trích dẫn đó Tất nhiên chúng ta có thể đặt vấn đề tính dạo hàm và đối đạo hàm ánh xạ nghiệm M (ã) Đây là vấn đề khó, đ−ợc nhiều ng−ời quan tâm nghiªn cøu Một tính chất đặc tr−ng các hàm giá trị tối −u dạng (3.1) lµ chóng lµ nh÷ng hµm kh«ng tr¬n vÒ b¶n chÊt, cho dï çc hµm gi¸ lµ tr¬n vµ tập ràng buộc là tập nghiệm hệ bất đẳng thức và đẳng thức mô tả các hµm tr¬n V× vËy, ta cÇn nghiªn cøu çc tÝnh chÊt vi ph©n theo nghÜa suy réng hàm giá trị tối −u để có đ−ợc các thông tin cốt yếu độ nhạy và tính ổn định các bài toán tối −u và điều khiển có nhiễu, điều kiện cực trị, tính điều khiển đ−ợc địa ph−ơng, v.v Một b−ớc để thu đ−ợc các thông tin nh− là tiến hành đánh giá các đạo hàm suy rộng hàm giá trị tối −u à cho bëi c«ng thøc (3.1) t¹i mét tham sè x̄ cho tr−íc th«ng qua çc cÊu tróc vi ph©n suy réng cña ϕ vµ G 51 TNTA: optimal value function (124) Đối đạo hàm ánh xạ đa trị 118 Đạo hàm suy rộng có thể có hai loại chính: đạo hàm theo h−ớng/các xấp xỉ tiÕp tuyÕn kh«ng gian nÒn vµ d−íi vi ph©n (tËp hîp çc d−íi gradient)/çc xấp xỉ pháp tuyến không gian đối ngẫu Trong số tr−ờng hợp (bao gåm çc tr−êng hîp bµi to¸n víi d÷ liÖu tr¬n vµ bµi to¸n víi d÷ liÖu låi) ph−¬ng ph¸p tiÕp cËn b»ng kh«ng gian nÒn vµ ph−¬ng ph¸p tiÕp cËn b»ng kh«ng gian đối ngẫu là t−ơng đ−ơng Nh−ng có nhiều tình đó các cấu trúc không gian đối ngẫu không thể thu đ−ợc từ xấp xỉ nào không gian các quan hệ đối ngẫu, các cấu trúc đối ngẫu đó cho nh÷ng th«ng tin cã gi¸ trÞ vÒ d¸ng ®iÖu cña hµm gi¸ trÞ tèi −u vµ çc øng dông quan trọng nó, đặc biệt là việc phân tích độ nhạy và việc thiết lËp çc ®iÒu kiÖn tèi −u Trong các mục 4.5 và 4.6 chúng ta đ−a các quy tắc để tính toán đánh giá d−ới vi phân Fréchet và d−ới vi phân Mordukhovich hàm à(ã) (3.1) thông qua d−ới vi phân t−ơng ứng hàm giá ϕ và đối đạo hàm ánh x¹ m« t¶ rµng buéc G Çc quy t¾c nµy ®−îc thiÕt lËp cho tr−êng hîp kh«ng gian v« h¹n chiÒu, hÇu hÕt çc quy t¾c thu ®−îc nhê çch tiÕp cËn b»ng kh«ng gian nÒn cÇn tíi gi¶ thiÕt çc kh«ng gian X vµ Y ®−îc xÐt lµ h÷u h¹n chiÒu Chóng ta còng sÏ minh häa çc kÕt qu¶ thu ®−îc b»ng mét sè vÝ dô cô thÓ 4.4 TÝnh comp¾c ph¸p tuyÕn theo d·y Mét nh÷ng ®iÓm kh¸c biÖt c¬ b¶n gi÷a gi¶i tÝch biÕn ph©n h÷u h¹n chiÒu và giải tích biến phân vô hạn chiều là cần thiết phải đặt các yêu cầu tÝnh comp¾c ph¸p tuyÕn (normal compactness) ta xÐt çc ¸nh x¹ vµ tËp hîp không gian vô hạn chiều Nếu yêu cầu đó đ−ợc thỏa mãn thì lÊy giíi h¹n d·y theo t«p« yÕu∗ ta míi cã ®−îc çc kÕt luËn kh«ng tÇm th−êng Mục này cung cấp và khái niệm liên quan đến tính compắc pháp tuyến theo d·y cña çc tËp hîp kh«ng gian Banach v« h¹n hiÒu Nh÷ng kh¸i niÖm nµy lµ cÇn thiÕt cho viÖc tr×nh bµy çc kÕt qu¶ vµ chøng minh Môc 4.6 Để hiểu sâu thêm, bạn đọc có thể tham khảo sách B S Mordukhovich (2006a,b) Nếu không nói gì thêm, thì tất các không gian đ−ợc xét đề là các kh«ng gian Banach Các tính chất compắc pháp tuyến đ−ợc đ−a sau đây tự động thỏa mãn không gian hữu hạn chiều Ngoài ra, chúng nghiệm đúng với các tập hợp và ánh xạ ‘tốt’, và đ−ợc bảo tồn d−ới các phép biến đổi khá đa dạng §Þnh nghÜa 4.4.1 TËp hîp Ω kh«ng gian Banach X ®−îc gäi lµ comp¾c Ω ph¸p tuyÕn theo d·y 52 (SNC) t¹i x̄ nÕu víi mäi d·y εk ↓ 0, xk → x̄, vµ 52 TNTA: sequentially normally compact (SNC) (125) 4.4 TÝnh comp¾c ph¸p tuyÕn theo d·y 119 ε (xk ; Ω) ta cã x∗k ∈ N k % $ % $ w∗ x∗k → =⇒ x∗k → k → ∞ NhËn xÐt 4.4.1 (xem Mordukhovich (2006a)) NÕu X lµ kh«ng gian Asplund và Ω là tập đóng địa ph−ơng lân cận điểm x̄, thì định nghĩa trên ta có thể bỏ ký hiệu εk (mà không thay đổi tính chất đ−ợc xét) Trong Định nghĩa 4.4.1 có đòi hỏi, dãy véctơ nào đó nÕu d·y héi tô vÒ theo t«p« yÕu∗ th× d·y çc chuÈn t−¬ng øng ph¶i héi tô vÒ (tøc lµ tõ sù héi tô cña d·y vÒ theo t«p« yÕu∗ suy sù héi tô cña nã theo chuẩn X∗ ) Để có thể hiểu rõ ý nghĩa đòi hỏi đó, ta xét vÝ dô sau X ∗, lµ kh«ng gian Hilbert cña çc d·y sè thùc x = VÝ dô 4.4.1 LÊy X = 2 (x1 , x2 , ) tháa ®iÒu kiÖn ∞ i=1 xi < +∞ víi chuÈn vµ tÝch v« h−íng ®−îc cho bëi ∞ 1/2 ∞ x2i , x, y = xi yi x = i=1 i=1 X∗ víi X vµ t«p« w∗ cña X ∗ víi Nhờ Định lý Riesz, ta có thể đồng (k) tôpô yếu (ký hiệu là w) X Lấy x = (0, , 0, 1, 0, ), đó số w đứng vị trí thứ k Ta có x(k) → 0, vì với v = (v1 , v2 , ) ∈ X tính chất lim x(k) , v = hiển nhiên nghiệm đúng Tuy thế, x(k) = k→∞ k → ∞ §Þnh nghÜa 4.4.2 ¸nh x¹ ®a trÞ F : X ⇒ Y ®−îc gäi lµ comp¾c ph¸p tuyÕn theo dãy (x̄, ȳ) ∈ gph F đồ thị nó có tính chất đó Đối với tr−ờng hợp các ánh xạ, ta có thể định nghĩa tính chất yếu tÝnh comp¾c ph¸p tuyÕn theo d·y §Þnh nghÜa 4.4.3 Ta nãi ¸nh x¹ ®a trÞ F : X ⇒ Y lµ comp¾c ph¸p tuyÕn riªng rÏ theo d·y 53 (PSNC) t¹i (x̄, ȳ) nÕu víi mäi d·y εk ↓ 0, (xk , yk ) → (x̄, ȳ) mµ ε ((xk , yk ); gph F ) ta cã (xk , yk ) ∈ gph F , vµ (x∗k , yk∗ ) ∈ N k w∗ [x∗k → 0, yk∗ → 0] =⇒ [x∗k → 0] k → ∞ NhËn xÐt 4.4.2 (xem Mordukhovich (2006a)) NÕu X vµ Y lµ çc kh«ng gian Asplund và F là ánh xạ đa trị có đồ thị đóng, thì định nghĩa trên ta có thÓ bá ký hiÖu εk (nãi çch kh¸c, ta cã thÓ lÊy εk = 0) NhËn xÐt 4.4.3 (xem Mordukhovich (2006a)) TÝnh chÊt comp¾c ph¸p tuyÕn riêng rẽ theo dãy luôn nghiệm đúng F là giả-Lipschitz (liên tục Aubin) 53 TNTA: partial sequentially normally compact (PSNC) (126) Đối đạo hàm ánh xạ đa trị 120 (x̄, ȳ), tøc lµ tån t¹i çc l©n cËn U cña x̄ vµ V cña ȳ cïng víi h»ng sè cho F (u) ∩ V ⊂ F (v) + u − vB̄Y víi mäi u, v ∈ U §Þnh nghÜa 4.4.4 Hµm sè ϕ : X → IR ®−îc gäi lµ epi-comp¾c ph¸p tuyÕn theo dãy 54 (SNEC) x̄ tập trên đồ thị (epigraph) epi ϕ := {(x, α) ∈ X × IR : ϕ(x) α} cña nã lµ SNC t¹i (x̄, ϕ(x̄)) Nếu ϕ là Lipschitz địa ph−ơng x̄, thì nó là SNEC x̄ Trong Mục 4.6 chúng ta cần đến các khái niệm đ−a các định nghÜa 4.4.1–4.4.4 Do khu«n khæ cã h¹n cña gi¸o tr×nh nµy, ta sÏ kh«ng ®i s©u phân tích các khái niệm đó Bạn đọc có quan tâm có thể đọc thêm chuyên kh¶o Mordukhovich (2006a) 4.5 D−íi vi ph©n FrÐchet cña hµm gi¸ trÞ tèi −u Mục này đ−ợc dành để trình bày các công thức tính toán d−ới vi phân Fréchet hàm giá trị tối −u tổng quát (ở đó ta không giả thiết ánh xạ đa trị G tham gia công thức (3.1) có cấu trúc đặc thù nào) áp dụng các công thức thu đ−ợc cho tr−ờng hợp G(x) là tập nghiệm hệ đẳng thức và bất đẳng thức phụ thuộc tham số 55 G(x) là tập nghiệm bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số 56 , ta có các đánh giá d−ới vi phân Fréchet à(ã) thông qua tËp nh©n tö Lagrange cña bµi to¸n quy ho¹ch to¸n häc ®−îc xÐt Tr−ớc hết chúng ta chứng tỏ có thể đặc tr−ng các d−ới gradient FrÐchet cña hµm sè thùc qua çc hµm sè xÊp xØ d−íi, kh¶ vi FrÐchet t¹i ®iÓm ®−îc xÐt Bổ đề 4.5.1 (xem Mordukhovich (2006a), Định lý 1.88) Cho Z là không gian Banach Giả sử hàm số ϕ: Z → IR là hữu hạn z̄ ∈ Z Khi đó z∗ ∈ ∂ϕ(z̄) vµ chØ tån t¹i hµm sè s: Z → IR h÷u h¹n l©n cËn cña z̄, kh¶ vi FrÐchet t¹i z̄, vµ tháa m·n çc tÝnh chÊt sau (5.1) 54 s(z̄) = ϕ(z̄), s (z̄) = z ∗ , vµ s(z) ϕ(z) víi mäi z ∈ Z TNTA: sequentially normally epi-compact (SNEC) Khi đó (3.2) là bài toán quy hoạch toán học phụ thuộc tham số 56 Khi đó (3.2) là bài toán quy hoạch toán học với ràng buộc cân phụ thuộc tham số 55 (127) 4.5 D−íi vi ph©n FrÐchet cña hµm gi¸ trÞ tèi −u 121 Chøng minh Gi¶ sö z ∗ ∈ ∂ϕ(z̄) Từ định nghĩa d−ới gradient Fréchet suy r»ng tån t¹i mét l©n cËn U cña z̄ cho ϕ(z) > −∞ víi mäi z ∈ U Hµm sè s(z) := {ϕ(z), ϕ(z̄) + z ∗ , z − z̄} (∀z ∈ Z) tháa m·n tÊt c¶ çc tÝnh chÊt cÇn cã ThËt vËy, ta cã s h÷u h¹n trªn U v× r»ng s(z) > −∞ víi mäi z ∈ U vµ s(z) ϕ(z̄) + z ∗ , z − z̄ < ∞ víi mäi z ∈ Z Từ công thức định nghĩa s ta suy s(z̄) = ϕ(z̄) và s(z) ϕ(z) với z ∈ Z Ngoµi ra, lim sup z→z̄ s(z) − s(z̄) − z ∗ , z − z̄ z − z̄ sử dụng định nghĩa d−ới gradient Fréchet và công Do ®iÒu kiÖn z∗ ∈ ∂ϕ(z̄), thøc cña hµm s ta thu ®−îc lim inf z→z̄ s(z) − s(z̄) − z ∗ , z − z̄ z − z̄ Từ đó suy s hữu hạn lân cận z̄, khả vi Fréchet z̄ và s (z̄) = z ∗ Ng−îc l¹i, gi¶ sö r»ng z∗ ∈ Z ∗ vµ tån t¹i hµm sè s: Z → IR tháa m·n çc tính chất (5.1) Khi đó ta có lim inf z→z̄ ϕ(z) − ϕ(z̄) − z ∗ , z − z̄ s(z) − s(z̄) − z ∗ , z − z̄ lim inf = z→z̄ z − z̄ z − z̄ Chøng minh kÕt thóc Bài tập 4.5.1 Kiểm tra kết luận của Bổ đề 4.5.1 cho các tr−ờng hợp Z = IR2 , ϕ(z) = z, z̄ = vµ Z = IR2 , ϕ(z) = −z, z̄ = VÏ h×nh để minh họa cho kết nói ∂ϕ(z̄) = [−1, 1] tr−êng hîp thø nhÊt vµ ∂ϕ(z̄) = ∅ tr−êng hîp thø hai Định lý sau đây cho ta đánh giá trên (upper estimate) cho d−ới vi phân FrÐchet cña hµm gi¸ trÞ tèi −u tæng qu¸t c«ng thøc (3.1) t¹i tham sè x̄ cho tr−ớc Đánh giá này đ−ợc thiết lập thông qua đối đạo hàm Fréchet ánh xạ m« t¶ rµng buéc G vµ çc tËp d−íi vi ph©n FrÐchet trªn cña hµm gi¸ ϕ Gi¶ thiết đây là ∂+ ϕ(x̄, ȳ) khác rỗng phần tử ȳ ∈ M (x̄) nào đó Đòi hỏi này đ−ợc thỏa mãn nhiều lớp bài toán tối −u57 §Þnh lý 4.5.1 Gi¶ sö hµm gi¸ trÞ tèi −u µ(·) (3.1) lµ h÷u h¹n t¹i x̄ ∈ dom M , và giả sử ȳ ∈ M (x̄) là véctơ thỏa mãn ∂+ ϕ(x̄, ȳ) = ∅ Khi đó % $ ∗ G(x̄, ȳ)(y ∗ ) x∗ + D (5.2) ∂µ(x̄) ⊂ 57 (x∗ ,y ∗ )∈∂0+ ϕ(x̄,ȳ) Một vài kết t−ơng tự nh− các định lý 4.5.1 và 4.5.2 đã đ−ợc thiết lập cho hàm giá trị tối −u bµi to¸n quy ho¹ch to¸n häc cã tham sè víi d÷ liÖu lµ çc hµm tr¬n; xem Gollan (1984), Maurer vµ Zowe (1979) (128) Đối đạo hàm ánh xạ đa trị 122 vµ víi mçi ε > Chøng minh §Ó kiÓm chøng (5.2), ta lÊy tïy ý u∗ ∈ ∂µ(x̄) ta chän η > cho −εx − x̄ µ(x) − µ(x̄) − u∗ , x − x̄ ∀x ∈ B(x̄, η) V× ȳ ∈ M (x̄), ta cã (5.3) u∗ , x − x̄ µ(x) − ϕ(x̄, ȳ) + εx − x̄ ∀x ∈ B(x̄, η) Lấy cố định véctơ tùy ý (x∗ , y ∗ ) ∈ ∂+ ϕ(x̄, ȳ) Do (2.3), áp dụng Bổ đề ȳ) ta t×m ®−îc hµm sè s: X × Y → IR 4.5.1 cho vÐct¬ (−x∗ , −y ∗ ) ∈ ∂(−ϕ)(x̄, kh¶ vi FrÐchet t¹i (x̄, ȳ) cho s(x̄, ȳ) = ϕ(x̄, ȳ), s (x̄, ȳ) = (x∗ , y ∗ ), (5.4) s(x, y) ϕ(x, y) ∀(x, y) ∈ X × Y §Ó ý r»ng µ(x) ϕ(x, y) s(x, y) víi mäi y ∈ G(x) Tõ (5.3) vµ (5.4) ta suy u∗ , x − x̄ ϕ(x, y) − ϕ(x̄, ȳ) + εx − x̄ s(x, y) − s(x̄, ȳ) + εx − x̄ = sx (x̄, ȳ), x − x̄ + sy (x̄, ȳ), y − ȳ +o(x − x̄ + y − ȳ) + εx − x̄ = x∗ , x − x̄ + y ∗ , y − ȳ + o(x − x̄ + y − ȳ) + εx − x̄ với (x, y) mà x ∈ B(x̄, η) và y ∈ G(x) Vì ε > đ−ợc chọn tùy ý, từ đó suy u∗ − x∗ , x − x̄ − y ∗ , y − ȳ lim sup x − x̄ + y − ȳ gph G (x,y) −→ (x̄,ȳ) ȳ); gph G), đó δ(ã; gph G) là Điều đó chứng tỏ (u∗ − x∗ , −y ∗ ) ∈ ∂δ((x̄, hàm tập gph G L−u ý đến (2.7) ta thu đ−ợc (u∗ − x∗ , −y ∗ ) ∈ N gph G (x̄, ȳ) Do (2.9), từ đó ta có ∗ G(x̄, ȳ)(y ∗ ) u∗ − x∗ ∈ D VËy ta cã bao hµm thøc ∗ G(x̄, ȳ)(y ∗ ), u∗ ∈ x∗ + D tức là (5.2) nghiệm đúng (129) 4.5 D−íi vi ph©n FrÐchet cña hµm gi¸ trÞ tèi −u 123 §Þnh nghÜa 4.5.1 (xem Robinson (1979)) ¸nh x¹ h: D → Y ®−îc gäi lµ Lipschitz trên địa ph−ơng 58 x̄ ∈ D, đó D là tập X, tồn t¹i η > vµ cho h(x) − h(x̄) x − x̄ ∀x ∈ B(x̄, η) ∩ D Định nghĩa 4.5.2 Ta nói ánh xạ đa trị F : D ⇒ Y , đó D ⊂ X, có lát cắt Lipschitz trên địa ph−ơng 59 (x̄, ȳ) ∈ gph F tồn ánh xạ đơn trị h: D → Y Lipschitz trên địa ph−ơng x̄ cho h(x̄) = ȳ và h(x) ∈ F (x) víi mäi x ∈ D mét l©n cËn cña x̄ Định lý sau đ−a điều kiện đủ để bao hàm thức (5.2) nghiệm đúng d−ới dạng đẳng thức §Þnh lý 4.5.2 Ngoµi çc gi¶ thiÕt cña §Þnh lý 4.5.1, ta gi¶ sö thªm r»ng ϕ lµ kh¶ vi FrÐchet t¹i (x̄, ȳ) vµ ¸nh x¹ nghiÖm M : dom G ⇒ Y cã l¸t c¾t Lipschitz trên địa ph−ơng (x̄, ȳ) Khi đó ∗ G(x̄, ȳ)(y ∗ ), ∂µ(x̄) = x∗ + D (5.5) víi ∗ ∗ (x , y ) := ϕ (x̄, ȳ) = ∂ϕ(x̄, ȳ) ∂ϕ(x̄, ȳ) , ∂x ∂y ! lµ vÐct¬ gradient cña ϕ t¹i (x̄, ȳ) ∗ G(x̄, ȳ)(y ∗ ) §Ó Chøng minh Theo §Þnh lý 4.5.1 ta cã ∂µ(x̄) ⊂ x∗ + D chøng minh r»ng bao hµm thøc ng−îc l¹i ∗ G(x̄, ȳ)(y ∗ ) ⊂ ∂µ(x̄) x∗ + D nghiệm đúng d−ới các điều kiện phụ nói định lý, ta cố định phần tử / ∂µ(x̄) Ta cÇn chøng tá r»ng bÊt kú u∗ ∈ ∗ G(x̄, ȳ)(y ∗ ) / x∗ + D u∗ ∈ (5.6) / ∂µ(x̄) kÐo theo Do định nghĩa d−ới gradient Fréchet, điều kiện u∗ ∈ lim inf x→x̄ µ(x) − µ(x̄) − u∗ , x − x̄ < x − x̄ V× vËy tån t¹i ε > vµ d·y xk → x̄, xk = x̄ víi mäi k ∈ IN , cho (5.7) 58 59 µ(xk ) − µ(x̄) − u∗ , xk − x̄ −ε xk − x̄ TNTA: locally upper Lipschitzian TNTA: admits a local upper Lipschitzian selection (130) Đối đạo hàm ánh xạ đa trị 124 NÕu xk ∈ / dom G thì G(xk ) = ∅ Khi đó ta có µ(xk ) = inf{ϕ(xk , y) : y ∈ G(xk )} = +∞, m©u thuÉn víi (5.7) VËy ta ph¶i cã xk ∈ dom G víi mäi k ∈ IN LÊy l¸t c¾t h(ã) Lipschitz trên địa ph−ơng (x̄, ȳ) ánh xạ nghiệm M : dom G ⇒ Y nh− giả thiết định lý Đặt yk := h(xk ) và để ý à(x̄) = ϕ(x̄, ȳ), µ(xk ) = ϕ(xk , yk ) Tõ (5.7) suy u∗ , xk − x̄ ϕ(xk , yk ) − ϕ(x̄, ȳ) + εxk − x̄ = ϕ (x̄, ȳ), (xk − x̄, yk − ȳ) + o(xk − x̄ + yk − ȳ) +εxk − x̄ = x∗ , xk − x̄ + y ∗ , yk − ȳ + o(xk − x̄ + yk − ȳ) +εxk − x̄ Sử dụng tính chất Lipschitz trên địa ph−ơng h(ã) x̄, ta có xk − x̄ yk − ȳ với k ∈ IN đủ lớn Điều đó kéo theo các đánh giá u∗ − x∗ , xk − x̄ − y ∗ , yk − ȳ ε yk − ȳ + o(xk − x̄ + yk − ȳ) 2ε xk − x̄ + 2 ε(xk − x̄ + yk − ȳ) + o(xk − x̄ + yk − ȳ), đó ε := min{ε/2, ε/(2)} Vì vậy, lim sup gph G (x,y) −→ (x̄,ȳ) u∗ − x∗ , x − x̄ − y ∗ , y − ȳ ε; x − x̄ + y − ȳ / N cã nghÜa lµ (u∗ − x∗ , −y ∗ ) ∈ gph G (x̄, ȳ) Tính chất đó chứng tỏ (5.6) nghiệm đúng Chứng minh kết thúc Bây chúng ta xét số ví dụ để thấy nét đặc tr−ng hai định lý võa thu ®−îc vµ cña çc gi¶ thiÕt cña chóng Chóng ta b¾t ®Çu víi çc vÝ dụ chứng tỏ bao hàm thức (5.2) Định lý 4.5.1 có thể trở thành đẳng thøc c¶ hµm gi¸ ϕ kh«ng kh¶ vi FrÐchet §Ó cho tiÖn, chóng ta ký hiÖu çc biÓu thøc ë vÕ tr¸i vµ vÕ ph¶i cña (5.2) t−¬ng øng bëi LHS (left-hand side) vµ RHS (right-hand side) VÝ dô 4.5.1 LÊy X = Y = IR §Æt ϕ(x, y) = −|y| vµ √ √ nÕu x 0, [− x, x] G(x) = ∅ nÕu x < (131) 4.5 D−íi vi ph©n FrÐchet cña hµm gi¸ trÞ tèi −u 125 DÔ thÊy r»ng gph G = {(x, y) ∈ IR2 : y − x 0} TÝnh hµm gi¸ trÞ tèi −u theo c«ng thøc (3.1), ta cã √ nÕu x 0, − x µ(x) = ∞ nÕu x < Do đó ⎧ ⎨ ∅ √ LHS = RHS = { − 1/(2 x̄)} ⎩ nÕu x̄ = ȳ = 0, √ nÕu x̄ > √ vµ hoÆc lµ ȳ = x̄ hoÆc ȳ = − x̄ Vậy (5.2) nghiệm đúng d−ới dạng đẳng thức với (x̄, ȳ) ∈ gph M H×nh 17 VÝ dô 4.5.2 LÊy X = Y = IR §Æt ϕ(x, y) = −|x| + 2y vµ G(x) = {y ∈ IR : y |x|} Ta cã µ(x) = |x| vµ ∈ M (0) DÔ thÊy r»ng ∂µ(0) = [−1, 1], ∂+ ϕ(0, 0) = [−1, 1] × {2}, ∗ G(0, 0)(2) = [−2, 2] D Do đó, (x∗ ,y ∗ )∈∂0+ ϕ(0,0) {x∗ + D∗ G(0, 0)(y ∗ )} = x∗ ∈[−1,1] nghĩa là (5.2) nghiệm đúng d−ới dạng đẳng thức {x∗ + [−2, 2]} = [−1, 1], (132) Đối đạo hàm ánh xạ đa trị 126 Trong hai vÝ dô trªn, hµm môc tiªu ϕ(x, y) lµ hµm lâm vµ ¸nh x¹ ®a trÞ m« tả ràng buộc G là lồi Vậy đánh giá (5.2) có thể nghiệm đúng d−ới dạng đẳng thức bài toán tối −u không lồi Ví dụ sau đây chứng tỏ giả thiết tồn lát cắt Lipschitz trên địa ph−ơng Định lý 4.5.2 là thiÕt yÕu, kh«ng thÓ bá ®i ®−îc VÝ dô 4.5.3 LÊy X = Y = IR vµ x̄ = ȳ = XÐt hµm gi¸ trÞ tèi −u µ(x) x¸c định (3.1) với & ϕ(x, y) = vµ G(x) := [ |x|, ∞) Khi đó ta có µ(x) = vµ ∂+ ϕ(x, y) = {0} víi mäi (x, y) ∈ IR2 Ngoµi ra, N gph G ((0, 0)) = IR×(−∞, 0] V× vËy LHS = {0}, RHS=IR, nghÜa lµ bao hµm thøc (5.2) lµ chÆt NhËn xÐt r»ng ¸nh x¹ nghiÖm (3.3) kh«ng có lát cắt Lipschitz trên địa ph−ơng (x̄, ȳ) H×nh 18 VÝ dô sau ®©y chøng tá r»ng gi¶ thiÕt vÒ sù tån t¹i l¸t c¾t Lipschitz trªn địa ph−ơng Định lý 4.5.2 là không thể bỏ đ−ợc, nh−ng nó không phải là điều kiện cần để có dấu bao hàm thức (5.2) VÝ dô 4.5.4 LÊy X = Y = IR vµ x̄ = ȳ = XÐt hµm sè µ(x) (3.1) víi ϕ(x, y) := (x − y )2 vµ G(x) := IR Sö dông (3.1) vµ (3.3) ta t×m ®−îc x µ(x) = nÕu x nÕu x > (133) 4.5 D−íi vi ph©n FrÐchet cña hµm gi¸ trÞ tèi −u vµ M (x) = {0} √ √ {− x, x} 127 nÕu x nÕu x > Trong ánh xạ nghiệm M (ã) không có lát cắt Lipschitz trên địa ph−ơng, đẳng thøc vÉn x¶y (5.2) v× r»ng ∂µ(0) = {0}, ∗ G(0, 0)(0) = {0} ϕ (0, 0) = {(0, 0)}, vµ D Vậy giả thiết tồn lát cắt Lipschitz trên địa ph−ơng là điều kiện đủ, nh−ng nói chung không phải là điều kiện cần để có dấu đẳng thức (5.2) Bµi tËp 4.5.2 B»ng çc tÝnh to¸n cô thÓ, h·y kiÓm tra çc kÕt qu¶ nãi çc vÝ dô 4.5.1-4.5.4 Từ các định lý 4.5.1 và 4.5.2 chúng ta có thể rút quy tắc tính d−ới vi ph©n FrÐchet cña tæng hai hµm sè vµ quy t¾c hµm hîp cho d−íi vi ph©n FrÐchet Çc quy t¾c kh¸c (ë cïng d¹ng) cã thÓ xem Mordukhovich, Nam vµ Yen (2006) NhËn xÐt r»ng çc quy t¾c tÝnh to¸n chÝnh x¸c60 çc phÇn tö d−íi gradient FrÐchet (kh¸c víi çc quy t¾c tÝnh to¸n mê 61 Borwein vµ Zhu (2005), Mordukhovich (2006a)) thu ®−îc ë ®©y lµ kh¸ thó vÞ HÖ qu¶ 4.5.1 (Quy t¾c tÝnh d−íi vi ph©n FrÐchet cña tæng) Cho ϕi : X → IR (i = 1, 2) lµ çc hµm sè thùc, h÷u h¹n t¹i x̄ Gi¶ sö r»ng ∂+ ϕ1 (x̄) = ∅ Khi đó (x̄)] ⊂ ∂+ ϕ1 (x̄) + ∂ϕ (x̄) + ϕ2 )(x̄) ⊂ [x∗ + ∂ϕ (5.8) ∂(ϕ x∗ ∈∂0+ ϕ1 (x̄) Chøng minh §Æt ϕ(x, y) = ϕ1 (x) + y, G(x) = [ϕ2 (x), ∞) và để ý gph G = epi ϕ2 , µ(x) := inf ϕ(x, y) = ϕ1 (x) + ϕ2 (x) y∈G(x) Ngoài ra, ȳ := ϕ2 (x̄) ∈ M (x̄), đó M đ−ợc xác định (3.3) Lấy tùy ý x∗ ∈ ∂+ ϕ1 (x̄), ta cã (x∗ , 1) ∈ ∂+ ϕ(x̄, ȳ) Do §Þnh lý 4.5.1, (x̄) + ϕ2 )(x̄) ⊂ x∗ + D ∗ G(x̄, ϕ2 (x̄))(1) = x∗ + ∂ϕ ∂µ(x̄) = ∂(ϕ Quy tắc (5.8) đã đ−ợc chứng minh 60 61 TNTA: exact calculus rules TNTA: fuzzy calculus rules (134) Đối đạo hàm ánh xạ đa trị 128 HÖ qu¶ 4.5.2 (Quy t¾c tÝnh d−íi vi ph©n FrÐchet cña hµm hîp) Gi¶ sö ¸nh x¹ f : X → Y là Lipschitz địa ph−ơng x̄ và giả sử hàm số ϕ: Y → IR là hữu h¹n t¹i ȳ := f (x̄) NÕu ∂+ ϕ(ȳ) = ∅, th× bao hµm thøc ∗ , f (x̄) ◦ f )(x̄) ⊂ ∂y (5.9) ∂(ϕ y ∗ ∈∂0+ ϕ(ȳ) nghiệm đúng Chøng minh §Æt ϕ(x, y) := ϕ(y) vµ G(x) := {f (x)} ¸p dông §Þnh lý 4.5.1 vµ c«ng thøc (2.11) ta thu ®−îc (5.9) B©y giê chóng ta dÉn nguyªn lý biÕn ph©n cho d−íi vi ph©n trªn62 MÖnh đề này đ−ợc chứng minh nhờ nguyên lý biến phân Ekeland (xem Định lý 2.1.1 Ch−¬ng 2) vµ HÖ qu¶ 4.5.1 §Þnh lý 4.5.3 Gi¶ sö ϕ: X → (−∞, ∞] lµ hµm sè nöa liªn tôc d−íi, bÞ chÆn d−ới không gian Banach X Khi đó, với ε > 0, λ > 0, và x0 ∈ X tháa m·n ϕ(x0 ) < inf ϕ(x) + ε, x∈X tån t¹i x̄ ∈ X cho (a) x̄ − x0 < λ, (b) ϕ(x̄) < inf ϕ(x) + ε, x∈X (c) x∗ ε/λ víi mäi x∗ ∈ ∂+ ϕ(x̄) Chứng minh Theo nguyên lý biến phân Ekeland, từ các giả thiết định lý suy r»ng tån t¹i x̄ ∈ X tháa m·n x0 − x̄ < λ, ϕ(x̄) < inf ϕ(x) + ε, x∈X và ϕ(x̄) ϕ(x) + (ε/λ)x − x̄ với x ∈ X Điều đó chứng tỏ hàm sè ψ(x) := ϕ(x) + (ε/λ)x − x̄, (5.10) x ∈ X, đạt cực tiểu toàn cục x̄ Do định nghĩa d−ới gradient Fréchet, từ đó ta có ∈ ∂ψ(x̄) Để ý khẳng định (c) là tầm th−ờng ∂+ ϕ(x̄) = ∅ Vậy phải chứng minh (c) d−ới giả thiết ∂+ ϕ(x̄) = ∅ Trong tr−ờng hợp đó, áp dụng HÖ qu¶ 4.5.1 cho hµm tæng (5.10), tõ bao hµm thøc ∈ ∂ψ(x̄) ta nhËn ®−îc % $ $ % · −x̄(x̄) ⊂ x∗ + (ε/λ)∂ x∗ + (ε/λ)B̄X ∗ , 0∈ 62 x∗ ∈∂0+ ϕ(x̄) TNTA: uper subdifferential variational principle x∗ ∈∂0+ ϕ(x̄) (135) 4.5 D−íi vi ph©n FrÐchet cña hµm gi¸ trÞ tèi −u 129 đó B̄X ∗ ký hiệu hình cầu đơn vị đóng X∗ Vì x∗ ε/λ với x∗ ∈ ∂+ ϕ(x̄) Tiếp theo chúng ta áp dụng các định lý 4.5.1 và 4.5.2 cho các bài toán quy hoạch toán học đó ánh xạ mô tả ràng buộc là ánh xạ nghiệm hệ đẳng thức/bất đẳng thức phụ thuộc tham số, là ánh xạ nghiệm bài toán cân b»ng phô thuéc tham sè Tr−íc hÕt ta xÐt bµi to¸n quy ho¹ch to¸n häc kh«ng gian Banach víi các ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức Đó là dạng đặt biệt bài toán (3.2) víi ¸nh x¹ G: X ⇒ Y ®−îc cho bëi c«ng thøc G(x) := y ∈ Y : ϕi (x, y) 0, i = 1, , m, (5.11) ϕi (x, y) = 0, i = m + 1, , m + r , đó ϕi : X ì Y → IR (i = 1, , m + r) là các hàm số thực cho tr−ớc Định lý đầu tiên chúng ta liên quan đến các bài toán quy hoạch với liệu là các hµm sè kh¶ vi FrÐchet (chóng kh«ng nhÊt thiÕt ph¶i lµ tr¬n hay kh¶ vi chÆt t¹i çc ®iÓm ®−îc xÐt) §¸nh gi¸ trªn cho d−íi vi ph©n FrÐchet cña hµm gi¸ trÞ tèi −u µ(·) sÏ ®−îc thiÕt lËp b»ng çch sö dông çc nh©n tö Lagrange 63 cæ ®iÓn Để phát biểu định lý này, chúng ta nhắc lại khái niệm hàm Lagrange 64 (5.12) L(x, y, λ) = ϕ(x, y) + λ1 ϕ1 (x, y) + + λm+r ϕm+r (x, y), bài toán quy phi tuyến (3.2) với ràng buộc (5.11), đó λ := (λ1 , , λm+r ) ∈ IRm+r lµ mét bé çc nh©n tö Lagrange (Ng−êi ta còng th−êng gäi vÐct¬ λ lµ nh©n tö Lagrange.) Cho tr−ớc điểm (x̄, ȳ) ∈ gph M trên đồ thị ánh xạ nghiệm (3.3) vµ vÐct¬ y∗ ∈ Y ∗ , ta xÐt çc tËp nh©n tö Lagrange sau ®©y: (5.13) m+r λi (ϕi )y (x̄, ȳ) = 0, Λ(x̄, ȳ) := λ ∈ IRm+r : ϕy (x̄, ȳ) + i=1 λi 0, λi ϕi (x̄, ȳ) = víi i = 1, , m , vµ (5.14) Λ(x̄, ȳ, y ∗ ) := λ ∈ IRm+r : y∗ + m+r λi (ϕi )y (x̄, ȳ) = 0, i=1 λi 0, λi ϕi (x̄, ȳ) = víi i = 1, , m 63 64 TNTA: Lagrange multiplier TNTA: Lagrangian (136) Đối đạo hàm ánh xạ đa trị 130 ∂ϕ(x̄, ȳ) ∂ϕi (x̄, ȳ) , (ϕi )y (x̄, ȳ) = là các đạo hàm riêng ∂y ∂y ϕ và ϕi theo biến y điểm (x̄, ȳ) Ta có thể viết lại đẳng thức đầu tiên (5.13) thông qua đạo hàm riêng hàm Lagrange (5.12) theo biến y nh− sau: ë ®©y ϕy (x̄, ȳ) = Ly (x̄, ȳ, λ) = Đối với các tập nhân tử Lagrange (5.13) và (5.14), ta để ý Λ(x̄, ȳ, ϕy (x̄, ȳ)) = Λ(x̄, ȳ) §Þnh lý 4.5.4 (D−íi vi ph©n FrÐchet cña hµm gi¸ trÞ tèi −u cña çc bµi to¸n quy hoạch toán học khả vi không gian Banach) Giả sử à(ã) đ−ợc xác định bëi (3.1) víi G(·) ®−îc cho bëi (5.11) vµ ¸nh x¹ M (·) t−¬ng øng ®−îc cho bëi (3.3), vµ dom M = ∅ LÊy x̄ ∈ dom M vµ ȳ ∈ M (x̄) tháa m·n ∂+ ϕ(x̄, ȳ) = ∅ vµ gi¶ sö r»ng çc hµm ϕi , i = 1, , m + r, lµ kh¶ vi FrÐchet t¹i (x̄, ȳ) vµ liên tục lân cận điểm đó, và (5.15) ϕ1 (x̄, ȳ), , ϕm+r (x̄, ȳ) là độc lập tuyến tính Khi đó bao hàm thức sau nghiệm đúng: (5.16) ∂µ(x̄) ⊂ + (x∗ ,y ∗ )∈∂0+ ϕ(x̄,ȳ) λ∈Λ(x̄,ȳ,y ∗ ) x∗ + m+r