¬
TS VŨ VĂN KHƯƠNG (Chủ biên)
TS NGUYEN SY ANH TUAN
ee
GIẢI TÍCH I
PHAN I
\
Trang 2LỜI NĨI ĐẦU
Để hồn thành được mục tiêu đào tạo của Bộ Giáo dục và Đào tạo: Đào tạo các cán bộ kỹ thuật có trình độ đại học để phục vụ sự nghiệp công nghiệp hoá và hiện đại hố đất nước để hồn thành việc biên soạn giáo trình giảng dạy theo chương trình khung Giáo
dục đại học đã được Bộ Giáo dục và Đào tạo qui định, Bộ mơn Tốn Giải tích Trường
Đại học Giao thông vận nội biên soạn bộ Toán giải tích gồm ba tập:
Tập 1: Tốn giải tích I (phần 1) gồm bốn chương (Chương |, 2 do Tiến sỹ Nguyễn Sỹ
Anh Tuấn biên soạn Chương 3, 4 do Tì ÿ Vũ Văn Khương biên soạn):
Chương làm số giới hạn liên tục
Chương 2: Đạo hàm và vi phân hàm một biến
Chương ích phân bất định Chương ích phân xác định
áp 2: Tốn giải tích I (phần 2) gồm ba chương (Chương 5, 7 do Tiến sỹ Vũ Văn Khương biên soạn, Chương 6 do Tiến sỹ Phạm Hồng Nga biên soạn):
Chương 5: Hàm nhiều biến Chương 6: Phương trình vi phan Chương 7: Phương trình sai phân
Tập 3: Tốn giải tích II gồm năm chương (Chương 8, [1 do Tiến sỹ Vũ Văn Khương biên soạn, Chương 9, 10 do Tiến sỹ Nguyễn Sỹ Anh Tuấn biên soạn, Chương 12 do Tiến sỹ Phạm Hồng Nga biên soạn):
Chương 8: Lý thuyết chuỗi Chương 9: Tích phân bội
Chương 10: Tích phân đường mặt Chương L1: Lý thuyết trường Chương 12: Hình học vi phân
Bộ Toán học cao cãi này nhằm cung cấp các kiến thức toán học cơ bản của Giải tích tốn cho các kỹ sư và cán bộ kỹ thuật Chúng tôi đã xây dựng chương trình chọn lọc, mang tính kế thừa các kiến thức đã được học ở bậc Trung học phổ thông Nội dung của ba quyển toán này chứa đựng đầy đủ kiến thức toán mà Bộ Giáo dục và Đào tạo đã qui định cho một trường Đại học kỹ thuật Ngoài việc biên soạn lý thuyết từng chương ngắn gon, đầy đủ, có tính khoa học cao, chúng tơi cịn biên soạn phần bài tập khá phong phú
và công phu nhằm giúp cho sinh viên tự luyện tập và kiểm tra kiến thức tiếp thu một cách thực thụ của mình
i ốn sinh viên nắm chắc những kiến thức toán học cơ bản này để có thể tu tin bước tiếp va nam bat các kiến thức toán học tiếp theo
Vì thời gian viết Bộ giáo trình này hơi gấp gáp nên khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong các bạn đọc, các đồng nghiệp góp ý kiến để chúng tôi sẽ chỉnh lý, bổ sung ở lần tái bản sắp tới Mọi góp ý, chỉ bảo của độc giả xin gửi theo địa chỉ: Bộ mơn Tốn Giải tích,
Trường Đại học Giao thông vận tải, phường Láng thượng, Đống đa, Hà nội Xin chân thành cám ơn
Trang 3MỤC LỤC
Lời nói dầu 2
Mục lục 5
„Chương 1 Hàm số, giới hạn, liên tục 7
1.1 Số thực 1.2 Ham số một biến sỏ thực 1.3 Giới hạn của hàm số một
1-1 Sự liên tục của hàm sô một biến Bài tập chương l
Dap so bai tap chuong |
Chuong 2 Dạo hàm và vi phân hàm một biến 52 2.1 Dao ham va ví phân cấp mot
Đạo hàm va vi phán cấp cao
Các định lý về giá trị trung bình
Khảo sát sự biến thiên hàm số
Đáp số bài tập chương 2 Chương 3 Tích phân bất định 3.1 Nguyên hàm và tích phân bất định 3.2 Tích phân một số lớp hàm tai Bài tập chương 3 116 Đáp sỏ bài tập chương 3 H8 Chương 4 Tích phân xác định 121
4.1 Các bài toán dẫn đến khái niệm tích phân xác định z„If21
4.2 Tích phân xác dịnh „123
4.3 Công thức Niutơn-I.epnit 126
4.4 Các phương pháp tính tích phá - 130
4.5 Tinh gan ding tích phân xác định 134 4.6 Tích phân suy rộng loại 1 (miền lay tich phan vo he Re 138 4.7 Tích phân suy rộng loại 3 144
4.8 Ứng dụng của tích phân xác định se)
Bài tập chương 4 158
Đáp số bài tập chương 4 165
Tài liệu tham khảo 169
Trang 4CHƯƠNG 1
HÀM SỐ, GIỚI HẠN, LIÊN TỤC
1.1 Số thực
Mục này sẽ nhắc lại các khái niệm về tập hợp, ánh xạ, tập hợp các số thực và giới hạn của dãy số thực
1.1.1 Tập hợp
a) Tập hợp và phần tử
ập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học Tập hợp được cho hoặc bằng cách liệt kê tất cả các phần tử của nó hoặc bằng cách chỉ rõ dấu hiệu các phần tử của tập hợp với các vật không phải là phần tử của nó
Nếu phần tử ø thuộc tập hợp A thi ta viét a € A và đọc là a thuộc 4; trong
trường hợp ngược lại, ta viết a # A ( hoặc a €4) và đọc là a không thuộc A Để chỉ tập hợp A gồm các phần tử a,b,c, -, ta viết A = {a,b,c,- }; còn để chỉ tập hợp 4 gồm tất cả các phần tử có tính chất ø, ta viết : A = {a| a có tính chất o} b) Tập con
Tập hợp Ö được gọi là tập con của tập hợp 4 (ký hiệu là B C A hoặc là A 2 B) nếu mọi phần tử của tập hợp Ö dều là phần tử của tập hợp 4
Néu AC B va BCA thi A= Ö Từ định nghĩa này, ta suy ra:
c) Tập rỗng: Tập hợp rỗng (ký hiệu là 0) là tập hợp không chứa phần tử nào d) Các phép toán về tập hợp
Cho A, B 1a hai tap hop
Gọi giao cia hai tap hop A va B, viét la AN B va doc 1a "A giao B”, là tap hop được định nghĩa bởi :
ANB = {x |x € A vax € B}
Gọi hợp của hai tập hợp A va B, viét la AU B va doc 1a "A hop B”, là tập hợp
được định nghĩa bởi :
AUB = {x |x € A hoac z € B}
Gọi hiệu của hai tap hop A va B, viét 1a A\ B va doc 1a "A hiéu B”, là tập hợp
được định nghĩa bởi : ey
A\ B={x:2€ Avar¢ BY
Trang 5Nếu BC A thì A\ Ư được gọi là phần bù của tập hợp B đối với tập hợp 4 và ký
hiệu là CA
Các phép toán giao, hợp va hiệu về tập hợp có các tính chất sau:
(ANB)NC=AN(BNC) (AUB)UC=AU(BUC)
(ANB)UC =(AUC)N (BUC)
(AUB)NC =(ANC)U(BNC) C4(BUD) =CaBNCaD
CA(BnD) =CABUCAD e) Tich Décdc
Cho A, B 18 hai tap hợp khác rỗng Với mỗi a € A va véi mdi b € B, ta lap cặp (a,b) gọi là cặp sắp thứ tự: tích Đẻcác của A và B, ký hiệu là Ax và đọc là”A
tích Đẻcác " là tập hợp được dịnh nghĩa bởi: AxB=((ab)|lae A, b€ B}
Ví dụ 1.1 Chứng minh các bao hàm thức sau
a) ANBC AUB;
by Neu AC X;BCY thh Ax BCXXY Giải
a) Giả sử z€ AnB => z€ A vàz€ B=>+€ AUĐ Vậy An BC AU8
b) Giả sử (z,y) € Ax BÐ >œ€ 4;u€ B‹»w€ X;u€ Y (z,u) €X xY
Vậy Ax BC X xY 1.1.2 Anh xa
Cho hai tap hop A va B, ta goi một ánh xạ ƒ từ A sang Ö, ký hiệu là f : A— B,
là một qui tắc cho tương ứng mỗi phần tử của tập hop A với một phần tử xác định của tập hợp Ö, A duoc gọi là tập gốc (hoặc tập nguồn) và Ö được gọi là tập ảnh (hoặc tap đích); phần tử € Z ứng với phần tử z € A gọi là ảnh của z qua ánh xạ
ƒ và viết = ƒ(z)
Ánh xạ ƒ được gọi là đơn ánh nếu phương trình ƒ(z) = có nhiều nhất một
nghiệm z € A4, với mọi y € B
Ánh xạ ƒ được gọi là toàn ánh nếu phương trình ƒ(+) = có ít nhất một nghiệm TEA, voi moi y € B
Anh xa ƒ được gọi là song ánh nếu phương trình ƒ(z) = có một nghiệm duy
nhất z € A, với mọi € Ö Một song ánh là một ánh xạ vừa là đơn ánh, vừa là
toàn ánh,
Hai tập hợp A va B gọi là tương đương với nhau, viết là A ~ / nếu tồn tại một
Song ánh ƒ: A —› B :
Vi di
Trang 6Giải Giả sử y 6 /(AU B) => 3z € AUB dé f(x) = y suy ra hoac z € A thì
y € f(A), hoac x € B thi ụ c ƒ() Vậy € ƒ(4)U ƒ(®)
Ngược lai, lay y € f(A) U f(B) suy ra hoac y € f(A) C f(AU B), hoac y € f(B) c f(AUB) suy ray € f(AUB) Vậy ta đã chứng minh được
f(AUB) = f(A) U f(B) 1.1.3 Tap các số thực
Chúng ta đã biết tập các số tự nhiên: N = {0,1,2,3, ,7x, } và tập các số nguyên :.Z = {0;+1,3+2, ; 3n bs
“Tất cả các số có thể viết dưới dạng tỷ số của hai số nguyên (dương hay âm), kể cả số không, gọi là các số hữu tỷ Tập hợp các số hữu tỷ ký hiệu là Q, và dĩ nhiên ta có bao hàm thức : NCZCQ
Mọi số hữu tỷ đều có thể viết thành một phân số thập phân hữu hạn hay vộ hạn nhưng tuần hoàn, ví dụ :
=0,T5 = 1,333 = 1, (3) T7 = = 1,545454 = 1, (54)
Một số có thể viết thành một phân số thập phân vơ hạn khơng tuần hồn gọi là
số vô tỷ, ví dụ : z = 3,1415926 ; V2 = 1,4142136 ; sin 20° =0,3420 1a
các số vô tỷ
Như vậy, số vô tỷ không thể là tỷ số của hai số nguyên Các số hữu tỷ và các số
vô ty hợp lại gọi chung là các số thực Tập hợp các số thực được ký hiệu là FR va ta có bao hàm thức V C Z C QC ñR
*) Khoảng số thực
Cho hai số thực xác định a và b với a < Ù
Tập hợp các số thực # thoả mãn a < # < b gọi là khoảng mở từ a dén 6, ký hiệu là (a,b)
Tập hợp các số thực z thoả mãn a < x < b goi là khoảng đóng từ ø đến b, ký hiệu
là |a,b]
Tập hợp các số thực z thoả man a < x < b (hay a < x < b) gọi là khoảng nửa mở, nửa đóng, ký hiệu là (ø, b} ( hay [a, b).'
Khoảng đóng [a, b] còn gọi là đoạn [ø, 0| Đó là các khoảng hữu hạn vì ø và b là các
số xác định
Tập hợp tất cả các số thực z gọi là khoảng vô hạn từ âm vô cực đến đương vô cực, ký hiệu là (—co, +eo) Các tập hợp số thực z thoả mãn z > 0 # Ð 0 + < q;
Trang 7*) Trị tuyệt đối của một số thực
Trị tuyệt đối của một số thực a, ký hiệu là |a|là một số thực không âm xác định như sau: Jal = a néua>0
@L={—a néua<0
Từ đó, dễ dàng suy ra các tính chất sau:
a) Nếu |z| < a(a > 0) thì —a < # < a và ngược lại
b) Nếu |z| > ð(b > 0) thì z > b hoặc z < b và ngược lại
©) |a+ ð| < Jal + |ð| 4) |a— ð| > |la| = lb|| e) |a.b| “HH a a Ð lÿ|= Ta -lal<a< Thật vậy, chẳng hạn ta đi chứng minh c) Tà có : “th e eo 7
Cộng hai bất đẳng thức kép này từng vế một, ta được : —(|a| + |b| < a+ð < |a|+ |ð|
Từ đó suy rac)
Để chứng minh d), ta dé ý |
Tương tự |ð| — [al < [bal =
*) Trục số thực
Để biểu diễn hình học tập hợp các số thực #, ta xét trục Oz, với Ó là điểm gốc Mỗi điểm A trên trục Oz dược ứng với số thực ø sao cho ØÄ = a Mỗi số thực a được ứng với điểm A trên trục Or sao cho OA = a Day 1a mot song 4nh gitta tập hợp các số thực ?‡ và trục Oz Ching ta gọi trục Óz là trục số thực hay đường
thẳng thực
ø—b+b| < |a = b| + |b] Do đó |a| — |b| < |a = ð|
— b| Từ đó suy ra d)
z A a opi, 1,13
Ảnh của các số —2, —1, —g:0, 1? 1 trên trục Øz được cho ở hình bên
-2 +1 ọ 1
—— = " re —>x
+ 2 1 4 4 3
Hình 1.1:
Tà đưa vào các ký hiệu sau:
R= {ce R: 220}; R= {ze R:2< 0}, R= R- {0} R=
fe ~ {0}; RL=R_-{0}; Ne =N~ {0}
ren trục số thực, lấy hai điểm z,ự Người ta gọi khoảng cách giữa hai điểm ấy là Số, ký hiệu đ(z,) được xác định bởi: d(z,y) = |x ~y|
_ Nhu vay Ja| chinh 1 khoảng cách giữa œ và 0: |a| = d(a, 0)
Trang 8Nguyên lý Archimede: Với mọi c > 0 cho trước, với mọi z > 0 cho trước, luôn
tồn tại một số nguyên dương k sao cho kc > r
Định lý 1.1: Giữa hai số thực bất kỳ luôn tồn tại một số hữu tỷ
Chứng mình: Giả sử a,b 1a hai số thực với a < b Khi đó b— a > 0 nên theo nguyên lý Archimede, tồn tại số nguyên dương q sao cho': q(b — ø) > 1 © q.b > q.a + 1 Mặt khác lúc đó sẽ tồn tại số nguyên dương p sao cho p € qứ + 1 <ø+ 1 Suy ra
-1<qa<pX<aq+1<qb©a< ze <a? € Q (dpem)
te quả 1.1: Giữa hai số thực bất kỳ có vô số số hữu tỷ
*) ¿ lân cận và lân cận của một điểm
Định nghĩa 1.1: Cho e > 0 là số thực bất kỳ Tập Ứ,(rụ) = {x eR: 0 —€< 1 < trụ + c} được gọi là ”e lân cận” của điểm xo
Lương tự, ta có ”e lân cận trái” của điểm zọ là tập hợp Ứ,(zo — 0) = {ceR: <a < ty} va "e lan can phai” của điểm xo 1a tap hop U-(z9 + 0) = {re Roary <a < sto te}
Dinh nghia 1.2: Mot tap U(xo) dugc gọi là lân cận của điểm zọ nếu tồn tại một số € > 0 sao cho Ứ,(#o) € U(ro) t
Nhu vay khi noi x thudc U,(.r9) thì z gần zo một khoảng bé hơn c
Do tính chất của tập các số thực, ta có : Vø,b€ Ñ và a < b, luôn de: a<c<b nên 3e > 0 sao cho U,(a) 1 Ứ,(b) =
Cho số thực M > 0 Khoang v6 han Uyj(+o0) = {a € R: x > M} duge gọi là A/ lân cận của diém +00; U_y = {4 € R: x < ~M} duge goi la —M lan can của điểm - œ
*) Tập số thực bị chặn
A bi chan dudi néu J me R:m<a, Vac A Tap A bi chan trén néu J M € R:a< M, Vae A
Tap A gọi là bị chặn nếu 3m, M € lR:m <a< M, Va€ A
Giả sử A là tập số thuc bi chan én, M = ths nếu ă € A và Va € A ta đều có
<M :
Ä/ = sup A nếu Va € A đều có a < A và Vé >0; ]ø€ A sao cho a > M — c
Như vậy max 4 phải thuộc 4 cịn sup 4 có thể thuộc 4 hoặc không thuộc A
Nếu A bị chặn trên thì chưa chắc tổn tại max A nhưng luôn tồn tại sup 4 Trường hop tén tai max A thi sup A = max A
Tương tự giả sử 4 là tập số thực bị chan dưới ta có
m = min A néu m € A va Va € A đều có a > rm;
m = inf A néu Va € A déuc6a >m vAVe > 0; Jae Asaochoa<m+te
1 `
Ví dụ 1.3 Cho tập A = t› nN} Tim max A, min A, sup A, inf A Giải: Ta có max A4 = 1, do đó sub Á = max A = 1,
Trang 9infA = 0 vì Va € A đều có a = + >0 Mặt khác với Ve > 0 đều tồn tai n sao
n
i
cho a =~ <0 +€ xay ra khi me os
Khong t6n tai min A vi néu,c6 thi min A = inf A = 0, diéu nay mau thuẫn vì
O¢gA
1.1.4 Dãy số thực
a) Khái niệm về dãy số thực
Định nghĩa 1.8: Một dãy số thực (nói ngắn gọn là dãy số) là một ánh xạ / từ Nt vaoR, f: Nt > RB, n hy ƒ(n) = vụ, Người ta thường ký hiệu {r„}:?: - 1,2,3,: để chỉ một dãy số: +„ gọi là số hạng tổng quát của dãy số
Ví du 1.4 +) {an} ++) {tn} tn = (1) 41 = 1\" +++) {xn} 5 fn = ( + 2) $2) = Qty = ga = lj Dinh nghia 1.4:
+) Dãy số {z„} gọi là bị chan trên nếu tồn tại số ă sao cho z„ < Al voi moin c N
+) Dãy số {z„} gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số Ä7 sao cho x, > Ä/ với mọi neN
+) Dãy số {z„} gọi là bi chan (giới nội) nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bi chặn dưới, nghĩa là tồn tại số Ä/ sao cho |z„| < ă với mọi ø € N
Trong ví dụ trên các dãy số +) và ++) là bị chặn còn dãy số #„ =: (1 + Tự là bị ì
chặn trên, thật vậy ta ln có:
ml mẾn— 1) 1 mn- 1)(n n+l) tb 1 1 m= 1$¢ Wat a Tp 4+ A Sy Re elt is nl w FTN ia n 1 1 1 2 nol 1 —)+ -+—=(1——)(1— “)(1— Ấy Eabsesa 3
1 al’ nll aul n }< Eas 2! h 3! Ỷ a tạ =
1 1 1 1
1+1+z+zø1+°: ' + r =1†2— mi <3(dpem)
+) Dãy {z„} gọi là đơn diệu tăng (tương ứng don diệu giảm) nếu z¡ < #; < -
Ln € -'-(#) (tương ứng #¡ > #¿ > - > #„ > - ) (**) Day dơn diệu tăng hay giảm được gọi chung là dãy dơn diệu
Nếu trong (*) (tương ứng (**)) khơng có dấu "=" thì ta nói dãy là tăng (giảm) thực
wr
su
+) Cho day s6 {x} Day s6 {aru, Jog © N va ny < ny <0 << là dãy con của dãy {+„}
pve ‘
Vi du 1.5 Dãy số {z„} với z„ = (1 + — a ở Ví dụ 1.4 là một dãy dơn diệu tăng
thật vậy ta có:
dL 1 1 1 9 nod
m=l+ 7 + yl ge Ps 45a m0 z)-0 See
duoc goi
Trang 101 1 1 1 1 2 n
ma Dae tee AL 1+ (1=
ue = TT bya) tet pal gal aa
vio<1- <1 ni
trong khai triển của z„+¡ lớn hơn mỗi số hạng trong khai trí ién „ và ngồi ra #„+¡ cịn nhiều hơn z„ một số hạng, hơn nữa tất cả các số hạng đều dương nên suy ra #„ < #„+¡ tức là đấy #„ đơn điệu tăng (dpcm)
n+ )
voi 0 <i < nnén ké tir sé hang ba ud di mdi sé hang
1, } và {—1, =l, 1, , =1, } là các dãy con của
Các dãy số {c—~ am là các dãy con của dãy số G nh
2h? 3k +
b) Giới hạn hữu hạn của dãy số:
Dinh nghia 1.5: Cho dãy số {z„} Số thực œ được gọi là giới hạn hữu hạn của
đấy so {z„} Khi ø => co nếu như với Ve bé tuỳ ỷ, tìm duge sé No(e) ¢ N* dé , 0| <€,Vn > No(e)
Ký hiệu lim x, nse Hay cịn nói dãy số
ti
= a hoac x, -> a khi n » oo
#„} hội tụ và hội tụ về ø Trong trường hợp ngược lai day {2c} gọi là dãy số phân kỳ
Vì lz„ — a| <€€>a-:€< #„ < ø+ c nên có thể phát biểu như sau:
Dãy số {z„} hội tụ đến œ nếu mọi e- lân cận của điểm œ đều chứa mọi phần tử của
dãy {z„} trừ một số hữu hạn phần tử đầu tiên của dãy
Ví dụ 1.7 Dùng định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số để chứng minh rằng :
yet _
yan CƠ" 0= n~»+ n nae Em -.é1 |
Giải: se
ANG ae 1)” ` y 3 10B 1
i) Ta c6 |x, — O| ele 7H Giả sử c > Ú bé tuỳ ý khi đó L<c«>n> =
TỊ €
Ta lady No(e) = D ] +1 Khi dé voi moi n > No(e) thi |x, - Ú| = =< Now
(- TẾ 1 : sứ
Điều đó có nghĩa là lim ———— = 0 ma oT
HT ¬“ " 1
đ) Tà có |zu — 1| < € $ | - iieee.— eens l 1 Ta lay
me ntl €
No(e) = =E — 1] + 1 Khi đó với mọi n > ÁMo(c) thì |z„ 1| < e Điều đó có nghĩa là
lim — — =1,
noon +1
e) Dãy đần đến vô cùng
Định nghĩa 1.6 Day số {z„} gọi là dẫn đến dương võ cùng khi ø -> co, nếu với mọi số Ä/ > 0 cho trước lớn tuỳ ý, tổn tại số Nu(Ä7) € Ñ* sao cho Vụ > No(A/) ta
Trang 11Ký hiệu im, Ly, = +00 hay sr, -> +90 khi n> co
Vay lim ir, = +00 <> VAI > 0, INo(Al) 2 Vine > No(Al) 66 ty > AI,
Dãy số {z„} gọi là dẫn đến âm vo cing khi n
trước lớn tuỳ ý, tồn tại số Ao(Ä7) € Ñ* sao cho Vn > No(A/) ta có tn <
Ký hiệu lim z„ = —œo "ae
ố Ä/ > 0 cho
-M
> oo, néu vi mi
Vi du 1.8 Chimg minh rang: a) lim //7 = +00 b) lim q” ~ se với |y| > 1 ra nh Giải:
a) Với số A/ > 0 cho trước thì ival > AI <> VN > AI s»n > À2
A(A) = [M?] + 1, khi đồ Vn > No(AI) ta c6 Vn > AL > lim Vi ~ +00 ma Chon
IgM ila
b) Ta cé |g"| > AL & gl" > AL en > 2 Chon No(Al) = | ĐI khỉ để với 1ø|a|" liglal
Vn > No(AL) ta cé |g”| > AY => lim gq” = 00 ee
d) Các tính chất của dãy số hội tu
Dịnh lý 1.3:
ï) Nếu dãy số {+„} hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất
ii) Nếu dãy số {z„} hội tụ thì nó bị chặn nghĩa là tồn tại một khoảng (b,c) chứa mọi.phần tử của {z„}
Chứng mình:
i) Gia stt lim x, = a, lim z„ +:
n00 = be ae bat ky Khi do Nd (e) Â Nt, NB(0) â
N* sao cho: Vn > N§(€) 6 jr, al <= x Vin > Xặ(c) có ưu bE < 5 Dat No(¢) = max{ Ng (c), Ng(e)} Khi dé vi Vn > No(c) tacd lad] < fa a + [an be < 5 + : =e Bất đẳng thức cuối dúng với Ve > O nén suy ra fab] = O-> a Sb (dpem)
ñ) Giá sử lim x, = a Khi đó INj sao cho Vn < Ng 6 a[ <1 :>
noc
a@-—1< 2s, <a+1 Goi b,c thé ww 1a so bé nhat va so lon nhat cua tap hop hitu han {a — 1,41, 12, ,0y).1-@ + 1} Lúc đó có b < ty € œ,Vø Vậy day số {r„} bị chặn (đpcm)
Định lý 1.3:
Cho hai dãy hội tụ {z„}, {y„}, lim ur, = a, lim g„ = b Khi đó i) jim (ta + yn) = at db; “THẾ Tim
ñ) lim (&#„) = ka (k là hằng số): 9% HH) lim #u.Uạ =: 0.b; 1
iv) Jim, a “Tu 7 0.b £ 0
Chứng mình
Tà chứng minh iii)
Trang 12|ru| < M,|wu| < AM với mọi n Với e > 0 cho trước, -ÌWụ € N* sao cho Vn > No
có các bất đẳng thức:
lza—eø|< sàn lwu—B|'< aa “ e n> Xe [uy — ab] = |(atn — 6)a + (0n —
b)| < |#„ — a|-|u| + |e|-|ưu — 7M + Sự: M = 6 Do d6 lin tnt = ab
(dpem)
Các phần còn lại bạn dọc tự chứng minh Định lý 1‹
i) Cho hai đấy {z„} và (/,} Nếu e„ > u với moi ms lim z„0 = a, lim yn = ð thì
u>b
ii) Cho ba day {z„}, {0u} và {z„} Nếu x¿ < yn < zy với mọi 7m; jim tn = lim :„ - a thi lim y, = a ` ma
Ching minh
Ii chug minh ii) Vi dim ty = anén vé6i ¢ > 0 cho trước tìm được Vị € N* sao
cho vin > Ny 66 fat, ~ a] < ee ane <a, <ate Tuong wei lim z, = a nén véi © > (cho trude tim duge Ny € N* sao cho Vn > Nz c6 |2, — | < củi a—€<z„< ate Dat No = max{M, No} khi dé Vn > No tacd a—€ < tn < Yn Š 2, <aA+€ Suy ra |u„ — a| < € Vậy jim Yn = a i) Ban doc tu chtmg minh
Dinh ly 1.5: “
i) Néu day so {.r,,} tang và bị chặn trên thì nó hội tụ ii) Nếu dãy số {r„} giảm và bị chặn dưới thì nó hội tụ
Ví dụ 1.9 *
‹ as 1 se
i) Day s6 {+„} với z„ = (1 + —)” là một dãy số tang va bị chặn trên như ta đã n thấy ở Ví dụ 2 và Ví dụ I do đó nó hội tụ Gọi e là giới hạn của dãy số này, ta dược
1
lim (1+ —)" =e
nox n on
ii) Chứng minh rằng đãy {z„} với z„ = a hội tụ và tìm giới hạn của nó
tế 2m1 gn 2
pees pt ae < 1 véi moi
» 6nd li nl onda SS
n> 1 Ngoai ra ty > 0,Vn nén day {.r,} bi chan dưới vậy dãy {z„} hội tụ giả sử
2 £
Day số {z„} don diệu giám, thật vậy
a là giới hạn của nó Tà có: r„¿¡ = ——
n+ 1"
lim) Page lim wy = lim im ra = 2 ee oe
Ee Re Pe La ee Oe đES= ,
Vậy yn
linn — = Q nox nl
Dinh ly 1.6 (Cantor):
Trang 13jim (Yn — ap) = 0 Khi dé tén tai mot sé thuc duy nhất ø € |#„,/„] với mọi 7
Chứng minh định lý này dành cho bạn đọc
Day cdc đoạn {[za,a]} thoả mãn giả thiết của định lý Cantor được gọi là dãy các đoạn lồng nhau và thắt lại
Định lý 1.7 (Bolzano-Weierstrass):
Từ mọi dãy số bị chặn ta đều có thể trích ra một dãy con hội tụ Chứng minh định lý này dành cho bạn đọc
Định nghĩa 1.7: Dãy số {z„} được gọi là dãy Cauchy (hay dãy cơ bản) nếu với mọi số € > 0 cho trước, tim duge sé No(e) € N* sao cho véi Vm > No(e),V n > No(e)
ta có |#m — #a| < €
Bổ đề 1.1: Dãy Cauchy là một dãy số bị chặn Chimg minh
Gia sử {z„} là một dãy Cauchy Khi đó tồn tại No(e) ¢ N* sao cho Wm 2 No(e),n > N(e) ta có |#„m — #„| < 1 Đặc biệt ta có |£„- #xs(| < 1 với mọi
n> No(e)-
VI |£n — #as(| > Í#a| — Í#ws(o| nên |#u| < |#xs@)| + 1 Đặt
M = max{|i|, |3a|, ., |#we(ey — 1Í, |#wa¿) + 1|}
Ta có |za| < Äf_ Vn (đpcm)
Định lý 1.8 (Tiêu chuẩn Cauchy)
Dãy số thực {z„} hội tụ khi và chỉ khi nó là một đãy Cauchy
Chứng minh
Giả sử dãy {z„} hội tụ, lim z„ = a
Yn > No(e) > [tn —a| < Khi đó với Vm > No(e), Wn > No(e) : |tm
[2m — a| + |z„ — a| < 5 + 5 =c Vậy {z„} là day Cauchy
Ngược lại giả sử {z„} là dãy Cauchy Theo bổ đề trến suy ra {z„} bị chặn Theo Định lý 1.7 có thể trích ra dãy con {z„„} hội tụ Giả sử jim Ly, = a Tà CĨ 900 Tà có với mọi € > 0,4No(e) sao cho
~ #a| <
len — al < tn — #m¿| + len, — ð|-
Vi jim ne = anên với mọi é > 0,3A,(c) C Ñ* sao cho với mọi đø¿ > M¡(c) có
|z»„„ — a| < s: Vì {z„} là dãy Cel nên tồn tai JN(¢) € N* sao cho với mọi n = N2(€), mx > No(e) có it ~ Sl <5 - Dat No = max{Nj(«), N2(€)} Ta c6 voi moi n > No > |z„ — a| < = 5 = i ỗ =e tụ lim «,, = a (dpcm)
1.1.5 Vô cùng bé và võ cùng lớn mos
Dãy số {z„} được gọi là vô cùng bé (viết tắt là VCB) nếu lim z„ = 0 va goi 1a vo n 990
Trang 14a) Day s6 {a,,} khong bi chan;
b) Dãy số {a„} không phải là vô cùng lớn
Giải a) Với V Ä/ƒ > Ú xét a„ với ø = 2([Ä/] + 1) Khi đó dãy số {ø„} không bị
chặn
b) Tà xét khoảng (-2,2) Khi đó mọi số hạng a„ với lẻ đều thuộc khoảng (=3,2) Như vậy trong khoảng (—2, 2) có vơ số hạng của dãy ø„ Theo định nghĩa suy ra day {a,,} không phải là vô cùng lớn
1.2 Hàm số một biến số thực
liong tự nhiền các đại lượng liên quan nhau phụ thuộc nhau Ví dụ đoạn đường
yor S cua mot vật rơi tự do không vận tốc ban đầu phụ thuộc thời gian £ tính từ lúc
bat dau roi theo công thức S = guẺ “Trong toán học, người ta nghiên cứu quan hệ phụ thuộc giữa các đại lượng biến thiên, gọi là quan hệ hàm
Mục này giới thiệu hàm số một biến số thực các hàm số sơ cấp cơ bản -
1.2.1 Dịnh nghĩa: Cho các tập hợp X,Y €C ï, ánh xạ ƒ: X —+ Y được gọi là một hàm số một biến số thực Tập hợp X dược gọi là miền xác định thường ký hiệu là /2(ƒ) của hàm số ƒ và tập hợp ƒ(X) dược gọi là miền gía trị, thường ký hiệu là E(f), cla ham sé f; rz € D(ƒ) được gọi là biến độc lập hay đối số; y= f(x) € E(ƒ) được gọi là biến phụ thuộc hay hàm số
Ký hiệu: Để chỉ là hàm của z, ta viết = ƒ(z) và đọc là ” bằng ƒ của z” hay
ký hiệu = g(z) và dọc là ” bằng của z” Để chỉ các hàm khác nhau, ta dùng các chữ khác nhau : = f(x); y = v(x); = g():
Giá trị của hàm ƒ(z) khi z = ø ký hiệu là f(a) hay f(x) và đọc là ”ƒ tai a”
Lee ted em
Ví dụ 1.11: Cho f(a) = thi f(4) = =
lu ref) L+ Vr ì /6) 11V4 3
tr * +]: 1 #'@os#
Cho f(x) = yes le) = cose thi /[e0)] “Tri
Ví dụ 1.12: Tìm miền xác định của các hàm số sau:
3) = lgcosz
b) ý = lgsin(r - 3) + V16 - +2
Giải: a) làm số xác dinh véi Vr ma cos > 0
Vay D(f) = {05-5 + 2ke << 54 hake zh
b) Ham s6 xdc dinh véi Vr ma
sin(u - 3) > 0 is 2km <+-3<m+2km,k€ Z
16 — z? >0 ~4<<4 ‘ TRUONG BAI Rợt 7
Vay D(f) = (3 - 27,3 ~ 7) GIÁO THÔNG VẬN TẢI - Cở SỞ 2
THƯ VIÊN
Trang 15
Ví dụ 1.13: Tìm miền giá trị 1 wi tt 2—cosärw Ồ
lãi: a) Ta có cos 3# = 2 — — = a LVi- 1 <cos3r<inen 1< “4 <1, 1 2y-1 3 1
y ộ 1 U
Vi 2—cos3r > 0 nén y > 0 va do dé ~y < 2y 1Sy<‹>s<uSI 1
vay BU) = {y2 5 <u <i}
b) Giải sử gọ là giá trị bất kỳ thuộc miền giá trị của hàm số đã cho Khi đó tồn
4 gia 3 ý 42 ] 5
tại ít nhất một giá trị z € D(ƒ) thoả mãn yo FI <> (1 yo)a? = 1+ wo Phương trình nay phdi cé nghiém va hién nhién néu yo = 1 thi phương trình vơ
nghiệm Nhu vay phai c6 1 - yo # 0 <> yo Z1
, < l‡t 3 = z st ——
Với ọ # 1, ta có #? = T #0 Muốn phương trình có nghiệm ta cẩn có
>= Yo 1+ yo 1- yo vay B(f) = {y:-1<y <1} >0©-l<o<Š!l
1.2.2, Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn, ham số dơn diệu, hàm số bị chặn
Giả sử X C #, X nhận gốc Ó làm tâm đối xứng Ilàm số ƒ : > R duge
gọi là chẩn nếu ƒ(~z) = ƒ(z), V#€ X hàm lẻ nếu f(-r) = f(r), Ve€ X
Đồ thị của hàm chẩn nhận trục tung làm trục dối xứng Đồ thị của hàm lẻ nhận gốc toạ độ Ó làm tâm đối xứng
Nếu X C # hàm số ƒ : X -—= R duge gọi l
số đương 7 sao cho f(a +T) = f(r), Vr € X Số 7 nhỏ nhất sao cho có dẳng thức này được gọi là chu kỳ của hàm số ƒ
Các hàm số = sinz, = cosz là tuần hoàn với chu ky
m tuần hoàn nếu tồn tại hang
¡ các hầm số
=tgz, = cotgz là hàm tuần hoàn với chu kỳ z
Nếu JCIC ñ Hàm số ƒ : 7 › dược gọi là tầng trên / nếu +¡,z¿ €
J, 0) <2 f(x1) < f(x2), tang nghiém ngat tren J néu wy, are ¢ J, ti <2 <?
