Giáo trình giải tích 1

HỌC VIỆN CƠNG NGHỆ B u CHÍNH VIỄN thơng TS VŨ GIA TÊ (Chủ biên) GIÁO TRÌNH G iả i i í c h NHÀ XUẤT BẢN THƠNG TIN VÀ TRUYỀN THƠNG MỤC LỤC Lời nói đ u C H I)O N G 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SÓ 11 1.1 Số th ự c 12 1.1.1 Các tính chất ban cuatập số thực 12 1.1.2 Tập số thực mơ rộnạ 17 1.1.3 Các khoảng số th ự c 17 1.1.4 Giá trị tuyệt đối cua số thực 18 1.1.5 Khoảng cách thôna thưOTg fR 18 1.2 Số p h ứ c .19 1.2.1 Định nghĩa dạng số phức 19 1.2.2 Các phép toán lập c 21 1.2.3 Áp dụna, số phức vào livợng g iá c 29 1.3 Dãy số t h ự c 32 1.3.1 Các khái niệm bán vè dãv số thực 32 1.3.2 Tính chất dãv sổ hội tụ 33 1.3.3 Tính đơn diệu cua dãv s ố 40 1.3.4 Dãy c o n 46 1.3.5 Nguyên lý Cauchy 48 Tóm tắt nội dung 49 Bài tập chương 54 CHƯƠNG 2: HÀM s ố MỘT BIẺN s ố 59 2.1 Các khái niệm CO' hàm s ố 59 2.1.1 Các đinh nehĩa 59 2.1.2 Các hàm số thông đụna 64 2.1.3 Hàm số sơ cấp 75 2.2 Giói hạn hàm s ố 76 2.2.1 Khái niệm ciới hạn 76 2.2.2 Tính chất cua hàm có giới h n 77 2.2.3 Các giới hạn đáng n h 86 2.3 Đại lưọTíg vơ bé (VCB) đại lưọng vơ lón (V C L ) 89 2.3.1 Đại lượng V C B 89 2.3.2 Đại ỉượng V C L 91 2.4 Sự liên tục hàm s ố 93 2.4.1 Các khái niệm bán 93 2.4.2 Các phép toán đại số cứa hàm số liên tụ c 95 2.4.3 Tính chất cùa hàm số liên tục Irên đ o n 97 2.4.4 Tính liên tục đ ề u 99 Tóm tắt nội d u n g 101 Bài tập chương .; 113 CHƯƠNG 3: PHÉP TÍNH VI PHẢN HÀM MỘT BĨÉN SÓ 119 3.1 Đạo hàm hàm s ố 119 3.1.1 Đạo hàm điềm 119 3.1.2 Các phép tính đại số hàm số khả vi đ iể m 125 3.1.3 Đạo hàm khoảng (ánh xạ đạo hàm) 127 3.1.4 Đạo hàm hàm số thông d ụ n g 129 3.2 Vi phân hàm s ố 136 3.2.1 Định nghĩa vi phân đ iề m 136 3.2.2 Vi phân khoang 138 3.3 Đạo hàm vi phân cấp cao 139 3.3.1 Đạo hàm cấp c a o 139 3.3.2 Vi phân cấp c a o 142 3.3.3 Lớp hàm s ố 143 3.4 Các định lý giá trị trung bình 149 3.4.1 Định lý Phéc ma (Permat) 149 3.4.2 Định lý Rôn (Rolle) 151 3.4.3 Định lý số gia hữu h n 152 3.4.4 Định lý số gia hữu hạn suv rộng (định lý Cô si (Cauchv)) 154 3.5 ủ n g dụng định lý giá trị trung bình 158 3.5.1 Công thức Taylo (Taylor) công thức Maclôranh (M'claurin) 158 3.5.2 Qui tấc Lôpitan (L’Hospital) 162 3.6 Sự biến thiên hàm s ố 167 3.6.1 Tính đon điệu hàm v i 167 3.6.2 Điều kiện hàm số đạt cực trị 169 3.7 Bài tốn tìm giá trị lón nhất, giá trị bé 171 3.7.1 Hàm liên tục đoạn kín [a,b] 172 3.7.2 Hàm liên tục khoảng mở, khoảng vô h n 172 3.8 Hàm l i 173 3.8.1 Khái niệm hàm lồi, hàm lõm điểm u ố n 173 3.8.2 Điều kiện hàm lồ i 176 3.9 Tiệm cận đưòng cong 179 3.9.1, Khái niệm chung vẽ tiệm c ậ n 179 3.9.2 Phân loại cách tìm tiệm c ậ n 180 3.10 Bài toán khảo sát hàm s ố 182 3.10.1 Đườna cong trone tọa độ Đe 182 3.10.2 Đườne, cono cho bơi phirưníi trình tham số 186 3.10.3 Đường cong trona tọa độ cực 191 Tóm tắt nội d u n g 198 Bài tập chương J .205 C HUƠNG 4: TÍCH PHÂN XÁC Đ Ị N H .215 4.1 Khái niệm tích phân xác đ ịn h 215 4.1.1 Định nahĩa tích phân xác đ ị n h 215 4.1.2 Điều kiện tồn 218 4.1.3 Lớp hàm khả t í c h 221 4.1.4 Các tính chấl cua tích phân xác đ ị n h 222 4.1.5 Công thức Ncwton - L eibnil/ 226 4.2 Hai phương pháp CO' tính tích phân xác đ ị n h 233 4.2.1 Phép đôi biến 233 4.2.2 Phép lích phân lừna p h ầ n 234 4.3 Phưong pháp tính tích phân bất đ ịn h 240 4.3.1 Tính chất Bang nguyên hàm thường d ù n g 240 4.3.2 Mai phương pháp tính tích phân bất đ ị n h 242 4.3.3 Cách tính tích phân hất định hàm hữu l i 245 4.3.4 Tính nguvên hàm phân thức hữu tỉ số hàm thông d ụ n g 248 4.4 Một sổ ứng dụng cùa tích phânxác đ ịn h 254 4.4.1 'ĩính tliộn tích hình phãniỊ 255 4.4.2 Tính dụ dài đưcrng cone p h n g 258 4.4.3 Tính tliè tích \ ậi t h ê 261 4.4.4 Tính diện tích mặt trịn xoa'-’ .265 4.5 Tích phàn suy r ộ n g .267 4.5.1 Tích phân SLI\' rộns \ ứi cận vôh n 267 4.5.2 Tích phân su\' rộng \ới hàm dấu tích phân có cực điêm 277 Tóm tắt nội dĩiiiíĩ 285 Bài tập chương -/ 298 CH Ư Ơ N G 5: LÝ THIÍYÉT CHƯỎI 308 5.1 Chuỗi s ố 308 5.1.1 Các khái niệm chung 308 5.1.2 Chuỗi số duxrng 313 5.1.3 Chuồi đan d ấ u 322 5.1.4 Chuồi có số hạna, mang dấubất k ỳ 323 5.2 Chuỗi h àn i 326 5.2.1 Các khái niệm chuna chuồi h m 326 5.2.2 Sự hội tụ chuỗi h m 328 5.3 Chuỗi lũy thừa 336 5.3.1 Các khái niệm chuna chuồi lũy t h a 336 5.3.2 Khai triên số hàm thành chuỗi lũy t h a 346 5.4 Chuỗi P ourier .357 5.4.1 Các khái niệm chung 357 5.4.2 Điều kiện đủ đề hàm sổ khai iriẻn thành chuồi Pourier 362 5.4.3 Khíii I.riòn thành chuỗi 1'Ourier cua mội hàm sổ bấl kv 367 5.5 Tích phân Poiirier 375 5.5.1 'rích nliàii ỉaiurier íỉiới hạn cuu chuỗi 1'oLirier 375 5.5.2 Điều kiện đu cua cơna thức tích phân P ourier 376 5.5.3 Các dạnti dặc biệt cua cơng thức tích phân Pourier 376 Tóm tắt nội u u n ^ 377 Bài tập chư viv, 387 H n g dẫn đáp án 393 H ng dẫn í u .419 Tài liêu íh a m k h d ỡ .423 Chương GIỚI HẠN CỦA DÃY s ố Trong nhiều vấn đề lý thuyết thực tế người ta phải xét đại lượng mà trình biến thiên đại lượng lấy giá trị rời rạc gần đến số a Trong trình này, ta nhận dãy số dần đến a hav có giới hạn a Thực tế, hầu hết dãy số có giới hạn số a khơng đạt giá trị a, điều q trình tìm giới hạn khơng cần quan tâm đến Chẳng hạn, ta xét dãy sổ } ^ Q trình n tăng lên n +1 Un tăng dần số gần Nói dãy sổ có giới hạn n tăng lên vô Ta xét thêm tốn “lợi nhuận đầu tư” sau: Giả sử có 10.000 USD đầu tư để thu lãi 8% năm Sau năm vổn trở thành 10.000.(1,08) = 10800 USD Nếu lãi suất 8% tính thành tháng với lãisuất 4% sau năm vốn trở thành 10.000.