bài giảng giải tích mạch chương 4 3

4.3 Phương pháp toán tử Laplace Phương pháp Toán tử Laplace  Phép biến đổi Laplace  Định luật Ohm Kirchhoff dạng tốn tử  Phân tích mạch dùng toán tử Laplace 4.3.1 Biến đổi Laplace  Định nghĩa   f(t) hàm (có thể phức) biến số thực t (t ≥ 0) cho tích phân hội tụ với số phức s = a + jb Biến đổi thuận: +∞ = F ( s ) L= { f (t )} ∫ f (t )e − st d t 0−  Biến đổi ngược f (t ) L= = {F ( s)} −1 a + j∞ 2π j a −∫j∞ F ( s )e st d s  F(s) : ảnh Laplace  f(t) : gốc Bài giảng Giải tích Mạch 2014 Biến đổi Laplace số hàm thông dụng f(t) u (t ) δ (t ) e − at cos(at ) sin(at ) t n F(s) Miền hội tụ s 1 s+a s s2 + a2 a s2 + a2 n! s n +1 Re {s} > Re {s} > −a Re {s} > Re {s} > Re {s} > Bảng tính chất phép biến đổi Laplace Tính chất f(t) F(s) Tuyến tính a1 f1 (t ) + a2 f (t ) a1 F1 ( s ) + a2 F2 ( s ) Dời theo s e − at f (t ) F ( s + a) Dời theo t f (t − t0 ).u (t − t0 ) e − st0 F ( s ) f (at ) s F  a a Đổi thang Bài giảng Giải tích Mạch 2014 Bảng tính chất phép biến đổi Laplace f(t) F(s) f ( n ) (t ) s n F ( s ) − s n−1 f (0− ) − − f ( n−1) (0− ) Tính chất Đạo hàm theo t Tích phân theo t ∫ t F (s) s f (t )dt n Nhân cho t t f (t ) Chia cho t f (t ) t Bài giảng Giải tích Mạch 2014 n d (−1) n n F ( s ) ds ∫ ∞ s F ( s )ds Bảng tính chất phép biến đổi Laplace Tính chất Hàm tuần hồn f(t) f (= t ) f (t + T ) Giá trị đầu f (0+ ) Giá trị cuối f (+∞) Tích chập miền t Tích chập miền s F(s) ∫ Bài giảng Giải tích Mạch 2014 f (t )e − st dt − e − sT lim sF ( s ) s →+∞ lim sF ( s ) s →0+ f (t ) ∗ g (t ) f (t ) g (t ) T F ( s )G ( s ) 2π j F (s) ∗ G (s) Các biến đổi Laplace thông dụng f(t) u (t ) δ (t ) δ '(t ) δ ( n ) (t ) e − at tn cos(ωt ) sin(ωt ) F(s) s s sn s+a n! s n+1 s s2 + ω ω s2 + ω Bài giảng Giải tích Mạch 2014 s>0 s>0 s>0 s > −a s>0 s>0 s>0 Các biến đổi Laplace thông dụng f(t) − at n e t e − at cos(ωt ) e − at sin(ωt ) t.cos(ωt ) t.sin(ωt ) cosh(ωt ) sinh(ωt ) F(s) n! ( s + a ) n +1 s+a ( s + a)2 + ω ω ( s + a)2 + ω s2 − ω (s + ω )2 2ω s (s + ω )2 s s2 − ω ω s2 − ω Bài giảng Giải tích Mạch 2014 s > −a s > −a s > −a s>0 s>0 s> a s> a 4.3.2 Các trở kháng toán tử  Điện trở i(t) R u(t) L {u (t )} = L {Ri (t )} I(s) U(s) u (t ) = Ri (t ) R U ( s ) = RI ( s ) Bài giảng Giải tích Mạch 2014 4.3.2 Các trở kháng toán tử  i(t) Điện cảm u(t) I(s) U(s) sL L d u (t ) = L i (t ) dt − = U ( s ) sLI ( s ) − Li (0 ) − Li (0 ) I(s) − U(s) sL i (0 ) s − U ( s ) i (0 ) I (s) = + sL s Bài giảng Giải tích Mạch 2014 10 4.3.4 Ví dụ pp tốn tử Laplace U (s) = 24 + 8s ( s + 1) Heaviside: = U (s) K1 ( s + 1) K2 + s +1 K1 = (24 + 8s ) s = −1 = 