f(z1) < f(z2) gidm trén J néu 21,22 € J, ty < ay <> flan) > f(r), giảm nghiém ngat trén J néu r),:r2 € J, x) < ty <> f(41) > f (12)
Hàm số tăng hoặc giam wrén J được gọi là hàm đơn diệu trên /
Cho hàm số ý = /(+) xác định trên tap V Ham s6 f(r) dược gọi là
trên nếu 3A/ : ƒ(z) <`AI,Vr © X Ham số f(r) được gọi là bị chặn dưới nếu 3A : ƒ(z) > Á.Vr€ X Hàm số ƒ(z) được gọi là bị chặn ( hay giới nội) nếu 3M > 0: |f(2)| < MWe € X
Trang 161.3.3 Hàm số hợp
Cho XC #, YC f,ZC R và các hàm số g: X —— Y, ƒ:Y -—> Z; xét hàm số h: X ——> Z xác định bởi h( ƒ[g(z)], œ € X: h dược gọi là hàm số hợp của
hàm số ƒ và hàm số ø và ký hiệu là h(+) = (/.0)(z), r€ X hay h(+) = /Ig(2)]|
Ví dụ 1.14: Tìm ø|u(z}| và 0le() nếu g(r) = 13; (+) = 2”
Giải: Tà có ø[g(2)| >> [o(e)]Ÿ = (22)2 = 22 và 0[ø(+)| = 2/0) = 2 c1 TT) in eet t+ t+ =teur= — Thế z bởi 7 3° Ví dụ 1.15: Xác định dạng của hàm ƒ(z) nếu biết rằng ƒ
Với #1, tá đạt ã cho ta được : ,
Peay? ott 32-3
Med 5 3) Para aye?
1.2.1, Hàm số ngược và đồ thị hàm số ngược
_ R, Y © R va song anh f: XY, roy = f(a) Khi
đó có quy luật ứng với mỗi phan ur y C E(/) tao ra phần tử z € /2(/) duy nhất sao cho /(+) = Quy luật đó gọi là hàm số ngược của hàm số ƒ và ký hiệu là ƒ” 4 Vậy ta có ƒ~!{u) = # «* = ƒ(+) Các hàm đơn điệu đều có hàm ngược
Đồ thị của hi : J7'(x) doi xing với đồ thi cla ham sé y = f(z)
qua dường phân giác của góc phần tư thứ nhất
Tinh đơn diệu chỉ là điều kiện đủ để tồn tại hàm ngược Tồn tại những hàm không đơn điệu nhưng lại có hàm ngược (ví dụ hàm ƒ(+) = a trén 1? \ {0})
t # 2 vio dang
Cho hai tip hop X
Để tìm hàm ngược dối với hàm ¿ = f(r), dau tiên ta đổi vai trò của các chứ và / ( nghĩa la viet x = ƒ()) và từ dáng thức vừa nhận được đó ta tìm y = g(r) như là nghiệm của phương trình + = (0)
Cần chú ý rằng khi chuyển từ hàm xuất phát đến hàm ngược thì miền xác dịnh
và miễn giá trị sẽ đổi vai trò cho nhau và ln có : /|g(r)| =*, ø|/(+)| = + Ví dụ 1.16: Tìm hàm số ngược của hàm số ự = v1
Giải: Ta có D(ƒ) = [0; +00), ECS) [0, +©) : Hàm số Ve la ham
tang wén D(f) va do dé nó có hàm số ngược Đổi vai trò của + và ự ta có #= y0 €@\U=#, #3 0 vậy ham y = + có hàm số ngược là = +”, + >0
Đồ thị của hai hàm số ÿ = ¿? và = Jv, œ >0 như Hình 1.2
It
Vi du 1.17: Tim ham số ngược của hàm số / : _
Bi uae aes Ht
Mật khác, theo giả thiết thì D(ƒ) = fe E(f) = {y:0<y< 1} Với 0 < ý < 1 tà suy ra NU y
Đổi vai trò của z# với y la co ia: số ngược của hàm số đã cho là y= logy a
1
Trang 17
Hình 1.2:
1.2.5 Hàm ẩn
Cho X CR, ¥Y GR: F(x,y) =0, (ey) Xx¥ (11)
Nếu ứng với mỗi z € X, tir biéu thie (1.1), ta xdc dinh dugc duy nhat mot y  Ơ thỡ ta nói biểu thức (1) xác định một hàm ẩn dõi với dối đụ
Ví dụ 1.18: Biểu thức + + 5z —- = 0 xác dịnh cho ta một hàm ẩn Từ biểu thức
này ta có thể tìm được hàm tường minh = z” + 5z nếu coi z là đối
Ví dụ 1.19: Biéu thức củ + = 0 xác định một hàm ẩn Nếu coi z là đối SỐ, tả khong thể biểu diễn được dưới dạng hàm tường minh ø := ƒ(+)
1.2.6 Hàm số cho theo tham số
Cho z va y là hai hàm số của cùng một biến f: z - (1) y = w(t), U€ 7 Khí đó với mỗi x = p(t) € Ey) cho ứng véi y ~ v(t) ¢ /2() ( ø là giá trị của hàm « tại chính điểm £ đó) sẽ xác định một hàm ø theo dối số + hàm số này dược gọi là
r= p(t) (ter
y = v(t)
hàm số cho theo tham số và ký hiệu là {
Ví dụ 1.20: Hàm y = f(z) có thể viết dưới dạng tham số là {i 7 va = , t€ D(ƒ) Vi du /.2/: Phuong trình đường trịn r? + 2 = #‡? có thể viết dưới dạng tham số là
r= Roost y= Rsint
Vi du 1.22: Duong xycloit
Trong kỹ thuật cơ khí thường gặp bài toán : Cho một đường trịn bán kính a, lấy
một điểm cố định A/ trên dường tròn; cho đường trịn lăn nhưng khơng trượt trên
đường thẳng lãy tìm quỹ đạo chuyển động của điểm M da chon Tà sẽ giải bài
toán này bảng cách lập hệ phương trình tham số của quỹ đạo và để cho tiện ta chọn 1 € [0,27]
Trang 18điểm AM cố định được chọn là gốc toạ độ Ở
Gia sit M(a,y) 1a một vị trí mới của điểm chọn, N là tiếp điểm của đường
Hình 1.3:
won ung véi diém M, khi dé NM = ON Dat t = NDM véi D là tâm đường
tròn ting véi diém M, Ta cé 2 = OF = ON - FN = NM - MG = at —asint, y= FM=NG=ND-—GD=a-acost
z =a(t —sint)
y = a(1 — cost)
Quỹ đạo của điểm được chọn trên đường tròn khi cho đường tròn lăn mà không trượt trên trục z được gọi là một nhịp của đường xyclôit Nếu cho £ biến thiên từ —oo đến +œc thì phương trình tham số của đường xyclôit là :
Vậy phương trình tham số của quỹ đạo là : { , t€ [0,27]
= a(t — sint) oa — cost)
1.2.7 Hàm số lượng giác ngược
a Ham = arcsinz
Xét hàm số ƒ : [—§ §] —> [11]
cr y= f(x) =sinr ƒ là một song ánh, do đó tồn tại hàm số ngược
“1: [-1,1] 9 [-35
fy) = oat
Vay =sinz @ z = aresinu, œ€ [~=ÿ,5], € [—1,1]
Theo quy ước # là đối số, là hàm số thì hàm số ngược của = sinz với =œ < z< +œo
yroe
ne [-3.5] là ham y = arcsinz; doc 1a "y bang ác-sin x” Miễn xác định clay = mccain là D(f) = [-1,]] Miền giá tri cua ham y = arcsing 1a af) = [~5:3] Đồ thị của hàm y = arcsinz đối xứng với đồ thị của hàm số ự = sinz
TL
(-š << 3) qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất Đồ thị có dạng như
Trang 19Hình 1.4: Hình 1.4 b Hàm = arccosz Xét hàm số ƒ : |0,z] —> [—1, 1] tro y= f(x) =cosr
ƒ là một song ánh, do đó tồn tại hàm số ngược
fod: [-1,1] — [0,7]
yr x = f(y) = arcecosy
Vay y= cosz x =arccosy, z €|0,z], € [—1,1]
Theo quy ước z là đối số, là hàm số thì hàm số ngược cla y = cosz: với z € [0,7] lä hàm = arccosz; đọc là ” bảng ác-cosin x" Miễn xác định Của y = ATCCOS +
là D(ƒ) = [—1,1] Miễn gía trị của ham y = arccos.r là (/J) = |0, =]
Đồ thị của hàm = arccosz đối xứng với đồ thị của hàm số = cosz
Trang 20œ— U = f(x) = tg#
ƒ là một song ánh, do đó tồn tại hàm số ngược ƒ~! : R — (Ge
Vay y= ter x =arctgy, VE (
Hinh 1.6:
oe 1 tn pS Sev ER a a nT
“Theo quy ước z là đối số, y 1a ham sé thi ham so nguge cla y = tex vol zr € (-}: 3)
là hàm = aretgz; đọc là ” bằng ác-tang x° Miền xác định của y = arctgz 1a
D(f) = R Miễn gia tri cla ham y = aretgz là E(ƒ) = c5: =)
Đồ thị của ham y = arctgr đối xứng với dé thi cha ham sé y = ter (- 5 <z#<
5) qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất Đồ thị có dạng như Hình 1.6
d Ham y = arccotgr
Xét hàm số ƒ : (0,x) —> R
œ—>U= ƒ(z) = cotgz
ƒ là một song ánh, do đó tồn tại hàm số ngược ƒ~! ; R — (0,7)
—> + = ƒT`(u) = arccotg Vay y = cotgr < # = arccotgU, # € (0,7), ye R
Theo quy uéc x 1a ddi sd, y là hàm số thì hàm số ngược của = cofgz với x € (0,7) la hàm = arccotgz; đọc là ” bằng ác-cotg x” Miễn xác định của
y =arccotgr 1a D(f) = R Mién giá trị của ham y = arccotgz là E(ƒ) = (0,7) Đồ thị của hàm g = arccotgz đối xứng với đồ thị của hàm số = cotgz (0 < z < 7)
qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất Đồ thị có dạng như Hình 1.7
Các tính chất của các hàm lượng giác ngược
ÏH ý ATCCOS
1 arcsin(~z) = — an P) = arceos x arctg(—x) = —arctgir; arccotg(—#) = arccotga: 2 sin(arcsin x) = arcsin(sin x) = x; cos(arccos x
Trang 21Hình 1.7: 1 % arcsin + + 2km „ k€Z 7 — arcsin œ + 2kr COS# = œ © œ = +arccosa + 2km k€ Z tgz = œ © z = arclga + km, k€Z cotgz = œ © + = arccotga + km, kŒZ
4 cos(aresin 5 aresin x + arccos 2 = 5 z) = V1 — 2”; sin(arccosz) = V1 ~ z2 7 6 arctgz + arccotgz = 5
1.2.8 Các hàm sơ cấp cơ bản
Các hàm số sau đây được gọi là các hàm sơ cấp cơ bản:
a) Hàm số luỹ thừa =z°, œ€ ñ
Miền xác định của hàm số luỹ thừa phụ thuộc vào a
œ€N: MXĐ là cả trục số #
Với œ nguyên âm : MXD Ia R \ {0}
Với œ có dạng a = 1, pe Z thi: p chan, p € N* thi MXD Ia Ry
plẻ,p€ N* thì MXĐ là R
p € Z thì MXĐ cũng phụ thuộc vào p chân hay lẻ