(1,04^) = 10816Ơ.SD Nếu lãi suất 8% lãiđược nhập vốn hàng ngày tổng í 10.000 1+ - số vốn sau năm sẽnhiều hom, cụ thể = 10832,78Ơ50 Rõ ràng tiền tăng nhanh thời gian lãi nhập vốn ngắn Tổng quát số vốn A đầu tư với lãi suất r% năm lãi nhập vốn n lần năm, trở thành 1+ 100« ; USD Đây dãy số đáng quan tâm Giới hạn khái niệm khó tốn học Khái niệm giới hạn cho từ “gần”, để mô tả định tính Cịn định nghĩa xác Giáo írình Giai lích I 12 cua cho ciiin lù' ■‘bé h(vn v" ••lớn M” để mơ tả định lượng đu'ợc gi(TÌ thiệu ti'onẹ chưưne Khi hiếu khái n i ệ m g i i h n t h ì d ễ dài iií h i ể u đu'Ọ'c c c k h i n i ệ m đ o h m t í c h phân Bởi phép iốn dều xuất phát từ phép tính giói hạn Trước dền khái niệm \'ề eiới hạn cần hiểu vai trò ihực số vơ tỉ Nhờ tính chất đầy tập số thực mà người ta có thê biêu diễn tập số tliực Irèn trục số - uọi irục thực nói rằne tất sổ thực lấp đầ} trục số Nói khác có tirơng ứng 1-1 s,iừa số thực \'à điẽm irên trục số Chương đề cập đến trường số phức, trirịne so ihực mơ rộna Vai trị V nghĩa số phức mặt lý thuyết CÙIIÍI ửnơ dụne sau kỳ thuậl đặc biệt kỹ thuật điện tu lớn 1.1 SỐ T H Ụ C 1.1.1 Các tính chất tập số thực A Sụ- cần thiết m l ộiĩỊi tập số hữu ti o Do nhu cầu đòi hoi cua sống, tập số tự nhiên N = {() 2, }, sở cùa phép dếin mớ rộng sang tập số nguyên = {0,± ±2, ; Sau dó, khơng có phần tứ mà tích với bang nên nau'ời la dã xây dựng tập số hữu ti, tập g m S() có thê đirợc bieu diễn bưi ti số hai số nguyên, tức số thập phân Iiửu hạn võ liạn tuần hoàn Nếu chi dừng lại tập Q tixMii’, Uian học uặp phai nhièu diều hạn chế dặc hiệt gặp khó khăn Ironu \ iệe giai thích tu'ợng sống Chẳng hạn, việc tínii cÌLÙmg chéo cua hinh vng có kích thước đơn vị Đường chéo -Ịĩ mô lả số hữu lỉ Thậl nếu^[2 = — G Q líSCLN (m.n) = m" = 2n‘ =>m 2p 4p“ = 2n^=>n = 2q í)iều vơ lí lúc nà}’ m n có ước chung Chứng tỏ V ể Q Nhũ'ng số xuất dùng thường xuyên giải tích e n cĩins số hữu tỉ Chưcmg I: Giới hạn ciia tiãy số 13 B Số vô tỉ Một số biểu diễn dư()'ị dạng thập phân vô hạn không tuần hồn, hav khơng thể biêu diễn du\Vi dạníi li sổ hai sổ no.uyên gọi số vỏ li c Sỗ thưc \ Tất số hCru ti số vô ti tạo thành tập họp số thực Kí hiệu tập số thực fR Vậy tập số vơ tí ÍR ' Q Người ta có Ihể xây dựna lập số thực ÍR nhờ vào hệ suy diễn hay nói cách khác nhờ vào hệ tiên đề Chúna ta khơng trình bày mà coi tập hợp sổ thực ỊR quen thuộc kiểm tra thoả mãn tiên đề Chủng ta coi tính chất tập hợp số thực ÍR Tính chất 1.1; Tập ÍR mộ! trường giao hốn với hai phép cộrìg nhân: ('R, + , J \ / a , h e ÍR, u + b e IR u.he IR \ / a , h , c e !R, (a + h) + c = a + {h-^c) {a.h)c = u{hc) \ / a , h e ÍR, a + h = h + a, ah = IR có phần tử trung hoà phép cộng phép nhân Ví/ e IR, a + = + a = a a.ì = \ a = a Phép nhân có tính phân phối dối với phép cộng Ví/, h, c e ỈR a [h 4- c) ah + a c , (/> + c)a = + ca Tồn phần tử dối phép cộng \fa& IR 3(-w), í / + (- h \ / a , b , c e R, a < b =:> a + c < b + c, \ / a , b e IR, C G IR^, a < b => ac a , \/x e X Gọi tập X bị chặn R , (bị chặn dưới) tồn cận (cận dưới) X IR Người ta gọi số nhỏ cận X IR (nếu có) cận X iR, kí hiệu số M* hay SupX (đọc Suprémum X) Gọi số lớn cận X IR (nếu có) cận X IR, kí hiệu số m* hay l n f x (đọc Infimum X) Nếu M * e X nói M* phần tử lớn X, kí hiệu M* == SupX = MaxX Chương 1: Giới hạn cua cỉíh' Ar5 15 Nếu m’ e X nói rằrm ni' kì phần từ nho nhấl cua X, kí hiệu m '= IntX -M inX Cìọi X bị chặn trona ÍR chi X đồnu thời bị chặn bị chặn Irono ỈR C húỷ a Tập R \ Q khơna đóng kín dối \ới phép cộnu phép nhàn, hạn; r— ^ \ + { ~ \ l ) ^ 1R\Q ± v e IR\Q I ' ~ _ v'2.V2 Ể IR\Q b Vxe IR\Q.Vv O =>.v+ r e IR Q ,\7€ ÍR\Q - e R\Q M* = SupX nghĩa là: với số í > bé \ V hao eiị cũne, tìm tương ứng số a e X đé cỏ bấl đăng thức \ f - í: < a (Vê- > 0) {3a e A' => M ' - í: < ư) m* = InfX nghĩa (Ví,- > 0) (3(2 e A' => + r > u) Nếu M cận Irên tập X Ihì SupX < M Nếu m mội cận dưỏi cua lập X Ihi Intx ỉ: ni V í d ụ 1: C h ứ n g m i n h {^ + + \ í(i) ~ IR\Q Giải: Giả sử q =>/2 + \/3 + \/ó e Q=> (\/2 + V 3)’ = (í/- v ỏ )' hay + ] = 2{q + 1)V6 dề dàng chứna miiih %/ó Ể c (tương tự chứng m in h \Í2í ũ) T h eo chủ ý SLIV q + = q" + = Điều mâu thuẫn Vậy q Ể V a + /) e /4 + ổ a + à < Sup.4 + Supổ M ' - Sup(/Í + B) (3í/ (V í >0) e A=> a > S u p / Í - —) “ (3heB=> h > S u p B ~ - ) 17 Chươnịỉ ỉ: Giới hạn cua cìãy vó (3í/ + h e A + B-=> a + h > Sup.‘! + Sup/? - ỉ-:) => = Sup/Í + Sup/i = Sup( /1 + ỉì) 1.1.2 Tập số thực mỏ rộng Người ta thêm vào tập số thực IR hai phần tử kí hiệu - X + oc Tập sô thực mơ rộng đưọ'c kí hiệu ÍR, tức R = IRvj|-oo.+oo| phép toán cộne (+) nhân (.) quan hệ thứ tự định nghĩa sau: V a- e ỈR ,v + ( + 00 ) = ( + o o ) + V = +CO X + ( - 00 ) = ( - o c ) + A' = - X (+oo) + (+oc) = + 00 (-co) + ( - x ) = -00 V.v IR*, fR* = {A' e IR .V> 0[ x(+ ũ 0) = (+ 00) v = +C0 v ( - o o ) = (-OC),T = - o c Vx s IR* IR* = {x € [R .r < 0} x ( + o o ) = (+ c o ),v = - 00 , x ( - c o ) = (-= o ).x ' = ( + 0ũ ) ( + 0ũ) = ( - o o ) ( - o o ) = + V x e I R - c o < J < +CO - 00 00 + 0 (+ co )(-o o ) = (-o o )(+ o o ) = < -oo, + 00 < -00 + 0 -00 < A' < +C0 - GO< -co + co < +00 1.1.3 Các khoảng số thực Cho a,h € IR a < h Trong iR có chín loại khoảng sau đây: [a,/?] = |a' e IR, < -V< /lị dược gọi đoạn hay khoảng đóng bị chặn a.h) = {x e iR, í/ p/=l ‘ - ịí=l Vx,v6 IR,Max(A-.>') = -(-^ + '' + |''-.'