i=1 , λi (ϕi )x (x̄, ȳ Ngoµi ra, nÕu hµm ϕ còng kh¶ vi FrÐchet t¹i (x̄, ȳ) vµ ¸nh x¹ nghiÖm M : dom G ⇒ Y có lát cắt Lipschitz trên địa ph−ơng (x̄, ȳ), thì (5.16) trở thành đẳng thức: , + m+r λi (ϕi ) (x̄, ȳ) ϕ (x̄, ȳ) + (5.17) ∂µ(x̄) = x λ∈Λ(x̄,ȳ) x i=1 Chøng minh Tr−íc hÕt, chóng ta thiÕt lËp c«ng thøc (5.18) m+r ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ λi ϕi (x̄, ȳ) D G(x̄, ȳ)(v ) = u ∈ X : (u , −v ) = i=1 víi mét λ ∈ IRm+r tháa m·n λi 0, λi ϕi (x̄, ȳ) = đó i = 1, , m cho đối đạo hàm ánh xạ G(ã) (5.11) d−ới giả thiết các hàm ϕi (i = 1, , m + r) lµ kh¶ vi FrÐchet t¹i (x̄, ȳ) vµ ®iÒu kiÖn chuÈn ho¸ rµng buéc (5.15) ®−îc tháa m·n (137) 4.5 D−íi vi ph©n FrÐchet cña hµm gi¸ trÞ tèi −u 131 Để chứng minh (5.18), chúng ta nhận xét đồ thị ánh xạ G(ã) đ−ợc xÐt cã thÓ biÓu diÔn d−íi d¹ng ¶nh ng−îc (5.19) gph G = f −1 (K) := {(x, y) ∈ X × Y : f (x, y) ∈ K} hình nón lồi đóng K ⊂ IRm+r xác định (5.20) K := (α1 , , αm+r ) ∈ IRm+r : αi víi i = 1, , m, αi = víi i = m + 1, , m + r qua ¸nh x¹ f : X × Y → IRm+r ®−îc cho bëi (5.21) f (x, y) := (ϕ1 (x, y), ϕm+r (x, y)) Do (5.21), f lµ kh¶ vi FrÐchet t¹i (x̄, ȳ) vµ chØ tÊt c¶ çc hµm ϕi (i = 1, , m + r) là khả vi Fréchet (x̄, ȳ) Ngoài ra, toán tử đạo hàm f (x̄, ȳ): X × Y → IRm+r lµ trµn vµ chØ ®iÒu kiÖn (5.15) ®−îc tháa m·n Sö dông quy t¾c tÝnh toán Mordukhovich (2006a), Hệ 1.15, để tính nón pháp tuyến Fréchet cña ¶nh ng−îc cña çc tËp hîp kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu qua ¸nh x¹ kh¶ vi Fréchet với đạo hàm tràn, ta có (f (x̄, ȳ); K) ((x̄, ȳ); f −1 (K)) = (f (x̄))∗ N (5.22) N Từ đó, định nghĩa đối đạo hàm, biểu diễn (5.19), các cấu trúc đặc biệt cña K (5.20) vµ f (5.21), ta thu ®−îc (5.18) vµ lÊy tïy ý mét Để chứng minh (5.16), ta cố định phần tử x ∗ ∈ ∂µ(x̄) ∗ ∗ + phÇn tö (x , y ) ∈ ∂ ϕ(x̄, ȳ) Theo §Þnh lý 4.5.1, ∗ G(x̄, ȳ)(y ∗ ) x ∗ − x∗ ∈ D Do (5.18), tån t¹i (λ1 , , λm+r ) ∈ IRm+r víi λi ≥ vµ λi ϕi (x̄, ȳ) = víi mäi i = 1, , m cho ∗ ∗ ∗ m+r ( x − x , −y ) = i=1 λi ϕi (x̄, ȳ) L−u ý đến (5.14), ta có x ∗ − x∗ ∈ λ∈Λ(x̄,ȳ,y ∗ ) +m+r i=1 , λi (ϕi )x (x̄, ȳ) (138) Đối đạo hàm ánh xạ đa trị 132 Điều đó chứng tỏ (5.16) nghiệm đúng B©y giê ta gi¶ sö r»ng hµm ϕ lµ kh¶ vi FrÐchet t¹i (x̄, ȳ) vµ ¸nh x¹ nghiÖm M (ã) có lát cắt Lipschitz trên địa ph−ơng (x̄, ȳ) Khi đó, theo Định lý 4.5.2, (5.5) nghiệm đúng Sử dụng (5.18), từ đó ta thu đ−ợc (5.17) Sau ®©y chóng ta xÐt tr−êng hîp çc hµm rµng buéc (5.11) kh«ng nhÊt thiÕt lµ kh¶ vi t¹i (x̄, ȳ) §Þnh lý 4.5.5 (D−íi vi ph©n FrÐchet cña hµm gi¸ trÞ tèi −u cña çc bµi to¸n quy ho¹ch to¸n häc kh«ng kh¶ vi kh«ng gian Asplund) Gi¶ sö µ(·) ®−îc x¸c định (3.1) với G: X ⇒ Y đ−ợc cho (4.11), đó X và Y là các không gian Asplund Gi¶ sö r»ng dom M = ∅ vµ tån t¹i x̄ ∈ dom M , ȳ ∈ M (x̄), cho ∂+ ϕ(x̄, ȳ) = ∅, víi M (·) lµ ¸nh x¹ ®−îc cho bëi (3.3) Gi¶ thiÕt thªm r»ng các hàm số ϕi (i = 1, , m + r) là Lipschitz địa ph−ơng (x̄, ȳ) và điều kiÖn chuÈn ho¸ rµng buéc (®iÒu kiÖn chÝnh quy) sau ®−îc tháa m·n: ChØ cã (λ1 , , λm+r ) = ∈ IRm+r lµ vÐct¬ tháa m·n çc tÝnh chÊt m (5.23) 0∈ m+r λi (∂ϕi (x̄, ȳ) ∪ ∂(−ϕi )(x̄, ȳ)), λi ∂ϕi (x̄, ȳ) + i=1 i=m+1 m+r , λi ϕi (x̄, ȳ) = víi i = 1, , m (λ1 , , λm+r ) ∈ IR+ Khi đó, (5.24) ∂µ(x̄) ⊂ (x∗ ,y ∗ )∈∂0+ ϕ(x̄,ȳ) $ u∗ ∈ X∗ : (u∗ , 0) ∈ (x∗ , y ∗ ) + m λi ∂ϕi (x̄, ȳ) i=1 m+r λi (∂ϕi (x̄, ȳ) ∪ ∂(−ϕi )(x̄, ȳ)) + i=m+1 m+r víi (λ1 , , λm+r ) ∈ IR+ % tháa m·n λi ϕi (x̄, ȳ) = 0, i = 1, , m Ngoài ra, (5.24) trở thành đẳng thức ta giả sử thêm hàm ϕ là khả vi Fréchet (x̄, ȳ), tất các hàm ràng buộc ϕi là khả vi chặt điểm đó, và ánh xạ nghiệm M : dom G ⇒ Y có lát cắt Lipschitz trên địa ph−ơng (x̄, ȳ) Chứng minh Để thu đ−ợc (5.24), ta sử dụng bao hàm thức (5.2) và để ý (5.25) ∗ G(x̄, ȳ)(v ∗ ) ⊂ D∗ G(x̄, ȳ)(v ∗ ), D v∗ ∈ Y ∗ (139) 4.5 D−íi vi ph©n FrÐchet cña hµm gi¸ trÞ tèi −u 133 áp dụng Hệ 4.36 Mordukhovich (2006a), ta có đánh giá trên D∗ G(x̄, ȳ)(v ∗ ) ⊂ u∗ ∈ X∗ : (u∗ , −v ∗ ) ∈ λi ∂ϕi (x̄, ȳ) i=1 m+r (5.26) m λi (∂ϕi (x̄, ȳ) ∪ ∂(−ϕi )(x̄, ȳ)) + i=m+1 m+r víi (λ1 , , λm+r ) ∈ IR+ tháa m·n λi ϕi (x̄, ȳ) = 0, i = 1, , m cho đối đạo hàm D∗ G(x̄, ȳ) ánh xạ G(ã) cho (5.11) d−ới điều kiện các hàm ϕi (i = 1, , m + r) là Lipschitz địa ph−ơng (x̄, ȳ) và điều kiện chuẩn ho¸ rµng buéc: (5.27) (5.23) =⇒ (λ1 , , λm+r ) = (0, , 0) Lập luận t−ơng tự nh− chứng minh Định lý 4.5.4, ta thu đ−ợc đánh giá (5.24) Để thiết lập đẳng thức (5.24) d−ới các điều kiện nói khẳng định thứ hai định lý, ta sử dụng Định lý 4.5.2 Chỉ còn phải chứng tỏ đánh gi¸ (5.26) cã dÊu b»ng d−íi ®iÒu kiÖn chÝnh quy (5.27) vµ gi¶ thiÕt vÒ tÝnh kh¶ vi chặt (x̄, ȳ) các hàm ϕi Điều đó suy từ chứng minh Hệ 4.36 Mordukhovich (2006a) cách áp dụng khẳng định (iii) Định lý 3.13 (Quy tắc hàm hợp cho đối đạo hàm) Mordukhovich (2006a) Dựa trên Định lý 4.5.5 chúng ta có thể đ−a đánh giá trên cho d−ới vi ph©n FrÐchet cña hµm gi¸ trÞ tèi −u bµi to¸n quy ho¹ch to¸n häc phô thuéc tham số với liệu khả vi, đó thay cho (5.15) ta sử dụng điều kiện chính quy Mangasarian-Fromovitz - mét ®iÒu kiÖn yÕu h¬n (5.15) Tuy thÕ, ta ph¶i gi¶ thiÕt r»ng X vµ Y lµ çc kh«ng gian Asplund vµ çc hµm rµng buéc (5.11) lµ kh¶ vi chÆt (x̄, ȳ) Hệ 4.5.3 D−ới các giả thiết nói khẳng định thứ Định lý 4.5.5, gi¶ sö r»ng X vµ Y lµ çc kh«ng gian Asplund, çc hµm rµng buéc ϕi lµ kh¶ vi chÆt 65 t¹i (x̄, ȳ), vµ ®iÒu kiÖn (5.15) ®−îc thay b»ng ®iÒu kiÖn sau: (5.28) ϕm+1 (x̄, ȳ), , ϕm+r (x̄, ȳ) là độc lập tuyến tính; tån t¹i w ∈ X × Y cho ϕi (x̄, ȳ), w = nÕu i = m + 1, , m + r, ϕi (x̄, ȳ), w < nÕu i = 1, , m víi ϕi (x̄, ȳ) = Khi đó ta có (5.16), và bao hàm thức đó trở thành đẳng thức (5.17) ϕ và M (ã) thỏa mãn các giả thiết nói khẳng định thứ hai Định lý 4.5.5 Chứng minh Các khẳng định hệ này suy từ các khẳng định t−ơng øng §Þnh lý 4.5.5 65 Xem định nghĩa chú thích Mệnh đề 4.2.1 (140) Đối đạo hàm ánh xạ đa trị 134 Bµi tËp 4.5.3 Cho X = Y = IR, ϕ(x, y) = x|y| vµ G(x) = {y : x + |y| 0, x − y = 1} áp dụng Định lý 4.5.5 để tính (hoặc đánh giá) d−ới vi phân ∂à(x̄) cña hàm à xác định (3.1) x̄ = Mục đích hai bài tập sau là tìm hiểu mối liên hệ Định lý 4.5.5 và §Þnh lý 4.5.4 Bµi tËp 4.5.4 Chøng minh r»ng ®iÒu kiÖn chuÈn ho¸ rµng buéc khẳng định thứ Định lý 4.5.5 trở thành điều kiện (5.28) các hµm ϕi lµ kh¶ vi chÆt t¹i (x̄, ȳ) Bµi tËp 4.5.5 Chøng minh r»ng nÕu çc hµm ϕ vµ ϕ i (i = 1, , m + r) là khả vi chặt (x̄, ȳ), thì (5.17) nghiệm đúng nh− bao hàm thức (5.24) cã dÊu b»ng B©y giê ta xÐt bµi to¸n (3.2) tr−êng hîp G(x) lµ tËp nghiÖm cña hÖ biÕn ph©n cã tham sè 66 (cßn ®−îc gäi lµ rµng buéc c©n b»ng cã tham sè 67 , hay ph−¬ng tr×nh suy réng phô thuéc tham sè 68 ): (5.29) G(x) := {y ∈ Y : ∈ f (x, y) + Q(x, y)}, đó f : X ì Y → Z là ánh xạ đơn trị, Q: X ì Y ⇒ Z là ánh xạ đa trị các kh«ng gian Banach Quan hÖ ∈ f (x, y) + Q(x, y) lµ mét ph−¬ng tr×nh suy réng (phô thuéc tham sè) theo nghÜa Robinson (1979) ë ®©y, y lµ Èn sè, cßn x lµ tham sè cña ph−¬ng tr×nh suy réng Bµi to¸n tèi −u (3.2) víi G(x) ®−îc cho bëi (5.29) th−êng ®−îc gäi lµ bµi to¸n quy ho¹ch to¸n häc cã rµng buéc c©n b»ng 69 phô thuéc tham sè §©y lµ mét m« h×nh cã nhiÒu øng dông (xem Luo, Pang vµ Ralph (1996), Outrata, Kocvara vµ Zowe (1998)) Định lý sau đây đ−a các đánh giá trên cho d−ới vi phân Fréchet hàm gi¸ trÞ tèi −u bµi to¸n quy ho¹ch to¸n häc cã rµng buéc c©n b»ng phô thuéc tham sè kh«ng gian v« h¹n chiÒu §Þnh lý 4.5.6 (D−íi vi ph©n FrÐchet cña hµm gi¸ trÞ tèi −u cña çc bµi to¸n quy ho¹ch to¸n häc cã rµng buéc c©n b»ng) XÐt hµm gi¸ trÞ tèi −u µ(·) ®−îc cho bëi (3.1) với G(ã) đ−ợc xác định (5.29) Lấy x̄ ∈ dom M và cố định phần 66 TNTA: TNTA: 68 TNTA: 69 TNTA: 67 parametric variational system parametric equilibrium constraint parametric generalized equation mathematical programming problem with an equilibrium constraint (141) 4.5 D−íi vi ph©n FrÐchet cña hµm gi¸ trÞ tèi −u 135 tử ȳ ∈ M (x̄), đó M (ã) đ−ợc xác định (3.3) Giả sử ∂+ ϕ(x̄, ȳ) = ∅ Đặt z̄ := −f (x̄, ȳ) ∈ Q(x̄, ȳ) Các khẳng định sau nghiệm đúng: (i) Nếu f : X ì Y → X = Z là khả vi chặt (x̄, ȳ) với đạo hàm f (x̄, ȳ) : X × Y → Z lµ ¸nh x¹ trµn vµ nÕu Q(x, y) = Q(y) lµ ¸nh x¹ kh«ng phô thuéc vµo biÕn x, th× (5.30) ∂µ(x̄) ⊂ x∗ + (fx (x̄, ȳ))∗ (z ∗ ) : ∃z ∗ ∈ Z ∗ tháa m·n (x∗ ,y ∗ )∈∂0+ ϕ(x̄,ȳ) −y ∗ ∈ (fy (x̄, ȳ))∗ (z ∗ ) + D∗ Q(ȳ, z̄)(z ∗ ) đây fx (x̄, ȳ) và fy (x̄, ȳ) ký hiệu các đạo hàm riêng f (x̄, ȳ) t−ơng øng theo çc biÕn x vµ y (ii) Gi¶ sö r»ng X, Y, Z lµ çc kh«ng gian Asplund, f : X × Y → Z lµ liên tục lân cận (x̄, ȳ), và Q: X ì Y ⇒ Z có đồ thị đóng lân cận (x̄, ȳ, z̄) (tức là tồn lân cận đóng (x̄, ȳ, z̄) có giao với gph Q là tập đóng) Khi đó u∗ ∈ X ∗ : ∃z ∗ ∈ Z ∗ víi ∂µ(x̄) ⊂ (5.31) (x∗ ,y ∗ )∈∂0+ ϕ(x̄,ȳ) (u∗ , 0) ∈ (x∗ , y ∗ ) +D∗ f (x̄, ȳ)(z ∗ ) +D ∗ Q(x̄, ȳ, z̄)(z ∗ ) , nÕu nh− (x∗ , y ∗ , z ∗ ) = (0, 0, 0) lµ bé ba nhÊt tháa m·n (x∗ , y ∗ ) ∈ D∗ f (x̄, ȳ)(z ∗ ) ∩ ( − D∗ Q(x̄, ȳ, z̄)(z ∗ )) và Q là SNC (x̄, ȳ, z̄), f là Lipschitz địa ph−ơng (x̄, ȳ) và Z lµ kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu Chứng minh Để chứng minh hai khẳng định định lý, ta áp dụng Định lý 4.5.1 và bao hàm thức (5.25) Để đánh giá tập hợp vế phải (5.25) ta cã thÓ sö dông çc c«ng thøc tÝnh to¸n Mordukhovich (2006a; tiÓu môc 4.4.1) D−ới các giả thiết đ−a khẳng định (i), theo Định lý 4.4.4(i) Mordukhovich (2006a) ta cã D ∗ G(x̄, ȳ)(v ∗ ) = u∗ ∈ X ∗ : ∃z ∗ ∈ Z ∗ víi u∗ = (fx (x̄, ȳ))∗ (z ∗ ) −v ∗ ∈ (fy (x̄, ȳ))∗ (z ∗ ) + D∗ Q(ȳ, z̄)(z ∗ ) , Kết hợp đẳng thức này với (5.25) và (5.2) ta thu đ−ợc (5.30) (142) 136 Đối đạo hàm ánh xạ đa trị T−ơng tự, đánh giá (5.31) đ−ợc suy từ (5.2) và bao hàm thức D∗ G(x̄, ȳ)(v ∗ ) ⊂ u∗ ∈ X ∗ : ∃z ∗ ∈ Z ∗ víi (u∗ , −v ∗ ) ∈ D∗ f (x̄, ȳ)(z ∗ ) + D∗ Q(x̄, ȳ, z̄)(z ∗ ) L−u ý bao hàm thức cuối nghiệm đúng Định lý 4.46 Mordukhovich (2006a) và các giả thiết đã nêu khẳng định (ii) Các công thức tính toán −ớc l−ợng các tập giá trị ánh xạ đối đạo hàm D∗ G(x̄, ȳ) ánh xạ nghiệm hệ biến phân (5.29) đã thu đ−ợc Mordukhovich (2006a, tiểu mục 4.4.1) cho phép ta đ−a nhiều đánh giá kh¸c cho d−íi vi ph©n FrÐchet cña hµm gi¸ trÞ tèi −u çc bµi to¸n tèi −u có ràng buộc cân dạng tổng quát các dạng đặc biệt (khi ràng buộc cân có dạng bất đẳng thức biến phân, bài toán bù, v.v ) D−íi çc gi¶ thiÕt phô hîp lý, ta cã thÓ ®−a çc c«ng thøc tÝnh chÝnh x¸c d−íi vi ph©n FrÐchet cña hµm gi¸ trÞ tèi −u çc bµi to¸n cã rµng buéc c©n Các công thức nh− th−ờng nghiệm đúng đối đạo hàm Fréchet G trùng với đối đạo hàm Mordukhovich nó (điều đó xảy ra, chẳng hạn nh−, Q lµ ¸nh x¹ ®a trÞ låi vµ f tháa m·n mét vµi ®iÒu kiÖn phô) Bµi tËp 4.5.6 Cho X = Y = Z = IR, ϕ(x, y) = |y|, f (x, y) = xy, Q(x, y) = NK(x) (y), đó K(x) = {y : y x} vµ NK(x) (y) lµ nãn ph¸p tuyÕn cña tËp låi K(x) t¹i y Sö dông §Þnh lý 4.5.6 để tính (hoặc đánh giá) d−ới vi phân ∂à(x̄) hàm à xác định (3.1), đó G(x) đ−ợc cho (5.29), điểm x̄ = 4.6 D−íi vi ph©n Mordukhovich cña hµm gi¸ trÞ tèi −u Trong mục này chúng ta đ−a các công thức đánh giá d−ới vi phân Mordukhovich hàm giá trị tối −u (3.1) Vì d−ới vi phân Mordukhovich là d−ới vi phân qua giới hạn (nói chính xác, đó là giới hạn trên theo dãy theo nghĩa PainlevÐ-Kuratowski cña mét hä ε−d−íi vi ph©n FrÐchet; xem c«ng thøc (2.5)), nªn çc kÕt qu¶ ë môc nµy phøc t¹p h¬n çc kÕt qu¶ t−¬ng øng ë Môc 4.5 Sù phức tạp đó thể chỗ - giả thiết các định lý cồng kềnh hơn, - điều kiện để các đánh giá dạng bao hàm thức đạt đ−ợc dấu ngặt nghÌo h¬n Các d−ới vi phân suy biến đ−a Mục 4.2 đóng vai trò quan trọng môc nµy §iÒu kiÖn chÝnh quy (®iÒu kiÖn chuÈn ho¸ rµng buéc) çc định lý th−ờng đ−ợc phát biểu thông qua d−ới vi phân suy biến (143) 4.6 D−íi vi ph©n Mordukhovich cña hµm gi¸ trÞ tèi −u 137 NÕu kh«ng nãi g× thªm, th× çc kh«ng gian X vµ Y xÐt môc nµy ®−îc gi¶ thiÕt lµ çc kh«ng gian Asplund Chóng ta còng gi¶ sö r»ng hµm gi¸ ϕ (3.1) là nửa liên tục d−ới và ánh xạ đa trị mô tả ràng buộc G là ánh xạ có đồ thị đóng lân cận điểm đ−ợc xét (tức là giao tập gph G với hình cầu đóng, có bán kính d−ơng, chứa điểm đ−ợc xét là tập đóng X ì Y ) Cấu trúc các công thức đánh giá d−ới vi phân Mordukhovich ∂à(x̄) và d−íi vi ph©n suy biÕn ∂∞ µ(x̄) cña hµm gi¸ trÞ tèi −u (3.1) lµ kh¸c víi çc c«ng thức đã đ−a Mục 4.5 (mặc dù có nhiều điểm t−ơng đồng) Cái khác c¬ b¶n lµ ta sÏ kh«ng gi¶ thiÕt ∂+ ϕ(x̄, ȳ) = ∅ vµ, thay v× sö dông giao cña mét hä tËp theo tham sè (x∗ , y ∗ ) ∈ ∂+ ϕ(x̄, ȳ) nh− §Þnh lý 4.5.1, ta sÏ sö dông hîp cña hä tËp theo çc tham sè (x∗ , y ∗ ) ∈ ∂ϕ(x̄, ȳ) hoÆc (x∗ , y ∗ ) ∈ ∂ ∞ ϕ(x̄, ȳ) để đánh giá các d−ới vi phân ∂à(x̄) và ∂∞ à(x̄) Mặt khác, chúng ta cần tới nh÷ng gi¶ thiÕt phô vÒ tÝnh comp¾c ph¸p tuyÕn theo d·y cña ¸nh x¹ G vµ tÝnh epi-comp¾c ph¸p tuyÕn theo d·y cña hµm sè ϕ Nhận xét các đánh giá trên cho ∂à(x̄) và ∂∞ à(x̄), trái ng−ợc với các đánh giá cho ∂à(x̄), có quan hệ chặt chẽ với các điều kiện đủ cho tính Lipschitz địa ph−ơng à(ã) và với điều kiện cần cực trị bài toán tối −u t−ơng ứng Chúng ta so sánh các kết thu đ−ợc đây với các kết đã thu đ−ợc b»ng nh÷ng çch tiÕp cËn kh¸c Giả sử x̄ ∈ dom M và ȳ ∈ M (x̄), đó M (ã) đ−ợc cho (3.3) §Þnh nghÜa 4.6.1 Ta nãi r»ng ¸nh x¹ nghiÖm M (·) lµ µ-nöa liªn tôc d−íi néi µ bé 70 t¹i (x̄, ȳ) nÕu víi mçi d·y xk → x̄ tån t¹i d·y yk ∈ M (xk ) cho {yk } có dãy hội tụ đến ȳ §Þnh nghÜa 4.6.2 ¸nh x¹ nghiÖm M (·) ®−îc gäi lµ µ-b¸n-comp¾c néi bé 71 µ t¹i x̄ nÕu víi mçi d·y xk → x̄ tån t¹i d·y yk ∈ M (xk ) cho {yk } cã mét d·y héi tô Các tính chất nói hai định nghĩa trên là mở rộng các tính chất nửa liên tục d−ới nội và bán-compắc nội - đ−ợc định nghĩa cho các ánh x¹ ®a trÞ tæng qu¸t; xem Mordukhovich (2006a), §Þnh nghÜa 1.63 §iÒu kh¸c biÖt lµ ë chç ®iÒu kiÖn xk → x̄ Mordukhovich (2006a) b©y giê ®−îc thay µ điều kiện yếu hơn: xk → x̄ L−u ý là hai định nghĩa vừa nêu áp dông ®−îc cho ¸nh x¹ nghiÖm cã d¹ng (3.3) Có thể tìm thấy các điều kiện đủ cho tính chất à-nửa liên tục d−ới nội và tÝnh chÊt µ-b¸n-comp¾c néi bé cña ¸nh x¹ nghiÖm Clarke (1983), Gauvin vµ Dubeau (1982), Gollan (1984), Mordukhovich (1992), Mordukhovich vµ Shao (1996a), Rockafellar (1982) Nãi riªng ra, tÝnh chÊt µ-b¸n-comp¾c néi bé cña 70 71 TNTA: µ-inner semicontinuous TNTA: inner semicompact (144) Đối đạo hàm ánh xạ đa trị 138 M (·) t¹i x̄ lµ hÖ qu¶ cña tÝnh thuÇn 72 cña M (·) t¹i x̄ – mét tÝnh chÊt ®−îc Rockafellar (1982) ®−a cho tr−êng hîp kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu vµ ®−îc Gollan (1984) më réng sang tr−êng hîp kh«ng gian v« h¹n chiÒu VÝ dô 4.6.1 §Æt X = Y = IR, ϕ(x, y) = xy, G(x) = [−1, 1] víi mäi x ∈ X, x̄ = Xét hàm à(ã) cho (3.1) và ánh xạ đa trị M (ã) cho (3.3) Khi đó, ⎧ nÕu x = 0, ⎨ −x nÕu x > µ(x) = ⎩ x nÕu x < ⎧ ⎨ [−1, 1] M (x) = {−1} ⎩ {1} vµ nÕu x = nÕu x > nÕu x < µ Vì vậy, xk → và xk → Từ các công thức xác định à và M ë trªn, ta suy r»ng M lµ µ-b¸n-comp¾c néi bé (vµ còng lµ b¸n-comp¾c néi bé) t¹i x̄, nh−ng kh«ng lµ µ-nöa liªn tôc d−íi néi bé t¹i (x̄, ȳ), víi bÊt cø ®iÓm ȳ ∈ M (x̄) = [−1, 1] nµo VÝ dô 4.6.2 §Æt X = Y = IR, ϕ(x, y) = y, G(x) = {y ∈ [−1, 1] : xy 0} Ta cã ⎧ ⎨ [−1, 1] G(x) = [−1, 0] ⎩ [0, 1] Từ đó ta tính đ−ợc µ(x) = vµ M (x) = −1 {−1} {0} nÕu x = nÕu x > 0, nÕu x < nÕu x 0, nÕu x < nÕu x 0, nÕu x < LÊy (x̄, ȳ) = (0, −1) ∈ gph M Do c«ng thøc cña µ, ta thÊy r»ng ®iÒu kiÖn µ xk → x̄ có nghĩa là xk → và xk với k đủ lớn Từ đó suy M là à-nửa liªn tôc d−íi néi bé t¹i (x̄, ȳ) Tuy thÕ, M kh«ng lµ nöa liªn tôc d−íi néi bé (x̄, ȳ) Thật vậy, dãy xk := − k1 → = x̄ ta không thể tìm đ−ợc dãy yk ∈ M (xk ) nào để có yk → ȳ = −1 Đối với tính chất bán-compắc nội bộ, dễ thấy M là bán-compắc nội x̄ (do đó nó là à-bán-compắc nội x̄) 72 TNTA: tameness (145) 4.6 D−íi vi ph©n Mordukhovich cña hµm gi¸ trÞ tèi −u 139 KÕt qu¶ ®Çu tiªn cña chóng ta môc nµy lµ §Þnh lý 4.6.1 d−íi ®©y Hai khẳng định đầu tiên định lý (chúng có quan hệ t−ơng hỗ, nh−ng là độc lập với nhau) đ−ợc lấy từ Mordukhovich (2006a), Định lý 3.38, đó tính chất à-nửa liªn tôc d−íi néi bé vµ tÝnh chÊt µ-b¸n-comp¾c néi bé cña M (·) ®−îc thay t−¬ng øng bëi nöa liªn tôc d−íi néi bé vµ b¸n-comp¾c néi bé Cã thÓ thÊy r»ng çc chøng minh Mordukhovich (1992), Mordukhovich vµ Shao (1996a) kh«ng phải thay đổi gì chúng ta sử dụng các tính chất yếu nh− vừa trình bày TÝnh chÊt thø ba míi ®−îc thiÕt lËp Mordukhovich, Nam vµ Yen (2007); nã ®−îc chøng minh nhê tÝnh chÊt (i) vµ §Þnh lý 4.5.2 §Þnh lý 4.6.1 Gi¶ sö M (·) lµ ¸nh x¹ nghiÖm ®−îc cho bëi c«ng thøc (3.3) vµ giả sử x̄ ∈ dom M Các khẳng định sau nghiệm đúng: (i) Gi¶ sö r»ng M lµ µ-nöa liªn tôc d−íi néi bé t¹i (x̄, ȳ) ∈ gph M , ϕ lµ SNEC t¹i (x̄, ȳ) hoÆc G lµ SNC t¹i (x̄, ȳ), vµ ®iÒu kiÖn chÝnh quy (6.1) ∂ ∞ ϕ(x̄, ȳ) ∩ ( − Ngph G (x̄, ȳ)) = {0} đ−ợc thỏa mãn (các điều kiện đó tự động thỏa mãn ϕ là Lipschitz địa ph−ơng (x̄, ȳ)) Khi đó ta có các bao hàm thức (6.2) ∂µ(x̄) ⊂ x∗ + D∗ G(x̄, ȳ)(y ∗ ) : (x∗ , y ∗ ) ∈ ∂ϕ(x̄, ȳ) , (6.3) ∂ ∞ µ(x̄) ⊂ x∗ + D∗ G(x̄, ȳ)(y ∗ ) : (x∗ , y ∗ ) ∈ ∂ ∞ ϕ(x̄, ȳ) (ii) Gi¶ sö r»ng M lµ µ-b¸n-comp¾c néi bé t¹i x̄ vµ çc gi¶ thiÕt kh¸c cña (i) đ−ợc thỏa mãn điểm (x̄, ȳ) ∈ gph M Khi đó ta có các bao hàm thức (6.4) ∂µ(x̄) ⊂ x∗ + D∗ G(x̄, ȳ)(y ∗ ) : (x∗ , y ∗ ) ∈ ∂ϕ(x̄, ȳ), ȳ ∈ M (x̄) , (6.5) x∗ + D∗ G(x̄, ȳ)(y ∗ ) : (x∗ , y ∗ ) ∈ ∂ ∞ ϕ(x̄, ȳ), ȳ ∈ M (x̄) ∂ ∞ µ(x̄) ⊂ (iii) Ngoµi çc gi¶ thiÕt cña (i), gi¶ sö thªm r»ng ϕ lµ kh¶ vi chÆt t¹i (x̄, ȳ), ánh xạ đa trị M : dom G ⇒ Y có lát cắt Lipschitz trên địa ph−ơng (x̄, ȳ), và G là chính quy pháp tuyến (x̄, ȳ) Khi đó, hàm giá trị tối −u à là chính quy d−ới x̄ và (6.2) nghiệm đúng d−ới dạng đẳng thức, nghĩa là (6.6) ∂µ(x̄) = ϕx (x̄, ȳ) + D∗ G(x̄, ȳ)(ϕy (x̄, ȳ)) Chøng minh ChØ cÇn kiÓm tra (iii) Do ®iÒu kiÖn ϕ lµ kh¶ vi chÆt t¹i (x̄, ȳ), (6.3) trë thµnh bao hµm thøc ∂µ(x̄) ⊂ ϕx (x̄, ȳ) + D∗ G(x̄, ȳ)(ϕy (x̄, ȳ)) (146) 140 Đối đạo hàm ánh xạ đa trị MÆt kh¸c, §Þnh lý 4.5.2 vµ tÝnh chÝnh quy ph¸p tuyÕn cña G t¹i (x̄, ȳ), cïng với các giả thiết khác (iii), đảm bảo đẳng thức ∂µ(x̄) = ϕx (x̄, ȳ) + D∗ G(x̄, ȳ)(ϕy (x̄, ȳ)) nghiệm đúng d−ới vi phân Fréchet à Vì ta luôn có ∂à(x̄) ⊂ ∂à(x̄), từ đó suy (6.6) và tính chính quy d−ới à x̄ Bài tập 4.6.1 Sử dụng Định lý 4.6.1 để tính (hoặc đánh giá) các d−ới vi ph©n ∂µ(x̄) vµ ∂ ∞ µ(x̄) cña hµm µ VÝ dô 4.6.1 t¹i ®iÓm x̄ = Ngoµi ra, h·y tÝnh ∂µ(x̄) b»ng çch sö dông çc kÕt qu¶ ë Môc 4.5 Bài tập 4.6.2 Sử dụng Định lý 4.6.1 để tính (hoặc đánh giá) các d−ới vi ph©n ∂µ(x̄) vµ ∂ ∞ µ(x̄) cña hµm µ VÝ dô 4.6.2 t¹i x̄ = Ngoµi ra, b»ng çch sö dông çc kÕt qu¶ ë Môc 4.5 h·y tÝnh ∂µ(x̄) Tõ §Þnh lý 4.6.1 vµ mét vµi tÝnh chÊt c¬ së cña d−íi vi ph©n Mordukhovich vµ d−íi vi ph©n suy biÕn cña çc hµm sè nhËn gi¸ trÞ tËp sè thùc suy réng, chóng ta rót çc ®iÒu kiÖn cÇn cùc trÞ cho çc bµi to¸n tèi −u víi rµng buéc đa trị và các điều kiện để có tính ổn định Lipschitz các bài toán đó Hệ 4.6.1 Giả sử x̄ ∈ dom M , đó M đ−ợc cho (3.3), và giả sử ȳ là mét nghiÖm cña bµi to¸n tèi −u phô thuéc tham sè: T×m cùc tiÓu hµm sè ϕ(x̄, y) víi rµng buéc y ∈ G(x̄) Gi¶ sö r»ng ¸nh x¹ nghiÖm M (·) lµ µ-nöa liªn tôc d−íi néi bé t¹i (x̄, ȳ) ∈ gph M , hµm gi¸ trÞ tèi −u (3.1) lµ nöa liªn tôc d−íi mét l©n cËn cña x̄, hàm mục tiêu ϕ là Lipschitz địa ph−ơng, và ánh xạ mô tả ràng buộc G là giả-Lipschitz (liên tục Aubin) (x̄, ȳ) Khi đó, tồn u∗ ∈ X ∗ cho (6.7) (u∗ , 0) ∈ ∂ϕ(x̄, ȳ) + Ngph G (x̄, ȳ) Chøng minh Do çc gi¶ thiÕt, ta cã ȳ ∈ M (x̄), ®iÒu kiÖn chÝnh quy (6.1) tháa m·n, vµ ϕ lµ SNEC t¹i (x̄, ȳ) (do tÝnh chÊt Lipschitz cña ϕ) V× thÕ (6.2) và (6.3) nghiệm đúng Theo Định lý 5.2 bài báo Mordukhovich và Nam (2005a), hàm giá trị tối −u (3.1) là Lipschitz địa ph−ơng x̄ Sử dụng HÖ qu¶ 2.25 cuèn s¸ch Mordukhovich (2006a), chóng ta kÕt luËn r»ng ∂à(x̄) = ∅, nghĩa là vế phải (6.2) khác rỗng Từ đó suy điều kiện cÇn cùc trÞ (6.7) L−u ý ta có thể đặc tr−ng trọn vẹn tính chất giả-Lipschitz (liên tục Aubin) ánh xạ đa trị dạng tổng quát G: X ⇒ Y công cụ đối đạo hàm; xem Ch−¬ng Mordukhovich (2006a) Trong kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu các đặc tr−ng đó trở thành D ∗ G(x̄, ȳ)(0) = {0} (147) 4.6 D−íi vi ph©n Mordukhovich cña hµm gi¸ trÞ tèi −u 141 Do (6.3), từ đó ta có ∂∞ à(x̄) = {0} ϕ là Lipschitz địa ph−ơng (x̄, ȳ) Vì vậy, hàm giá trị tối −u (3.1) là Lipschitz địa ph−ơng và điều kiện cần cực trị (6.7) Hệ 4.6.1 nghiệm đúng B©y giê ta xÐt mét sè øng dông cña çc kÕt qu¶ nãi §Þnh lý 4.6.1 vµ Hệ 4.6.1 cho bài toán quy hoạch toán học đó các liệu có thể là các hµm kh«ng kh¶ vi Gi¶ sö r»ng ¸nh x¹ ®a trÞ G(·) (3.2) lµ ¸nh x¹ nghiÖm hệ đẳng thức và bất đẳng thức (6.8) G(x) := y ∈ Y : ϕi (x, y) 0, ϕi (x, y) = 0, i = 1, , m, i = m + 1, , m + r §Ó cho gän, chóng ta sÏ chØ ph¸t biÓu çc kÕt qu¶ t−¬ng øng víi çc kh¼ng định (i) và (ii) Định lý 4.6.1, đó ta giả sử M là à-nửa liên tục d−ới nội bé t¹i (x̄, ȳ) ∈ gph M Tr−êng hîp M lµ µ-b¸n-comp¾c néi bé t¹i x̄ ®−îc xÐt t−ơng tự Khẳng định thứ định lý sau cho ta các đánh giá cho d−ới vi phân Mordukhovich và d−ới vi phân suy biến hàm à(ã), còn khẳng định thø hai lµ quy t¾c nh©n tö Lagrange cho bµi to¸n quy ho¹ch to¸n häc cã tham số Ta l−u ý là khẳng định thứ hai d−ới vi phân các hàm ϕ và ϕi (i = 1, , m + r) đ−ợc lấy theo cặp biến (x, y), đó y là biến quy hoạch bµi to¸n, cßn x lµ tham sè Định lý 4.6.2 Giả sử M (ã) là ánh xạ nghiệm (1.3), đó ánh xạ G đ−ợc cho bëi c«ng thøc (6.8) Gi¶ sö r»ng M lµ µ-nöa liªn tôc d−íi néi bé t¹i (x̄, ȳ) ∈ gph M , ϕ và tất các hàm ϕi là Lipschitz địa ph−ơng (x̄, ȳ), và (λ1 , , λm+r ) = ∈ IRm+r lµ vÐc t¬ nhÊt tháa hÖ ®iÒu kiÖn m (6.9) 0∈ m+r λi ∂ϕi (x̄, ȳ) + i=1 (λ1 , , λm+r ) ∈ λi (∂ϕi (x̄, ȳ) i=m+1 m+r IR+ , λi ϕi (x̄, ȳ) = ∪ ∂(−ϕi )(x̄, ȳ)), víi i = 1, , m (đ−ợc gọi là điều kiện chính quy, hay điều kiện chuẩn hoá ràng buộc) Khi đó ta cã çc bao hµm thøc (6.10) m λi ∂ϕi (x̄, ȳ) ∂µ(x̄) ⊂ u∗ ∈ X ∗ : (u∗ , 0) ∈ ∂ϕ(x̄, ȳ) + m+r + i=1 λi (∂ϕi (x̄, ȳ) ∪ ∂(−ϕi )(x̄, ȳ)) víi i=m+1 m+r vµ λi ϕi (x̄, ȳ) = 0, i = 1, , m , (λ1 , , λm+r ) ∈ IR+ (148) Đối đạo hàm ánh xạ đa trị 142 (6.11) ∂ ∞ µ(x̄) ⊂ u∗ ∈ X ∗ : (u∗ , 0) ∈ m λi ∂ϕi (x̄, ȳ) i=1 m+r λi (∂ϕi (x̄, ȳ) ∪ ∂(−ϕi )(x̄, ȳ)) víi + m+r vµ λi ϕi (x̄, ȳ) = 0, i = 1, , m (λ1 , , λm+r ) ∈ IR+ i=m+1 Ngoài ra, (6.10) trở thành đẳng thức và à là chính quy d−ới x̄ nh− tất c¶ çc hµm sè ϕ vµ ϕi lµ kh¶ vi chÆt t¹i (x̄, ȳ) vµ M : dom G ⇒ Y cã l¸t c¾t Lipschitz trên địa ph−ơng (x̄, ȳ) (ii) Ngoài các giả thiết chung định lý, giả sử thêm quan hệ (x∗ , 0) ∈ m m+r λi (∂ϕi (x̄, ȳ) ∪ ∂(−ϕi )(x̄, ȳ)) λi ∂ϕi (x̄, ȳ) + i=1 i=m+1 m+r tháa m·n λi ϕi (x̄, ȳ) = 0, i = 1, , m, chØ x¶y víi (λ1 , , λm+r ) ∈ IR+ m+r ∗ x = Khi đó tồn u∗ ∈ X ∗ và các nhân tử (λ1 , , λm+r ) ∈ IR+ cho λi ϕi (x̄, ȳ) = víi i = 1, , m vµ (6.12) m (u∗ , 0) ∈ ∂ϕ(x̄, ȳ) + m+r λi (∂ϕi (x̄, ȳ) ∪ ∂(−ϕi )(x̄, ȳ)) λi ∂ϕi (x̄, ȳ) + i=1 i=m+1 Chøng minh (i) §Ó thu ®−îc çc bao hµm thøc (6.10) vµ (6.11), ta sö dông çc bao hàm thức (6.2) và (6.3) Định lý 4.6.1, đó đối đạo hàm D∗ G(x̄, ȳ) ®−îc tÝnh cho ¸nh x¹ G cho bëi c«ng thøc (6.8) Ta nhËn xÐt r»ng ®iÒu kiÖn chính quy (6.1) và tính chất SNEC hàm giá ϕ tự động nghiệm đúng, vì ϕ đ−ợc giả thiết là Lipschitz địa ph−ơng Do cã gi¶ thiÕt chÝnh quy (6.9) vµ çc hµm ϕi (i = 1, , m + r) là Lipschitz địa ph−ơng (x̄, ȳ), áp dụng Hệ 4.36 Mordukhovich (2006a) ta có đánh giá D ∗ G(x̄, ȳ)(v ∗ ) ⊂ u∗ ∈ X ∗ : (u∗ , −v ∗ ) ∈ m+r (6.13) m λi ∂ϕi (x̄, ȳ) i=1 λi (∂ϕi (x̄, ȳ) ∪ ∂(−ϕi )(x̄, ȳ)) víi + i=m+1 m+r vµ λi ϕi (x̄, ȳ) = 0, i = 1, , m (λ1 , , λm+r ) ∈ IR+ cho đối đạo hàm D∗ G(x̄, ȳ) ánh xạ đa trị G cho hệ ràng buộc (6.8) (149) 4.6 D−íi vi ph©n Mordukhovich cña hµm gi¸ trÞ tèi −u 143 LÊy tïy ý u∗ ∈ ∂µ(x̄) Do (6.2), tån t¹i (x∗ , y ∗ ) ∈ ∂ϕ(x̄, ȳ) cho u∗ − x∗ ∈ D∗ G(x̄, ȳ)(y ∗ ) Theo (6.13), tån t¹i (λ1 , , λm+r ) ∈ IRm+r víi λi vµ λi ϕi (x̄, ȳ) = víi mäi i = 1, , m cho m (u∗ − x∗ , −y ∗ ) ∈ λi ∂ϕi (x̄, ȳ) i=1 m+r λi (∂ϕi (x̄, ȳ) ∪ ∂(−ϕi )(x̄, ȳ)) + i=m+1 Từ đó suy (u∗ , 0) ∈ (x∗ , y ∗ ) + m+r m λi ∂ϕi (x̄, ȳ) i=1 λi (∂ϕi (x̄, ȳ) ∪ ∂(−ϕi )(x̄, ȳ)), + i=m+1 và ta đến kết luận u∗ là phần tử thuộc tập hợp vế phải bao hàm thức (6.10) Ta đã chứng minh ∂à(x̄) là tập tập hợp đó Vì ϕ là Lipschitz địa ph−ơng (x̄, ȳ), nên ∂∞ ϕ(x̄, ȳ) = {0} Do đó, kết hîp (6.3) víi (6.13) theo çch võa råi, ta thu ®−îc (6.11) Đẳng thức (6.10) suy từ khẳng định (iii) Định lý 4.6.1 và kiÖn nãi r»ng ¸nh x¹ ®a trÞ G cho bëi (6.8) lµ chÝnh quy tiÕp tuyÕn t¹i (x̄, ȳ) d−íi gi¶ thiÕt çc hµm ϕi lµ kh¶ vi chÆt (xem Mordukhovich (2006a), HÖ qu¶ 4.35) (ii) §Ó thu ®−îc ®iÒu kiÖn cÇn cùc trÞ (6.12), ta sÏ ¸p dông HÖ qu¶ 4.6.1 vµ công thức (6.13) Ta l−u ý rằng, định nghĩa, x∗ ∈ D∗ G(x̄, ȳ)(y ∗ ) và (x∗ , −y ∗ ) ∈ Ngph G (x̄, ȳ) Nh− vậy, công thức (6.13) cho ta đánh giá trên (đánh giá ngoài) cho hình nón pháp tuyến Ngph G (x̄, ȳ) Với l−u ý đơn giản đó, từ (6.7) và (6.13) ta thu đ−ợc (6.12) Ta còn phải kiểm tra tÝnh gi¶-Lipschitz (tÝnh liªn tôc Aubin) cña G - mét gi¶ thiÕt cña HÖ qu¶ 4.6.1 Để làm việc đó, ta cần để ý Hệ 4.43 Mordukhovich (2006a) khẳng định ánh xạ G cho (6.8) là giả-Lipschitz (x̄, ȳ) d−ới giả thiết chính quy nói khẳng định thứ hai định lý Çc kÕt qu¶ §Þnh lý 4.6.2 më réng çc kÕt qu¶ cña Rockafellar (1985), đó tác giả đ−a các đánh giá cho d−ới vi phân Clarke hàm giá trị tối −u (150) Đối đạo hàm ánh xạ đa trị 144 vµ sö dông çc d−íi vi ph©n Clarke cho çc biÓu thøc bªn vÕ ph¶i cña (6.10)– (6.12) L−u ý r»ng c«ng thøc m« t¶ quan hÖ gi÷a d−íi vi ph©n Clarke víi d−íi vi ph©n Mordukhovich vµ d−íi vi ph©n suy biÕn ∂ Cl µ(x̄) = cl∗ co [∂µ(x̄) + ∂ ∞ µ(x̄)], (6.14) đó cl∗ ký hiệu phép lấy bao đóng tôpô yếu∗ X ∗ , nghiệm đúng cho tr−êng hîp kh«ng gian Asplund (xem Mordukhovich (2006a), §Þnh lý 3.57) Sö dụng (6.14), từ Định lý 4.6.2 ta rút các đánh giá trên cho d−ới vi phân Clarke cña hµm gi¸ trÞ tèi −u bµi to¸n quy ho¹ch to¸n häc kh«ng tr¬n phô thuéc tham số; xem Clarke (1983) và Rockafellar (1982) Nhận xét rằng, d−ới vi phân Clarke ta có đẳng thức ∂ Cl (−ϕ)(x̄) = −∂ Cl ϕ(x̄) (xem Clarke (1983)) Do đó, các biểu thức t−ơng tự tr−ờng hợp d−ới vi ph©n Clarke cña çc biÓu thøc λi ∂ϕi (x̄, ȳ) ∪ ∂(−ϕi )(x̄, ȳ) víi λi 0, i = m + 1, , m + r, §Þnh lý 4.6.2 sÏ lµ λi ∂ Cl ϕi (x̄, ȳ) víi λi ∈ IR; hoµn toµn gièng nh− các đánh giá vi phân đã đ−ợc thiết lập Clarke (1983) và Rockafellar (1982, 1985) Tõ §Þnh lý 4.6.2 ta cã thÓ rót çc kÕt qu¶ t−¬ng øng cho çc bµi to¸n quy ho¹ch to¸n häc víi hµm môc tiªu vµ çc hµm rµng buéc lµ kh¶ vi chÆt Tr−íc làm việc đó, chúng ta đ−a vài định nghĩa và ký hiệu §Þnh nghÜa 4.6.3 Hµm sè L(x, y, λ) = ϕ(x, y) + λ1 ϕ1 (x, y) + + λm+r ϕm+r (x, y) ®−îc gäi lµ hµm Lagrange cña bµi to¸n (3.2) víi G(x) ®−îc cho bëi (6.8) Bé sè λ := (λ1 , , λm+r ) ∈ IRm+r ®−îc gäi lµ çc nh©n tö Lagrange Víi mçi cÆp (x̄, ȳ) ∈ gph M , ta xÐt tËp nh©n tö Lagrange (6.15) m+r λi (ϕi )y (x̄, ȳ) = 0, Λ(x̄, ȳ) := λ ∈ IRm+r : ϕy (x̄, ȳ) + i=1 λi 0, λi ϕi (x̄, ȳ) = víi mäi i = 1, , m vµ “tËp nh©n tö Lagrange suy biÕn” (6.16) Λ∞ (x̄, ȳ) := λ ∈ IRm+r : m+r λi (ϕi )y (x̄, ȳ) = 0, λi 0, i=1 λi ϕi (x̄, ȳ) = víi i = 1, , m (151) 4.6 D−íi vi ph©n Mordukhovich cña hµm gi¸ trÞ tèi −u 145 Gièng nh− Ch−¬ng 2, ta nãi ®iÒu kiÖn chÝnh quy Mangasarian-Fromovitz (hay ®iÒu kiÖn chuÈn ho¸ rµng buéc Mangasarian-Fromovitz) tháa m·n t¹i (x̄, ȳ) ∈ gph M nÕu çc gradient ϕm+1 (x̄, ȳ), , ϕm+r (x̄, ȳ) là độc lập tuyến tính và tồn w ∈ X ì Y cho ϕi (x̄, ȳ), w = với mäi i = m + 1, , m + r vµ ϕi (x̄, ȳ), w < víi mäi i = 1, , m mµ ϕi (x̄, ȳ) = HÖ qu¶ 4.6.2 Trong ký hiÖu cña §Þnh lý 4.6.2, gi¶ sö r»ng çc hµm ϕ vµ ϕi lµ kh¶ vi chÆt t¹i (x̄, ȳ), vµ gi¶ sö r»ng ®iÒu kiÖn chÝnh quy Mangasarian-Fromovitz thỏa mãn (x̄, ȳ) Khi đó ta có các bao hàm thức (6.18) ∂µ(x̄) ⊂ $ ϕx (x̄, ȳ) + m+r λ∈Λ(x̄,ȳ) (6.19) ∞ ∂ µ(x̄) ⊂ λ∈Λ∞ (x̄,ȳ) $ m+r i=1 i=1 % λi (ϕi )x (x̄, ȳ) , % λi (ϕi )x (x̄, ȳ) , đó tập các nhân tử Lagrange Λ(x̄, ȳ) và Λ∞ (x̄, ȳ) t−ơng ứng đ−ợc cho (6.15) và (6.16) Ngoài ra, (6.18) nghiệm đúng d−ới dạng đẳng thức ánh xạ nghiệm M : dom G ⇒ Y có lát cắt Lipschitz trên địa ph−ơng (x̄, ȳ) Chøng minh Çc kÕt luËn cña hÖ qu¶ nµy suy trùc tiÕp tõ §Þnh lý 4.6.2(i) v× r»ng ∂φ(x̄) = {φ (x̄)} víi mäi hµm φ kh¶ vi chÆt t¹i x̄ Do (6.19), ∂∞ à(x̄) = {0} ϕi thỏa mãn điều kiện chính quy MangasarianFromovitz y, tức là các gradient ϕi (x̄, ȳ) Định nghĩa 4.6.4 ®−îc thay bëi (ϕi )y (x̄, ȳ) Do biÓu diÔn (6.14), tõ çc kÕt qu¶ thu ®−îc Hệ 4.6.2 ta suy các đánh giá trên t−ơng ứng cho d−ới vi phân Clarke cña hµm gi¸ trÞ tèi −u quy ho¹ch tr¬n KÕt qu¶ nµy më réng mét kÕt qu¶ quen biết, đó là Định lý 5.3 Gauvin và Dubeau (1982) L−u ý kết qu¶ cña Gauvin vµ Dubeau ®−îc chøng minh cho tr−êng hîp kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu Chóng ta nhËn xÐt r»ng çc kÕt qu¶ cña §Þnh lý 4.6.2 vµ HÖ qu¶ 4.6.2, ë đó đ−a các đánh giá cho d−ới vi phân hàm giá trị tối −u quy hoạch toán học thông qua tập nhân tử Lagrange, đòi hỏi điều kiện chính quy kiÓu Mangasarian-Fromovitz trªn hÖ rµng buéc §èi víi §Þnh lý 4.6.1 vµ HÖ 4.6.1 nó, đó đ−a các đánh giá cho d−ới vi phân hàm giá trị tối −u tổng quát thông qua đối đạo hàm ánh xạ đa trị mô tả ràng buộc, ta không cần đến điều kiện chính quy mạnh nh− Thay vào đó, ta (152) Đối đạo hàm ánh xạ đa trị 146 cần sử dụng điều kiện chính quy khá nhẹ, đó là điều kiện (6.1) Nh− đã nói trên, điều kiện (6.1) luôn thỏa mãn hàm giá là Lipschitz địa ph−ơng Bây chúng ta trình bày ví dụ cụ thể để chứng tỏ Định lý 4.6.1 cho phÐp chóng ta tÝnh to¸n trän vÑn d−íi vi ph©n Mordukhovich vµ d−íi vi ph©n suy biÕn cña hµm gi¸ trÞ tèi −u (víi dÊu b»ng x¶y tÊt c¶ çc đánh giá dạng bao hàm thức Định lý 4.6.1) bài toán quy hoạch trơn vµ kh«ng låi, ®iÒu kiÖn chÝnh quy nãi HÖ qu¶ 4.6.2 kh«ng ®−îc thỏa mãn (do đó Hệ 4.6.2 không áp dụng đ−ợc) Những quan sát t−ơng tự đúng với hầu hết ‘các ví dụ bệnh tật’ (pathological examples) Gauvin vµ Dubeau (1984) VÝ dô 4.6.3 XÐt bµi to¸n quy ho¹ch to¸n häc kh«ng låi (3.2) víi çc d÷ liÖu tr¬n ®−îc cho bëi ϕ(x, y) := −y x vµ G(x) := {y ∈ IR : y − x 0}, x ∈ IR DÔ thÊy r»ng M (x) = G(x) = µ(x) = [− ∅ −x2 ∞ √ √ x, x] nÕu x 0, nÕu x < 0; nÕu x 0, nÕu x < VËy ¸nh x¹ nghiÖm M võa lµ µ-nöa liªn tôc d−íi néi bé t¹i (x̄, ȳ) = (0, 0), võa lµ µ-b¸n-comp¾c néi bé t¹i x̄ = Ngoµi ra, çc gi¶ thiÕt kh¸c cña §Þnh lý 4.6.1 đ−ợc thỏa mãn Từ định nghĩa suy {0} nÕu x̄ > 0, {−2x̄} nÕu x̄ > 0, ∞ ∂µ(x̄) = ∂ µ(x̄) = (−∞, 0] nÕu x̄ = (−∞, 0] nÕu x̄ = 0; Hơn nữa, chúng ta tính đ−ợc nón pháp tuyến đồ thị ánh xạ đa trị G điểm đáng quan tâm nh− sau: Ngph G ((0, 0)) = (−∞, 0] × {0}, √ √ Ngph G ((x̄, x̄)) = { − λ(1, −2 x̄) : λ ≥ 0}, √ √ Ngph G ((x̄, − x̄)) = { − λ(1, x̄) : λ 0} Kết hợp tất điều đó, chúng ta kết luận các bao hàm thức (6.2) và (6.3) nghiệm đúng d−ới dạng các đẳng thức điểm (x̄, ȳ) ∈ gph M và các bao hàm thức (6.4) và (6.5) nghiệm đúng d−ới dạng các đẳng thức ®iÓm x̄ ∈ dom M NhËn xÐt r»ng ®iÒu kiÖn chÝnh quy Mangasarian-Fromovitz cã tham sè (xem §Þnh nghÜa 4.6.4) kh«ng tháa m·n t¹i (x̄, ȳ) = (0, 0), nghÜa lµ HÖ qu¶ 4.6.2 kh«ng ¸p dông ®−îc cho vÝ dô nµy (153) 4.6 D−íi vi ph©n Mordukhovich cña hµm gi¸ trÞ tèi −u 147 Chúng ta kết thúc mục này vài công thức đánh giá d−ới vi phân cña hµm gi¸ trÞ tèi −u bµi to¸n tèi −u hai cÊp víi rµng buéc c©n b»ng §Ó cho đơn giản, chúng ta phát biểu kết d−ới giả thiết nói ánh xạ nghiệm là à-nửa liên tục d−ới nội Một số kết theo h−ớng này đã đ−ợc Lucet vµ Ye (2001) thiÕt lËp cho tr−êng hîp kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu XÐt líp bµi to¸n (3.2) d−íi d¹ng bµi to¸n tèi −u cã rµng buéc c©n b»ng, víi G(x) lµ tËp nghiÖm cña hÖ biÕn ph©n cã tham sè (cßn gäi lµ rµng buéc c©n b»ng cã tham sè, hay ph−¬ng tr×nh suy réng phô thuéc tham sè) d¹ng (5.29) §Þnh lý 4.6.3 XÐt hµm gi¸ trÞ tèi −u µ(·) cho bëi (3.1) víi ¸nh x¹ m« t¶ rµng buộc cho (5.29), đó X và Y là các không gian Asplund, Z là không gian Banach bÊt kú Gi¶ sö r»ng ¸nh x¹ nghiÖm M : dom G ⇒ Y lµ µ-nöa liªn tục d−ới nội điểm (x̄, ȳ) ∈ gph M và hàm giá ϕ là Lipschitz địa ph−ơng (x̄, ȳ) Ký hiệu z̄ := −f (x̄, ȳ) ∈ Q(x̄, ȳ) Khi đó, các khẳng định sau nghiệm đúng: (i) Giả sử f : X ì Y → X = Z là khả vi chặt (x̄, ȳ) với đạo hàm f (x̄, ȳ) : X × Y → Z là ánh xạ tràn, và giả sử (5.29) ta có Q = Q(y) Khi đó ∗ x∗ + fx (x̄, ȳ) (z ∗ ) : ∂µ(x̄) ⊂ (x∗ ,y ∗ )∈∂ϕ(x̄,ȳ) z ∗ ∈Z ∗ ∂ ∞ µ(x̄) ⊂ z ∗ ∈Z ∗ ∗ −y ∗ ∈ fy (x̄, ȳ) (z ∗ ) + D∗ Q(ȳ, z̄)(z ∗ ) , (fx (x̄, ȳ))∗ (z ∗ ) : −y ∗ ∈ (fy (x̄, ȳ))∗ (z ∗ ) + D∗ Q(ȳ, z̄)(z ∗ ) (ii) Gi¶ sö Z còng lµ kh«ng gian Asplund, f : X × Y → Z lµ liªn tôc lân cận (x̄, ȳ), và Q: X ì Y ⇒ Z có đồ thị đóng lân cận (x̄, ȳ, z̄) Khi đó ∂µ(x̄) ⊂ u∗ ∈ X ∗ : ∃z ∗ ∈ Z ∗ víi ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ (u , 0) ∈ ∂ϕ(x̄, ȳ) + D f (x̄, ȳ)(z ) + D Q(x̄, ȳ, z̄)(z ) , ∂ ∞ µ(x̄) ⊂ u∗ ∈ X ∗ : ∃z ∗ ∈ Z ∗ víi (u∗ , 0) ∈ D∗ f (x̄, ȳ)(z ∗ ) +D ∗ Q(x̄, ȳ, z̄)(z ∗ ) , nÕu nh− (x∗ , y ∗ , z ∗ ) = (0, 0, 0) lµ bé ba nhÊt tháa m·n ®iÒu kiÖn (x∗ , y ∗ ) ∈ D∗ f (x̄, ȳ)(z ∗ ) ∩ ( − D∗ Q(x̄, ȳ, z̄)(z ∗ )) (154) Đối đạo hàm ánh xạ đa trị 148 và là Q là SNC (x̄, ȳ, z̄), là f là Lipschitz địa ph−ơng (x̄, ȳ) vµ kh«ng gian Z lµ h÷u h¹n chiÒu Chứng minh Dựa vào khẳng định (i) Định lý 4.6.2 ta có các kết luận định lý này cách sử dụng các đánh giá trên cho đối đạo hàm D∗ G(x̄, ȳ) cho t−¬ng øng bëi §Þnh lý 4.44(i) vµ §Þnh lý 4.46 Mordukhovich (2006a), với l−u ý các đánh giá đó nghiệm đúng d−ới các giả thiết phát biểu các khẳng định (i) và (ii) Bạn đọc có thể xem thêm tiểu mục 4.4.1 Mordukhovich (2006a) để biết các đánh giá chi tiết cho đối đạo hàm ánh xạ đa trị G mô tả ràng buộc cân các dạng cụ thể Các đánh giá chi tiết này cho phép chúng ta đặc biệt hoá các kết luận Định lý 4.6.3 cho bài toán tối −u có ràng buộc cân với cấu trúc đặc thù Trong Ch−ơng sách Mordukhovich (2006b) bạn đọc có thể tìm thấy các điều kiện cần cực trị cho bài toán tối −u có ràng buộc cân và các vấn đề có liên quan đến bài toán tối −u phân cấp (hierarchical) kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu vµ v« h¹n chiÒu Bµi tËp 4.6.3 Cho X, Y, Z, ϕ, f, Q, G, µ vµ x̄ nh− ë Bµi tËp 4.5.6 áp dụng Định lý 4.6.3 để tính (hoặc đánh giá) các d−ới vi phân ∂à(x̄) ∂ ∞ µ(x̄) cña hµm µ t¹i ®iÓm x̄ 4.7 D−íi vi ph©n Mordukhovich cña phiÕm hµm tÝch ph©n Çc kÕt qu¶ môc nµy thuéc vÒ NguyÔn Huy Chiªu (xem Chieu (2006c)) Định lý sau đây cho ta công thức để tính tích phân Aumann ánh xạ d−íi vi ph©n FrÐchet cña hµm sè thùc Lipschitz Định lý 4.7.1 Giả sử f : [a, b] → R là hàm số Lipschitz Khi đó, ) b a (t)dt = {f (b) − f (a)} ∂f C«ng thøc tÝnh tÝch ph©n Aumann cña ¸nh x¹ d−íi vi ph©n Mordukhovich hoµn toµn t−¬ng tù nh− tr−êng hîp ¸nh x¹ d−íi vi ph©n Clarke §Þnh lý sau ®©y ®−îc chøng minh nhê vµo §Þnh lý 3.2.1, c«ng thøc (6.14), vµ §Þnh lý 3.4.1 Định lý 4.7.2 Giả sử f : [a, b] → R là hàm số Lipschitz Khi đó, ) a b $ ∂f (t)dt = − ) a b ) f (t; −1)dt, b a % f (t; 1)dt (155) 4.7 D−íi vi ph©n Mordukhovich cña phiÕm hµm tÝch ph©n 149 Sau ®©y lµ çc c«ng thøc tÝnh d−íi vi ph©n FrÐchet vµ d−íi vi ph©n Mordukhovich phiếm hàm tích phân, đó hàm số d−ới dấu tích phân liên tôc t¹i mäi ®iÓm mét l©n cËn thñng cña ®iÓm ®−îc xÐt (nh−ng cã thÓ gi¸n đoạn chính điểm đó) 73 §Þnh lý 4.7.4 Cho f : [a, b] → IR lµ hµm sè thùc kh¶ tÝch Lebesgue trªn [a, b] )x Xét phiếm hàm tích phân F (x) := f (t) dà, đó x ∈ [a, b] Giả sử f a liªn tôc t¹i mäi ®iÓm mét l©n cËn thñng cña ®iÓm x̄ ∈ (a, b) vµ tån t¹i các giới hạn hữu hạn α := lim f (t), β := lim f (t) Khi đó, x→x̄−0 (7.1) (x̄) = ∂F vµ ⎧ ⎨ [α, β ] ⎩ ∅ ∂F (x̄) = ⎩ nÕu α β nÕu β < α, ⎧ ⎨ [α, β] (7.2) x→x̄+0 nÕu α β { α, β } nÕu β < α Bµi tËp 4.7.1 XÐt hµm sè f (t) = −1 nÕu t ∈ [−1, 0) nÕu t ∈ [0, 1] )x vµ phiÕm hµm tÝch ph©n F (x) := (0) vµ ∂F (0) theo hai çch: ∂F f (t) dµ H·y tÝnh çc d−íi vi ph©n −1 a) B»ng çc c«ng thøc (7.1) vµ (7.2); b) Bằng định nghĩa (sau xác định đ−ợc công thức hiển hàm F ) Bµi tËp 4.7.2 XÐt hµm sè f (t) = nÕu t ∈ [−1, 0) nÕu t ∈ [0, 1] −1 )x vµ phiÕm hµm tÝch ph©n F (x) := (0) vµ ∂F (0) theo hai çch: ∂F 73 f (t) dµ H·y tÝnh çc d−íi vi ph©n −1 L−u ý r»ng c«ng thøc tÝnh d−íi vi ph©n Clarke cña phiÕm tÝch ph©n d¹ng F (x) = x a đã có Clarke (1983), tr 34 f (t) dµ (156) Đối đạo hàm ánh xạ đa trị 150 a) B»ng çc c«ng thøc (7.1) vµ (7.2); b) Bằng định nghĩa (sau xác định đ−ợc công thức hiển hàm F ) Bài tập 4.7.3 ∗ Sử dụng các định nghĩa Mục 4.2 và Định lý giá trị trung bình tích phân Riemann, hãy đ−a chứng minh cho Định lý 4.7.4 Câu hỏi đặt là: Liệu có thể đ−a các công thức t−ơng tự nh− (7.1) và (7.2) cho tr−êng hîp f cã v« sè ®iÓm gi¸n ®o¹n mét l©n cËn thñng tïy ý cña ®iÓm x̄ ∈ (a, b) hay kh«ng NÕu f lµ hµm h»ng ë kho¶ng gi÷a bÊt kú hai ®iÓm gi¸n ®o¹n kÕ tiÕp nµo, th× ta cã kÕt qu¶ sau §Þnh lý 4.7.5 Gi¶ sö {tk }, {τk }, {αk }, vµ {βk } lµ çc d·y sè thùc cho a = t0 < t1 < < tk < tk+1 < < x̄ < < τk+1 < τk < < τ1 < τ0 = b, ∞ ∞ αk (tk −tk−1 ) vµ βk (τk−1 −τk ) lim tk = lim τk = x̄ Gi¶ sö hai chuçi k→∞ k→∞ k=1 f (t)dt, đó là hội tụ tuyệt đối Xét phiếm hàm tích phân F (x) := ⎧ ⎨ αi α0 f (t) = ⎩ βj k=1 )x a nÕu ti−1 t < ti , i = 1, 2, nÕu t = x̄ nÕu τj t < τj−1 , j = 1, 2, §Æt ∞ α := − lim inf k→∞ i=k+1 ∞ αi (ti − ti−1 ) tk − x̄ , β := lim inf i=k+1 βi (τi−1 − τi ) τk − x̄ k→∞ , vµ Ω := { lim αik } ∪ { lim βjk } ∪ lim sup[αi , αi+1 ] ∪ lim sup[βj+1 , βj ], ik →∞ jk →∞ N i →1 ∞ N j →2 ∞ đó N1 := {i ∈ IN : αi αi+1 }, N2 := {j ∈ IN : βj+1 βj }, { lim αik } ik →∞ vµ { lim βjk } t−¬ng øng lµ tËp hîp tÊt c¶ çc ®iÓm tô cña çc d·y {αk } vµ jk →∞ {βk } Khi đó các khẳng định sau nghiệm đúng: (x̄) = [α, β] vµ ∂F (x̄) = Ω ∪ [α, β] (i) NÕu α, β ∈ R, th× ∂F (x̄) = ∅ vµ ∂F (x̄) = Ω (ii) NÕu α = +∞ hoÆc β = −∞, th× ∂F (x̄) = ∂F (x̄) = R (iii) NÕu α = −∞ vµ β = +∞, th× ∂F (x̄) = (−∞, β] vµ ∂F (x̄) = Ω ∪ (−∞, β] (iv) NÕu α = −∞ vµ β ∈ R, th× ∂F (157) 4.7 D−íi vi ph©n Mordukhovich cña phiÕm hµm tÝch ph©n 151 (x̄) = [α, +∞) vµ ∂F (x̄) = Ω ∪ [α, +∞) (v) NÕu α ∈ R vµ β = +∞, th× ∂F Sau đây là ví dụ ứng với khả đ−ợc mô tả định lý nói trên Trong çc vÝ dô nµy ta lu«n lÊy a = 0, b = 1, x̄ = 12 VÝ dô 4.7.1 §Æt tk = − ,τ 2k k αk = = 3+ 4+ + 2k 2k , βk 2k = víi mäi k ∈ IN , vµ nÕu k = 2i nÕu k = 2i + đó i = 0, 1, Bằng tính toán trực tiếp, ta có Ω = [3, 4] ∪ {7}, α = 11 , 11 11 ∂F (x̄) = [ , 7] vµ ∂F (x̄) = [3, 4] ∪ [ , 7] k VÝ dô 4.7.2 §Æt tk = 12 − 21k , τk = 12 + 21k , βk = β ∈ R, vµ αk = 32 víi mäi (x̄) = ∅ vµ k ∈ N Ta tÝnh ®−îc Ω = {β} vµ α = +∞ Theo §Þnh lý 4.7.5, ∂F ∂F (x̄) = {β} k k vµ αk = − 32 víi VÝ dô 4.7.3 §Æt tk = 12 − 21k , τk = 12 + 21k , βk = 32 mäi k ∈ IN Ta cã Ω = ∅, α = −∞, vµ β = +∞ V× vËy, theo §Þnh lý 4.7.5, (x̄) = ∂F (x̄) = R ∂F k VÝ dô 4.7.4 §Æt tk = 12 − 21k , τk = 12 + 21k , βk = β ∈ R, vµ αk = − 32 víi mäi (x̄) = (−∞, β] k ∈ IN Ta thÊy r»ng Ω = {β} vµ α = −∞ V× vËy, ∂F vµ ∂F (x̄) = (−∞, β] VÝ dô 4.7.5 §Æt tk = − ,τ 2k k = + , βk 2k = k vµ αk = α ∈ R víi mäi k ∈ IN Ta cã Ω = {α} vµ β = +∞ Tõ §Þnh lý 4.7.5 suy r»ng (x̄) = [α, +∞) vµ ∂F (x̄) = [α, +∞) ∂F (158) 152 Đối đạo hàm ánh xạ đa trị (159) Ch−¬ng Hệ bất đẳng thức suy rộng M−a vÉn hay m−a trªn hµng l¸ nhá Buæi chiÒu ngåi ngãng nh÷ng chuyÕn m−a qua (TrÞnh C«ng S¬n, “DiÔm x−a”) Trong ch−¬ng nµy chóng ta sÏ kh¶o s¸t mét sè tÝnh chÊt cña mét lo¹i ¸nh x¹ đa trị đặc biệt, đó là ánh xạ nghiệm hệ bất đẳng thức suy rộng cho hàm véctơ liên tục Kết thu đ−ợc là các định lý hàm ẩn cho ánh xạ đa trị Nguyªn lý biÕn ph©n Ekeland tr×nh bµy Ch−¬ng lµ c«ng cô kh«ng thÓ thiếu đ−ợc cho các chứng minh đây áp dụng các định lý tính nửa liên tục d−ới và tính giả-Lipschitz ánh xạ nghiệm hệ bất đẳng thức cho bài toán quy hoạch toán học phụ thuộc tham số, chúng ta thu đ−ợc các điều kiện đủ cho tính liên tục tính Lipschitz địa ph−ơng hàm giá trị tối −u Ngoài ra, chóng ta còng sÏ so s¸nh d−íi vi ph©n Mordukhovich (d−íi vi ph©n qua giíi h¹n) vµ d−íi vi ph©n theo nghÜa V Jeyakumar vµ §inh ThÕ Lôc (th−êng ®−îc gọi tắt là d−ới vi phân J-L), đối đạo hàm theo nghĩa Mordukhovich và Jacobian xÊp xØ theo nghÜa V Jeyakumar vµ § T Lôc ViÖc so s¸nh nµy cho thÊy mèi liên hệ các khái niệm vi phân đ−ợc xét đây và khái niệm đã đ−ợc xÐt Ch−¬ng Ch−¬ng nµy ®−îc viÕt trªn c¬ së çc bµi b¸o cña Jeyakumar vµ Yen (2004), Nam vµ Yen (2007), Yen (1997) Giáo s− Đinh Thế Lục đồng thời là cán nghiên cứu thuộc Viện Toán học (Hà Nội) và gi¸o s− gi¶ng d¹y t¹i Khoa To¸n, §¹i häc Tæng hîp Avignon (Ph¸p) «ng lµ mét nh÷ng chuyªn gia hµng ®Çu cña ViÖt Nam vÒ tèi −u vÐct¬, gi¶i tÝch kh«ng tr¬n, vµ gi¶i tÝch ®a trÞ 153 (160) Hệ bất đẳng thức suy rộng 154 5.1 Giíi thiÖu chung Xét hệ bất đẳng thức suy rộng ∈ f (x) + K, (1.1) x ∈ C, đó C ⊂ IRn và K ⊂ IRm là các tập lồi đóng, khác rỗng, và f : IRn → IRm là hàm véctơ liên tục Nhiễu (1.1) là hệ bất đẳng thức suy rộng có tham sè d¹ng ∈ f (x, p) + K, (1.2) x ∈ C, đó p là tham số biến thiên tập P ⊂ IRr , f : IRn ì P → IRm là hàm vÐct¬ cho tr−íc Chóng ta gi¶ sö r»ng víi mçi p ∈ P hµm sè f (·, p) lµ liªn tôc vµ tån t¹i p0 ∈ P cho f (x, p0 ) = f (x) ∀x ∈ IRn (1.3) Nhiễu (1.2) đ−ợc ký hiệu {f (x, p), P, p0 } Với p ∈ P , đặt G(p) = {x ∈ C : ∈ f (x, p) + K} Ta có G(p) là tập nghiệm (1.2) Vậy G(ã) là hàm ẩn xác định hệ bất đẳng thức có tham số (1.2) Nhận xét s × {0} K = IR+ m−s := {y = (y1 , , ym ) ∈ IRm : y1 0, , ys 0, ys+1 = = ym = 0} th× (1.1) (t−¬ng øng, (1.2)) lµ mét hÖ thèng gåm s bÊt ph−¬ng tr×nh vµ m − s ph−ơng trình với tập ràng buộc C Ta nói (1.1) là hệ bất đẳng thức trơn (t.−., Lipschitz địa ph−ơng, liên tục) f hàm thuộc lớp C1 (IRn , IRm ) (t.