Bài giảng giải tích iii phần 1 ts bùi xuân diệu (2019)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG & TIN HỌC TS BÙI XUÂN DIỆU Bài Giảng GIẢI TÍCH III (lưu hành nội bộ) CHUỖI - PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN - PHƯƠNG PHÁP TỐN TỬ L APLACE Tóm tắt lý thuyết, Các ví dụ, Bài tập lời giải Hà Nội - 2019 (bản cập nhật Ngày 22 tháng năm 2019) Tập Bài giảng q trình hồn thiện chứa lỗi đánh máy, lỗi kí hiệu chỗ sai chưa kiểm tra hết Tác giả mong nhận đóng góp ý kiến để tập Bài giảng hồn thiện Mọi ý kiến đóng góp xin gửi địa “dieu.buixuan@hust.edu.vn” Warning: This lecture notes have not been reviewed and may contain errors or typos Use at your own risk! Hà Nội, Ngày 22 tháng năm 2019 MỤC Mục lục LỤC Chương Chuỗi (11LT+11BT) 5 Đại cương chuỗi số Chuỗi số dương 2.1 Tiêu chuẩn tích phân 2.2 Các tiêu chuẩn so sánh 2.3 Tiêu chuẩn d’Alambert 2.4 Tiêu chuẩn Cauchy 2.5 Đọc thêm: Tiêu chuẩn d’Alambert vs Tiêu chuẩn Cauchy 2.6 Bài tập ôn tập Chuỗi số với số hạng có dấu 3.1 Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ 3.2 Chuỗi đan dấu 3.3 Hội tụ tuyệt đối vs Bán hội tụ 3.4 Phép nhân chuỗi 3.5 Khi dùng tiêu chuẩn nào? 3.6 Ví dụ chuỗi bán hội tụ khơng phải chuỗi đan dấu 3.7 Bài tập ôn tập Chuỗi hàm số 4.1 Chuỗi hàm số hội tụ 4.2 Chuỗi hàm số hội tụ 4.3 Các tính chất chuỗi hàm số hội tụ 4.4 Một số ý chuỗi hàm 4.5 Bài tập ôn tập Chuỗi lũy thừa 5.1 Các tính chất chuỗi lũy thừa 5.2 Khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa 12 12 14 20 22 24 26 29 29 31 32 34 36 38 40 47 47 49 51 55 56 58 61 63 MỤC LỤC 5.3 Khai triển Maclaurin số hàm số sơ cấp 5.4 Đọc thêm: Công thức Euler 5.5 Ứng dụng chuỗi lũy thừa 5.6 Bài tập ôn tập Chuỗi Fourier 6.1 Chuỗi lượng giác & chuỗi Fourier 6.2 Khai triển hàm số thành chuỗi Fourier 6.3 Khai triển hàm số chẵn, hàm số lẻ 6.4 Khai triển hàm số tuần hoàn với chu kỳ 6.5 Khai triển chuỗi Fourier hàm số đoạn [a, b] 6.6 Bài tập ôn tập Chương Phương trình vi phân (11 LT + 12 BT) 65 68 70 71 76 76 77 81 84 86 88 93 Các khái niệm mở đầu Phương trình vi phân cấp 2.1 Đại cương phương trình vi phân cấp 2.2 Các phương trình khuyết 2.3 Phương trình vi phân với biến số phân ly 2.4 Phương trình vi phân đẳng cấp 2.5 Phương trình đưa phương trình đẳng cấp 2.6 Phương trình vi phân tuyến tính 2.7 Phương trình Bernoulli 2.8 Phương trình vi phân tồn phần 2.9 Thừa số tích phân 2.10 Bài tập ôn tập Phương trình vi phân cấp hai 3.1 Đại cương phương trình vi phân cấp hai 3.2 Các phương trình khuyết 3.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai 3.