Ì)- Min(.v, v) = -(.v + \ / x , y e ỈR, n - y|) ' < 1.1.5 Khoảng cách thơng thirỊTig R A Định nghĩa: Khoảng cách IR xác định nhờ ánh xạ: d: IR X IR —> IR Đó hình ảnh trực quan khoảng cách điểm X y trục số thực ỈR B Tỉnh chất £ /( a%>') = v= V Chuơng I : Giới hạn cua í/ãy ,V(5 19 Va' V e IR d ( r v) = d[v x) Vx.>’ z IR d { x z ) < i l { x y ) + ci(y.z) V.v.j-.r6 fR |í/(-v r)-í/(.r.r)| < t/(_Ị'.r) 1.2 SĨ PH Ú C Chúng ta biết ràng triàmíĩ số thực ÍR khơng phân tích thành thừa số tam thức bậc hai ax' + hx + c A = - 4í/c’ < Tuy nhiên tiện lợi thừa số hố tam thức nàv thành dạng a [ x - a \ x - p ) a./ỔỂ ÍR Nhằm mục đích này, thêm vào IR phần tử kí hiệu i (được gọi đơn vị áo) kết hợp với cặp số thực (x, v) e ỈR' để tạo số phức l.l.l.Đ ịn h nghĩa dạng số phức A Định nghĩa Cho (x.>’) g R", số biểu diễn dạng z = X + iy, /■ = -1 gọi số phức Tập số phức kí hiệu c X gọi phần thực cúa z kí hiệu Rez = X, y phần ảo z, kí hiệu Imz = y Gọi mơđun cúa kí hiệu ị:| xác định sổ thực không âm: z| = ự x ' + V" =/■>() Gọi Acgumen z , kí hiệu Argz xác định số thirc: Argz = e ; e IR ;c o sớ = — v s i n ỡ = 0mi Như Acgumen z sai khác k l n , Ả:e Z v ArgO khơng xác định 20 Giáo trình ơìai í ích I Vậy số phức z viết dạng; z = X + iy gọi dạng tắc hay dạng đại số sổ phức z ( 1 ) z = r (cos + / sin ớ) gọi dạng lượng giác cua số phức z ( 1.2) B Biểu diễn hình học số phử c Hình ỉ Xét mặt phẳng Oxy với hệ tọa độ trực chuẩn Ánh xạ ỹ? : c^ Oxy, nghĩa đặt mồi s ố phức z = X + iy ứng với điểm M có tọa độ (x,y) mặt phẳng Oxy Vậy Người ta gọi mặt phẳng Oxy mặl phẳng p h ứ c V z e song ánh c, ọ ( z ) gọi ảnh z Oxy VM e Oxy,ợ?“'( M ) gọi tọa vị cùa M, số phức z e c Ngoài Như O M OM gọi véctơ biếu diễn số phức z Ị0 x ,0 ỉv íj = Argz Trên mặt phẳng phức Oxy ta nhận thấy: Trục Ox biểu diễn số thực z = x e IR, trục gọi trục thực Trục Oy biếu diễn số phức dạng z = iy, y e IR (được gọi số ảo tuý), gọi trục ảo c 'himng / ■Giới hạn dãy số 1.2.2 Các phép toán tập 21 c A Phép so sánh X| = X, (1.3) V ( X | , , X, , V,) elR’’ , V, + n , = A'_, + /v, o r, (eosớ| + /s in |) = Ạ (cosớ, + /sino.) ^ (1.3)’ ớ| = ớ, + I k n B Phép lẩy tiên hợp Cho z = X + iy e C liên hợp cùa r kí hiệu r cho bởi: ~z = x - i y (1.4) Vậy z = r(c' sớ + /sinớ) => = r ( r o s - / s i n ) (1-4)’ c Phép lấv số phứ c đổi Cho z ~ x + i y e c , số phức đối cùa - kí hiệu ( - ĩ ) (đọc trừ z) xác định công thức: (-r) = -x-/> ’ (1.5) Vậy ta có: r = r ( c o s + /sin(9) => (-z) = /•(cos(ớ +;r) + / sin(ớ + ;r)) (1-5)’ D Phép cộng, phép trừ Cho =A'| +/>’, r, =.v, +/>', tông cúa đu-ợc xác định sau; Z| Cho Z| = X, +/>’,, = X, +/>■_, I, 1,) f hiệu Z| , kí hiệu /(> + >'2 ) (1 -6) kí hiệu Z | - z , đ ợ c x c định sau: r , - Z , = ^ ( X | + (1.7) E Phép nhãn, phép chia Cho Z| = X| + />’,, = x_, + , tích r, Z|.Z2 xác định sau; -|Z, ==^(X|AS Vậy Z| , kí hiệu vs ) + /(X|_y, -x,_y\) (1.8) = / | ( 6'0 SỚ| + /sin |) r, =i%[cosỡ + / s i n , ) I |r , = /|r, (c‘os(ớ |+ Ớ +/sin(ớ|+ỡ,)) (1-8)’ 22 Giáo trình Giai tích ì Cho 2, = A'| +i}\, z, = X, +/v\ thương r, với 5^ kí hiệu — ,xác định sau: — r, = r , từ đỏ ta suv ra; Z| _ _ Z|Z, _ (X|A% — ■> - V'|.vO •) ■> xí + >'í Vậv Z| =r,(cosớ| + /s i n |) (1.9) =r,{cosỡ + /s in ) — = r]r, (c'os(ớ, - ớ,_) + i sin(ớ| - (9,)) “ ■> Từ phép tốn trên, nhận tính chất phép lấy liên hợp: Vz e C , z = z V ( z | Z ) e C \ Z| + z , =Z| + z , V(z,.Z2)eC^Z|.Z2 =Z|Z V n e N*,Vz ,,Z3 G c , ị ] z , 1=1 1=1 lì-" = f /=1 /=i ( 1 ) V z e C ,V z 'e C * ,C ‘ =C\{0} Vz G c, z=z o z e ÍR z = - z z e ilR,ilR ={Ì}%V6 IRỊ Vz e C; z.z = \zf F Phép luỹ thùa, công thức M oavrờ (Moivre) Cho số phức z = r ( c o s + /s in ) '^ke.TL Lũy thừa bậc k số phức cho kí hiệu z S ' tính theo cơng thức: 23 Chương I : Giới hạn cua íìãv w Từ công thức (1.8)‘ (1.9)' bàng qui nạp ta chứng minh được: z* = r* (cos/:ớ + /sin/:ớ) (1-11) Công thức (1.11) đu'ợc gọi công thức Moivre G Phép k h a i bậc n z e Cho n e N*.r = r(cos6^ + / s i n ) Gọi q€ c* bậc n cúa z kí hiệu '■{[= xác định sau: c ' = r Nếu gọi p = g o = Argc thi từ định nghĩa suy ^ hav ìà p = r ’’ = - n-d + k n Vậy sô ' (Ẩ: =0,1,2,3 /7-1) n có n bậc n sơ phức có dạng: 1/ — g =i ỊA n e + 2k n O + lkTT co s— -+ / sin — — :k = A / - V n (1.12) n Chú ý: a Trong chương sau có cơng thức khai triên cúa hàm số sơ cấp ta sè nhận dược dạng luỳ số phức z: ke Khi công thức (1.11) là; công thức (1.12) sè là; ^ = r"c' " (1 • n )' N ( ỉ 12)’ b Căn bậc n đơn vị Ta xét số phức z = \, 1^1 = 1, Argz = Suy bậc n n số phức dạng; 24 Giáo trình Giủi tích I hk-t (ÚI = e " : k = 0.1.2 n - \ = 1nên số phức Vì có nhữna tính chất sau: V Ấ : e |0 J , / - l VA e {0.1.2 / - } ; cOị = rư* V n e IK1\|0.1}; 0)' = |ìo )^ = k=0 k=0 - ( =0 0, Các sổ phức (Oị biểu diễn mặt phắng phức đỉnh đa giác n cạnh nội tiếp đường tròn lượng giác đỉnh điểm có tọa vị bàng Đa giác nhận Ox làm trục đối xứng, chẳng hạn với n = n = 3, n = biểu diễn hình học số Cứ,, cho hình 1.2 — +1 f \ y N -1 n =2 n =3 l.