−., hàm Lipschitz địa ph−ơng, hàm liên tục) Robinson (1976b) đã thiết lập định lý tính ổn định nghiệm hệ bất đẳng thức trơn Định lý đó nói hệ bất đẳng thức đã cho là chính quy nghiệm nào đó thì nghiệm đó là ổn định hệ biến động d−ới tác động nhiễu nhỏ Kết Robinson đã đ−ợc mở rộng sang cho çc hÖ bao gåm nh÷ng hµm kh«ng tr¬n (xem, vÝ dô nh−, Borwein (1986), Dien vµ Yen (1991), Yen (1987, 1997)) vµ cho çc hÖ bao gåm çc to¸n tö nãn ph¸p tuyÕn (xem Mordukhovich (1994c,d), Rockafellar vµ Wets (1998)) §Ých chÝnh cña chóng ta ch−¬ng nµy lµ thiÕt lËp çc ®iÒu kiÖn tæng quát cho tính ổn định nghiệm các bất đẳng thức suy rộng liên tục, không TNTA: perturbation (161) 5.2 Các định nghĩa và kết bổ trợ 155 trơn (và không thiết là Lipschitz địa ph−ơng) có dạng (1.1) và áp dụng các kết đó để thu đ−ợc các định lý hàm ng−ợc, định lý ánh xạ mở, quy tắc nhân tử Lagrange cho bài toán tối −u có hệ ràng buộc là hệ bất đẳng thức suy réng (gäi t¾t lµ bµi to¸n tèi −u cã rµng buéc nãn3 , nÕu K lµ h×nh nãn) Chóng ta đạt đ−ợc đích đó nhờ sử dụng lý thuyết Jacobian xấp xỉ đề xuất các tác giả V Jeyakumar vµ §inh ThÕ Lôc (xem Jeyakumar vµ Luc (1998, 1999, 2002a,b)) vµ sö dông mét d¹ng më réng míi cña ®iÒu kiÖn chÝnh quy Robinson cho çc hµm vÐct¬ liªn tôc Chóng ta sÏ thÊy r»ng Jacobian xÊp xØ theo nghÜa Jeyakumar-Luc lµ mét công cụ hữu hiệu để xử lý các vấn đề liên quan đến các hàm liên tục, không thiết Lipschitz địa ph−ơng Jacobian xấp xỉ tuân theo hệ thống khá đầy đủ các quy tắc tính toán Các quy tắc này th−ờng uyển chuyển hơn, sắc nét çc quy t¾c tÝnh to¸n cho Jacobian suy réng Clarke (xem Clarke (1983)) §ã lµ v× Jacobian suy réng Clarke lu«n lµ tËp låi, vµ phÐp lÊy bao låi lµ kh«ng thÓ tránh khỏi ta tiến hành tính toán với đối t−ợng này Chẳng Jacobian suy rộng Clarke là kiểu Jacobian xấp xỉ, mà nhiều loại đạo hàm hàm véctơ (nh− tiền đạo hàm theo nghĩa Ioffe , ‘thùng đạo hàm’ không giới nội theo nghÜa Warga ) còng lµ nh÷ng vÝ dô vÒ Jacobian xÊp xØ Trong Mục 5.8 cuối ch−ơng này, chúng ta chứng tỏ đối đạo hàm theo nghÜa Mordukhovich (xem Mordukhovich (1994b), Rockafellar vµ Wets (1998), vµ Môc 4.2 Ch−¬ng 4) vµ Jacobian xÊp xØ lµ nh÷ng kh¸i niÖm rÊt khác Đó là lý chính giải thích từ các định lý hàm ẩn sử dụng đối đạo hàm Mordukhovich (1994a,c), Rockafellar và Wets (1998), , ta kh«ng thÓ rót çc kÕt qu¶ t−¬ng øng ch−¬ng nµy Trong Môc 5.3 chóng ta so sánh chi tiết khác biệt các định lý hàm ẩn thu đ−ợc đây vµ çc kÕt qu¶ cña Mordukhovich (1994a,c) Các định lý hàm ẩn, các điều kiện đủ cho tính liên tục và tính Lipschitz địa ph−ơng hàm giá trị tối −u ch−ơng này mở rộng các định lý t−ơng ứng Yen (1997), nh− tập ràng buộc cố định C là khác rỗng, đóng và lồi (Trong Yen (1997) cần giả sử C là khác rỗng và đóng.) 5.2 Các định nghĩa và kết bổ trợ Mục này trình bày vài kiện Jacobian xấp xỉ và các định nghĩa tính chính quy, nhiễu chấp nhận đ−ợc, và tính ổn định hệ bất đẳng thức suy réng liªn tôc d¹ng (1.1) TNTA: cone-constrained optimization problem TNTA: Ioffe prederivative TNTA: Warga unbounded derivative container (162) Hệ bất đẳng thức suy rộng 156 Đối với không gian Euclide Z, ký hiệu SZ đ−ợc dùng để mặt cầu đơn vị Z Bao đóng hình nón sinh tập M ⊂ Z đ−ợc ký hiệu coneM Nón đối ngẫu âm tập M đ−ợc ký hiệu M∗ , nghĩa là M ∗ = {w ∈ Z : w, z ∀z ∈ M } Nãn lïi xa (xem Jeyakumar vµ Luc (2002a,b), Rockafellar vµ Wets (1998)) M∞ cña tËp M ⊂ Z lµ tËp hîp tÊt c¶ nh÷ng vÐct¬ w ∈ Z cho tån t¹i d·y {tk } các số d−ơng hội tụ đến và dãy {zk } ⊂ M để w = lim tk zk Đối với k→∞ mét h×nh nãn M ⊂ Z vµ mét sè ε ∈ (0, 1), l©n cËn ε−nãn Mε cña M (xem Jeyakumar và Luc (2002a,b)) đ−ợc xác định công thức M ε = {z + εzB̄Z : z ∈ M } ε thay cho (M )ε Để cho đơn giản, ta viết M∞ ∞ Sau đây là vài khái niệm và kết Jacobian xấp xỉ đã đ−ợc đ−a Jeyakumar vµ Luc (1998, 1999, 2002a,b) §Þnh nghÜa 5.2.1 (Jacobian xÊp xØ) Cho f : IRn → IRm lµ ¸nh x¹ liªn tôc Tập đóng Jf (x) không gian L(IRn , IRm ) các toán tử tuyến tính từ IRn vào IRm (đ−ợc đồng với tập các ma trận cấp m ì n) đ−ợc gọi là Jacobian xÊp xØ cña f t¹i x̄ ∈ IRn nÕu, víi mäi u = (u1 , , un ) ∈ IRn vµ v = (v1 , , vm ) ∈ IRm , ta cã (2.1) (v ◦ f )+ (x̄; u) sup v, Au, A∈Jf (x̄) đó (v ◦ f )(x) = v1 f1 (x) + ã ã ã + vm fm (x) là hàm hợp v và f , và (2.2) (v ◦ f )+ (x̄; u) = lim sup t↓0 (v ◦ f )(x̄ + tu) − (v ◦ f )(x̄) t là đạo hàm theo h−ớng Dini trên v ◦ f x̄ theo h−ớng u Nếu m = th× ta th−êng viÕt ∂JL f (x̄) thay cho Jf (x̄) vµ gäi ∂JL f (x̄) lµ d−íi vi ph©n J-L cña f t¹i x̄ Bài tập 5.2.1 Chứng minh f là khả vi Fréchet x̄ với đạo hµm FrÐchet f (x̄), th× Jf (x̄) = {f (x̄)} lµ mét Jacobian xÊp xØ cña f t¹i x̄ Bài tập 5.2.2 Chứng minh (2.1) nghiệm đúng với u ∈ IRn \ {0} vµ v ∈ SIRn , th× Jf (x̄) lµ Jacobian xÊp xØ cña f t¹i x̄ TNTA: recession cone TNTA: upper Dini directional derivative (163) 5.2 Các định nghĩa và kết bổ trợ 157 Nếu f là hàm véctơ Lipschitz địa ph−ơng x̄, nghĩa là tồn > cho f (x ) − f (x) x − x víi mäi x, x mét l©n cËn cña x̄, th× Jacobian suy réng theo nghÜa Clarke (1983) Cl (2.3) J f (x̄) := co lim f (xk ) : {xk } ⊂ Ωf , xk → x̄ k→∞ lµ mét Jacobian xÊp xØ låi, comp¾c cña f t¹i x̄ ë ®©y Ωf = {x ∈ IRn : ∃ đạo hàm Fréchet f (x) f x} Sù kiÖn nµy lµ hÖ qu¶ cña çc tÝnh chÊt cña Jacobian suy réng Clarke (xem Clarke (1983)) và Định nghĩa 5.2.1 Nếu f là Lipschitz địa ph−ơng x̄ và m = 1, th× tËp hîp J Cl f (x̄) trïng víi d−íi vi ph©n suy réng Clarke ∂Cl f (x̄) cña f t¹i x̄ (xem Clarke (1983) vµ Môc 3.4 Ch−¬ng 3) Bµi tËp 5.2.3 Cho ϕ(x) = |x|, x ∈ IR H·y chøng tá r»ng tËp hîp ∂ JL ϕ(0) := {−1, 1} ⊂ ∂ Cl ϕ(0) lµ mét d−íi vi ph©n J-L cña ϕ t¹i Bµi tËp 5.2.4 XÐt ¸nh x¹ f : IR → IR ®−îc cho bëi c«ng thøc f (x) = (|x|, −x) víi mäi x ∈ IR H·y chøng minh r»ng Jf (0) := [−1, 1] × {−1} vµ Jf (0) := {−1, 1} × {−1} lµ çc Jacobian xÊp xØ cña f t¹i H·y sử dụng (2.3) để chứng tỏ tập hợp thứ ∂f (0) := [−1, 1] ì {−1} chÝnh lµ Jacobian suy réng Clarke cña f t¹i Chúng ta hãy xét ví dụ minh họa đơn giản sau Jacobian xấp xỉ hàm liên tục, nh−ng không là Lipschitz địa ph−ơng điểm đ−ợc xét Nhiều ví dô kh¸c n÷a cã Jeyakumar vµ Luc (1998, 2002a) VÝ dô 5.2.1 Gi¶ sö f (x) = x1/3 , x ∈ IR Víi x̄ = 0, dÔ thÊy r»ng Jf (x̄) = [α, +∞), đó α ∈ IR là số thực tùy ý, là Jacobian xấp xỉ f x̄ Víi x̄ = 0, tËp Jf (x̄) = { 13 x̄−2/3 } lµ mét Jacobian xÊp xØ cña f t¹i x̄ Râ rµng ¸nh x¹ Jacobian xÊp xØ x → Jf (x) lµ nöa liªn tôc trªn t¹i x̄ = Bµi tËp 5.2.5 Cho f (x) = −x 1/3 + x, x ∈ IR H·y chøng tá r»ng + f (0; u) = −∞ nÕu u > nÕu u < f + (0; u) = +∞ vµ (−f )+ (0; u) = ∞ (−f )+ (0; u) = −∞ nÕu u > nÕu u < Từ đó hãy suy Jf (0) := (−∞, α] với α < 0 đ−ợc chọn tùy ý là Jacobian xÊp xØ cña f t¹i TÝnh nãn lïi xa Jf (0) ∞ đây, với A = (α, β) ∈ Jf (0) và với u ∈ IR, ta đặt Au = (αu, βu) Xem Jeyakumar vµ Luc (2002a) (164) Hệ bất đẳng thức suy rộng 158 & Bµi tËp 5.2.6 ∗ Cho ϕ(x) = |x|, x ∈ IR Tån t¹i hay kh«ng mét d−íi vi ph©n J-L kh«ng chøa cña ϕ t¹i 0? NÕu tån t¹i, h·y viÕt c«ng thøc d−ới vi phân nh− và tính nón lùi xa tập hợp đó Quy tắc hàm hợp sau đây đóng vai trò quan trọng việc chứng minh çc kÕt qu¶ ë môc sau §Ó viÖc tr×nh bµy ®−îc trän vÑn, Môc 5.6 ta sÏ đ−a chứng minh chi tiết cho mệnh đề này Mệnh đề 5.2.1 (Quy tắc hàm hợp; xem Jeyakumar và Luc (2002a), Hệ 4.2) Cho f : IRn → IRm lµ ¸nh x¹ liªn tôc, g : IRm → IR lµ hµm sè thùc liªn tôc Gi¶ sö r»ng (i) f cã mét ¸nh x¹ Jacobian xÊp xØ Jf nöa liªn tôc trªn t¹i x̄ ∈ IRn ; (ii) g lµ kh¶ vi FrÐchet l©n cËn cña f (x̄) vµ ¸nh x¹ gradient g (·) lµ liªn tôc t¹i f (x̄) víi g (f (x̄)) = Khi đó, với ε > 0, bao đóng tập hợp g (f (x̄)) ◦ [Jf (x̄) + (Jf (x̄))ε∞ ] lµ mét Jacobian xÊp xØ cña g ◦ f t¹i x̄ §Þnh nghÜa 5.2.2 (TÝnh trµn) To¸n tö A ∈ L(IRn , IRm ) ®−îc gäi lµ trµn trªn tËp lồi đóng khác rỗng C ⊂ IRn x0 ∈ C tập đóng khác rỗng K0 ⊂ IRm víi ∈ K0 nÕu (2.4) ∈ int(A[TC (x0 )] + K0 ), đó TC (x0 ) = cone(C − x0 )) là nón tiếp tuyến C x0 theo nghĩa giải tÝch låi Trong tr−êng hîp K0 = {0}, dÔ chøng tá r»ng (2.1) lµ t−¬ng ®−¬ng víi ®iÒu kiện ∈ int(A[C − x0 ]) Vì thế, Định nghĩa 5.2.2 mở rộng khái niệm đã đ−a Jeyakumar vµ Luc (2002b) 10 Điều kiện cần cực trị sau đây suy từ định nghĩa d−ới vi phân J-L Mệnh đề 5.2.2 (xem Jeyakumar và Luc (2002b), Mệnh đề 2.1) Giả sử C ⊂ IRn lµ tËp låi vµ gi¶ sö ϕ : IRn → IR lµ hµm sè liªn tôc NÕu x̄ ∈ C lµ ®iÓm cùc tiểu địa ph−ơng ϕ trên C và ∂JL f (x̄) là d−ới vi phân J-L ϕ x̄, th× sup η, u ∀u ∈ TC (x̄) η∈∂ JL f (x̄) Bây chúng ta quay lại xét hệ bất đẳng thức suy rộng (1.1) Giả sử x0 là nghiệm hệ đó Ta l−u ý Jeyakumar và Luc (2002b) tập C có thể không đóng, và thay cho x0 ∈ C çc t¸c gi¶ sö dông ®iÒu kiÖn x0 ∈ C 10 (165) 5.2 Các định nghĩa và kết bổ trợ 159 D−íi ®©y lµ d¹ng më réng cña kh¸i niÖm chÝnh quy theo Robinson (1976b) cho hÖ nµy §Þnh nghÜa 5.2.3 (§iÒu kiÖn chÝnh quy) §èi víi hÖ (1.1), gi¶ thiÕt r»ng f cã ánh xạ Jacobian xấp xỉ Jf Khi đó, hệ đ−ợc gọi là chính quy x0 (2.5) ∈ int (A[TC (x0 )] + f (x0 ) + K) ∀A ∈ coJf (x0 ) ∪ co((Jf (x0 ))∞ \ {0}) Trong mục sau ta chứng minh (xem Bổ đề 5.3.1) điều kiện chính quy đó kéo theo tính mở các toán tử A ∈ Jf (x), đó x thuộc lân cËn cña x0 So s¸nh (2.5) víi (2.4) ta thÊy r»ng (1.1) lµ chÝnh quy t¹i x0 vµ chØ mçi to¸n tö A cña tËp coJf (x0 ) ∪ co((Jf (x0 ))∞ \ {0}) lµ trµn trªn C t¹i x0 K0 := f (x0 ) + K Ví dụ 5.2.2 Hệ (1.1) đó n = m = 1, C = IR, K = {0} và f (x) = x1/3 , là chính quy nghiệm x0 = L−u ý ánh xạ Jacobian xấp xỉ Jf đã đ−ợc xác định Ví dụ 5.2.1 §Þnh nghÜa 5.2.4 (NhiÔu chÊp nhËn ®−îc) NhiÔu {f (x, p), P, p0 } cña (1.1) ®−îc gäi lµ nhiÔu chÊp nhËn ®−îc cña hÖ t¹i x0 nÕu (i) hµm f (x, p) lµ liªn tôc t¹i (x0 , p0 ), (ii) víi mçi x ∈ IRn hµm sè f (x, ·) lµ liªn tôc trªn P , (iii) víi mçi p ∈ P hµm sè f (·, p) cã mét ¸nh x¹ Jacobian xÊp xØ ®−îc ký hiÖu bëi J1 f (·, p), (iv) tån t¹i l©n cËn U∗ cña p0 ∈ P vµ mét sè δ∗ > cho, víi mçi p ∈ U∗ , J1 f (·, p) lµ nöa liªn tôc trªn ë B̄(x0 , δ∗ ), (v) ¸nh x¹ ®a trÞ (x, p) → J1 f (x, p) lµ nöa liªn tôc trªn t¹i (x0 , p0 ) Định nghĩa 5.2.5 (Tính ổn định nghiệm) Ta nói nghiệm x0 (1.1) là ổn định d−ới nhiễu chấp nhận đ−ợc với ε > và với nhiễu chấp nhËn ®−îc {f (x, p), P, p0 } cña (1.1) t¹i x0 , tån t¹i l©n cËn U cña p0 cho G(p) ∩ B̄(x0 , ε) = ∅ ∀p ∈ U, đó G(p) là nghiệm (1.2) Trong ví dụ sau, chúng ta xét dạng đặc biệt nhiễu chấp nhận đ−ợc hệ bất đẳng thức liên tục VÝ dô 5.2.3 Gi¶ sö r»ng f : IRn → IRm lµ hµm liªn tôc, C ⊂ IRn lµ tËp låi đóng Ta đặt P = IRm , p0 = 0, và xét hàm véctơ f : IRn ì P → IRm đ−ợc cho bëi c«ng thøc f (x, p) = f (x) − p víi mäi (x, p) ∈ IRn × IRm Râ rµng r»ng {f (x, p), P, p0 } là nhiễu (1.1) Nếu, thêm vào đó, hàm f : IRn → IRm cã mét ¸nh x¹ Jacobian xÊp xØ Jf lµ nöa liªn tôc trªn t¹i mäi x ∈ IRn , th× {f (x, p), P, p0 } là nhiễu chấp nhận đ−ợc (1.1) Thật vậy, để kiểm tra (166) Hệ bất đẳng thức suy rộng 160 điều đó ta cần l−u ý rằng, với p ∈ P , công thức J1 f (x, p) = Jf (x) (x ∈ IRn ) xác định ánh xạ Jacobian xấp xỉ hàm f (ã, p) Dễ thấy ¸nh x¹ ®a trÞ (x, p) → J1 f (x, p) lµ nöa liªn tôc trªn t¹i (x0 , p0 ) §Ó cã mét vÝ dô 2/3 cụ thể, ta xác định ánh xạ f : IR2 → IR2 cách đặt f (x1 , x2 ) = (x1 , x2 ) với (x1 , x2 ) ∈ IR2 Khi đó các công thức −2/3 ! ! α 0 3x , (∀x = 0) vµ J1 f (0, p) = J1 f (x, p) = 1 đó α > 0, xác định Jacobian xấp xỉ f (ã, p), đó f (x, p) = f (x) − p (p ∈ IR2 ) 5.3 Tính ổn định Mục này đ−a các điều kiện đủ cho ánh xạ đa trị p → G(p) ∩ V , đó G(p) lµ nghiÖm cña (1.2) vµ V lµ mét l©n cËn cña x0 , lµ nöa liªn tôc d−íi ë mét l©n cËn cña p0 , cho tÝnh chÝnh quy mªtric cña G(·) t¹i (p0 , x0 ), vµ tÝnh chÊt gi¶-Lipschitz cña G(·) t¹i (p0 , x0 ) Chóng ta còng sÏ xÐt hai vÝ dô chøng tá rằng, không giống nh− tr−ờng hợp hàm ng−ợc đa trị, hàm ẩn đa trị th× tÝnh chÝnh quy mªtric vµ cho tÝnh gi¶-Lipschitz lµ hai kh¸i niÖm kh¸c Trong mục này có ba định lý chính: - Định lý 5.3.1 đ−a điều kiện đủ để ánh xạ đa trị ‘bị cắt gọn’ (truncated) p → G(p) ∩ V , đó V là lân cận x0 , là nửa liên tục d−ới l©n cËn cña p0 ; - §Þnh lý 5.3.2 bµn vÒ tÝnh chÝnh quy mªtric cña G(·) t¹i (p0 , x0 ); - Định lý 5.3.3 đề cập đến tính giả-Lipschitz hàm ẩn G(ã) (p0 , x0 ) Trong suèt môc nµy chóng ta gi¶ thiÕt r»ng x0 ∈ C lµ mét nghiÖm cña (1.1) vµ {f (x, p), P, p0 } lµ mét nhiÔu chÊp nhËn ®−îc cña (1.1) t¹i x0 Bổ đề sau đây tính mở họ toán tử tuyến tính là kết bổ trợ then chốt để thu đ−ợc các kết mục này Nó là dạng mở rộng Bổ đề 3.1 Jeyakumar và Luc (2002b) đó, các ký hiệu chóng ta, çc t¸c gi¶ xÐt tr−êng hîp K = {0} vµ P = {p0 } Bổ đề 5.3.1 Nếu (1.1) là chính quy x0 , thì tồn γ > và δ > cho (3.1) B̄IRm ⊂ γ A TC (x) ∩ B̄IRn + cone(K + f (x, p)) ∩ B̄IRm víi mäi x ∈ B̄(x0 , δ) ∩ C, p ∈ B(p0 , δ) ∩ P , vµ co J1 f (x , p ) + (J1 f (x , p ))δ∞ (3.2) A∈ x ∈B̄(x0 ,δ), p ∈B(p0 ,δ)∩P (167) 5.3 Tính ổn định 161 Chứng minh Chúng ta theo l−ợc đồ chứng minh Bổ đề 3.1 Jeyakumar và Luc (2002b) Giả sử kết luận bổ đề là sai Khi đó, với mçi k vµ δ = k−1 ta t×m ®−îc vk ∈ B̄IRm , xk , xk ∈ B̄(x0 , k−1 ) ∩ C, pk , pk ∈ B(p0 , k−1 ) ∩ P vµ Ak ∈ co J1 f (xk , pk ) + (J1 f (xk , pk ))1/k ∞ cho (3.3) vk ∈ / k Ak TC (xk ) ∩ B̄IRn + cone(f (xk , pk ) + K) ∩ B̄IRm Kh«ng gi¶m tæng qu¸t, ta cã thÓ gi¶ sö r»ng lim vk = v0 ∈ B̄IRm k→∞ Chúng ta khẳng định rằng, cách lấy dãy (nếu cần thiết), lim Ak = A0 ∈ coJ1 f (x0 , p0 ) (3.4) k→∞ hoÆc (3.5) lim tk Ak = A∗ ∈ co ((J1 f (x0 , p0 ))∞ \ {0}) k→∞ đó {tk } là dãy số d−ơng hội tụ đến Tr−ớc tiên chúng ta hãy chứng tỏ (3.4) và (3.5) dẫn đến điều mâu thuẫn Nếu (3.4) nghiệm đúng, thì (1.3) và điều kiện chính quy (2.5) ta có ∈ int (A0 [TC (x0 )] + f (x0 , p0 ) + K) V× f (x0 , p0 ) + K ⊂ cone(f (x0 , p0 ) + K)), tõ bao hµm thøc cuèi ta suy r»ng (3.6) IRm = A0 [TC (x0 )] + cone(f (x0 , p0 ) + K) Râ rµng Ω := A0 [TC (x0 ) ∩ B̄IRn ] + [cone(f (x0 , p0 ) + K) ∩ B̄IRm ] lµ tËp låi comp¾c, vµ ∈ Ω NÕu ∈ / int Ω thì, theo định lý tách các tập lồi (xem Rudin (1991), §Þnh lý 3.4), tån t¹i η ∈ SIRm cho Ω ⊂ {y ∈ IRm : η, y 0} Víi mçi v ∈ IRm , (3.6) tån t¹i u ∈ TC (x0 ) vµ v ∈ cone(f (x0 , p0 ) + K) cho v = A0 u + w Nếu ta chọn t > đủ nhỏ cho tu ∈ B̄IRn và tw ∈ B̄IRm , th× tv = A0 (tu) + tw ∈ Ω Suy η, tv 0, vµ vËy η, v V× bÊt (168) Hệ bất đẳng thức suy rộng 162 đẳng cuối đúng với v ∈ IRm , ta có điều mâu thuẫn Vậy ∈ int Ω Từ đó suy r»ng cã thÓ t×m ®−îc ε > vµ k0 > cho (3.7) B̄(v0 , ε) ⊂ k0 A0 TC (x0 ) ∩ B̄IRn + cone(f (x0 , p0 ) + K) ∩ B̄IRm Do Ak → A0 , tån t¹i k1 k0 cho Ak − A0 < ε/4 (3.8) víi mäi k k1 B©y giê ta sÏ chØ r»ng tån t¹i k2 k1 cho ε (3.9) B̄(v0 , ) ⊂ k0 A0 TC (xk ) ∩ B̄IRn + cone(f (xk , pk ) + K) ∩ B̄IRm với k k2 Thật vậy, điều đó không đúng, thì ta có thể giả sử víi mçi k tån t¹i phÇn tö uk ∈ B̄(v0 , ε/2) tháa m·n / k0 A0 TC (xk ) ∩ B̄IRn + cone(f (xk , pk ) + K) ∩ B̄IRm uk ∈ Theo định lý tách các tập lồi, tồn ξk ∈ SIRm cho ξk , uk ξk , k0 (A0 z + w) (3.10) víi mçi z ∈ TC (xk ) ∩ B̄IRn and w ∈ cone(f (xk , pk ) + K) ∩ B̄IRm B»ng çch sö dông çc d·y (nÕu cÇn), ta cã thÓ gi¶ sö r»ng ε lim uk = u0 ∈ B̄(v0 , ), k→∞ lim ξk = ξ0 đó ξ0 = k→∞ Tõ (3.10) suy (3.11) ξ0 , u0 ξ0 , k0 (A0 z + w) với z ∈ TC (x0 ) ∩ B̄IRn và w ∈ cone(f (x0 , p0 ) + K) ∩ B̄IRm Thật vậy,để chứng minh khẳng định đó ta cần chứng tỏ (3.11) nghiệm đúng với z ∈ cone(C − x0 ) ∩ B̄IRn vµ w ∈ cone(f (x0 , p0 ) + K) ∩ B̄IRm Gi¶ sö (z, w) lµ mét cÆp tháa m·n hai bao hµm thøc sau cïng Gi¶ sö r»ng z = t(c − x0 ), w = τ (f (x0 , p0 ) + v) với c ∈ C, t, τ ∈ [0, +∞) và v ∈ K Với k, ta đặt zk = t(c − xk ), wk = τ (f (xk , pk ) + v) Khi đó zk ∈ TC (xk ), wk ∈ cone(f (xk , pk ) + K), zk → z và wk → w / B̄IRn thì ta đặt k → ∞ Nếu zk ∈ B̄IRn thì ta đặt zk = zk Nếu zk ∈ zk = (z/zk )zk T−ơng tự, wk ∈ B̄IRm thì ta đặt wk = wk Nếu (169) 5.3 Tính ổn định 163 wk ∈ / B̄IRm thì ta đặt wk = (w/wk )wk Rõ ràng zk ∈ TC (xk ) ∩ B̄IRn vµ wk ∈ cone(f (xk , pk ) + K) ∩ B̄IRm víi mçi k §Ó ý r»ng zk → z vµ wk → w k → ∞ Do (3.10), ta cã ξk , uk ξk , k0 (A0 zk + wk ) víi mäi k Cho k → ∞ ta thu ®−îc (3.11) V× u0 ∈ B(v0 , ε/2), kÕt hîp (3.11) víi (3.7) ta đến ξ0 , v0 + ε ξ0 , u0 sup {ξ0 , k0 (A0 z + w) : z ∈ TC (x0 ) ∩ B̄IRn , w ∈ cone(f (x0 , p0 ) + K) ∩ B̄IRm } sup{ξ0 , v : v ∈ B(v0 , ε)} = ξ0 , v0 + ε; đó là điều mâu thuẫn Ta đã chứng tỏ tồn k2 k1 cho (3.9) đúng víi mäi k k2 Sö dông (3.8) vµ (3.9) ta cã m B(v0 , 2ε ) ⊂ k0 A0- TC (xk ) ∩ B̄IRn + cone(f (xk-, pk ) + K) ∩ B̄IR ⊂ k0 (Ak -TC (xk ) ∩ B̄IRn + (A0 − Ak ) TC (xk ) ∩ B̄IRm +- cone(f (xk , pk ).+ K) ∩ B̄IRm ) ⊂ k0 (Ak -TC (xk ) ∩ B̄IRn + B(0, 4ε ) + cone(f (xk , pk ) + K) ∩ B̄IRm ) Điều đó kéo theo (3.12) ε B̄(v0 , ) ⊂ k0 Ak TC (xk ) ∩ B̄IRn + cone(f (xk , pk ) + K) ∩ B̄IRm Chọn k k2 đủ lớn, ta có vk ∈ B̄(v0 , ε/4) Khi đó (3.12) kéo theo (3.13) vk ∈ k Ak TC (xk ) ∩ B̄IRn + cone(f (xk , pk ) + K) ∩ B̄IRm , m©u thuÉn víi (3.3) Bây ta giả sử (3.5) nghiệm đúng Do điều kiện chính quy, ta có (3.6) đó A0 đ−ợc thay A∗ Vì tồn ε > và k0 > cho (3.7), đó A0 đ−ợc thay A∗ , nghiệm đúng Các tính chất (3.8)–(3.10) đúng nh− A0 đ−ợc thay A∗ , và Ak đ−ợc thay tk Ak Khi đó tính chất (3.12) cã d¹ng ε B̄(v0 , ) ⊂ k0 tk Ak TC (xk ) ∩ B̄IRn + cone(f (xk , pk ) + K) ∩ B̄IRm với k k2 Bằng cách chọn k k2 đủ lớn cho vk ∈ B̄(v0 , ε/4) và < tk ta nhËn ®−îc (3.13), ®iÒu m©u thuÉn víi (3.3) (170) Hệ bất đẳng thức suy rộng 164 Chứng minh bổ đề kết thúc ta có thể (3.4) là (3.5) nghiệm đúng11 V× J1 f (·) lµ nöa liªn tôc trªn t¹i (x0 , p0 ), tån t¹i k0 cho (J1 f (xk , pk ))∞ ⊂ (J1 f (x0 , p0 ))∞ ∀k k0 Ta có thể giả sử kết luận đó là đúng với k Vì vậy, với k 1, tån t¹i Mkj ∈ J1 f (xk , pk ), Nkj ∈ (J1 f (x0 , p0 ))∞ , Pkj vµ Pk víi Pk 1, Pkj 1, cho nm+1 j=1 λkj = vµ nm+1 Ak = j=1 λkj ∈ [0, 1], j = 1, , nm + 1 λkj (Mkj + Nkj + Nkj Pkj ) + Pk k k Nếu các dãy {λkj Mkj }k , {λkj Nkj }k , j = 1, , nm + 1, giới nội, th× d·y {Ak } còng giíi néi B»ng çch chuyÓn sang xÐt çc d·y con, ta cã thÓ gi¶ sö r»ng lim Ak = A0 , k→∞ lim λkj = λ0j , k→∞ lim λkj Nkj = N0j , lim λkj Mkj = M0j k→∞ k→∞ với j = 1, , nm + Vì (J1 f (x0 , p0 ))∞ là hình nón đóng, ta có nm+1 N0j ∈ (J1 f (x0 , p0 ))∞ , j=1 N0j ∈ co(J1 f (x0 , p0 ))∞ Ngoµi ra, ta còng cã j=1 λ0j = Chóng ta ph©n chia tæng nm+1 j=1 λkj Mkj thµnh hai tæng: Tæng thø nhÊt bao gåm nh÷ng sè h¹ng víi d·y {Mkj }k giíi néi, vµ tæng bao gåm nh÷ng sè h¹ng víi d·y {Mkj }k kh«ng giíi nội Khi đó, các giới hạn λ0j với j lấy tập số tổng thứ hai b»ng vµ çc giíi h¹n M0j t−¬ng øng lµ çc h−íng lïi xa cña tËp J1 f (x0 , p0 ) V× vËy, λ0j = vµ, tÝnh nöa liªn tôc trªn cña J1 f t¹i (x0 , p0 ), nm+1 1 M0j ∈ co (J1 f (x0 , p0 ))∞ λkj Mkj = lim k→∞ M0j ∈ co J1 f (x0 , p0 ), λkj Mkj = lim k→∞ 2 11 Phần chứng minh này lặp lại hoàn toàn phần hai chứng minh Bổ đề 3.1 Jeyakumar và Luc (2002b) đó Mk đ−ợc thay Ak , yk (xk , pk ), F (yk ) J1 f (xk , pk ), và F (0) bëi J1 f (x0 , p0 ) TÝnh nöa liªn tôc trªn cña F (·) t¹i giê ®©y ®−îc thay bëi tÝnh nöa liªn tôc trên J1 f (x0 , p0 ) Để tiện cho tra cứu bạn đọc, khác với cách trình bày rút gọn Jeyakumar vµ Yen (2004), ë ®©y chóng t«i tr×nh bµy toµn bé çc lËp luËn chi tiÕt (171) 5.3 Tính ổn định 165 Do đó A0 ∈ co J1 f (x0 , p0 ) + co (J1 f (x0 , p0 ))∞ ⊂ co (J1 f (x0 , p0 )), tức là (3.4) nghiệm đúng NÕu sè çc d·y {λkj Mkj }k , {λkj Nkj }k , j = 1, , nm + 1, cã nh÷ng d·y kh«ng giíi néi th×, l¹i b»ng çch lÊy çc d·y con, ta cã thÓ gi¶ sö r»ng các dãy đó, chẳng hạn nh− {λkj0 Mkj0 }k với j0 ∈ {1, , nm + 1}, có phần tử λkj0 Mkj0 (k 1) là véctơ đạt chuẩn lớn số các véctơ λk1 Mk1 , , λk,nm+1 Mk,nm+1 , λk1 Nk1 , , λk,nm+1 Nk,nm+1 (NÕu d·y ®−îc chän lµ {λkj0 Nkj0 }k , th× ta còng lËp luËn t−¬ng tù.) XÐt d·y {Ak /λkj0 Mkj0 }k Hiển nhiên dãy này là giới nội, và đó ta có thể giả sử nó hội tụ đến đến ma trận A∗ nào đó Khi đó ta có A∗ ∈ co (J1 f (x0 , p0 ))∞ NhËn xÐt r»ng co (J1 f (x0 , p0 ))∞ lµ nãn nhän, v× nÕu kh«ng ph¶i nh− vËy th× co [(J1 f (x0 , p0 ))∞ \ {0}] chøa ma trËn - hiÓn nhiªn kh«ng t−¬ng øng víi to¸n tö trµn, tr¸i víi gi¶ thiÕt V× Ak = λkj0 Mkj0 nm+1 / λkj (Mkj + Nkj j=1 1 N P + kj Pkj ) + k /λkj0 Mkj0 k k vµ v× ta cã thÓ gi¶ sö r»ng mçi sè h¹ng ë tæng bªn ph¶i lµ mét d·y giíi néi, A∗ lµ tæng h÷u h¹n cña çc phÇn tö thuéc co (J1 f (x0 , p0 ))∞ V× cã Ýt nhÊt mét các số hạng tổng đó là khác (có số hạng t−ơng ứng với số j0 cã chuÈn b»ng 1), vµ co (J1 f (x0 , p0 ))∞ lµ nãn nhän, ta suy A∗ lµ ma trËn khác 0; (3.5) nghiệm đúng Bổ đề đã đ−ợc chứng minh Định lý sau đ−ợc chứng minh l−ợc đồ chứng minh Định lý 3.1 Yen (1997) Kh«ng gièng nh− Jacobian suy réng Clarke, Jacobian xÊp xØ cã thÓ lµ nh÷ng tËp kh«ng låi, kh«ng comp¾c cña çc ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh V× thÕ chóng ta ph¶i ®−a vµo mét sè c¶i tiÕn kü thuËt chøng minh §Þnh lý minimax ‘lÖch c¹nh’ (the lopsided minimax theorem) sÏ lµ mét nh÷ng c«ng cô chÝnh cña chóng ta Định lý 5.3.1 (Tính ổn định nghiệm) Nếu (1.1) là chính quy x0 và {f (x, p), P, p0 } lµ mét nhiÔu chÊp nhËn ®−îc cña hÖ t¹i x0 , th× tån t¹i çc l©n cËn U cña p0 vµ V cña x0 cho G(p) ∩ V kh¸c rçng víi mäi p ∈ U , vµ " := G(·) ∩ V lµ nöa liªn tôc d−íi ë U ¸nh x¹ ®a trÞ G(·) Chøng minh V× (1.1) lµ chÝnh quy t¹i x0 vµ {f (x, p), P, p0 } lµ mét nhiÔu chÊp nhận đ−ợc (1.1) x0 , theo Bổ đề 5.3.1, tồn γ > và δ ∈ (0, δ∗ ) cho (3.1) đúng với x ∈ B̄(x0 , δ) ∩ C, p ∈ B(p0 , δ) ∩ P , và A thỏa (3.2) đây vµ c¶ vÒ sau n÷a, δ∗ > vµ U∗ lµ sè thùc vµ l©n cËn ®−îc m« t¶ yªu cÇu (172) Hệ bất đẳng thức suy rộng 166 (iv) Định nghĩa 5.2.3.Cố định số λ ∈ (0, γ−1 ) Vì ∈ f (x0 , p0 )+ K và v× ¸nh x¹ ®a trÞ p → f (x0 , p) + K lµ nöa liªn tôc d−íi t¹i p0 , tån t¹i δ1 ∈ (0, δ) cho ∀p ∈ B(p0 , δ1 ) ∩ P ∃yp ∈ f (x0 , p) + K tháa m·n yp < λδ §Æt U = B(p0 , δ1 ) ∩ U∗ Víi mçi p ∈ U ta xÐt phÇn h¹n chÕ cña hµm sè νp (x) := d(0, f (x, p) + K) = inf{f (x, p) + v : v ∈ K} trªn tËp comp¾c B̄(x0 , δ) ∩ C DÔ thÊy r»ng vp (·) lµ hµm sè liªn tôc Ta cã νp (x0 ) = d(0, f (x0 , p)) yp λδ với số δ ∈ (0, δ) nào đó Theo nguyên lý biến phân Ekeland (xem Ekeland (1974), hoÆc §Þnh lý 2.1.1 Ch−¬ng 2), tån t¹i x̄ ∈ B̄(x0 , δ) ∩ C cho (3.14) (3.15) νp (x̄) νp (x0 ), x̄ − x0 δ , νp (x̄) νp (x) + λx − x̄ ∀x ∈ B̄(x0 , δ) ∩ C Tõ (3.14) suy r»ng x̄ ∈ B̄(x0 , δ) Ta cã ∈ f (x̄, p) + K, nghÜa lµ νp (x̄) = Thật vậy, giả sử phản chứng νp (x̄) = Vì f (x̄, p) + K là tập lồi đóng kh¸c rçng, tån t¹i nhÊt mét phÇn tö y ∈ f (x̄, p) + K cho y = d(0, f (x̄, p) + K) = inf{f (x, p) + v : v ∈ K}, y = Sö dông ®iÒu kiÖn tèi −u quy ho¹ch låi (xem VÝ dô 1.1.6 Ch−¬ng 1) ta cã y−1 y ∈ −(f (x̄, p) + K)∗ §Æt η = y−1 y vµ w = y − f (x̄, p) V× w ∈ K, nªn νp (x) f (x, p) + w víi mäi x ∈ IRn §Æt ψ(x) = f (x, p) + w vµ ϕ(x) = ψ(x) + λx − x̄ víi mäi x ∈ IRn Tõ (3.15) suy r»ng ϕ(x̄) ϕ(x) ∀x ∈ B̄(x0 , δ) ∩ C Do x̄ ∈ B(x0 , δ), tính chất cuối chứng tỏ x̄ là nghiệm địa ph−ơng ϕ trên C Theo Mệnh đề 5.2.2, (3.16) sup η, u ∀u ∈ TC (x̄), η∈∂ JL f (x̄) (173) 5.3 Tính ổn định 167 đó ∂ JL ϕ(x̄) là d−ới vi phân J-L ϕ x̄ Theo quy tắc hàm hợp phát biểu Mệnh đề 5.2.1, với ε ∈ (0, δ), bao đóng tập hợp η ◦ [J1 f (x̄, p) + (J1 f (x̄, p))ε∞ ] lµ d−íi vi ph©n J-L cña ψ t¹i x̄ Sö dông c«ng thøc tÝnh d−íi vi ph©n J-L cña tổng hai hàm số (xem Jeyakumar và Wang (1999), Mệnh đề 2.2) ta suy bao đóng tập hợp η ◦ A + λξ : A ∈ J1 f (x̄, p) + (J1 f (x̄, p))ε∞ , ξ ∈ B̄IRn là d−ới vi phân J-L ϕ x̄ Khi đó tập hợp lớn (3.17) ∂ JL ϕ(x̄) := η ◦ A + λξ : A ∈ co (J1 f (x̄, p) + (J1 f (x̄, p))ε∞ ) , ξ ∈ B̄IRn , tập lồi đóng, là d−ới vi phân J-L ϕ x̄ Đặt Q = co (J1 f (x̄, p) + (J1 f (x̄, p))ε∞ ) , D = TC (x̄) ∩ B̄IRn Ta cã (3.18) −γ −1 sup inf η, Av A∈Q v∈D Thật vậy, với A ∈ Q ta để ý A thỏa (3.2) vì (J1 f (x̄, p))ε∞ ⊂ (J1 f (x̄, p))δ∞ , x̄ ∈ B(x0 , δ) vµ p ∈ B(p0 , δ) ∩ P Do (3.1), tån t¹i v ∈ TC (x̄) ∩ B̄IRn vµ w ∈ cone(f (x̄, p) + K) ∩ B̄IRm cho −η = γ(Av + w) Khi đó −1 = −η, η = γη, Av + w Vì η, w 0, ta suy −γ−1 η, Av Vậy ta đã chứng tỏ −γ −1 inf v∈D η, Av Vì bất đẳng thức cuối nghiệm đúng với A ∈ Q, ta kết luận (3.18) nghiệm đúng Tiếp theo, ta có (3.19) inf sup η, Av −λ v∈D A∈Q ThËt vËy, gi¶ sö v ∈ D ®−îc cho tïy ý Víi mäi ε1 > 0, (3.16) vµ (3.17) tån t¹i A ∈ Q vµ ξ ∈ B̄IRn cho (η ◦ A)(v) + λξ, v −ε1 V× thÕ η, Av −λξ, v − ε1 −λ − ε1 (174) Hệ bất đẳng thức suy rộng 168 Do đó supA∈Q η, Av ≥ −λ − ε1 Vì ε1 > có thể lấy bé tùy ý, ta kết luận supA∈Q η, Av ≥ −λ; (3.19) nghiệm đúng Theo định lý minimax ‘lÖch c¹nh’ (the lopsided minimax theorem; xem Aubin vµ Ekeland (1984), tr 319), ta cã sup inf η, −Av = inf sup η, −Av v∈D A∈Q A∈Q v∈D V× vËy inf sup η, Av = sup inf η, Av v∈D A∈Q A∈Q v∈D Kết hợp điều đó với (3.18) và (3.19) ta thu đ−ợc bất đẳng thức −γ−1 −λ, mâu thuẫn với bao hàm thức λ ∈ (0, γ−1 ) Nh− ta đã chứng minh ∈ f (x̄, p) + K Do đó x̄ ∈ G(p) " = G(p) ∩ V Từ điều đã đ−ợc chứng Ta đặt V = B(x0 , δ) và G(p) minh ta cã thÓ kÕt luËn r»ng " G(p) = ∅ ∀p ∈ U " lµ nöa liªn tôc d−íi ë U B©y giê ta ®i chøng minh r»ng ¸nh x¹ ®a trÞ G(·) " Gi¶ sö p ∈ U vµ x ∈ G(p) ®−îc cho tïy ý Víi mçi ε > ta chän τ ∈ (0, ε) cho B̄(x, τ ) ⊂ V LÆp l¹i phÇn chøng minh trªn víi (x, p) thay chç cho (x0 , p0 ), ta t×m ®−îc l©n cËn U cña p P cho ∀p ∈ U ∃x ∈ B̄(x, τ ) tháa ∈ f (x , p ) + K Bao hµm thøc sau cïng chøng tá r»ng x ∈ G(p ) V× B̄(x, τ ) ⊂ V ∩ B̄(x, ε), " ) ∩ B̄(x, ε) Từ đó suy G(ã) " lµ nöa liªn tôc d−íi t¹i p ta cã x ∈ G(p Nhận xét Định lý 5.3.1 chứng tỏ hệ bất đẳng thức là chính quy nghiệm nào đó thì nghiệm đó ổn định d−ới tác động nhiễu chấp nhận đ−ợc Kết luận kiểu đó là quen thuộc hầu hết các nghiên cứu tính ổn định và độ nhậy nghiệm các bài toán tối −u và các bất đẳng thức biến ph©n Tõ çc kÕt luËn cña §Þnh lý 5.3.2 vµ §Þnh lý 5.3.3 d−íi ®©y còng suy nghiệm x0 là ổn định d−ới tác động nhiễu chấp nhận đ−ợc Bổ đề 5.3.1 và thủ tục chứng minh điểm x̄ tìm đ−ợc nguyên lý biÕn ph©n Ekeland tháa m·n bao hµm thøc ∈ f (x̄, p) + K chøng minh trªn cßn cho phÐp chóng ta thu ®−îc tÝnh chÝnh quy mªtric vµ tÝnh gi¶-Lipschitz cña G(·) Çc ph−¬ng ph¸p chøng minh ë ®©y còng gièng nh− çc ph−¬ng ph¸p chøng minh §Þnh lý 3.2 vµ §Þnh lý 3.3 Yen (1997) Kü thuËt lÊy giíi h¹n biểu thức thu đ−ợc khẳng định thứ nguyên lý biến phân Ekeland b¾t nguån tõ c«ng tr×nh cña Aubin vµ Frankowska (1987) Dien vµ Yen (1991), Yen (1987, 1997) đã chứng tỏ kỹ thuật đó có thể giúp (175) 5.3 Tính ổn định 169 thiÕt lËp tÝnh gi¶-Lipschitz, mµ cßn h÷u Ých cho viÖc chøng minh tÝnh chÝnh quy mªtric cña hµm Èn ®a trÞ Định nghĩa 5.3.2 (xem Borwein (1986)) Hàm ẩn đa trị G(ã) xác định hệ bất đẳng thức suy rộng có tham số (1.2) đ−ợc gọi là chính quy mêtric (p0 , x0 ) nÕu tån t¹i h»ng sè µ > vµ çc l©n cËn U1 cña p0 vµ V1 cña x0 cho (3.20) d(x, G(p)) µd(0, f (x, p) + K) ∀p ∈ U1 , ∀x ∈ V1 ∩ C TÝnh chÝnh quy mªtric cña hµm ng−îc ®a trÞ (xem Môc 5.4 d−íi ®©y) lµ mét tr−êng hîp riªng cña kh¸i niÖm võa nªu §Þnh nghÜa 5.3.2 §Þnh lý 5.3.2 (TÝnh chÝnh quy mªtric) NÕu (1.1) lµ chÝnh quy t¹i x0 vµ {f (x, p), P, p0 } lµ mét nhiÔu chÊp nhËn ®−îc cña hÖ t¹i x0 , th× G(·) lµ chÝnh quy mªtric t¹i (p0 , x0 ) Chứng minh Xác định các số γ, δ và các lân cận U p0 , V x0 nh− chøng minh cña §Þnh lý 5.3.1 V× ¸nh x¹ ®a trÞ (x, p) → f (x, p) + K lµ nöa liªn tôc d−íi t¹i (x0 , p0 ) vµ v× ∈ f (x0 , p0 ) + K, tån t¹i çc l©n cËn U1 cña p0 vµ V1 cña x0 cho U1 ⊂ U, δ V1 ⊂ B̄(x0 , ) vµ (3.21) d(0, f (x, p) + K) < δ 2γ ∀p ∈ U1 , ∀x ∈ V1 Ta chứng minh bất đẳng thức (3.20) cho à := γ Lấy tùy ý x ∈ V1 ∩ C và p ∈ U1 Ta đặt α = d(0, f (x, p) + K) Do (3.21), α < 2−1 γ −1 δ V× vËy kho¶ng sè (2δ−1 α, γ −1 ) lµ kh¸c rçng LÊy τ ∈ (2δ−1 α, γ −1 ) XÐt hµm sè νp (z) = d(0, f (z, p) + K) (z ∈ IRn ) Lấy cố định giá trị τ ∈ (τ, γ −1 ) Ta có νp (x) = α < τ −1 ατ Theo nguyªn lý biÕn ph©n Ekeland, tån t¹i x̄ ∈ B̄(x0 , δ) ∩ C cho x̄ − x τ −1 α, νp (x̄) νp (z) + τ z − x̄ ∀z ∈ B̄(x0 , δ) ∩ C (176) Hệ bất đẳng thức suy rộng 170 Khi đó, x̄ − x0 x̄ − x + x − x0 < τ −1 α + 2−1 δ < δ V× < τ < γ −1 , çc lËp luËn phÇn thø nhÊt cña chøng minh §Þnh lý 5.3.1 chøng tá r»ng ∈ f (x̄, p) + K Do vËy, x̄ ∈ G(p) Ta cã d(x, G(p)) x − x̄ τ −1 α Cho τ → γ −1 ta thu đ−ợc đánh giá d(x, G(p) γα, tức là d(x, G(p)) γd(0, f (x, p) + K) Chøng minh kÕt thóc §Þnh lý 5.3.3 (TÝnh gi¶-Lipschitz) Thªm vµo çc gi¶ thiÕt cña §Þnh lý 5.3.1, gi¶ sö r»ng tån t¹i k > vµ çc l©n cËn U0 cña p0 P vµ V0 cña x0 cho (3.22) f (x, p ) − f (x, p) kp − p ∀p, p ∈ U0 , ∀x ∈ V0 Khi đó ánh xạ đa trị G(ã) là giả-Lipschitz (p0 , x0 ) Chứng minh Xác định γ, δ, U và V nh− chứng minh Định lý 5.5.1 Ta chọn θ > đủ nhỏ cho B̄(x0 , θk) ⊂ V ∩ V0 , §Æt = 2γk, B(p0 , γ −1 θ) ∩ P ⊂ U ∩ U0 " = B(p0 , 8−1 γ −1 θ) ∩ P, U V" = B(x0 , 2−1 θk) Ta khẳng định G(p) ∩ V" ⊂ G(p ) + p − p B̄IRn " ∀p, p ∈ U " vµ x ∈ G(p)∩ V" Để chứng minh điều đó, cần chứng tỏ với p, p ∈ U ta cã (3.23) d(x, G(p )) p − p V× p − p < 4−1 γ −1 θ, tån t¹i ε tháa ®iÒu kiÖn (3.24) §Æt 2θ −1 p − p < ε < 2−1 γ −1 ϕ(z) = νp (z) + εz − x ∀z ∈ IRn , (177) 5.3 Tính ổn định 171 đó νp (z) = d(0, f (z, p ) + K) Do (3.22), f (x, p ) − f (x, p) kp − p V× vËy, nÕu w ∈ K tháa ®iÒu kiÖn νp (x) = f (x, p) + w = th× ϕ(x) = νp (x) = νp (x) − νp (x) f (x, p ) + w − f (x, p) + w kp − p Kết hợp điều đó với (3.24) ta có ϕ(x) 2−1 kεθ ¸p dông nguyªn lý biÕn ph©n Ekeland ta t×m ®−îc x̄ ∈ B̄(x0 , θk) ∩ C cho ϕ(x̄) ϕ(x), x̄ − x 2−1 θk vµ ϕ(x̄) ϕ(z) + εz − x̄ ∀z ∈ B̄(x0 , θk) ∩ C V× thÕ, (3.25) νp (x̄) + εx̄ − x νp (x), (3.26) x̄ − x 2−1 θk, (3.27) νp (x̄) νp (z) + 2εz − x̄ ∀z ∈ B̄(x0 , θk) ∩ C Do x ∈ B(x0 , 2−1 θk), (3.26) kÐo theo x̄ ∈ B(x0 , θk) V× < ε < 2−1 γ −1 , ta cã 2ε ∈ (0, γ −1 ) B»ng mét thñ tôc t−¬ng tù nh− chøng minh §Þnh lý 5.3.1, từ (3.27) ta nhận đ−ợc ∈ f (x̄, p ) + K; vì x̄ ∈ G(p ) Bất đẳng thức (3.25) chøng tá r»ng x̄ − x ε−1 νp (x) ε−1 kp − p V× thÕ, d(x, G(p )) ε−1 kp − p Do (3.24), cho ε → 2−1 γ −1 , từ bất đẳng thức cuối ta thu đ−ợc (3.23) Chứng minh kÕt thóc Nếu f và f (ã, p) (p ∈ P ) là hàm Lipschitz địa ph−ơng, thì ta chọn Jacobian theo nghÜa Clarke J Cl f (x) vµ J1Cl f (x, p), t−¬ng øng, lµm Jacobian xÊp xØ cña f (ã)và f (ã, p) x Vì vậy, các định lý 3.1–3.3 Yen (1997) suy từ các định lý hàm ẩn nói trên, nh− chúng ta giả thiết C là tập lồi đóng12 Trong Yen (1997) giả sử C là tập đóng IRn Trong tr−ờng hợp đó, TC (x) ký hiÖu nãn tiÕp tuyÕn Clarke 12 (178) Hệ bất đẳng thức suy rộng 172 Ví dụ đơn giản sau đây chứng tỏ rằng, nói chung, từ tính chính quy mêtric cña hµm Èn ®a trÞ kh«ng suy tÝnh gi¶-Lipschitz VÝ dô 5.3.1 LÊy n = m = r = 1, C = IR, K = {0}, f (x, p) = x(p + 1) − p1/3 với x, p ∈ IR, p0 = 0, x0 = Khi đó ánh xạ p → G(p), đó G(p) = {x ∈ C : ∈ f (x, p) + K}, lµ chÝnh quy mªtric t¹i (p0 , x0 ), nh−ng nã kh«ng lµ gi¶-Lipschitz t¹i (p0 , x0 ) DÔ thÊy r»ng çc gi¶ thiÕt cña §Þnh lý 5.3.2 tháa m·n çc gi¶ thiÕt cña §Þnh lý 5.3.3 kh«ng ®−îc tháa m·n D−ới đây là ví dụ đơn giản Nó chứng tỏ rằng, hàm ẩn ®a trÞ, tÝnh gi¶-Lipschitz (tÝnh liªn tôc Aubin) kh«ng kÐo theo tÝnh chÝnh quy mªtric VÝ dô 5.3.2 LÊy n = m = r = 1, C = R, K = {0}, f (x, p) = x3 − p3 , p0 = 0, x0 = V× G(p) = {x ∈ C : ∈ f (x, p) + K} = {p} víi mäi p, G(·) là giả-Lipschitz (p0 , x0 ) Mặc dù thế, không tồn à > nào để d(x, G(p)) µd(0, f (x, p) + K) víi mäi (x, p) thuéc mét l©n cËn cña (x0 , p0 ) ThËt vËy, v× d(x, G(p)) = |x − p| vµ d(0, f (x, p) + K) = |x3 − p3 |, nªn h»ng sè µ nh− vËy kh«ng thÓ tån t¹i Nh− vậy, hàm ẩn đa trị, hai khẳng định “tính chính quy mêtric kéo theo tÝnh gi¶-Lipschitz” vµ “tÝnh gi¶-Lipschitz kÐo theo tÝnh chÝnh quy mªtric” nói chung không đúng Mặc dù thế, hàm ng−ợc đa trị, đã từ lâu ng−êi ta biÕt r»ng tÝnh Lipschitz chÝnh quy t−¬ng ®−¬ng víi tÝnh gi¶-Lipschitz (xem Borwein vµ Zhuang (1988), Mordukhovich (1993), Penot (1989)) Những điều kiện đủ cho tính giả-Lipschitz hàm ẩn đa trị ngôn ngữ đối đạo hàm đã đ−ợc đ−a Mordukhovich (1994a, Định lý 4.1 và Định lý 5.1) và Mordukhovich (1994c; các định lý 5.1, 5.8 và 6.1) Nhận xét nêu trên chứng tỏ các điều kiện đó có thể không đảm bảo tính chính quy mªtric cña hµm Èn ®a trÞ D−íi nh÷ng ®iÒu kiÖn kh¸ ngÆt (xem Mordukhovich (1994a, §Þnh lý 4.9)), tÝnh chÝnh quy mªtric cña hµm Èn ®a trÞ t−¬ng ®−¬ng víi tÝnh gi¶-Lipschitz Quan hệ các khái niệm Jacobian xấp xỉ và đối đạo hàm đã đ−ợc khảo sát Nam vµ Yen (2007); xem çc môc 5.7 vµ 5.8 ch−¬ng nµy Nãi riªng ra, cã thÓ chøng minh r»ng nÕu f : IRn → IRm lµ hµm vÐct¬ liªn tôc vµ Jf (x̄) lµ đại diện (representative) ánh xạ đối đạo hàm D∗ f (x̄)(ã) : IRn ⇒ IRm , nghĩa là Jf (x̄) là tập đóng khác rỗng L(IRn , IRm ) và sup x∗ ∈D ∗ f (x̄)(y ∗ ) x∗ , u = sup A∗ y ∗ , u A∈Jf (x̄) ∀u ∈ IRn , ∀y ∗ ∈ IRm , (179) 5.3 Tính ổn định 173 thì f là Lipschitz địa ph−ơng x̄ và Jf (x̄) là Jacobian xấp xỉ f x̄ Ví dụ 3.5 Nam và Yen (2007) chứng tỏ rằng, các hàm số thực liên tôc, d−íi vi ph©n Mordukhovich, c¶ nã kh¸c rçng, cã thÓ kh«ng ph¶i lµ Jacobian xÊp xØ Ng−îc l¹i, tån t¹i nhiÒu vÝ dô chøng tá r»ng tån t¹i çc d−íi vi ph©n J-L kh«ng tÇm th−êng, nh−ng d−íi vi ph©n Mordukhovich lµ tËp rçng Vì thế, ta có thể kết luận rằng, các hàm véctơ liên tục, đối đạo hàm và Jacobian xÊp xØ lµ nh÷ng kh¸i niÖm kh«ng so s¸nh ®−îc Sau đây là ví dụ đơn giản đó, theo hiểu biết chúng tôi, các định lý võa ®−îc nh¾c tíi cña Mordukhovich (1994a,c) kh«ng ¸p dông ®−îc, các định lý 5.3.1–5.3.3 lại áp dụng đ−ợc VÝ dô 5.3.3 LÊy f (x) = x1/3 víi mäi x ∈ IR vµ f (x, p) = (p + 1)x1/3 − p víi mäi (x, p) ∈ IR × IR Gi¶ sö P = IR, C = IR, K = {0}, p0 = 0, vµ x0 = Víi mçi p ∈ (−1, 1), tËp nghiÖm G(p) cña (1.2) ®−îc cho bëi c«ng thøc G(p) = {p3 /(p + 1)3 } Râ rµng r»ng [α, +∞) nÕu x = J1 f (x, p) = nÕu x = 0, { 13 (p + 1)x̄−2/3 } đó α > đ−ợc chọn tùy ý, là Jacobian xấp xỉ f (ã, p) Ta có {f (x, p), P, p0 } lµ mét nhiÔu chÊp nhËn ®−îc cña hÖ (1.1) t¹i x0 theo §Þnh nghÜa 5.2.4 NhËn xÐt r»ng (1.1) lµ chÝnh quy t¹i x0 theo §Þnh nghÜa 5.2.3 V× çc gi¶ thiÕt cña §Þnh lý 5.3.1 ®−îc tháa m·n, tån t¹i çc l©n cËn U cña p0 vµ V cña p0 " := G(·) ∩ V lµ cho G(p) ∩ V kh¸c rçng víi mäi p ∈ U , vµ ¸nh x¹ ®a trÞ G(·) nöa liªn tôc d−íi ë U Theo §Þnh lý 5.3.2, G(·) lµ chÝnh quy mªtric t¹i (p0 , x0 ), nghÜa lµ tån t¹i h»ng sè µ > vµ çc l©n cËn U1 cña p0 vµ V1 cña x0 cho (3.20) tháa m·n V× (3.22) ®−îc tháa m·n víi k = 2, U0 = IR, vµ V0 = (−1, 1), Định lý 5.3.3 khẳng định ánh xạ đa trị G(ã) là giả-Lipschitz t¹i (p0 , x0 ) Bài tập 5.3.1 Kiểm tra chi tiết tính đúng đắn kết luận đã nêu çc vÝ dô 5.3.1-5.3.3 Bài tập 5.3.2 Xét hệ bất đẳng thức suy rộng x21 + x22 2, x2 = x31 , x = (x1 , x2 ) ∈ IR2 và hệ bất đẳng thức suy rộng phụ thuộc tham số x21 + px22 2p2 , x2 = px31 , x = (x1 , x2 ) ∈ IR2 , đó p ∈ IR là tham số Ký hiệu tập nghiệm hệ bất đẳng thức thứ hai G(p) Cho p0 = Hãy chứng tỏ hệ bất đẳng thứ hai là nhiÔu chÊp nhËn ®−îc cña hÖ thø nhÊt t¹i nghiÖm x := (1, 1) Kh¶o s¸t tÝnh chÝnh quy mªtric vµ tÝnh gi¶-Lipschitz cña ¸nh x¹ ®a trÞ G(·) t¹i (p0 , x0 ) (Gîi ý: §Æt f (x) = (x21 +px22 −2, x2 −x31 ), K = (−IR+ )×{0}, f (x, p) = (x21 + px22 − 2p2 , x2 = px31 ), áp dụng các định lý 5.3.2 và 5.3.3.) (180) Hệ bất đẳng thức suy rộng 174 5.4 Quy t¾c nh©n tö Lagrange Từ các định lý hàm ẩn đã thu đ−ợc mục tr−ớc, chúng ta dẫn định lý ánh xạ mở, định lý hàm ng−ợc, quy tắc nhân tử Lagrange cho bài toán quy hoạch toán học đó tập ràng buộc là tập nghiệm hệ bất đẳng thức suy réng §Þnh lý 5.4.1 (§Þnh lý ¸nh x¹ më ®a trÞ) Cho C ⊂ IRn vµ K ⊂ IRm lµ nh÷ng tập lồi đóng khác rỗng, f : IRn → IRm là hàm véctơ liên tục Cho x0 ∈ C Gi¶ sö r»ng f cã ¸nh x¹ Jacobian xÊp xØ Jf nöa liªn tôc trªn ë mét l©n cËn cña x0 , vµ mçi to¸n tö A ∈ coJf (x0 ) ∪ co((Jf (x0 ))∞ \ {0}) lµ trµn trªn C x0 f (x0 ) + K Khi đó (4.1) ∈ int(f (C) + K) Chøng minh §Æt P = IR m , p0 = 0, f (x, p) = f (x) − p (x ∈ IRn ) Râ rµng x0 là nghiệm hệ bất đẳng thức suy rộng (4.2) ∈ f (x) + K, x ∈ C, vµ {f (x, p), P, p0 } lµ mét nhiÔu cña (4.2) t¹i x0 V× Jf (·, p) := Jf (·) lµ ¸nh xạ Jacobian xấp xỉ f (ã, p) với p ∈ P , từ giả thiết định lý suy r»ng {f (x, p), P, p0 } lµ nhiÔu chÊp nhËn ®−îc cña (4.2) t¹i x0 vµ (4.2) lµ chÝnh quy t¹i x0 Râ rµng r»ng, víi mçi x ∈ IRn , f (x, ·) lµ hµm liªn tôc trªn P H¬n thÕ, f (x, p ) − f (x, p) p − p ∀p, p ∈ P ¸p dông §Þnh lý 5.3.1 cho hÖ (4.2) ta t×m ®−îc l©n cËn U cña p0 = vµ l©n cËn V cña x0 cho G(p) := {x ∈ C : p ∈ f (x) + K} ∩ V kh¸c rçng víi mäi p ∈ U Điều đó kéo theo U ⊂ f (C ∩ V ) + K, vì (4.1) nghiệm đúng §Þnh lý 5.4.2 (§Þnh lý hµm ng−îc ®a trÞ) D−íi çc gi¶ thiÕt cña §Þnh lý 5.4.1, ánh xạ đa trị p → G(p), đó G(p) := {x ∈ C : p ∈ f (x)+K}, là giả-Lipschitz t¹i (0, x0 ), vµ tån t¹i µ > cïng víi çc l©n cËn U cña ∈ IRm vµ V cña x0 cho d(x, G(p)) µd(p, f (x) + K) víi mäi p ∈ U vµ x ∈ V, nghÜa lµ hµm ng−îc ®a trÞ G(·) lµ chÝnh quy mªtric t¹i (0, x0 ) Chøng minh LÊy P = IR m , p0 , f (x, p) nh− chøng minh trªn ¸p dông §Þnh lý 5.3.2 vµ §Þnh lý 5.3.3 cho hÖ (4.2) víi nhiÔu chÊp nhËn ®−îc {f (x, p), P, p0 } ta nhËn ®−îc çc kÕt luËn mong muèn (181) 5.4 Quy t¾c nh©n tö Lagrange 175 Nếu K = {0}, thì Định lý 5.4.1 là trùng với định lý ánh xạ mở Jeyakumar và Luc (2002b) đây ta phải giả thiết thêm C là đóng Nhận xÐt r»ng ph¸t biÓu cña §Þnh lý 3.3 Jeyakumar vµ Luc (2002b) ph¶i gi¶ thiÕt r»ng ¸nh x¹ Jacobian xÊp xØ Jf (·) lµ nöa liªn tôc trªn ë mét l©n cận x0 , vì chứng minh định lý đó có sử dụng quy tắc hàm hợp cho điểm lân cận x0 Jeyakumar và Luc (2002a) đã thu đ−ợc định lý ánh xạ mở d−ới các giả thiết C = IRn , K = {0}, và phÇn tö A ∈ coJf (x0 ) ∪ co((Jf (x0 ))∞ \ {0}) lµ mét to¸n tö kh¶ nghÞch Định lý 5.4.2 mô tả vài tính chất địa ph−ơng hàm ng−ợc đa trị ánh xạ x → f (x) + K tập ràng buộc C Trong tr−ờng hợp K = {0}, d−íi gi¶ thiÕt nãi r»ng mçi phÇn tö A ∈ coJf (x0 ) ∪ co((Jf (x0 ))∞ \ {0}) lµ trµn trªn C t¹i x0 , hµm ng−îc ®a trÞ lµ chÝnh quy mªtric t¹i (0, x0 ) vµ gi¶-Lipschitz (f (x0 ), x0 ) Nh− đã nói cuối mục tr−ớc, hàm ng−ợc đa trị, hai tính chất đó là t−ơng đ−ơng Tính chính quy mêtric hàm ng−ợc đa trị đã đ−ợc xét bëi Borwein and Zhuang (1988), Ioffe (2000), Journani (2000), Mordukhovich (1993, 1994d), Penot (1989), vµ nhiÒu t¸c gi¶ kh¸c (xem çc tµi liÖu ®−îc trÝch dÉn Journani (2000) vµ Mordukhovich (1994d)) Sử dụng Định lý 5.3.1 và định lý tách các tập lồi chúng ta dễ dàng thu đ−ợc çc ®iÒu kiÖn cÇn cùc trÞ cho bµi to¸n tèi −u (4.3) T×m cùc tiÓu ϕ(x) víi rµng buéc x ∈ C, ∈ f (x) + K, đó ϕ : IRn → IR và f : IRn → IRm là các hàm liên tục, C ⊂ IRn và K ⊂ IRm là các tập lồi đóng khác rỗng Giả sử ϕ có ánh xạ d−ới vi phân J-L ∂JL ϕ(ã), f cã ¸nh x¹ Jacobian xÊp xØ Jf (·) Trong tr−êng hîp K = IRm , nÕu x0 ∈ C lµ nghiệm địa ph−ơng (4.3) thì từ Mệnh đề 5.2.2 và định lý tách (xem Rudin (1991), §Þnh lý 3.4) suy r»ng ∈ co∂ JL ϕ(x0 ) + NC (x0 ) Bay giê ta xÐt tr−êng hîp K = IRm Định lý 5.4.3 (Điều kiện Fritz-John suy rộng) Giả sử x0 ∈ C là nghiệm địa ph−¬ng cña (4.3) Gi¶ sö çc ¸nh x¹ ®a trÞ ∂JL ϕ(·) vµ Jf (·) lµ nöa liªn tôc trên lân cận x0 Khi đó tồn véctơ khác không (λ0 , λ) ∈ IR+ × (−(f (x0 ) + K)∗ ), vÐct¬ x∗ ∈ co∂ JL ϕ(x0 ) ∪ co((∂ JL ϕ(x0 ))∞ \ {0}), vµ to¸n tö A ∈ coJf (x0 ) ∪ co((Jf (x0 ))∞ \ {0}) cho (4.4) ∈ λ0 x∗ + A∗ (λ) + NC (x0 ) NÕu K lµ h×nh nãn, th× λ ∈ −K∗ vµ λ, f (x0 ) = Chứng minh Giả sử x0 ∈ C là nghiệm địa ph−ơng (4.3) Đặt f"(x) = (ϕ(x) − ϕ(x0 ), f (x)) víi mäi x ∈ IRn DÔ thÊy r»ng c«ng thøc (182) Hệ bất đẳng thức suy rộng 176 J f"(x) = ∂ JL ϕ(x) ì Jf (x) (x ∈ IRn ) xác định ánh xạ Jacobian xấp xỉ " ∈ coJ f"(x0 ) ∪ co((J f"(x0 ))∞ \ {0}) f" Chúng ta khẳng định tồn A cho " , " C (x0 )) + f"(x0 ) + K (4.5) 0∈ / int A(T " := R+ × K ThËt vËy, ta cã đó K " ∈ f"(x0 ) + K, x0 ∈ C Vì x0 là nghiệm địa ph−ơng (4.3), nên không tồn dãy {xk } ⊂ C nào tháa m·n ®iÒu kiÖn " (∀k), ∈ f"(xk ) − qk + K đó qk := (−1/k, 0) ∈ IR ì IRm Từ đó suy rằng, với lân cận V " ∩ V đó x0 , ¸nh x¹ ®a trÞ q → G(q) " G(q) = {x ∈ C : ∈ f"(x) − q + K} (∀q = (α, p) ∈ IR × IRm ), không là nửa liên tục d−ới q0 := (0, 0) Theo Định lý 5.3.1, hệ bất đẳng thức " ∈ f"(x) + K, x∈C kh«ng thÓ chÝnh quy t¹i x0 V× thÕ ph¶i tån t¹i " ∈ coJ f"(x0 ) ∪ co((J f"(x0 ))∞ \ {0}) A thỏa (4.5) Do định lý tách các tập lồi, từ (4.5) suy tồn véctơ khác kh«ng (λ0 , λ) ∈ IR × IRm tháa (4.6) (λ0 , λ), w " C (x0 )) + f"(x0 ) + K " ∀w ∈ A(T " = (x∗ , A), đó x∗ ∈ co∂ JL ϕ(x0 ) ∪ co((∂ JL ϕ(x0 ))∞ \ {0}), và A ∈ §Æt A coJf (x0 ) ∪ co((Jf (x0 ))∞ \ {0}) Tõ (4.6) suy r»ng λ0 α víi mäi α và λ, w với w ∈ f (x0 )+K Do đó (λ0 , λ) ∈ IR+ ì(−(f (x0 )+K)∗ ) " (4.6) còng kÐo theo V× ∈ f"(x0 ) + K, " C (x0 )), (λ0 , λ), w ∀w ∈ A(T (4.4) nghiệm đúng Nếu K là hình nón, thì bao hàm thức λ ∈ −(f (x0 )+K)∗ kéo theo λ ∈ −K ∗ và λ, f (x0 ) = Định lý đã đ−ợc chứng minh s × {0} NÕu C = IRn vµ K = IR+ m−s , đó s m, thì Định lý 5.4.3 m« t¶ quy t¾c nh©n tö Jeyakumar vµ Luc (2002b; §Þnh lý 5.1) Çc quy tắc nhân tử Lagrange khác, có sử dụng khái niệm Jacobian suy rộng, đã đ−ợc thiÕt lËp bëi Luc (2003), Wang vµ Jeyakumar (2000) (183) 5.4 Quy t¾c nh©n tö Lagrange 177 Định lý 5.4.4 (Điều kiện Kuhn-Tucker suy rộng) Giả sử x0 ∈ C là nghiệm địa ph−¬ng cña (4.3) Gi¶ sö r»ng çc ¸nh x¹ ®a trÞ ∂JL ϕ(·) vµ Jf (·) lµ nöa liªn tôc trªn ë mét l©n cËn cña x0 NÕu ®iÒu kiÖn chÝnh quy (2.5) ®−îc tháa m·n, th× tån t¹i λ ∈ −(f (x0 )+K)∗ , x∗ ∈ co∂ JL ϕ(x0 )∪co((∂ JL ϕ(x0 ))∞ \{0}), vµ A ∈ coJf (x0 ) ∪ co((Jf (x0 ))∞ \ {0}) cho (4.7) ∈ x∗ + A∗ (λ) + NC (x0 ) NÕu K lµ h×nh nãn, th× λ ∈ −K∗ vµ λ, f (x0 ) = Chứng minh Giả sử x0 ∈ C là nghiệm địa ph−ơng (4.3) Theo Định lý 5.4.3, tån t¹i vÐct¬ kh¸c kh«ng (λ0 , λ) ∈ IR+ × (−(f (x0 ) + K)∗ ), x∗ ∈ co∂ϕ(x0 ) ∪ co((∂ϕ(x0 ))∞ \ {0}), vµ A ∈ coJf (x0 ) ∪ co((Jf (x0 ))∞ \ {0}) cho (4.4) nghiệm đúng Nếu λ0 = thì (4.4) và bao hàm thức λ ∈ −(f (x0 ) + K)∗ kÐo theo λ, Au + v ∀(u, v) ∈ TC (x0 ) × (f (x0 ) + K) Khi đó (2.5) không thể nghiệm đúng, vì λ = Vậy λ0 > Chia hai vÕ cña (4.4) cho λ0 vµ thay λ bëi λ−1 λ cần thiết, ta đến kết luận (4.7) nghiệm đúng với λ ∈ −(f (x0 ) + K)∗ nào đó Nếu ϕ và f là các hàm Lipschitz địa ph−ơng, thì ta có thể chọn d−ới vi phân suy réng Clarke ∂Cl ϕ(x) cña ϕ t¹i x vµ Jacobian suy réng Clarke JCl f (x) cña f x t−ơng ứng làm các tập ∂JL ϕ(x) và Jf (x) Trong tr−ờng hợp đó, quy t¾c nh©n tö Lagrange nãi trªn ®−îc ph¸t biÓu l¹i nh− sau Hệ 5.4.1 Giả sử x0 ∈ C là nghiệm địa ph−ơng (4.3) Giả sử ϕ và f là các hàm Lipschitz địa ph−ơng Nếu điều kiện chính quy ∈ int (A[TC (x0 )] + f (x0 ) + K) ∀A ∈ ∂ Cl f (x0 ) ®−îc tháa m·n, th× tån t¹i λ ∈ −(f (x0 ) + K)∗ , x∗ ∈ ∂ Cl ϕ(x) vµ A ∈ ∂ Cl f (x0 ) cho (4.7) nghiệm đúng Nếu K là nón, thì λ ∈ −K∗ và λ, f (x0 ) = Chóng ta l−u ý r»ng ph−¬ng ph¸p chøng minh ®iÒu kiÖn Kuhn-Tucker cho bài toán tối −u trơn có ràng buộc nón nhờ vào định lý tính ổn định dựa trên khái niệm chính quy Robinson đã đ−ợc đề xuất Craven (Craven (1978), tr 60) Bài tập 5.4.1 Hãy xây dựng vài ví đơn giản minh họa cho các định lý 5.4.1-5.4.4 vµ HÖ qu¶ 5.4.1 (Gîi ý: Cã thÓ xÐt çc bµi to¸n tèi −u cã tập ràng buộc là tập nghiệm hệ đẳng thức/bất đẳng thức các mục 4.5 và 4.6; cho x đóng vai trò tham số p và y đóng vai trò biến x.) (184) Hệ bất đẳng thức suy rộng 178 5.5 TÝnh liªn tôc vµ tÝnh Lipschitz cña