Noäi dung ñeà caäp ñeán moät soá khaùi nieäm cô baûn nhaát cuûa giôùi haïn daõy vaø chuoãi soá thöïc, tính lieân tuïc, pheùp tính vi phaân vaø tích phaân cuûa haøm soá moät bieán soá thö[r]
(1)TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐAØ LẠT KHOA TOÁN - TIN HỌC Y Z
TẠ LÊ LỢI
GIẢI TÍCH 1 (Giáo Trình)
Lưu hành nội bộ
(2)Hướng dẫn sinh viên đọc giáo trình
Đây giáo trìnhGiải tích 1dành cho sinh viên năm thứ ngành Toán hay ngành
Toán Tin Nội dung đề cập đến số khái niệm giới hạn dãy chuỗi số thực, tính liên tục, phép tính vi phân tích phân hàm số biến số thực Để đọc giáo trình sinh viên cần biết chút lý thuyết tập hợp ánh xạ, với vài lý luận logic toán (e.g qui tắc tam đoạn luận, phương pháp phản chứng, phương pháp qui nạp) Giáo trình trình bày theo lối tuyến tính, người đọc lần đầu nên đọc phần theo thứ tự
Để đọc cách tích cực, sau khái niệm định lý sinh viên nên đọc kỹ ví dụ, làm số tập nêu liền Ngồi học tốn phải làm tập Một số tập chương nêu phần cuối giáo trình
Về nguyên tắc nên đọc phần giáo trình Tuy vậy, nêu số điểm cần lưu ý chương:
I Số thực - Dãy số Lần đầu đọc bỏ qua: khái niệm giới hạn trên, giới hạn
dưới (ở 2.4), tính khơng đếm R(mục 4.5)
II Giới hạn tính liên tục
III Phép tính vi phân Lần đầu đọc bỏ qua: khảo sát tính lồi (mục 4.5), vẽ
đường cong (mục 4.7)
IV Phép tính tích phân Kỹ thuật tính tích phân (mục 1.4) nên đọc làm tập V Chuỗi số Có thể bỏ qua Định lý Riemann (mục 1.4)
Để việc tự học có kết tốt sinh viên nên tham khảo thêm số tài liệu khác có nội dung liên quan (đặc biệt phần hướng dẫn giải tập) Khó nêu hết tài liệu nên tham khảo, đề nghị tài liệu sau (bằng tiếng Việt):
[1] Jean-Marier Monier, Giải tích 1, NXB Giáo dục
[2] Y.Y Liasko, A.C Bôiatruc, IA G Gai, G.P Gôlôvac, Giải tích tốn học - Các ví dụ toán, Tập I Phần I (Tập II), NXB Đại học trung học chun
nghiệp
Ngồi ra, sinh viên nên tìm hiểu sử dụng số phần mềm máy tính hỗ trợ cho việc học làm toán Maple, Mathematica,
(3)Giải tích
Tạ Lê Lợi Mục lục
Chương I Số thực - Dãy số
1 Số thực
2 Dãy số
3 Các định lý 10
4 Các ví dụ 11
Chương II Giới hạn tính liên tục Hàm số 17
2 Giớ hạn hàm 25
3 Hàm số liên tục 31
Chương III Phép tính vi phân Đạo hàm - Vi phân 37
2 Các định lý 39
3 Đạo hàm cấp cao - Công thức Taylor 41
4 Một số ứng dụng 43
Chương IV Phép tính tích phân Nguyên hàm - Tích phân bất định 57
2 Tích phân xác định 67
3 Một số ứng dụng 75
4 Tích phân suy rộng 79
Chương V Chuỗi số Chuỗi số 85
2 Các dấu hiệu hội tụ 89
(4)I Số thực - Dãy số
Chương đề cập đến tập số thực, tập cho nghiên cứu chương sau Phần nghiên cứu đến dãy số thực với khái niệm giải tích: giới hạnï
I Số thực
Tập hợp số hữu tỉ thuận tiện biểu diễn thực phép toán số, khơng đủ dùng Chẳng hạn, từ lâu người ta nhận thấy đườøng chéo hình vng vơ ước Nói cách số học, khơng có số hữu tỉ q mà q2 = 2, i.e √2 không số hữu tỉ Như vậy, ta cần mở rộng tập số hữu tỉ để có
thể đo hay biểu diễn độ dài Tập số thêm vào gọi số vô tỉ, tập mở rộng gọi làtập số thực Có nhiều phương pháp xây dựng tập số thực Trong giáo trình ta dùng phương pháp tiên đề
1.1 Các tiên đề Tập số thực R trường số, thứ tự toàn phần đầy đủ, i.e Rthoả tiên đề sau:
• Tiên đề cấu trúc trường Trên Rcó phép cộng nhân:
+ :R×R→R, (x, y)→x+y
·: R×R→R, (x, y)→xy
Hai phép tốn thỏa mãn:
∀x, y x+y = y+x (tính giao hốn)
∀x, y, z (x+y) +z = x+ (y+z) (tính kết hợp)
∃0,∀x, x+ = x (0gọi số khoâng)
∀x,∃ −x x+ (−x) = (−xgọi phần tử đối x)
∀x, y xy = yx (tính giao hốn)
∀x, y, z (xy)z = x(yz) (tính kết hợp)
∃1= 0,∀x 1x = x (1gọi số một)
∀x= 0,∃x−1 xx−1 = 1 (x−1 gọi phần tử nghịch đảo củax)
∀x, y, z x(y+z) = xy+xz (tính phân phối)
• Tiên đề thứ tự TrênR có quan hệ thứ tự toàn phần ≤thỏa mãn: ∀x, y x≤y y≤x
∀x x≤x (tính phản xạ)
∀x, y x≤y, y≤x ⇒ x=y (tính đối xứng)
∀x, y, z x≤y, y≤z ⇒ x≤z (tính bắc cầu)
∀x, y, z x≤y ⇒ x+z≤y+z
∀x, y 0≤x, 0≤y ⇒ 0≤xy
(5)2
Các khái niệm bị chặn cận làm rõ sau Trước hết ta có định lý sau (không chứng minh)
Định lý Tồn trường số thựcR
Tính theo nghĩa R trường số thực, tồn song ánh
giữa Rvà R bảo toàn phép tốn cộng, nhân bảo tồn thứ tự
Các ký hiệu thuật ngữ
Dấu tổng: n
i=1
xi =x1+· · ·+xn Dấu tích: n
i=1
xi=x1· · ·xn
Phép trừ: x−y=x+ (−y) Phép chia: xy =xy−1
So saùnh:
x≤ycòn viếty≥x, đọc “xbé hay bằngy” hay “ylớn hay bằngx” x < y hayy > xnếuu x≤y x= y, đọc “øx bé hơny” hay “y lớn x”
Nếu0< x, xgọi số dương Nếu x <0, xgọi số âm
Khoảng:
khoảng mở(a, b) ={x∈R:a < x < b},
khoảng đóng hay đoạn [a, b] ={x∈R:a≤x≤b}
Tương tự, định nghĩa khoảng nửa đóng, nửa mở[a, b),(a, b]
Biểu diễn hình học R biểu diễn đường thẳng, cố định gốc O ứng với số 0, cố định điểm1= ứng với số1, định hướng dương
là hướng từ đến Khi đó, điểm M đường thẳng tương ứng với số
thực gọi độ dài đại số OM (dương M phía đối với0, âm
nếu khác phía)
-0
t 1’ M >’
M<0
’
1.2 Supremum - Infimum
Tập A⊂R gọi làbị chặn nếuu tồn b∈R, chox≤b,∀x∈A
Khi đób gọi cận A
Tập A⊂R gọi làbị chặn nếuu tồn a∈R, cho a≤x,∀x∈A
Khi đóa gọi mộtcận A
Một tập bị chặn nếuu vừa bị chặn vừa bị chặn
b∗ gọi làcận củaA, ký hiệub∗ = supA, nếuub∗ cận bé củaA a∗gọi làcận củaA, ký hiệua∗ = infA, nếuua∗ cận lớn củaA