-Ể '2 Hình 1.2 Ví dụ 1.4: Hãy tìm tất ánh xạ f : c^ c cho; V r e C / ( r ) + r/'(-r) = l + Giải: Nếu tồn f f(-z) - zf(z) = - Sau nhân hai vế với -z, cộng vế với vế, ta nhận được: (1 + z ’ ) / (z) 1+ ^ ^ chứng tỏ f(z) = - ± / Đặt f(i) = a + i p e c , a , p e IR ,/'(-/) = 1- / + /ơ - /9 25 Chưcrnịị ỉ : Giới hạn cua dìiy sỏ / : c -> c •y Kiêm tra r ^ ±i z I—> • + i f ì k h i £■ = / l-/? + /(ơ -l) ữ /? € IR r - Ta thấy ánh xạ thoa mãn điều kiện đặt Ví dụ 1.5; Tính số phức: a (1 - /)(1 - V 3/)(\/j + /'), c •y — + b +/ Giải: a Đặt z = Z|Z, J- đt) z, = 1- / 7, = - V / z, = Vs + / Ta tìm mơđun \ acRumcn cua số phik này: líiớ = -1 = Vl + = ^Í2 0, = A rg r , Irong dỏ = cosớ, > 7T 5.1 Vậy z = A ^ e ' b Đặt = — = 5.T Stt V2 c o s ( - — + / s i n ( - — ) 12 12 Z| = “I = , = A r g c , = - - r, = z, = \Ỉ2JJ-, - Argr, - — - Vậy z = ^/2É’ ' = V2(? c Đặt ị/ = i f z , k = , r= rrong z = - \ + \fỉi (p - A r g r = ^ , = 1+ / ;r Giáo írình Giai tích / 26 Vậy z = ,2( cos —- + /s in ^— 3 = ự ( c o s - + /:sin ‘ = ịỉĩịco s— 3; V8 + /sin — ) = -{ /-(-1 + /’V ) V8 ^, = V ( c o s — + / s i n — ) = - ị - ( ^ / + ỉ ) 6 V8 = V 2(cos^ + /Sìn^} =ịlĩ(ỉ-/V3) 3 V (1-0 ^ ( V +/)-’"" Ví du 1.6: Tìm niơđum wà acgumen cùa số phức z ■ Giải' Đặt Khi đó; = 1— r, = \/3 + / = Bâv la tính mơđun acgumer số phức iT| = V2 i\ = = 2, ớ, Từ có UlO Argr;^'^ 25;r ;r, IQQn A rg r, Cuối ta điưcợc r = ’".2 =2 Ví dụ 1.7: Chứmggnninh Vz e c ;t T C In Argr l + z > 1+ >1 Chưoniỉ, I : Giới hạn cua dãy sô 27 Giải: Giả sử 3/: = X c + iv e 1+ r < — cho + 2- < -) V < V (.v“ + >'■)■ + 2(x~ - >’■) < "y x ‘ + V" + x + - < 2x x ~ + V" + + 2x^+2x + - < —< A',= l - - = - - < o ^ / » Chứng tỏ mâu thuân Vậ\' bât đăng thức thóa mãn c Ví dụ 1.8: Cho a b, c e minh; Arg - ^ = - A r g ^ , c~a a |a| = |/)| = |c| = 1, h ^ c Chứng n Giai: Hãy xét số phức du‘ới đây: (đề ý đến giả thiết, ta có l -=-ế/, - ~ h - = c) — a c c~h c Ịi_ 1_ c a \c-a í Arg c - hz_ N^ \ ■) ' h - c a ' h ' c - h ' ' ~— a —= — \ a - c hj a [ c - a j h Cỉ ~z= \c-a J h k/r = L71 J c-h Arg — ~ + Arg — c-a n Ai-g - - - A r g - n c -a a Giáo Irình Giai lích I 28 Ví dụ 1.9; Cho a e ỈR hàv tính bậc Irona tập c phức: r = 86/“ - (1 + " + 4í/(l - Lr ) i Giải' Nhận xét; Biểu diễn z dạng r = 2í/ + (1 - í / ' )/' ‘ Như vậv V- = ±[2a + ( ] - « “)/ Tiếp tục nhận \é l thấy: í / + (1 - L r ) i = < —! = - f ( l + í / ) + (1 - í / ) / Ta suv eiá trị cúa ifz là; /“õ' ^ ± — - ị (1 + a ) + (1 - u )ị\: ± ^ ị( - a ) - (1 + Ví dụ 1.10; Giai phương trinh với ân s ố r e a )i] c:r' Giải: Nhận xét han dầu: Ta xét z Z| = nghiệm đặt r = ge"\ c e IR’ , O e R = r + - c=> c ' (cos 4Ớ + / sin Ớ ) = c o s f cos4ớ = 2cosớ sin = = 0; 4Ớ = ;t , 2jT 2/T cos > c ' = - cos ỡ c ’' - c o s I cosớ < T I Ta lấy = => c - '' ữ = — => g = 2'' ỡ = Vậy na,hiệm z ^ là: 5/T = số Chưong ì : Giới hạn CIÌU dãy sị 29 3-t >— -f / sin — 4 cos 5/t V 5;t ^ -ỉ- / s i n — 1.2.3 Áp dụng số phức vào lưọng giác A Khai triển cosnO, sỉnnO, Ígn6 Cho e IR n e N* T a p d ụ n » c ỏ i m t h ứ c M o i v r e v c ô n g t h ứ c nhị thức Nevvton, có C0S/7Ớ + /s in /76 /* = (cosí'^ + /siní?)" = cos" * ớ./* sin* krA\ Tách phần thực pliần áo ta nhận co ĩiìiO - cos" - ( cos" ■6^sin" + — h s i n n O = c \ co s" ' O s ì n O - ( Sau thay sin' = 1- COS’ cos " ’ s i n ' +— vào công thức có: cQsnỡ biểu diễn dưcVi dạnạ mộl da thức cúa c o s , gọi đa thức Chebyshev loại sin ^ bàng tích cua sin/A ứi mộl đa thức c o s , gọi đa thức Chebyshev ỉoụi sin nO cosnỡ cosnO + - co s''ớ B Tuyển tính lìố cos^O, siif6 , cos^’9sin'’0 cos = 0) + 0) = 0) + — C h o O e [ R p e N ,(0 = e " ‘ = 0) i sin = 0) - 0) = 01 -0) Giáo trình Giai lich ì 30 Vậy 2"cos'’ớ = (0 + / (2/)'” sin'’0 = ù ) \ co (0 V Sử dụng công thức nhị thức Newton ta xét trườna hợp sau đây: a Trường hợp p = 2m, m e N* 2^"' cos^”' = + Im (ớ - + Im V CO + ^ Im / = cos 2m6 + 2C'2, cos 2(ô7 -1 ) + ããã+ 2C 2”;' cos 20 + c ; m ■ ^ / ^ COS-'" = - '2 " '- ’' + k=ũ cos2{m-k)ỡ 2 " ' ( - i r s m - " ' = co~"' + Im 0) -c 2m ú) 2m -2 - cos 2mỡ - 2Cị^^ cos 2(m -1 )ớ + ••■+ ( - C I2m \ K ^ b Trường hợp p = 2m + 1, m e N + '| ; ( - l ) ‘ (;t, cos2(m-k)0 k=ữ ,2/?»+i_ _ 2«í+ì I + C’2w+l - cos(2m + l)ớ + cos'"'^' = // r + * - -+ r'" 2/Í/-I co ^ C -Ơ \ / cos(2/77 - I) + ãã+ 2C;;„,, cose cos(2m +1 - ^ ) Ẳ + c 2m+l , ,2/jí+l CO y ,2m+ỉ 4(0 + - I m- [ ( + r"' J = cos(2m + \)0 + 2c;„,,, cos(2w -1 )ớ + ■■•+ 2c;:,., cos ỡ cos(2w +1 - 2k)0 cos'"'"' A=0 ^ rư + ^ -co) ChươHịỉ I : Giỏi hụn cua íiãv vó 31 / Ị r y '" " ' / ^ (Ú + - ( V 2hj 1 - \ iV - " " ] \ = / sin(2/n + I )ớ _ / C , s in( / m - 1)ớ + • ■• + / ( - ) " ' c sin -'"''ớ = , sin , s i n ( w + l-2Ẩ-)6» Ẩ Để tuvến tính hố cos''ớsin''ớ trước hết tuvến tính hố thừa sổ cos'’ớ, sin ''ớ sau thụrc phép nhân tuyến tính hố sổ hạng thu Ví dụ 1.11: Cho (n.a.h) e NxRxỉR tính tống; c\j = ^ cos(a + khy, S",, = ^ sin(„; { 1.3.1 Các khái niệm CO' } dãy Ị định nghĩa dãy số thực số A Định nghĩa Một dãy sổ thực ánh xạ từ N vào IR, tức u : N —> ỊR hay đơn giản người ta thường kí hiệu {w„} Với /7 = «0 e N xác định, gọi phần tử thứ no dãy, Un thưịìig biểu thức phụ thuộc vào n gọi phần tử tổng quát dãy chẳng hạn cho dãy sau đây: {l}(gọi dãy số hằng), • - • ( g ọ i dãy điều hồ), | ( - l ) " | [ /7 J ^ ^ •( I + V n > B S ự hội tụ, ph ân kỳ dăy sổ Dãy {w„} gọi hội tụ a s IR nếu: ( V f > 0) (3/1,) N) (Vn e N) (rt > /7(1 Kí hiệu limu,, - a, rõ ràng dãy ncu khơim hội tụ nahĩa là: (Ví/ e ỈR) (3/; > 0) Dãy ■[»„} nhận (V A > Kí hiệu e N =ì> > E ) làm íiiới hạn nốLi; ) ( /7|, e N) ( V// > = +'X dòikhi Dãv " a =:> 11^^ > 1) lanói rãiiLi ịz/„| tiên lói / nhận -X làm uiới hạn nốii; (VB < 0); (3;7„ e N) (V/ì > /7„ cr Khi dãv có eió'i hạn -cc -X đèu đu'ọ'c Iiọi phân kỳ c Đây sơ bị chặn Ta nói rănạ [ii„\ bị chặn irên bơi số A IR {//„1 bị chặii du'ửi bới sẻ B ỈR (V« e N => //„ < A ) Ta nói {\fn e N I=> rànạ > /3) Ta nói rànu {//.,I bị chặn ncLi lồn lại M e [R, cho (V« N => |h„| < A /) 1.3.2 T ín h c h ấ t dãy hội tụ A Tính giới hạn Định lý l l : Dãy [//„} hội tụ a ỉhì a ỉà Chứng minì-r Giả sử lim lì -t r Ta lấv s = -Ịc/, - = ơ| lim u„ = a, ciị ^ a, I! ■■■ >/ theo dịnh nehĩa thì: ~ Giúo trình Giùi tích 34 < c) (\ f n >fiị e N (V« >/7, => z /„-í/ < e ) Ta gọi = Max(/7|.A70 \fn>n^^ cỏ: _ \ < e = — í/, - í/, Điêu mâu thuân c/, - a < \u„ - í/, + Chứng tỏ giới hạn a duv B Tính bì• chăn • Dãv |w„} hội tụ bị chặn tập (R Dãv {lí,,} tiến đến +00 bị chặn dirới tron^ tập IR Dãv {w„| tiên đến -oc bị chặn tập fR Chứng minh: Giả sử lim w„ = í / (3^,1) u < u,^-a (Vn>n„ a (V/7 e Giả sử lim ỉ/ = +00 (3a7|)) {n > Đặt m = Min u „ - a < 1) , l| => hỉ => 1) >m Quy bàng cách xét (-»„) Chú ỷ- a Tồn dãy số bị chặn chưa hội tụ chẳng hạn k ỉ = Ị(-i)"Ị b Mọi dãv không bị chặn phân kv c Một dãy tiến tcVi +QC Ihì khơng bị chặn trên, điều ngược lại không đúng, hạn xét dãy số Ịw„} = ( -])" /?! Dãy số không bị chặn, nhiên khơng có giới hạn Chương l : Giới hạn cua day sổ 35 c Tính chẫt đại sơ dãy hội tụ Iimz/., = lim II a lim«„ = lim u = = a lim v„ = /) => lim(/7„ + 1'„) = a + h lim n - * x n *r = CI => lim ẲII^^ = Ẫa: Ẫ số lim /í— limw„ = 0, (v„) bi chăn => lim(i/,1’ ) = II-* V Ĩ n -^ v l i m w „ = c/, >?— lim v„ = h => II— l i m ( » „ \ ’, ) = ah I I — *y = a !im v^, = h ^ => lim — = — n— *y y Ịy lim /í— vx Chứng minh' (V ễ- > 0) mà u (3n„ e N) (V«>«, a < w„ - a < £• =í> lim u Vì ta cỏ |ỉ/„ - // - «0 a u-a ( V f > ) ; (3rt|,«2) (V/7 >/7, Đặt u - a n„ => |//„ + V , - (a + ^)| < —+ - (V í : > ) (3/7,,) (Vrt > «„ ỉ/ - í / II„ - í/ 1+ (3M ỈRJ ( V/1 e N => |vJ < M ) (V£->0) (3 i 7„)(V;7>/7(, — II II n Ị Vn sM n, => V,, -/) < suy (Ví- > 0) Lây no = Max(n|,n ), (V« > «0 h V Ta thấy — v„ h £■) cr Giả sử lim /í—»-.r: = / ( a , h ) Khi (3nJ (V« > Hq => a < 11^, < h) = / (3 ^(,) (V/7 > n„) (í/ < < /)) /c/?/ a ^ < w„) lim tì~ * T ) = lim w„ = ữ //—♦co Ẩ’/?/ lim V’„ = a n-*ffỉ Giả sử {\/n > rỉg) (m„ < lirrii/,, = + 0 Khi lim v„ = n —*y- +00 37 Chương !: Giới hạn cua dãy số Chứn^ minh' ( ^ ) ( V í i > /7, ~ỉ /7, => u - l 11^^ < h) Ta lấy no = Max(rii.n ) (V/7>/7„=> a < u „ < b ) Ta lập luận phản chứng theo (V f > 0) (3/7,,«, e N) (V/; > /?| u - a < s ) (V/7 Lây riy = Max {n, /7^ Ị , (Vn > /7, => -£■ < - í/ < V,, > « , => M' - a I, tồn h e IR* đế a = 1+h Ta có: a" ^ { \ ^ h Ỵ = ị ^ C J Ì >\ + nh /={) \\m(rìh) = + C O zz> lim(l -¥nh) = + 0 rí> / limc/'' = +CO \" Xét a — > l x > lim a a _ Với a = rồ ràng a'^n = 0, => lim c/'' = /; -> X X é t a = l = > a " =1 => lima" = n >r Ví dụ 1.16; Tìm lim ' 1, áp dụno công thức nhị thức Newton: ^ = > í / > ^ C ’,' [4^1- Ỷ ị = l + / ( V ã - l ) k=1) k^.{) Chương I : Giói hạn cua dãy số 39 => Vn e N* < 'ịjã - \ < - —!- = lim '{íã = -1 Xét < a < => — > => lim = mà CI Vu '\ í ã - \ a/ nên lirr \Ịã = n- ■ Kết luận Vơ e IR*, lim ^ - Ví dụ 1.17: Tính lim ; a > 1, a € N* Giải' Vì ứ" > nên h e [R* đế a" =! + /? áp dụng công thức nhị thức Niutơn (Newton) V/7 N\ 0.1 ta có: =ỹ ( > ‘ > A -=0 a + n í '^ ^n / cr a ■- >■ J > rì -1 n ^ • lim-\ 'K ? n , a" Suy — - (ỉ I l ~ * r J = +00 n \ơ í II - r' > n n v ) • Áp dụng nguyên Iv kẹp dễ dàne ta thấv kết quà V a e IR Kết chứna, tò ràng hàm mũ tăng nhanh hàm luỹ thừa Ví du 1.18: Tính lim — í/e ÍR ỴỊ I Giar Đặt «0 = £'(| 0) (3/7 => ì ~ £ < Ií„ < I < / + e ) Vì dãy tăng (V/7 > Vậv lim => / - ịi/^^ - / | < 6‘) = / = Sup(u^^) n e N M— Áp dụng kết phần dãy {-//„ )■ Định lý 1.3: 1, Dãy {ỉ/„| tăn^ khóiỉíỊ bị chặn dần đẻn + 00 , Dãy giám khóno bị chặn cỉáìỉ í1ên - Ơ'J ChurrnịT I : (ĩiới hạn cua dà\ sô 41 Chimg minlr >A) {//„} khơng bị chặn irên: (V/í ;->(J) {3«„ I=> => ir^ > //„ > /1) lim Vì Ịz/J tăng nên ( V/7 > II = +0 • / Á p d ụ n g k ế l q u a \ ói dà} Chủ ý a Nếu ịiijị lăng thi |//„Ị hội tụ = + D I! -»'/ lăng hội lụ dến a íi = S u p { u J n e M b Nếu < a) (V/7 e N =í> c Nếu tăna dã\ bị chặn bơi /í,, Ví dụ 1,19: Chứng minh ràna, dãv jí/^^Ị = 2n + \ 2/7 + /?+l (2;? + 1)(2/7 + 2) u„ < n ~ - < n+1 Vậy {i/„| tăna bị chặn irèn nèn hội lụ Ví dụ 1.20: Tìm cicVi hạn cua dã} số cho dạng ấn sau: ,Y _ - _v, >3 2.V, , Giai' Trước hết dùng qui nạp chứim minli V, > v « x, > hất dăne ihúx' dúnii với n - Giả sử > ta chứna minh Vj I >0 ì Thật vây Chứng tở A‘„ > I =: -——^ 2x, \fn > (do tư số \'à mầu số dương), 42 Giáo (rình Giai tích ỉ Mặt khác, dựa vào bât đăng thức Cơsi (Cauchy) thì: x„ = ^ ( - ^ + x„_,)>>/5, Vn X.n-\ Suv > hay > — Cộng vào vế với X,, ta có: X 2x„ > — + x„ hay 2x„ > 2x„^, Chứng tỏ dãy |x „ Ị đơn điệu giảm Kết hợp hai kết suy , V1 X liiTiA-,, =a>^JÌ + x,^.| , 5+ = ——^ nên lim X = lim ——^ 2x„_| 2x„_, , + a' l ta có = 2a \a ữ > Vs Giải phương trình a ta tìm = Ví dụ 1.21; Cho dãy |w„}, {v„Ị thoá mãn điều kiện: Iimw„ = limv',, = 0, /í->OC {vì giảm ngặt, lim — H-*T \ĩ Chứng minh lim — = / : n —>X! \ì n G i a i ; Từ định nghĩa ta có; (V > ) (3/7(1 G N ) {\fn > A?o Lấy p, n e ỈM cho p > n > no có; - V i ] < ^ -: - 'v ) < £•), Chương I: Giói hạn cua dãy sn 43 Cộng vế với vế ta nhận được: Cho p — >• + C O vói n co định n > n,) Vi {í’„Ị RÌảm ngặl dần nên v„> 0, nên nhận bất dăng thức: ị w „ I giảm vì; ( ' ’„+! - W/,+ l ) - - l Vn hay u„< v„ {w J giảm hội tụ (giá thiết) => Chứng tỏ|zy„}tăng bị chặn irên bời v,| |v,,}giám bị c h ặ n d i b i U|) Ta suy lim i/„ - /|, lim //—>cr Vì ]im(v„ - «„) := /ỉ— /| = /, /, = / Theo ý thứ hai mục 1.3.3 suy w„ < w„„| < /< V’„^| < í Ví d ụ 1.22: Chứng minh ràng {t'„Ị = 1+- > h ộ i tụ /7 Gìài: Trước hết chúng la chi {ơ„Ị tăno Thật theo cơng thức nhi thức Newton có; 44 (iiáo Irình Giai í ích I e = I i ì" - = 1+ 1+ ' "í ” n I n ^I-t i- — kĩ ')! nịn I) (/? - / ; + ] ) [ Ị II 1.2.3 A/■ ^ n / k - n f ĩ , n n n -n J I + — h ) • n \ • - - ỉ V ' - - V J \ — -n Suv n > 1+ i = n+ \ 1+ 1+ 2! ' 1i V - ' ' -Ị- -Ị_ ìĩ + \ J í 1 1 n\ V n + \ J l /7 + 1j n + {»+1)1 /7 + Nhận xét: e,i- nhiều hon e„ số hạng dương từ số hạne thứ trở số hạna e„ nhỏ so hạng tương ứna e,vH (vì /7 /7 +1 ) Su}' e„„| > e„ Ngoài c„< + — + —+ ■•• + — < + —+ — + ••■+ —^ ">! 3! n' Như vậv •^ C'n < + —2 = Ví7 Dãy«' tãneCr bịĩ chặn Irên nên hội • - tụ Gọi giới hạn ị e ) số e : lim = e e > (2.13) /7 vSau nmiừi ta hay dìiníi số c làm số cúa loe,arit kí hiệu ln.v(đọc lơgarit tự nhiên cùa X hay lơaarit Nêpe x) Dưới ta sị chứng minh e số vơ ti % Ví dụ 1.23; Chửne minh ràng dày{e',Ị với c^' - hội tụ e Ấ-0 k ! Giới: Vn € N \ lim /7- > o c đặt = el + lim - ^ = n~>y: n,ỉl\ rỏ ràníi dãy {c\ ì lănu naặt Churm^ỉ I : Giói hem cua dày u) 45 Mặl khác la có: ^ ^ _! L " {/7 + ) ( / ? ' h ) ! // //! J J _ _ ( n + 1)! (/7 + l)(/?4 1)! ^ n n ' Iì{n +] ) ( n + ])] ■=^ Ịv’,, Ị e iá m ngặt, T|'U'Ĩ'C hết ta clìứne, m in h CỂ 6„ > a Chứng tó ràng a„ > h„ >( ) , \ / n e N b Biểu diễn x„ I qua Y„ c Tính x„ I - x„ chửng tỏ | x j đem điệu Hãy tìm limx,, 1.10 Chứng tỏ dãy số sau có g iớ i hạn hữu hạn n nl Giáo Irình Giai lích I 56 1.11 Chứng tỏ dãv so sau có aiới hạn +QO a = 1+ —^ + •■• + X ‘n u b- , ^ , = lo g „ ^ + l o g „ ^ + ■• ■+ lo g „ «+1 _ n a > 1.12 Tìm giới hạn dãv sau: a x„ = — + Vo= c v„(3 + A V i) + = -Vo = d + x„_| {/^7 > 1) T = ^ V, " '2 g - A -| = -Jã a > ' ’ ' 2 a-„_, 1.13 Chứng minh rằníì mộl dãy dưn điệu có £Ìới hạn co mội dãv có giới hạn 1.14 C hứng minh ràng ba dã\ {.V.„^|Ị hội tụ th i d ã y | a'„Ị h ộ i tụ Có thể thay số số tự nhiên k > khôna? 1.15 Nếu ,v„ -» a (hữu hạn hay vỏ hạn) có thề nói lim ■'•II- I ỵ Số phức 1.16 Cho tập Eỉ F, C3 H c ỈR’ xác định bời CÍÍC hệ thức sau: p : E: X -> ' = , A' -V r- + > ' A' G : v-^ - x j ' - + > ' = Chứng minh E n F' = G n T F : 2xy + T '+ H : a .v - x - 11 =3 r = n 57 ( 'hương I : Giới hạn cua cìãy sơ 1.17 Có tồn (r,.r;,)e c ' đ ê ihoa mãn điều kiện khôns? -1 + - : = - i ' ■’ = r i ' + "2^ == 1.18 Tìm tất c a c c { \ y : ) e C' sa o cho.T V z khác đôi thoa mãn; ,v (.v - I ) + v r = ■( V - 1) + 2,v_- = z ( : - I ) + 2.V y 1.19 Giải hệ phu' 'nu trình \ ứi ân (x.\',z) € C ’ vv = r I T == -Y -.V = V 1.20 Cho ánh xạ [': c -> c thoa V.v e ÍR- / (-V) = V ^ ^2 V ( r r )e Chửng minh ị,/'(r + r') = / f r ) + / ( r ’) = ,Ar),/U-') c Vz c / (z) = r V/ G f (:) = z 1.21 Giải phươnc Irình với ân số z e C ; 2r + = + 2/ 1.22 Xác định tập số phức r c cho r = /■() J /-(,G ỊR 1.23 C ho ( ‘ + (1 - i)z - 2/ = 0, biết phương trình có nghiệm ảo 1.29 Giải hệ phương trình với ẩn sổ (X, y z)6 C ' -V = r (x + ; ( ^ ' - y ) = 819 {X - y)(x^ + y - ) = 399 1.30 Chứng minh với a e IR a b 1+ iiga 1+ ilịrna 1- itga 1- itỊỊna + z"” = 2cosm a z + - = cos a /'(.i-,) > /( A '0 ) v / ( x ) giảm n s ặ l nếu: (VXị .V, G Y) (,V| < A'_, => ,/ (.V|) > / (.v_,)) Ngưcri ta nói r n g / ( x ) hàm số đơn điệu nỏ lăng giảm f ( x ) đơn diệu ngặt tàna, ngại giam ngặl £ Hàm số hị chặn Hàm số /'(x) bị chặn X tồn số A cho: (V,v e =ỉ> ,/'(x) < / í ) Hàm số / ' ( \ ) bị chặn X tồn số 13 cho: (Vx e X => f \ x ) > B ) Chif(/ng 2: Hàm số mộl hicn vó 61 Hàm số / (x) bị chặn Ironu X tồn số A B cho: (Vx e A' => B < f { x) < / í ) H ệ quả; Neu A so chặn Siip f {x) = cua /' ịx) troim X ihì; / {,v) v e A ' | < A X N ếu B số chặn cua 7'(.v) irona X ihi; ỉ n / f { x ) = ỉnf{ f ( x ) x e X \ > B X F H àm số hợp Cho / : X ÍR với ị'{X) c Y Naười la gọi ánh xạ; IR ii; }■ g( f{x)) hàm số họp hai hàm /■ vá g thuờng kí liiệư v= íĩ( / (-v)) Xe X Đ ịn h lý 2.1 Nêu f íi : ^ IR bị chặn írén I' + ỵ bị chặn đóng thời: Sup{ f { x ) + g{x)) < Sup f ( x ) + Sup ^(x) ,Y Nếu f \ g : X ÍR hị chặn trèn khơng àm f Ịị bị chặn đồng thời: Sup{ f(x).ịỊ{x)) < Snp f ( x ) S u p g ( x ) X Nếu f : V V IR hị chặn írởn /ì IR* //;/ Ằf bị chận đồng thời: SupK f { x) = kSiip f { \ ) X X Đê 7': X -> IR bị chặn dirói điều kiện cần cht - bị chặn đó: ỉ n f f ( x ) ~ - S u p ị- / (x)) A' A' Chứng minh: Rõ ràng f {x) + ị ỉ ị x) IR thoả mãn: V x j ' e IR ( / ( x ) - / ( > ^ ) ) ( í r ( x ) - Ằ ^ ( > ’)) = Chứng minh hai hàm số số Giải: Giả sử a ,/)€ IR f { a ) * f{h) ta chi số Trước hết có hệ thức \f{a)-f{x)){g{a)-g{x)) = ữ Vx6 ỈR:< ịf{h)-f(x)){g{h)-g{x))^Q Trừ vế để ý đến g(a) = g(b) ta suy ra: (/{ " ) - f{h)){g{a) - ỉỉix)) = => }ỊÌx) = gia) Ví dụ 2.2; Tìm hàm số /(.v) xác định iR cho: xf {x) + /(1 - x) = x V 1, Vx IR Giải: Giả sử tồn ý \ x ) , ta thay X - X vào hệ thức cho nhận được: (1 - -v)./(l - v) + f \ x ) = - 3x + a “ - v^ Suy r a : ( x ' - x + l ) / ( x ) = ( x ' - x + 1)’ => /'(x) = x ' - x + l Kiểm tra ta thấy f ( x ) = x ’ - X +1 thoả mãn Ví dụ 2.3: Cho ị \ x ) = x g(jr) = l - x [0,1] Kiểm tra tính ngặt bất đẳng thức: S u p ( /(x) + ^(x)) < Sup f { x ) + Sup Ịỉ(x) [0 , 1] [0 , 1] [0 , 1] S u p (/(x )íf(x )) < S u p /(x )S u p Ấ K ^ ) [0,1] (0,1) [0,1] (iiáo Irình Giai lích I 64 Giải: Sup / '( x ) = Sup,í({x) = 1; [0,1] [0.1) ĩ , Uỹự{x)g{x)) [0,1] S u p ( /'( x ) + ^í,^(.Y)) = S u p I = !; ịn.iỊ ||.,|Ị = S u p (.V - V-) = ị 10,11 Chứng tỏ tính ngặt bất đăng thức đuxĩc thoả (do 1< - < l ) 2.1.2 C ác hàm số th ô n g dụn g A Hàm luỹ thừa C h o IR Hàm luỳ thừa với số mũ or đưcyc kí hiệu p, ánh xạ từ ỈR* vào ỈR , xác định sau: Vx IR’ /^ (,r) = y'" Nếu a > , người ta coi P{ 0) = Ncu a = 0, coi ràna Đồ thị p„(x) cho hình 2.1 y Hình Chú v: Hàm luỹ thừa mớ rộng miền xác định fR , (.'hiroiiíỊ 2: ỉìàìiì \a hiẽh sn 65 B ĩỉà /n m ũ co số u Xél í/e IR ' i!; llain inũ CO' -,0 a kí liiẹu e\p_,.v gọi ánh xạ ùr [R \à o íR , \ac (iịnli iihir :u.Li: V.v ÍR exp^, x = í/' Đồ thị cứa V= a ' c I k ) b(TÌ h ì n l i c H àin lơqarií co so a Xél u e fR, Ịl' Ị L.iìi lơiỊarii Cif so a kí hiệu lù log„ gọi ánh xạ nuirợc vói ái!:' \ạ CX|' Nhu \ \ : V (.v ỈR -R : \ loy XC>.\=II' Đ t h i c u a h i r i s ô V - l o e , V CÌK' h o i h i n h , 6» Hình 2.3 Tính chấl CLUI liám số lòuarit: lo g j- - - lo g „ AT = l ( ) g „ V l o g „ ,v V x V € ir ; lo g ,,- Vư ỉ o a / .v" IR Va,he ỈR’ = log_, - V - l o g „ V = a l o í-u (?, A' log,, \' = log,, í/.log^, V Giáo lành Giai tích ỉ 66 Vx e IR*, log I X = - lo g , X í/ Chú ý: Sau người ta thưòng lấy số a số e gọi lơgarit Nêpe hay lơgarit tự nhiên X, kí hiệu y = Inx suy In Ina Người lge = InlO ta tính gần (? 2,718281828459045 0,434296 D Các hàm số lượng giác Các hàm số lượng giác: sinx, cosx, tgx, cotgx xét kỳ chương trình phổ thơng trung học Dưới nhắc lại số tính chất chúng T ính chất: sinx xác định R , hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kì T = ;t bị chặn: -1 < sinx < 1, Vx G IR cosx xác định IR, hàm số chẵn, tuần hoàn với chu kì T = ;r v bị chặn: -1 < cosx < 1, V x e IR tgx xác định R \ { — +k7T,ke'2 }, hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T = 7Ĩ nhận giá trị khoảng (-oo,+oo) cotgx xác định IR\{ k ĩ,k è2 Z }, hàm số lé, tuần hoàn với chu kỳ r = ;r nhận giá trị khoảng (-oo.+co) E Các hàm số ỉượng giác ngược Hàm arcsin ánh xạ ngược sin: Người ta kí hiệu arcsin: [ - U ác sin x) Vậy ta có: - — n n [ - ,1 ] hay >■= arcsinx (đọc 67 Chương 2: Hàm sổ hiến so - u ' v>’e 7T n s / 2) , }’ = arcsin X X = sin >• C húỷ\ a V x e -1,1 sin(arcsin.v) = V b f \ x ) = arcsin(sinx) !ả hàm lé tuần hoàn với chu kỳ I n cho dạng: X e 7Ĩ - X Xe n ĐỒ thị y = arcsinx cho hình 2.4 (đường không liền nét) Hàm arccos ánh xạ ngược co s; [0.;r] arccos: [-1,1 -> 0,;r hay V’ = [ - ụ i ] kí hiệu: arccosx (đọc ác côsin cúa x): Vx e [-1,1 , v>' 0,;r , }’ = arccosA' o X = c o s y Đồ thị hàm số y = arccosx cho hình 2.5 (đường khơng liền nét) Chú ý: a Vx g [ - 1,11, cos(arccos.v) = X Giủo trình Gìủi íích 68 b ^ (x ) = X c Vì g(x) = arccos(cos x) hàm số chằn tuần hoàn với chư kv 2n V e Q ,7 Ĩ n = s in ( a r c s in x ) = X — - a rcsin X ( 1) / Hàm arctg ánh xạ ngược t g : hiệu arctg: ỈR-> ( 7Ĩ 7t n 2'2 N -> R, kí , hay y = arctgx (đọc ác tang x) Vậy ta có Vx ỈR, Vy - 7T ’ ’2j' Đồ thị y = arctgx cho hình 2.6 (đường khơng liền nét) Chú ý: a Vx e ÍR, tg(arctgx) = X 7T ì ' ' b /?(x) = arctg(tgx) xác định R\{ — + n7L\\h hàm sơ lẻ tn hồn với chu kỳ n h[ x) = X, X 69 ( 'hư(/ng 2: Hùm sơ mộí hiên sỏ Hàm acrcolg ánh xạ neược cua cotg: (0,7r) ^ hiệu; arccotg : ỈR->(0,7t) ha\ V ÍR kí = arccotgx Vậv ta có Vx e IR Vv eịO.Tĩ), V = arccotíiY o X = cotg>' Đồ thị hàm y = arccotax cho hình 2.7 (đường khơng liền nét) Chí/ý: a Vx e R, cotg(arccotgx) = A' b /c(x) = arccotg(cotgx) xác định ÍR\/rZ, tuần hồn với chu kỳ /ĩ k{x) = x xeiO.n:) c Vì 7T ì z / f T — -arccotg(cotítv) € (o./r) cotg —-arctgx = tg(arctgx') V— nên ta nhận công thức sau đây: arct«V + arccotgx = —, Vx (2.2) Người ta gọi hàm số luỳ thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit, hàm số lượng giác hàm số lượng giác ngược hàm sô sơ cấp Giáo trình Giai tích I 70 F Các hàm hypebơlic Hàm sinhypebôlic ánh xạ sh: ỈR IR xác định sau; Vx e IR shr = —( e ' - e ' ' ) (2.3) Hàm côsinhypebôlic ánh xạ ch: IR -> ÍR xác định sau; V xelR , chr = -(c " '+ e^') (2.4) Hàm tanghypebôlic ánh xạ th: IR -> ỈR xác định sau: _ V xeR , shx ' —1 =^ =^ chx e +1 Hàm cotanghypebôlic ánh xạ co th ; IR’ V x e R*, cothX = - ^ ^ = — = ( shx tlxr c - ' - l (2.5) IR, xác định nhir sau: ) Dựa vào định nghĩa trên, ta chứng minh tính chất sau hàm hypebơlic Tinh chất: shx, thx, cothx hàm số lỏ cliT chằn Vx e IR,chx > Vx, a, h, p, q e IR, hàm hypebôlic thố cơng thức sau đây; a c h ^ x - s h ‘x = => H y p e r b o l ^ - = cỏ phương trinh dang a h tham số là; X = cichí y = bsht, / gíR b ch(a + h) = chí/.ch^ + shashh\ sh(a + h) = sha.ch/9 + shh.cha ch(ữ - b ) = ớia.chh - shí/.shí); s h { a - h ) = sha.chh - shh.cha (2.7) Chương 2: Hàm số hiến vơ 71 ứìa + thh , , iha-íhh th{a + h) = - ■— : l h{a- h) = + Ihí/.thA ' 1- thí/.th/9 c c h ia = ch‘í/ + sh’a = 2ch'í/ -1 = 1+ sh'a sh2í/ = 2shí/.chfl; thí/ th a = ; ch'ơ = -(ch /+1); s l r a = —( c h a -1 ) 1+ th a 2 ch/7 + ch^ = 2ch —- ch chp - chq = 2sh sh E zR shp + shq = 2sh ^ ^ ch sh/7 - shq = 2ch ~ ( 2.8) (2.9) (2.10) sh —- Các công thức (2.7) đến (2.10) tương tự cơng thức lượng giác Vì lẽ hàm số có tên gọi sinhypebôlic, côsinhypebôlic, Đồ thị hàm shx, chx cho hình 2.8, cịn đồ thị hàm thx, cothx cho hình 2.9 Hình 2.8 72 Cììáo írinh (ììai ú ch I G Các hàm Itvpebỏlic n gu vc Hàm Acsinhvpebôlic ánh \ạ niiLrọ’c cua sli: ÍR -> iR diạrc kí hiệu: argsh : ÍR —» IR V(.Y r) IR' y =■ai Lísliv co V = shv Hàm Accôsinhypebôlic ánh xạ nuirợc cua clì; FR ->[L fco kí hiệu: argch ì + o c ) [R^ h a y ; V.v e [ l + x ) V r e f R r aruclrv V = chi' Hàm Actanghypehôỉic ánli \ nairợc cua ih: ÍR ^^(-1.1) kí hiệu: argth; (-1.1) ^ ỈR V.v e (-1.1) V\ € ỈR r = argtliv c;> V == Ihv Hàm Accôtanẹhypebôlic ánh \ ntiuực cua coih ; IR^ kí hiệu: argcoth ; ÍR \[-IJ] -> fR* hay Vx e 1R\ - K Ĩ , Vj’ e IR* y = arucoitiv o ,v = coihi' H Biểu thức logarỉt hàm ỉiypebơỉic ngược Trước hết ta thấy nRav rằníi arashx hàm số Ic \ vì: V’ = a r g s l o suy t'"' - xc' -1 = e' > nên ứ' A' = s h r V = — ' -(.' ■) - b ± v/? - 4í/c' 2u = V + V l + ,V' Vậy V.v e ỈR argshx = ln(x + V1+ -v’ ) V xe L+co).Vve IR^, Vì C' > nên lấv: = arucliv V = chr (2 11) Chinrni' 2: Hàm sơ /IIỘI hiên \(ì 73 e ' = X \/.v ■- :-5' Va- e [ + /;) argtlư ln(.v + Vx’ -1 ) Í2.12) Va' e (-1.1) Vv e R < r > A' = - /\rLíth.v .V= thi' c' - c " ' ,, 1-^A' 1 + X -— ^— — vO A ' ( e" + I) = C'"' - 1o ơ' = - y = —!n —■ — c - ' + c ' ' 1-A - Vậy V v e (-l.l) argthx = ( ■ - x ) - A- 4, V x e fR \[-l,l] argcolliv = armh - = ~ ,v l n (2 14) V - I Đa thức, hàm hữu ti Ánh xạ P; X -> [R dLrợc aọi đa ihức chi tồn n e N và; (aịi.a, a „ ) e ỈR"^' cho P(x) = ỵ^ii,x' Vx G X (2.15) I Nếu c/„ ihì Iiauủi la nói ràng da thức có bậc ỉà n viết: d e g ? ( v ) = /7 Ánh xạ /': X [R dirọc iiọi hàni hỮLi li lồn hai đa thức: p, Q: X -> ÍR clio V.v e \\(J{x) f { x ) = P{x) Q{x) F{ y) Gọi /(.v) = — ■ ■ hà m hiìu tỉ ihirc SỊI' klii chi khi: Ỡ(.0 degP(x) < degỌ(x) Hàm hĩru ti tối eiản phân thức có dạng: - — ^— ——— Y ( x - a ý ■ (2.16) { V " + / V + Í/) k e N* í/, /; í/ /í B C' số (hực vá / r - í/ lớn, Gọi B - lân cận cua - co khoane Q^.(-oo) = (-CC.-B) với lị > vả lớn Cho f xác định ()■ lân cận điêm a (có thè khỏnc xác định lại a) Ta nói rằii / có giới hạn / X dần đcn a (Ví,- > 0) (3Q,^(íO c A') (V.Y \ {c/Ị => ■/ (.v )-/| < Í-) Ta nói rànu / có giới hạn +Í \ dần đến a (VA > 0) (3Q„(í/) c X ) (Vx e Q„(a) \ [a] => f ( x ) > 4) Ta nói rang /' có RÌỚi hạn - c o X dần đến a - /■ có giới h n +CO \ d ầ n đ ến a Ta nói /■ cỏ giới hạn / X dần đến + oo (Vi- > 0) (3Q.|(+oo) c A') (Vx e Q.|(+oc) =t> I/'(.v) - / < c) Ta nói rằns / có giới hạn / X dần đến - co (V í; > ) (3Q /((- qo) e A') (V.v e í 2,,(- oc) => I/'( y) - / | < ,v) T a nói rằne /' có a,iới hạn 4- cc X dần đến + cc ( V / í > ) ( Q „ ( + c c ) c : X ) (V.v e (+05) ^ /'(.Y) > /1) Nói /'cỏ aiới hạn - co X dần dến +OT chi - / c ó g iớ i h ạn là: -Ị- » k h i \ d ần đ ế ii + co Ta nói ràriR / có giới hạn !à + x X dần đến -c o nếu; (V/1 > 0) {3Q„{-co) c X ) (Vx e i-co) => f { x ) > A) ChiarníỊ 2: Hàm \ị lììơi hiên 77 'I 'a n ó i r n g / ' c ó gicVi l i n ■■/: k h i X d ầ n đ ố n -co v chi - / có giới hạn + o; X dằn dến - X Khi /'(-V)có giới hạn / ta nói ràim /(.v) có giới hạn hữu hạn Ngược lại f ( x ) c ó giói hạn ± la nói rànu có ẹió’i hạn vô hạn B Định nghĩa giớ i hạn phía Ta nói ràng f có e,ió'i hạn Irái klii X dần đcn a /| nếu; (Vẵ’ > 0) ( / / > 0) (3Q ,.(ơ) c ,\') (V.v : < a - X < ì] =í> I / '( v ) - / | | < s ) T a nói /' có ciới hạn phái X dần đốn a L ( V f > 0) ( /; > ) (V.v : < Y -íí < /; => Ị / { v ) - / , | < e) Nếu / có giới hạn / \ dần đến a đu’ợc kí hiệu là; lini /'(.v) = / t \ x ) x —*u x-»i/ l 'Fưo’ng tự ta có kí hiệu: l i m / ' ( y) = + X i.-X ); lim / (.v) = / + x - c o h o ặ c lim /'( r ) = /.-t-co ,-co Người ta kí hiệu /'(.v) có uicýi hạn trái \ dần đến a /| (/, đuực gọi giá trị bên trái cua hàm số a) ỉiin /(.v) = /(í/ )= /| * >í/ 'Pu-ơng tự lim / ( A) = j [(í ) - Ạ A >í/ ‘ Hệ quả: Điều kiện cần đủ dế ỉim/(.v) = I là: * \ -^íi f { a ) = f { a ) = ỉ ( 7) 2.2.2 Tính chất hàm có giói hạn Á S ự liên hệ với dãy số Đ ịnh lý 2.3; Đế f(.\) cỏ ẹ/Ó7 hạn l X dần đêìì a điểu kiện cần đủ m ọi dãv {w„} X hội tụ a lim /(/í„) = / Chứng minh: C’ho f \x ) ì 11^^ -> ) (3 > ) (Vx : < Vì lim u = a ^ 3«o(7), ^ n > ' »-»cc Như A' - a (V ễ- > 0) (3«(,) (Vn > < / / => f { x ) - l < ỉ:) w„ - í/ < ?; => I/'(w „)-/| < í:) nghĩa Ịim/(//„) = / /ỉ— Ngược lại, cho [ u \ - ^ u mà lim /'(//„) = / có iim /'(x) = / /;— ,v—»í/ Nếu khơng, tức (3^ > 0) (V > 0) (3x) ( r - a s ) nghĩa V/7 N lây ?] = — n đê II,, - a < —và /7 /(//„ ) - / l > Rồ ràng limí/,, = a lim f { u j ^ l vô lý Chứng tỏ phải tồn n —*v lim f { x ) = ỉ X —>u B Tỉnh g iớ i hạn Định lý 2.4: Nếu lim f { x ) = / ì duv x-^a Chứng minh: Định lý hệ định lý tính giới hạn dãy số định lý vừa phát biếu c Tỉnh bị chặn Đ ịnh lý 2.5: Nếu lim/(A') = / f { x ) b ị chặn m ột lãn cận x-*a đủ bẻ a Chứng minh: L ấ y £ ' = l, ( ;; > 0) ( V x e Q ,^ (a )\ {í/} => f { x ) ~ l (/ ' Nếu c < l lán cận đu bé a : c < f {x) Neu l < d ìán cận đu bé a : /'(x) < d Nên c < ì < d lân cận đu bé a : c < f ( x ) < d Chứng minh: Lấy £ = ! - o O, (3 /7,) (Vx e (a) \ {«} => |/(.v)- l \ < l - c = > c < f ( x) ) Lấy £ = d - h i n , ) { y x e Q , Ạ a ) \ { a ] ^ \ f { x ) - l \ < c l - l ^ f { x ) < d ) (3/7 = m in (ụ , /7, ) ) (V x € Q ,^ (ứ )\{í/} í ' < / ( x ) < í/) Chú )K Định lý khơng cịn thay bất đẳng thức ngặt bất đẳng thức không ngặt Đ ịnh lý 2.7: Giả sử lim /(x ) = / Khi đỏ: V—»(/ Nếu c < f { x ) lân cậu a ỉhì r < / Nếu f { x ) < CẦ lân cận a thỉ I < d N ếu c < f { x ) < d lân cận a c < I < d N hờ vào lập luận phản chứng, thấy định lý thực chất hệ định lý 2.6 Định lý 2.8: (Nguyên lý kẹp) Cho ba hàm sổ f , g , h thoả mãn điều kiện: l / ( x ) < g(x) < h(x) X; 80 Giáo írình Giai tích I lim/(.v) = lini/í(.v) = / Khi dó \~>ii ( \ f e >0 ) (3/7,, ?70 (Vx; < •V- a h lim^M.vì = / \ —>íi Chiniịr núnli: f ( x ) - ì < ỉ:) 0< x ~ a Lấy r] - Min( | / ; (Vx e -V : < V / ( ■ V ) - / < ỉ: I - Í/Ị < // => < h ( x ) - ì < í: = > -s < f { x ) - l < g ( x ) - / < h { \)-ì < e chứníỉ to limẤ'(,v) = / A ~ > il Chú ý: Định lý đựơc chứne minh tương tự trường hợp a - + C O , a = -c o Neu lân cận cua a có Định lý 2.9 lim f(x) = +oo lim iíÍA ') X —>a x~*a = f{.\ ) ) (3 , >0) (Vx: < | x - a | < | => I/( x ) - /| I < —) (3 , > )(V x : < x - a Gọi ĩ] = Mifì(rỊ^JỈ2)' 0< x ~ a a Theo giả thiết: ( Ve > 0) (3 > 0) (V x: < \ x - a