0

Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 2 - Lê Xuân Lý

33 2 0
  • Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 2 - Lê Xuân Lý

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 15/09/2021, 18:14

Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 2 Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suất cung cấp cho người học những kiến thức như: Biến ngẫu nhiên; Phân loại biến ngẫu nhiên; Hàm phân phối xác suất; Bảng phân phối xác suất; Các tham số đặc trưng; Hàm mật độ xác suất; Một số phân phối xác suất thông dụng; Phân phối nhị thức (Binomial Distribution);...Mời các bạn cùng tham khảo! Chương 2: Biến ngẫu nhiên luật phân phối xác suất Lê Xuân Lý (1) Viện Toán ứng dụng Tin học, ĐHBK Hà Nội Hà Nội, tháng năm 2018 (1) Email: lexuanly@gmail.com Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên luật phân phối xác suất Mở đầu Hà Nội, 1/69 tháng năm 2018 / 69 Biến ngẫu nhiên Bài tốn mở đầu Một cơng ty bảo hiểm bán thẻ bảo hiểm với giá 100 ngàn đồng/1 người/1 năm Nếu người bảo hiểm gặp rủi ro năm nhận số tiền bồi thường triệu đồng Theo thống kê biết tỷ lệ người tham gia bảo hiểm bị rủi ro năm 0.05 Hãy tính tiền lãi trung bình bán thẻ bảo hiểm Nếu bán bảo hiểm cho 10000 khách hàng số tiền lãi trung bình thu bao nhiêu? Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên luật phân phối xác suất Hà Nội, 3/69 tháng năm 2018 / 69 Mở đầu Biến ngẫu nhiên Định nghĩa 1.1 Biến ngẫu nhiên (đại lượng ngẫu nhiên) đại lượng mà giá trị ngẫu nhiên, phụ thuộc vào kết phép thử Ký hiệu biến ngẫu nhiên: X, Y, Z, X1 , X2 , Giá trị mà biến ngẫu nhiên nhận: a, b, c, , x, y, z, x1 , x2 , Ví dụ Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên luật phân phối xác suất Mở đầu Hà Nội, 4/69 tháng năm 2018 / 69 Biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên Gieo xúc xắc Ta quan tâm đến số chấm xuất Gọi X số chấm xuất mặt xúc xắc, ta có X biến ngẫu nhiên tập giá trị nhận {1, 2, 3, 4, 5, 6} Chọn ngẫu nhiên đứa trẻ từ nhóm gồm bé trai bé gái Ta quan tâm có bé gái Gọi X số bé gái nhóm Khi X biến ngẫu nhiên tập giá trị nhận {0, 1, 2, 3} Khoảng thời gian ca cấp cứu bệnh viện biến ngẫu nhiên Nó nhận giá trị khoảng [0; +∞) Nhiệt độ Hà Nội lúc 6h sáng hàng ngày Số iphone phải bảo hành Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên luật phân phối xác suất Hà Nội, 5/69 tháng năm 2018 / 69 Mở đầu Biến ngẫu nhiên Phân loại biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên gọi rời rạc, tập giá trị tập hữu hạn vô hạn đếm phần tử + Nói cách khác biến ngẫu nhiên rời rạc ta liệt kê tất giá trị nhận dãy hữu hạn vơ hạn + Ví dụ: số điểm thi học sinh, số gọi điện thoại tổng đài đơn vị thời gian, số tai nạn giao thông ngày, Biến ngẫu nhiên gọi liên tục, tập giá trị lấp kín miền số miền trục số trục số + Một miền có dạng (a; b), [a; b), (a; b], [a; b] + Ví dụ: huyết áp bệnh nhân, độ dài chi tiết máy, tuổi thọ loại bóng đèn điện tử, Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên luật phân