Với œ là số vô tỷ thì qui ước chỉ xét = z* với Vz > 0 nếu œ > 0 và V+z > 0 nếu
a<0
Đồ thị của hàm số = z* luôn đi qua điểm (1,1) và đi qua gốc toạ độ Ø(0, 0) nếu
œ >0, không đi qua gốc toạ độ (0,0) nếu œ < 0 (Hình 1.8)
b) Hàm số mũ =“”, a>0, a# 1 Số a gọi là cơ số của hàm số mũ
MXPĐ của hàm số mũ là cả trục số # Miền giá trị của hàm số mũ là /?†
Ham s6 mi y = a” tang khi a > 1, giám khi a < 1 Điểm (0, 1) luôn nằm trên đồ thị của hàm số mũ
Trang 22
Hình 1.9: e) Hàm số lôgarit = loguz,ø > 0, ø # 1
Miền xác định là ##‡ Số ø gọi là cơ số của logarit, đặc biệt nếu a = 10 thì viết gọn
là ==]gz và đọc là lôgarit thập phân cua x
Hàm số lôgarit y = log, x tang khi a > 1 và khi đó với 0 < z < 1 thì log„z <0 với > 1 thì log„# > 0
Ham s6 logarit y = log„# giảm khi 0 < a < 1 và khi đó với 0 < z< 1thì log, 7 > 0; với z > 1 thì log„œ < Ư Điểm (1,0) luôn nằm trên đồ thị của hàm số logarit (Hình 1.10)
Hàm ngược của hàm ¿ = aŸ là hàm logrit y = log, x, nghia la y = a* + © = log„ Ham logarit c6 cdc tinh chat sau:
log, ty = log,t +logay; r>0 >0 log, — = logaa ~ ÌOBu; > 0, >0 log, a" = alogat; # > 0
Trang 23NG ` y=logzra<1 Hình 1.10: log, A log, @
d) Cac ham s6 long giac: y =sinz; y =cosz; y = tgr; y = cotgz
e) Cac ham số lượng giác ngược : = arcsinz; y = arccosz; y =
arctgz; y = arccotgz
Người ta gọi hàm số sơ cấp là những hàm số được tạo thành bởi một số hữu hạn các phép toán số học ( cộng, trừ, nhân, chia) các phép lấy hàm số hợp đối với các hàm số sơ cấp cơ bản và các hằng Ví dụ 1.23: a) ý = sin5z + cos(3z — 2) +22 y= 254-7 y = 2 + V1— z5 + sin 2x Ÿz3— In(5z+2) +3; u= ———=—~ ( ) » v2—z?-3z
Với b > 0 ta có :'b— al98s9 Với b > 0,b # 1 ta có: log, A=
đều là các hàm số sơ cấp =1 nếuz<0
b)y=l|z|; sợnz = $ 0 nếu z =0 là các hàm không sơ cấp
1 nếuz>0
Trong các hàm sơ cấp, chúng ta chú ý đến hai loại hàm đặc biệt vì chúng đơn giản hơn cả, đó là các đa thức và phân thức hữu tỷ
Ta gọi đa thức bậc + ( với ø nguyên dương) của + là hàm số có dạng P,(zx) dọz” +aiz"~Ì + + au_¡.# + 0y, aọ # 0
Vi du 1.24: 5z? + 4z2 — z + 7 là một đa thức bậc 3 #? — 12z + 5 là một đa thức bậc 9
Tà gọi phân thức hữu tỷ là các hàm số có dạng tỷ số của hai da thức :
Pyle) aor" +ayr"! + + Gui + On Qm(z) box + bya! + cee $ Omit t+ On
trong d6 m,n là các số nguyên dương, a;,4 = 0,1,2, - ,n; b;,7 = 0,1,2, -,m là các số thực
z—z+1
Trang 241.3 Giới hạn của hàm số một biến số
1.3.1 Các định nghĩa
Định nghĩa 1.8: Giả sử hàm số = ƒ(z) xác định trong D(ƒ) và giả sử điểm
ty € D(f) hoặc xo ¢ D(f)
S6 A duge goi la gidi han cla ham s6 f(z) khi x — xo néu voi We > 0, tồn tại số ổ(c) > 0 sao cho với mọi z thoả mãn điểu kiện 0 < |# — #o| < ð(e) thì ta có
f(e) - Al <e
Kỹ hiệu lim ƒ(e) = A hoặc ƒ(œ) + A khi z —> zo
DURE RY hia
éu logic, định nghĩa trên có thể viết gọn là :
lim /0r) - 2L ©Ve>0,3ð(6) > 0: Vz € {0 < |#e— zo| < (e)} âđ |(z) A| <ô
Ve die 1.20: Ching minh rang :
4) lim(3# = 2) =1 b) lim(x.cos +) =0 T0 cL
Giải: a) Tà có |(3z — 2) — 1] = 3|x — 1] Ti dé thay rang voi Ve > 0, lay 5(e) =
Voi moi x thoa man |x — 1| < ð thì |(3 — 2) — 1| < e Vậy theo định nghĩa ta
lim(3r—2) = 1
2 Bela
1 3
b) Ham f(r) = C08 — không xác định tại điểm zọ = 0 nhưng xác định tại lân cận
của điểm 0 I 1
Xột |(z) 0|<ôeâ |z cos —| <«œ |z|| cos =| <e
Lấy ô(e) = e, khi đó với mọi z thoả mãn |z| < ð(e) thì |z cos ` <<
xr
Vậy theo định nghĩa, ta có lim 2: deat =0
0 #
Định nghĩa giới hạn (theo Cauchy) vừa phát biểu ở trên tương đương với định nghĩa (theo Haine) sau dây:
Định nghĩa 1.9: Số A được gọi là giới hạn của hàm số ƒ(z) khi z —> zọ nếu đối với mọi day {zn}, tn € D(f), tn # zo,Vn hội tụ đến zọ thì dãy các giá trị tương ứng của hàm số ƒ(#¡), ƒ(#2), ., ƒ(z„), hội tụ đến A
Định nghĩa thứ hai dựa trên khái niệm dãy số nên nó thường được gọi là định nghĩa
bằng ngôn ngữ dãy, còn định nghĩa thứ nhất gọi là định nghĩa bằng ngôn ngữ ”* — ổ”
Ví dụ 1.27: a) Chứng minh rằng lim, # sin =0
b) Chứng minh rằng không tồn tại lim sin zl gy]
Giai: 1
a) Ta có hàm ƒ(z) = zsin “không xác định tại zo = 0 nhưng xác định tại lân
Trang 25cận điểm 0 Lấy #y) bất kỳ trong khoảng (—1,1) và lim z„ = 0 Tà có
—
<|ƒ(#n)| = len sin |< kea|:
Vì lim x, = 0 nên suy ha Jim, ƒ(zu) =0 n—00 1 Theo Dinh nghia 1.9, ta có lim, asin oP 0
1 2
b) Tà lấy hai đãy z„ = 1+ 7— Ti ta =1 Gaye BO bee
Rõ ràng lim z„ = lim ut = 1 Dãy các giá trị hàm tương ứng là : ƒ(Z„) = ee na i _ Bif——T——~ =sinnt=0; f(ynr i 5 = sin(> +2nz) = 1
1+—-1 nt : ,(đn + 1)m —_—
Như vậy lim ƒ(ra) =0; lim f(yn) = 1
š HÀ Hợp _ - 1
Theo định nghĩa giới han theo ngôn ngữ dãy số ta suy ra không tồn tại him sin “ 2 T
Định nghĩa 1.10: Số A gọi là giới hạn bên phải của hàm số ƒ(z) khi z -> zọ, ký
hiệu A = Jim, f(@) = f(zo + 0) néu We > 0,5 d(e) >0: Va € {0< 4-40 < z4z0:
ð(c)}, ze€ DỢ) + (f(z) — Al <€
Định nghĩa 1.11: Số A gọi là giới hạn bên trái của hàm số ƒ(z) khi z => xo, ky
hiệu 4= lim ƒ(z) = ƒ(œo — 0) nếu Ve > 0, 3 ð(c) >0: Vừ € {0 < #o— #< ã(9}, 2 € Dif) # Ifa) - Al <e
Ở hai Định nghĩa 1.10 và 1.11, néu eo = 0 thi ta viết z —> +0 hoặc # => —0 và tương ứng ƒ(+0), ƒ(~0)
Ví dụ 1.28: Cho hàm số ƒ(+r) -: — Hàm số này không xác dinh tai diém zo = 0
và với z > 0 thì ` r) = 1, tới a < Othi f(z) = ~1 Do đó jim, f(@) = “i jim, f(z) =-
‘Qua vi du nay, ta thay rang néu lim f(a) = A, tic lar > xo ca hai phia (ca ty +# < zọ lẫn x > zo) thì nhất thiết lim 1 f(z) = tin sứ) = A Hơn nữa, có thể rr0+ 2
chứng minh được rằng điều kiện cần và đủ để lim = “A ia f(to+0) #—r0 = f(20~0) = A
Ví dụ 1.29: Tìm các giới hạn một phía của hàm số :
Giải: Ta có
Vay f(1- 0) =3
Khiz > 1+0, ta Có 7 =a oo Dodd lim Ti =0 Vay (140) = 341 =4 worl 0
Trang 26“Trên đây, chúng ta định nghĩa giới hạn của hàm ƒ(z) khi z -> zọ với zọ là hữu hạn, bây giờ ta xét trường hợp # -> +co và -co
Định nghĩa 1.12: Nói rằng hàm số ƒ(z) có giới hạn là A khi z dần tới dương vô
cùng và viết là alin, f(z) = A nếu với bất kỳ c > 0, tìm dược > 0 đủ lớn sao cho khi x > N thi | f(x) — Al <e
Nói rằng hàm số ƒ(z) có giới hạn là A khi z dân tới âm vô cùng và viết là
„lim ƒ() = A nếu với bất kỳ e > 0, tìm được N > 0 dủ lớn sao cho khi z< —N
thì |ƒ(z) — A| < «
Ví dụ 1.30: Chứng minh rằng lim 3 +00
1 1
Giải: Giả sử với bất kỳ € > 0, chỉ cần chọn N > E ta ln có > / thì oe | Sie
: i
Theo Định nghĩa 1.12, ta có lim — =0
xo+ >0
Chú ý: Người ta chứng mỉnh được rằng, nếu ƒ(z) là hàm sơ cấp xác định tại zo
thi lina f(r) = f(0)-
183 Các tính chất của giới hạn
Từ nay trở di, khi viết ƒ(+z) -> A(z => zo) nếu khơng thấy nói gì thêm thì ta
hiểu rằng A là hữu hạn, còn zọ có thể hữu hạn hoặc vô cùng
Bây giờ, chúng ta phát biểu một số tính chất đơn giản của giới hạn hàm số Dinh ly 1.9: Cho lim f(z) = A, jin g(z) = B Khi đó: .¬zo
a) jim ở/@ ): = Sn với Œ là hằng số b) dim [f(x) + m)Ì=A+B
€) ‘| ae he =A.B
(2) An i pee
d) tin £ mo g(1) =; với điều kiện B 4 0 B’ Việc chứng Thừnh định lý này giành cho bạn đọc
Chú ý: ¡) Từ định lý 1, ta suy ra rằng, nếu P„(z) là một đa thức bậc ø đối với z, nghĩa là P„(#) = do + đy# + - + đ„#”, a, £0 thi:
jim P,(x) = aim (a0 +12 ++++ + 4n2") = (do + Qyty + +++ + Qn28) = Py(x0)
Tổng quát hơn, nếu R(x) la một phân thức hữu tỷ nghĩa là :
đọ + az tee tar” — P(r)
bot bizt -+bmz™ ~~ Q(x) R(e) =
Pa(z) _ Palo)
thi iim 3) On(z) 1 a0)” Qm(+o) # 0
ii) Có nhiều cách khác nhau để khử dạng vô định : eo - co, 0.00, 2, %
Sau đây, ta nêu một số cách khử dạng vô dịnh thơng qua các ví du cu thé, p oe Ví dụ 1.31: Tính các giới hạn sau dây:
Trang 27
Tà có:
"mm +1 ¬ (r+ 1)(V6r2 +3 - 3z)