hµm gi¸ trÞ tèi −u Từ các Định lý 5.3.1 và 5.3.3 chúng ta có thể dẫn các điều kiện đủ cho tính liên tục và tính Lipschitz địa ph−ơng hàm giá trị tối −u bài toán tối −u cã tham sè Gi¶ sö C, K, P ®−îc cho nh− ë Môc 5.4 Gi¶ sö f : IRn × P → IRm vµ ϕ : IRn × P → IR lµ çc hµm liªn tôc Gi¶ sö r»ng víi mçi p ∈ P , hµm f (·, p) cã ¸nh x¹ Jacobian xÊp xØ J1 f (·, p) nöa liªn tôc trªn ë IRn XÐt bµi to¸n tèi −u phô thuéc tham sè p ∈ P : (5.1) T×m cùc tiÓu ϕ(x, p) víi rµng buéc x ∈ C, ∈ f (x, p) + K Ký hiÖu tËp rµng buéc, gi¸ trÞ tèi −u, vµ tËp nghiÖm cña (5.1) t−¬ng øng bëi G(p), ν(p), vµ Q(p) §Þnh lý 5.5.1 (TÝnh liªn tôc cña hµm gi¸ trÞ tèi −u) Gi¶ sö r»ng (a) tån t¹i tËp comp¾c Σ ⊂ IRn cho Q(p) ∩ Σ = ∅ víi mäi p mét l©n cËn cña p0 ; (b) tån t¹i x0 ∈ Q(p0 ) ∩ Σ cho ¸nh x¹ (x, p) → J1 f (x, p) lµ nöa liªn tôc trªn t¹i (x0 , p0 ) vµ (5.2) ∈ int{A[TC (x0 )] + f (x0 , p0 ) + K} ∀A ∈ coJ1 f (x0 , p0 ) ∪ co((J1 (f (x0 , p0 ))∞ \ {0})) Khi đó, ν là liên tục p0 Chøng minh §Çu tiªn ta chøng minh r»ng ν lµ nöa liªn tôc d−íi t¹i p0 Gi¶ sö ph¶n chøng r»ng tån t¹i ε > vµ d·y pi → p0 cho (5.3) ν(pi ) ν(p0 ) − ε Do điều kiện (a), với i đủ lớn ta chọn đ−ợc xi ∈ Q(pi ) ∩ Σ Vì Σ là compắc và ánh xạ G(ã) là đóng, ta có thể giả sử xi → x̄ ∈ G(p0 ) ∩ Σ Tõ (5.3) suy r»ng ϕ(xi , pi ) = ν(pi ) ν(p0 ) − ε (185) 5.5 TÝnh liªn tôc vµ tÝnh Lipschitz cña hµm gi¸ trÞ tèi −u 179 Cho i → ∞, từ đó ta có ϕ(x̄, p0 ) ν(p0 ) − ε, m©u thuÉn víi viÖc ν(p0 ) lµ gi¸ trÞ tèi −u cña (5.1) øng víi gi¸ trÞ tham sè p = p0 B©y giê ta ®i chøng minh r»ng ν lµ nöa liªn tôc trªn t¹i p0 Do tÝnh liªn tôc cña ϕ, tån t¹i l©n cËn Vε cña x0 vµ l©n cËn Uε cña p0 cho |ϕ(x, p) − ϕ(x0 , p0 )| ε, (5.4) với (x, p) ∈ Vε ì Uε Sử dụng (b) ta có thể áp dụng Định lý 5.3.1 để mét l©n cËn U cña p0 cho U ⊂ Uε vµ, víi mçi p ∈ U , tån t¹i vÐct¬ x(p) ∈ G(p) ∩ Vε Để ý đến (5.4), ta có ν(p) ϕ(x(p), p) ϕ(x0 , p0 ) + ε, ∀p ∈ U V× vËy, lim sup ν(p) ϕ(x0 , p0 ) + ε p→p0 V× ε > cã thÓ chän nhá tïy ý, ta cã lim sup ν(p) ϕ(x0 , p0 ) = ν(p0 ) p→p0 Chøng minh kÕt thóc Định lý 5.5.2 (Tính Lipschitz địa ph−ơng hàm giá trị tối −u) Giả sử ϕ là Lipschitz địa ph−ơng trên IRn ì P Giả sử điều kiện (a) và điều kiện sau ®−îc tháa m·n: (c) víi mçi x0 ∈ Q(p0 ) ∩ Σ, ¸nh x¹ ®a trÞ (x, p) → J1 f (x, p) lµ nöa liªn tôc trªn t¹i (x0 , p0 ), tån t¹i k > vµ çc l©n cËn U0 cña p0 vµ V0 cña x0 cho (3.22) nghiệm đúng Khi đó, ν là Lipschitz địa ph−ơng p0 Chøng minh §Æt Σ1 := (Q(p0 ) ∩ Σ) × {p0 } Vì Q(p) là đóng với p, nên Σ1 là tập compắc Ta chứng minh tồn t¹i > vµ tËp më Ω chøa Σ1 cho (5.5) |ϕ(x , p ) − ϕ(x, p)| (x − x + p − p) víi mäi (x, p) vµ (x , p ) thuéc Ω NhËn xÐt r»ng tËp E := co (Q(p0 ) ∩ Σ) (186) Hệ bất đẳng thức suy rộng 180 lµ låi, comp¾c Víi mçi x̄ ∈ E, tån t¹i x̄ > 0, l©n cËn Vx̄ cña x̄ vµ l©n cËn Ux̄ tháa m·n (5.6) |ϕ(x , p )−ϕ(x, p)| x̄ (x −x+p −p), ∀x, x ∈ Vx̄ , p, p ∈ Ux̄ V× E lµ comp¾c, tån t¹i x1 , , xq ∈ E cho E⊂ {Vxi : i = 1, , q} Chän ρ > cho Ṽ := E + B(0, ρ) ⊂ §Æt {Vxi : i = 1, , q} ' Ũ := {Uxi : i = 1, , q} , := max {xi i = 1, , q} Ω := Ṽ × Ũ , Râ rµng Ω lµ tËp më chøa Σ1 Gi¶ sö (x, p), (x , p ) ∈ Ω V× Ṽ lµ låi, nªn [x, x ] ⊂ Ṽ Do đó, {Vxi : i = 1, , q} [x, x ] ⊂ vµ tån t¹i d·y ®iÓm a0 := x, a1 , a2 , , as := x thuéc ®o¹n th¼ng [x, x ] cho víi mçi j ∈ {0, 1, , s − 1} tån t¹i i ∈ {1, , q} tháa m·n ®iÒu kiÖn [aj , aj+1 ] ⊂ Vxi Tõ (5.6) ta suy r»ng |ϕ(x, p) − ϕ(x , p )| |ϕ(a0 , p) − ϕ(a1 , p)| +|ϕ(a1 , p) − ϕ(a2 , p)| + · · · + |ϕ(as−1 , p) − ϕ(as , p )| (a0 − a1 + a1 − a2 + · · · + as−1 − as + p − p ) = (x − x + p − p ) Nh− vậy, ta đã thu đ−ợc (5.5) Tiếp theo, để ý ánh xạ đa trị p → Q(p) ∩ Σ lµ nöa liªn tôc trªn t¹i p0 ThËt vËy, tr−íc hÕt ta chøng minh r»ng pi → p0 , xi → x̄ vµ xi ∈ Q(pi ) ∩ Σ, ∀i ∈ IN, th× x̄ ∈ Q(p0 ) ∩ Σ V× ν(pi ) = ϕ(xi , pi ) vµ ν liªn tôc t¹i p0 theo §Þnh lý 5.5.1, nên v(p0 ) = ϕ(x̄, p0 ) Ngoài ra, tính đóng G(ã) kéo theo x̄ ∈ G(p0 ) Vì vËy, x̄ ∈ Q(p0 ) ∩ Σ Tõ tÝnh chÊt võa ®−îc chøng minh suy r»ng ¸nh x¹ p → Q(p) ∩ Σ lµ nöa liªn tôc trªn t¹i p0 ThËt vËy, gi¶ sö ph¶n chøng: tån t¹i tËp më W ⊂ IRn , Q(p0 ) ∩ Σ ⊂ W , vµ tån t¹i d·y pi → p0 cho (G(pi ) ∩ Σ) ∩ (IRn \ W ) = ∅ (187) 5.5 TÝnh liªn tôc vµ tÝnh Lipschitz cña hµm gi¸ trÞ tèi −u 181 Khi đó, với i ∈ IN lấy điểm xi ∈ (G(pi ) ∩ Σ) ∩ (IRn \ W ) Do Σ là compắc và IRn \ W là tập đóng, cách xét dãy (nếu cần), ta có thể / W Điều đó mâu thuẫn với tính chất gi¶ sö r»ng xi → x̄ ∈ IRn \ W VËy x̄ ∈ x̄ ∈ Q(p0 ) ∩ Σ đã đ−ợc chứng minh trên Víi mçi z ∈ Q(p0 ) ∩ Σ, gi¶ thiÕt (c) vµ §Þnh lý 5.3.3, tån t¹i kz > 0, δz > 0, çc l©n cËn Vz cña z vµ Uz cña p0 cho (Vz +δz B)×Uz ⊂ Ω vµ (5.7) G(p) ∩ Vz ⊂ G(p ) + kz p − p B̄IRn , ∀p, p ∈ Uz Do Q(p0 ) ∩ Σ lµ comp¾c, tån t¹i z1 , , zq ∈ Q(p0 ) ∩ Σ cho Q(p0 ) ∩ Σ ⊂ §Æt {Vzi : i = 1, , q} k̄ := max k , , k , δ := {δzi : i = 1, , q} , z z q ( V := ' {Vzi : i = 1, , q} , U := {Uzi : i = 1, , q} Do (a), ta cã thÓ gi¶ sö r»ng Q(p) ∩ Σ = ∅, ∀p ∈ U Râ rµng V × U ⊂ Ω Nh− ta đã trên, ánh xạ p → Q(p) ∩ Σ là nửa liên tục trên p0 ; vì vËy tån t¹i l©n cËn U1 ⊂ U cña p0 cho Q(p) ∩ Σ ⊂ V, (5.8) ∀p ∈ U1 H¬n thÕ, ta cã thÓ gi¶ sö r»ng (5.9) k̄p − p δ, ∀p, p ∈ U1 B©y giê lÊy tïy ý p, p ∈ U1 NÕu x̄ ∈ Q(p) ∩ Σ, th× ta cã ν(p) = ϕ(x̄, p) Tõ (5.8) suy r»ng cã thÓ chän ®−îc i ∈ {1, , q} cho x̄ ∈ (Q(p) ∩ Σ) ∩ Vzi V× thÕ, (5.7), tån t¹i x ∈ G(p ) cho x̄ − x k̄p − p (5.10) Sö dông (5.9) ta thu ®−îc x ∈ x̄ + δB̄IRn ⊂ Vzi + δzi B̄IRn (188) Hệ bất đẳng thức suy rộng 182 Do đó (x , p ) ∈ Ω Sử dụng (5.5) và (5.10) ta có ν(p ) − ν(p) ϕ(x , p ) − ϕ(x̄, p) (x − x̄ + p − p) (k̄p − p + p − p) = (k̄ + 1)p − p T−¬ng tù, ν(p) − ν(p ) (k̄ + 1)p − p Vậy ν(ã) là Lipschitz địa ph−ơng p0 Mệnh đề sau mô tả tình th−ờng gặp, đó điều kiện (a) đ−ợc thỏa m·n Mệnh đề 5.5.1 Giả sử (d) tån t¹i x0 ∈ Q(p0 ) cho ¸nh x¹ ®a trÞ (x, p) → J1 f (x, p) lµ nöa liªn tục trên (x0 , p0 ) và điều kiện (5.2) nghiệm đúng NÕu (5.11) lim inf x →+∞; p→p0 ϕ(x, p) > ϕ(x0 , p0 ), hoÆc lµ (5.12) lim x →+∞; p→p0 ϕ(x, p) = +∞, th× ®iÒu kiÖn (a) ®−îc tháa m·n Chøng minh Râ rµng (5.12) kÐo theo (5.11) NÕu (5.11) tháa m·n, th× tån t¹i ρ > 0, λ > vµ l©n cËn U0 cña p0 cho (5.13) ϕ(x, p) ϕ(x0 , p0 ) + ρ víi mäi (x, p) tháa m·n x > λ, p ∈ U0 Do ®iÒu kiÖn (d), §Þnh lý 5.3.1 ¸p dông ®−îc V× thÕ, víi mçi l©n cËn V cña x0 , tån t¹i l©n cËn U ⊂ U0 cña p0 cho G(p) ∩ V = ∅ ∀p ∈ U Ngoµi ra, cã thÓ chän V vµ U cho (5.14) §Æt ϕ(x, p) < ϕ(x0 , p0 ) + ρ ∀(x, p) ∈ V × U Σ := {x ∈ Rn : x λ} (189) 5.6 Chứng minh Mệnh đề 5.2.1 183 V× víi mçi p ∈ U tån t¹i x(p) ∈ G(p) ∩ V , nªn (5.14) kÐo theo ϕ(x(p), p) < ϕ(x0 , p0 ) + ρ KÕt hîp ®iÒu nµy víi (5.13), ta thu ®−îc Q(p) ⊂ Σ ∀p ∈ U Thêm vào đó, vì G(p) là đóng và ϕ là liên tục, nên giá trị tối −u ν(p) := inf{ϕ(x, p) : x ∈ G(p) ∩ Σ} đạt đ−ợc điểm x ∈ G(p) ∩ Σ nào đó Điều đó chứng tỏ Q(p) khác rỗng với p ∈ U Tính chất (a) đã đ−ợc thiết lập Nhận xét 5.5.1 Điều kiện (5.11) có thể đ−ợc xem là dấu hiệu ổn định hàm mục tiêu Nếu nó nghiệm đúng, thì hầu nh− ta có thể tin hàm giá trÞ tèi −u ν(p) lµ liªn tôc t¹i p0 NÕu nã bÞ vi ph¹m, th× ta ph¶i t×m mét dÊu hiệu ổn định khác tập ràng buộc Cụ thể là, tồn tập compắc Σ ⊂ Rn cho G(p) ⊂ Σ víi mäi p mét l©n cËn cña p0 vµ nÕu ®iÒu kiÖn (b) ®−îc tháa m·n, th× ν lµ liªn tôc t¹i p0 theo §Þnh lý 5.5.1 §Æc biÖt, ta cã thÓ lÊy Σ = C, nÕu C lµ tËp låi comp¾c Nhận xét 5.5.2 Bằng cách sử dụng các l−ợc đồ đề xuất Borwein (1986), từ các định lý 5.3.1–5.3.3 ta có thể dẫn các công thức tính nón tiếp tuyến các tập đóng và tính đạo hàm theo h−ớng hàm giá trị tối −u Bài tập 5.5.1 Hãy xây dựng vài ví dụ đơn giản minh họa cho Định lý 5.5.1, Định lý 5.5.2 và Mệnh đề 5.5.1 (Gợi ý: Có thể xét các bài toán tối −u có tập ràng buộc là tập nghiệm hệ đẳng thức/bất đẳng thức các mục 4.5 và 4.6; cho x đóng vai trò tham số p và y đóng vai trò biến x.) 5.6 Chứng minh Mệnh đề 5.2.1 Mục này trình bày chứng minh Mệnh đề 5.2.1 Chúng ta sử dụng bổ đề sau Bổ đề 5.6.1 (xem Jeyakumar và Luc (2002a)) Cho F : IRn ⇒ IRs là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên x0 ∈ IRn Giả sử ti > hội tụ đến 0, qi ∈ coF (x0 + ti B̄IRn ) víi limi→∞ qi = ∞ vµ limi→∞ qi /qi = q∗ víi q∗ ∈ IRs Khi đó q∗ ∈ (co F (x0 ))∞ Ngoài ra, co(F (x0 ))∞ là nón nhọn 13 , thì q∗ ∈ co(F (x0 ))∞ = (coF (x0 ))∞ 13 H×nh nãn M ®−îc gäi lµ nãn nhän nÕu M ∩ (−M ) = {0} (190) Hệ bất đẳng thức suy rộng 184 Chøng minh Do tÝnh nöa liªn tôc trªn cña F t¹i x0 , víi mçi ε > 0, tån t¹i i0 đủ lớn cho F (x0 + ti B̄IRn ) ⊂ F (x0 ) + εB̄IRs víi mäi i i0 V× vËy, qi ∈ co(F (x0 ) + εB̄IRs ) ⊂ co(F (x0 ) + εB̄IRs ) + εB̄IRs víi mäi i i0 Suy q∗ ∈ [co(F (x0 ) + εB̄IRs ) + εB(0, 1)]∞ ⊂ [co(F (x0 ) + εB̄IRs )]∞ ⊂ (coF (x0 ))∞ Bao hàm thức co(F (x0 ))∞ ⊂ (coF (x0 ))∞ luôn nghiệm đúng vì F (x0 ) ⊂ coF (x0 ) và (coF (x0 ))∞ là nón lồi đóng Bây chúng ta chứng minh bao hµm thøc ng−îc l¹i Gi¶ sö p ∈ (coF (x0 ))∞ , p = Theo định lý Caratheodory (xem Rockafellar (1970)), tån t¹i çc tæ hîp låi pi = s+1 j=1 λij pij víi λij 0, s+1 pij ∈ F (x0 ) vµ j=1 λij = cho p/p = lim pi /pi vµ lim pi = ∞ i→∞ i→∞ Kh«ng gi¶m tæng qu¸t ta cã thÓ gi¶ sö r»ng lim λij = λj víi j = i→∞ s+1 λj = Víi mçi j, xÐt d·y {λij pij /pi }i 1, , s + vµ Chóng ta j=1 khẳng định dãy này là giới nội, vì có thể giả sử nó hội tụ đến phần tử p0j ∈ (F (x0 ))∞ Nếu điều đó đúng với số j, thì ta có s+1 p0j ∈ co(F (x0 ))∞ , đó là điều phải chứng minh Để chứng minh khẳng p= j=1 định nói trên, ta giả sử phản chứng {λij pij /pi }i là không giới nội §Æt aij = λij pij /pi B»ng çch lÊy d·y (nÕu cÇn thiÕt), chóng ta cã thÓ gi¶ sö r»ng aij0 = max{aij : j = 1, , s + 1} víi mçi i V× vËy, limi→∞ aij0 = ∞ Do pi /pi = s+1 j=1 aij , ta cã s+1 = lim pi /(pi .aij0 ) = lim i→∞ i→∞ aij /aij0 j=1 Chúng ta lại có thể giả sử {aij /aij0 }i hội tụ đến phần tử a0j ∈ (F (x0 ))∞ với j = 1, , s + vì các dãy là giới nội Vì a0j0 = 0, đẳng (191) 5.6 Chứng minh Mệnh đề 5.2.1 185 thøc = s+1 j=1 a0j chøng tá r»ng co(F (x0 ))∞ kh«ng ph¶i lµ nãn nhän, m©u thuÉn Sử dụng Bổ đề 5.6.1, bây ta chứng minh Mệnh đề 5.2.1 - tr−ờng hîp riªng cña §Þnh lý 4.1 Jeyakumar vµ Luc (2002a) Chứng minh Mệnh đề 5.2.1: Chóng ta muèn chØ r»ng víi mäi u ∈ IRn vµ α ∈ IR, (αg ◦ f )+ (x̄, u) sup(αp0 qu), (6.1) q∈Q đó p0 = g (f (x̄)) và Q := Jf (x̄) + (Jf (x̄))ε∞ Vì (6.1) là hiển nhiên tr−êng hîp u = hay α = 0, ta gi¶ sö r»ng u = vµ α = Gi¶ sö ti > lµ d·y sè héi tô tíi cho (6.2) α(g(f (x̄ + ti u)) − g(f (x̄)) i→∞ ti (αg ◦ f )+ (x̄, u) = lim Từ định lý giá trị trung bình (xem Jeyakumar và Luc (1999), Hệ 5.1) suy r»ng, víi mçi ti , tån t¹i pi ∈ co g ([f (x̄), f (x̄ + ti u)]) vµ qi ∈ co Jf ([x̄, x̄ + ti u]) cho f (x̄ + ti u) − f (x̄) = ti qi u, (6.3) g(f (x̄ + ti u)) − g(f (x̄)) = pi (f (x̄ + ti u) − f (x̄)) Do gi¶ thiÕt cña chóng ta, lim pi = p0 B»ng çch xÐt mét d·y (nÕu cÇn i→∞ thiÕt), ta chØ ph¶i kh¶o s¸t hai tr−êng hîp sau: (a) {qi } hội tụ đến véctơ q0 nào đó; (b) limi→∞ qi = ∞ với {qi /qi } hội tụ đến q∗ nào đó Tõ (6.2) vµ (6.3) suy r»ng (αg ◦ f )+ (x̄, u) = lim (αpi qi u) i→∞ Trong tr−êng hîp (a), tÝnh nöa liªn tôc trªn cña Jf t¹i x̄, ta cã q0 ∈ coJf (x̄) V× vËy, (αg ◦ f )+ (x̄, u) = αp0 q0 u sup(αp0 qu) q∈Q Xét tr−ờng hợp (b) Do Bổ đề 5.6.1, q∗ ∈ (coJf (x̄))∞ Nếu co(Jf x̄))∞ là kh«ng nhän, th× dÔ thÊy r»ng co(J(f (x̄))ε∞ trïng víi toµn kh«ng gian L(IRn , IRm ) Vì u = 0, tính chất đó và giả thiết p0 = kéo theo sup(αp0 qu) q∈Q sup (αp0 qu) = +∞, q∈L(IRn ,IRm ) (192) Hệ bất đẳng thức suy rộng 186 vì (6.1) nghiệm đúng Nếu hình nón co(Jf (x̄))∞ là nhọn, thì theo Bổ đề 5.6.1 nó chứa q∗ Đặt β := αp0 q∗ u Nếu β > 0, thì từ kiện λq∗ ∈ co(Jf (x̄))∞ víi mäi λ ta rót quan hÖ sau: sup(αp0 qu) ≥ q∈Q sup q∈qr +co(Jf (x̄))ε∞ (αp0 qu) lim sup(αp0 (qr + λq∗ )u) +∞, λ→∞ đó qr là phần tử tùy ý Jf (x̄) Quan hệ đó kéo theo (6.1) Nếu β < thì với i đủ lớn, ta có αpi β qi u < < qi Do đó, (αg ◦ f )+ (x̄, u) = lim (αpi qi u) lim qi i→∞ i→∞ β = −∞ Điều đó chứng tỏ (6.1) nghiệm đúng B©y giê ta gi¶ sö r»ng β = Tõ bao hµm thøc q∗ ∈ co(Jf (x̄))∞ vµ tõ định nghĩa tập hợp co(Jf (x̄))ε∞ = (co(Jf (x̄))∞ )ε suy q∗ ∈ int(co(Jf (x̄))ε∞ ) Chúng ta khẳng định tồn q1 ∈ co(Jf (x̄))ε∞ cho αp0 q1 u > (6.4) Thật vậy, xét phiếm hàm tuyến tính φ : L(IRn , IRm ) → IR đ−ợc xác định cách đặt φ(q) = αp0 qu với q ∈ L(IRn , IRm ) Nếu khẳng định chúng ta không đúng, thì φ(q) với q ∈ co(Jf (x̄))ε∞ Vì φ(q∗ ) = β = và q∗ ∈ int(co(Jf (x̄))ε∞ ), ta kÕt luËn r»ng φ = V× u = vµ p0 = 0, tån t¹i q ∈ L(IRn , IRm ) cho qu không thuộc vào nhân phiếm hàm p0 Khi đó ta có αp0 qu = Điều đó không thể xảy vì φ = Khẳng định chúng ta đã đ−ợc chứng minh Cố định phần tử qr ∈ Jf (x̄) Từ (6.4) ta suy r»ng sup(αp0 qu) q∈Q sup q∈qr +co(Jf (x̄))ε∞ vì (6.1) nghiệm đúng (αp0 qu) lim (αp0 (qr + λq1 )u) +∞; λ→∞ 5.7 D−íi vi ph©n Mordukhovich vµ d−íi vi ph©n J-L Quan hÖ gi÷a kh¸i niÖm Jacobian xÊp xØ theo nghÜa Jeyakumar-Luc cña hµm véctơ không gian Euclide hữu hạn chiều và khái niệm đối đạo hàm theo (193) 5.7 D−íi vi ph©n Mordukhovich vµ d−íi vi ph©n J-L 187 nghÜa Mordukhovich sÏ ®−îc xÐt môc sau Môc nµy ®−a mét sè kh¸i niệm và kết bổ trợ, đồng thời khảo sát mối quan hệ khái niệm d−ới vi phân J-L (một tr−ờng hợp đặc biệt Jacobian xấp xỉ) và d−ới vi phân Mordukhovich (là giá trị đối đạo hàm theo nghĩa Mordukhovich ánh xạ đa trị trên-đồ-thị hàm số đã cho điểm y∗ = 1) Kết khảo sát mục này và mục sau chứng tỏ cách rõ ràng là đối đạo hàm và Jacobian xấp xỉ là khái niệm khác Chúng có ít ®iÓm chung Tõ nh÷ng bµi b¸o ®−îc trÝch dÉn ë danh môc tµi liÖu tham kh¶o ë cuối sách này có thể thấy khái niệm đó đòi hỏi ph−ơng pháp kh¸c vµ chóng cho kÕt qu¶ d−íi d¹ng rÊt kh¸c Tãm l¹i, hai kh¸i niệm đó dẫn đến hai lý thuyết vi phân khác Vai trò quan trọng đạo hàm đa trị các hàm số và ánh xạ đa trị đã ®−îc c«ng nhËn réng r·i (xem Aubin vµ Ekeland (1984), Aubin vµ Frankowska (1990), Mordukhovich (1994c), Rockafellar và Wets (1998)) Các loại đạo hàm xây dựng qua nón tiếp tuyến đã xét Ch−ơng là đạo hàm đa trị Đối đạo hàm theo nghĩa Mordukhovich là loại đạo hàm đa trị đ−ợc mô tả các biến đối ngẫu 14 Những kết nghiên cứu B S Mordukhovich và các tác giả khác đã chứng tỏ khái niệm này hữu ích cho phát triÓn cña gi¶i tÝch kh«ng tr¬n vµ çc øng dông kh¸c (xem Mordukhovich (2006a,b) và các tài liệu dẫn đó 15 ) Đối đạo hàm cho phép ta đặc tr−ng tÝnh më, tÝnh chÝnh quy mªtric, vµ çc tÝnh chÊt Lipschitz cña ¸nh x¹ ®a trÞ (xem Mordukhovich (1993)) Các ứng dụng đối đạo hàm lý thuyết ổn định và độ nhậy nghiệm các bài toán tối −u có thể xem Mordukhovich (1994a,c,d) Để định nghĩa Mordukhovich đối đạo hàm, ta sử dụng nón pháp tuyến (không lồi) đồ thị ánh xạ đa trị đ−ợc xét (xem Mục 4.2 Ch−¬ng 4) NÕu kh«ng gian ®−îc xÐt lµ h÷u h¹n chiÒu, th× nãn ph¸p tuyÕn cßn có thể định nghĩa theo cách khác, sử dụng phép chiếu mêtric lên các tập không lồi Cách định nghĩa này mang tính hình học rõ rệt Nó đ−ợc nhắc l¹i ë d−íi ®©y cïng víi çc quy t¾c tÝnh to¸n cã liªn quan, nh»m bæ sung cho điều đã trình bày Mục 4.2 theo cách tiếp cận tuý giải tích16 Jacobian xấp xỉ (xem Mục 5.2) là loại đạo hàm đa trị Nó đ−ợc ®−a Jeyakumar vµ Luc (1998, 1999) nh− mét sù më réng cña kh¸i niệm Jacobian suy rộng Clarke - đ−ợc định nghĩa cho các hàm véctơ Lipschitz địa ph−ơng Sử dụng Jacobian xấp xỉ và d−ới vi phân J-L ta có thể thu đ−ợc các định lý ánh xạ mở (xem Jeyakumar và Luc (2002a,b) và Mục 5.4), quy t¾c nh©n tö Lagrange (xem Wang vµ Jeyakumar (2000) vµ Môc 5.4), çc điều kiện đủ cho tính chính quy mêtric và tính giả-Lipschitz hàm ẩn đa trị 14 TNTA: dual variables Xem thªm c¶ çc môc 4.5 vµ 4.6 Ch−¬ng 16 Th«ng qua d−íi vi ph©n FrÐchet vµ giíi h¹n PainlevÐ-Kuratowski 15 (194) Hệ bất đẳng thức suy rộng 188 (xem Mục 5.3) Các kết đó áp dụng đ−ợc cho các bài toán mô tả các hàm liên tục, không thiết là Lipschitz địa ph−ơng Việc nghiên cứu các mối quan hệ Jacobian xấp xỉ và đối đạo hàm là công việc đáng làm Một số nhận xét mối quan hệ d−ới vi phân Mordukhovich và d−ới vi phân J-L đã đ−ợc đ−a luận án Wang (2000) vµ bµi b¸o cña Wang vµ Jeyakumar (2000) Chóng ta sÏ nghiªn cứu vấn đề đó phạm vi rộng Tr−íc tiªn, chóng ta nh¾c l¹i mét sè sù kiÖn Mordukhovich (1994b) vµ Clarke (1983) Cho F : Rn ⇒ Rm lµ mét ¸nh x¹ ®a trÞ Nh− ë c«ng thøc (2.1) Ch−¬ng 4, giíi h¹n trªn theo d·y theo nghÜa Painlevé-Kuratowski cña F x → x̄ là tập Rm đ−ợc định nghĩa Lim sup F (x) = {y ∈ Rm : ∃ çc d·y xk → x̄, yk → y, x→x̄ víi yk ∈ F (xk ) ∀k = 1, 2, } Cã hai ®iÓm kh¸c biÖt gi÷a c«ng thøc nµy vµ c«ng thøc (2.1) Ch−¬ng 4: giíi h¹n theo t«p« w∗ ®−îc thay b»ng giíi h¹n theo t«p« cña chuÈn vµ F cã thÓ nhËn gi¸ trÞ kh«ng ph¶i X∗ = (IRn )∗ = IRn , mµ IRm Gi¶ sö Ω ⊂ Rn Ký hiÖu P (x, Ω) = {ω ∈ Ω : x − ω = d(x, Ω)} Nón pháp tuyến Mordukhovich Ω x̄ ∈ Ω đ−ợc xác định công thức (7.1) NΩ (x̄) = lim sup[cone(x − P (x, Ω))] x→x̄ NÕu x̄ ∈ / Ω, đó ta đặt NΩ (x̄) = ∅ Nói chung, NΩ (x̄) là hình nón không lồi (Vì nó không thể là nón đối ngẫu hình nón tiếp tuyến nào Ω.) Nón pháp tuyến này trùng với hình nón định nghĩa công thức (2.8) Ch−¬ng Nh− ë Ch−¬ng 2, nãn tiÕp tuyÕn Clarke CΩ (x̄) cña Ω t¹i x̄ ∈ Ω đ−ợc định nghĩa công thức CΩ (x̄) = {u ∈ Rn : ∀xk (∈ Ω) → x̄, ∀tk ↓ 0, ∃uk → u such that xk + tk uk ∈ Ω for all k} TËp hîp NΩCl (x̄) := (CΩ (x̄))∗ lµ nãn ph¸p tuyÕn Clarke cña Ω t¹i x̄ Quan hÖ gi÷a nãn ph¸p tuyÕn Clarke vµ nãn ph¸p tuyÕn Mordukhovich (xem Clarke (1983), Mệnh đề 2.5.7) nh− sau: (7.2) NΩCl (x̄) = coNΩ (x̄) (195) 5.7 D−íi vi ph©n Mordukhovich vµ d−íi vi ph©n J-L 189 Nh− Mệnh đề 2.2.1 Ch−ơng 2, nón tiếp tuyến Bouligand Ω x ∈ Ω ®−îc cho bëi c«ng thøc TΩ (x) = {u ∈ Rn : ∃uk → u, ∃tk ↓ cho x + tk uk ∈ Ω víi mäi k} Ω (x) NÕu x ∈ / Ω thì ta đặt Nón đối ngẫu âm TΩ (x) đ−ợc ký hiệu N NΩ (x) = ∅ Ng−ời ta đã biết (xem Mordukhovich (1994b), tr 254): ∗ Ω (x) = {x∗ ∈ Rn : lim sup x , y − x 0} N y − x Ω y →x Ω (x) định nghĩa nh− đây trùng với nón pháp tuyến Điều đó chứng tỏ nón N Fréchet định nghĩa công thức (2.7) Ch−ơng Mệnh đề 5.1.1 (xem Kruger và Mordukhovich (1980)) Với Ω ⊂ Rn và với mäi x̄ ∈ Ω, ta cã (7.3) Ω (x) NΩ (x̄) = Lim sup N x→x̄ Nh− Ch−ơng 4, đối đạo hàm Mordukhovich D∗ F (x̄, ȳ) : Rm ⇒ Rn F t¹i (x̄, ȳ) ∈ gph F ®−îc cho bëi c«ng thøc D ∗ F (x̄, ȳ)(y ∗ ) = {x∗ ∈ Rn : (x∗ , −y ∗ ) ∈ NgphF (x̄, ȳ)} Đối đạo hàm Clarke F (x̄, ȳ) ∈ gph F đ−ợc cho công thức ∗ Cl F (x̄, ȳ)(y ∗ ) = {x∗ ∈ Rn : (x∗ , −y ∗ ) ∈ Ngph (x̄, ȳ), } DC F) ∗ F (x̄, ȳ)(ã) là hình nón lồi đóng không gian tích Rm ìRn §å thÞ cña DC Nếu F có đồ thị lồi, thì đối đạo hàm Clarke và đối đạo hàm Mordukhovich trùng nhau, tøc lµ ∗ F (x̄, ȳ)(y ∗ ) ∀(x̄, ȳ) ∈ gphF, ∀y∗ ∈ Rm D ∗ F (x̄, ȳ)(y ∗ ) = DC Nếu F là hàm véctơ khả vi chặt, thì hai đối đạo hàm đó trùng Cụ thÓ lµ nÕu f : Rn → Rm lµ kh¶ vi chÆt t¹i x̄, th× ∗ f (x̄)(y ∗ ) = (f (x̄))∗ (y ∗ ) ∀y ∗ ∈ Rm D ∗ f (x̄)(y ∗ ) = DC Ngoài hai tr−ờng hợp kể trên, đồ thị đối đạo hàm Mordukhovich th−ờng là tập thực đối đạo hàm Clarke Cho hµm sè ϕ : Rn → R = R ∪ {±∞} víi miÒn h÷u hiÖu domϕ = {x ∈ Rn : −∞ < ϕ(x) < +∞} (196) Hệ bất đẳng thức suy rộng 190 C«ng thøc F (x) = Eϕ (x) := {µ ∈ R : µ ϕ(x)} xác định ánh xạ đa trị trên-đồ-thị ϕ Rõ ràng là gph F = epi ϕ := {(x, µ) ∈ Rn × R : µ ϕ(x)} Cho x̄ ∈ domϕ TËp hîp ∂ϕ(x̄) :=D ∗ Eϕ (x̄, ϕ(x̄))(1) = x∗ ∈ Rn : (x∗ , −1) ∈ Nepi ϕ (x̄, ϕ(x̄)) ®−îc gäi lµ d−íi vi ph©n Mordukhovich cña ϕ t¹i x̄, cßn tËp hîp ∂ ∞ ϕ(x̄) :=D∗ Eϕ (x̄, ϕ(x̄))(0) = x∗ ∈ Rn : (x∗ , 0) ∈ Nepiϕ (x̄, ϕ(x̄)) ®−îc gäi lµ d−íi vi ph©n suy biÕn cña ϕ t¹i x̄ NÕu x̄ ∈ / domϕ thì ta đặt ∂ϕ(x̄) = ∂ ∞ ϕ(x̄) = ∅ D−íi vi ph©n Clarke ∂Cl ϕ(x̄) vµ d−íi vi ph©n suy biÕn Clarke ∂ Cl,∞ ϕ(x̄) đ−ợc định nghĩa t−ơng tự; thay cho D∗ (t.−., Ngph F (ã)) ta ∗ (t.