Bài giảng giải tích cao cấp chương 5 lê thái duy

GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 ) Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420 AN GIANG University Ngày tháng 12 năm 2014 LaTex Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn GIẢI TÍCH CAO Tel : CẤP 0918614420 ( Mathematics B1 ) GIẢI TÍCH CAO CẤP ( Mathematics B1 ) Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn Tel : 0918614420 AN GIANG University Ngày tháng 12 năm 2014 LaTex Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn GIẢI TÍCH CAO Tel : CẤP 0918614420 ( Mathematics B1 ) BASIC MATHEMATICS Chương V PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 1.KHÁI NIỆM PTVP 2.PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I 3.PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP II 4.ỨNG DỤNG PTVP TRONG KINH TẾ LaTex Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn GIẢI TÍCH CAO Tel : CẤP 0918614420 ( Mathematics B1 ) 1.KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LaTex Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn GIẢI TÍCH CAO Tel : CẤP 0918614420 ( Mathematics B1 ) 1.KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ? Phương trình vi phân cấp n pt có dang: F (x, y , y , y (n) ) = (1), ẩn y ( biểu thức chứa biến x ) LaTex Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn GIẢI TÍCH CAO Tel : CẤP 0918614420 ( Mathematics B1 ) 1.KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ? Phương trình vi phân cấp n pt có dang: F (x, y , y , y (n) ) = (1), ẩn y ( biểu thức chứa biến x ) ? y = y(x,C)( C: tùy ý ) thỏa (1), gọi nghiệm tổng quát (1) LaTex Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn GIẢI TÍCH CAO Tel : CẤP 0918614420 ( Mathematics B1 ) 1.KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ? Phương trình vi phân cấp n pt có dang: F (x, y , y , y (n) ) = (1), ẩn y ( biểu thức chứa biến x ) ? y = y(x,C)( C: tùy ý ) thỏa (1), gọi nghiệm tổng quát (1) ? Khi C = C0 : cố định, y = y (x, C0 ) thỏa (1); gọi nghiệm riêng (1) LaTex Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn GIẢI TÍCH CAO Tel : CẤP 0918614420 ( Mathematics B1 ) 1.KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ? Phương trình vi phân cấp n pt có dang: F (x, y , y , y (n) ) = (1), ẩn y ( biểu thức chứa biến x ) ? y = y(x,C)( C: tùy ý ) thỏa (1), gọi nghiệm tổng quát (1) ? Khi C = C0 : cố định, y = y (x, C0 ) thỏa (1); gọi nghiệm riêng (1) ? ϕ(x, y , C ) = thỏa (1); gọi tích phân tổng quát (1) LaTex Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn GIẢI TÍCH CAO Tel : CẤP 0918614420 ( Mathematics B1 ) 1.KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ? Phương trình vi phân cấp n pt có dang: F (x, y , y , y (n) ) = (1), ẩn y ( biểu thức chứa biến x ) ? y = y(x,C)( C: tùy ý ) thỏa (1), gọi nghiệm tổng quát (1) ? Khi C = C0 : cố định, y = y (x, C0 ) thỏa (1); gọi nghiệm riêng (1) ? ϕ(x, y , C ) = thỏa (1); gọi tích phân tổng quát (1) Thí dụ: LaTex Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn GIẢI TÍCH CAO Tel : CẤP 0918614420 ( Mathematics B1 ) 1.KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ? Phương trình vi phân cấp n pt có dang: F (x, y , y , y (n) ) = (1), ẩn y ( biểu thức chứa biến x ) ? y = y(x,C)( C: tùy ý ) thỏa (1), gọi nghiệm tổng quát (1) ? Khi C = C0 : cố định, y = y (x, C0 ) thỏa (1); gọi nghiệm riêng (1) ? ϕ(x, y , C ) = thỏa (1); gọi tích phân tổng quát (1) Thí dụ: Giải ptvp: y (e x + 1) = e x (1) LaTex Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn GIẢI TÍCH CAO Tel : CẤP 0918614420 ( Mathematics B1 ) Thí dụ: Giải ptvp y 00 − 3y + 2y = 2x − + e x (3 − 4x) (1) LaTex Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn GIẢI TÍCH CAO Tel : CẤP 0918614420 ( Mathematics B1 ) Thí dụ: Giải ptvp y 00 − 3y + 2y = 2x − + e x (3 − 4x) (1) Giải: LaTex Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn GIẢI TÍCH CAO Tel : CẤP 0918614420 ( Mathematics B1 ) Thí dụ: Giải ptvp y 00 − 3y + 2y = 2x − + e x (3 − 4x) (1) Giải: Phương trình đặc trưng: k − 3k + = ⇔ k = ∨ k = LaTex Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn GIẢI TÍCH CAO Tel : CẤP 0918614420 ( Mathematics B1 ) Thí dụ: Giải ptvp y 00 − 3y + 2y = 2x − + e x (3 − 4x) (1) Giải: Phương trình đặc trưng: k − 3k + = ⇔ k = ∨ k = Nên nghiệm tổng quát y 00 − 3y + 2y = y0 (x) = C1 e x + C2 e 2x (C1 , C2 ∈ R ) LaTex Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn GIẢI TÍCH CAO Tel : CẤP 0918614420 ( Mathematics B1 ) Thí dụ: Giải ptvp y 00 − 3y + 2y = 2x − + e x (3 − 4x) (1) Giải: Phương trình đặc trưng: k − 3k + = ⇔ k = ∨ k = Nên nghiệm tổng quát y 00 − 3y + 2y = y0 (x) = C1 e x + C2 e 2x (C1 , C2 ∈ R ) Rõ ràng nghiệm riêng y 00 − 3y + 2y = 2x − y1∗ (x) = x y1∗ 00 − 3y1∗ + 2y1∗ = 2x − LaTex Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn GIẢI TÍCH CAO Tel : CẤP 0918614420 ( Mathematics B1 ) Thí dụ: Giải ptvp y 00 − 3y + 2y = 2x − + e x (3 − 4x) (1) Giải: Phương trình đặc trưng: k − 3k + = ⇔ k = ∨ k = Nên nghiệm tổng quát y 00 − 3y + 2y = y0 (x) = C1 e x + C2 e 2x (C1 , C2 ∈ R ) Rõ ràng nghiệm riêng y 00 − 3y + 2y = 2x − y1∗ (x) = x y1∗ 00 − 3y1∗ + 2y1∗ = 2x − Pt y 00 − 3y + 2y = e x (3 − 4x) có nghiệm riêng dạng: y2∗ (x) = xe x (ax + b) = e x (ax + bx) LaTex Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn GIẢI TÍCH CAO Tel : CẤP 0918614420 ( Mathematics B1 ) Thí dụ: Giải ptvp y 00 − 3y + 2y = 2x − + e x (3 − 4x) (1) Giải: Phương trình đặc trưng: k − 3k + = ⇔ k = ∨ k = Nên nghiệm tổng quát y 00 − 3y + 2y = y0 (x) = C1 e x + C2 e 2x (C1 , C2 ∈ R ) Rõ ràng nghiệm riêng y 00 − 3y + 2y = 2x − y1∗ (x) = x y1∗ 00 − 3y1∗ + 2y1∗ = 2x − Pt y 00 − 3y + 2y = e x (3 − 4x) có nghiệm riêng dạng: y2∗ (x) = xe x (ax + b) = e x (ax + bx) Áp dụng pp hệ số bất định ta có a = 2, b = Vì y2∗ (x) = e x (2x + x) LaTex Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn GIẢI TÍCH CAO Tel : CẤP 0918614420 ( Mathematics B1 ) Thí dụ: Giải ptvp y 00 − 3y + 2y = 2x − + e x (3 − 4x) (1) Giải: Phương trình đặc trưng: k − 3k + = ⇔ k = ∨ k = Nên nghiệm tổng quát y 00 − 3y + 2y = y0 (x) = C1 e x + C2 e 2x (C1 , C2 ∈ R ) Rõ ràng nghiệm riêng y 00 − 3y + 2y = 2x − y1∗ (x) = x y1∗ 00 − 3y1∗ + 2y1∗ = 2x − Pt y 00 − 3y + 2y = e x (3 − 4x) có nghiệm riêng dạng: y2∗ (x) = xe x (ax + b) = e x (ax + bx) Áp dụng pp hệ số bất định ta có a = 2, b = Vì y2∗ (x) = e x (2x + x) Do đó, áp