Ch−¬ng 4 §èi ®¹o hµm cña ¸nh x¹ ®a trÞ Yªu cµnh hoa bªn nh÷ng vùc s©u Yªu hoa mét phÇn nh−ng chÝnh lµ yªu sù h¸i BiÕt bao t×nh yªu cßn l¹i Nhê mét cµnh hoa kh«ng ®©u (ChÕ Lan Viªn, “H¸i hoa”, 12 6 198[.]
Chơng Đối đạo hàm ánh xạ đa trị Yêu cành hoa bên vực sâu Yêu hoa phần nhng yêu hái Biết bao tình yêu lại Nhờ cành hoa không đâu (Chế Lan Viên, Hái hoa, 12-6-1980) Trong chơng này, sau giới thiệu vắn tắt lý thuyết đối đạo hàm, sử dụng công cụ đối đạo hàm để xây dựng công thức tính toán ớc lợng dới vi phân (dới vi phân Fréchet, dới vi phân Mordukhovich, dới vi phân Clarke) hàm giá trị tối u toán quy hoạch toán học phụ thuộc tham số Chơng đợc viết sở giảng lý thuyết đối đạo hàm, báo chung B S Mordukhovich, Nguyễn Mậu Nam N Đ Yên (Mordukhovich, Nam Yen (2007)), thảo báo cđa Ngun Huy Chiªu (xem Chieu (2006c)) Mơc 4.1 giíi thiệu phát triển lý thuyết đối đạo hàm ánh xạ đa trị Mục 4.2 điểm qua số khái niệm sở lý thuyết ®−a c¸c vÝ dơ minh häa Mơc 4.3 giíi thiệu toán tìm công thức tính đánh giá dới vi phân (là tập dới gradient) hàm giá trị tối u toán quy hoạch toán học có tham số dới ràng buộc đa trị Một số kiến thức chuẩn bị cho việc nghiên cứu toán đợc trình bày Mục 4.4 Mục 4.5 Mục 4.6 giới thiệu công thức cho phép tính toán/ớc lợng dới vi phân Fréchet dới vi phân qua giới hạn Trong hai mục có trình bày Còn đợc gọi dới vi phân Mordukhovich 103 104 Đối đạo hàm ánh xạ đa trị số ví dụ minh họa cho kết thu đợc Mục 4.7 thông báo vài kết Nguyễn Huy Chiêu tích phân Aumann ánh xạ dới vi phân Mordukhovich dới vi phân Mordukhovich phiếm hàm tích phân 4.1 Sự phát triển lý thuyết đối đạo hàm Ngay sau đời lý thuyết vi phân F H Clarke vào năm 19731975, năm 1976 B S Mordukhovich đà đề xuất khái niệm lý thuyết vi phân ông, bao gồm: a) Nón pháp tuyến không lồi ([nonconvex] normal cone) tập hợp ; b) Đối đạo hàm qua giới hạn (limiting coderivative) ánh xạ đa trị; c) Dới vi phân không lồi ([nonconvex] subdifferential) hàm số nhận giá trị thực suy rộng Lý thuyết Mordukhovich đợc phát triển song song với lý thuyết vi phân Clarke Các khái niệm chÝnh cña lý thuyÕt cña Clarke bao gåm nãn tiÕp tuyÕn Clarke , nãn ph¸p tuyÕn Clarke , đạo hàm theo hớng Clarke , dới vi phân Clarke Năm 1988 10 B S Mordukhovich in sách ông (xem Mordukhovich (1988)) nhà xuất Nauka Cuốn sách tiếng Nga trình bày Theo suy nghĩ chúng tôi, kết mục 4.5 4.6 đào sâu phát triển đợc thêm Khi ông Mordukhovich dạy học trờng đại học Minxcơ - thủ đô nớc Cộng hoà Bạch Nga (nay Belarus) Không có nón tiếp tuyến tơng ứng với nón pháp tuyến này! Còn đợc gọi đối đạo hàm theo nghĩa Mordukhovich Xem Mục 2.2, Chơng Nón pháp tuyến Clarke tập M X, X không gian Banach, x M đợc định nghÜa bëi c«ng thøc Cl (¯ x) := {x∗ ∈ X ∗ : x∗ , v a 0, ∀v ∈ CM (¯ x)} NM Cl (¯ x) = ∅ víi mäi x ¯∈ / M Ta quy −íc r»ng NM Xem Mơc 3.4, Ch−¬ng Xem Mơc 3.4, Chơng Lúc đầu, dới vi phân Clarke đợc định nghĩa cho hàm số Lipschitz địa phơng Về sau, R T Rockafellar đề xuất định nghĩa cho phép ta làm việc đợc với hàm nhận giá trị thực suy rộng, xác định không gian Banach; xem F H Clarke (1983) 10 Còng năm đó, B S Mordukhovich gia đình chuyển từ Minxcơ sang Mỹ ông giáo s, giảng dạy Khoa Toán, trờng Đại học Tổng hợp Quốc gia Wayne (The Wayne State University) ë thµnh Detroit, bang Michigan Ông gia đình sống thành phố Ann Arbor Wayne tên trớc ngời thổ dân đặt cho vùng đất có Detroit - thành phố đầu nÃo công nghiệp ôtô Mỹ Ann Arbor, thành phố đẹp mang dáng dấp kiến trúc Âu Châu, thủ phủ bang Michigan Tạp chí Mathematical Reviews đặt trụ sở Ann Arbor Một số hội thảo quốc tế quy hoạch toán học đà đợc tổ chức thành phố 4.1 Sự phát triển lý thuyết đối đạo hàm 105 ý tởng kết lý thuyết ông, với ứng dụng quan trọng quy hoạch toán học điều khiển tối u Trong khoảng năm 1993-1996 B S Mordukhovich công bố loạt báo quan trọng 11 ông đa nhiều ý tởng kỹ thuật mới, phát triển phiên vô hạn chiều sâu sắc đẹp đẽ cho lý thuyết vi phân ông, đồng thời số tính chất ánh xạ đa trị (nh tính giả-Lipschitz theo nghĩa Aubin, tính quy mêtric, tính mở địa phơng) đặc trng đợc cách sử dụng khái niệm đối đạo hàm qua giới hạn (đối đạo hàm theo nghĩa Mordukhovich) Trong giai đoạn 2005-2006 B S Mordukhovich tiếp tục công bố a) nhiều báo trình bày kết nghiên cứu mới12 , b) mét bé s¸ch hai tËp 13 víi tỉng sè 1200 trang in, Nhà xuất Springer.14 Mordukhovich xây dựng lý thuyết vi phân vô hạn chiều ông theo lợc đồ sau 15 : Bớc Định nghĩa khái niệm dới vi phân 16 hàm số nhận giá trị tập số thực suy rộng Bớc Sử dụng dới vi phân để định nghĩa nón pháp tuyến (nói chung không lồi) tập hợp Bớc Sử dụng nón pháp tuyến (không lồi) để định nghĩa đối đạo hàm (coderivative) ánh xạ đa trị Bớc Phát triển quy tắc tính toán (calculus rules) nh công thức tính đối đạo hàm tổng hai ánh xạ đa trị, công thức tính đối đạo hàm hàm hợp, công thức tính nón pháp tuyến giao họ tập hợp (trong không gian Banach, không gian Asplund) 11 Một số đợc viết chung với Y Shao, mét nghiªn cøu sinh Trung Qc cđa B S Mordukhovich thêi gian ®ã 12 Trong sè ®ã cã ba bµi (Mordukhovich vµ Nam (2005a,b; 2006)) viÕt chung víi Ngun MËu Nam - mét nghiªn cøu sinh ViƯt Nam ông - hai viết chung với Nam (Mordukhovich, Nam Yen (2006, 2007)) Ngoài Nguyễn Mậu Nam (Đại học S phạm Huế), B S Mordukhovich hớng dẫn nghiên cứu sinh Việt Nam khác, nh Trơng Quang Bảo (Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Tp Hồ Chí Minh), Nguyễn Thị Yến Nhi (Đại học S phạm Huế) 13 Xem B S Mordukhovich (2006a,b) 14 D−íi tùa ®Ị “Lý thuyết sở, tập I có chơng sách: Phép tính vi phân suy rộng không gian Banach, Nguyên lý cực trị giải tích biến phân, Phép tính toán đầy đủ không gian Asplund, Các đặc trng tính đặt chỉnh phép phân tích độ nhậy Tập II đợc công bố dới tựa đề ứng dụng với chơng sách: Tối u có ràng buộc điểm cân bằng, Điều khiển tối u hệ tiến hoá không gian Banach, Điều khiển tối u hệ có tham số phân phối [distributed systems], Các øng dơng kinh tÕ 15 B−íc vµ B−íc đổi chỗ cho nhau; xem Mordukhovich (2006a; Chơng 1) 16 Dới vi phân Fréchet (Fréchet subdifferential), dới vi phân qua giới hạn (limiting subdifferential), dới vi phân proximal (proximal subdifferential) 106 Đối đạo hàm ánh xạ đa trị Bớc áp dụng khái niệm quy tắc tính toán nói để - chứng minh định lý (nh định lý ánh xạ mở, định lý hàm ẩn, định lý hàm ngợc, điều kiện cực trị, ) giải tích biến phân17 lý thuyết tối u; - nghiên cứu đặc trng tính chất đáng quan tâm ánh xạ hàm số xuất lý thuyết toán học 18 ; - đa thuật toán giải lớp toán khác 19 Chóng ta l−u ý r»ng lý thuyÕt vi phân xây dựng theo lợc đồ tiếp tục đợc phát triển đa đến thành Có thể nêu hai câu hỏi: Mối quan hệ kết thu đợc lý thuyết vi phân Mordukhovich kết đà thu đợc lý thuyết vi phân khác20 nh nào? Liệu xây dựng đợc lý thuyết tích phân tơng ứng với lý thuyết vi phân Mordukhovich hay không? Cùng với mối quan hệ điều kiện cực trị thu đợc lý thuyết đối đạo hàm điều kiện cực trị thu đợc lý thuyết vi phân Clarke đà đợc Mordukhovich (2006a,b), kết nghiên cứu trình bày mục 4.5 4.6 cho ta câu trả lời rõ ràng cho câu hỏi thứ Đối với câu hỏi thứ hai, hy vọng sau khoảng 5-7 năm ngời ta tìm câu trả lời chấp nhận đợc Mục 4.7 giới thiệu vài kết bớc đầu theo hớng 4.2 Các khái niệm lý thuyết đối đạo hàm Tại phải sử dụng đối đạo hàm? Chúng ta cần lu ý điều sau: - Cách tiếp cận không gian đối ngẫu (dual-space approach) nhiỊu rÊt h÷u hiƯu; cã nh÷ng tr−êng hợp hữu hiệu hơn21 cách tiếp cận không gian (primal-space approach) 17 TNTA: variational analysis Các định lý tính ổn định độ nhậy nghiệm toán tối u phụ thuộc tham số thuộc loại Một số định lý nh đợc chứng minh mục 4.5 4.6 chơng 19 Kết theo hớng cha cã nhiỊu 20 VÝ dơ nh− mèi quan hƯ gi÷a kết Mordukhovich Shao, Mordukhovich Nam tính ổn định vi phân toán tối u với ràng buộc đa trị kÕt qu¶ thc vỊ J Gauvin, F Dubeau, F H Clarke, R T Rockafellar, tác giả khác 21 Bổ đề Farkas tính tơng thích hệ bất đẳng thức tuyến tính (xem Rockafellar (1970), tr 200) ví dụ 18 4.2 Các khái niệm lý thuyết đối đạo hàm 107 - Cả cách tiếp cận không gian đối ngẫu lẫn cách tiếp cận không gian hữu ích, áp dụng đợc - Đối đạo hàm ánh xạ tơng ứng với toán tử liên hợp ánh xạ tuyến tính Ta hÃy làm rõ thêm điều l−u ý thø ba Cho f : X → Y ánh xạ đơn trị không gian Banach Ký x) đạo hàm Fréchet f x X (nếu tồn tại) Giả sử hiệu bëi f (¯ ∗ ∗ ∗ 22 x)) : Y X toán tử liên hợp to¸n tư tun tÝnh f (¯ x) : X → Y (f (¯ Cho A : X Y toán tử tuyến tính liên tục với toán tử liên hợp A : Y X ∗ Víi mäi y∗ ∈ Y ∗ , A∗ y ∗ , x = y ∗ , Ax ∀x ∈ X V× vËy, A∗ y ∗ , x − y ∗ , Ax = ∀x ∈ X, hay (A∗ y ∗ , −y ∗ ), (x, Ax) = ∀x ∈ X x) vµ A∗ = (f (¯ x))∗ , ta cã Ký hiÖu A = f (¯ 23 ˆ (A∗ y ∗ , −y ∗ ) ∈ N x, f (¯ x)); gph f (¯ v× thÕ ˆ x, f (¯ x))} A∗ y ∗ = {x∗ : (x∗ , −y ∗ ) ∈ N gph f ( Công thức sau gợi ý cho ta cách định nghĩa đối đạo hàm ánh xạ đa trị Tiếp theo, xét khái niệm - dới vi phân, - nón pháp tuyến, - đối đạo hàm số ví dụ minh họa 22 Nó đợc gọi đối đạo hàm Fréchet f x 23 gph f := {(x, f (x)) : x X} đồ thị f x, f ( x)) = {(x∗ , y ∗ ) : (x∗ , y ∗ ), (x, f (¯ x)(x)) = ∀x ∈ X} N gph f ( nón pháp tuyến Fréchet đồ thị ( x, f ( x)) 4 Đối đạo hàm ánh xạ đa trị 108 Dới vi phân Xét ánh xạ đa trị F : X X không gian Banach X không gian ®èi ngÉu X ∗ cđa nã Ký hiƯu w∗ ¯, x∗k → x∗ , Lim sup F (x) := x∗ ∈ X ∗ : ∃ xk → x x→¯ x (2.1) x∗k ∈ F (xk ) ∀k = 1, 2, đợc dùng để giới hạn theo dÃy theo nghĩa Painlevé-Kuratowski24 tôpô chuẩn X tôpô yếu (đợc ký hiệu ch÷ w∗ ) cđa X ∗ ϕ Ω ¯ ®èi víi mét hµm ϕ: X → IR vµ x x tập Các ký hiệu x → x Ω ⊂ X t−¬ng øng cã nghÜa lµ x→x ¯ víi ϕ(x) → ϕ(¯ x) vµ x → x ¯ víi x ∈ Ω D−íi vi ph©n Fréchet Cho X không gian Banach, : X IR hàm nhận giá trị tập số thực suy rộng, hữu hạn x Với 0, đặt (2.2) (x) ( x) − x∗ , x − x ¯ −ε x) := x∗ ∈ X ∗ : lim inf ∂ε ( x x x x Các phần tử tập hợp vế trái công thức đợc gọi -dới gradient Fréchet x , thân tập hợp đợc gọi ε-d−íi vi ph©n FrÐchet x) := ∂0 ϕ(¯ x) đợc gọi dới vi phân Fréchet dới x Tập hợp ( x) ( Rõ ràng ( x) hay nói gọn dới vi phân Fréchet 25 x víi mäi ε TËp hỵp x) = ()( x) + ( (2.3) đợc gọi dới vi phân Fréchet 26 x Để hiểu rõ thêm định nghĩa -dới gradient Fréchet -dới vi phân Fréchet nêu trên, ta nhắc lại phần tử x X đợc gọi đạo hàm Fréchet x ϕ(x) − ϕ(¯ x) − x∗ , x − x ¯ = x→¯ x x − x ¯ lim 24 Nếu X không gian hữu hạn chiều, tập Lim supxx F (x) xác định (2.1) trùng với ) xác định công giới hạn theo PainlevÐ-Kuratowski cña hä tËp {F (x)}x∈X (khi x → x thøc (2.14) Ch−¬ng 25 TNTA: (lower) Fr´echet subdifferential 26 TNTA: upper Frechet subdifferential 4.2 Các khái niệm lý thuyết đối đạo hàm 109 Thay dấu lim b»ng dÊu lim inf, thay dÊu b»ng bëi dÊu thay số số âm , ta có điều kiện yếu đặt lên phần tử x nh− sau: lim inf x→¯ x ϕ(x) − ϕ(¯ x) − x∗ , x − x ¯ −ε x x Đó điều kiện để kiểm tra xem mét phÇn tư x∗ ∈ X ∗ cã phải -dới gradient Fréchet x hay không Việc thay tiêu chuẩn định nghĩa đạo hàm Fréchet tiêu chuẩn hoàn toàn tơng tự, cấu trúc dạng yếu (nhng tự nhiên!), cho phép xây dựng phép tính vi phân 27 cho hàm số Dễ thấy x đạo hàm Fréchet ϕ t¹i x x) ⊂ ∂ε ϕ(¯ x) ∀ε {x∗ } = ∂ϕ(¯ D−íi vi ph©n proximal Véctơ x X đợc gọi dới gradient proximal (hay dới gradient gần kề) x ¯ nÕu tån t¹i ε cho (2.4) lim inf x→¯ x ϕ(x) − ϕ(¯ x) − x∗ , x − x ¯ −ε; x − x tức tồn δ > cho ¯ − εx − x ¯2 ϕ(x) − ϕ(¯ x) x∗ , x − x ∀x ∈ B(¯ x, δ) x) gåm tÊt c¶ dới gradient gần kề x đợc gọi Tập hợp P ( 28 dới vi phân proximal (hay dới vi phân gần kề ) x So với công thức định nghĩa đạo hàm Fréchet hàm số thực vừa đợc x) (2.4) vừa mạnh nhắc lại trên, điều kiện đặt lên phần tử x P ( (cấp độ xấp xỉ o(x x ) đợc thay bëi o(x − x ¯2 )), võa yÕu h¬n (lim đợc thay lim inf, dấu đợc thay dấu số đợc thay số ) Đạo hàm Fréchet hàm số điểm dới & cha đà = 0, ta cã ϕ (¯ x) = gradient gÇn kỊ ThËt vËy, víi X = R, ϕ(x) = x |x|, x x) = ∅ vµ ∂ P ϕ(¯ D−íi vi phân qua giới hạn Tập hợp (2.5) ( x) := Lim sup ∂ε ϕ(x) ϕ x→¯ x ε↓0 27 28 Nói xác hơn, phép tính vi phân suy réng (generalized differentiation) TNTA: (lower) proximal subdifferential 4 §èi đạo hàm ánh xạ đa trị 110 đợc gọi dới vi phân qua giới hạn 29 (hay dới vi phân Mordukhovich) x) tồn dÃy xk x , k 0+ , vµ Nh− vËy, x∗ ∈ ∂ϕ(¯ ε ϕ(xk ), cho x∗k ∈ ∂ϕ k w∗ x∗k −→ x Từ ta thấy dới vi phân Mordukhovich ( x) đợc tính qua dới vi phân Fréchet (x) với > đợc lấy đủ bé x đợc lấy đủ gần x HiĨn nhiªn ta cã x) ⊂ ∂ϕ(¯ ∂ϕ(¯ x) Nhận xét 4.2.1 (xem Mordukhovich (2006a)) Nếu X không gian Asplund (theo nghĩa hàm lồi, liên tục : U IR xác định tập lồi, mở U X khả vi Fréchet mét tËp trï mËt cđa U hay, mét c¸ch tơng đơng, không gian đóng, khả li X có không gian đối ngẫu khả li)30 nửa liên tục dới lân cận x , công thức (2.5) ta cho ε = 0; tøc lµ ∂ϕ(¯ x) = Lim sup ∂ϕ(x) ϕ x→¯ x Ngoµi ra, ta cã ( x) = với hàm Lipschitz địa phơng không gian Asplund Chứng minh chi tiết hai mệnh đề sau có Mordukhovich (2006a) tập ( x) chứa phần Mệnh đề 4.2.1 Nếu khả vi chặt 31 x tử, đạo hàm chặt x Mệnh đề 4.2.2 Nếu hàm lồi, tập ( x) trùng với dới vi phân theo nghĩa giải tích lồi x , tức ϕ(x) − ϕ(¯ x) ∀x ∈ X} ∂ϕ(¯ x) = {x∗ ∈ X ∗ : x∗ , x − x 29 TNTA: limiting subdifferential Mọi không gian Banach phản xạ không gian Asplund Mọi không gian Banach có hàm chuẩn khả vi Fréchet điểm khác 0, không gian Asplund Nói riêng ra, không gian Euclide hữu hạn chiều không gian Hilbert không gian Asplund (Xem Phelps (1993)) 31 Theo Định nghĩa 1.13 Mordukhovich (2006a), hàm f : X Y không gian Banach đợc gọi khả vi chặt x X f khả vi Fréchet x 30 f (x) − f (u) − f (¯ x)(x − u) = x→¯ x, u→¯ x x − u lim Khái niệm suy khái niệm nói Định nghÜa 3.4.3 Ch−¬ng B»ng lËp luËn trùc tiÕp, ta chứng minh X không gian hữu hạn chiều, hai khái niệm vừa đợc nói tới tơng đơng Một hàm khả vi Fréchet liên tục lân cận điểm, khả vi chặt điểm 4.2 Các khái niệm lý thuyết đối đạo hµm 111 x) = ∂ϕ(¯ ¯ nÕu ∂ϕ(¯ x) Họ hàm Ta nói quy dới 32 x quy dới đủ rộng Ngoài hàm khả vi chặt hàm lồi, bao gồm nhiều lớp hàm quan trọng khác giải tích biến phân lý thuyết tối u33 Tập hợp (2.6) x) := Lim sup λ∂ε ϕ(x) ∂ ∞ ϕ(¯ x x ,0 đợc gọi dới vi phân qua giới hạn suy biến hay đơn giản dới vi phân Tập ( x) chứa thông tin không tầm thờng hàm suy biến 34 x hàm số Lipschitz địa phơng x , ϕ lµ x) ⊂ {0} (xem Bµi tËp 4.2.2 d−íi đây) Nh Lipschitz địa phơng x ( x) tồn d·y xk → x ¯, εk → 0+ , λk → 0+ , vËy, x∗ ∈ ∂ ∞ ϕ(¯ ∗ vµ xk ∈ λk ∂εk ϕ(xk ), cho w∗ x∗k −→ x∗ Bµi tËp 4.2.1 Chøng minh ( x) hình nón X Bài tập 4.2.2 Sử dụng công thức (2.6) để chứng minh x) {0} (Gợi ý: Để ý Lipschitz địa phơng x , ( Lipschitz địa phơng x tồn lân cận U cđa x¯ cho hä tËp ∗ hỵp {(x)} xU giới nội đều; tức tồn K > cho x K ∗ víi mäi x ∈ U vµ víi mäi x (x).) Nón pháp tuyến Cho tập hợp X, X không gian Banach Xét hàm 35 (Ã) / Theo định nghÜa, δΩ (x) = nÕu x ∈ Ω vµ δΩ (x) = +∞ nÕu x ∈ Nãn ph¸p tuyÕn Fréchet nón pháp tuyến qua giới hạn (còn đợc gọi nón pháp tuyến Mordukhovich) x đợc định nghĩa tơng ứng c«ng thøc (2.7) x; Ω) Ω (¯ x) := ∂δ(¯ N vµ (2.8) 32 x) := ∂δ(¯ x; Ω) NΩ (¯ TNTA: lower regular Xem Mordukhovich (2006a,b), Rockafellar vµ Wets (1998) 34 TNTA: singular (limiting) subdifferential 35 TNTA: indicator function 33 Đối đạo hàm ánh xạ đa trị 112 ( thông qua dới vi phân tơng ứng hàm Ta đặt N x) = vµ NΩ (¯ x) = ∅ nÕu x ¯∈ / Ω Ω (¯ x) vµ chØ Do (2.7) công thức hàm chỉ, ta có x ∈ N lim inf Ω x→¯ x −x∗ , x − x ¯ 0, x − x ¯ hay lim sup Ω x→¯ x x∗ , x − x ¯ x − x ¯ §iỊu kiƯn ci thuận tiện cho việc tính toán nón pháp tuyÕn FrÐchet x) = ∂ε δ(¯ x; Ω) vµ gäi tập véctơ -pháp tuyến Fréchet Đặt N ε (¯ Ω x) vµ chØ Ω x Từ định nghĩa suy r»ng x∗ ∈ NΩε (¯ x∗ , x − x ¯ ε x − x ¯ lim sup Ω x→¯ x x) cđa Ω t¹i x ¯ ∈ đợc Do (2.8) (2.5), nón pháp tuyến Mordukhovich N ( (x) với x đợc lấy đủ xác định qua tập véctơ -pháp tuyến Fréchet N x) gần x đợc lấy đủ bé Kết hợp (2.7) với (2.8), ta thấy r»ng x∗ ∈ NΩ (¯ w∗ Ω ¯, εk → 0+ vµ x∗k → x∗ cho vµ chØ tồn dÃy xk x lim sup Ω x→xk x∗ , x − xk εk x − xk NhËn xÐt 4.2.2 Do NhËn xét 4.2.1, X không gian Asplund tập đóng địa phơng lân cận điểm x (tức tồn hình cầu đóng tâm x với bán kính dơng có giao với tập đóng X), (x) x) = Lim sup N NΩ (¯ Ω x→¯ x Ω x) tồn dÃy xk x , Điều có nghĩa x ∈ NΩ (¯ w∗ x∗k → x∗ cho lim sup Ω x→xk x∗ , x − xk x − xk Ω (¯ Bµi tËp 4.2.3 Chứng minh N x) hình nón đóng yếu ∗ X ∗ Bµi tËp 4.2.4 Chøng minh N ( x) hình nón 36 X ∗ 36 Trong Mordukhovich (2006a; tr 11) cã trình bày ví dụ chứng tỏ X không gian x) không vô hạn chiều (ví dụ nh X không gian Hilbert vô hạn chiều) hình nón N ( đóng tôpô w 4.2 Các khái niệm lý thuyết đối đạo hàm 113 ( Bài tập 4.2.5 Tính tập N (x) ( > 0) nón ph¸p tuyÕn N x), NΩ (¯ x) c¸c tr−êng hỵp sau: a) X = IR2 , Ω = {x = (x1 , x2 ) : x2 = 0}, x ¯ = (0, 1); b) X = IR2 , Ω = {x = (x1 , x2 ) : x2 0}, x = (0, 1) Đối đạo hàm Xét ánh xạ đa trị F : X Y không gian Banach Nh chơng trớc, ta ®Ỉt dom F := {x ∈ X : F (x) = ∅} vµ gph F := {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x)} x, y¯) ∈ gph F đối đạo hàm qua giới hạn 38 Đối đạo hàm Fréchet 37 F ( (hay đối đạo hàm Mordukhovich) F ( x, y) tơng ứng đợc cho công thức ∗ F (¯ x, y¯)(y ∗ ) := x∗ ∈ X ∗ : (x∗ , −y ∗ ) ∈ N (¯ x , y ¯ ) , (2.9) D gph F (2.10) x, y¯)(y ∗ ) := x∗ ∈ X ∗ : (x∗ , −y ∗ ) ∈ Ngph F (¯ x, y¯) D ∗ F (¯ ∗ f (¯ ∗ f (¯ x) thay cho D x, f (¯ x)) NÕu F (x) = {f (x)} ánh xạ đơn trị, ta viÕt D ∗ ∗ x) thay cho D f ( x, f ( x)) Nếu f tơng ứng khả vi Fréchet khả D f ( , đối đạo hàm (2.9) (2.10) đợc tính nh sau: vi chặt 39 x f (¯ x)(y ∗ ) = (f (¯ x))∗ (y ∗ ) ∀y ∗ ∈ Y ∗ D vµ x)(y ∗ ) = (f (¯ x))∗ (y ∗ ) ∀y ∗ ∈ Y ∗ D∗ f (¯ ∗ f (¯ x)(y ∗ ) vµ D ∗ f ( x)(y ) tập có phần Lúc này, với y Y , D tử Nếu f khả vi chặt x ¯, th× ∗ f (¯ x)(y ∗ ) = D x)(y ∗ ) = (f (¯ x))∗ (y ∗ ) ∀y ∗ ∈ Y ∗ D ∗ f ( (ánh xạ đối đạo hàm Mordukhovich trùng với ánh xạ đối đạo hàm Fréchet.) Ta đà thấy đối đạo hàm (2.9) (2.10) mở rộng tự nhiên toán tử đạo hàm liên hợp ánh xạ đơn trị khả vi 37 TNTA: Fréchet coderivative TNTA: limiting coderivative 39 Xem khái niệm khả vi chặt thích Mệnh đề 4.2.1 38 Đối đạo hàm ánh xạ đa trị 114 ánh xạ F : X Y đợc gọi quy pháp tuyến 40 ( x, y) ∗ F (¯ x, y¯)(y ∗ ) = D∗ F (¯ x, y¯)(y ∗ ) ∀y ∗ ∈ Y D Ngoài hàm khả vi chặt, tính chất nghiệm với ánh xạ đa trị có đồ thị lồi Tuy nhiên, tính quy pháp tuyến không nghiệm nhiều trờng hợp quan trọng Quan hệ đối đạo hàm ánh xạ đơn trị Lipschitz địa phơng f : X Y dới vi phân Fréchet hàm vô h−íng ho¸ (y ∗ ◦ f )(x) := y ∗ , f (x) (y ∗ ∈ Y ∗ ) cña đợc mô tả công thức 41 sau: ∗ ◦ f )(¯ ∗ f (¯ x)(y ∗ ) = ∂(y x) ∀y ∗ ∈ Y ∗ D (2.11) Chứng minh công thức có Mordukhovich (2006a) C¸c vÝ dơ Chóng ta xÐt mét sè ví dụ minh họa cho khái niệm trừu tợng vừa đợc trình bày = (0, 0), VÝ dô 4.2.1 42 NÕu Ω = {x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : x2 0, x1 0} x ( x) = N x) NΩ (¯ = {x = (x1 , x2 ) : x1 0, x2 0} VÝ dô 4.2.2 43 NÕu Ω = {x = (x1 , 0) ∈ R2 : x1 0} ∪{x = (0, x2 ) ∈ R2 : x2 0} vµ x ¯ = (0, 0), th× Ω (¯ x) = {x = (x1 , x2 ) : x1 0, x2 0} N vµ x) NΩ (¯ x) ∪ [0, +∞) × {0} ∪ {0} × [0, +∞) = NΩ (¯ 40 TNTA: normally regular Đợc gọi công thức vô hớng hoá 42 Vì tập lồi, nón pháp tuyến qua giới hạn trùng với nón pháp tuyến theo nghĩa giải tích lồi 43 Tập không lồi Cấu trúc hình nón pháp tuyến qua giới hạn phản ánh đầy đủ cấu trúc địa phơng x 41 4.2 Các khái niệm lý thuyết đối đạo hàm 115 Ví dụ 4.2.3 44 NÕu Ω = {x = (x1 , 0) ∈ R2 : x1 1} ∪{x = (0, & x2 ) ∈ R2 : x1 1, x2 = x1 − x21 } vµ x ¯ = (0, 0), th× Ω (¯ x) = {x = (x1 , x2 ) : x1 0, x2 0} N vµ x) NΩ (¯ Ω (¯ x) ∪ [0, +∞) × {0} ∪ {0} × [0, +∞) =N H×nh 16 ¯ = 0, th× VÝ dơ 4.2.4 45 NÕu f (x) = |x| víi mäi x ∈ R vµ x (¯ x) = ∂f x) = ∂f (¯ x) = [−1, 1] ∂ P f (¯ ¯ = 0, th× VÝ dơ 4.2.5 46 NÕu f (x) = −|x| víi mäi x ∈ IR vµ x (¯ x) = ∂f x) = ∅, ∂ P f (¯ ∂f (¯ x) = {1, 1} Cấu trúc địa phơng tập (0, 0) tơng tự nh cấu trúc tập hợp xét Ví dụ 4.2.2 lân cận điểm (0, 0) 45 Vì hàm số f lồi, nên dới vi phân qua giới hạn trùng với dới vi phân theo nghĩa giải tích lồi 46 Hàm f không lồi dới vi phân qua giới hạn tập không lồi Dới vi phân Clarke f x đoạn [1, 1], tập hợp lồi compắc 44 Đối đạo hàm ánh xạ đa trị 116 Ví dụ 4.2.6 47 Đặt f (x) = |x1 | |x2 | víi mäi x = (x1 , x2 ) ∈ R2 vµ lÊy x ¯ = (0, 0) Hµm sè f kh«ng låi, cịng kh«ng lâm Ta cã x, 0)) Ngphf ((¯ = Lim sup N gphf (z) z→(¯ x,0) = cone{(1, −1, −1), (1, 1, −1), (−1, 1, −1), (−1, −1, −1)} ∪{(−µ, µ − λ, µ) : 2µ λ 0} ∪{(µ, λ − µ, µ) : 2µ λ 0} ∪{(−λ − µ, µ, µ) : −2µ λ 0} ∪{(−λ − µ, −µ, µ) : −2µ λ ≥ 0} Suy f (¯ x)(y ∗ ) D ∗⎧ {(y ∗ , −y ∗ ), (y ∗ , y ∗ ), (−y ∗ , y ∗ ), (−y ∗ , −y ∗ )} ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∪{(−λ∗ + y ∗ , −y ∗ ) : 2y ∗ λ∗ 0} ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∪{(−λ∗ + y ∗ , y ∗ ) : 2y ∗ λ∗ 0} ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ nÕu y∗ > 0, ⎨ ∗ ∗ ∗ = {(y , −y ), (y , y ∗ ), (−y ∗ , y ∗ ), (−y ∗ , −y ∗ )} ⎪ ⎪ ⎪ ∪{(y ∗ , −y ∗ − λ∗ ) : −2y ∗ λ∗ 0} ⎪ ⎪ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ⎪ ⎪ ⎪ ∪{(−y , y + λ ) : −2y λ 0} ⎪ ⎪ ∗ ⎪ nÕu y < 0, ⎪ ⎩ {(0, 0)} nÕu y∗ = V× thế, với y , D f (0)(y ) tập compắc khác rỗng Lu ý thêm rằng, với hầu hết y IR, D f (0)(y ) tập không lồi Bài tập 4.2.6 Sử dụng định nghĩa công thức mục để kiểm tra khẳng định nói ví dụ 4.2.1-4.2.5 4.3 Vấn đề đánh giá dới vi phân hàm giá trị tối u Các hàm giá trị tối u đợc hiểu hàm số nhận giá trị tập số thực suy rộng có dạng sau: (3.1) µ(x) := inf {ϕ(x, y) : y ∈ G(x)}, : X ì Y IR hàm giá 48 hay hàm mục tiêu 49 nhận giá trÞ tËp sè thùc suy réng IR, G: X Y ánh xạ đa trị mô tả ràng buộc 50 không 47 Các tính toán chi tiết liên quan đến ví dụ đợc trình bày ë Mơc 5.8 Ch−¬ng TNTA: cost function 49 TNTA: objective function 50 TNTA: constraint set-valued mapping 48 4.3 Vấn đề đánh giá dới vi phân hàm giá trị tối u 117 gian Banach Thuật ngữ giá/ràng buộc cã nguån gèc tõ tèi −u cã rµng buéc, ë hàm số (3.1) thờng đợc gọi hàm giá trị tối u 51 (hay hàm marginal) toán tèi −u cã tham sè (3.2) T×m cùc tiĨu ϕ(x, y) với ràng buộc y G(x) với ánh xạ nghiệm M (Ã) xác định công thức (3.3) M (x) := {y ∈ G(x) : µ(x) = ϕ(x, y)} Các hàm số dạng (3.1) đóng vai trò quan trọng giải tích biến phân, tối u có ràng buộc, lý thuyết điều khiển, nhiều ứng dụng khác lý thuyết Song song với việc đa điều kiện đủ để hàm giá trị tối u liên tục Lipschitz địa phơng tham sè cho tr−íc (xem, vÝ dơ nh−, Mơc 5.5 Chơng 5), khoảng thời gian 30 năm trở lại đây, ngời ta đà quan tâm nghiên cứu tính chất khả vi khả vi theo hớng hàm giá trị tối u Các kết theo hớng thờng đợc gọi kết tính ổn định vi phân toán tối u Các báo Gauvin Tolle (1977), Gauvin (1979), Auslender (1979) thuộc số nghiên cứu tính chất vi phân hàm giá trị tối u toán quy hoạch phi tuyến cho hàm trơn, không lồi Thông tin thêm lý thuyết ứng dụng hàm giá trị tèi −u cã thĨ xem Auslender vµ Teboulle (2003), Bonnans vµ Shapiro (2000), Borwein vµ Zhu (2005), Clarke (1983), Dien vµ Yen (1991), Gauvin vµ Dubeau (1982, 1984), Gollan (1984), Ha (2005), Lucet vµ Ye (2001, 2002), Mordukhovich (1992, 2006a, 2006b), Mordukhovich vµ Nam (2005a), Mordukhovich vµ Shao (1996a), Rockafellar (1982, 1985), Rockafellar vµ Wets (1998), Thibault (1991), vµ tài liệu đợc trích dẫn Tất nhiên đặt vấn đề tính dạo hàm đối đạo hàm ánh xạ nghiệm M (Ã) Đây vấn đề khó, đợc nhiều ngời quan tâm nghiên cứu Một tính chất đặc trng hàm giá trị tối u dạng (3.1) chúng hàm không trơn chất, cho dù hàm giá trơn tập ràng buộc tập nghiệm hệ bất đẳng thức đẳng thức mô tả hàm trơn Vì vậy, ta cần nghiên cứu tính chất vi phân theo nghĩa suy rộng hàm giá trị tối u để có đợc thông tin cốt yếu độ nhạy tính ổn định toán tối u điều khiển có nhiễu, điều kiện cực trị, tính điều khiển đợc địa phơng, v.v Một bớc để thu đợc thông tin nh tiến hành đánh giá đạo hàm suy rộng hàm giá trị tối u cho công thức (3.1) tham số x cho trớc thông qua cấu trúc vi phân suy rộng cđa ϕ vµ G 51 TNTA: optimal value function 4 Đối đạo hàm ánh xạ đa trị 118 Đạo hàm suy rộng có hai loại chính: đạo hàm theo hớng/các xấp xỉ tiếp tuyến không gian dới vi phân (tập hợp dới gradient)/các xấp xỉ pháp tuyến không gian đối ngẫu Trong số trờng hợp (bao gồm trờng hợp toán với liệu trơn toán với liệu lồi) phơng pháp tiếp cận không gian phơng pháp tiếp cận không gian đối ngẫu tơng đơng Nhng có nhiều tình cấu trúc không gian đối ngẫu thu đợc từ xấp xỉ không gian quan hệ đối ngẫu, cấu trúc đối ngẫu cho thông tin có giá trị dáng điệu hàm giá trị tối u ứng dụng quan trọng nó, đặc biệt việc phân tích độ nhạy việc thiết lập điều kiện tối u Trong mục 4.5 4.6 đa quy tắc để tính toán đánh giá dới vi phân Fréchet dới vi phân Mordukhovich hàm à(Ã) (3.1) thông qua dới vi phân tơng ứng hàm giá đối đạo hàm ánh xạ mô tả ràng buộc G Các quy tắc đợc thiết lập cho trờng hợp không gian vô hạn chiều, hầu hết quy tắc thu đợc nhờ cách tiếp cận không gian cần tới giả thiết không gian X Y đợc xét hữu hạn chiều Chúng ta minh họa kết thu đợc số ví dụ cụ thể 4.4 Tính compắc pháp tuyến theo dÃy Một điểm khác biệt giải tích biến phân hữu hạn chiều giải tích biến phân vô hạn chiều cần thiết phải đặt yêu cầu tính compắc pháp tuyến (normal compactness) ta xét ánh xạ tập hợp không gian vô hạn chiều Nếu yêu cầu đợc thỏa mÃn lấy giới hạn dÃy theo tôpô yếu ta có đợc kết luận không tầm thờng Mục cung cấp khái niệm liên quan đến tính compắc pháp tuyến theo dÃy tập hợp không gian Banach vô hạn hiều Những khái niệm cần thiết cho việc trình bày kết chứng minh Mục 4.6 Để hiểu sâu thêm, bạn đọc tham khảo sách B S Mordukhovich (2006a,b) Nếu không nói thêm, tất không gian đợc xét đề không gian Banach Các tính chất compắc pháp tuyến đợc đa sau tự động thỏa mÃn không gian hữu hạn chiều Ngoài ra, chúng nghiệm với tập hợp ánh xạ tốt, đợc bảo tồn dới phép biến đổi đa dạng Định nghĩa 4.4.1 Tập hợp không gian Banach X đợc gọi compắc Ω ¯ nÕu víi mäi d·y εk ↓ 0, xk x , pháp tuyến theo dÃy 52 (SNC) t¹i x 52 TNTA: sequentially normally compact (SNC) 4.4 TÝnh compắc pháp tuyến theo dÃy 119 (xk ; ) ta cã x∗k ∈ N k % $ % $ w∗ x∗k → =⇒ x∗k → k → ∞ NhËn xÐt 4.4.1 (xem Mordukhovich (2006a)) NÕu X không gian Asplund tập đóng địa phơng lân cận điểm x , định nghĩa ta bỏ ký hiệu k (mà không thay đổi tính chất đợc xét) Trong Định nghĩa 4.4.1 có đòi hỏi, dÃy véctơ dÃy hội tụ theo tôpô yếu dÃy chuẩn tơng ứng phải hội tụ (tức từ hội tơ cđa d·y vỊ theo t«p« u∗ suy sù héi tơ cđa nã vỊ theo chn cđa X ) Để hiểu rõ ý nghĩa đòi hỏi đó, ta xét ví dụ sau X , không gian Hilbert dÃy số thực x = VÝ dô 4.4.1 LÊy X = 2 (x1 , x2 , ) tháa ®iỊu kiƯn i=1 xi < + với chuẩn tích vô hớng đợc cho 1/2 x2i , x, y = xi yi x = i=1 i=1 X với X tôpô w X với Nhờ Định lý Riesz, ta đồng (k) tôpô yếu (ký hiệu w) X Lấy x = (0, , 0, 1, 0, ), số w đứng vị trÝ thø k Ta cã x(k) → 0, v× víi mäi v = (v1 , v2 , ) ∈ X tÝnh chÊt lim x(k) , v = hiển nhiên nghiệm Tuy thế, x(k) = k k Định nghĩa 4.4.2 ánh xạ đa trị F : X Y đợc gọi compắc pháp tuyến theo dÃy ( x, y) gph F đồ thị có tính chất Đối với trờng hợp ánh xạ, ta định nghĩa tính chất yếu tính compắc pháp tuyến theo dÃy Định nghĩa 4.4.3 Ta nói ánh xạ đa trị F : X Y compắc pháp tuyến riêng x, y) với d·y εk ↓ 0, (xk , yk ) → (¯ x, y) mà rẽ theo dÃy 53 (PSNC) ( ∗ ∗ (xk , yk ) ∈ gph F , vµ (xk , yk ) ∈ Nεk ((xk , yk ); gph F ) ta cã w∗ [x∗k → 0, yk∗ → 0] =⇒ [x∗k → 0] k → ∞ NhËn xÐt 4.4.2 (xem Mordukhovich (2006a)) Nếu X Y không gian Asplund F ánh xạ đa trị có đồ thị đóng, định nghĩa ta bỏ ký hiƯu εk (nãi c¸ch kh¸c, ta cã thĨ lÊy εk = 0) NhËn xÐt 4.4.3 (xem Mordukhovich (2006a)) TÝnh chÊt compắc pháp tuyến riêng rẽ theo dÃy nghiệm F giả-Lipschitz (liên tục Aubin) 53 TNTA: partial sequentially normally compact (PSNC) 4 Đối đạo hàm ánh xạ đa trị 120 ( x, y), tức tồn lân cận U x vµ V cđa y¯ cïng víi h»ng sè cho ¯Y víi mäi u, v ∈ U F (u) ∩ V ⊂ F (v) + u − vB Định nghĩa 4.4.4 Hàm số : X IR đợc gọi epi-compắc pháp tuyến tập đồ thị (epigraph) theo dÃy 54 (SNEC) x epi ϕ := {(x, α) ∈ X × IR : (x) } SNC ( x, ( x)) Nếu Lipschitz địa phơng x , SNEC x Trong Mục 4.6 cần đến khái niệm đa định nghĩa 4.4.14.4.4 Do khuôn khổ có hạn giáo trình này, ta không sâu phân tích khái niệm Bạn đọc có quan tâm đọc thêm chuyên khảo Mordukhovich (2006a) 4.5 Dới vi phân Fréchet hàm giá trị tối u Mục đợc dành để trình bày công thức tính toán dới vi phân Fréchet hàm giá trị tối u tổng quát (ở ta không giả thiết ánh xạ đa trị G tham gia công thức (3.1) có cấu trúc đặc thù nào) áp dụng công thức thu đợc cho trờng hợp G(x) tập nghiệm hệ đẳng thức bất đẳng thức phụ thuộc tham số 55 G(x) tập nghiệm bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số 56 , ta có đánh giá dới vi phân Fréchet à(Ã) thông qua tập nhân tử Lagrange toán quy hoạch toán học đợc xét Tr−íc hÕt chóng ta sÏ chøng tá r»ng cã thĨ đặc trng dới gradient Fréchet hàm số thực qua hàm số xấp xỉ dới, khả vi Fréchet điểm đợc xét Bổ đề 4.5.1 (xem Mordukhovich (2006a), Định lý 