Bài giảng giải tích iii phần 2 ts bùi xuân diệu (2019)

CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN (11 LT + 12 BT) Để miêu tả trình tự nhiên, người ta thường diễn đạt chúng dạng mơ hình tốn học, cho dù dạng trực giác dạng định luật vật lý dựa nghiên cứu thực nghiệm Các mơ hình toán học thường biểu diễn dạng phương trình vi phân, phương trình chứa ẩn hàm đạo hàm Điều có lẽ khơng gây ngạc nhiên, thực tế thường bắt gặp nhiều trình có "sự thay đổi", mà thay đổi giá trị đại lượng thời điểm t đạo hàm đại lượng t Chẳng hạn như, vận tốc đạo hàm hàm khoảng cách, gia tốc đạo hàm hàm vận tốc Ngoài ra, muốn dự báo giá trị tương lai dựa thay đổi giá trị Chúng ta bắt đầu vài ví dụ đơn giản Mơ hình tăng trưởng dân số Một mơ hình (đơn giản nhất) cho tăng trưởng dân số dựa vào giả thiết dân số tăng với tốc độ tỉ lệ với độ lớn Tất nhiên, giả thiết đạt với điều kiện lý tưởng, mơi trường sống thuận lợi, đầy đủ thức ăn, khơng có dịch bệnh, Trong mơ hình này, t = thời gian (biến độc lập) P = Số lượng cá thể (biến phụ thuộc) Tốc độ tăng trưởng dân số đạo hàm P theo t, dP/dt Do đó, giả thiết dân số tăng với tốc độ tỉ lệ với độ lớn viết dạng phương trình sau dP = kP (2.1) dt k tỉ lệ tăng dân số, số Phương trình 2.1 phương trình dạng đơn giản cho mơ hình tăng trưởng dân số Nó phương trình vi phân chứa ẩn hàm P đạo hàm dP/dt 93 94 Chương Phương trình vi phân (11 LT + 12 BT) Ví dụ 0.1 Theo số liệu www.census.gov vào năm 1999 số dân toàn giới đạt tới tỉ người tăng thêm khoảng 212 ngàn người ngày Giả sử mức tăng dân số tự nhiên tiếp tục với tỷ lệ này, hỏi rằng: (a) Tỷ lệ tăng k hàng năm bao nhiêu? (b) Vào kỉ 21, dân số toàn giới bao nhiêu? (c) Hỏi sau số dân toàn giới tăng gấp 10 lần–nghĩa đạt tới 60 tỉ mà nhà nhân học tin mức tối đa mà hành tinh cung cấp đầy đủ lương thực? Mơ hình cho chuyển động lị xo m vị trí cân m x Bây chuyển sang ví dụ mơ hình xuất vật lý Chúng ta xét chuyển động vật thể có khối lượng m gắn vào lị xo thẳng đứng (xem hình vẽ trên) Theo Định luật Hooke, lò xo kéo dãn (hay nén lại) x-đơn vị khỏi vị trí cân xuất phản lực mà tỉ lệ với x: phản lực = −kx k số dương (được gọi số lò xo) Nếu bỏ qua ngoại lực, theo Định luật Newton (lực khối lượng nhân với gia tốc), ta có d2 x m = −kx dt (2.2) Đây ví dụ dạng phương trình vi phân cấp hai, chứa đạo hàm cấp hai ẩn hàm Hãy xem dự đốn nghiệm phương trình cho Trước hết, phương trình 2.2 viết dạng sau d2 x k = − x, dt m 94 Các khái niệm mở đầu 95 nghĩa đạo hàm cấp hai x tỉ lệ với x có dấu ngược lại Chúng ta biết hai hàm số có tính chất phổ thơng, hàm số sine cosine Thực tế, nghiệm phương trình 2.2 viết dạng tổ hợp hàm số sine cosine Điều có lẽ khơng gây ngạc nhiên, dự đoán vật thể dao động xung quanh điểm cân lò xo, thật hợp lý nghiệm có chứa hàm lượng giác Ví dụ 0.2 Chứng minh với C1 , C2 ∈ R, hàm số sau nghiệm phương trình 2.2: r r k k + C2 sin x(t) = C1 cos m m §1 CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU • Phương trình vi phân (viết tắt: PTVP) phương trình có dạng F (x, y, y ′ , y ′′ , , y (n) ) = 0, x biến số độc lập, y = y(x) hàm số phải tìm, y ′ , y ′′ , , y (n) đạo hàm • Nghiệm PTVP: hàm số y = y(x) thỏa mãn phương trình • Giải PTVP: tìm tất nghiệm • Cấp PTVP: cấp cao đạo hàm y có mặt phương trình • PTVP tuyến tính phương trình mà hàm số F hàm bậc biến y, y ′ , , y (n) Dạng tổng quát PTVP tuyến tính cấp n là: y (n) + a1 (x)y (n−1) (x) + · · · + an−1 (x)y ′ + an (x)y = f (x), a1 (x), · · · , an (x) hàm số cho trước Ví dụ 1.1 Giải PTVP sau a) y ′ = sin x b) y ′ = ln x c) y ′′ = xex Ví dụ 1.2 Chứng minh hàm số họ hàm số sau y= + cet − cet nghiệm PTVP y ′ = 21 (y − 1) 95 96 Chương Phương trình vi phân (11 LT + 12 BT) §2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 2.1 Đại cương phương trình vi phân cấp Xét toán giá trị ban đầu (Cauchy)    y ′ = f (x, y), (2.3)   y(x0 ) = y0 Định lý 2.1 (Sự tồn nghiệm) Giả thiết • f (x, y) liên tục miền D ⊂ R2 , • (x0 , y0 ) ∈ D Khi • lân cận Uǫ (x0 ) x0 tồn nghiệm y = y(x) phương trình y ′ = f (x, y) thỏa mãn y(x0 ) = y0 • Ngồi ra, ∂f (x, y) ∂y liên tục D nghiệm Chú ý 2.1 (x, y) liên tục D phá vỡ tính nghiệm • Vi phạm điều kiện ∂f ∂y √ ′ toán Ví dụ, y = y, y(0) = • Vi phạm giả thiết f (x, y) liên tục D làm tốn vơ nghiệm Ví dụ, y ′ = 2y , y(0) = x Định nghĩa 2.1 Xét PTVP cấp tổng quát y ′ = f (x, y) (2.4) Nghiệm tổng quát phương trình họ hàm số y = ϕ(x, C) thỏa mãn: • với C , ϕ(x, C) nghiệm phương trình (2.4), • ∀x0 , y0 ∈ D, ∃C = C0 : ϕ(x, C0 ) nghiệm tốn Cauchy (2.3) Khi ϕ(x, C0 ) gọi nghiệm riêng Nghiệm kì dị nghiệm khơng nằm họ nghiệm tổng quát Tích phân tổng quát nghiệm tổng quát cho dạng hàm ẩn φ(x, y, C) = 96 Phương trình vi phân cấp 97 Khi cho C = C0 cụ thể ta có tích phân riêng φ(x, y, C) = Ví dụ 2.1 Xét phương trình √ y ′ = y, y ≥ √ Giả sử y = 0, chia hai vế phương trình cho y ta √ ( y)′ = 1, √ y = x + C Như miền    −∞ < x < +∞, G=   0 < y < +∞ phương trình có nghiệm tổng quát y = (x + C)2 , x > −C Thật vậy, miền G hàm √ f (x, y) = y liên tục có đạo hàm riêng ∂f = √1y liên tục Ngoài ra, phương trình ∂y cịn có nghiệm y(x) = Nghiệm nghiệm kì dị Ví dụ 2.2 Tìm nghiệm (hoặc tích phân) tổng quát PTVP a) y ′ = sin x, b) y ′ = ln x, c) y ′ = xex 2.2 Các phương trình khuyết Chúng ta trước hết xét lớp PTVP cấp đơn giản nhất, phương trình khuyết, i.e., phương trình khơng có xuất y x Phương trình khuyết y: phương trình có dạng F (x, y ′ ) = Z ′ • Nếu giải y = f (x) y = f (x)dx    x = f (t) ′ ′ • Nếu giải x = f (y ) đặt y = t ta có Z   y = tf ′ (t)dt Đây tích phân tổng qt phương trình cho dạng tham số    x = f (t) dy dy = f ′ (t)dt = g(t) Do • Nếu giải ta có y ′ = dx   ′ y = g(t)    x = f (t) Z   y = g(t)f ′ (t)dt Đây tích phân tổng quát phương trình cho dạng tham số 97 98 Chương Phương trình vi phân (11 LT + 12 BT) Phương trình khuyết x: phương trình có dạng F (y, y ′ ) = Z dy ′ dy • Nếu giải y = f (y) ta có dx = f (y) ⇒ x = f (y)  Z   f ′ (t) x = dt t • Nếu giải y = f (y ′ ), đặt y ′ = t   y = f (t)    y = f (t), • Nếu giải dạng tham số   y ′ = g(t) Ví dụ 2.3 Giải PTVP sau x = a) x = y ′2 − y ′ + Z f ′ (t) dt g(t) b) y + y ′2 = 2.3 Phương trình vi phân với biến số phân ly Định nghĩa 2.2 Phương trình có dạng f (y)dy = g(x)dx hay y ′ = với biến số phân ly g(x) f (y) gọi PTVP Sở dĩ phương trình gọi PTVP với biến số phân ly, tách thành hai vế, vế chứa x, vế chứa y Cách giải: tích phân hai vế phương trình ta Z Z f (y)dy = g(x)dx ⇒ F (y) = G(x) + C Ví dụ 2.4 (Giữa kì, K61) Giải PTVP a) + x + xy ′ y = 0, b) + x − xy ′ y = Bài tập 2.1 Giải PTVP sau a) tan ydx − x ln xdy = 0, e) y ′ − y − 3y + = 0, b) y ′ cos y = y , f) y ′ (2x + y) = 1, c) √ 4+y x2 +4x+13 = 3y+2 ′ y, x+1 g) y ′ = sin(y − x − 1), d) y ′ = a cos y + b (b > a > 0), h) y ′ = i) x2 (y + 5)dx + (x3 + 5)y dy = 0, y(0) = 1, √ √ j) xydx + (1 + y ) + x2 dy = 0, y( 8) = 98 x−y−1 , x−y−2 Phương trình vi phân cấp 99 2.4 Phương trình vi phân đẳng cấp Định nghĩa 2.3 Phương trình có dạng y ′ = F Cách giải: Đặt v = phân ly y x y x
gọi phương trình đẳng cấp ta có y ′ = v + xv ′ Thay vào phương trình ta PTVP với biến số dv dx = x F (v) − v Bài tập 2.2 (Cuối kì, K62) Giải phương trình vi phân a) 2y ′ +
y x = −1 b) 2y ′ − Bài tập 2.3 Giải PTVP a) y ′ = y x + x y
y x = e) xydy − y dx = (x + y)2 e− x dx, + 1, y b) xy ′ = x sin xy + y , f) (x − 2y + 3)dy + (2x + y − 1)dx = 0, c) x2 y ′ + y + xy + x2 = 0, g) xy ′ = y ln xy , y(1) = 1, d) (x + 2y)dx − xdy = 0, √ h) ( xy − x)dy + ydx = 0, y(1) = 2.5 Phương trình đưa phương trình đẳng cấp Xét phương trình ′ y =f  a1 x + b y + c a2 x + b y + c  (2.5) Nhận xét c1 = c2 = (2.5) phương trình đẳng cấp Nếu hai số c1 , c2 khác ta tìm cách đưa (2.5) dạng đẳng cấp    6= x0 thuộc (a, b) y1 , y2 ĐLTT Hệ 3.1 Nếu W (y1 , y2 )(x) = y ′ y ′ Chú ý 2.1 Chú ý điều ngược lại Định lý 3.3 không Chẳng hạn hàm số       x2 , x ≥ 0, 0, x ≥ 0, f (x) = g(x) =     0, x ≤ x2 , x ≤ có W (f, g) = (−∞, +∞), nhiên f, g ĐLTT Tuy nhiên, có thêm điều kiện y1 y2 nghiệm PT (2.17) điều ngược lại Định lý 3.3 Đó nội dung Định lý sau Định lý 3.4 Nếu y1 (x), y2 (x) nghiệm phương trình (2.15) chúng PTTT (a, b) y1 y2 = 0, ∀x ∈ (a, b) W (x) =