phối xác suất Mở đầu Hà Nội, 6/69 tháng năm 2018 / 69 Hàm phân phối xác suất Hàm phân phối xác suất Định nghĩa 1.2 Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X, kí hiệu F (x) xác định sau: (1.1) F (x) = P (X < x), x ∈ R Hàm phân phối xác suất F (x) phản ánh độ tập trung xác suất bên trái điểm x Các tính chất ≤ F (x) ≤ lim F (x) = , lim F (x) = x→−∞ x→+∞ F (x) hàm không giảm: ∀a < b, F (a) ≤ F (b) P (a ≤ X < b) = F (b) − F (a) Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên luật phân phối xác suất Hà Nội, 7/69 tháng năm 2018 / 69 Biến ngẫu nhiên rời rạc Bảng phân phối xác suất Bảng phân phối xác suất Định nghĩa 2.1 Phân bố xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc X bảng ta ghi giá trị mà X nhận kèm theo xác suất để nhận giá trị X=x P (X = x) x1 p1 x2 p2 xn pn Trong tập giá trị X {x1 , x2 , , xn } xếp theo thứ tự tăng dần Các xác suất pi thỏa mãn pi = P (X = xi ) > ∀i = 1, 2, ; pi = i Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc X : F (x) = P (X < x) = P (X = xi ) = pi i:xi 0) hàm mật độ X có dạng: (x−µ)2 f (x) = √ e 2σ2 σ 2π Ký hiệu: X ∼ N (µ, σ ) Các tham số đặc trưng EX = µ V X = σ2 mod(X) = med(X) = µ Mục tiêu ta tính xác suất dạng P (a < X < b) Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên luật phân phối xác suất Một số luật phân phối xác suất thông dụng Hà Nội, 57/69 tháng năm 2018 57 / 69 Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn tắc Đặc biệt: X ∼ N (0; 1) với (µ = 0, σ = 1), X gọi tuân theo phân phối chuẩn tắc (hay chuẩn hoá) Hàm mật độ xác suất hay gọi hàm mật độ Gauss: ϕ(x) = √ e− x 2π x Để tính xác suất ta dùng hàm Laplace: φ(x) = ϕ(t)dt Tính chất: φ(x) hàm lẻ, tăng thực φ(+∞) = 0, X ∼ N (0; 1) ta có: P (a < X < b) = φ(b) − φ(a) Giá trị hàm Laplace tính sẵn thành bảng số liệu Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên luật phân phối xác suất Hà Nội, 58/69 tháng năm 2018 58 / 69 Một số luật phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn tổng quát Kết quả: Nếu X ∼ N (µ; σ ) ta có Z = X−µ ∼ N (0; 1) σ Từ ta xây đựng cơng thức tính: a−µ P (X < a) = 0, + φ( ) σ a−µ P (X > a) = 0, − φ( ) σ a−µ b−µ ) − φ( ) P (a ≤ X < b) = φ( σ σ ε P (|X − µ| < ε) = 2φ( ) σ Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên luật phân phối xác suất Một số luật phân phối xác suất thông dụng Hà Nội, 59/69 tháng năm 2018 59 / 69 Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn - Ví dụ Ví dụ Độ dài chi tiết máy giả sử tuân theo luật phân phối chuẩn với giá trị trung bình 20 cm độ lệch chuẩn 0,5 cm Tính xác suất chọn ngẫu nhiên chi tiết độ dài nó: a) lớn 20 cm b) bé 19,5 cm c) nằm khoảng 19 cm – 21 cm Lời giải: Gọi X(cm) độ dài chi tiết máy chọn X ∼ N (µ, σ ), µ = 20, σ = 0, 20 − µ P (X > 20) = 0, − φ( ) = 0, − φ(0) = 0, σ 19, − µ P (X < 19, 5) = 0, + φ( ) = 0, + φ(−1) = 0, − φ(1) = σ 0, − 0, 3413 = 0, 1587 21 − µ 19 − µ P (19 < X < 21) = φ( ) − φ( ) = φ(2) − φ(−2) = 2φ(2) = σ σ 2.0, 4772 = 0, 9544 Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên luật phân phối xác suất Hà Nội, 60/69 tháng năm 2018 60 / 69 Một số luật phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Xấp xỉ phân phối nhị thức phân phối chuẩn Với X ∼ B(n; p) thoả mãn np(1 − p) > 20 Khi ta xấp xỉ X ∼ N (µ, σ ) với µ = np, σ = np(1 − p) Tuy nhiên xấp xỉ phân phối rời rạc phân phối liên tục, nên cần hiệu chỉnh để giảm sai số Cụ thể với k, k1 , k2 số tự nhiên ta có: k − 0, − µ k + 0, − µ ) − φ( ) σ σ k2 + 0, − µ k1 − 0, − µ P (k1 ≤ X ≤ k2 ) = φ( ) − φ( ) σ σ P (X = k) = φ( Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên luật phân phối xác suất Một số luật phân phối xác suất thông dụng Hà Nội, 61/69 tháng năm 2018 61 / 69 Phân phối chuẩn Xấp xỉ phân phối nhị thức phân phối chuẩn Ví dụ Kiểm tra chất lượng 1000 sản phẩm với tỷ lệ phẩm 0,95 Tìm xác suất để số phẩm lơ kiểm tra từ 940 đến 960 Lời giải : Gọi X biến ngẫu nhiên số phẩm lơ sản phẩm kiểm tra, ta có X ∼ B(1000; 0, 95) Với n = 1000, p = 0, 95, ta có np = 950 npq = 47, đủ lớn nên ta xấp xỉ X ∼ N (950; 47, 5): 960 + 0, − 950 940 + 0, − 950 √ √ P (940 ≤ X ≤ 960) = φ( ) − φ( ) 47, 47, = φ(1, 52) − φ(−1, 52) = 2φ(1, 52) = 0, 8716 Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên luật phân phối xác suất Hà Nội, 62/69 tháng năm 2018 62 / 69 Một số luật phân phối xác suất thông dụng Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn - Ý nghĩa Phân phối chuẩn Gauss phát minh năm 1809 nên có mang tên phân phối Gauss Ta thấy biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối chuẩn nhận giá trị trục số, nhiên xấp xỉ số biến ngẫu nhiên không nhận tất giá trị R theo phân phối chuẩn, qui tắc − σ, tức ta có xác suất X rơi vào miền có xác suất 0,9974 gần 1, nên hầu hết người ta cần quan tâm đến giá trị lân cận − σ kỳ vọng Phân phối chuẩn chiếm vị trí quan trọng lý thuyết xác suất, vị trí trung tâm kết luận thống kê sau Trong thực tế, ví dụ lĩnh vực kinh tế, khoa học xã hội, nhiều phân phối không giống phân phối chuẩn, phân phối trung bình cộng trường hợp lại xem phân phối chuẩn miễn cỡ mẫu n đủ lớn Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên luật phân phối xác suất Một số luật phân phối xác suất thông dụng Hà Nội, 63/69 tháng năm 2018 63 / 69 Một số phân phối khác Phân phối mũ Định nghĩa 4.6 Biến ngẫu nhiên X gọi tuân theo phân phối mũ với tham số λ > có hàm mật độ xác suất có dạng: f (x) = λe−λx , 0, x>0 x≤0 Ký hiệu: X ∼ E(λ) Các tham số đặc trưng λ VX = λ EX = Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên luật phân phối xác suất Hà Nội, 64/69 tháng năm 2018 64 / 69 Một số luật phân phối xác suất thông dụng Một số phân phối khác Phân phối mũ Ta có P (X > x) = eλx Phân phối mũ có tính chất khơng nhớ: P (X > t + s|X > t) = P (X > s) Ý nghĩa: Phân phối mũ có nhiều nhiều ứng dụng thực tiễn Nói chung với giả thiết đó, khoảng thời gian hai lần xuất kiện E có phân phối mũ Vì lý phân phối mũ cịn có tên gọi phân phối thời gian chờ đợi (“Waiting time distribution”) Ví dụ khoảng thời gian ca cấp cứu bệnh viện, khoảng thời gian lần hỏng hóc máy, khoảng thời gian trận lụt hay động đất, Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên luật phân phối xác suất Một số luật phân phối xác suất thông dụng Hà Nội, 65/69 tháng năm 2018 65 / 69 Một số phân phối khác Phân phối mũ Ví dụ Giả sử tuổi thọ (tính năm) mạch điện tử máy tính biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với kỳ vọng 6,25 Thời gian bảo hành mạch điện tử năm Hỏi có phần trăm mạch điện tử bán phải thay thời gian bảo hành Lời giải Gọi X tuổi thọ mạch X tuân theo phân phối mũ với tham số λ = 1 = EX 6, 25 P (X ≤ 5) = − e−5λ = − e−0,8 = 0, 5506 Vậy có khoảng 55% mạch điện tử bán phải thay thời gian bảo hành Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên luật phân phối xác suất Hà Nội, 66/69 tháng năm 2018 66 / 69 Một số luật phân phối xác suất thông dụng Một số phân phối khác Phân phối Khi bình phương Định nghĩa 4.7 Giả sử Xi , (i = 1, 2, , n) biến ngẫu nhiên độc lập phân phối chuẩn tắc n Biến ngẫu nhiên Y = Xi2 gọi tuân theo phân phối Khi bình phương với n i=1 bậc tự Ký hiệu: Y ∼ χ2 (n) Các tham số đặc trưng EY = n V Y = 2n Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên luật phân phối xác suất Một số luật phân phối xác suất thông dụng Hà Nội, 67/69 tháng năm 2018 67 / 69 Một số phân phối khác Phân phối Student Định nghĩa 4.8 Giả sử X ∼ N (0; 1) Y ∼ χ2 (n) hai biến ngẫu nhiên độc lập Khi đó: T = X Y n gọi tuân theo phân phối Student với n bậc tự Ký hiệu: T ∼ T (n) Các tham số đặc trưng ET = VT = n n−2 Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên luật phân phối xác suất Hà Nội, 68/69 tháng năm 2018 68 / 69 Một số luật phân phối xác suất thông dụng Một số phân phối khác Chú ý Phân phối Student có dạng tính đối xứng phân phối chuẩn phản ánh tính biến đổi phân phối sâu sắc Phân phối chuẩn dùng để xấp xỉ phân phối mẫu có kích thước nhỏ Trong trường hợp ta dùng phân phối Student Khi bậc tự n tăng lên (n > 30) phân phối Student tiến nhanh phân phối chuẩn Do n > 30 ta dùng phân phối chuẩn thay cho phân phối Student Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên luật phân phối xác suất Hà Nội, 69/69 tháng năm 2018 69 / 69 ... có bảng phân phối xác suất sau: X=x P (X = x) 1 /2 1 /2 EX = 0.1 /2 + 1.1 /2 = 1 /2 E(X ) = 02 1 /2 + 12 1 /2 = 1 /2 Phương sai V X = E(X ) − (EX )2 = 1 /2 − 1/4 = 1/4 Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên... 125 /21 6 50 75 /21 6 100 15 /21 6 20 0 1 /21 6 xi pi = 5450 /21 6 = 25 , 23 (nghìn đồng) EX = i Lê Xuân Lý (SAMI-HUST) Biến ngẫu nhiên luật phân phối xác suất Hà Nội, 22 /69 tháng năm 20 18 22 / 69 Biến ngẫu nhiên... phân phối xác suất sau: X=x P (X = x) 1/4 1 /2 1/4 EX = 0.1/4 + 1.1 /2 + 2. 1/4 = E(X ) = 02 1/4 + 12 1 /2 + 22 1/4 = 3 /2 Phương sai V X = E(X ) − (EX )2 = 3 /2 − 12 = 1 /2 Nhận xét: Phương sai VD2 lớn
- Xem thêm -

Xem thêm: Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 2 - Lê Xuân Lý, Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 2 - Lê Xuân Lý