Bài giảng giải tích cao cấp chương 3 lê thái duy

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 ) Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420 AN GIANG University Ngày 28 tháng 10 năm 2014 LaTex Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn GIẢI TÍCH CAO Tel : CẤP 0918614420 ( Mathematics B1 ) GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 ) Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420 AN GIANG University Ngày 28 tháng 10 năm 2014 LaTex Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn GIẢI TÍCH CAO Tel : CẤP 0918614420 ( Mathematics B1 ) BASIC MATHEMATICS Chương III PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 1.HÀM NHIỀU BIẾN 2.GIỚI HẠN-LIÊN TỤC 3.ĐẠO HÀM-VI PHÂN 4.CỰC TRỊ 5.ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ LaTex Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn GIẢI TÍCH CAO Tel : CẤP 0918614420 ( Mathematics B1 ) 1.HÀM NHIỀU BIẾN LaTex Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn GIẢI TÍCH CAO Tel : CẤP 0918614420 ( Mathematics B1 ) 1.HÀM NHIỀU BIẾN Quy tắc F : D(⊂ Rn ) → R cho ứng (x1 , x2 , , xn ) ∈ D với phần tử y = F (x1 , x2 , , xn ) ∈ R ; LaTex Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn GIẢI TÍCH CAO Tel : CẤP 0918614420 ( Mathematics B1 ) 1.HÀM NHIỀU BIẾN Quy tắc F : D(⊂ Rn ) → R cho ứng (x1 , x2 , , xn ) ∈ D với phần tử y = F (x1 , x2 , , xn ) ∈ R ;được gọi hàm n biến xi (i = 1, n) LaTex Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn GIẢI TÍCH CAO Tel : CẤP 0918614420 ( Mathematics B1 ) 1.HÀM NHIỀU BIẾN Quy tắc F : D(⊂ Rn ) → R cho ứng (x1 , x2 , , xn ) ∈ D với phần tử y = F (x1 , x2 , , xn ) ∈ R ;được gọi hàm n biến xi (i = 1, n) D:Tập xác định hàm F LaTex Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn GIẢI TÍCH CAO Tel : CẤP 0918614420 ( Mathematics B1 ) 1.HÀM NHIỀU BIẾN Quy tắc F : D(⊂ Rn ) → R cho ứng (x1 , x2 , , xn ) ∈ D với phần tử y = F (x1 , x2 , , xn ) ∈ R ;được gọi hàm n biến xi (i = 1, n) D:Tập xác định hàm F Trong kg Oxyz, cho hàm biến f: z = f (x, y ) có tập xác định Df LaTex Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn GIẢI TÍCH CAO Tel : CẤP 0918614420 ( Mathematics B1 ) 1.HÀM NHIỀU BIẾN Quy tắc F : D(⊂ Rn ) → R cho ứng (x1 , x2 , , xn ) ∈ D với phần tử y = F (x1 , x2 , , xn ) ∈ R ;được gọi hàm n biến xi (i = 1, n) D:Tập xác định hàm F Trong kg Oxyz, cho hàm biến f: z = f (x, y ) có tập xác định Df G = {(x, y , z)|(x, y ) ∈ Df }:đồ thị hàm f THÍ DỤ LaTex Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn GIẢI TÍCH CAO Tel : CẤP 0918614420 ( Mathematics B1 ) 1.HÀM NHIỀU BIẾN Quy tắc F : D(⊂ Rn ) → R cho ứng (x1 , x2 , , xn ) ∈ D với phần tử y = F (x1 , x2 , , xn ) ∈ R ;được gọi hàm n biến xi (i = 1, n) D:Tập xác định hàm F Trong kg Oxyz, cho hàm biến f: z = f (x, y ) có tập xác định Df G = {(x, y , z)|(x, y ) ∈ Df }:đồ thị hàm f THÍ DỤ q Tìm tập xác định hàm f : z = f (x, y ) = 1− 2014 √2 x+4y −x −y x +y −9 LaTex Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn GIẢI TÍCH CAO Tel : CẤP 0918614420 ( Mathematics B1 ) Thí dụ: Tìm cực trị f: z = f (x, y ) = x + 2y − x với điều kiện x2 + y2 = Giải: Cách 1:Đặt L(x, y ) = x + 2y − x + λ(x + y − 1) Tọa độ điểm dừng thỏa hệ:    2x(1 + λ) =    2x(1 + λ) =    Lx = y =0 L0 = 2y (2 + λ) = ⇔ ⇔ λ = −2    y  x + y2 = ϕ(x, y ) =  x + y2 = LaTex Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn GIẢI TÍCH CAO Tel : CẤP 0918614420 ( Mathematics B1 ) Thí dụ: Tìm cực trị f: z = f (x, y ) = x + 2y − x với điều kiện x2 + y2 = Giải: Cách 1:Đặt L(x, y ) = x + 2y − x + λ(x + y − 1) Tọa độ điểm dừng thỏa hệ:    2x(1 + λ) =    2x(1 + λ) =    Lx = y =0 L0 = 2y (2 + λ) = ⇔ ⇔ ⇔ λ = −2    y  x + y2 = ϕ(x, y ) =  x + y2 =     −1 −1  x =1  x = −1  x = √2  x = 2√ y =0 y =0 ∨ ∨ y = 23 ∨ y = − 23     λ = −2 λ = −2 λ = −2 λ = −2 LaTex Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn GIẢI TÍCH CAO Tel : CẤP 0918614420 ( Mathematics B1 ) Thí dụ: Tìm cực trị f: z = f (x, y ) = x + 2y − x với điều kiện x2 + y2 = Giải: Cách 1:Đặt L(x, y ) = x + 2y − x + λ(x + y − 1) Tọa độ điểm dừng thỏa hệ:    2x(1 + λ) =    2x(1 + λ) =    Lx = y =0 L0 = 2y (2 + λ) = ⇔ ⇔ ⇔ λ = −2    y  x + y2 = ϕ(x, y ) =  x + y2 =     −1 −1  x =1  x = −1  x = √2  x = 2√ y =0 y =0 ∨ ∨ y = 23 ∨ y = − 23     λ = −2 λ = −2 λ = −2 λ = −2 00 Rõ ràng Lxx = + 2λ , L00xy = , L00yy = + 2λ LaTex Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn GIẢI TÍCH CAO Tel : CẤP 0918614420 ( Mathematics B1 ) Thí dụ: Tìm cực trị f: z = f (x, y ) = x + 2y − x với điều kiện x2 + y2 = Giải: Cách 1:Đặt L(x, y ) = x + 2y − x + λ(x + y − 1) Tọa độ điểm dừng thỏa hệ:    2x(1 + λ) =    2x(1 + λ) =    Lx = y =0 L0 = 2y (2 + λ) = ⇔ ⇔ ⇔ λ = −2    y  x + y2 = ϕ(x, y ) =  x + y2 =     −1 −1  x =1  x = −1  x = √2  x = 2√ y =0 y =0 ∨ ∨ y = 23 ∨ y = − 23     λ = −2 λ = −2 λ = −2 λ = −2 00 Rõ ràng Lxx = + 2λ , L00xy = , L00yy = + 2λ Tại I(1,0):d L(1, 0) = dx + 3dy > LaTex Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn GIẢI TÍCH CAO Tel : CẤP 0918614420 ( Mathematics B1 ) Thí dụ: Tìm cực trị f: z = f (x, y ) = x + 2y − x với điều kiện x2 + y2 = Giải: Cách 1:Đặt L(x, y ) = x + 2y − x + λ(x + y − 1) Tọa độ điểm dừng thỏa hệ:    2x(1 + λ) =    2x(1 + λ) =    Lx = y =0 L0 = 2y (2 + λ) = ⇔ ⇔ ⇔ λ = −2    y  x + y2 = ϕ(x, y ) =  x + y2 =     −1 −1  x =1  x = −1  x = √2  x = 2√ y =0 y =0 ∨ ∨ y = 23 ∨ y = − 23     λ = −2 λ = −2 λ = −2 λ = −2 00 Rõ ràng Lxx = + 2λ , L00xy = , L00yy = + 2λ Tại I(1,0):d L(1, 0) = dx + 3dy > Tại J(-1,0):d L(−1, 0) = −dx + dy = dy > (vì = d ϕ(−1, 0) = −2dx) LaTex Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn GIẢI TÍCH CAO Tel : CẤP 0918614420 ( Mathematics B1 ) Thí dụ: Tìm cực trị f: z = f (x, y ) = x + 2y − x với điều kiện x2 + y2 = Giải: Cách 1:Đặt L(x, y ) = x + 2y − x + λ(x + y − 1) Tọa độ điểm dừng thỏa hệ:    2x(1 + λ) =    2x(1 + λ) =    Lx = y =0 L0 = 2y (2 + λ) = ⇔ ⇔ ⇔ λ = −2    y  x + y2 = ϕ(x, y ) =  x + y2 =     −1 −1  x =1  x = −1  x = √2  x = 2√ y =0 y =0 ∨ ∨ y = 23 ∨ y = − 23     λ = −2 λ = −2 λ = −2 λ = −2 00 Rõ ràng Lxx = + 2λ , L00xy = , L00yy = + 2λ Tại I(1,0):d L(1, 0) = dx + 3dy > Tại J(-1,0):d L(−1, 0) = −dx + dy = dy > (vì = d ϕ(−1, 0) = −2dx)√ √ 3 −1 Tại K ( , ) : d L( −1 , ) = −2dx < LaTex Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn GIẢI TÍCH CAO Tel : CẤP 0918614420 ( Mathematics B1 ) Thí dụ: Tìm cực trị f: z = f (x, y ) = x + 2y − x với điều kiện x2 + y2 = Giải: Cách 1:Đặt L(x, y ) = x + 2y − x + λ(x + y − 1) Tọa độ điểm dừng thỏa hệ:    2x(1 + λ) =    2x(1 + λ) =    Lx = y =0 L0 = 2y (2 + λ) = ⇔ ⇔ ⇔ λ = −2    y  x + y2 = ϕ(x, y ) =  x + y2 =     −1 −1  x =1  x = −1  x = √2  x = 2√ y =0 y =0 ∨ ∨ y = 23 ∨ y = − 23     λ = −2 λ = −2 λ = −2 λ = −2 00 Rõ ràng Lxx = + 2λ , L00xy = , L00yy = + 2λ Tại I(1,0):d L(1, 0) = dx + 3dy > Tại J(-1,0):d L(−1, 0) = −dx + dy = dy > (vì = d ϕ(−1, 0) = −2dx)√ √ 3 −1 Tại K ( , ) : d L( −1 , ) = −2dx < √ − −1 Tại M( −1 , ) : d L( , √ ) = −2dx < Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn GIẢI TÍCH CAO Tel : CẤP 0918614420 ( Mathematics B1 ) LaTex Thí dụ: Tìm cực trị f: z = f (x, y ) = x + 2y − x với điều kiện x2 + y2 = Giải: Cách 1:Đặt L(x, y ) = x + 2y − x + λ(x + y − 1) Tọa độ điểm dừng thỏa hệ:    2x(1 + λ) =    2x(1 + λ) =    Lx = y =0 L0 = 2y (2 + λ) = ⇔ ⇔ ⇔ λ = −2    y  x + y2 = ϕ(x, y ) =  x + y2 =     −1 −1  x =1  x = −1  x = √2  x = 2√ y =0 y =0 ∨ ∨ y = 23 ∨ y = − 23     λ = −2 λ = −2 λ = −2 λ = −2 00 Rõ ràng Lxx = + 2λ , L00xy = , L00yy = + 2λ Tại I(1,0):d L(1, 0) = dx + 3dy > Tại J(-1,0):d L(−1, 0) = −dx + dy = dy > (vì = d ϕ(−1, 0) = −2dx)√ √ 3 −1 Tại K ( , ) : d L( −1 , ) = −2dx < √ − −1 Tại M( −1 , ) : d L( , √ ) = −2dx < Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn GIẢI TÍCH CAO Tel : CẤP 0918614420 ( Mathematics B1 ) Vậy đồ thị hàm f đạt cực tiểu I,J; cực đại K,M LaTex LaTex Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn GIẢI TÍCH CAO Tel : CẤP 0918614420 ( Mathematics B1 ) Cách LaTex Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn GIẢI TÍCH CAO Tel : CẤP 0918614420 ( Mathematics B1 ) Cách Với điều kiện x + y = , z = −x − x + ( x ∈ [−1, 1]) LaTex Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn GIẢI TÍCH CAO Tel : CẤP 0918614420 ( Mathematics B1 ) Cách Với điều kiện x + y = , z = −x − x + ( x ∈ [−1, 1]) nên zx0 = −2x − , zx0 = ⇔ x = − 12 LaTex Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn GIẢI TÍCH CAO Tel : CẤP 0918614420 ( Mathematics B1 ) Cách Với điều kiện x + y = , z = −x − x + ( x ∈ [−1, 1]) nên zx0 = −2x − , zx0 = ⇔ x = − 12 x = ⇒y =0 x = −1 ⇒ y = √ x = − 12 ⇒ y = ± 23 LaTex Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn GIẢI TÍCH CAO Tel : CẤP 0918614420 ( Mathematics B1 ) Cách Với điều kiện x + y = , z = −x − x + ( x ∈ [−1, 1]) nên zx0 = −2x − , zx0 = ⇔ x = − 12 x = ⇒y =0 x = −1 ⇒ y = √ x = − 12 ⇒ y = ± 23 Do đó√f đạt cực tiểu (1,0),(-1,0); đạt cực đại √ 3 1 (− , ), (− , − ) LaTex Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn GIẢI TÍCH CAO Tel : CẤP 0918614420 ( Mathematics B1 ) HOMEWORK 1) Tìm cực trị 2) Tìm cực trị 3) Tìm cực trị x2 + y2 = 4) Tìm cực trị x2 + y2 = hàm f: f (x, y ) = x + y − x − 2xy − y hàm f: f (x, y ) = 2x + y − x − 2y hàm f: f (x, y ) = − 4x − 3y với điều kiện : hàm f: f (x, y ) = x + 2y với điều kiện : LaTex Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn GIẢI TÍCH CAO Tel : CẤP 0918614420 ( Mathematics B1 ) ... > 32 x +y >3 89 16 LaTex Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn GIẢI TÍCH CAO Tel : CẤP 0918614420 ( Mathematics B1 ) LaTex Giảng viên : Lê Thái. .. LaTex Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn GIẢI TÍCH CAO Tel : CẤP 0918614420 ( Mathematics B1 ) THÍ DỤ LaTex Giảng viên : Lê Thái Duy Website:... khơng tồn J Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy LaTex Email : ltduyaguns@vnn.vn GIẢI TÍCH CAO Tel : CẤP 0918614420 ( Mathematics B1 ) LaTex Giảng viên : Lê Thái Duy Website: