Giáo trình tôpô đại cương phần 2 ts nông quốc chinh

C h n g ÁNH XẠ LIÊN TỤC, KHƠNG GIAN CON KHƠNG GIAN TÍCH, KHƠNG GIAN THƯƠNG Việc nghiên cứu lớp ánh xạ không gian tỏpô quan trừng, đặc biệt ánh xạ liên tục Trong chương trình giải tích cổ điển biết hàm liên tục Ở khái niệm ánh xa liên tục khái quát hơn, hiểu biết ánh xạ liên tục từ không gian tôpô đến không gian tôpô cho ta biết tính chất khơng gian tơpơ nguồn (hoặc đích), đặc biệt phép đồng phôi không gian tôpõ chuyển cấu trúc không gian tôpô đến không gian tôpô với ý nghĩa tương đương tỏpô Các bất biến qua phép phôi g i bất biên tôpô Dưới ta nghiên cứu cụ thể ánh xạ liên tục § Ì Á N H X Ạ LIÊN T Ụ C - P H É P Đ Ồ N G PHÔI Định nghĩa 3.1 • Ta nói ánh xạ f : X - » Y , từ không gian tôpô X đến không gian tôpô Y , liên tục t i điểm Xo e X với m ỗ i lân cận u điểm f ( x ) e Y tồn t i lân cận V điểm Xo thoa mãn f ( V ) c Ư • Ánh xạ f g i ánh xạ liên tục không gian tôpỏ X liên tục m i điểm X G X Nhận xét G i ả sử f: X - > Y ánh xạ từ không gian tôpô X đến không gian tôpô Y Ánh xạ f liên tục điểm x e X với 79 m i lân cận u f (x ) Y , tạo ảnh r ' ( U ) lân cận x 0 X Thật vậy, ánh xạ f liên tục Xo hiển nhiên tồn lân cận V Xo để f ( V ) c u => V c r ( f ( V ) ) c r ' ( U ) =» r ( U ) Lân cận l ẵ x X Ngược lại giả sử với m i lân cận u f ( x ) ln có 0 r ' ( U ) lãn cận điểm x X K h i chừn V = r ' ( U ) , ta có f ( V ) = f ( r ' ( U ) ) c u V ậ y f liên tục x Định lý 3.1 Cho f : X - > Y ánh xạ từ không gian tôpô X đến không gian tỏpơ Y K h i điều kiện sau tương đương: a) Á n h xạ f liên tục b) Đ ố i với m ỗ i tập A X ln có f ( à ) c f ( A ) c) Tạo ảnh m ỗ i tập đóng tùy ý Y tập đóng X d) Tạo ảnh m i tập m tùy ý Y tập m X e) Tạo ảnh phần tử thuộc tiền sở tơpơ Y tập m không gian tôpô X g) Đ ố i với m i tập B Y ln có f ~ ' ( B ) c r ' ( B ) Chứng minh • a) => b) Giả sử A c X , f ánh xạ liên tục Nếu f( à ) * lấy ý y e f( à ), 3x e à thoa mãn f(x) = y G i ả sử u lân cận ý y = f(x) Vì f liên tục, nén tồn lân cận V X cho f ( V ) c u , V c f '(U) Vì x e à => V r i A * I => r ( U ) n A * nghĩa tồn tai x'e f ' ( ự ) n A Đ ố i với phần tử x' ta có f ( x ' ) e U Í Ì f ( A ) nghĩa u n f ( A ) * (làn cận tùy ý điểm y ln có giao khác rỗng với tập f ( A ) ) => f( à ) c Ĩ Ĩ Ă ) • b) => c) Giả sử B tập đóng tùy ý Y, đặt A = r ' ( B ) c X 80 Theo g i ả thiết ta có: f ( A ) c l'(A) = f [ f - ' ( B ) ] = B H f ( X ) c B = B => A c f [ f ( à ) ] c f - ' ( B ) = Á c à V ậ y A = à đóng X => f ' ( B ) tập - c) => d) G i ả sử B tập m ý Y K h i Y \ B tập đóng Y => r ' ( Y \ B) tập đ ó n g , r ' ( Y \ B) = X \ r ' ( B ) đóng nên r ' ( B ) tập m X • d) => e) H i ể n nhiên, m ỗ i phần tử thuộc tiền sở tôpô Y tập m Y nên tạo ảnh m X • e) => a) G i ả sử ánh xạ f thoa m ã n điều kiện (e), v i Xo điểm X , u lân cận ý điểm f(x„) Y G i ả sử co sở tôpô Y , M m ộ t tiền sở tơpơ đ ó Theo định lý (2.10), tồn t i w e Ó) cho f ( x ) e W c U , t định nghĩa tiền sở ta thấy w giao hữu hạn phần tử M, nghĩa w = V , n n v (Vị EM) k Vì r ' ( W ) = r ( v ) n n 1 r ' ( v ) , theo (e) tập r ' ( V , ) , k f ( V ) đêu tập m X , nén r ' ( W ) tập m X Đặt - k r ' ( W ) = V , ta có Xo e r ' ( W ) = V Ta có: f(V) = f(f - '(W)) = w n f(X) c w c u Theo định nghĩa f liên tục t i đ i ể m x Do x điểm 0 X, nên n h xạ f liên tục X • b) => g) G i ả sử B c Y ý, đặt A = r ' ( B ) Theo b) ta có: f ( à ) c ŨÃ) c B ^ à c => r\B) r'(f(Ã))cr'(B) c f-'(B) • g) => b) G i ả sử A c X ý Đặt B = f ( A ) c Y Ta có à c r ' ( B ) c f - ' ( B ) => f( à ) c f( r ' ( B ) ) c B = ŨÃ) 6-TP ũ Hì Định lý 3.2 G i ả sử X , Y , z ba không gian t ô p ô , f : X - * Y g : Y - > z ánh xạ Liên tục K h i ánh xạ h = g.f : X z n h xạ liên tục Chứng minh G i ả sử w tập m ý z , g liên tục n ê n g~'(W) tập m Y V ì f liên tục nên: r [ g - ( W ) ] = (gf)- (W)= h-'(W) , | tập m X V ậ y h n h xạ liên tục • Định nghĩa 3.2 Ánh xạ f : X -> Y từ không gian tôpô X đến k h ô n g gian tôpô Y g i n h xạ m (tương ứng đ ó n g ) , ảnh m ỗ i tập m (tương ứng đ ó n g ) X qua n h xạ f tập m (tương ứng đ ó n g ) Y Định nghĩa 3.3 Ánh xạ f : X -> Y từ không gian tôpô X đến k h ô n g gian tôpô Y g i phép đồng phôi f song ánh f, r đ ề u n h x liên tục Hai k h ô n g gian tôpô X Y gừi đồng phôi tồn t i p h é p đồng phôi từ X đ ế n Y VI dụ 3.1 1) Xét tập hợp số thực (R, g f ) với tôpô tự nhiên, c c h m liên tục từ uR —> IR ánh xạ liên tục 2) Đ ố i v i k h ô n g gian tôpô ( X , gr) ý, n h xạ đồng từ X - > X phép đồng phôi 3) Á n h xạ f : X - * Y từ k h ô n g gian tôpô (X, £7 ) đến k h ô n g gian X tôpô ( Y , 7y) cho m i phần tử X e X ứng với phần tử cố định n o đ ó Y liên tục ( g i ánh xạ hằng) 4) 82 A n h xạ từ k h ô n g gian tôpô rời rạc đến k h ô n g gian tôpô ý liên tục 5) A n h xạ từ không gian tôpô ý t i khơng gian tơpơ rịi rạc n h xạ mở, chưa liên tục 6) T n t i ánh xạ song n h , liên tục chưa phép đồng phôi Thát g i ả sử ( X , ( X ai) song n h , liên tục nhung k h ô n g p h é p x đồng phôi 7) Ánh xạ f : IR —> !R (với tôpô tự nhiên) liên tục k h i VE > 0, tồn t i ô > 0, cho Vx e R thoa m ã n |x - Xoi < s thì: \ m - f(x )i < E Thật vậy, g i ả sử ánh xạ f liên tục t i đ i ể m x , > ý K h i ta có khoảng ì = ( f ( x ) - s, f ( x ) + 8) lân cận đ i ể m 0 f ( x ) Vì f liên tục n ê n t n t i lân cận V x 0 cho f ( V ) c ì Vì sở tôpô tự nhiên khoảng m , n ê n tồn khoảng m J c V chứa x K h i đ ó tồn t i > thỏa m ã n ( x - ô, Xo + ô) c J N h tồn t i xác định cho Vx e 1R thỏa mãn X e ( x - ơ, x + ỗ ) f ( x ) e ì, nghĩa |x - Xoi < ố* => 0 |f(x) - f ( x ) | < s Ngược l i , g i ả sử n h xạ f thoa m ã n điều kiện đưa V i u lân cận ý đ i ể m f ( x ) k h i đ ó có khoảng m ì CƯ cho t'(x„)el Ta giả thiết rằng: ì = ( f ( x ) - s, f ( x ) + s), v i £ > xác định Theo g i ả thiết ta t ì m 0 số s > xác định đ ể từ điều kiện |x - Xoi < ô, kéo theo |f(x) - f ( x ) | < e Đặt J = (Xo - 8, Xo + 5) Ta có J lân cận x 0 thoa m ã n f(J) c ì c u Do u lấy ý nên ta có f liên tục 8) Sau vài ví dụ n h xạ k h ô n g liên tục a) f: R - > R xác định bởi: 83 f(x) = X < Ì X > h m liên tục t i m i đ i ể m X * 0, k h ô n g liên tục đ i ể m x = 0 b) H m Đirichlê f: R - > R xác định b i : f(x) = Ì X Q I x e l R X Q h m k h ô n g liên tục t i V x e l R Thực vậy, g i ả sử x e Q ý ta cổ f ( x ) = Chừn lân cận 0 Ì = f ( x ) u = (1/2,3/2) K