bài giảng giải tích mạch chương 3 4

3.8 Chuỗi Fourier & toán xác lập chu kỳ Hàm tuần hoàn f (= t ) f (t + n T)  T : chu kỳ Trong mạch xác lập chu kỳ đáp ứng kích thích có chu kỳ Phân loại & cách phân tích  Mạch tuần hồn sin: → ảnh phức  Mạch tuần hồn khơng sin: → khai triển Fourier → xếp chồng miền t Bài giảng Giải tích Mạch 2015 3.8.1 Khai triển Fourier Hàm tuần hoàn f (= t ) f (t + n T)  T : chu kỳ Khai triển Fourier lượng giác a0 +∞ + ∑ [ an cos(nω0t ) + bn sin(nω0t ) ] f (t ) = n =1 2π  ω0 = : tần số T  nω0 : họa tần, sóng hài  a0 , an , bn : số Bài giảng Giải tích Mạch 2015 3.8.1 Khai triển Fourier Khai triển Fourier lượng giác a0 +∞ + ∑ [ an cos(nω0t ) + bn sin(nω0t ) ] f (t ) = n =1 T /2 a0 = f (t )dt ∫ T −T /2  Hàm số chẵn : f (t ) = f (−t ) → bn = an = f (t ) cos(nω0t )dt ∫ T −T /2  Hàm số lẻ : T /2 f (t ) =− f (−t ) → a0 =an =0 ( ) sin( ) bn = f t n t dt ω ∫ T −T /2 T /2 Bài giảng Giải tích Mạch 2015 3.8.1 Khai triển Fourier Hàm số chẵn f (t ) = f (−t ) → bn = a0 +∞ ) + ∑ an cos(nω0t ) f (t= n =1 a0 = T T /2 an = T T /2 ∫ f (t )dt ∫ f (t ) cos(nω0t )dt Bài giảng Giải tích Mạch 2015 3.8.1 Khai triển Fourier Hàm số lẻ f (t ) =− f (−t ) → a0 =an =0 +∞ f (t ) = ∑ bn sin(nω0t ) n =1 bn = T T /2 ∫ f (t ) sin(nω0t )dt Bài giảng Giải tích Mạch 2015 3.8.1 Khai triển Fourier Hàm bán sóng T f (t ) = − f (t ± ) +∞ f (t ) ∑ [a n =1 n = k +1 an = T T /2 bn = T T /2 ∫ n cos(nω0t ) + bn sin(nω0t ) ] f (t ) cos(nω0t )dt (n = 2k + 1) f (t ) sin(nω0t )dt (n = 2k + 1) ∫ Bài giảng Giải tích Mạch 2015 Khai triển Fourier hàm thông dụng f1 Sóng vng  f1(t) A hàm lẻ -T/2 T/2 T f1 (t ) = +∞ ∑ n =1 = n k +1 4A sin(nω0t ) nπ -A 4 A ( − cos(nω0t ) ) A sin(nω0t )dt = ∫ T T nω0 T /2 T /2 bn A ( − cos(nπ ) + 1) A = nπ nπ =n k +1 Bài giảng Giải tích Mạch 2015 Khai triển Fourier hàm thơng dụng Sóng tam giác  f2(t) f2 A hàm lẻ -T/2 bn 4  T T/2 -T/4 T/4 T -A T /4 ∫ T /2  A    −4 A T  (t − )  sin(nω0t )dt  t  sin(nω0t )dt + ∫   T  T   T /4     −t cos(nω t ) sin(nω t ) T /  0   + +  (nω0 )  nω0  16 A   =  T /2  T   (t − T ) cos(nω t ) sin(nω t )   0 + −     n n ( ) ω ω 0 T /    Khai triển Fourier hàm thơng dụng Sóng tam giác f2 A T/2 -T/4 -T/2 T/4 T f (t ) = +∞ ∑ n =1 = n k +1 8A nπ sin( ) sin( nω0 t ) 2 nπ -A bn   − T cos( nπ ) sin( nπ )   2   + +  (nω0 )  nω0  16 A   8A nπ = sin(   ) 2 T   T cos( nπ ) sin(nπ ) − sin( nπ )   n π 2 + −     n ω n ω ( ) 0     Bài giảng Giải tích Mạch 2015 Khai triển Fourier hàm thông dụng f3 Sóng cưa  f3(t) hàm lẻ A -T/2 T/2 T -A bn = T T /2 ∫ −2 A cos(nπ ) sin(nω0t ) f3 (t ) = ∑  2A  t  sin(nω0t )dt n =1 nπ   T  +∞ T /2 A  −t cos(nω0t ) sin(nω0t )  +   T  nω0 (nω0 )  A  − T2 cos(nπ ) sin(nπ )  −2 A cos(nπ ) = + =   T  nω0 (nω0 )  nπ 3.8.4 Công suất mạch không sin b) Trị hiệu dụng tín hiệu (RMS) :  Cho tín hiệu khơng sin có khai triển chuỗi Fourier : ∞ u (t ) = U DC + ∑ U n cos(nω0t + ϕn ) n =1 =  Trị hiệu dụng (RMS value) : U RMS  Trên phần tử mạch: i(t) + u(t) - = PR RI = RMS ∞ 2 U DC + ∑ U n n =1 U 2RMS R PL ; PC = Bài giảng Giải tích Mạch 2015 21 3.8.4 Cơng suất mạch không sin c) Công suất phản kháng Q [Var ] :  Trên nhánh : ∞ Q ∑ n =1 U n I n sin(ϕUn − ϕ In ) [Var]  Trên phần tử mạch: i(t) = QL ∞ ∞ (nω L)I ∑ ∑= 1 U 2n n ω L0 n = n 1= n + u(t) - ∞ ∞ I2n C ω n C0 = n 1= n [Var] Q = −∑ = −∑ (nω0 C)U n2 [Var] QR = 3.8.4 Công suất mạch không sin d) Công suất S T [VA]  Công suất biểu kiến S [VA] S = U RMS I RMS  ∞  ∞  S=  U DC + ∑ U n  I DC + ∑ I n  = n 1= n     Công suất méo dạng T [VA] : có số hài tồn u(t) hay i(t), mà thay đổi biên độ chúng , S thay đổi P Q không đổi Người ta đưa khái niệm công suất méo dạng T= S − P −Q 2 Bài giảng Giải tích Mạch 2015 23 3.8.4 Cơng suất mạch không sin e) Các hệ số đặc trưng  Hệ số công suất cosϕ (p.f): cos= ϕ p.f =  Hệ số dạng:  Hệ số đỉnh kp : = kf = FRMS F0 = kp  Hệ số méo dạng:  Hệ số hàm lượng hài thứ n : P S RMS Value Average Value Fmax FRMS = Peak Value RMS Value k = F1(RMS) kn = FRMS Fn(RMS) FRMS 3.9 Biến đổi Fourier &Mạch không chu kỳ Biến đổi Fourier Biến đổi Fourier cho tín hiệu khơng tuần hồn f(t) : cơng cụ tốn có phạm vi áp dụng lớn toán kỹ thuật , định nghĩa cặp biến đổi thuận – ngược sau : F (ω ) = : ∞ ∫ f (t ).e − jω t dt −∞ ( ) f t = 2π ∞ ∫ F (ω ).e jω t dω −∞ Để có biến đổi Fourier, tín hiệu f(t) phải thỏa mãn điều kiện Dirichlets Bài giảng Giải tích Mạch 2015 25 3.9 Biến đổi Foueier &Mạch không chu kỳ f (t ) Đặc điểm hàm F(ω) F (ω ) = F (ω ) e jϕ (ω ) Phổ tần số :  Phổ biên độ: biểu diễn |F(jω)| theo ω Phổ pha :  biểu diễn ϕ(ω) theo ω Phổ biên độ phổ pha tín hiệu khơng tuần hồn hàm liên tục theo ω Bài giảng Giải tích Mạch 2015 − τ2 τ t τ F (ω ) F (ω ) = τ sin c ( ωτ ) −ω3 −ω1 τ ω1 F (ω ) ω3 ω F (ω ) = τ sin c ( ωτ ) −ω3 −ω1 ω1 ω3 ω 26 3.9 Biến đổi Fourier &Mạch khơng chu kỳ Các tính chất biến đổi Fourier Với F(ω) = P(ω) + jQ(ω) P(ω) hàm chẵn theo tần số ω Q(ω) hàm lẻ theo tần số ω Tuyến tính (Linearity) : a f1 (t ) + b f (t ) ⇔ a.F1 (ω ) + b.F2 (ω ) Nén tín hiệu (Time scaling): ω  f ( at ) ⇔ F   a a Bài giảng Giải tích Mạch 2015 27 3.9 Biến đổi Fourier &Mạch không chu kỳ Các tính chất biến đổi Fourier Trễ tín hiệu (Time shifting) f (t − t0 ) ⇔ F (ω ).e − jω t Điều chế (Modulation): e jω0t f (t ) ⇔ F (ω − ω ) Đạo hàm miền thời gian df (t ) ⇔ ( jω ).F (ω ) dt Tích phân miền thời gian t ∫ −∞ f (τ )dτ ⇔ F (ω ) + π F (0 δ) (ω ) jω ∞ ; F (0) = Bài giảng Giải tích Mạch 2015 ∫ f (t )dt −∞ 28 3.9 Biến đổi Fourier &Mạch khơng chu kỳ Các tính chất biến đổi Fourier Tích chập miền thời gian: ∞ f1 (t ) * = f (t ) ∫ f1 (τ ) f (t − τ )dτ ⇔ F1 (ω ).F2 (ω ) −∞ Định lý Parseval (Parseval’s Theorem):cho ta liên hệ lượng miền thời gian lượng miền tần số ∞ ∫ −∞ f (t )dt = 2π ∞ ∫ F (ω ) dω −∞ Bài giảng Giải tích Mạch 2015 29 3.9 Biến đổi Fourier &Mạch không chu kỳ Biến đổi Fourier hàm thông dụng Ảnh Fourier Hàm gốc 1(t) + πδ (ω ) jω δ(t) 1 (nguồn DC) 2πδ(ω) e-at.1(t) a + jω jω sgn(t) Bài giảng Giải tích Mạch 2015 30 3.9 Biến đổi Fourier &Mạch không chu kỳ Biến đổi Fourier hàm thơng dụng Hàm goác Aûnh Fourier Hàm AC : cos(ω0t) π [δ (ω − ω ) + δ (ω + ω )] Hàm AC : sin(ω0t) − jπ [δ (ω − ω ) − δ (ω + ω )] Hàm độ AC : cos(ω0t).1(t) Hàm độ AC : sin(ω0t).1(t) Hàm mũ hai phía e −α t π jω [δ (ω − ω ) + δ (ω + ω )] + 2 ω0 − ω ω0 π − j [δ (ω − ω ) − δ (ω + ω )] + 2 ω0 − ω 2α α2 +ω2 Bài giảng Giải tích Mạch 2015 31 3.9 Biến đổi Fourier &Mạch khơng chu kỳ Phân tích mạch có kích thích khơng chu kỳ Mạch điện tuyến tính Truyền tín hiệu qua mạch tuyến tính: Chuyển sang miền ω Tính Y(jω) = K(jω).X(jω) Biến đổi ngược tìm y(t) x(t) Lưu ý : khơng có khái niệm điều kiện đầu tính miền thời gian ! X(ω) Biến đổi Bài giảng Giải tích Mạch 2015 y(t) Fourier K(jω) Y(ω) 32 3.9 Biến đổi Fourier &Mạch khơng chu kỳ 2Ω Ví dụ Tìm đáp ứng xác lập u(t) e(t) = 10cos(2t) V Giải Hàm truyền mạch miền tần số ω2 K ( jω ) = 3ω − j 4ω − Ảnh Fourier tác động : Tín hiệu miền tần số : e(t ) 1H 0,5µ F 1Ω u (t ) = E (ω ) 10π [δ (ω − 2) + δ (ω + 2)] U (ω ) = 10πω [δ (ω − 2) + δ (ω + 2) ] Bài giảng Giải tích Mạch 2015 3ω − j 4ω − 33 3.9 Biến đổi Fourier &Mạch không chu kỳ U (ω ) = 10πω [δ (ω − 2) + δ (ω + 2) ] 3ω − j 4ω − −1 ( ) ( ) = Tìm hàm gốc : u t F= {U ω } 2π Lưu ý : ∞ ∞ jωt ( ) U ω e dω ∫ −∞ jω t jωt δ ( ω − ω ) e d ω = e ∫ −∞ 5(22 ) 5( − ) 20 20 j 2t − j 2t j 2t + u (t ) e e ⇒= u (t ) e + e − j 2t 2 3(2 ) − j8 − 3(−2 ) + j8 − 8(1 − j ) 8(1 + j )  e j 2t  u (t ) = Re   1 − j  cos(2t += 450 ) 1, 768 cos(2t + 45o ) = u (t ) 2 3.9 Biến đổi Fourier &Mạch khơng chu kỳ 1H + Ví dụ Tìm đáp ứng độ u(t) e(t) = 5e-2t.1(t) V Giải Hàm truyền mạch miền tần số : _ e(t) R 10 K ( jω ) = = R + jω L 10 + jω E (ω ) = + jω 50  1  = − U (ω ) K (= jω ).E (ω )    + jω 10 + jω  Ảnh Fourier tác động : Tín hiệu miền tần số : Vậy : u (t ) 6, 25 ( e−2t − e−10t ) 1(t )V = + 10 Ω u(t) - ... ω0 − ω 2α α2 +ω2 Bài giảng Giải tích Mạch 2015 31 3. 9 Biến đổi Fourier &Mạch khơng chu kỳ Phân tích mạch có kích thích khơng chu kỳ Mạch điện tuyến tính Truyền tín hiệu qua mạch tuyến tính:... thức hàm truyền đạt tần số H(jω) hay tiến hành tốn giải tích mạch xác lập DC Bài giảng Giải tích Mạch 2015 18 3. 8 .3 Truyền tín hiệu tuần hồn qua mạch tuyến tính Xếp chồng miền tần số Tìm vecto... liên tục theo ω Bài giảng Giải tích Mạch 2015 − τ2 τ t τ F (ω ) F (ω ) = τ sin c ( ωτ ) −? ?3 −ω1 τ ω1 F (ω ) ? ?3 ω F (ω ) = τ sin c ( ωτ ) −? ?3 −ω1 ω1 ? ?3 ω 26 3. 9 Biến đổi Fourier &Mạch khơng chu