Bài giảng giải tích b1 chương 1 1 cao nghi thục

GIẢI TÍCH B1 GV:  CAO  NGHI  THỤC EMAIL:  cnthuc@hcmus.edu.vn Chương  1 Phép  tính vi  phân  hàm  một  biến I Giới hạn hàm số II Sự liên tục hàm số III Vô bé, vô lớn IV Đạo hàm vi phân V Đạo hàm vi phân cấp cao VI Quy tắc L’Hospital VII.Công thức Taylor Giới  hạn  của  hàm  số Giới  hạn  của  hàm  số Định  nghĩa  1 — — Cho  hàm  số  y=f(x)  xác  định  trên  miền  D  Ta  nói    L    giới  hạn  của  hàm  f  khi  x  tiến  tới  x  0  với  bất   kỳ  dãy  xn  D\{x  0}  mà                                                                             xn → x0   lim f ( xn ) = L n→∞ Page  § Giới  hạn  của  hàm  số Page  § Giới  hạn  của  hàm  số — Các  tính  chất  của  giới  hạn ◦ Định  lý  1   lim f ( x) = A, lim g ( x) = B Cho                                                                            Khi  đó x → x0 x → x0 lim c f ( x) = c A x → x0 i                                                                                    với  c  là  hằng  số ii iii iv Page  § lim[ f ( x) + g ( x)] = A + B x → x0 lim[ f ( x).g ( x)] = A.B x → x0 f ( x) A lim = ,B ≠ x → x0 g ( x) B Giới  hạn  của  hàm  số §Nhận  xét §Cho Khi  đó     Pn ( x) = a0 + a1 x + a2 x + + an x n lim Pn ( x) = Pn ( x0 ) x → x0 §Thí  dụ  1 Page  § lim(2 x3 + x2 − x + 1) = lim(2.13 + 12 −1 + 1) = x →1 x →1 Pn ( x ) R( x) = §Cho Qm ( x ) Khi  đó       Pn ( x0 ) lim R ( x) = x → x0 Qm ( x0 ) Giới  hạn  của  hàm  số §Khi                                                                thì A = +∞, B = −∞ lim[ f ( x) + g ( x)] → ∞ −∞ dạng  vơ  định  thứ  nhất x → x0 §VD1    Tính   §VD2    Tính lim ( x − 4x − x ) lim ( x+ x − x ) x →+∞ x →+∞ Page  § Giới  hạn  của  hàm  số §Khi                                            hoặc                                                             A = ∞, B = A = 0, B = ∞ lim[ f ( x).g ( x)] → 0.∞                                                          dạng   vô  định  thứ  hai x→ x Page  § Giới  hạn  của  hàm  số §Khi                                            hoặc                                                             A = ∞, B = ∞ A = 0, B = f ( x) ⎛ ∞ ⎞ lim → ⎜ ⎟                                                          dạng   vô  định  thứ  ba(tư) x → x0 g ( x ) ⎝ ∞ ⎠ §VD3    Tính   §VD4    Tính + x −1 lim x →0 x lim x →+∞ x+ x x +1 x − 7x + §VD5    Tính        lim x →+∞ x2 − Page  § Giới  hạn  của  hàm  số §Định  lý  2    Cho  3  hàm  số  f(x),  g(x),  h(x)  thỏa f ( x) ≤ g ( x) ≤ h( x), ∀x ∈ (a, b) Nếu                                                                thì lim f ( x) = lim h( x) = A x→ x0 x→ x0 lim g ( x) = A x → x0 §Áp  dụng  ĐL2,  ta  CM  được   sin x lim =1 x →0 x Page  § 10 Giới  hạn  của  hàm  số §VD9    Tính   lim (1 + sin x ) x →0 Page  § 13 3x Giới  hạn  của  hàm  số §Giới  hạn  một  phía §Định  nghĩa §Giới  hạn  bên  trái  của  f(x)  tại  x0  giới  hạn  khi                               x → x0 mà   x < x0 f ( x ) = lim− f ( x) − x → x0 x → x0 §Giới  hạn  bên  phải  của  f(x)  tại  x0  giới  hạn  khi                               mà       x > x f ( x ) = lim+ f ( x) + Page  § 14 x → x0 Giới  hạn  của  hàm  số § lim f ( x) = A ⇔ lim_ f ( x) = lim+ f ( x) = A x → x0 x → x0 x §VD10 Cho                                      Tìm f ( x) = x x → x0 f (0 ), f (0 ) + f (0+ ) = lim+ f ( x) x →0 f (0 ) = lim− f ( x) − x →0 Page  § 15 − Vơ  cùng  bé,  vơ  cùng  lớn §Vơ bé,  vơ lớn §Định nghĩa vơ bé(VCB) Hàm f(x)  được gọi VCB  khi x→x0 lim f ( x) = x → x0 VD11 sinx VCB  (x→0)   Vì lim sin x = x →0 Page  § 16 Vơ  cùng  bé,  vơ  cùng  lớn §Các  tính  chất §Nếu  f(x),  g(x)  là  các  VCB  (x→x0 )  thì f(x)±g(x),  f(x).g(x)  là  các  VCB  (x→x0 )   §Nếu  f(x)  là  VCB  (x→x0 )  và  g(x)  bị  chặn  trong  lân  cận   x0 f(x).g(x)  là    VCB  (x→x0 )   Page  § 17 Vơ  cùng  bé,  vơ  cùng  lớn So  sánh  các  vô  cùng  bé Cho  f(x),  g(x)  là  các  VCB  (x→x0 )  và f ( x) lim =k x → x0 g ( x ) Khi  đó,  nếu § k=0:  f(x)  là  VCB  bậc  cao  hơn  g(x),KH  f(x)=o(g(x)) § k≠0,  k  ≠∞:  f(x),  g(x)  là  các  VCB  cùng  bậc Page  § 18 Vơ  cùng  bé,  vơ  cùng  lớn §VD12 1-­cosx  là VCB  bậc cao sinx (x →0)   x sin − cos x lim = lim x →0 x →0 x x sin x sin cos 2 x sin = lim =0 x →0 x cos Page  § 19 Vơ  cùng  bé,  vơ  cùng  lớn §Định nghĩa vô lớn(VCL) Hàm f(x)  được gọi VCL  khi x→x0 lim f ( x) = ∞ x → x0 VD13: ex VCL Page  § 20 x → +∞ Vô  cùng  bé,  vô  cùng  lớn Chú  ý    TTt Ta  có  quy  tắc  ngắt  bỏ  VCL  bậc  thấp  và  thay    VCL  tương  đương ⎧ an ⎪ b n = m m n n ⎪ a0 + a1 x + L + an x an x ⎪ lim = lim = ⎨∞ n > m m m x →∞ b + b x + L + b x x →∞ b x m m ⎪0 n < m ⎪ ⎪⎩ Page  § 21 Vơ  cùng  bé,  vô  cùng  lớn x + x VD14 Tính lim x →∞ x − x Page  § 22 Sự  liên  tục  của  hàm  số §Sự liên tục hàm số §Định nghĩa: Cho  f(x)  là hàm số xác định (a,b),   ta  nói f(x)  liên tục x0 ∈ (a, b) lim f ( x) = f ( x0 ) x → x0 §VD15:                                                                        nên sin  x  liên tục tạix0 = limsin x = sin = x →0 Page  § 23 Sự  liên  tục  của  hàm  số §Sự  liên  tục  của  hàm  số §Hàm  f(x)  được  gọi  là  liên  tục  trái  tại  x0   f ( x0 − ) = f ( x0 ) §Hàm  f(x)  được  gọi  là  liên  tục  phải  tại  x0 f ( x0 + ) = § Hàm  f(x)  liên  tục  tại  x0  và  chỉ  khi f ( x0 ) = f ( x0 ) = f ( x0 ) − Page  § 24 + f ( x0 Sự  liên  tục  của  hàm  số §VD16 §Cho  hàm số ⎧ sin x ,x ≠ ⎪ y = ⎨ x ⎪ ⎩ A ,x = Với giá trị A  thì hàm số liên tục x=0 Page  § 25 Đạo  hàm   §Định  nghĩa Cho  hàm  số  f(x)  xác  định  trong    (a,b),  giới  hạn  (nếu   Δx → có)  của                                                                                      khi     Δy f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) Δx = Δx  đạo  hàm  của  hàm  số                                      tại   y = f ( x) x0 ∈ (a, b) f ʹ′( x0 ) yʹ′( x0 )  ký  hiệu                            hay     Page  § 26 Đạo  hàm   §Bảng  đạo  hàm  cơ  bản Page  § 27