Bài giảng giải tích b1 chương 1 2 cao nghi thục

GIẢI  TÍCH  B1   GV:  CAO  NGHI  THỤC EMAIL:  cnthuc@hcmus.edu.vn Đạo  hàm   Page  § Đạo hàm §Định  nghĩa   Nếu  đặt  ∆x = x   − x &; ∆y = f x & + ∆x − f x &  thì     f’ x& Page  § f x & + ∆x − f x& ∆y = lim = lim ∆/→& ∆/→& ∆x ∆x Đạo  hàm   Page  § Đạo  hàm   Page  § Đạo  hàm   § Bảng  đạo  hàm  của  một  số  hàm  số  sơ  cấp   sinx = cosx; cosx = −sinx; tanx = arcsinx = : :  CD : : 5=− > ; arccosx :  CD> :         arctanx = :ED> ; arccotx = − :ED> Page  § ;; : ; ; / : cotx = − =?@> / Vi  Phân §Định nghĩa Hàm f(x)  khả vi  tại x0 f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) = f ʹ′( x0 )Δx + o(Δx) Khi đó,  tích f ʹ′( x0 )Δx gọi vi  phân f(x)  tại x0 Ký kiệu:   df = f ʹ′( x)Δx = f ʹ′( x).dx Page  § Vi  Phân §VD15 Tính  vi  phân  của  hàm   dy = Page  § tan x ln 2.( tan x )ʹ′.dx = y = f ( x) = 2 tan x tan x ln 2 tan x cos x dx Vi  Phân Các  quy  tắc  tính  vi  phân Vi  phân  của  tổng,  tích,  thương d(u+v)=d(u)+d(v) d(uv)=vdu+udv ⎛ u ⎞ vdu − udv d ⎜ ⎟ = (v ≠ 0) v ⎝ v ⎠ Page  § Vi  Phân Áp  dụng  vi  phân  tính  gần  đúng Cho  f(x)  khả  vi  tại  x0  đó: f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) = f ʹ′( x0 )Δx + o(Δx) Bỏ  qua  VCB  bậc  cao  ta  có f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) ≈ f ʹ′( x0 )Δx Hay   Page  § 10 f ( x0 + Δx) ≈ f ( x0 ) + f ʹ′( x0 )Δx Đạo  hàm  và  Vi  phân  cấp  cao Đạo  hàm  cấp  cao Nếu  f(x)  có  đạo  hàm  f’(x)  thì  f’(x)  gọi  là  đạo  hàm  cấp  1 Nếu  f’(x)  có  đạo  hàm  thì  đạo  hàm  này  gọi  là  đạo  hàm   cấp  2,  ký  hiệu  f’’(x)   … Đạo  hàm  của  đạo  hàm  cấp  n-­1  gọi  là  đạo  hàm  cấp  n,   ký  hiệu   (n) ( n−1) f ( x) = [ f ( x)]ʹ′ Page  § 13 Đạo  hàm  và  Vi  phân  cấp  cao VD  18 Cho  hàm  số  y=  sinx  Tính (n) y ( x) VD  19 Cho  hàm  số  y=  cosx  Tính y ( n ) ( x) : VD  20    Cho  hàm  số  y=   /  Tính Page  § 14 (n) y ( x) Đạo  hàm  và  Vi  phân  cấp  cao Vi  phân  cấp  cao Nếu  f(x)  khả  vi    thì  dy=f’(x).dx  gọi  là  vi  phân  cấp  1 Vi  phân  của  dy  gọi  là  vi  phân  cấp  2,  ký  hiệu   d y = y ʹ′ʹ′( x).dx … Tổng  quát  vi  phân  cấp  n,  ký  hiệu   Page  § 15 n (n) d y = y ( x).dx n Quy  tắc  L’Hospital §Quy tắc L’Hospital ∞ Áp dụng cho dạng vô định , ∞ Định lý Cho f(x),g(x) xđ, khả vi lân cận x = x0 (có thể trừ điểm x0) § lim f ( x) = 0, lim g ( x) = 0, g ʹ′( x0 ) ≠ x → x0 Ở lân cận x = x0 Khi đó, Page  § 16 x → x0 f ʹ′( x) lim =A x → x0 g ʹ′( x) f ( x) lim =A x→ x0 g ( x) Quy  tắc  L’Hospital §VD21 Tính x cos x − sin x lim x →0 x sin x cos x − x sin x − cos x = lim x →0 sin x + x cos x L Page  § 17 − x sin x = lim x →0 sin x + x cos x Quy  tắc  L’Hospital §VD22 Tính Page  § 18 x −1 lim x →1 x − 4.x + Quy  tắc  L’Hospital §Quy tắc L’Hospital ∞ Áp dụng cho dạng vô định , ∞ Định lý Cho f(x),g(x) xđ, khả vi lân cận x = x0 (có thể trừ điểm x0) § lim f ( x) = ∞, lim g ( x) = ∞, g ʹ′( x0 ) ≠ x→ x0 Ở lân cận x = x0 Khi đó, Page  § 19 x→ x0 f ʹ′( x) lim =A x → x0 g ʹ′( x) f ( x) lim =A x→ x0 g ( x) Quy  tắc  L’Hospital ln x lim α (α > 0) §VD23 Tính x →+∞ x §VD24 Tính lim/→&F x/ §VD25 Tính Page  § 20 x lim( − ) x →1 x − ln x Khai  triển  Taylor §Khai  triển  Taylor Cho  f(x)  khả  vi  đến  cấp  n+1  trong  khoảng   (a,b)  Khi  đó  với x0 , c ∈ (a, b) Ta  có  công  thức  Taylor (n) ʹ′f ( x0 ) ʹ′f ʹ′( x0 ) f ( x0 ) n f ( x) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) + ( x − x0 ) + + ( x − x0 ) + 1! 2! n! ( n +1) f (c ) n +1 ( x − x0 ) (1) (n + 1)! Page  § 21 Khai  triển  Taylor §Khai  triển  Taylor ( n +1) f ( c ) n +1 n Đặt Rn ( x) = ( x − x0 ) (1) = o(( x − x0 ) ) (n + 1)! gọi  là  sai  số  tuyệt  đối       c  nằm  giữa  x  và  x0 Công  thức  (1)  được  gọi  là  khai  triển   Taylor  của  hàm  f  tại  x=  x0 Page  § 22 Khai  triển  Taylor §Khai  triển  Taylor Khi  x0 =  0:  (1)  trở  thành f ʹ′(0) f ʹ′ʹ′(0) f ( n ) (0) n f ( n+1) (θ x) n+1 f ( x) = f (0) + x+ x + + x + x (2) 1! 2! n! (n + 1)! 0pθ p1 (2)  được  gọi  là  công  thức  MacLaurin Page  § 23 Khai  triển  Taylor Cơng  thức  MacLaurin  của  1  số  hàm  sơ   cấp n x x x n e = + + + + + o( x ) 1! 2! n! x n −1 x x n −1 x n −1 sin x = x − + − + (−1) + o( x ) 3! 5! (2n −1)! Page  § 24 Khai  triển  Taylor cos x = ln(1 + x) = Page  § 25 2m n x x m x 2m − + + + (−1) + o( x ) 2! 4! (2m)! x x n −1 x n x − + + + (−1) + o( x ) n Bài  tập     Bài  1:  Tính  các  giới  hạn  sau  (nếu  có) x cos x − sin x − x sin x a                                                        b                                          c                                                   lim lim lim x x →0 x →1 + πx x x →0 − sin 2 d x + sin3x + sin x lim x →0 s in4x + sin x − tan x Bài  2:  Tính  đạo  hàm  cấp  n  của  các  hàm  số  sau −3x a                                                        b y=e y= 1− x Page  § 26 Bài  tập     Bài  3:  Viết  khai  triển  Maclaurin  đến  số  hạng  x3   sin x x a                                                        b                                          c                                                   y = tan(sin x) y =3 y=e Page  § 27