1.88) Cho Z không gian z) Banach Giả sử hàm số : Z IR hữu hạn z Z Khi z ( tồn hàm số s: Z IR hữu hạn lân cận z, khả vi Fréchet z, thỏa mÃn tính chÊt sau (5.1) 54 s(¯ z ) = ϕ(¯ z ), z ) = z ∗ , vµ s(z) ϕ(z) víi mäi z ∈ Z s (¯ TNTA: sequentially normally epi-compact (SNEC) Khi (3.2) toán quy hoạch toán học phụ thuộc tham số 56 Khi (3.2) toán quy hoạch toán học với ràng bc c©n b»ng phơ thc tham sè 55 4.5 D−íi vi phân Fréchet hàm giá trị tối u 121 z ) Từ định nghĩa dới gradient Fréchet suy Chøng minh Gi¶ sư z ∗ ∈ ∂ϕ(¯ r»ng tồn lân cận U z cho ϕ(z) > −∞ víi mäi z ∈ U Hµm sè s(z) := {ϕ(z), ϕ(¯ z ) + z ∗ , z − z¯} (∀z ∈ Z) tháa m·n tất tính chất cần có Thật vậy, ta có s hữu hạn U s(z) > −∞ víi mäi z ∈ U vµ s(z) ϕ(¯ z ) + z ∗ , z − z¯ < với z Z Từ công thức định nghÜa s ta suy r»ng s(¯ z ) = ϕ(¯ z ) vµ s(z) ϕ(z) víi mäi z ∈ Z Ngoµi ra, lim sup z→¯ z s(z) − s(¯ z ) − z ∗ , z − z¯ z − z¯ z ), sư dơng định nghĩa dới gradient Fréchet công Do điều kiện z ( thức hàm s ta thu đợc lim inf z→¯ z s(z) − s(¯ z ) − z ∗ , z − z¯ z − z z) = z Từ suy s hữu hạn lân cận z, khả vi Fréchet z s ( Ngợc lại, giả sử z Z tồn hàm số s: Z → IR tháa m·n c¸c tÝnh chÊt (5.1) Khi ®ã ta cã lim inf z→¯ z ϕ(z) − ϕ(¯ z ) − z ∗ , z − z¯ s(z) − s(¯ z ) − z ∗ , z − z¯ lim inf = z→¯ z z − z¯ z − z¯ Chøng minh kÕt thóc Bµi tËp 4.5.1 KiĨm tra kÕt ln cđa cđa Bỉ ®Ị 4.5.1 cho trờng hợp Z = IR2 , (z) = z, z¯ = vµ Z = IR2 , ϕ(z) = −z, z¯ = VÏ h×nh z ) = [1, 1] trờng hợp thứ để minh häa cho kÕt qu¶ nãi r»ng ∂ϕ(¯ z ) = trờng hợp thứ hai ( Định lý sau cho ta đánh giá (upper estimate) cho dới vi phân Fréchet hàm giá trị tối u tổng quát công thức (3.1) tham số x cho trớc Đánh giá đợc thiết lập thông qua đối đạo hàm Fréchet ánh xạ mô tả ràng buộc G tập dới vi phân Fréchet hàm giá Giả x, y) khác rỗng phần tử y M ( x) thiết + ( 57 Đòi hỏi đợc thỏa mÃn nhiều lớp toán tối u Định lý 4.5.1 Giả sử hàm giá trị tối u à(Ã) (3.1) hữu hạn x + x, y) = Khi dom M , giả sử y M ( x) véctơ thỏa mÃn ∂ ϕ(¯ % $ x) ⊂ ∗ G(¯ x, y¯)(y ∗ ) x∗ + D (5.2) ∂µ(¯ 57 (x∗ ,y ∗ )∈∂0+ ϕ(¯ x,¯ y) Mét vài kết tơng tự nh định lý 4.5.1 4.5.2 đà đợc thiết lập cho hàm giá trị tối u toán quy hoạch toán học có tham số với liệu hàm trơn; xem Gollan (1984), Maurer Zowe (1979) 4 Đối đạo hàm ánh xạ đa trị 122 x) với > Chứng minh Để kiểm chứng (5.2), ta lÊy tïy ý u∗ ∈ ∂µ(¯ ta chän η > cho ¯ ∀x ∈ B(¯ x, η) −εx − x ¯ µ(x) − µ(¯ x) − u∗ , x − x V× y¯ ∈ M (¯ x), ta cã (5.3) u∗ , x − x ¯ µ(x) − ϕ(¯ x, y¯) + εx − x ¯ ∀x ∈ B(¯ x, η) x, y¯) Do (2.3), áp dụng Bổ đề Lấy cố định véctơ tùy ý (x∗ , y ∗ ) ∈ ∂+ ϕ(¯ x, y) ta tìm đợc hàm số s: X ì Y → IR 4.5.1 cho vÐct¬ (−x∗ , −y ∗ ) ()( khả vi Fréchet ( x, y) cho x, y¯) = (x∗ , y ∗ ), s(¯ x, y¯) = ϕ(¯ x, y¯), s (¯ (5.4) s(x, y) ϕ(x, y) ∀(x, y) ∈ X ì Y Để ý à(x) (x, y) s(x, y) víi mäi y ∈ G(x) Tõ (5.3) vµ (5.4) ta suy ¯ u∗ , x − x ϕ(x, y) − ϕ(¯ x, y¯) + εx − x ¯ s(x, y) − s(¯ x, y¯) + εx − x ¯ x, y¯), x − x ¯ + sy (¯ x, y¯), y − y¯ = sx (¯ +o(x − x ¯ + y − y¯) + εx − x ¯ ¯ + y ∗ , y − y¯ + o(x − x ¯ + y − y¯) + εx − x ¯ = x∗ , x − x víi mäi (x, y) mµ x ∈ B(¯ x, ) y G(x) Vì > ®−ỵc chän tïy ý, tõ ®ã suy u∗ − x∗ , x − x ¯ − y ∗ , y − y¯ lim sup x − x ¯ + y − y¯ gph G (x,y) −→ (¯ x,¯ y) x, y¯); gph G), ë ®ã δ(·; gph G) Điều chứng tỏ (u x∗ , −y ∗ ) ∈ ∂δ((¯ hµm chØ cđa tập gph G Lu ý đến (2.7) ta thu đợc x, y¯) (u∗ − x∗ , −y ∗ ) ∈ N gph G (¯ Do (2.9), tõ ®ã ta cã ∗ G(¯ x, y¯)(y ∗ ) u∗ − x∗ ∈ D VËy ta cã bao hµm thøc ∗ G(¯ x, y¯)(y ∗ ), u∗ ∈ x∗ + D tức (5.2) nghiệm ... {x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : x2 0, x1 0} vµ x th× Ω (¯ x) = N x) NΩ (¯ = {x = (x1 , x2 ) : x1 0, x2 0} VÝ dô 4 .2. 2 43 NÕu Ω = {x = (x1 , 0) ∈ R2 : x1 0} ∪{x = (0, x2 ) ∈ R2 : x2 0} x =... Gollan (1984), Ha (20 05), Lucet vµ Ye (20 01, 20 02) , Mordukhovich (19 92, 20 06a, 20 06b), Mordukhovich vµ Nam (20 05a), Mordukhovich vµ Shao (1996a), Rockafellar (19 82, 1985), Rockafellar vµ Wets (1998),... dô 4 .2. 3 44 NÕu Ω = {x = (x1 , 0) ∈ R2 : x1 1} ∪{x = (0, & x2 ) ∈ R2 : x1 1, x2 = x1 − x21 } x = (0, 0), (¯ x) = {x = (x1 , x2 ) : x1 0, x2 0} N vµ x) NΩ (¯ Ω (¯ x) ∪