h i đ ó với lân cận V Xo ta có V n (R \ Q ) * => f ( V ) í u , ln có X e V : f ( x ) = N h f k h ô n g liên tục t i m i đ i ể m Q Chứng minh tương tự ta có t i m i x e [R \ Q , í" k h ô n g liên tục Ta c ó t h ể d ễ d n g chứng m i n h k ế t sau: Định lý 3.3 a) Đ ể n h x f : X - > Y n h xạ m điều k i ệ n cần đủ ảnh f ( U ) phần tử Ư ý sở (ĩ) đ ó tơpơ X m Y b) H ợ p thành hai n h x m n h xạ mở c) Song n h f : X - > Y m ộ t phép đồng phôi k h i f n h x liên tục m ã 84 Đ2 SO SNH HAI T ễ P Ơ Định nghĩa 3.4 Cho hai tơpơ í7j, gr tập hợp X, ta t nói G7, mịn hom Í7 (hoặc &2 thơ hem i , C7j mạnh Q- , hay 2 C7 yếu Oi) ^ c 7, Ta nói hai tôpô C7j, X so 2 sánh C7, c 7, Y từ không gian tôpô X vào tập hợp Y Định lý s s tất tôpô xác định Y, cho mừi ánh xạ { f Ị g liên tục, tồn tôpô mạnh s s S Định lý 3.8 Giả sử {(X„ £ ) } s tập hợp, { f } s s6S không gian tôpô, Y là ánh xạ f : X -> Y Khi tất $ S s s tôpô xác định Y, cho tất ánh xạ f, liên tục, tồn tôpô li mạnh nhất, thoa mãn tập V Y phần tử n khi, với s e s, ln có Ì"; (V) e ì li gừi tópơ cuối xác định ánh xạ ị f } s S ( E S Chứng minh Dễ thấy lì xác định tôpô Y Ta chứng minh « tôpô mạnh tài tôpô xác định Y cho tất ánh xạ f liên tục Thật vây, giả sử lì' tôpô s Y cho mừi t; liên tục với mừi s e s, u e Tỉ' Khi c (U) với m i s e s Do U e ® => cá' c Y[ ánh xạ từ không s s s6S gian tôpô (X , ) vào tập hợp Y, « tơpơ cuối Y xác định s ánh xạ { f } s S s e s , h : Y -> z ánh xạ từ khơng gian tịpơ (Y 2?) vào không gian tõpõ (Z, 4>) Khi đổ h liên tục chi nếu, với s € s, ánh xa h i ; : X -> z liên tục Xo Ví d ụ 4.3 G i ả sử c khống gian số phức c khơng gian compắc địa phương HausdoríT Tập c = c u {00} với tôpô xác định n h trên, với phép nhúng i : c - » c compắc hoa m ộ t đ i ể m c Ta gừi c mặt phang đ ó n g , c mặt phang mở c không gian compắc HausdorỉT H n nữa, ta c ó : c đồng phơi với mặt cầu SHU,Ti,QeR |^+T| + X cắt b(A) f ([0,1 ]) n b ( A ) * BÀI T Ậ P Chứng mừih rằng: a) Hừp hai tập compắc không gian tôpô tập compắc b) Nếu Ư tập m A tập compắc khơng gian tơpơ X A \ u tập compắc c) Giao h tập đóng compắc khơng gian tơpơ X m ộ t tập đóng compắc d) Cho khơng gian tôpô X , A c B c X Chứng minh B tập compắc A tập compắc Hãy cho ví dụ chứng tỏ giao hai tập compắc không gian tôpô chưa tập compắc Chứng minh khoảng mở (a, b) không gian tôpô (R Ợ) tập compắc Trong không gian tôpô C[a, b] cho ví dụ tập đóng bị chặn không tập compắc Cho A, B tập đóng, compắc rời khơng gian mêtric ( X , d) Chứng minh tồn X e A y e B cho d(x, y) = d ( A , B) Cho X không gian tôpô compắc F, D F D D F D k 153 dãy đơn điệu giảm tập đóng X thỏa mãn pỊFj =0 Chứng minh tồn số tự nhiên n cho k=l F - Cho X không gian compấc, Y không gian HausdoriT, Ì : X —>Y ánh xạ lên tục Chứng minh f ánh xạ đóng Trong không dan (R, T) cho X = {0} u {— : neN*} Chứng n minh X tập compắc Xét tính compắc tập số hữu tí Q R với tôpô tương ứng 7", , , S7, Í7 , K 10 Trong tập R S D với tôpô l ự nhiên xét xem tập sau có compắc hay k h ô n g : a) {(X, y) e CR Ị X + y < r , r > 0, (x, y) * (0, 0)1 b) j ( x , ý) e R - Ị X < } c) {(x,y)elR |y= ỉ 2 2 X , < X < ị) d) {(X, y) e[R Ị y = sin- ,0