+ V0 2+ 8+8 Fool 6x2 + 3 - 92
= lim (r+1)(V62Ẻ + 3- 3z) xo] 3(4 + 1)(1— z) VEE ổ— = lim Vor" +3 — 3x =1
#a—I ä(
b) Ta nhân tử số và mẫu số của biểu thức dưới dấu giới hạn với tích (1 + ⁄#)(1 + Va + Ÿz?) và sau đó giản ước cho 1 — z(z # 1), ta có:
1V (Q=2)0+ VF+ Ve) aa he 3
li mm1—ýS 2) (ia) + Va) c) Ta cé: = = et LtVve = 2
23 + 327 — Or — 2 (x — 2)(u? + 5x + 1) #?®+ðr+l lỗ
lim =lim =lim =—
m2 g”——6 22 (x — 2)(2? +2743) ro2z2+2r+3 1
đ) Tà có: ,
¡m Š12# — c@s2z= 1 _, —(1 —sin 2x) — (cos? x — sin? x) lim zo COSđ#—Sinz ~ = lim rot =
cos — sing lim =(cos x ~ sin x)? ~ (cosx ~ sin.r)(cos.r + sin.x)
= aot EASON Ft SURE)
cos sin i
COS # — Sin #)(— 2 cos +
~ lạ (Ê05E = 7` Si.2)(-2cos+) cos rz — sing
e) lim vate tto0 +]
= lim (~2cos x") =./ dạng vô định = Tà có: co lim peli eto Vot+ —
f) lim (V+z+vz lang v6 dịnh œo - oo Tà có:
+ —#+V# 1
clin (va + v#= V# Te 5
Qua các ví dụ trên, ta thấy rằng dùng Định lý 1.9 có thể khử được dạng vô định thuộc loại phân thức hữu tỷ Để khử các dạng vô định khác, chúng ta còn một số
mệnh để khác và một số các giới hạn thuộc loại dạng vô định diển hình Trước hết,
Trang 28Định lý 1.10: Giả sử ba hàm ƒ(z),ø(2), h(z) xác dịnh ở lân cận U(zo) của ao thoả mãn bất đẳng thức ƒ(z) < ø(z) < h(z) với mọi x thuộc lân cận U(zo) Khi đó, nếu lim ƒ(#) = lim h(z) = A thì lim g(x) = A z—o
Jin Ea
Chứng minh định lý này dành cho bạn đọc Ví dụ 1.32: Chứng mình rằng lim 2a œ ol Gi yA MT A PL Ifinh 1.11:
Ham f(z) = : z không xác định tại diém 29 = 0 nhung xéc dinh tai lân cận của
nó chẳng hạn U(0) là 0 < |z| < =
Xét <xz< > Dựa vào Hình vẽ 1.11, ta cé:
Saaom < Sua aon < SAAOT $> 30A.MP < 30A.AM < 30A.AT
©@ MP < ẤM < AT @ sing <2< tgx <1 < - sinr ®cosz < <1 (1.2) + = —t,tacdt>0 Xét =Š <z <0,
sing _ sin(—t) _ sint
Vi cos 2 s(—t) = cost nén Ba TE và do £ > 0 nên suy ra bất
dang thức (1.2) vẫn dúng trong trường hợp “ễ <z<0
Mặt khác, lim cosz = 1 và lim 1 = 1 nên theo Định lý 1.10, ta có lim Š# = 1 0 0 x0
Nhu vậy, chúng ta đã chứng minh dược giới hạn rất quen thuộc (đã học ở trung học)
thuộc dạng vô định ñ
sing
Đai (1.3)
Sau đây, chúng tôi giới thiệu một vài ví dụ áp dụng giới hạn trên Ví dụ 1.33: Tính các giới hạn:
Trang 29im 1 È » ERRẾ a) lim ki b) lu ————— c) lim Ss 20 2 640 on tga sin
Giải: a) Ta có lim “oF = lim 5 r30 7 40
= lim xo sin 1 - cosr ¬- x30 #P : a 3 1 sing = lim r0 cost 730 xg z0 - lim — lim
Bây giờ, chúng ta nêu một mệnh để nói vẻ sự tốn tại giới hạn của một hàm số đơn
điệu
Định lý 1.11: Cho ƒ(z) là một hàm số xác dịnh, tăng (giảm) trên # khi đó nếu hàm s6 f(x) bị chặn trên (bị chặn dưới) trên 7? thì tồn lim S(2) ( jim, f(z))
ng nếu hàm ƒ(+) tăng mà
Chúng ta không chứng minh định lý này mà chỉ để ý
không bị chặn trên (giảm mà không bị chặn dưới) thì khơng tồn tại giới hạn của hàm
ƒŒ) khi z —+ +oo (z -+ —oo)
Bây giờ, ta nêu áp dụng Định lý 1.11 để chứng minh rằng:
1\7 197
lim ( + 2) = lim ( + 2) =e (1.4)
#—+oo Es tO ư
Giải: +) Trước hết, xét quá trình z => +oo Khi z khá lớn va x > 0, ta luôn tìm
được số œ € W để n € z < n + I Suy ra : re 1? 1 \? <> (l+— >|11-] >|1+ n r n+1 Tà có khi z + +00 thì ? — 00 va 1\ 1 1\" 1 (+2) =(142)' (142) o1ene ” n ntl nh iy metre n+1 n+l ( 1+— a) 1 1# Theo Định lý I.1I, tacó lim (: + :) rote x =e
+) Bây giờ, ta xét quá trình + :+ co
Đặt £ = —(z + 1) Khi z —> -:co thì f => + và vì z = -(£ + 1) nên ta có :
1 z 1 -(+1) t —(t+1)
| eee =(-
z (+1) Fi 1 7+1
= () ss ( + i) (: + i) rel =e Khi f -> Foo
`
1
Vay lim ( + 2) = ¢ <> (1.4) da chting minh xong
thì ta có một dạng khác của số œ: l mŒ tu)» = e(1.5) m3)
Cha y: +) Néu dat u =
Trang 30+) Số e và logarit tự nhiên: Số e là một số vô tỷ e = 2,71826 Hàm số
logarit với cơ số e được gọi là logariL tự nhiên hay logarit nêpe và ký hiệu là In ,
nghĩa là Inz = log„# z > 0
Từ cơ số e, ta xây dựng hàm số mũ ¿ = é” rất hay gập trong giáo trình về sau Ví dụ 1.34 Tính các giới hạn sau: 4 r+ z2 T1 a) lâm ( = 1) b) tin (3 +1 ¢ ; Sih i COSZ \ z3
c) lim(1 + sin) 4) lim (S 2m)
Giải: a) Khi # => co thì r+l — 1 va 2 = 2 — co nên ta gặp dạng vô định 1” Tà z— Đại rt | os ©2211 2 D6 đồ: red 2243 + 3
lim Gi] ta L 1 = lim (+2) soc z = lim ( + :) (1+ :) so z z
1 #72: 1 3
= lim lí + :) oe z - lim ( + ;) = fie one z
- (#2 =1 ge 5,1m (S55) = „t8 ('=zeï) 2z? 2+1 : 2 1 = ln (-z¬) a sins a 2
©) lim(1 + sinz)2# = lim z0 0 (1 + sin) j =ei
COS# — COS 2+
1 cos 21 x? cos 2x
d) lim ( COS )7 = lầm 1+ cos £ — cos 2x \ cog x — cos2r _
20 \cos 2x 70 cos 2r 3 =cỗ 2 4 OS 27 Š 1 (l= - (1 ~ cos x) ì hh - : = ( yụ 2a +2.cos 2+ củ {= 2+ +? > 1 ,_ l—cos2z ;- l—cosz 4 1 8 = tay sos (Bae 4 B=) =1(§-7) =9) —— ——— 4-1 = 1] Sx = 1.3.3 Vô cùng bé
a Dinh nghĩa 1.18: Hàm số ƒ(+) được gọi là vô cùng bé, viết tắt là VCB khi `
Trang 31# — #ọ, nếu jim f(x) =0 (xo c6 thé 1a hitu han hoac v6 cing)
Vi du 1.35: a) jl a) = Silt ø(#) = 1: eosz là các VCB khi + -> 0
b) /Œ) = + la VCB khi x — +-00
b Cac tinh chat cửu: VCB
i) Néu f(x) và g(+) là hai VCB trong cùng một quá trình thì tổng f(r) + ø(+), tích ƒ(+).ø(z) của chúng cũng là VCB trong quá trình ấy
ñ) Nếu ƒ(z) là VCB khi z => zo và ø(r) là hàm bị chặn ở lân cận của zo thì tích
ƒ(z).g(z) là VCB khi z — to
Tinh chat i) được suy ra từ các định lý về tổng tích các đại lượng có giới hạn Sau đây, chúng ta chứng minh tính chất ii)
Ta chứng minh cho trường hợp #'—› zọ, zọ hữu hạn Trường hợp z -> +oo được chứng minh tương tự Ta phải chứng minh rằng: Ve > 0, *] ð(c) >0: < |ữ - zo| <
ð(e) œ |ƒ(z).g(z)| < «
That vay, vi ham ø(z) là hàm bị chặn nẻn J AJ > 0, 16) > 0 sao cho Vir: 0 < |x — xo] < 4) thi |g(x)| < A
Mặt khác ta có lin f(r) = 0 <=> Ve > 0,5 62 > 0: 0 < |x ~ 2] < 62 thi —do
ƒŒ)|< a5
Chọn ð(e) = min{ơ,ð¿} thì có : Ve > 0,3} ổ(e) > 0 sao cho V+ : |0 < |x ~ tol <
ð(e) œ |ƒ(z).g(+)| < «
Vậy ƒ(z).ø(z) là VCB KH + — zụ ( dpcm)
Ví du 1.36: f(x) = asin = = am VCB khi x > 0 vi jim z= 0 va sin
là hàm bi chan 6 lan can diém 0
sine
Khi z — oo thi x là VCB vì lúc đó 2 — là VCB và sinz là hàm bị chặn
e Liên hệ giữa VCB và hàm số có giới hạn
Định lý 1.12: Điều kiện cần và du để hàm số ƒ(z) có giới hạn hữu han A trong
một q trình nào đó là ƒ(z) ~ A la VCB trong quá tình ấy Chứng minh dịnh lý này giành cho bạn đọc
d So sánh các VCH
Định nghĩa 1.14: Cho ƒ(z) và ø(z) là hai VCB khi z > 2g Tà nói rằng :
*) ƒ(z) có bậc cao hơn g(x) néu lim /) „ 0 và ký hiệu là ƒ(z) = ø(g(#)),# => Zo Khi đó ta cũng nói rằng g(z) có bậc thấp hon f(x) trong quá trình z -> #o
*) f(x) cùng bậc với ø(+) nếu fim mm = œ # 0 và ký hiệu là ƒ(z) = O(g(2)),# => zọ Đặc biệt, nếu lim mm - 1 thì ta nói rằng ƒ(z)tương dương với erty gla °
Trang 32
g(x) trong quá trình z —> zọ và ký hiệu là ƒ(r) ~ g(+),#' ~> #o
ụ vá su#u Ø tua 22
*) ƒ(z) và g(z) không so sánh được nếu /3 jim, at
Ví dụ 1.37: So sánh các VCB ƒ(z) = 1 ~ œos2r và g() = x khi x > 0
Giải: Tà có:
+ 1—€6S2£ „
lim = lin ———— = lim
#90 g(r) #90 % xo0 tạ \ 2 = lim 0 - ) - lim(2x) = 1.0 = 0 20 Vay f(r) = o(y()),2 > 0 Vi du J.39: So sánh các VCB ƒ(z) = (1 + x) va g(x) = & khi tz + 0 Giai: Tạ có:
lin ft) lim HẾN LấU = lim In(1 + x)? =In [ma +z)] =Ine= 1
r0 (0) #10 : 20 290 Vay In(L +r) ~ x, 2-90 1 Ví dụ T.39: So sánh các VCB f(x) == xcos— va g(x) = x khiz > 0 x 1
" , fe) “PERS —_— Se som sua Giải: Khi z — 0 thì = —— = cos— khong t6n tai gidi han (*), that vay
9() # #
1 1 _ ok | _
lấy z„ = mm na n=0,1,2, RO rang jim tn = jim Yn =0 Khi dé lim cos — = lim cos2nz = 1 va lim nee = lim cos(2n+ 1)m = —1 asco By - Meaee N90 dạy non
Theo định nghĩa giới hạn bằng ngơn ngữ dãy thì 4 lâm, cos *
Vậy từ (*) suy ra f(a) va g(x) la hai VCB khong so › sánh được khi z -> 0 e Qui tắc thay thế VCB tương đương và ngắt bỏ VCB bậc cao
Qui tac 1: Néu f(x) va g(x) , f(x) và ø(+) là những VCB khi z —> zọ và nếu
f(z) ~ ƒ(); g(z) ~ 8(2) thì : fle) Fle) ty g(a) — xôn g0)” Thật vậy,
Tứ) _ qụy ƒ0)70)40) — „ fe), Fle), ata) Fle) 28, (a) ~ i Fle) al@).a(e) , 2 Flay Bh Ga) A, gfe) ~ 2 Bay”
Qui tắc 2: Nếu ƒ(z) và ø(+) là các VCB khi z —> zọ và f(x) = o(g(x)) thi
F(z) + g(z) ~ 92)
Chứng minh qui tắc 2 giành cho bạn đọc Bây giờ ta nêu một vài ứng dụng các qui tắc này để tìm giới hạn của hàm số
Trang 33sin(z — 3) _ #+l—Co0s# + tjỦ+
im ————— b) lim ——————- .-
SN #2 — 4z + 3 băm 3ứ + sinf # — Ba Giải: a) Khi z — 3 ta có sin(z — 3) ~ x — 3 Ap dung qui tắc 1, ta có
fan SB 3) _ tin ee,
pg —de+3 rs(e—3)\(@—1) el Nie
b) Ta có 1— cosœ = ø(#), tg®e = o(x), sinf(z) = o(x), —5x° = o() khi z — 0 Áp dụng qui tắc 1 và 2, ta có :
@t+l—-cosr+tgie 1
lim [———,——- = lim - >: 20 3r4sinte -— 506 o0 đe 3
Chú ý: 1) Số 0 được coi là VCB cấp cao nhất trong mọi quá trình
2) Nếu ƒ(z) và ø(z) là các VCB khi z -> x9 va f(x) ~ F(x); g(x) ~ g(x) thi:
F(x) — g(z) = ol F(x)
Chú ý 2) cho ta thay rang, khong duoc thay thế tương dương từng số hạng trong biểu
thức hiệu của hai VCB tương đương
tga - sin 4 ie
Vi du 141: Xét A = lim 2 = Ta thay tor wr, sina ~ z khi #
sin x(1 int! 1 1
Ý) Khử dạng vô định ta cá A = tim SC 10 CO8 = lim Y= ư—U Œ COST — # Z
Vay tga — sinz = O(z))
+) Ta không được thay thế tương dương các số hạng ở tử số, nếu làm như vậy ta được kết quả sai là A = 0
f Phan chính của một VCB
Giải sử ƒ(z),ø(z) là các VCB khi z -› zụ và nếu dc € #,] & > 0 sao cho
/(+) ~ e.ø*(z) thì e.g*(+) được gọi là phần chính của VCB ƒ(z) so với VCB ø(+), còn k được gọi là cấp của VCB f(r) so với VCB ae):
Ví dụ 1.42: Khi z — 0 thì 1— cosz ~ > Vay 5 là phần chính và 2 là cấp của VCB 1 — cosz so với VCB x
1.3.4 Vô cùng lớn
a) Định nghĩa 1.15: Hàm số ƒ(z) được gọi là một vô cùng lớn, ký hiệu là VCL,
khi z — #o nếu in |ƒ(z)| = +œ Dĩ nhiên zọ có thể là hữu hạn hoặc vô cing
Ban đọc có thể dễ dàng kiểm tra lại rằng nếu ƒ(z) là một VCL khi # —> zọ thì 7 ) a là một VCB khi z —› zụ ; ngược lại nếu ø(z) là một VCB khi + -> zọ thì = là
một VCL khi z => Zo +)
Trang 34
Vi dy 1.43 a) ƒŒ) = {Tp là một VCL khi z — 1, thật vậy, ta cần chứng minh
ring VM > 0, tổn tại số 6 > 0 sao cho từ bất đẳng thức
ta >M (1.6)
1
Ta cho truéc sé AJ > 0 wy ¥ va giai bat phuong trinh ~——, > M Ta c6 (1-2)?
[l-a]< ath M > 0 Nhu vay néu dat 6 = _— thì từ bất đẳng thức |z — 1| < ð
VM vM = +00 ® ƒ(z) là một VCL khi - 1] ¢ 6 thi suy ra
ta sẽ có (1.6) Điều đó có nghĩa là lim aap Pt
b) (2) — log„z,ø > 1 1a mot VCL khi -> +00, that vậy, ta cần chứng minh rằng doi vor VAT > 0, tồn tai sé A > 0 sao cho từ bất đẳng thức z > A ta có log„# > M là cho trước số Ä/ > 0 tuỳ ý và xét bất phương trinh log, « > M Néu dat A = a” tị với z > 2, ta có log„# > M Do dé jim, log, = +00 < g(x) la mot VCL
Khir > +00
Chú ý: ¡) Nếu ƒ(z) là một VCL khi z -› zọ thì ƒ(z) là hàm không bị chặn Ngược
lại một hàm không bị chặn chưa chắc đã là một VCL
“í dụ 1.44: Hàm số ƒ(#) = z+ cos + là một hàm không bị chặn khi z —> co, thật vậy lay M > 0 tuỳ ý, xét dãy z„ = 2nz, khi đó ƒ(œ„) = 2n cos(2nz) = 2n Ta chọn n sao cho 2m > ÄÏ «> r > x nghĩa là khi đó ƒ(z„) > Af Vậy ƒ(z) không bị
chặn khi z — oo
Nhưng ƒ(z) không là VCL khi #z —› co, vì ta có thể chọn dãy khác „ = 5 + 2nr,
ta CÓ 1„ => œo khi r => co và khi đó dãy hàm tương ứng
TT TẾ
fn) = G + 2nm) cos G + 2n) =0>0 khi n —> 00
Ví dụ trên cũng chứng tỏ khẳng định ii) sau :
ii) Tích của một VCL và một hàm bị chặn chưa chắc đã là một VCL b) So sánh các VCL
Định nghĩa 1.16: Cho ƒ(+) và g(+) là hai VCL khi z —> zọ Tà nói rằng:
*) f(x) có bậc thấp hơn ø(z) nếu jim a = 0 Khi dé ta ciing ndi rang g(x) t¬sro 0: có bậc cao hơn f(x) trong quá trình z —> Zo
*) ƒ(z) có bậc cao hơn ø(z) nếu lim A 220 gl có bậc thấp hơn ƒ(z) trong quá trình x -> xo
*) ƒ(z) cùng bậc với ø(+) nếu lim oS tree g(x f(x)
dim oy 72 thì ta nói rằng ƒ(z)và ø(z) là hai VCL tương đương trong quá trình
= œ Khi đó ta cũng nói rằng g(z)
= k Œ #0,k hữu hạn) Đặc biệt, nếu
Trang 35# — zọ và ký hiệu là ƒ(#) ~ g(2),# — #o
*) ƒ(z) và g(z) không so sánh được nếu 3 lim /), z5% g0)
e) Qui tắc thay thế VCL tương đương và ngắt bỏ VCL bậc thấp Qui tắc 1: Cho ƒ(z) và g(x) , f(x), g(x) là các VCL khi z => zọ Nếu
1a) ~ Ï&)¡ ga) ~ 8) th: lim TỔ = lim TỔ)
Qui tắc 2: Cho f(z) va g(x) là các VCL khi z — zọ Nếu g(z) là VCL cấp thấp
hon ƒ(z) thì ƒ(z) + ø(z) ~ f(x) khi — zo
Vi du 1.45:
a) lim Bg — ta? +5 = 7a? +65 x¬ee ð#3 + 2 — 1
P (2? + Qa
b) 2, (25 — a4 + 223
Bây giờ, để kết thúc mục này, chúng ta nêu một vài vi du về ứng dụng VCB và VCL
48 Khir dang vo dinh: =; = 0.00; œo — eo Đặc biệt khi tìm giới han dang 1%
chúng ta có thể dùng kết quả sau: Nếu lim ƒ(z) =1, lim g(x) = œ thì tonto eso
lim z)— lim /(z)9) = elt MeN
220
Ngoài ra cần nhớ một số VCB tương đương sau đây:
2
- 2 z 8
Khi z > 0, ta có sinz ~ z, fgz ~ z,l1— cosz ~ ” arCSin# ~ z,arctgt ~
#, €Ằ®—1⁄~+, In(1++z)~z, (1+z)*—1~ez
Vi du 1.46: Tính các giới hạn sau:
1
rae? eee i i:
a) dime ( cos ) b) jim (<= cotg +)
anag cr ge a és tg2z
c) jim, Pa d) jim (cos 2) e) lim 7
Giải: a) Giới hạn có dạng 0.oo, ta có:
7 2 —~cos—) = 1 af #2 Dain? 1 =: Jip G2 1 ge = 1
Jim z ¢ cos 2) jim 2 2 sin’ oe Jin a ap 3
b) Giới hạn có dạng œo — co, ta có:
s 208 Z(1 — COs
tim (25% — cotg?z) = lim S232 008) gp Bd
240 \sin? x z¬0 sin? x Tạ: zo0_ Tx Ø2 2
0 orgy +
Giới lang 1Ơ ó: H =k
c) Gidi han c6 dang 0° ta có lim SFr iim ay
Trang 36
d) Giới hạn có dạng 1°, ta có: lim(cosz)?7 = k 230
e) Ta có
TL a
tg2z sin 2z SiHẲT —#) inde sin(Z —”)
lim ae = lim 7 = lim = 4
27 cotg(——z) #ÐÏcos2z.cos(— —z) #*' cos(— — 2) sin(= — 2z)
4 4 4 2
sj dự b
„„—_ sin2r any =) 1
= lim ——xz——: lm ———œ————# “5 te cos(2 =n) #73 2sin(T —”) cos( + —z)
L4 Sự liên tục của hàm số một biến số
Khai niệm liên tục của hàm số là một trong những khái niệm rất cơ bản của giải uch loan hoc, nó đóng vai trị quan trọng trong việc nghiên cứu hàm số cả về lý thuyết lần ứng dụng Trong mục này giới thiệu tính liên tục của hàm số một biến
và các tính chất quan trọng của chúng
1.4.1 Các định nghĩa:
Định nghĩa 1.17: Hàm số ƒ(+) được gọi là liên tục tại điểm zọ nếu nó thoả mãn hai điều kiện sau: *) ƒ(z) xác định tại zo và lân cận của zo
**) f(a) => ƒ(zg) khi # -> #o
Điểm zọ gọi là điểm liên tục của hàm ƒ(z) và ký hiệu là ƒ € C(zo)
Cho zo s6 gia Az, ta goi Af = ƒ(zo + Az) — ƒ(œo) là số gia của hàm số ứng với số gia Az tại zo của đối số Khi đó ta có thể phát biểu định nghĩa trên dưới dạng tương đương sau đây:
Định nghĩa 1.18: Hàm số ƒ(+) được gọi là liên tục tại điểm zọ nếu nó thoả mãn hai điều kiện sau: *) ƒ(z) xác định tại zo và lân cận của zo
**) Af - 0 khi Az ->0
Định nghĩa 1.19: Ham số ƒ(z) được gọi là liên tục trái (hoặc phải) tại diém xo nếu nó thoả mãn hai điều kiện sau: *) ƒ(z) xác định tai zo va lân cận trái (hoặc lân cận phải) của điểm zo;
**) ƒ(ro — 0) = ƒ(zo) (hoặc ƒ(zo + 0) = ƒ(zo))
Định nghĩa 1.20: Hàm số ƒ(z) dược gọi là liên tục trong khoảng (ø,b) nếu nó liên tục tại mọi # € (a,b) va ham f(z) gọi là liên tục trên đoạn [a,b| nếu nó liên tục tại moi z € (a,b) và liên tục phải tại điểm z = a, liên tục trái tại điểm z = b
Định nghĩa 1.21: Hàm số ƒ(+) không liên tục tại điểm xo được gọi là gián đoạn tại
điểm ấy Vậy zoọ là điểm gián đoạn của hàm số f(x) nếu hoặc zo không thuộc miền xác định của ƒ(z), hoặc zo thuộc miền xác định của ƒ(z) nhưng jim f(z) # ƒ(o), hoặc không tổn tại lim, f(z)
