0

Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 3 - Lê Xuân Lý

16 1 0
  • Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 3 - Lê Xuân Lý

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 15/09/2021, 18:14

Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 3 Biến ngẫu nhiên nhiều chiều cung cấp cho người học những kiến thức như: Các khái niệm cơ sở; Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc; Kỳ vọng và phương sai của các thành phần; Hiệp phương sai và hệ số tương quan; Hàm của một biến ngẫu nhiên;...Mời các bạn cùng tham khảo! [SAMI-HUST]Viện Toán ứng dụng Tin học, ĐHBK Hà Nội Chương 3: Biến ngẫu nhiên nhiều chiều Lê Xuân Lý (1) Hà Nội, tháng năm 2018 (1) Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiều Email: lexuanly@gmail.com Luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên nhiều chiều Hà Nội, 1/35 tháng năm 2018 / 35 Các khái niệm sở Các khái niệm sở Ở chương trước quan tâm đến xác suất biến ngẫu nhiên riêng rẽ Nhưng thực tế nhiều ta phải xét đồng thời nhiều biến khác có quan hệ tương hỗ (ví dụ nghiên cứu sinh viên trường đại học cần quan tâm đến chiều cao, cân nặng, tuổi, ) Do dẫn đến khái niệm biến ngẫu nhiên nhiều chiều hay véctơ ngẫu nhiên Để cho đơn giản, ta nghiên cứu biến ngẫu nhiên hai chiều (X, Y ), X, Y biến ngẫu nhiên chiều Hầu hết kết thu mở rộng dễ dàng cho trường hợp biến ngẫu nhiên n chiều Biến ngẫu nhiên hai chiều gọi rời rạc (liên tục) thành phần biến ngẫu nhiên rời rạc (liên tục) Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiều Hà Nội, 3/35 tháng năm 2018 / 35 Luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên nhiều chiều Các khái niệm sở Các khái niệm sở Định nghĩa 3.1 Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên hai chiều (X, Y ) xác định sau F (x, y) = P (X < x, Y < y), x, y ∈ R (3.1) Nhiều tài liệu gọi hàm hàm phân phối xác suất đồng thời hai biến X Y Tính chất ≤ F (x, y) ≤ 1, ∀x, y ∈ R; F (x, y) hàm không giảm theo đối số; F (−∞, y) = F (x, −∞) = 0, ∀x, y ∈ R F (+∞, +∞) = 1; Với x1 < x2 , y1 < y2 ta ln có P (x1 ≤ X ≤ x2 , y1 ≤ y ≤ y2 ) = F (x2 , y2 ) + F (x1 , y1 ) − F (x1 , y2 ) − F (x2 , y1 ) Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiều Luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên nhiều chiều Hà Nội, 4/35 tháng năm 2018 / 35 Các khái niệm sở Các khái niệm sở Tính chất (tiếp) Các hàm F (x, +∞) = P (X < x, Y < +∞) = P (X < x) =: FX (x) F (+∞, y) = P (X < +∞, Y < y) = P (Y < y) =: FY (x) hàm phân phối riêng biến ngẫu nhiên X Y gọi phân phối biên biến ngẫu nhiên hai chiều (X, Y ) Định nghĩa 3.2 Hai biến ngẫu nhiên X, Y gọi độc lập F (x, y) = FX (x).FY (y), ∀x, y ∈ R Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiều Hà Nội, 5/35 tháng năm 2018 / 35 Luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên nhiều chiều Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc PPXS biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc Định nghĩa 3.3 Bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên hai chiều (X, Y ) rời rạc xác định sau ❍❍ Y X ❍❍ ❍ x1 x2 xi xm y1 yj yn j p11 p21 pi1 pm1 P (Y = y1 ) p1j p2j pij pmj P (Y = yj ) p1n p2n pin pmn P (Y = yn ) P (X = x1 ) P (X = x2 ) P (X = xi ) P (X = xm ) i Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiều Luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên nhiều chiều Hà Nội, 6/35 tháng năm 2018 / 35 Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc PPXS biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc Trong pij = P (X = xi , Y = yj ) ∀i = 1, m, j = 1, n Kích thước bảng chạy vơ hạn m, n chạy vơ hạn Tính chất pij ≥ ∀i, j; pij = 1; i,j Hàm phân phối xác suất xác định theo công thức F (x, y) = pij ; i,j: xi 25 Với < y ≤ 25 ta có FY (y) = P (Y < y) = P (X(10 − X) < y) = P X − 10X + y > =P X + =P 0 + Biến ngẫu nhiên nhiều chiều 25 − y = 5− √ 25 − y Hà Nội, 27/35 tháng năm 2018 27 / 35 Hàm biến ngẫu nhiên Hàm hai biến ngẫu nhiên Hàm hai biến ngẫu nhiên Xét biến ngẫu nhiên Z = g(X, Y ), (X, Y ) biến ngẫu nhiên hai chiều biết luật phân phối Ta xét luật phân phối xác suất Z số trường hợp đơn giản theo cách sau: FZ (z) = P (Z < z) = P (g(X, Y ) < z) = P ((X, Y ) ∈ D) , D {(x, y)|g(x, y) < z} Đối với biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục (X, Y ) với hàm mật độ đồng thời f (x, y) ta có P ((X, Y ) ∈ D) = f (x, y)dxdx, D đồng thời kỳ vọng +∞ +∞ EZ = E (g(X, Y )) = g(x, y).f (x, y)dxdy −∞ −∞ Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiều Hàm biến ngẫu nhiên Hà Nội, 28/35 tháng năm 2018 28 / 35 Hàm hai biến ngẫu nhiên Hàm hai biến ngẫu nhiên Ví dụ Hai người bạn hẹn gặp công viên khoảng thời gian từ 17h đến 18h Họ hẹn người đến trước đợi người vịng 10 phút Sau 10 phút đợi khơng gặp Thời điểm đến hai người ngẫu nhiên độc lập với khoảng thời gian Tính xác suất hai người gặp Giải Quy gốc thời gian lúc 17h Gọi X, Y biến ngẫu nhiên thời điểm người A, B đến, ta có  X, Y ∼ U (0; 60) Do X, Y độc lập nên chúng có hàm mật độ đồng thời  , (x, y) ∈ [0; 60]2 f (x, y) = 3600 Gọi Z biến ngẫu nhiên khoảng thời gian  0, ngược lại thời điểm hai người đến Ta có Z = |X − Y | Khi đó, xác suất hai người gặp P (Z < 10) = P (|X − Y | < 10) = P ((X, Y ) ∈ D) , D giao miền |X − Y | < 10 hình vng [0; 60]2 Vậy Lê Xuân Lý SD 1100 11 P (Z < 10) = = = Biến ngẫu nhiên nhiều chiều 3600 3600 36 Hà Nội, 29/35 tháng năm 2018 29 / 35 Luật số lớn định lý giới hạn trung tâm Luật số lớn Luật số lớn Bất đẳng thức Trebyshev Định lý 1: Cho Y biến ngẫu nhiên khơng âm Khi với P (Y ≥ ) < > tuỳ ý cho trước ta có: E(Y ) Chứng minh Ta chứng minh cho trường hợp Y biến ngẫu nhiên liên tục +∞ P (Y ≥ ) = f (y)dy = +∞ ≤ y f (y)dy = +∞ +∞ f (y)dy ≤ y f (y)dy E(Y ) Tuy nhiên dấu đồng thời xảy dấu ≤ nên ta có ĐPCM Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiều Luật số lớn định lý giới hạn trung tâm Hà Nội, 31/35 tháng năm 2018 31 / 35 Luật số lớn Luật số lớn Bất đẳng thức Trebyshev Định lý 2: Cho X biến ngẫu nhiên có EX = µ, V X = σ hữu hạn Khi với tuỳ ý cho trước ta có: σ2 P (|X − µ| ≥ ) < >0 hay tương đương P (|X − µ| ≤ ) ≥ − σ2 Chứng minh Ta chứng minh cho trường hợp X biến ngẫu nhiên liên tục Ta cần đặt Y = |X − µ|, áp dụng định lý ta có ĐPCM Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiều Hà Nội, 32/35 tháng năm 2018 32 / 35 Luật số lớn định lý giới hạn trung tâm Luật số lớn Luật số lớn Áp dụng định lý với X = n n Xi ta có luật số lớn Trebyshev i=1 Luật số lớn Trebyshev Nếu dãy biến ngẫu nhiên X1 , X2 , Xn , độc lập, có kỳ vọng hữu hạn phương sai bị chặn (V Xi ≤ C với C số), với > tuỳ ý cho trước ta có: lim P (| n→+∞ n n Xi − n i=1 n EXi | < ) = i=1 Hệ Nếu dãy biến ngẫu nhiên X1 , X2 , Xn , độc lập, có kỳ vọng (EXi = µ) phương sai bị chặn (V Xi ≤ C với C số), với > tuỳ ý cho trước ta có: lim P (| n→+∞ n Lê Xuân Lý n Xi − µ| < ) = i=1 Biến ngẫu nhiên nhiều chiều Luật số lớn định lý giới hạn trung tâm Hà Nội, 33/35 tháng năm 2018 33 / 35 Luật số lớn Luật số lớn Bernoulli Áp dụng luật số lớn Trebyshev với trường hợp Xi ∼ B(1, p) số lần xảy A phép thử thứ i ta có luật số lớn Bernoulli Luật số lớn Bernoulli Xét n phép thử độc lập, điều kiện Trong phép thử, xác suất xảy A p m số lần xảy A n phép thử với > tuỳ ý cho trước ta có: lim P (| n→+∞ m − p| < ) = n Với luật số lớn Bernoulli ta chứng minh điều thừa nhận phần ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT THEO THỐNG KÊ, với n → +∞ m →p n Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiều Hà Nội, 34/35 tháng năm 2018 34 / 35 Luật số lớn định lý giới hạn trung tâm Định lý giới hạn trung tâm Định lý giới hạn trung tâm Định lý giới hạn trung tâm Giả sử {Xn } dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân phối với EXi = µ, V Xi = σ n Đặt Xn = Xi Khi với n đủ lớn ta có: i=1 Xn ∼ N (µ, σ2 ) n Xn − µ √ n ∼ N (0; 1) σ Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiều Hà Nội, 35/35 tháng năm 2018 35 / 35 ... gái|có con) = 0, 3. C31 0, 5.0, 52 = 0, 1125 Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiều Hà Nội, 13/ 35 tháng năm 2018 13 / 35 Luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên nhiều chiều Phân phối xác suất biến ngẫu... phân phối xác suất đồng thời cho (X, Y ) Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiều Luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên nhiều chiều Hà Nội, 10 /35 tháng năm 2018 10 / 35 Phân phối xác suất biến... 3) = C 43 /C12 = 4/220 = 0) = C3 C5 /C12 = 30 /220 1 = 1) = C3 C4 C5 /C12 = 60/220 = 2) = C31 C42 /C12 = 18/220 = 0) = C32 C51 /C12 = 15/220 3 = 1) = C3 C4 /C12 = 12/220 , P (X = 3, Y = 0) = C33
- Xem thêm -

Xem thêm: Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 3 - Lê Xuân Lý, Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 3 - Lê Xuân Lý