Ví dụ ChoA={1
2,34,· · · ,2
n−1
2n ,· · · } Khi supA= 1,infA= 12
Ví dụ TậpA={q : qlà số hữu tỉ vàq2<2}là tập khác trống, bị chặn Theo tiên đề
về cận tồn tạia∗ = infAvàb∗ = supA thuộcR Tuy Alà tập tập
các số hữu tỉ nhưnga∗vàb∗đều khơng số hữu tỉ, khơng có số hữu tỉqmàq2 = 2
(6)110
Chuoãi soá
1 Biểu diển số sau dạng chuỗi số:
0,61111· · ·, 1,33333· · ·, −2,343434· · ·, e,π, ln
2 Lập luận sau sai đâu?
ChoS = + + + + 16 +· · · Khi 2S = + + +· · ·=S−1 Vậy S=−1
3 Chứng minh a1 +a2 +a3+· · · hội tụ S, a2+a3+· · · hội tụ S−a1
4 Chứng minh chuỗi sau hội tụ dãy tổng riêng hội tụ Xác định tổng: a) 1.21 +2.31 +3.41 +4.51 +5.61 +· · ·
b) 1.41 +4.71 +7.101 +10.131 +· · ·
c) 1.31 + 4.6 + 7.9+ 10.12+
13.15 +· · ·
d) 12 −14 +81− 161 +321 +· · ·
e) ∞
k=0
2k+ 3k 6k f)
∞ k=0
(11 +−xx)k g) ∞ k=0
(√k+ 2−2√k+ +√k)
h) ∞
k=1
1
k(k+ 1)(k+ 2) i) ∞ k=1
1
k(k+m) (m∈N)
5 Dùng dấu hiệu hội tụ thích hợp, xét hội tụ chuỗi sau: a) ∞
k=0 k4 k! b) ∞ k=0
1 +k +k2 c)
∞ k=0
3
4 + 2k d) ∞ k=0
klnk
k2+ 2k+ 3 e) ∞ k=1
k!3k kk
f) ∞
k=0 (k!)2 (2k)! g) ∞ k=2
(lnk)k h) ∞ k=0
(1 + 1k)2k ek i)
∞ k=1
1 kp j)
∞ k=2
1 klnk
k) ∞
k=2
kplnqk l) ∞ k=0
sinkx
6 Choak= √1k+ (−1) k
k Chứng minh ∞ k=1
(−1)kak phân kỳ
(chú ý ak>0 vàak→0, không đơn điệu)
7 Cho chuỗi (12)0+ (1
4)1+ (12)2+ (41)3+ (12)4+· · · Hãy kiểm tra hội tụ
dấu hiệu D’Alembert Chuỗi có hội tụ? Xét chuỗiS =∞
k=1
kp Gọi tổng riêng thứnlà Sn
a) Khip >0, chứng minh (k+ 1)1 p < k+1
k
xpdx < k1p (k= 1,2,· · ·)
(7)Bài tập 111
b) Khi p >1, chứng minh Sn−1+ +∞
n
xpdx < S < Sn+ +∞
n xpdx
c) Suy ta có sai số: (p−1)(n1+ 1)p−1 < S−Sn< (p−1)n1 p−1
9 Choak, bk>0 Gỉa sử ∞ k=0
ak vaø ∞ k=0
bk hội tụ Chứng minh ∞
k=0
akbk, ∞ k=0
a2 k,
∞ k=0
(ak+bk)2, ∞ k=0
√a
k
k hội tụ
10 Lập luận sau sai sao?
1−1
2 +13 −14 +51 −16 +· · · = + (12 −1) + 13+ (14 −12) +15 + (16 −13) +· · · = (1 +1
2 +13 +14 +· · ·) −1−12− 13− 14− · · · = (1 +12 +13 +14 +· · ·) − (1 + 12+13 +14 +· · ·) =
11 Đúng hay sai:
1 +x2+x+x4+x6+x3+x8+x10+x5+· · ·=