−., N Cl xÐt DC gph F (·)) Cã thÓ chøng minh r»ng d−íi vi ph©n Mordukhovich và d−ới vi phân suy biến định nghĩa nh− đây là trùng với các tập hợp định nghÜa bëi çc c«ng thøc (2.5) vµ (2.6) Ch−¬ng NÕu ϕ lµ kh¶ vi chÆt t¹i x̄, th× ∂Cl ϕ(x̄) = ∂ϕ(x̄) = {ϕ (x̄)} Víi mçi hµm sè nöa liªn tôc d−íi ϕ vµ víi mçi ®iÓm x̄ ∈ domϕ, tõ (7.2) suy r»ng (7.4) ∂ Cl ϕ(x̄) = co[∂ϕ(x̄) + ∂ ∞ ϕ(x̄)] Công thức (7.4) là tr−ờng hợp riêng công thức (6.14) Ch−ơng 4, đó ta xét hàm số xác định trên không gian Banach D−íi mét sè ®iÒu kiÖn nhÑ nhµng, ta cã thÓ tÝnh d−íi vi ph©n Clarke ∂Cl ϕ(x̄) thông qua đạo hàm theo h−ớng Clarke-Rockafellar Nếu ϕ : Rn → IR là hàm số liên tục, thì đạo hàm theo h−ớng Clarke-Rockafellar ϕ↑ (x̄, u) ϕ x̄ theo h−ớng u đ−ợc định nghĩa (xem Clarke (1983), tr 97) công thức (7.5) ϕ↑ (x̄; u) = lim lim sup inf ε↓0 x→x̄, t↓0 u ∈u+εB̄Rn ϕ(x + tu ) − ϕ(x) t Mệnh đề 5.7.2 (xem Clarke (1983), tr 97) Ta có ∂Cl ϕ(x̄) = ∅ và ϕ↑ (x̄; 0) = −∞ Nếu tr−ờng hợp đó không xảy ra, thì ta có (7.6) ∂ Cl ϕ(x̄) = {x∗ ∈ Rn : ϕ↑ (x̄, u) x∗ , u ∀u ∈ Rn } (197) 5.7 D−íi vi ph©n Mordukhovich vµ d−íi vi ph©n J-L 191 vµ (7.7) ϕ↑ (x̄; u) = sup {x∗ , u : x∗ ∈ ∂ Cl ϕ(x̄)} ∀u ∈ Rn Nếu ϕ là Lipschitz địa ph−ơng x̄, thì ϕ↑ (x̄; u) = ϕo (x̄; u) với u ∈ Rn , đó ϕ(x + tu) − ϕ(x) t t↓0 ϕo (x̄; u) = lim sup x→x̄, là đạo hàm theo h−ớng Clarke ϕ x̄ theo h−ớng u (xem Mục 3.4 Ch−ơng 3) Vì ∂Cl,∞ ϕ(x̄) = {0} (xem Clarke (1983), Mệnh đề 2.9.7) và ∂ ∞ ϕ(x̄) ⊂ ∂ Cl,∞ ϕ(x̄), ta suy r»ng ∂∞ ϕ(x̄) = {0} Để tiện theo dõi, chúng ta nhắc lại khái niệm Jacobian xấp xỉ đã xét Mục 5.2 Giả sử f : Rn → Rm là hàm véctơ liên tục Tập đóng Jf (x̄) ⊂ L(Rn , Rm ) ®−îc gäi lµ Jacobian xÊp xØ cña f t¹i x̄ ∈ Rn nÕu (7.8) (y ∗ ◦ f )+ (x̄; u) sup y ∗ , Au, A∈Jf (x̄) ∀u ∈ Rn , ∀y ∗ ∈ Rm , đó (y∗ ◦ f )(x) = y ∗ , f (x), và (y ∗ ◦ f )+ (x̄; u) = lim sup t↓0 (y ∗ ◦ f )(x̄ + tu) − (y ∗ ◦ f )(x̄) t là đạo hàm Dini trên y∗ ◦ f x̄ theo h−ớng u Một Jacobian xấp xỉ f x̄ đ−ợc gọi là tối thiểu (minimal) nó không chứa tập (đóng) thực nµo còng lµ Jacobian xÊp xØ cña f t¹i x̄ NÕu f kh¶ vi FrÐchet t¹i x̄, th× hiÓn nhiªn Jf (x̄) = {f (x̄)} lµ Jacobian xÊp xØ tèi thiÓu cña f t¹i x̄ Gi¶ sö ϕ : Rn → IR lµ hµm liªn tôc NÕu Jϕ(x̄) lµ mét Jacobian cña ϕ t¹i x̄, th× ta viÕt ∂ JL ϕ(x̄) thay cho Jϕ(x̄) vµ gäi ∂JL ϕ(x̄) lµ d−íi vi ph©n J-L cña ϕ t¹i x̄ Mét J-L d−íi vi ph©n J-L ®−îc gäi lµ tèi thiÓu (minimal) nÕu nã kh«ng chứa tập (đóng) thực nào là d−ới vi phân J-L f x̄ NhËn xÐt r»ng hµm ϕ xÐt VÝ dô 5.2.1 kh«ng cã d−íi vi ph©n J-L tèi thiÓu t¹i x̄ = NÕu f = ϕ, lµ mét hµm thùc, th× (7.8) t−¬ng ®−¬ng víi cÆp ®iÒu kiÖn sau: (7.9) lim sup t↓0 ϕ(x̄ + tu) − ϕ(x̄) sup x∗ , u t x∗ ∈∂ JL ϕ(x̄) ∀u ∈ Rn (198) Hệ bất đẳng thức suy rộng 192 vµ (7.10) lim inf t↓0 ϕ(x̄ + tu) − ϕ(x̄) inf x∗ , u t x∗ ∈∂ JL ϕ(x̄) ∀u ∈ Rn Chóng ta sÏ tr¶ lêi c©u hái sau: Ph¶i ch¨ng d−íi vi ph©n Mordukhovich nµo còng lµ d−íi vi ph©n J-L? VÝ dô 5.7.1 (xem Jeyakumar vµ Luc (2002a)) XÐt hµm sè ϕ(x) = x1/3 , x ∈ R Khi đó ∂ JL ϕ(0) = [α, +∞), đó α ∈ IR đ−ợc lấy tùy ý, là d−ới vi phân J-L cña ϕ t¹i ThËt vËy, thÕ x̄ = 0, u = vµ u = −1 vµo (7.9) vµ (7.10) ta thÊy hai điều kiện đó thỏa mãn Sử dụng (7.3) ta có Nepi ϕ ((0, 0)) = {(x∗ , 0) ∈ R2 : x∗ 0} V× thÕ ∂ϕ(0) = ∅ vµ ∂ ∞ ϕ(0) = [0, +∞) VËy ∂ϕ(0) kh«ng ph¶i lµ d−íi vi ph©n J-L cña ϕ t¹i VÝ dô trªn gîi ý r»ng c©u hái ®ang ®−îc kh¶o s¸t cÇn ®−îc ph¸t biÓu l¹i nh− sau: C©u hái 1: NÕu d−íi vi ph©n Mordukhovich kh¸c rçng, th× nã cã lµ d−íi vi ph©n J-L hay kh«ng? Ba ví dụ ủng hộ câu trả lời khẳng định cho câu hỏi trên VÝ dô 5.7.2 17 §Æt ϕ(x) = |x| víi mäi x ∈ IR §Ó ý r»ng ϕ lµ hµm låi, Lipschitz ë trªn IR Sö dông (7.1) hoÆc (7.3) ta thu ®−îc Nepi ϕ ((0, 0)) = {(x∗ , y ∗ ) ∈ R2 : |x∗ | −y ∗ } V× vËy, ∂ϕ(0) = [−1, 1] Do ∂ JL ϕ(0) := {−1, 1} lµ d−íi vi ph©n J-L cña ϕ t¹i 0, ta kÕt luËn r»ng ∂ϕ(0) lµ d−íi vi ph©n J-L cña ϕ t¹i 0, nh−ng nã kh«ng ph¶i lµ d−íi vi ph©n J-L tèi thiÓu (L−u ý r»ng ∂JL ϕ(0) = {−1, 1} lµ d−íi vi ph©n J-L cña ϕ t¹i 0) VÝ dô 5.7.3 18 §Æt ϕ(x) = −|x| víi mäi x ∈ IR Ta cã ϕ lµ hµm lâm, Lipschitz ë trªn IR Sö dông (7.1) hoÆc (7.3) ta t×m ®−îc Nepi ϕ ((0, 0)) = {(x∗ , y ∗ ) ∈ R2 : |x∗ | = |y ∗ |} ∪ {(x∗ , y ∗ ) ∈ R2 : x∗ |y ∗ |} V× vËy ∂ϕ(0) = {−1, 1} DÔ thÊy r»ng ∂JL ϕ(0) := {−1, 1} lµ d−íi vi ph©n J-L tèi thiÓu cña ϕ t¹i V× vËy, d−íi vi ph©n Mordukhovich cña ϕ t¹i lµ d−íi vi ph©n J-L tèi thiÓu cña ϕ t¹i 17 18 Xem VÝ dô 4.2.4 Xem VÝ dô 4.2.5 (199) 5.7 D−íi vi ph©n Mordukhovich vµ d−íi vi ph©n J-L 193 VÝ dô 5.7.4 §Æt ϕ(x) = víi mäi x ∈ (−∞, 0] vµ ϕ(x) = x1/2 víi mäi x ∈ (0, +∞) Ta có ϕ là hàm số không lồi, không lõm, không Lipschitz địa ph−¬ng t¹i Sö dông (7.3) ta tÝnh ®−îc Nepiϕ ((0, 0)) = {(x∗ , y ∗ ) ∈ R2 : x∗ 0, y ∗ 0} V× vËy, ∂ϕ(0) = ∂ ∞ ϕ(0) = [0, +∞) B»ng çch kiÓm tra trùc tiÕp, ta thÊy r»ng çc ®iÒu kiÖn (7.9) vµ (7.10) ®−îc tháa m·n víi ∂JL ϕ(x̄) := [0, +∞), ë đó x̄ = Vậy ∂ϕ(0) là d−ới vi phân J-L ϕ Dễ thấy đó không ph¶i lµ d−íi vi ph©n J-L tèi thiÓu Mệnh đề 5.7.1 Nếu ϕ : Rn → R là Lipschitz x̄, thì ∂ϕ(x̄) là d−ới vi phân J-L cña ϕ t¹i x̄ Chøng minh Do (7.4), (7.6) vµ (7.7) ta cã lim sup t↓0 ϕ(x̄ + tu) − ϕ(x̄) t ϕo (x̄; u) = max{x∗ , u : x∗ ∈ ∂ Cl ϕ(x̄)} = max{x∗ , u : x∗ ∈ ∂ϕ(x̄)} MÆt kh¸c, lim inf t↓0 ϕ(x̄ + tu) − ϕ(x̄) t lim inf ϕ(x + tu) − ϕ(x) t x→x̄, t↓0 −ϕo (x̄; −u) = = − max{x∗ , −u : x∗ ∈ ∂ Cl ϕ(x̄)} = min{x∗ , u : x∗ ∈ ∂ϕ(x̄)} Các tính chất (7.9) và (7.10) đã đ−ợc thiết lập ∂JL ϕ(x̄) := ∂ϕ(x̄) Vậy ∂ϕ(x̄) lµ d−íi vi ph©n J-L cña ϕ t¹i x̄ Ví dụ sau cho ta câu trả lời phủ định cho Câu hỏi VÝ dô 5.7.5 §Æt ϕ(x) = x2 sin(1/x) víi mäi x ∈ (−∞, 0) vµ ϕ(x) = −x1/3 với x ∈ [0, +∞) Khi đó ϕ là hàm số liên tục, không Lipschitz địa ph−ơng Chúng ta khẳng định ∂ϕ(0) = ∅, nh−ng đó không phải là d−ới vi ph©n J-L cña ϕ t¹i ThËt vËy, dÔ thÊy r»ng N epi ϕ ((0, 0)) = {0} V× epiϕ = {(x, y) : y−x2 sin(1/x) 0, x < 0}∪{(x, y) : y+x1/3 0, x 0}, công thức tính nón tiếp tuyến Bouligand cho hệ bất đẳng thức xác định các hàm khả vi (xem Aubin và Frankowska (1990), tr 124, Mệnh đề 2.2.2 Ch−¬ng 2) ta cã Tepi ϕ (x, ϕ(x)) = {(v1 , v2 ) ∈ R2 : (−2x sin(1/x) + cos(1/x))v1 + v2 0} (200) Hệ bất đẳng thức suy rộng 194 nÕu x < 0, Tepi ϕ (x, ϕ(x)) = {(v1 , v2 ) ∈ R2 : x−2/3 v1 + v2 0} nÕu x > V× vËy, ∗ ∗ N epi ϕ (x, ϕ(x)) = {λ (2x sin(1/x) − cos(1/x), −1) : λ 0} nÕu x < 0, vµ −2/3 ∗ , −1) : λ∗ 0} N epi ϕ (x, ϕ(x)) = {λ (− x nÕu x > ¸p dông (7.3) ta thu ®−îc Nepi ϕ (0, 0) = {(x∗ , y ∗ ) ∈ R2 : −|x∗ | y ∗ } ∪ (−∞, 0] × {0} Do đó, ∂ϕ(0) = [−1, 1] Nhận xét (2.10), đó x̄ := và ∂JL ϕ(0) := [−1, 1], không đúng với u = vì vế trái là −∞, vế phải là −1 V× thÕ, ∂ JL ϕ(0) lµ tËp låi comp¾c kh¸c rçng, nh−ng kh«ng ph¶i lµ d−íi vi ph©n J-L cña ϕ t¹i NhËn xÐt r»ng, çc vÝ dô 5.7.1 vµ 5.7.5, tËp ∞ ϕ(0) ∂ JL ϕ(0) := ∂ϕ(0) ∪ ∂M lµ d−íi vi ph©n J-L cña ϕ t¹i (mÆc dï ∂ϕ(0) kh«ng ph¶i lµ d−íi vi ph©n J-L cña ϕ t¹i 0) Ta cã thÓ nªu lªn 19 c©u hái sau: C©u hái 1’: Ph¶i ch¨ng víi mçi hµm vÐct¬ liªn tôc ϕ : Rn → IR vµ víi mäi x̄ ∈ Rn , hîp cña d−íi vi ph©n Mordukhovich vµ d−íi vi ph©n suy biÕn ∂ϕ(x̄) := ∂ JL ϕ(x̄) ∪ ∂ ∞ ϕ(x̄) lµ d−íi vi ph©n J-L cña ϕ t¹i x̄? Cho đến nay, Câu hỏi 1’ ch−a có câu trả lời 5.8 Đối đạo hàm Mordukhovich và Jacobian xấp xỉ Đối đạo hàm là ánh xạ đa trị d−ơng Tuy thế, ánh xạ đối đạo hµm D∗ f (x̄)(·) cña mét hµm vÐct¬ liªn tôc f : Rn → Rm t¹i x̄ ∈ Rn cã thÓ không tồn tập đóng ∆ ⊂ L(Rn , Rm ) nào để (8.1) 19 D ∗ f (x̄)(y ∗ ) = {A∗ y ∗ : A ∈ ∆} ∀y ∗ ∈ IRm C©u hái nµy mét hai ng−êi ph¶n biÖn cña bµi b¸o Nam vµ Yen (2007) nªu lªn (201) 5.8 Đối đạo hàm Mordukhovich và Jacobian xấp xỉ 195 Vì thế, không thể so sánh khái niệm đối đạo hàm với khái niệm Jacobian xấp xỉ Để v−ợt qua khó khăn đó, chúng ta cần đến định nghĩa sau Định nghĩa 5.8.1 Một tập đóng khác rỗng ∆ ⊂ L(Rn , Rm ) các toán tử tuyến tính đ−ợc gọi là đại diện 20 ánh xạ đối đạo hàm D∗ f (x̄)(ã) (8.2) sup x∗ ∈D ∗ f (x̄)(y ∗ ) x∗ , u = sup A∗ y ∗ , u A∈∆ ∀u ∈ Rn , ∀y ∗ ∈ Rm Do định lý tách các tập lồi, (8.2) t−ơng đ−ơng với điều kiện sau (8.3) coD∗ f (x̄)(y ∗ ) = co{A∗ y ∗ : A ∈ ∆} ∀y ∗ ∈ Rm Nếu f là khả vi chặt x̄, thì ∆ := {f (x̄)} là đại diện ánh xạ đối đạo hàm D∗ f (x̄)(ã) NÕu f : Rn → Rm lµ Lipschitz t¹i x̄, nghÜa lµ tån t¹i > cho f (x ) − f (x) x − x víi mäi x, x ®−îc lÊy tïy ý mét l©n cËn cña x̄, đó tập JB f (x̄) = { lim f (xk ) : {xk } ⊂ Ωf , xk → x̄}, k→∞ đ−ợc gọi là B-đạo hàm, là Jacobian xấp xỉ f x̄ đây Ωf = {x ∈ Rn : ∃ đạo hàm Fréchet f (x) f x} NhËn xÐt r»ng tËp lín h¬n J Cl f (x̄) := co{ lim f (xk ) : {xk } ⊂ Ωf , xk → x̄} k→∞ (Jacobian suy réng Clarke) cña cña f t¹i x̄, còng lµ Jacobian xÊp xØ cña f t¹i x̄ Trong tr−êng hîp m = 1, J Cl f (x̄) = ∂ Cl f (x̄) (xem Môc 5.2) Mệnh đề 5.8.1 Nếu hàm f : Rn → Rm là Lipschitz địa ph−ơng x̄, thì tập hợp ∆ := JB f (x̄) là đại diện ánh xạ đối đạo hàm D∗ f (x̄)(ã) Chøng minh Theo c«ng thøc (2.23) Mordukhovich (1994b), ta cã A∗ y ∗ : A ∈ J Cl f (x̄) = coD∗ f (x̄)(y ∗ ) ∀y ∗ ∈ Rm Vì J Cl f (x̄) = coJB f (x̄), từ đó suy coD∗ f (x̄)(y ∗ ) = co{A∗ y ∗ : A ∈ JB f (x̄)} 20 TNTA: representative (202) Hệ bất đẳng thức suy rộng 196 Vậy (8.3) nghiệm đúng ta chọn ∆ = JB f (x̄) Điều đó chứng tỏ ∆ = JB f (x̄) là đại diện ánh xạ đối đạo hàm D∗ f (x̄)(ã) Mệnh đề 5.8.2 Nếu f là Lipschitz x̄ và ∆ là đại diện ánh xạ đối đạo hàm D∗ f (x̄)(ã), thì Jf (x̄) := ∆ là Jacobian xấp xỉ f x̄ Chứng minh Giả sử y ∗ ∈ Rm đ−ợc cho tùy ý Theo Mệnh đề 2.11 Mordukhovich (1994b), ta cã D ∗ f (x̄)(y ∗ ) = ∂(y ∗ ◦ f )(x̄) (8.4) V× y ∗ ◦ f lµ Lipschitz t¹i x̄, (y ∗ ◦ f )o (x̄; u) = sup{x∗ , u : x∗ ∈ ∂ Cl (y ∗ ◦ f )(x̄)} ∀u ∈ Rn Kết hợp điều đó với (7.4) và (8.4), ta thu đ−ợc (y ∗ ◦ f )o (x; u) = sup{x∗ , u : x∗ ∈ D∗ f (x̄)(y ∗ )} = sup{A∗ y ∗ , u : A ∈ ∆} Do đó, (y ∗ ◦ f )+ (x̄; u) (y ∗ ◦ f )o (x; u) = sup{y ∗ , Au : A ∈ ∆} Vì tính chất đó đúng với y∗ ∈ Rm và u ∈ Rn , ta kết luận Jf (x̄) := ∆ lµ Jacobian xÊp xØ cña f t¹i x̄ Trong mối liên hệ với Mệnh đề 5.8.2, chúng ta có câu hỏi tự nhiên sau đây C©u hái 2: Ph¶i ch¨ng nÕu f : Rn → Rm lµ hµm vÐct¬ liªn tôc vµ ∆ lµ mét đại diện ánh xạ đối đạo hàm D∗ f (x̄)(ã) : Rm ⇒ Rn , thì Jf (x̄) := ∆ là Jacobian xÊp xØ cña f t¹i x̄? Kết hợp mệnh đề sau với mệnh đề 5.8.2 ta có câu trả lời khẳng định cho C©u hái Mệnh đề 5.8.3 Nếu ánh xạ đối đạo hàm D∗ f (x̄)(ã) : Rm ⇒ Rn hàm số liên tục f : Rn → Rm có đại diện Jf (x̄) ⊂ L(Rn , Rm ), thì f là Lipschitz địa ph−ơng x̄ Chøng minh Tõ (8.3) suy r»ng coD∗ f (x̄)(0) = {0} V× vËy, D ∗ f (x̄)(0) = {0} Theo Mệnh đề 2.8 Mordukhovich (1988), điều đó kéo theo x → {f (x)} là ánh xạ đa trị giả-Lipschitz (x̄, f (x̄)) Vì f là ánh xạ đơn trị, ta có f là Lipschitz địa ph−ơng x̄ Chúng ta xét thêm vài ví dụ đó ta tính d−ới vi phân Mordukhovich và đối đạo hàm các hàm số và ánh xạ không trơn (203) 5.8 Đối đạo hàm Mordukhovich và Jacobian xấp xỉ 197 Ví dụ 5.8.1 Giả sử hàm véctơ f : R → R2 đ−ợc xác định công thức f (x) = (|x|1/2 , −|x|) với x ∈ IR Khi đó f là hàm số liên tục, không Lipschitz t¹i 0, vµ gph f = {(x, |x|1/2 , −|x|) : x ∈ R} Sö dông (7.3) vµ c«ng Ω (x) đã đ−ợc nhắc lại Mục 5.7, ta có thể thøc tÝnh nãn ph¸p tuyÕn FrÐchet N chøng tá r»ng Ngph f ((0, 0, 0)) = N gph f ((0, 0, 0)) = R × (−∞, 0] × R V× vËy, víi mçi y ∗ = (y1∗ , y2∗ ) ∈ R2 , ∗ ∗ D f (0)(y ) = R nÕu y1∗ 0, ∅ nÕu y1∗ < Vì f không là Lipschitz địa ph−ơng x̄ = 0, Mệnh đề 5.8.3 khẳng định ánh xạ đối đạo hàm D∗ f (0)(ã) không có đại diện d−ới dạng tập toán tử tuyến tính Mét tÝnh to¸n trùc tiÕp cho thÊy r»ng, víi mçi y∗ = (y1∗ , y2∗ ) ∈ R2 vµ u ∈ IR, ta cã ⎧ +∞ nÕu y1∗ > 0, u = ⎪ ⎪ ⎨ ∗ −|u|y2 nÕu y1∗ = (y ∗ ◦ f )+ (0; u) = −∞ nÕu y1∗ < 0, u = ⎪ ⎪ ⎩ nÕu y1∗ < 0, u = Nếu ta chọn Jf (0) = (−∞, 0] ì IR, x̄ = 0, và đặt Au = (αu, βu) với mäi A = (α, β) ∈ Jf (0), u ∈ IR, th× (7.8) kh«ng ®−îc tháa m·n v× r»ng sup y ∗ , Au = nÕu y1∗ > 0, u > 0, y2∗ = 0, (y∗ ◦ f )+ (0; u) = A∈Jf (0) +∞ T−¬ng tù, nÕu ta chän Jf (0) = [0, +∞) × IR vµ x̄ = 0, th× (7.8) kh«ng ®−îc tháa m·n v× sup y ∗ , Au = nÕu y1∗ > 0, u < 0, y2∗ = 0, (y∗ A∈Jf (0) ◦ = +∞ Vì thế, các tập Jf (0) đã chọn không ph¶i lµ Jacobian xÊp xØ cña f t¹i MÆc dï vËy, tËp hîp kiÓu Jf (0) := {(−∞, −1] ∪ [2, +∞)} × IR lµ mét Jacobian xÊp xØ cña f t¹i f )+ (0; u) VÝ dô 5.8.2 XÐt hµm sè f : R → R2 cho bëi c«ng thøc f (x) = (−|x|1/3 , x1/3 ) với x ∈ IR Ta có f là hàm số liên tục, không Lipschitz địa ph−ơng 0, vµ gph f = {(x, −|x|1/3 , x1/3 ) : x ∈ R} Ω (x) áp dụng công thức (7.3) và công thức định nghĩa nón pháp tuyến Fréchet N đ−ợc đ−a tr−ớc đó, ta có thể chứng tỏ Ngph f ((0, 0, 0)) = N gph f ((0, 0, 0)) = R × W, đó W = {y∗ = (y1∗ , y2∗ ) ∈ R2 : −y1∗ y2∗ y1∗ } Vì vậy, với y ∗ = (y1∗ , y2∗ ) ∈ R2 ta cã R nÕu y1∗ y2∗ −y1∗ D ∗ f (0)(y ∗ ) = ∅ tr−êng hîp cßn l¹i (204) Hệ bất đẳng thức suy rộng 198 ánh xạ đối đạo hàm D∗ f (0)(ã) không có đại diện d−ới dạng tập hợp toán tö tuyÕn tÝnh Cã thÓ chøng tá r»ng, víi mäi y∗ = (y1∗ , y2∗ ) ∈ R2 vµ u ∈ IR, ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ +∞ (y ∗ ◦ f )+ (0; u) = −∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ −∞ ⎪ ⎩ +∞ nÕu nÕu nÕu nÕu nÕu nÕu nÕu nÕu u=0 y2∗ = y1∗ = 0, y2∗ − y1∗ = 0, y2∗ − y1∗ > 0, y2∗ − y1∗ < 0, y2∗ + y1∗ = 0, y2∗ + y1∗ > 0, y2∗ + y1∗ < 0, u=0 u>0 u>0 u>0 u<0 u<0 u < Sö dông (2.8) ta cã thÓ chøng tá r»ng tËp Jf (0) = {(α, −α) : α 0} ∪ {(α, α) : α 0} lµ mét Jacobian xÊp xØ cña f t¹i nÕu ta nhóng Jf (0) vµo L(R, R2 ) b»ng çch đặt Au = (αu, βu) với A = (α, β) ∈ Jf (0) và u ∈ IR VÝ dô 5.8.3 (xem Mordukhovich (1988), tr 65) §Æt f (x) = |x1 | − |x2 | víi mäi x = (x1 , x2 ) ∈ R2 vµ x̄ = (0, 0) Hµm f kh«ng låi, kh«ng lâm Nã còng không là chính quy Clarke x̄ = (0, 0) Để xác định ánh xạ đối đạo hàm D ∗ f (x̄)(·) : R ⇒ R2 ta ph¶i tÝnh ®−îc nãn ph¸p tuyÕn Ngph f (x̄) §Ó ý r»ng gphf = {(x1 , x2 , t) : = {(x1 , x2 , t) : ∪{(x1 , x2 , t) ∪{(x1 , x2 , t) ∪{(x1 , x2 , t) t = f (x1 , x2 )} x1 0, x2 0, t = x1 − x2 } : x1 0, x2 0, t = x1 + x2 } : x1 0, x2 0, t = −x1 + x2 } : x1 0, x2 0, t = −x1 − x2 } Ký hiÖu tËp låi ®a diÖn hîp ë vÕ ph¶i lÇn l−ît bëi Γ1 , Γ2 , Γ3 , vµ Γ4 Gi¶ sö z = (x1 , x2 , t) ∈ gphf Nếu z thuộc vào phần t−ơng đối Γ1 (t−ơng ứng, Γ2 , Γ3 , và Γ4 ), th× N gph f (z) = {λ(1, −1, −1) : λ ∈ R} (t−¬ng øng, Ngph f (z) = {λ(1, 1, −1) : λ ∈ R}, N gph f (z) = {λ(−1, 1, −1) : λ ∈ R}, vµ Ngph f (z) = {λ(−1, −1, −1) : λ ∈ R}) NÕu x1 > vµ x2 = 0, th× z ∈ Γ1 ∩ Γ2 V× TΓ1 (z) = {(v1 , v2 , α) ∈ R3 : v2 0, = v1 − v2 − α}, sử dụng Bổ đề Farkas (xem Rockafellar (1970), tr 200) ta có Γ (z) = {(η1 , η2 , θ) = −λ(0, 1, 0) − µ(1, −1, −1) : λ 0, µ ∈ R} N (205) 5.8 Đối đạo hàm Mordukhovich và Jacobian xấp xỉ 199 T−¬ng tù, Γ (z) = {(η1 , η2 , θ) = −λ (0, −1, 0) − µ (1, 1, −1) : λ 0, µ ∈ R} N Do N gph f (z) = NΓ1 (z) ∩ NΓ2 (z), ta suy r»ng N gph f (z) = {(−µ, µ − λ, µ) : 2µ λ 0} Râ rµng r»ng nãn ph¸p tuyÕn FrÐchet nµy kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña z = trªn nöa ®−êng th¼ng Γ1 ∩ Γ2 NÕu x1 < vµ x2 = 0, th× z ∈ Γ3 ∩ Γ4 LËp luËn t−¬ng tù nh− trªn, ta thu ®−îc N gph f (z) = {(µ, λ − µ, µ) : 2µ λ 0} NÕu x1 = vµ x2 > 0, th× z ∈ Γ1 ∩ Γ4 vµ N gph f (z) = {(−λ − µ, µ, µ) : −2µ λ 0} NÕu x1 = vµ x2 < 0, th× z ∈ Γ2 ∩ Γ3 vµ N gph f (z) = {(−λ − µ, −µ, µ) : −2µ λ 0} NÕu x1 = vµ x2 = 0, th× z = (x̄, 0) ∈ Γ1 ∩ Γ2 ∩ Γ3 ∩ Γ4 V× TΓ1 (x̄, 0) = {(v1 , v2 , α) : v1 0, v2 0, = v1 − v2 − α}, Bổ đề Farkas ta có Γ ((x̄, 0)) = {−λ1 (1, 0, 0)−λ2 (0, 1, 0)−µ(1, −1, −1) : λ1 0, λ2 0, µ ∈ IR} N Γ ((x̄, 0)) (i = 2, 3, 4) LËp luËn t−¬ng tù, ta tÝnh ®−îc çc nãn ph¸p tuyÕn N i Khi đó, sử dụng công thức N gph f (x̄, 0) = Γ ((x̄, 0)) N i i=1 ta cã thÓ chøng tá r»ng N gph f (x̄, 0) = {(0, 0, 0)} Kết hợp các kết đã thu đ−ợc với công thức (2.3), ta có Ngph f ((x̄, 0)) = lim sup N gph f (z) z→(x̄,0) = cone{(1, −1, −1), (1, 1, −1), (−1, 1, −1), (−1, −1, −1)} ∪{(−µ, µ − λ, µ) : 2µ λ 0} ∪{(µ, λ − µ, µ) : 2µ λ 0} ∪{(−λ − µ, µ, µ) : −2µ λ 0} ∪{(−λ − µ, −µ, µ) : −2µ λ 0} (206) Hệ bất đẳng thức suy rộng 200 Từ đó suy ⎧ {(y ∗ , −y ∗ ), (y ∗ , y ∗ ), (−y ∗ , y ∗ ), (−y ∗ , −y ∗ )} ⎪ ⎪ ⎪ ∪{(−λ∗ + y ∗ , −y ∗ ) : 2y ∗ λ∗ 0} ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∪{(−λ∗ + y ∗ , y ∗ ) : 2y ∗ λ∗ 0} ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ nÕu y∗ > 0, ⎨ D∗ f (x̄)(y ∗ ) = {(y ∗ , −y ∗ ), (y ∗ , y ∗ ), (−y ∗ , y ∗ ), (−y ∗ , −y ∗ )} ⎪ ⎪ ∪{(y ∗ , −y ∗ − λ∗ ) : −2y ∗ λ∗ 0} ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∪{(−y ∗ , y ∗ + λ∗ ) : −2y ∗ λ∗ 0} ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ nÕu y∗ < 0, ⎪ ⎩ {(0, 0)} nÕu y∗ = Nh− vËy, víi mçi y∗ , D ∗ f (0)(y ∗ ) lµ mét tËp comp¾c kh¸c rçng (th−êng lµ kh«ng låi) Còng b»ng ph−¬ng ph¸p trªn, ta thu ®−îc Nepi f ((x̄, 0, ) = lim sup N epi f (z) z→(x̄,0) = cone{(1, −1, −1), (1, 1, −1), (−1, 1, −1), (−1, −1, −1)} ∪{(−λ − µ, µ, µ) : −2µ λ 0} ∪{(−λ − µ, −µ, µ) : −2µ λ 0} Do đó, ∂f (x̄) = {x∗ : (x∗ , −1) ∈ Nepi f ((x̄, 0))} = {(1, −1), (1, 1), (−1, 1), (−1, −1)} ∪{(−λ∗ + 1, −1) : λ∗ 0} ∪ {(−λ∗ + 1, 1) : λ∗ 0} = {(λ∗ , 1) : −1 λ∗ 1} ∪ {(λ∗ , −1) : −1 λ∗ 1} VËy ∂f (x̄) lµ tËp comp¾c, kh«ng låi TËp hîp nµy lµ d−íi vi ph©n J-L cña f t¹i x̄ Tuy vậy, đó không phải d−ới vi phân J-L tối thiểu, vì tập hợp ∂ JL f (x̄) := {(1, −1), (−1, 1)} còng lµ mét d−íi vi ph©n J-L cña f t¹i x̄ (xem Jeyakumar vµ Luc (1999)) (207) Phô lôc A 201 Phô lôc A §Ò thi hÕt m«n gi¶i tÝch ®a trÞ ë ViÖn To¸n häc (Ngµy thi: 26/8/2002 Líp Cao häc kho¸ 8) Bµi (3 ®iÓm) (a) Nêu định nghĩa ánh xạ đa trị, đồ thị ánh xạ đa trị, miền hữu hiệu và tËp ¶nh cña ¸nh x¹ ®a trÞ (b) Xác định các tập gph F, dom F , rge F với F : R ⇒ IR đ−ợc cho c«ng thøc F (x) = co{sin x, cos x} ∀x ∈ R (c) Xét ph−ơng trình đại số xn + a1 xn−1 + + an−1 x + an = 0, đó n là số nguyên cho tr−ớc và a = (a1 , , an ) là véctơ thực Ký hiệu F (a) là tập hợp các nghiệm phức ph−ơng trình đã cho ánh xạ F : Rn ⇒ C, a → F (a), cã ph¶i lµ ¸nh x¹ ®a trÞ - cã gi¸ trÞ kh¸c rçng? - cã gi¸ trÞ comp¾c? - cã gi¸ trÞ låi? - có giá trị đóng? - trµn (tøc lµ rge F = C)? (Gîi ý: LÇn l−ît chøng tá r»ng: (i) Víi n = th× F lµ trµn, (ii) Víi n > th× F lµ trµn.) Bµi (2 ®iÓm) (a) Ph¸t biÓu kh¸i niÖm ¸nh x¹ ®a trÞ nöa liªn tôc trªn vµ ¸nh x¹ ®a trÞ nöa liên tục d−ới Cho hai ví dụ để chứng tỏ đó là hai khái niệm có nội dung hoµn toµn kh¸c (b) Phát biểu và chứng minh định lý bảo tồn tính liên thông tôpô qua ¸nh x¹ ®a trÞ nöa liªn tôc d−íi Bµi (2 ®iÓm) (a) Phát biểu định lý điểm bất động Kakutani (b) Cho các ví dụ thích hợp để chứng tỏ phát biểu định lý ta bá ®i mét ®iÒu kiÖn sau (nh−ng vÉn gi÷ nguyªn ®iÒu kiÖn kia) thì kết luận định lý có thể không còn đúng nữa: (i) G lµ ¸nh x¹ ®a trÞ nöa liªn tôc trªn, (ii) G cã gi¸ trÞ låi, (iii) G có giá trị đóng, (iv) G cã gi¸ trÞ kh¸c rçng, đó G là ánh xạ đa trị đ−ợc xét (208) Phô lôc A 202 Bµi (2 ®iÓm) b (x̄), C (x̄) Nªu (a) Phát biểu định nghĩa các nón tiếp tuyến TM (x̄), TM M mối quan hệ các hình nón đó và hình nón cone(M − x̄) Nêu ví dụ (không b (x̄), T b (x̄) = cần trình bày các tính toán) để chứng tỏ CM (x̄) = TM M TM (x̄), TM (x̄) = cone(M − x̄) (b) Cho ¸nh x¹ ®a trÞ F : R ⇒ IR, F (x) = {y ∈ R : x2 + y 1, x − y + 0} ∀x ∈ R - Hái F cã ph¶i lµ ¸nh x¹ ®a trÞ låi hay kh«ng? z ), đó z̄ = (−1, 0) và z = (0, 1) - TÝnh çc tËp Tgph F (z̄) vµ Tgph F ( - Viết công thức các đạo hàm DFz̄ , DFz0, CFz̄ , và CFz0 Hỏi đạo hàm đó có phải các quá trình lồi đóng hay không? có phải là các ánh xạ trµn hay kh«ng? Bµi (1 ®iÓm) Chän gi¶i mét hai bµi tËp sau: Cho X, Y lµ çc kh«ng gian t«p«, F : X ⇒ Y lµ ¸nh x¹ ®a trÞ nöa liªn tôc trªn ë X Chøng minh r»ng nÕu dom F lµ tËp comp¾c vµ F lµ ¸nh x¹ cã gi¸ trÞ comp¾c, th× rge F lµ tËp comp¾c Cho X, Y là các không gian tôpô, F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị có đồ thị đóng Chứng minh F (x) là tập đóng với x ∈ X (209) Phô lôc B 203 Phô lôc B §Ò thi hÕt m«n gi¶i tÝch ®a trÞ ë §¹i häc S− ph¹m Tp Hå ChÝ Minh (Ngµy thi: 28/8/2003 Líp Sinh viªn chän, §HSP Tp Hå ChÝ Minh) Bµi (2 ®iÓm) Cho ¸nh x¹ ®a trÞ F : R ⇒ R, F (x) = {y ∈ R : y x3 } (a) Xác định các tập dom F và rge F (b) F cã ph¶i lµ ¸nh x¹ ®a trÞ låi hay kh«ng? (c) F có phải là ánh xạ đa trị đóng (tức là ánh xạ có đồ thị đóng) hay không? (d) ViÕt c«ng thøc tÝnh tËp F −1 (y) víi y ∈ IR (e) Xác định tập hợp gph (F −1 ◦ F ) Tính tập (F −1 ◦ F )(x) với x ∈ IR Bµi (2 ®iÓm) Cho M = {x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : x1 + x2 2, x2 x31 }, x̄ = (1, 1) Tính hình nón Bouligand TM (x̄) Gọi G : R ⇒ IR là ánh xạ đa trị có đồ thị trùng với hình nón TM (x̄) đó Xác định các tập dom G và rge G Bµi (2 ®iÓm) Cho X, Y lµ çc kh«ng gian t«p«, F : X ⇒ Y lµ ¸nh x¹ ®a trÞ Chøng minh r»ng nÕu (i) dom F lµ tËp liªn th«ng, (ii) F (x) lµ tËp liªn th«ng víi mäi x ∈ dom F , vµ (iii) F lµ nöa liªn tôc d−íi ë X, th× rge F lµ tËp liªn th«ng Bµi (1 ®iÓm) Cho X, Y lµ çc kh«ng gian tuyÕn tÝnh, A : X → Y lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh, K ⊂ Y lµ h×nh nãn låi Chøng minh r»ng F : X ⇒ Y cho bëi c«ng thøc F (x) = Ax + K (x ∈ X) lµ ¸nh x¹ ®a trÞ låi Chøng minh r»ng F lµ ¸nh x¹ ®a trÞ thuÇn nhÊt d−¬ng, tøc lµ F (λx) = λF (x) (∀x ∈ X, ∀λ 0) Bµi (1 ®iÓm) Cho X, Y lµ çc kh«ng gian t«p«, F : X ⇒ Y lµ ¸nh x¹ ®a trÞ có đồ thị đóng Chứng minh F (x) là đóng với x ∈ X Bµi (1 ®iÓm) Cho X, Y lµ çc kh«ng gian t«p«, F : X ⇒ Y lµ ¸nh x¹ ®a trÞ nöa liªn tôc trªn ë X Chøng minh r»ng nÕu dom F lµ tËp comp¾c vµ F lµ ¸nh x¹ ®a trÞ cã gi¸ trÞ comp¾c th× rge F lµ tËp comp¾c Bài (1 điểm) Cho X, Y , Z là các không gian định chuẩn, F : X ⇒ Y và F : Y ⇒ Z lµ çc ¸nh x¹ ®a trÞ låi Chøng minh r»ng G ◦ F : X ⇒ Z lµ ¸nh x¹ ®a trÞ låi L−u ý: NÕu sè ng−êi gi¶i ®−îc çc c©u 5-7 kh«ng nhiÒu, th× ®iÓm cho çc c©u này đ−ợc nhân đôi (210) 204 Phô lôc B (211) Tµi liÖu tham kh¶o 205 Tµi liÖu tham kh¶o J.-P Aubin (1981), Contingent derivatives of set-valued maps and existence of solutions to nonlinear inclusions and differential inclusions, Advances in Mathematics, Supplementary studies (L Nachbin, Ed.), 160– 232 J.-P Aubin (1984), Lipschitz behavior of solutions to convex minimization problems, Mathematics of Operations Research Vol 9, 87–111 J.-P Aubin and A Cellina (1984), Differential Inclusions Set-Valued Maps and Viability Theory, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg J.-P Aubin and I Ekeland (1984), Applied Nonlinear Analysis, John Wiley & Sons, Wiley-Interscience J.-P Aubin and H Frankowska (1987), On inverse function theorem for set-valued maps, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées Vol 66, 71–89 J.