dụng nguyên lý chồng chất nghiệm; (1) có nghiệm tổng quát: y (x) = y0 (x) + y1∗ (x) + y2∗ (x) = (C1 e x + C2 e 2x ) + x + e x (2x + x) (C1 , C2 ∈ R) LaTex Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn GIẢI TÍCH CAO Tel : CẤP 0918614420 ( Mathematics B1 ) Giải ptvp : y 00 − 2y + y = + x , y 00 − 2y + 5y = 5x − 4x + , y 00 + y = sin 2x , y 00 − y = cos2 x , Rx y 00 − 7y + 10y − = (2e t + 10t − 7)dt, y 00 − 3y + 2y = 2x − 6x + + e x (3 − 4x) Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn GIẢI TÍCH CAO Tel : CẤP 0918614420 ( Mathematics B1 ) LaTex ỨNG DỤNG P.T.VI PHÂN TRONG K.TẾ LaTex Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn GIẢI TÍCH CAO Tel : CẤP 0918614420 ( Mathematics B1 ) ỨNG DỤNG P.T.VI PHÂN TRONG K.TẾ Giả sử sản phẩm robot gia dụng có hàm cầu, hàm cung định bởi: qd = − 2p, qs = + 4p LaTex Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn GIẢI TÍCH CAO Tel : CẤP 0918614420 ( Mathematics B1 ) ỨNG DỤNG P.T.VI PHÂN TRONG K.TẾ Giả sử sản phẩm robot gia dụng có hàm cầu, hàm cung định bởi: qd = − 2p, qs = + 4p điều chỉnh giá theo thời gian t: dp dt = [qd − qs ] LaTex Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn GIẢI TÍCH CAO Tel : CẤP 0918614420 ( Mathematics B1 ) ỨNG DỤNG P.T.VI PHÂN TRONG K.TẾ Giả sử sản phẩm robot gia dụng có hàm cầu, hàm cung định bởi: qd = − 2p, qs = + 4p điều chỉnh giá theo thời gian t: dp dt = [qd − qs ] Tìm hàm giá p(t)của robot gia dụng LaTex Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn GIẢI TÍCH CAO Tel : CẤP 0918614420 ( Mathematics B1 ) ỨNG DỤNG P.T.VI PHÂN TRONG K.TẾ Giả sử sản phẩm robot gia dụng có hàm cầu, hàm cung định bởi: qd = − 2p, qs = + 4p điều chỉnh giá theo thời gian t: dp dt = [qd − qs ] Tìm hàm giá p(t)của robot gia dụng Giải: dp dp dp dt = [qd − qs ] ⇔ dt + 3p = ⇔ p = −3dt ( p > ) ⇔ ln p = −3t + C (C ∈ R) ⇔ ln p = −3t + ln C∗ (C∗ > ) LaTex ⇔ Cp∗ = e −3t ⇔ p = C∗ e −3t (C∗ > 0) Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn GIẢI TÍCH CAO Tel : CẤP 0918614420 ( Mathematics B1 ) ỨNG DỤNG P.T.VI PHÂN TRONG K.TẾ Giả sử sản phẩm robot gia dụng có hàm cầu, hàm cung định bởi: qd = − 2p, qs = + 4p điều chỉnh giá theo thời gian t: dp dt = [qd − qs ] Tìm hàm giá p(t)của robot gia dụng Giải: dp dp dp dt = [qd − qs ] ⇔ dt + 3p = ⇔ p = −3dt ( p > ) ⇔ ln p = −3t + C (C ∈ R) ⇔ ln p = −3t + ln C∗ (C∗ > ) LaTex ⇔ Cp∗ = e −3t ⇔ p = C∗ e −3t (C∗ > 0) Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn GIẢI TÍCH CAO Tel : CẤP 0918614420 ( Mathematics B1 ) Vậy hàm giá p có dạng tổng quát: p : p(t) = C e −3t (C > 0) ... PHÂN CẤP I 3.PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP II 4.ỨNG DỤNG PTVP TRONG KINH TẾ LaTex Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn GIẢI TÍCH CAO Tel : CẤP 0918614420... (1); gọi tích phân tổng quát (1) Thí dụ: Giải ptvp: y (e x + 1) = e x (1) LaTex Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn GIẢI TÍCH CAO Tel : CẤP 0918614420... (y )dy PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Lấy tích phân vế phương trình LaTex Giảng viên : Lê Thái Duy Website: http://staff.agu.edu.vn/ltduy Email : ltduyaguns@vnn.vn GIẢI TÍCH CAO Tel : CẤP 0918614420 ( Mathematics