Trang 37Bằng "ngôn ngữ dãy” định nghĩa hàm số liên tục có thể phát biểu dưới dạng tương đương sau:
Ham số ƒ(£) được gọi là liên tục tại điểm r¿ nếu đối với đây bất Kỳ các giá trị các giá trị tương ứng của hầm
của đối số £q,#2.ra, v2 hỘi tụ đến ory
số ƒ(rì), ƒ(rz) ƒ(ru) hội tụ đến ƒ(zu)
Tương tự, có thể phát biểu định nghĩa hàm sô liên tục bằng ngôn ngữ ”c - 3” như
sau:
Hàm số ƒ(r) được gọi là liên tục tại diém wry nếu : Vé >Ú 1 ð(c) >0: Và
ĐỰ): {lr— aa| < ð()} > lr) Paw) <
Ví dụ 147:
a) Hàm số ƒ(+) = r li
tục theo "ngôn ngữ c — ở” ở trên ta chỉ cần lấy ổ(e) = c khi đó Vừ€ D(/) :
{lr = xa| < ð() = €} thì [/Œ) - /G)| = |e = rol <c
b) Ham s6 f(x) = |] lien te tai r= 0 vì tin f(r) = 0
£
n tục với mọi + hữu hạn vì theo dịnh nghĩa hàm số liên
c) Ham số ƒ(#) = ——— gián doạn tại điểm « = ¿z vì tại diểm + -: mm hàm số rom không xác định 1 d) Ham sé f(r) = ¢ 1 0
gián đoạn tại các điểm + = 0 z e 2 vì chẳng hạn tại œ = l ta có
lạm, /() = Lvà lim, f(r) = - 1 Hai giới hạn trái và phải của hàm số Ƒ(z) tại
điểm + = 1 khác nhau nên không tỏn tai lim ƒ(+)
Dùng các định lý vẻ giới hạn của tổng tích thương
các hàm số có thể suy ra:
Dinh lý 1.12: Cho /(z) ø() là hai hầm số liên tục trong khoảng (ơ 0) khi đó: a) f(a) + ø(+) liên tục trong khoảng (ø.b):
b) /(.r).ø(+) liên tục trong khoảng (+, 0);
f(r)
c) ar)
Từ dịnh lý trên suy ra:
Các da thức là những hàm liên tục
điểm là nghiệm của da thức ở mâu xố: các hàm xö lượng giác liên tục trong miễn
và định nghĩa liên tục của
liên tục trong khoảng (2.b) trừ ra những điểm + mà ¿/(+) - 0
ác hàm phân thức hữu tỷ liên tục trừ các
xác định của nó
Sau day chúng ta phát biểu định lý vẻ ›
Định lý 1.13: Giả sứ hàm sở (+) xác dinh trong khoảng (c./) và ƒ() xác dịnh trong khoảng (œ,b) và khi + biển thiên trong khoảng (œ,) thì ƒ(+) khơng lấy giá
trị ngoài khoảng (e,J) Nếu ƒ(z) liên tục tại diém ay © (a,b) va g(r) lien tue tai
diém tuong tng yy ~ ƒ(+¿) thì hàm số hợp ø|ƒ(+)| liên tục tại điểm zụ
Chứng mình: Giả sử cho c > 0 uy ý, vì g() liên tục tại điểm ¿ nén theo
ự liên tục của hàm hợp
Trang 38định nghĩa liên tục ở trên sẽ tìm dược ð¡(c) > 0 sao cho khi |y — yo| < ð¡(c) thì la(y) ~ ø(6)| <+
Mặt khác vì hàm số /(z) liên tục tại điểm zø nên với ổ¡(c) > 0 ở trên sẽ tìm
được ổ(c) > Ú sao cho khi fr ~ zo|< ä() có Ƒ() - ƒ(ro)[= ƑŒ*) ~ wol < ble)
ừ đó suy ra |g[ƒ(#)| - (6)\ = |g(P)1 - olf Cro) < €
Bat dang thức cuối cùng này chứng tỏ rằng khi z —y zo thì ø[/(+)] — ø[/(zo)] Do đó theo định nghĩa ø|/(+)} Hiện tục tại điểm ro (đpem)
Chú ý: a) Các
m sO so cap thì liên tục trong miền xác định của nó;
b) Có thế dùng tính liên tục của hàm số để tìm một số giới hạn Cụ thể chúng ta có các công thức sau đây:
(la "od soe px (Atay
L8 log, ii) lim = Ina iii) tin ee EE HH,
' w=zU „0 ưu
log, (LF uw)
tì tố —————DC = log, u (1 + u)* Vi ham s6 logarit liên tục nên suy ra logy (1 + 4 i
= = logy ling + u)# = loge
jm= u wl
Cong thtte i) duoe chting minh xong
Để chứng mình cơng thức ii) ta data” 1 = <> u = log,(1 + ¢) va khiu > 0 thi’ -+ 0 Vi ham sé ma lién we nén suy ra
ger t 1
li = fin—+— =
0 imlog,(1 +0) log, e = Ina
Công thức ii) được chứng minh xong
Cuối cùng để chứng minh công thức iii) ta đặt (1 +)“ -1=#£ $@ Ìn(1 +) = In(1 + ¢) va khi w -> 0 thì £ -> 0 (vì hầm số luỹ thừa liên tục)
1+u)}“~1 + 4
u u In(l + 4) u
3 BS Fh ae eh ayes
Sử dụng cong thtic i) va fi) suy ra lin 1 = jt <> Cong thite iii) được
et tt `
chứng minh xong
1.4.9 Diểm gián đoạn của hàm số
Định nghĩa 1.22: Giải sử hàm số ƒ(+) gián doạn tại điểm rp “Ti nói rằng điểm ary las
a) Điểm gián đoạn loại I nếu các giới hạn một phía hữu hạn Nếu ƒ(rọ — 0) =
(eo 10) Z)/(*a) thì xo gọi là điểm gián đoạn bỏ được
b) Điểm gián đoạn không phải loại I được gọi là điểm gián đoạn loại II
Nếu +ụ là điểm gián đoạn loại I của hàm /(z) thì hiệu (to +0) — ƒ(rạ — 0) được
gọi là bước nhảy của hàm /(z) tại điểm ry 2
Trang 39
tạm
Ví dụ 148: a) Xét hầm số ƒ(ø) = J2 nếu Z0
a néuz=0
Rõ ràng ở đây lim f(z) = 1 va ƒ(0) = a, do đó nếu a # 1 thì hàm số ƒ(z) khơng liên tục tại z = 0, và nếu ø = 1 thì hàm số ƒ(z) liên tục tại z = 0; z = 0 là
điểm gián đoạn bỏ được
1 vớ0K<xr<l
b) Xét hàm số ƒ(z) = {2 véi 1 <x <2 cho ở Ví dụ 1.47 d)
0 voi x ¢ [0,2]
Ta có ƒ(L—0) =1, ƒ(1+0) = —1, nghĩa là khi z — 1 thì hai giới hạn trái và phải
hữu hạn và khác nhau Vậy z = 1 là điểm gián đoạn loại I Bước nhảy của hàm số
này tại điểm z = 1 là ƒ(1 +0) — ƒ(1— 0) = —1
_ fet nếuz#0
27) = {5 nếu # = 0
Ta có ƒ(0— 0) =0, ƒ(0 +0) = +00 Vay x = 0 là điểm gián đoạn loại II Vi f(0 — 0) = ƒ(0), nên hàm số này liên tục trái tại z = 0
d) Khảo sát tinh liên tục của hàm số ƒ(z) = = = al
Hàm số xác định và liên tục với mọi z € ?\ {5}
- 3
3 3 1 néur>5
Vì 2z T— 3 > 0 khi z > „ và 2z — 3< 0 khi z < „ nên ƒ(z) =
2 a =1 nếu#<z
3 3 3 3
Do đó AS +0)=1, LS —0) =—I1 Vậy r= 5 là điểm gián đoạn loại I 1.4.3 Các tính chất của hàm liên tục
Sau đây, chúng ta sẽ nêu ra một số tính chất cơ bản của hàm số liên tục
Dinh ly 1.14: Cho ƒ(z) là một hàm số liên tục trên đoạn {a,ö} và ƒ(a).ƒ(b) < 0
Khi đó tồn tại e € (a,b) sao cho f(c) = 0
Định lý này có một ý nghĩa hình học rất đơn giảnvà thú vị Tà thấy rằng đồ thị của
một hàm số liên tục là một đường liền nét, như vậy định lý này nói rằng nếu đồ thị nằm ở hai phía đối với trục hồnh thì sẽ cắt trục hoành
Chứng minh: Ta giả thiết ƒ(a) < 0, ƒ(b) > 0 Dat co = a,dyo = b + f(co) < 0, f(do) > 0
oo eis Flug) = Ú thì e= nạ, nếu ƒlua) << l tỉ đặt e; = tạ ốy =iấu,
Dat up =
còn nếu ƒ(wo) > 0 thì đặt c) = co, dy = uo Ta lai xét [e1, di] và c6 f(c1).f(di) < 0 oth và quá trình tiếp diễn Nói chung với cách đặt như trên,
Tiếp tục đặt uạ =
cnt dn
ta được [Cn, dp], Un = Néu f(u,,) = 0 thi c = u, va c chính là nghiệm của
phương trình f(x) = 0
Trang 40Nếu ƒ(u„) < 0 thì dat cu+¡ = ta, dnor = du
Nếu ƒ(w„) > 0 thi dat Cny1 = Cn, dn4i = Un
Giả sử quả trình này khơng kết thúc khi đó ta có hai dãy số {c„} va {da}
cùng hội tụ và có chung giới hạn là c Vì ƒ(e„) < 0 f(en) > ƒ(e) < 0 và
/(đ„) — ƒ(e) > 0, do đó ƒ(e) = 0 (đpem) oa
Dinh lý 1.15 (Vayestras I: Nếu hàm số ƒ(z) lién tuc trén doan [a,b], thì nó bị chặn trên đoạn ấy
Chứng minh: Đặt 7 = {ƒ(z)| z € [a,b|} Ta sẽ chứng minh tập 7 là bị chặn
That vay, gid sir J khơng bị chặn và có một cận trên là +oo (nếu có cận dưới là —== thì chỉ cần thay f(x) boi — f(x) va dùng lập luận tương tự), khi đó với
VN © N*, dary € [a,b| sao cho ƒ(ry) > N Xét dãy số {zv},zw € |a,b] Vì đầy số {zx} bị chặn nên theo định lý Bolzano-Weierstrass tìm được day con {z„„} họi tụ tới một điểm thuộc đoạn [ø,b] Mặt khác vì hàm ƒ(z) liên tục trên [a,b| nên
f( jim wy, )= > lim n ƒ(#A,)- Vi f(rn,) > tN, Va Ne > +oo và điều này mâu thuẫn với giả thiết hàm F(a) xác định trong đoạn [ø,b| Vậy tập J 1a bi chặn n Dinh lý 1.16 (Vayestras II): Nếu hàm số ƒ(z) liên tục trên đoạn [ø, ở], thì nó đạt giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất trên đoạn ấy
Định lý 1.17: Nếu hàm số ƒ(z) liên tục trén doan (a, }] va € [mm, M], trong đó
mm, tương ứng là giá trị bé nhất, giá trị lớn nhất của hàm f(z) trén doan [a, 6] thi t6n tai c € (a,b) sao cho f(c) = p
BAI TAP CHUONG 1
1 Dùng ký hiệu tập hợp, biểu diễn các tập hợp sau:
a) Các số nguyên dương bé thua 11
b) Các số nguyên dương là bội số của 3 và bé thua 25
c) Các phân số có tử số là 5 và mẫu số là một số nguyên dương bé thua 12
2 Liệt kê mọi tập con của các tập hợp sau:
a) {a,b, c,d} b) {1,2,3}
3 Chứng minh rằng :
a) Nếu AC B th AnB=A, AUB=B
b) Nếu Án 8= A thì AC B