-P Aubin and H Frankowska (1990), Set-Valued Analysis, Birkhauser, Berlin A Auslender (1979), Differential stability in nonconvex and nondifferentiable programming, Mathematical Programming Study Vol 10, 29–41 A Auslender and M Teboulle (2003), Asymptotic Cones and Functions in Optimization and Variational Inequalities, Springer, New York C Berge (1959), Espaces topologiques: Fonctions multivoques, Dunod, Paris 10 J F Bonnans and A Shapiro (2000), Perturbation Analysis of Optimization Problems, Springer, New York 11 J M Borwein (1986), Stability and regular points of inequality systems, Journal of Optimization Theory and Applications Vol 48, 9–52 12 J M Borwein and Q J Zhu (2005), Techniques of Variational Analysis, Springer, New York 13 J M Borwein and D M Zhuang (1988), Verifiable necessary and sufficient conditions for regularity of set-valued and single-valued maps, Journal of Mathematical Analysis and Applications Vol 134, 441–459 (212) 206 Tµi liÖu tham kh¶o 14 G Bouligand (1930), Sur les surfaces dÐpourvues de points hyperlimits, Ann Soc Polon Math Vol 9, 32–41 15 C Castaing and M Valadier (1977), Convex Analysis and Measurable Functions, Springer-Verlag 16 Nguyễn Huy Chiêu (2004), Sự tồn lát cắt đặc biệt ánh xạ đa trị và kh¸i niÖm tÝch ph©n Aumann, LuËn v¨n Th¹c sÜ to¸n häc, §¹i häc Vinh, 2004 17 N H Chieu (2006a), A Newton-Leibniz formula for the integration of the Clarke subdifferential mapping (bản thảo đã gửi đăng) 18 N H Chieu (2006b), The contingent cone of the product of two sequential sets in the real line (bản thảo đã gửi đăng) 19 N H Chieu (2006c), Integral of subdifferential mappings and subdifferential of integral functionals (bản thảo đã gửi đăng) 20 F H Clarke (1983), Optimization and Nonsmooth Analysis, Wiley, New York 21 B D Craven (1978), Mathematical Programming and Control Theory, Chapman and Hall, London 22 P H Dien (1982), Locally Lipschitzian set-valued maps and generalized extremal problems, Acta Mathematica Vietnamica Vol 8, 109–122 23 P H Dien (1985), On the regularity condition for the extremal problem under locally Lipschitz inclusion constraints, Applied Mathematics and Optimization Vol 13, 151–161 24 P H Dien and P H Sach (1989), Further properties of the regularity of inclusion systems, Nonlinear Analysis Vol 13, 1251–1267 25 P H Dien and N D Yen (1991), On implicit function theorems for setvalued maps and their applications to mathematical programming under inclusion constraints, Applied Mathematics and Optimization Vol 24, 35–54 26 A L Donchev and R T Rockafellar (1996), Characterizations of strong regularity for variational inequalities over polyhedral convex sets, SIAM Journal on Optimization Vol 6, 1087–1105 27 I Ekeland (1974), On the variational principle, Journal of Mathematical Analysis and Applications Vol 47, 324–353 (213) Tµi liÖu tham kh¶o 207 28 J Gauvin (1979), The generalized gradient of a marginal function in mathematical programming, Mathematics of Operations Research Vol 4, 458– 463 29 J Gauvin and F Dubeau (1982), Differential properties of the marginal function in mathematical programming, Mathematical Programming Study Vol 19, 101–119 30 J Gauvin and F Dubeau (1984), Some examples and counterexamples for the stability analysis of nonlinear programming problems, Mathematical Programming Study Vol 21, 69–78 31 J Gauvin and J W Tolle (1977), Differential stability in nonlinear programming, SIAM Journal on Control and Optimization Vol 15, 294–311 32 B Gollan (1984), On the marginal function in nonlinear programming, Mathematics of Operations Research Vol 9, 208–221 33 V V Gorokhovik and P P Zabreiko (2005), On Fréchet differentiability of multifunctions, Optimization Vol 54, 391–409 34 T X D Ha (2005), Lagrange multipliers for set-valued problems associated with coderivatives, Journal of Mathematical Analysis and Applications Vol 311, 647–663 35 R B Holmes (1974), Geometric Functional Analysis and Its Applications, Springer 36 A D Ioffe (2000), Codirectional compactness, metric regularity and subdifferential calculus, Canadian Mathematical Society Conference Proceedings Vol 27, 123–163 37 A D Ioffe and V M Tihomirov (1979), Theory of Extremal Problems, North-Holland Publishing Company 38 V Jeyakumar and D T Luc (1998), Approximate Jacobian matrices for nonsmooth continuous maps and C1 -optimization, SIAM Journal on Control and Optimization Vol 36, 1815–1832 39 V Jeyakumar and D T Luc (1999), Nonsmooth calculus, minimality, and monotonicity of convexificators, Journal of Optimization Theory and Applications Vol 101, 599–621 40 V Jeyakumar and D T Luc (2002a), An open mapping theorem using unbounded generalized Jacobians, Nonlinear Analysis Vol 50, 647–663 (214) 208 Tµi liÖu tham kh¶o 41 V Jeyakumar and D T Luc (2002b), Convex interior mapping theorems for continuous nonsmooth functions and optimization, Journal of Nonlinear and Convex Analysis Vol 3, 251–266 42 V Jeyakumar and X Wang (1999), Approximate Hessian matrices and second-order optimality conditions for nonlinear programming problems with C -data, Journal of the Australian Mathematical Society Series B Vol 40, 403–420 43 V Jeyakumar and N D Yen (2004), Solution stability of nonsmooth continuous systems with applications to cone-constrained optimization, SIAM Journal on Optimization Vol 14, 1106–1127 44 A Jourani (2000), Hoffman’s error bound, local controllability, and sensitivity analysis, SIAM Journal on Control and Optimization Vol 38, 947–970 45 J L Kelley (1957), General Topology, D Van Nostrand Company, New York 46 P K Khanh (1986), An induction theorem and general open mapping theorems, Journal of Mathematical Analysis and Applications Vol 118, 519–534 47 P K Khanh (1988), An open mapping theorem for families of multifunctions, Journal of Mathematical Analysis and Applications Vol 132, 491–498 48 P K Khanh (1989), On general open mapping theorems, Journal of Mathematical Analysis and Applications Vol 144, 305–312 49 B T Kien, J.-C Yao and N D Yen (2007), On the solution existence of pseudomonotone variational inequalities, Journal of Global Optimization (đã đ−ợc nhận đăng) 50 A Ja Kruger and B Mordukhovich (1980), Extremal points and the Euler equation in nonsmooth optimization problems (in Russian), Dokl Akad Nauk BSSR Vol 24, 684–687 (tiÕng Nga) 51 G M Lee, N N Tam and N D Yen (2005), Quadratic Programming and Affine Variational Inequalities: A Qualitative Study, Series: “Nonconvex Optimization and its Applications”, Vol 78, Springer, New York 52 D T Luc (1989), Theory of Vector Optimization, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems Vol 319, Springer, Berlin-Heidelberg (215) Tµi liÖu tham kh¶o 209 53 D T Luc (2003), A Multiplier rule for multiobjective programming problems with continuous data, SIAM Journal on Optimization Vol 13, 168– 178 54 D T Luc and C Malivert (1992), Invex optimisation problems, Bulletin of the Australian Mathematical Society Vol 46, 47–66 55 Y Lucet and J J Ye (2001, 2002), Sensitivity analysis of the value function for optimization problems with variational inequality constraints, SIAM Journal on Control and Optimization Vol 40, 699–723; Erratum SIAM Journal on Control and Optimization Vol 41, 1315–1319 56 Z Q Luo, J.-S Pang and D Ralph (1996), Mathematical Programs with Equilibrium Constraints, Cambridge University Press, Cambridge, UK 57 O L Mangasarian and T H Shiau (1987), Lipschitz continuity of solutions of linear inequalities, programs and complementarity problems, SIAM Journal on Control and Optimization Vol 25, 583–595 58 H Maurer and J Zowe (1979), First and second-order necessary and sufficient optimality conditions for infinite-dimensional programming problems, Mathematical Programming Vol 16, 98–110 59 B S Mordukhovich (1976), Maximum principle in the problem of time response with nonsmooth constraints, Journal of Applied Mathematics and Mechanics Vol 40, 960–969 60 B S Mordukhovich (1988), Approximation Methods in Problems of Optimization and Control (in Russian), Nauka, Moscow 61 B S Mordukhovich (1992), Sensitivity analysis in nonsmooth optimization, in “Theoretical Aspects of Industrial Design” (D A Field and V Komkov, Eds.), pp 32–46, SIAM Publications 62 B S Mordukhovich (1993), Complete characterization of openness, metric regularity, and Lipschitzian properties of multifunctions, Transactions of the American Mathematical Society Vol 340, 1–36 63 B S Mordukhovich (1994a), Lipschitzian stability of constraint systems and generalized equations, Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications Vol 22, 173–206 64 B S Mordukhovich (1994b), Generalized differential calculus for nonsmooth and set-valued mappings, Journal of Mathematical Analysis and Applications Vol 183, 250–288 (216) 210 Tµi liÖu tham kh¶o 65 B S Mordukhovich (1994c), Stability theory for parametric generalized equations and variational inequalities via nonsmooth analysis, Transactions of the American Mathematical Society Vol 343, 609–658 66 B S Mordukhovich (1994d), Sensitivity analysis for constraint and variational systems by using set-valued differentiation, Optimization Vol 31, 13–46 67 B S Mordukhovich (2006a), Variational Analysis and Generalized Differentiation, I: Basic Theory, Springer 68 B S Mordukhovich (2006b), Variational Analysis and Generalized Differentiation, II: Applications, Springer 69 B S Mordukhovich and N M Nam (2005a), Variational stability and marginal functions via generalized differentiation, Mathematics of Operations Research Vol 30, 800–816 70 B S Mordukhovich and N M Nam (2005b), Subgradient of distance functions with some applications to Lipschitzian stability, Mathematical Progrgamming Vol 104, 635–668 71 B S Mordukhovich and N M Nam (2006), Subgradients of distance functions at out-of-state points, Taiwanese Journal of Mathematics Vol 10, 299–326 72 B S Mordukhovich, N M Nam and N D Yen (2006), Fréchet subdifferential calculus and optimality conditions in nondifferentiable programming, Optimization Vol 55, 685–708 73 B S Mordukhovich, N M Nam and N D Yen (2007), Subgradients of marginal functions in parametric mathematical programming, Mathematical Programming (đã đ−ợc nhận đăng) 74 B S Mordukhovich and Y Shao (1995), Differential characterizations of covering, metric regularity, and Lipschitzian properties of multifunctions between Banach spaces, Nonlinear Analysis Vol 25, 1401–1424 75 B S Mordukhovich and Y Shao (1996a), Nonsmooth analysis in Asplund spaces, Transactions of the American Mathematical Society Vol 348, 1230–1280 76 B S Mordukhovich and Y Shao (1996b), Nonconvex differential calculus for infinite-dimensional multifunctions, Set-Valued Analysis Vol 4, 205– 236 (217) Tµi liÖu tham kh¶o 211 77 N M Nam and N D Yen (2007), Relationships between approximate Jacobians and coderivatives, Journal of Nonlinear and Convex Analysis (đã đ−ợc nhận đăng) 78 H V Ngai, D T Luc and M Thera (2000), Approximate convex functions, Journal of Nonlinear and Convex Analysis Vol 1, 155–176 79 J V Outrata, M Kocvara and J Zowe (1998), Nonsmooth Approach to Optimization Problems with Equilibrium Constraints, Kluwer, Dordrecht, The Netherlands 80 J.-P Penot (1989), Metric regularity, openness, and Lipschitzian behavior of multifunctions, Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications Vol 13, 629–643 81 R R Phelps (1993), Convex Functions, Monotone Operators and Differentiability, 2nd Edition, Springer, Berlin 82 H T Phung and P H Dien (1991), Solving nonsmooth inclusions in the convex case, Z Oper Res Vol 35, 401–424 83 S M Robinson (1976a), Regularity and stability for convex multivalued functions, Mathematics of Operations Research Vol 1, 130–143 84 S M Robinson (1976b), Stability theory for systems of inequalities, Part 2: Differentiable nonlinear systems, SIAM Journal on Numerical Analysis Vol 13, 497–513 85 S M Robinson (1979), Generalized equations and their solutions, Part I: Basic theory, Mathematical Programming Study Vol 10, 128–141 86 S M Robinson (1981), Some continuity properties of polyhedral multifunctions, Mathematical Programming Study Vol 14, 206–214 87 R T Rockafellar (1970), Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, New Jersey 88 R T Rockafellar (1982), Lagrange multipliers and subderivatives of optimal value functions in nonlinear programming, Mathematical Programming Study Vol 17, 28–66 89 R T Rockafellar (1985), Extensions of subgradient calculus with applications to optimization, Nonlinear Analysis Vol 9, 665–698 90 R T Rockafellar and R J-B Wets (1998), Variational Analysis, SpringerVerlag, Berlin-Heidelberg (218) 212 Tµi liÖu tham kh¶o 91 W Rudin (1976), Principles of Mathematical Analysis, Third Edition, McGraw-Hill 92 W Rudin (1987), Real and Complex Analysis, Third Edition, McGrawHill 93 W Rudin (1991), Functional Analyis, Second Edition, McGraw-Hill 94 P H Sach (1988a), Differentiability of set-valued maps in Banach spaces, Mathematische Nachrichten Vol 139, 215–235 95 P H Sach (1988b), Regularity, calmness and support principle, Optimization Vol 19, 13–27 96 P H Sach (1996), Sufficient conditions for generalized convex set-valued maps, Optimization Vol 37, 293–304 97 P H Sach and N D Yen (1997), Convexity criteria for set-valued maps, Set-Valued Analysis Vol 5, 37–45 98 F Severi (1930), Su ancune questioni di topologia infinitesimale, Ann Soc Polon Math Vol 9, 97–108 99 Nguyễn Xuân Tấn và Nguyễn Bá Minh (2006), Một số vấn đề lý thuyÕt tèi −u vÐct¬ ®a trÞ, Nhµ xuÊt b¶n Gi¸o dôc, Hµ Néi 100 L Thibault (1991), On subdifferentials of optimal value functions, SIAM Journal on Control and Optimization Vol 29, 1019–1036 101 L Thibault and D Zagrodny (1995), Integration of subdifferentials of lower semicontinuous functions on Banach spaces, Journal of Mathematical Analysis and Applications Vol 189, 33–58 102 Hoàng Tụy (2003), Hàm thực và Giải tích hàm (Giải tích đại), NXB đại học Quốc gia Hà Nội 103 C Ursescu (1975), Multifunctions with convex closed graph, Cechoslovak Mathematical Journal Vol 25, 438–441 104 D W Walkup and R J.-B Wets (1969), A Lipschitzian characterization of convex polyhedra, Proceedings of the American Mathematical Society Vol 23, 167–173 105 X Wang (2000), A Generalized Jacobian and Nonsmooth Optimization, Ph D Thesis, University of New South Wales, Sydney (219) Tµi liÖu tham kh¶o 213 106 X Wang and V Jeyakumar (2000), A Sharp Lagrange multiplier rule for nonsmooth mathematical programming problems involving equality constraints, SIAM Journal on Optimization Vol 10, 1136–1148 107 A R Warburton (1983), Quasiconcave vector maximization: Connectedness of the sets of Pareto-optimal and weak Pareto-optimal alternatives, Journal of Optimization Theory and Applications Vol 40, 537–557 108 Z Wu and J J Ye (2000), Some results on integration of subdifferentials, Nonlinear Analyis Vol 39, 955–976 109 J J Ye (2001), Multiplier rules under mixed assumptions of differentiability and Lipschitz continuity, SIAM Journal on Optimization Vol 39, 1441–1460 110 N D Yen (1987), Implicit function theorems for set-valued maps, Acta Mathematica Vietnamica Vol 12, No 2, 17–28 111 N D Yen (1997), Stability of the solution set of perturbed nonsmooth inequality systems and application, Journal of Optimization Theory and Applications Vol 93, 199–225 112 E Zeidler (1986), Nonlinear Functional Analysis and Its Applications, I Fixed-Point Theorems, Springer-Verlag, Berlin (220) 214 Tµi liÖu tham kh¶o (221) Index B-đạo hàm, 195 σ-đại số, 78 đủ theo độ đo, 88 Borel, 78 ε-cùc tiÓu, 52 ε-d−íi gradient FrÐchet, 108 ε-d−íi vi ph©n FrÐchet, 108 §Þnh lý điểm bất động Brouwer, 32 điểm bất động Ky Fan, 35 điểm bất động Schauder, 32 ¸nh x¹ më, 41 ¸nh x¹ më Banach, 42 Baire, 40 Banach-Alaoglu, 39 Castaing, 85 Cellina, 96 Kakutani, 36 Ky Fan, 31 Lyapunov, 94 Michael, 95 Robinson-Ursescu, 38 t¸ch çc tËp låi, 34 vÒ sù tån t¹i ®iÓm c©n b»ng, 33 von Neumann, 82 Walkup-Wets, 12 Weierstrass, 22, 39 đại diện ánh xạ đối đạo hàm, 195 đạo hàm Bouligand, 71 Clarke, 71 contingent, 71 kÒ, 71 đạo hàm hàm hợp, 75 đạo hàm theo h−ớng Clarke, 98, 104 Clarke-Rockafellar, 190 Dini trªn, 156 định lý đạo hàm hàm hợp, 158 ¸nh x¹ më ®a trÞ, 174 hµm ng−îc ®a trÞ, 174 định lý hàm ng−ợc, 74 đồ thị, 10 đối đạo hàm Clarke, 189 FrÐchet, 113 Mordukhovich, 104, 113, 189 độ đo kh«ng cã nguyªn tö, 93, 94 độ đo d−ơng, 88 σ-h÷u h¹n, 88 ®iÒu kiÖn chÝnh quy, 159 chÝnh quy rµng buéc, 141 chuÈn hãa rµng buéc MangasarianFromovitz, 70 chuÈn ho¸ rµng buéc, 132 Fritz-John suy réng, 175 Kuhn-Tucker suy réng, 177 MFCQ, 70 ®iÒu kiÖn chÝnh quy, 57 Mangasarian-Fromovitz, 145 ®iÒu kiÖn chuÈn ho¸ rµng buéc, 57 Mangasarian-Fromovitz, 145 215 (222) Danh môc tõ khãa 216 ®iÓm c©n b»ng, 17, 42 ®iÓm cùc biªn, 94 ánh xạ đơn trị, đơn giản, 79 ®o ®−îc, 78 liªn tôc, 19 Lipschitz địa ph−ơng, 45, 96 Lipschitz trên địa ph−ơng, 45, 123 ¸nh x¹ ®a trÞ, K-låi, 73 đóng, 11 ®a diÖn, 45 ®o ®−îc, 79 bao đóng, 14 bao låi, 14 có đồ thị đóng, 11 có giá trị đóng, 11 cã gi¸ trÞ låi, 11 có lát cắt Lipschitz trên địa ph−ơng, 123 chÝnh quy ph¸p tuyÕn, 114 comp¾c ph¸p tuyÕn riªng rÏ theo d·y (PSNC), 119 comp¾c ph¸p tuyÕn theo d·y (SNC), 119 gi¶-Lipschitz, 46, 74, 140 giíi néi kh¶ tÝch, 91, 99 hªmi liªn tôc trªn, 30 kh«ng ®o ®−îc, 79 låi, 11 låi theo nãn, 73 liªn tôc, 20 liªn tôc theo Aubin, 46, 140 Lipschitz, 96 Lipschitz địa ph−ơng, 45, 96 Lipschitz trên địa ph−ơng, 45 m« t¶ rµng buéc, 116 nöa liªn tôc d−íi, 20 nöa liªn tôc trªn, 19, 24, 91, 96 nöa liªn tôc trªn theo Hausdorff, 26 ¸nh ¸nh ¸nh ¸nh xạ đa trị trên-đồ-thị, 190 x¹ hîp, 15 x¹ ng−îc, 10 x¹ nghiÖm, 117 µ-b¸n-comp¾c néi bé, 137 µ-nöa liªn tôc d−íi néi bé, 137 ¸nh x¹ tÝch, 15 bµi to¸n quy ho¹ch låi, 17 bµi to¸n quy ho¹ch toµn ph−¬ng phô thuéc tham sè, 16 bµi to¸n quy ho¹ch to¸n häc cã rµng buéc c©n b»ng, 134 bµi to¸n tèi −u, 15 cã rµng buéc c©n b»ng, 147 cã tham sè, 117 phô thuéc tham sè, 15 Bất đẳng thức Ky Fan, 31 Bổ đề Farkas, 198 Mazur, 39 Urysohn, 29 bao đóng, 13 bao låi, 13 biªn, 37 chuÈn cña qu¸ tr×nh låi, 38 d−íi gradient FrÐchet, 120 proximal, 109 d−íi vi ph©n Clarke, 98, 104, 190 FrÐchet, 108 FrÐchet trªn, 108 gÇn kÒ, 109 J-L, 191 tèi thiÓu, 191 kh«ng låi, 104 proximal, 109 qua giíi h¹n, 110 suy biÕn, 111 suy biÕn, 111 (223) Danh môc tõ khãa d−íi vi ph©n Mordukhovich, 110 d−íi vi ph©n suy biÕn Clarke, 190 d−íi vi ph©n suy réng Clarke, 157 giíi h¹n theo PainlevÐ-Kuratowski, 63, 108 hµm hµm hµm hµm Èn, 154 chØ, 111 gi¸, 116 gi¸ trÞ tèi −u, 16, 117 liªn tôc, 178 Lipschitz địa ph−ơng, 179 hµm lâm, 15 hµm låi, 15 liªn tôc, 40 Lipschitz địa ph−ơng, 40 hµm Lagrange, 129, 144 hµm môc tiªu, 116 hµm marginal, 16, 117 hµm sè chÝnh quy Clarke t¹i mét ®iÓm, 99 chÝnh quy d−íi, 111 epi-comp¾c ph¸p tuyÕn theo d·y (SNEC), 120 kh¶ vi chÆt, 100, 110, 133 låi, 110 hµm sè thùc suy réng tËp møc, 41 hµm tùa, 30 hµm vÐct¬ kh¶ vi chÆt, 100, 110 Lipschitz địa ph−ơng, 157 hệ bất đẳng thức liªn tôc, 154 Lipschitz địa ph−ơng, 154 tr¬n, 154 hÖ biÕn ph©n cã tham sè, 134, 147 217 h×nh nãn sinh, 33 họ đạo hàm K-đơn điệu, 73 đơn điệu theo nón, 73 Jacobian xÊp xØ, 156 tèi thiÓu, 191 kh«ng gian ®o ®−îc, 78 Asplund, 110 không gian có độ đo, 88 kh«ng gian mªtric kh¶ li, 78 kh«ng gian t«p«, 18 comp¾c, 23 liªn th«ng, 23 l¸t c¾t, 81 ®o ®−îc, 82 kh¶ tÝch, 91 liªn tôc, 82 Lipschitz, 97 Lipschitz địa ph−ơng, 82 Lipschitz trên địa ph−ơng, 123 miÒn ¶nh, 10 miÒn h÷u hiÖu, 10 nãn kÒ, 60 nãn lïi xa, 156 nãn ph¸p tuyÕn cña tËp låi, 17, 33 Clarke, 104, 188 FrÐchet, 111 kh«ng låi, 104 Mordukhovich, 111 qua giíi h¹n, 111 nãn tiÕp tuyÕn Bouligand, 54, 189 cña tËp låi, 17, 33 Clarke, 60, 104, 188 lµm trßn, 60 trung gian, 60 (224) 218 nghiệm địa ph−ơng, 16 nguyªn lý biÕn ph©n cho d−íi vi ph©n, 128 Ekeland, 47, 52, 166, 171 nh©n tö Lagrange, 129 nhiÔu chÊp nhËn ®−îc, 159 phân hoạch đơn vị, 28 ph−¬ng tr×nh suy réng phô thuéc tham sè, 134, 147 qu¸ tr×nh låi, 37 đóng, 37, 41 cã chuÈn h÷u h¹n, 43 quy t¾c nh©n tö Lagrange, 177 rµng buéc c©n b»ng cã tham sè, 134, 147 t«p«, 18 t−¬ng øng víi mªtric, 19 t«p« c¶m sinh, 19 t«p« yÕu∗ , 108 tập đóng, 18 tËp hîp đóng địa ph−ơng, 112 ®o ®−îc theo Lebesgue, 79 cã tÝnh chÊt kh¶ vi t¹i mét ®iÓm, 63 chÝnh quy tiÕp tuyÕn t¹i mét ®iÓm, 63 comp¾c ph¸p tuyÕn theo d·y (SNC), 118 kh«ng ®o ®−îc theo Lebesgue, 79 m−ît t¹i mét ®iÓm, 63 tËp låi ®a diÖn, 11 tËp më, 18 tËp rµng buéc, 16 tÝch ph©n Aumann, 92 tÝch ph©n Aumann Danh môc tõ khãa cña ¸nh x¹ d−íi vi ph©n Clarke, 99 cña ¸nh x¹ d−íi vi ph©n FrÐchet, 148 cña ¸nh x¹ d−íi vi ph©n Mordukhovich, 148 tính ổn định nghiệm, 159, 165 tÝnh chÝnh quy mªtric, 169 tÝnh gi¶-Lipschitz, 170 tÝnh trµn, 158 to¸n tö liªn hîp, 107 vÐct¬ ε-ph¸p tuyÕn FrÐchet, 112 (225)

Ngày đăng: 04/04/2021, 16:48

Xem thêm: