Bài giảng giải tích b1 chương 3 cao nghi thục

GIẢI  TÍCH  B1   GV:  CAO  NGHI  THỤC EMAIL:  cnthuc@hcmus.edu.vn Chương Chuỗi số chuỗi hàm I Chuỗi số II Chuỗi hàm  Chuỗi  số Khái  niệm   ∞ ∑u n = u1 + u2 + + un + (1) n =1  gọi  là  chuỗi  số Trong  đó                                    gọi  là  các  số  hạng    chuỗi u1 , u2 , un   số  hạng  tổng  quát  của  chuỗi n S n = ∑ uk Page  § k =1 tổng  riêng  thứ  n  của  chuỗi  Chuỗi  số Khái  niệm   lim Sn = S Nếu                                            hữu  hạn    S  là  tổng  của  chuỗi  và   n→∞ chuỗi  hội  tụ    Ngược  lại  chuỗi  phân  kỳ Rn = S − Sn = un+1 + un+2 + gọi  là  phần  dư  của  chuỗi Page  §  Chuỗi  số VD1 Xét  chuỗi   ∞ ∑ aq n =1 n −1 n −1 = a + aq + aq + + aq + ( a ≠ 0, q ≠ 1) n 1− q Sn = a 1− q n a aq = − 1− q 1− q n ⎛ a aq ⎞ a q < 1,lim q = ⇒ lim Sn = lim ⎜ − = ⎟ n→∞ n→∞ n→∞ − q − q ⎝ ⎠ − q n Page  §  Chuỗi  số VD2 ∞ Xét  chuỗi   ∑ aq n =1 n −1 Page  § n −1 = a + aq + aq + + aq + ( a ≠ 0, q ≠ 1) Khi  đó  chuỗi  hội  tụ  và q ≥1 a S = 1− q chuỗi  phân  kỳ                                                                                    Chuỗi  số VD3 Chuỗi                                  phân   kỳ ∑ n =1 n Page  § ∞  Chuỗi  số Điều  kiện  cần  của  chuỗi  hội  tụ   Nếu  chuỗi  (1)  hội  tụ  thì   lim un = n →∞ Hệ  quả  Nếu  số  hạng  tổng  quát  của  chuỗi  không  tiến  tới    khi                                thì  chuỗi  phân   kỳ   n→∞ n n = + + + + ∑ n +1 n =1 n + VD4 Chuỗi         ∞ Phân  kỳ  vì                                                                       Page  § n lim =1≠ n →∞ n + 1  Chuỗi  số Điều  kiện  cần  và  đủ  chuỗi  hội  tụ   ε >0 Điều  kiện  cần  và  đủ  để  chuỗi  hội  tụ  là  với  mọi                     cho  trước,  tìm  được  số  nguyên  dương  n0  cho  khi p > q ≥ n0 ta  có     S − S = p q p ∑u k = q +1 Page  § k x0 Khi  đó                            gọi  là  bán  kính   hội  tụ   R = x0 Page  § 32  Chuỗi  hàm Miền  hội  tụ   Nếu  chuỗi  lũy  thừa  có  bán  kính  hội  tụ  là  R  thì  miền  hội  tụ   x ∈ ( −° , ° )  chuỗi    lũy  thừa  là                                    và  có  thể  lấy  thêm  hai   điểm  đầu  mút  tùy  theo  các  chuỗi  số     ∞ n ∞ ∑ a ( −° ) , ∑ a ( ° ) n n=0 Page  § 33 n n=0 n hội  tụ  hay  phân  kỳ  Chuỗi  hàm Giải  bài  tốn  tìm  bán  kính  và  miền  hội  tụ   Tiêu  chuẩn  d’Alembert   an +1 lim =L an x Cho  chuỗi  lũy  thừa                                  với     ∑ n →∞ a n=0 n ∞ Khi  đó,  bán  kính  hội  tụ  là ⎧ ⎪0, L = ∞ ⎪ R = ⎨∞, L = ⎪ ⎪ , L > ⎩ L Page  § 34 n  Chuỗi  hàm Giải  bài  tốn  tìm  bán  kính  và  miền  hội  tụ   Tiêu  chuẩn  d’Alembert   ∞ ∑ VD13 Tìm  bán  kính  hội  tụ  của    chuỗi  lũy  thừa   Ta  có n =0 (−1) n +1 an +1 n +1 lim = lim = lim n →∞ a n →∞ ( −1) n n →∞ n n Vậy  bán  kính  hội  tụ  R=1 Page  § 35 3 n n +1 =1 ( −1) n n x n  Chuỗi  hàm Giải  bài  tốn  tìm  bán  kính  và  miền  hội  tụ   Tiêu  chuẩn  Cauchy   ∞ n a x lim n an = L Cho  chuỗi  lũy  thừa                                  với     ∑ n n=0 Khi  đó,  bán  kính  hội  tụ  là ⎧ ⎪0, L = ∞ ⎪ R = ⎨∞, L = ⎪ ⎪ , L > ⎩ L Page  § 36 n →∞  Chuỗi  hàm Giải  bài  tốn  tìm  bán  kính  và  miền  hội  tụ   Tiêu  chuẩn  Cauchy   ∞ ∑ VD14 Tìm  bán  kính  hội  tụ  của    chuỗi  lũy  thừa     n =0 Ta  có lim n →∞ n an = lim n n →∞ Vậy  bán  kính  hội  tụ  là  R=2     Page  § 37 1 = n 2 ( −1) n n x n  Chuỗi  hàm VD15 ∞ Tìm  miền  hội  tụ  của  chuỗi  lũy  thừa Theo  tiêu  chuẩn  d’Alembert ∑ ( −1) n −1 n.x n n =1 n an+1 (−1) (n + 1) lim = lim =1 n − n →∞ a n →∞ (−1) n n ⇒ R =1 Chuỗi  hội  tụ  trong  khoảng  (-­1,1) ∞ ∞ n =1 n =1 n −1 ( − 1) n = −∑ n Xét  tại  x=1  ta  có  chuỗi                                                              phân   kỳ ∑ ∞ Xét  tại  x=-­1  ta  có  chuỗi                                                              phân   kỳ n −1 ∞ Page  § 38 ∑ (−1) n =1 n = −∑ n n =1  Chuỗi  hàm VD16 ∞ n n ! x Tìm  miền  hội  tụ  của  chuỗi  lũy  thừa ∑ n =1 Page  § 39 Bài  tập  chương  3 Page  § 40 Bài  tập  chương  1 Page  § 41 Bài  tập  chương  1 Bài  3:  Xét  sự  hội  tụ  của  các  chuỗi  số  sau Page  § 42 Bài  tập  chương  1 Bài  4:  Xét  sự  hội  tụ  của  các  chuỗi  số  sau Page  § 43