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số số 3.5 PTVP tuyến tính đưa PTVP tuyến tính với hệ số 3.6 Phương trình Euler 3.7 Phương trình Chebysev 3.8 Đọc thêm: Phương pháp đặc trưng giải PTVP tuyến tính cấp n với hệ số 3.9 Bài tập ôn tập Đại cương hệ phương trình vi phân cấp 4.1 Các loại nghiệm hệ PTVP 4.2 Mối liên hệ PTVP cấp n hệ n PTVP cấp 95 96 96 97 98 99 99 100 102 103 104 106 107 107 107 109 116 120 121 122 122 123 125 125 127 MỤC LỤC Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 5.1 Hệ PTVP TT cấp 5.2 Hệ PTVP TT cấp không 5.3 PP biến thiên số giải hệ PTVP TT cấp Hệ PTVP TT với hệ số số 6.1 Phương pháp đặc trưng 6.2 Phương pháp khử 6.3 Bài tập ôn tập Chương Phương pháp toán tử Laplace (8 LT + BT) 128 128 130 131 133 133 135 137 139 Phép biến đổi Laplace phép biến đổi ngược 1.1 Phép biến đổi Laplace 1.2 Phép biến đổi Laplace nghịch đảo Phép biến đổi toán với giá trị ban đầu 2.1 Phép biến đổi đạo hàm, nghiệm toán giá trị ban đầu 2.2 Phép biến đổi Laplace hàm số f (t) có dạng f (t) = tg(t) 2.3 Phép biến đổi Laplace tích phân Phép tịnh tiến phân thức đơn giản 3.1 Phép tịnh tiến 3.2 Phép biến đổi Laplace ngược hàm phân thức Đạo hàm, tích phân tích phép biến đổi 4.1 Tích chập - Phép biến đổi Laplace tích chập 4.2 Vi phân phép biến đổi 4.3 Tích phân phép biến đổi 4.4 Phép biến đổi Laplace hàm Heaviside tịnh tiến trục 4.5 Bài toán giá trị ban đầu PTVP có hệ số hàm số 139 140 143 145 145 147 148 149 149 150 154 154 156 157 158 160 Phụ lục 163 Chương A Tiêu chuẩn so sánh cho chuỗi số 163 Chương B Một số tiêu chuẩn hội tụ hay - độc đáo - dễ chứng minh 171 Chương C Một số tiêu chuẩn hội tụ mạnh d’Alembert Cauchy 175 lim an+1 n→+∞ an lim n→+∞ √ n = tiêu chuẩn mạnh tiêu chuẩn d’Alembert 175 an = tiêu chuẩn mạnh tiêu chuẩn Cauchy 178 MỤC LỤC CHƯƠNG CHUỖI (11LT+11BT) §1 ĐẠI CƯƠNG VỀ CHUỖI SỐ Định nghĩa 1.1 Cho {an }∞ n=1 dãy số Tổng vô hạn a1 + a2 + · · · + an + · · · gọi chuỗi số kí hiệu ∞ P an , an gọi số hạng tổng quát n=1 Sn = a1 + a2 + · · · + an gọi tổng riêng thứ n i) Nếu dãy số {Sn } hội tụ lim Sn = S tồn tại, ta nói chuỗi số n→∞ có tổng S viết ∞ X ∞ P an hội tụ n=1 an = S n=1 ii) Ngược lại, ta nói chuỗi số ∞ P an phân kỳ n=1 Ví dụ 1.1 Hãy xét ví dụ trực quan chuỗi số sau Chúng ta bắt đầu với khoảng [0, 1] Chia đơi khoảng ta hai khoảng [0, 1/2] (1/2, 1], khoảng có độ dài 1/2 Sau ta lại tiếp tục chia đơi khoảng [0, 1/2], ta hai khoảng, khoảng có độ dài 1/4 Tiếp tục kéo dài trình ta chuỗi số sau: 1 1 = + + ··· + n + ··· Ví dụ 1.2 Xét chuỗi số sau: + + ··· + n + ··· Chương Chuỗi (11LT+11BT) Chuỗi số có tổng riêng thứ n n(n + 1)/2 nên tiến vô n tiến vô Nói cách khác, chuỗi số phân kỳ Ví dụ 1.3 (Ngụy biện tốn học) Chứng minh −1 = +∞ Chứng minh Xét chuỗi số S= Ta có 2S = + 1 + + ··· + n + ··· 1 + + · · · = + S ⇒ S = Áp dụng lập luận với chuỗi số S = + + + ··· 2S = + + + · · · = S − ⇒ S = −1 ⇒ −1 = +∞ Tại với lập luận mà S= 1 + + ··· + n + ··· = dẫn đến kết đúng, S = + + + · · · + 2n + · · · = −1 lại dẫn đến kết sai? Ví dụ 1.4 (Ngụy biện toán học) Chứng minh = Chứng minh Xét chuỗi số S = − + − + − + Ta có S = (1 − 1) + (1 − 1) + · · · = + + · · · = Mặt khác, Vậy = S = + (−1 + 1) + (−1 + 1) + · · · = + + + · · · = Ví dụ 1.5 Xét hội tụ tính tổng (nếu có) (1) chuỗi hình học · · · Ta có (1) gọi chuỗi cấp số nhân ∞ P n=0    S n   qSn = a + aq + · · · + aq n−1 = aq + aq + · · · + aq n aq n = a + aq + aq + Đại cương chuỗi số Do Sn = a 1−q 1−q n (q 6= 1) lim Sn = n→∞     |q| < a 1−q   ∞ |q| > • Trường hợp q = dễ thấy chuỗi số cho phân kỳ có tổng riêng thứ n an • Trường hợp q = −1 ta có Sn =     0,   a, n chẵn, nên không tồn lim Sn n→+∞ n lẻ Kết luận: chuỗi hình học cho hội tụ có tổng |q| ≥ a 1−q |q| < phân kỳ Ví dụ 1.6 Viết số thực sau 2.317 = 2.3171717 dạng phân số 2.317 = 2.3 + 17 17 17 + + + ··· 10 10 10 Sau số hạng chuỗi cho hình học với a = 2.317 = 17 103 1− 102 = 17 103 q = ∞  102 Do 1147 495 Ví dụ 1.7 Chứng minh 1.9999 = Chứng minh Ta có 9 X 1.9999 = 1.¯9 = + + + ··· = + 10 100 10 n=0 Sau số hạng tổng cho hình học với a = 1.9999 = 1.¯9 = + 10 1− 10 10 10 n q = 10 Do đó, = Nếu nhìn thống qua 1.9999 < Chính vậy, chưa học khái niệm giới hạn chuỗi số, đẳng thức có lẽ gây bối rối cho nhiều người Chương Chuỗi (11LT+11BT) Ví dụ 1.8 (Nghịch lý Zeno) (2) Có lẽ, nghịch lý tiếng toán học nghịch lý Zeno, đưa nhà triết học Hy Lạp cổ đại Zeno of Elea (c 490–430 BC) Giả sử bạn thả bóng từ điểm A có độ cao đơn vị độ dài so với mặt đất Bạn nghĩ bóng rơi xuống mặt đất (dưới tác dụng lực hấp dẫn) Tuy nhiên, điều Gọi B điểm hình chiếu A xuống mặt đất 1) Để di chuyển từ A đến B , bóng phải di chuyển quãng đường điểm A1 trung điểm A B đến 2) Sau di chuyển đến A1 , bóng phải di chuyển quãng đươcng điểm A2 trung điểm A1 B đến 3) sau đó, bóng phải di chuyển quãng đường điểm A2 B đến điểm A3 trung 4) Quá trình tiếp tục, đến bước thứ n bóng phải di chuyển quãng đường 21n đến điểm An trung điểm An−1 B Vì chuỗi vơ hạn nên bóng khơng chạm đến mặt đất Một số giải pháp đề xuất Từ xưa đến có nhiều giải pháp đề xuất, có giải pháp Aristotle Archimedes 1) Aristotle (384 TCN-322 TCN) nhận xét rằng, khoảng cách giảm dần nên thời gian cần thiết để thực di chuyển khoảng cách giảm dần 2) Archimedes trình bày phương pháp để tìm kết hữu hạn cho tổng gồm vô hạn phần tử giảm dần, tức lượng thời gian thực bước giảm theo cấp số nhân, có vơ số khoảng thời gian tổng thời lượng cần thiết dành cho di chuyển từ điểm đến điểm lại số hữu hạn, thực chuyển động (2) ∞ X = n n=1 Một nghịch lý tương đương với nghịch lý Achilles rùa sau Achilles chạy đua với rùa Vì Achilles chạy nhanh rùa nên đồng ý Achilles chấp rùa đoạn 100 mét Nếu giả sử tay đua bắt đầu chạy với tốc độ không đổi (Achilles chạy nhanh rùa chậm), sau thời gian hữu hạn, Achilles chạy 100 mét, tức đến điểm xuất phát rùa Nhưng thời gian này, rùa chạy quãng đường ngắn, ví dụ 10 mét Sau Achilles lại tốn khoảng thời gian để chạy đến điểm cách 10 mét ấy, mà thời gian rùa lại tiến xa chút nữa, Vì vậy, Achilles đến vị trí mà rùa đến, rùa lại cách đoạn Bởi số lượng điểm Achilles phải đến mà rùa qua vơ hạn, khơng bắt kịp rùa 38 Chương Chuỗi (11LT+11BT) Cụ thể, bạn đọc tự chứng minh dễ dàng hai giới hạn sau (bằng cách đưa giới hạn hàm số dùng quy tắc L’Hospital): nα loga n = 0, lim = 0, ∀a > 1, α > n→+∞ an n→+∞ nα lim Nếu chuỗi chuỗi đan dấu có dạng dùng tiêu chuẩn Leibniz Ví dụ ∞ P ∞ P (−1)n−1 an n=1 (−1) ∞ P (−1)n an nghĩ đến n=1 n n=1 n2+1 Nếu chuỗi có số hạng tổng quát biểu thức có chứa an , n!, (2n)!!, (2n + 1)!! ∞ ∞ P P n2 n2 nn nghĩ đến tiêu chuẩn d’Alambert Ví dụ , n n! n=1 Nếu chuỗi số có dạng ∞ P n=1 ∞ P n=1 (bn )n nghĩ đến tiêu chuẩn Cauchy Chẳng hạn n=1
n2 n n+1 Nếu an = f (n), phân Chẳng hạn Z ∞ P n=1 ∞ f (x)dx tính được, nghĩ đến tiêu chuẩn tích n2 e−n , ∞ P n=1 n(ln n)α Bạn đọc nên hiểu nghĩ đến lời khuyên, lúc luôn Chẳng hạn như: ∞ P a) Chuỗi (−1)n cos n1 chuỗi đan dấu, phân kì theo tiêu chuẩn n=1 điều kiện cần Thật vậy, lim cos n1 = nên không tồn lim (−1)n cos n1 n→+∞ n→+∞ b) Bài số 2e đề cương tập, chuỗi đến tiêu chuẩn Cauchy, lim ∞ P n=1 n→+∞ √ n n2
1+n n n có hình thức làm ta liên tưởng an = Nói cách khác, tiêu chuẩn Cauchy không áp dụng trường hợp Chúng ta dùng tiêu chuẩn so sánh để ∞ P với nhận xét sau: so sánh chuỗi số cho với n2 n=1 lim n→+∞  1+n n n = e 3.6 Ví dụ chuỗi bán hội tụ chuỗi đan dấu Hầu hết ví dụ chuỗi bán hội tụ mà bạn gặp có dạng chuỗi đan dấu Để ví dụ khơng tầm thường chuỗi bán hội tụ mà chuỗi đan dấu cần đến tiêu chuẩn Dirichlet (mở rộng tiêu chuẩn Leibniz) sau 38 Chuỗi số với số hạng có dấu 39 Định lý 3.8 (Tiêu chuẩn Dirichlet) Cho chuỗi số ∞ P an bn Nếu n=1 i) dãy tổng riêng chuỗi ∞ P an bị chặn, n=1 ii) bn dãy đơn điệu hội tụ đến ∞ P an bn chuỗi số hội tụ n=1 Tiêu chuẩn Leibniz trường hợp riêng tiêu chuẩn Dirichlet Thật vậy, xét chuỗi ∞ ∞ ∞ P P P đan dấu (−1)n−1 bn = an bn với an = (−1)n−1 Dãy tổng riêng chuỗi (−1)n−1 n=1 n=1 n=1 có dạng S2n = 0, S2n+1 = nên Sn ≤ với n ∞ P sin n chuỗi bán hội tụ Ví dụ 3.1 Chứng minh n n=1 Chứng minh Trước hết, ∞ P n=1 sin n n = ∞ P n=1 an bn với an = sin n, bn = n1 Hiển nhiên, dãy bn đơn điệu hội tụ Bây ta chứng minh SN = a1 + a2 + · · · + an = N P sin n dãy n=1 số bị chặn Thật vậy,          X N N  X 1 1 1 sin SN = sin − cos n + = cos −cos N + sin n = cos n − 2 n=1 2 2 n=1 Do SN = Theo tiêu chuẩn Dirichlet, ∞ P n=1 cos sin n n
− cos N +
sin 12
≤
sin 12 chuỗi số hội tụ ∞ P sin n chuỗi số phân kì Thật vậy, với số Việc chứng minh n n=1  π π − π6 = 4π > nên chứa tự nhiên k, khoảng + kπ, π − + kπ có độ dài 5π 6 số tự nhiên nk Khi | sin(nk )| ≥ sin Chuỗi điều hịa ∞ P k=1 k+1 π | sin nk | 1 1 = ⇒ ≥ ≥ nk nk π(k + 1) phân kì nên theo tiêu chuẩn so sánh, chuỗi phân kì Cũng theo tiêu chuẩn so sánh, chuỗi ∞ P n=0 Chú ý 1.1 Người ta chí cịn tính ∞ X sin n n=1 Xem chứng minh Bài tập 6.2 n = 39 ∞ P k=1 | sin n| n π−1 phân kì | sin nk | nk 40 Chương Chuỗi (11LT+11BT) 3.7 Bài tập ôn tập Bài tập 3.2 (Cuối kì, K61) Xét hội tụ chuỗi số a) ∞ P n=1 b) ∞ P n=1 (n!)2 , 3n c) (n!)2 , 4n d) ∞ P n=1 ∞ P n=2 ∞ P Bài tập 3.3 Chứng minh chuỗi n=1 a) hội tụ tuyệt đối p > 1, sin n np
− cos n1 , cos n+1
cos n1 − cos n−1 b) bán hội tụ p = 1, c) bán hội tụ < p < [Gợi ý] Trường hợp p = chứng minh Ví dụ 3.1 Trường hợp p > sử dụng tiêu chuẩn so sánh với sin n np ≤ np ∞