16 d K = (24 + 8s ) =8 ds s = −1 Vậy: = u (t ) ( (16t + 8)e ) 1(t ) [V] −t Bài giảng Giải tích Mạch 2014 20 4.3.4 Ví dụ pp tốn tử Laplace Ví dụ Cho mạch hình bên, xác định u(t) t > ? Giải t0: Sơ đồ toán tử nút:   4 1 −1  −  2 + s  ϕ1  s s =       −1 + s  ϕ        Bài giảng Giải tích Mạch 2014 21 4.3.4 Ví dụ pp toán tử Laplace 2s + + 2s + (2 s + 1)ϕ1 − sϕ = = = = U (s) ϕ 2  ( s + 2)(2s + 1) − 2s 2s + 3s + − ϕ + ( s + 2) ϕ = 1  Tìm u(t) : nghiệm phức s1 = − + j 4 B ( s1 ) s + −3 + j + 14 = = A '( s1 ) s + s1 −6 + j + 2,13∠ − 76,5o = 0,5 − j= u (t ) 4, 26e −0,75t   o cos  t − 76,5    Bài giảng Giải tích Mạch 2014 22 4.3.4 Ví dụ pp tốn tử Laplace Ví dụ Cho mạch hình bên, xác định u(t) t > ? ( T=L/R) Giải t0 Ảnh nguồn e(t) E e= (t ) t [1(t ) − 1(t − T= )] T E → E ( s )= T s2 E E t.1(t ) − (t − T ).1(t − T ) − E.1(t − T ) T T E 1 − e − sT  − e − sT s Bài giảng Giải tích Mạch 2014 23 4.3.4 Ví dụ pp tốn tử Laplace Sơ đồ tốn tử mạch hình bên R E ( s) Tìm ảnh U(s) : U ( s) E= = (s) sL + R E = U (s) T2 Với : T s+ T E 1 − e − sT  − 1 T 2 s s+  T  1 1  ss +  T  e − sT U ( s )= F1 ( s ) 1 − e − sT  − F2 ( s )e − sT 1  f= E  t − + e  1(t ) (t ) T  −t T −t   T f 2= (t ) E 1 − e  1(t )   Bài giảng Giải tích Mạch 2014 24 4.3.4 Ví dụ pp tốn tử Laplace Tìm hàm gốc u(t) : U ( s )= F1 ( s ) 1 − e − sT  − F2 ( s )e − sT −t 1  T f= E  t − + e  1(t ) (t ) T  −t   T f 2= (t ) E 1 − e  1(t )   −t − ( t −T ) 1    T T (t ) E  t − + e  1(t ) − E  (t − T ) − + e u =  1(t − T ) T  T  − ( t −T )   T − E 1 − e  1(t − T )   −t  1  T  E  t − + e  ;(0 < t < T )  u (t ) =   T  −t  Ee T ;(t > T ) Bài giảng Giải tích Mạch 2014 25 4.3.4 Ví dụ pp tốn tử Laplace Ví dụ Cho mạch hình bên, xác định u(t) t > ? Giải t0: Sơ đồ tốn tử : hình bên Lưu ý: L1iL1(0-) = MiL1(0-) = Tìm U(s) : Dùng dòng mắc lưới s   I1 ( s)   12s + 4  2s + =     s  ( ) I s 2 s +      Bài giảng Giải tích Mạch 2014 26 4.3.4 Ví dụ pp tốn tử Laplace s   I1 ( s)   12s + 4  2s + =     s  ( ) I s 2 s +      2s + 12s + s (2 s + 2)2 − ( 12s + 4) s −8 I s = ( ) = = s 2s + (2 s + 2) − s 3s + 8s + s 2s + 8 2 → U ( s) = −1 I.2 ( s) = = = − 2 3s + 8s + ( s + )( s + 2) ( s + ) ( s + 2) −2 t u (t ) 2(e − e−2t ).1(t ) [V] Vậy : = Bài giảng Giải tích Mạch 2014 27 4.3.4 Ví dụ pp tốn tử Laplace Ví dụ Mạch hình bên, xác định u(t) t > ? Giải t : Sơ đồ tốn tử : hình bên U ( s ) = − Z td I ( s ) 8s = Z td = + s+4 s Với 1 s I ( s )= = 4s −2 0,5 0,5 → U (s) = = − + s ( s + 4) s s+4 Vậy u (t= ) 0,5(−1 + e −4t ).1(t ) 4.3.4 Ví dụ pp tốn tử Laplace Ví dụ Cho mạch hình bên, xác định u(t) t > ? Giải t0: Sơ đồ toán tử : dùng qui đổi trở kháng Zth = 4(2 + 1/s) 24 24 = U (s) = = s Z th + + s + 4s + s + 0,5 Vậy : u (t ) = 6e−0,5t 1(t ) [V] Bài giảng Giải tích Mạch 2014 29 4.3.4 Ví dụ pp tốn tử Laplace Ví dụ Mạch & nguồn e(t) hình bên, xác định u(t) t > ? (giả sử uC(0-) = 0) Giải  Tìm ảnh Laplace f(t) : hàm mô tả e(t) chu kỳ f (t= ) 1[1(t ) − 2( t − T2 ) + 1(t − T ) ] T −s 1 − sT  F ( s ) = 1 − 2e +e  s   Ảnh Laplace e(t) T −s  1 − 2e + e − sT E (s) = − e − sT s   Bài giảng Giải tích Mạch 2014      30 4.3.4 Ví dụ pp tốn tử Laplace  Sơ đồ tốn tử hình bên: (sơ kiện 0) 0,25 Ω E(s) + 0,25 Ω 20/s _  Tìm U(s) theo nút : 8Ω 20/s + + U(s) - E ( s) ϕ1 (8 + 0,1s ) − ϕ2 (0, 05 s ) − ϕ3 (0, 05 s ) =  −ϕ1 (0, 05 s ) + ϕ2 (0, 05 s + 0,125) − ϕ3 (0,125) = 80 s.E ( s ) ⇒ U ( s) = − s + 5s + 400 U (s) T T −s −s    − sT 2 e e −8 1 − 2e + e − sT  − +  ( ) G s =   − e − sT − e − sT s + 5s + 400         4.3.4 Ví dụ pp tốn tử Laplace  Tìm hàm gốc u(t) : −80 −2,5t ⇒ = − g t e ( ) 4,03 .sin(19,8t ) s + 5s + 400 T −s  − sT  H ( s ) = G ( s ) 1 − 2e + e  ⇒ = h(t ) g (t ).1(t ) − g (t − T2 ).1(t − T2 ) + g (t − T ).1(t − T )   T −s  +∞ − sT  2 ( ) e e H s −80 − +   ⇒ u (t )= h(t + nT ) U (s) = − − sT sT  1− e 1− e s + 5s + 400  n =0   G (s) = ∑  Lưu ý tqđ = 3τ = 1,2 (s) → xác lập sau bán kỳ 2s Bài giảng Giải tích Mạch 2014 32 4.3.4 Ví dụ pp tốn tử Laplace Ví dụ 10  Xác định u(t) t > , giả sử uC(0-) = ? Giải  Tìm ảnh Laplace f(t) : hàm mô tả e(t) chu kỳ f (t= ) 1[1(t ) − 2( t − T2 ) + 1(t − T ) ] T −s 1 − sT  F ( s ) = 1 − 2e +e  s   Ảnh Laplace e(t) T −s  1 − 2e + e − sT E (s) = − e − sT s   Bài giảng Giải tích Mạch 2014      33 4.3.4 Ví dụ pp tốn tử Laplace  Tìm U(s) theo nút : E (s) 2( s + 2)ϕ1 − sϕ − 2U =  − sϕ1 + ( s + 2)ϕ = −s T − 2e + e s.E ( s ) = ⇒ U (s) = s + 4s + s + 4s + − e − sT F (s) = ⇒ f (t ) = 2.e−2t sin(2t ).1(t ) s + 4s + ⇒= h(t ) f (t ).1(t ) − f (t − T2 ).1(t − T2 ) + f (t − T ).1(t − T ) ⇒ u (t )= +∞ ∑ h(t + nT ) n =0  Lưu ý tqđ = 3τ = 1,5 (s) → xác lập sau bán kỳ 2s − sT ...  Bài giảng Giải tích Mạch 20 14 17 4. 3 .4 Ví dụ pp toán tử Laplace Vậy: 8( s + 2) I (s) = s ( s + 8s + 16) K3 K1 K2 = + + ( s + 4) ( s + 4) s Biến đổi ngược: K1 = ; K2 = -1; K3 = i (t ) =( (4t... trở kháng Zth = 4( 2 + 1/s) 24 24 = U (s) = = s Z th + + s + 4s + s + 0,5 Vậy : u (t ) = 6e−0,5t 1(t ) [V] Bài giảng Giải tích Mạch 20 14 29 4. 3 .4 Ví dụ pp tốn tử Laplace Ví dụ Mạch & nguồn e(t)... 12 + 4s ( s + 1) I1 I2 24 + 8s → U (s) = ( s + 1) Bài giảng Giải tích Mạch 20 14 19 4. 3 .4 Ví dụ pp tốn tử Laplace U (s) = 24 + 8s ( s + 1) Heaviside: = U (s) K1 ( s + 1) K2 + s +1 K1 = ( 24 + 8s