NGUYEN CAO LUẬN (Chủ biên), HOÀNG VĂN LINH ` GIAO TRINH TOAN KINH TE
(Dành cho hệ Cao đẳng chuyên ngành Kế toán)
aq | zẤ=8 = #a=4 M N ẹ ẹ ~~ \, Ngàn & #a = Q Oo Q #1 $ệ@- Ở sit zy =0
Trang 2NGUYEN CAO LUAN (Chia biên) - HOÀNG VĂN LINH
GIÁO TRÌNH
TỐN KINH TE
(Dành cho hệ Cao đẳng chuyên ngành Ké toan)
TRƯỜNG CDSP LANG SƠN
THƯ VIÊN
Trang 3
01 Ở 95
` ĐHTN Ở 2021
On
Trang 4Mục luc
Gi WGL-GSO sca we ee cies Wi wee wie te nh
CHƯƠNG 1 CƠ SỞ CỦA TOÁN KINH TẾ
11 Matrận Ta
111 Một số khái nệm - Ặ
1.1.2 Các phép toán trên matrận - 113 Ma trận nghịch đão -. Ặ So 1.1.4 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận 1.1.5 Hạng của matrận .-.- Q S SỈ no l2 ĐịnhtHỨC :: cv p2 nhị Bo 8T Ko SỐ Song 121 Dinhnghia .2.0 202-0200
12.2 Tắnh chất của định thức .-.-
1.2.3 Khai triển định thúc -.-
13 hơng BÌaH WEElO si c1 giá eee mime wR we
13.1 Dinh nghia va tinh chat -.-
1.3.2 Kh6ng gian vecté con 2 2 eee ee ee 1.3.3 Sự độc lập tuyến tắnh - Sự phụ thuộc tuyến tắnh
1.3.4 Cơ sổ và số chiều của không gian vectd
1.3.5 Tọa độ của một vectld ề 1.3.6 Hạng của hệ vectơ - Hạng của ma trận trong không
GIB NGON Ídtv ce wid eet ate ale ead ed de ew
14 Anhxatuyéntinh 2.020 00.0000
1.5
1.41 Một số định nghĩa và tắnh chất
1.4.2 Ảnh và hạt nhân của ánh xạ tuyến tắnh
Hệ phương trình tuyến tắnh .-
1.5.1 Dang tổng quát và ma trận của hệ phương trình
tuyến tắnh ng
Trang 54 MUC LUC
1.5.3 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tắnh 45
1.5.4 Hệ phương trình tuyến tắnh thuần nhất 50
Bài tấp PhƯỚHE ỳ ề4 Ư Ư Ưsa ko c pc E2 Lo E Q DĐ ng ng á H Gớ go Big 94 CHƯƠNG 2_ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 61 2.1 Bài tốn tối ưu tổng quát và phân loại 61
2.1.1 Bài toán tối ưu tổng quát 62
21.2 Phân loại các bài toán tốiưu 62
2.1.3 Ung dung bai toán tối ưu giải quyết các vấn đề thựctẾ 020.000 0000022 2 eee 63 2.2_ Bài toán quy hoạch tuyến tắnh 77
2.2.1 Bài toán quy hoạch tuyến tắnh tổng quát 77
2.2.2 Dạng chắnh tắc và dạng chuẩn tắc của bài toán quy hoạch tuyến tắnh ee 80 2.2.3 Tinh chat cia bài toán quy hoạch tuyến tắnh 83
2.3 Phương pháp giải bài toán quy hoạch tuyến tắnh 94
2.3.1 Phương pháp hình học 94
2.3.2 Phương pháp đơnhình 96
2.4 Bài toán quy hoạch tuyến tắnh đối ngẫu 112
2.4.1 Cách thành lập bài toán đối ngẫu 112
2.4.2 Các tắnh chất và định lý đối ngẫu 115
2.4.3 Phương pháp đơn hình đối ngẫu 118
2.4.4 Các ứng dụng của cặp bài toán đối ngẫu 124
Bai tap chuong2 2 020202000000 00082 129 CHUGNG 3 UNG DỤNG BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYỂN TÍNH 142 3.1 Bai ton van tai cle See Sb ek ki ng 142 3.1.1 Khái niệm và tắnh chất của bài toán vận tải 142
3.12 Tìm phương án cực biên xuất phát của bài toán WH ĐỂ lắ Ư v 4 2a a tre Nhi c2 g vs DA Da sa 148 3.1.3 Phương pháp thế vị giải bài toán van tai 152
3.1.4 Một số bài toán ứng dụng của bài toán vận tải 159
3.2 Bài toán sản xuất đồng bộ 169
3.2.1 Một số khái nệm 169
Trang 6MUC LUG 5
3.2.3 Phương pháp nhân tử giải bài toán sẩn xuất đồng
DO 0 eee eee ee 176
3.3 Bài tốn trị chơi malrẬận -.- {SH se 184
3.3.1 Một số khái nệm Ốc S So 184 3.3.2 Phương pháp tìm chiến lược tối ưu cho bài tốn
trị chơi matrận -2-2-2505058 194
Bài tập chương 3_ Oh 201
Hướng dẫn - Đáp số 207
Trang 7Ky hiéu Viét tat: QHTT Ừ I] N, Z, Q,R, C Munsen(K) rank(A) (r(A)) đetA (|Al) <A> span(A) (c, 2) dimV ~ Homx(V,W) sgn(p) f(A) f-"(B) Imf Ker f
Ky hiéu va viét tat
Quy hoach tuyén tinh
tổng của các số hạng
tắch của các thừa số các tập hợp số
không gian ma trận cd m x ụ trên trường K
hạng của ma trận A
định thức của ma tran A
tập các đa thức có hệ số trong trường số lK tập hợp các tổ hợp tuyến tắnh của,
không gian vectơ sinh bởi hệ 4
tắch vô hướng của vectơ e và, vectƠd #
số chiều của không gian vectơ V đẳng cấu
tập các ánh xạ tuyến tắnh từ không gian vectơ
V đến W trên trường lK _ dấu của phép thế ụ
ảnh của không gian vectơ A
tạo ảnh của không gian vectơ B
ảnh của ánh xạ tuyến tắnh Ặ
Trang 8
Lời nói đầu
Tốn học có nhiều ứng dụng mang tắnh nền tảng trong nghiên cứu
lý thuyết và phát triển kinh tế Toán kinh tế là mơn học đóng vai trò
cơ sở trong chương trình đào tạo các khối ngành kinh tế Tại các trường Cao đẳng, mơn Tốn kinh tế thường sử dụng chung các giáo trình bậc
Dại học Diều đó gây ra một số bất tiện nhất định: thiếu sự đồng bộ về
nội dung môn học; người học và người dạy gặp nhiều khó khăn khi sử
dụng/nghiên cứu nhiều giáo trình khác nhau, Vì vậy, việc biên soạn
giáo trình Tốn kinh tế trình độ cao đẳng dành cho các chuyên ngành
thuộc lĩnh vực kinh tế là rất cần thiết
Nội dung của giáo trình gồm ba chương:
Chương 1 trình bày những kết quả quan trọng của đại số tuyến tắnh:
ma trận, định thức, không gian vếctơ, ánh xạ tuyến tắnh và hệ phương
trình tuyến tắnh
Chương 2 trình bày những khái niệm cơ bản của quy hoạch tuyến
tinh (QHTT): Bài toán tối ưu và ứng dụng; bài toán QHTT; phương
pháp giải bài toán QHTT; bài toán đối ngẫu quy hoạch tuyến tắnh
Chương 3 trình bày một số ứng dụng của bài toán QHTT: bài toán
vận tải, bài toán sản xuất đồng bộ và bài tốn trị chơi ma trận
Mỗi chương đều có hệ thống bài tập ôn tập được sắp xếp từ dễ đến
khó Trước khi giải bài tập, người học cần nghiên cứu để hiểu rõ nội dung
của chương đó Phần cuối mỗi chương trình bày tóm tắt lời giải hoặc đáp số cho các bài tập
Trong quá trình biên soạn, giáo trình chắc chắn không tránh khỏi
những khiếm khuyết Các tác giả mong nhận được nhiều ý kiến của các
chuyên gia, các nhà nghiên cứu và của người đọc để hoàn thiện cuốn sách
được tốt hơn
Xin chân thành cẩm on!
Trang 9
Tài liệu tham khảo
[3] [9] [10]
Nguyễn Duy Thuận, Đại số tuyến tắnh, NXB Dai học Sư phạm, 2004
Đặng Hấn, Quy hoạch tuyến tắnh, NXB Dai học Kinh tế TP.HCM,
1995
Trần Xuân 5inh, Quy hoạch tuyến tắnh, NXB Dại học Sư phạm,
2003
Trần Xuân Sinh, Toán kinh tế, ứXB Dại học Quốc gia Hà Nội, 2007
Trần Vũ Thiệu, Giáo trình tối ưu tuyến tắnh, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2004
Trần Túc, Quy hoạch tuyến tắnh, NXB Dại học linh tế Quốc dân,
2001
Tran Tic, Bai tap quy hoach tuyến tắnh, NXB Thoa học và kĩ thuật 2001
Võ Văn Tuấn Dũng, Giáo trình Quy hoạch tuyến tinh, NXB Thông
kê, 2007
Paul R Thie, Keough G E., An Introduction To Linear Progamming
And Game Theory (3th edition), Jond Wiley & Son, 2008
Hiselt H A., Sandblom C -L., Linear Progamming And Its Ap- plications, ISBN 978-3-540-73670-7 Springer Berlin Heidelberg New York, 2007
Trang 10TAI LIEU THAM KHAO Soy
[12] Kolman B., Beck R.E., Elementary Linear Programming with Ap-
plications (Second edition), Academic Press New York - London -
Tokyo, 1995
[13] Louis Brickman, Mathematical Introduction to Linear Programming
Trang 11NHA XUAT BAN DAI HOC THAI NGUYEN
Địa chỉ: Phường Tân Thịnh - Thành phố Thái Nguyên - Tỉnh Thái Nguyên
Điện thoại: 0280 3840023; Fax: 0280 3840017
Website: nxb.tnu.edu.vn * E-mail: nxb.dhtn@gmail.com
GIAO TRINH
TOAN KINH TE
(Danh cho hé Cao dang chuyén nganh Ké toán)
Chu trách nhiệm xuất bản:
TS PHẠM QUÔC TUẦN mg ⁄ 22 tA a
Giám dic - Tong bién tap
Bién tap: NONG THI NINH Thiét ké bia: LE THANH NGUYEN
Trinh bay: NONG THI NINH
Sửa bẳn in: NONG THI NINH
Đối tác liên kết muất bản:
Hoang Van Linh (Dia chi: 215 Lé Lai, Khối 15,
phường Hoàng Văn Thu, thành phé Lang Son, tinh Lang Son)
ISBN: 978-604-9987-45-8
In 100 cuốn, khổ 17 x 24cm, tai Xudng in - Nhà xuất bản Đại học Thái Nguyên
(Địa chỉ: Phường Tân Thịnh - Thành phố Thái Nguyên - Tỉnh Thái Nguyên)
Giấy phép xuất bản số: 2441-2021/CGXBIPH/01-95/ĐHTN Quyết định xuất bản số: 154/QĐĐ-NXBĐHTN, ngày 13/7/2021 In xong và nộp lưu chiểu quý
Trang 13
Chương 1
CO SO CUA TOAN KINH TE
Chương đầu tiên giới thiệu các khái niệm và phương pháp của đại số tuyến tắnh Đây là cơ sở ban đầu giúp người học có thể hiểu và ứng dụng
các bài toán quy hoạch tuyến tắnh Nội dung của chương này được sắp xếp logic các khái niệm, tắnh chất, định lắ và vắ dụ minh họa cho từng
phần, người học cần nắm vững một cách hệ thống các nội dung đó Có
như vậy việc học các chương sau sẽ dễ dàng hơn
1.1 Ma trận
1.1.1 Một số khái niệm
Định nghĩa 1.1 Ma trận là một bằng các số thực được rếp thành mm dờng uà n cột được gọi là ma trận cấp m x n
Kắ hiệu:
đ G12 Bh
A Ở (ij) mxn Ở đ21 đ22 & lấy Ế đ+3Ấ, (11)
Qm1 dạy - Amn
trong dé, i dugc goi là chỉ số dòng, j được goi la chi s6 cot, aj; la phan tử nằm 6 dong i va cét j
Trang 14CƠ SỞ CỦA TOÁN KINH TẾ 9 12 -1 Z Vắ dụ 1.1 Á= la ma tran cap 2 x 3; 5 3 0ỷ 3
B= | I | lamatran cip3x1; C= (2 Ở6 5 1) la ma tran Ở6
cấp 1 x 4
Trường hợp đặc biệt:
1 Ma trận có số dòng bằng số cột (m = n) được goi la ma tran vudng
cấp n, ký hiệu A = (aij)n va được viết dưới dạng liệt kê
G1 G012 Gy - Qin
621 G22 Gag Qn A=
đại Qn2 - Unj - Ann
Tập các ma trận vuông cấp ụ mà các thành phần thuộc trường số thực IR, được kắ hiệu là 1Ấ(R)
1 4 6
Vi du 1.2 A= (aij)3 = |0 3 Ở2 | là ma trận vuông cấp 3
25 Ở3
2 Ma tran vudng A = (aj;)n dude goi lA ma tran chéo néu aƯ; = 0 với
moi i # 7, ký hiệu A = đig(@11, 822, ., Gan)
0 0 5 0 0
Vắ dụ 1.3 ỏỷ = |0 -3 0|, = |0 5 0 là các ma trận
02 0 0 5
chéo
3 Ma trận chéo cấp ụ có tất cả các phần tử trên đường chéo chắnh
Trang 1510 1.1 Ma trận 0 0 10 oe 0 0 In = ;Jạ= |0 1 O0]3.-; = 0 1 0 0 1 0 0 1 lần lượt là các ma trận đơn vị cấp 2, cấp 3, , cấp n
4 Ma trận vuông 7' = (a;;)Ấ được gọi là zna trận tam giác trên nếu
a;; = 0 với mọi Ư > j Vậy ma trận tam giác trên 7' được viết dưới dạng liệt kê:
I1 G12 Qin 0 G22 Q2n,
T=
0 0 Ann
5 Ma trận vuông D = (a;;)Ấ được gọi là ma tran tam giác dưới nêu
a¡;; = 0 với mọi Ư < j Vậy ma trận tam giác dưới D được viết dưới
dạng liệt kê:
G11 0 0
G21 22 0
D=
Qni ng - Ann
6 Ma trận cấp mm x n có tất cả các phần tử bằng không, ky hiéu Opxn
(đôi khi là Ó), được gọi là ma trận không 7 Ma trận bậc thang
a) Dịng khơng: Một dòng của ma trận có tất cả các phần tử
đều bằng không được gọi là dịng khơng
b) Phần tử cơ sở của dòng: Phần tử khác không đầu tiên của
đồng tắnh bừ trái sang được gọi là phần tử cơ sở của dòng
c) Ma tran bac thang: Ma tran bac thang là một ma trận khác
không thỏa hai điều kiện sau:
Trang 16CƠ SỞ CỦA TOÁN KINH TẾ 11
ii Phần tử cơ sở của dòng dưới nằm bên phải phần tử cơ
sở của dòng trên Vi du 1.5 Các ma trận 1 =1 4 3 0 Ở2 1 1 2 -1 EB = ) SỈ (CC 0 =5 0 f 3 3) 0 0 0 6 là các ma trận bậc thang Các ma trận 1 5 2 1 -1 3 04 i M/=|0 0 O|;N= 03 2 7 0 0 0 Ở2 không là ma trận bậc thang
Ma trận bậc thang có các phần tử cơ sở của dòng bằng 1, các phần
tử còn lại bằng 0 được gọi là ma trận bậc thang rút gọn 1.1.2 Các phếp toán trên ma trận
Hai na trận bằng nhau Hai ma trận được gọi là bằng nhau nếu
chúng cùng cỡ và có tắt cả các phần tử tương ứng vị trắ bằng nhau Cho hai ma trận A = (đ¡7)mxẤ và Đ = (b)mxụ Khi đó,
A=B# ay = bj voi moi i =1,m;j =1,n
Nhân một số uới một rnma trận Cho sik Ạ K va ma tran A = (hy lmxeee khi đó:
kA = (Kitz lean
Ky hiéu: ỞA = (-1)A = (Ở4ij)mxn được gọi là ma trận đối của ma trận A
Céng hai ma tran cùng cấp Cho hai ma trận cùng cấp A = (ij) mxn va B = (bi;)mxn- Khi dé
Trang 1712 1.1 Ma trận
Chú ý 1.1 Một số tắnh chất của phép cộng ma trận và nhân ma trận với một số:
1) A+B=B+A 5) k(A+B) =kA+kB
2) A+(B+C)=(A+B)4+C 6) (k+1)A =kA +1A
3) A+0=0+A=A 7) (kl)A = k(LA)
4 A-A=A+(-4)=0 8) 0.A=0
Vắ dụ 1.6 Thực hiện các phếp tắnh trên ma, trận
Ở2 3 5 3
0b A= [T ):2-[ 2 | Tian P= 24 4-90, 2) Cho Á= |5 -I|;B=[|Ở-3 4 | TinhQ=5AỞ4B
2 3 1 -2 10 15 -4 8 2)7ac Q=5|5 -1|-4|_-3 4 |=|25 -5|+| l2 -16 3 4 5 2 15 20 20 Ở8 6 23 =| 37 =21 Ở5 12
Ma trén chuyén vi Cho ma tran A = (a;;)mxn, ma tran cé cap mxn nhận được tit ma tran A bằng cách đổi dòng thành cột hoặc đổi cột thành
dòng, được gọi là ma trận chuyển vị của A, ký hiệu AT
1 Ở3 Vắ dụ 1.7 Ma trận A=
Trang 18CO 86 CUA TOAN KINH TE 13
Nhận xét 1.1 Một số kết quả quan trọng ta có thể suy ra từ định nghĩa:
1 (A+B)? = A? + B?, voi moi A, BE Minxn(R)
2 (cA)? = eAT, với mọi cẠ R; A Ạ MIẤxẤ(ứ)
3 (a.A-+ử.B)f =a.AT-+-8.BT, với mọi ơ, 8 ẠR; A, B Ạ MfẤxẤ(ứ)
Phép nhén hai ma trén Cho hai ma tran A = (aix)mxr va B= (bij )rxn- Tich cia ma tran A véi ma tran B, ký hiệu AB, là một ma trận
có cấp mm x n va néu AB = (Ciz)mxn thi ằ;; duge xae dinh bởi công thức
T
Cịj Ỉ 0i Ủy = 01401; + Gindag + + Gx dp 5: k=1
Nhận xét 1.2 Tắch hai ma trận tồn tai khi số cột của ma trận đứng
trước bằng với số dòng của ma trận đứng sau
Ma trận tắch có số dòng bằng số dòng của ma trận đứng trước và có
số cột bằng số cột của ma trận đứng sau
Phép nhân hai ma trận, nói chung, khơng có tắnh giao hoán
Chú ý 1.2 Tắnh chất của tắch các ma trận:
1) A(BC) = (AB)C (tinh két hợp của phép nhân)
2) A(B4+C) = AB+AC (tinh phan phéi trái của phép nhân đối với
phép cộng)
3) (ĐB +Ể)A = BA+CA (tinh phân phối phải của phép nhân đối với phép cộng)
Trang 1914 1.1 Ma trận Vắ dụ 1.8 Tắnh AB và BA với 1 9 O 19 1) A= ; PB=[ 1l 0 1 -9 1 9 ọ 1 Ở1 3 L 3 =i 2 A= |1 -Ở1 2|; B= |1 -2 -2 1 =1 1 0 2 -8 Giải 1) Ta có 1 9 o\ {7 ồ 10 0 1-9 =1: 0 | 9 0 a 19 0 1 -9 0 e BA= | 1 =|-l1 9 0O L ỞM |] 9 Ở9'.61 ỷ 2) Ta có 1 =1 1 2: = 0 10 Ở8 e AB= |1 Ở1 l1 Ở2 -2|= |0 53 -5|; 1 -1 1 0 2 -ả U 6 -2 1.2 -1 i1: Ở1 ở 2-72 6 e BPÁ= |1 -2 -2 1 Ở=I 2| =|-3 đả -3 0 2 -ả 1 =L il =1 1 1
Nhận xét 1.3 Nếu A Ạ M,,(R) thi A.A luôn luôn tồn tại và khi đó ta định nghĩa 42 = A.A Tương tự, ta định nghĩa A?Ẩ! = A.A với k > 0
và quy ước AP = lạ
1 Ở]
Vi du 1.9 Cho A= (; i ) Tắnh 4?; 4 và từ đó suy ra AỢ
Trang 20CƠ SỞ CỦA TOÁN KINH TẾ 15 wwe (i 7) ft TĐ -'Ở| 0 1)\o 1 0 1 ể 3 f lat } 0 1/\0 1 0 1 : l1 Ởn
Bằng phương pháp quy nạp ta tắnh được 4Ợ = f )
1.1.3 Ma trận nghịch dao
Định nghĩa 1.2 Cho A Ạ MẤ(ứ), nếu tồn tại một ma trận B Ạ M1Ấ(ứ) sao cho AB = I, = BA thà B được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A, kú hiệu AT, cồn ma trên A được got la ma tran khả nghịch ha ma tran không suụ biến
Nếu không tồn tại ma trận nghịch đảo B của ma trận A thi A goi la ma trận suụ biến 1.,: 2 1 Vắ dụ 1.10 1) Cho hai ma trận A = va B= ( ) Ở-l 2 1 1 1 -l 2 1 1 0 Ta có: ÁB = = 5 =1 2 1 1 0 1 2 1 1 Ởl 1 0 BA= = = AB 1 1 Ở=] 2 0 1
Ta noi A va B là hai ma trận khả nghịch; A là ma trận nghịch đảo của ma trận ỷ, và ngược lại, là ma trận nghịch đảo của ma trận A
-1/2 5/6 -Ở1/6 1 :9':8
2) Cho ma tran P = 0 1/3 -2/3|và@= |2 1 2
1/2 -Ở1/2 1/2 1 Ở1 1
Ta, nói P và @Q là các ma trận nghịch đảo của nhau Nói cách khác
Trang 2116 1.1 Ma tran
1 Nếu ma trận A khả nghịch thì các ma tran A7~!, AỢ cting kha nghịch và
(A9) '=A;() `=(x9J
2 Néu hai ma tran A,B Ạ 1Ấ(R) khả nghịch thì ma trận tắch 4
cũng khả nghịch và
(AB) '=B At
Tong quat: Néu m ma tran Aj, Ao, ,Am Ạ M,(IR) kha nghich thi ma tran tich A; Ao9 A,, cing kha nghich va
(Ai4s AẤ) Ợ= ASLAET AiT,
1rường hop Ay = "Ay.=Ở.), =A, =A; ta od:
(A")"! Ở Am Ở (A7t)Ỏ,
3 Néu ma tran A kha nghich thi vdi moi k 4 0: kA citing kha nghich va (&A) 1= kỘ1A-1,
1.1.4 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận
Ba phép biến đổi sơ cấp cơ bản trên ma trận: e Dổi chỗ hai dòng (cột) bất kì của ma trận e Nhân một dòng (cột) với một số khác không
e Thêm (hoặc bớt) vào một dòng (cột) một bội của dòng (cột) khác Các phép biến đổi sơ cấp chiếm một vị trắ quan trọng trong biến đổi ma trận vì nó ỘắtỢ làm thay đổi Ộbản chấtỢ của ma trận Do đó, ta thường hay dùng các phép biến đối này để chuyển một ma trận phức tạp về dạng đơn giản hơn, xem xét các đặc điểm của ma trận đơn giản rồi rút ra các
tắnh chất của ma trận ban đầu Vấn đề phát sinh là biến đổi tới đâu thì được xem là Ộđơn giảnỢ?
Trang 22CƠ SỞ CỦA TOÁN KINH TẾ 17
Vắ dụ 1.11 Dùng các phép biến đổi sơ cấp chuyển ma tran
Ở 1 A= TRƯỜNG CĐSP LẠNG SƠN THU VIEN về dạng bậc thang rút gọn M: 1/0⁄?- ` Giải Ta, có No Re we Ww aD -& l1 1 L 1 1 1 L 1 l1 1 l1 1 123 4| ^^ |0 1 d3Ởd3Ở2d, CS |0-1 3 5 2 3 4 6 0 1 4 0 00 1 1 I1 1 0 210 0 dị >diỞda 0 1 2 0 d,Ở2d,Ởd2 0 1 2 0 caỞ>2caỞecI daỞ>daỞ3da 0 0 01 0 0 0 1 20 0 0 20 0 0 1000 Ạa-*>CaỞC2 dị 3d 0 2 2 0Ì ỞỞỞ |0 2 0 0} Ở 10 1 0 0 doỞ>$ do 0 0 0 00 01 000 1
Ma tran cuối cùng có dạng bậc thang rút gọn nên bài toán được giải
quyết
Nhận xét 1.4 Để tìm ma trận nghịch đảo, ta có thể áp dụng thuật
toán sau:
Cho A Ạ ⁄Ấ(R), để tìm A-, ta thực hiện các bước sau:
- Bước 1: Lập ma trận (A|7Ấ) bằng cách ghép ma trận đơn vị 7Ấ vào bên phải ma trận A
- Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp để đưa ma trận (A|TẤ) về dạng (4/|P), trong đó A' là ma trận bậc thang rút gọn
Néu AỖ = J, thi B = Ar1
Néu AỖ # J, thi ma tran A không khả nghịch nên khơng có ma,
tran nghich dao
H
OF
OF
0
Vi du 1.12 Tim ma tran nghich dao cia ma tran A= | 1
Trang 2318 1.1 Ma tran 011/10 0 Giải Ta có (AlJ)= |1 01|010 1 1 010 0 1 1 1 dị~>2(dị+da+d2) 1 ss 0 Re oH - Oo FF 0 1 1 1 1/12 172 1/2 0 -1 0|-1/2 1/2 -1⁄2 0 0 -1 | -1/2 -1/2 1/2 dgỞd2Ởd, d3Ởd3Ởd, 100 |]-1/2 1/2 1/2 acerỖ [010] 1/2 -1/2 1/2 daỞ>d2 001 dạỞỪda 1/2 1/2 Ở1/2 1 =1 1 1 Suy ra AT} = 5 1 -1 1 1 1 -l 1.1.5 Hạng của ma trận
Định nghĩa 1.3 Cho ma trộn A Nếu A = O thà hạng của A bằng số
0 Nếu A khác O thà hạng của A chắnh là số dòng khác không của mỗi dạng bậc thung của A Hạng của A thường được ký hiệu là hạng(A) hoặc
rank(A) hay chi don gidn la r(A)
Cách tìm hạng của một ma trận khác khơng:
Để tìm hạng của ma trận khác không 44, trước hết ta dùng các phép
biến đổi sơ cấp trên để đưa nó về dạng bậc thang Sau đó đếm số dịng
khác không của dạng bậc thang ta được hạng của A
Nhận xét 1.5 Nếu A là ma trận cấp ?m x n thì 0 < r(A) < min(m,n)
Trang 24CƠ SỞ CỦA TOÁN KINH TẾ 19
1.2 Định thức
1.2.1 Định nghĩa
Phép thế
1 Giả sử tập hợp XẤ; = {1,2,3, ,n} Một song ánh ơ: Xa Ở> Xp
được gọi là một phép thê trên tập XẤ
Phép thế ơ : XẤ ỞỈ XẤ được biểu diễn như sau:
= ( 1 2ồ 8B on
~ \o(1) ụ(@) ụ(@)_ ụ(n)
trong dé o(i) là ảnh của phần tử ¡ Ạ XẤ được viết ở dòng dưới, ở
cùng một cột với 2
Tập hợp các phép thế trên tập XẤ được kắ hiệu bởi Sa
2 Một phép thế 7 trên tập XẤ được gọi là một chuyển trắ hai phần
tử ¡,j thuộc XẤ nếu T(j) = Ữj,T(j) = ¡ và T(k) = k, với mọi kẠ XẤ,k #¡,k # j Kắ hiệu (¡, 3)
3 Với i, j Ạ XẤ, Ư # j, ta nói cặp (ụ(),ụ(7)) là một nghịch thê của ơ nếu Ư < j nhưng ơ(¡) > ụ())
4 ơ gọi là một phép thê chấn nêu nó có một số chấn nghịch thế ơ
được gọi là phép thế lẻ nếu nó có một số lễ nghịch thế
1 néu o chan
sgn(ơ) = Ấ
gn42) Ở1 néuo lễ
Định thức Cho ma trận vuông cap n, (vdin > 1) Xét tắch gồm n phần tử của ma trận A, nằm ở n dòng khác nhau và n cột khác nhau
dạng: Q16(1)20(2) -Ano(n), với (ơ(1), ụ(2), , g(n)) là một hoán vị của bộ
2 x * wa
chi s6 1,2, ,n Ta goi tong
D= Ừ sgn(ử)-đ1z(1)82ụ(2)- đáz(á) -ệaụ(n)
Trang 2520 1.2 Định thúc
là định thức của ma trận A và kắ hiệu bởi |A| hay detA G14, GQ ề+ AZ ề+ Gin
detA = G1 G2 Aig - GQựn (1.2)
Ant Qn2 + + Ang + + Onn
Trong cách biểu diễn này, ta nói mỗi a¡; là một thành phần, các thành phần a¡, a¡a, , aẤẤ tạo thành dòng thứ Ư, các thành phần a;, aạ;, , qẤ;
.tạo thành cột thú j:của định thúc
Khi ma trận A có cấp nw ta cũng nói |A| là một định thức cap n
Vắ dụ 1.14 1 4 = (a¡¡) là một ma trận vng cấp 1 có định thức cấp một detA = Q11- 2 Dịnh thức cấp 3 Qj, G12 G13 detA = G21 G22 493 đại 432 433 = 011492033 + G12493031 + A13421432 Ở 211423032 Ở (13622641 Ở 012021633 1.2.2 Tắnh chất của định thức Xét định thức D của ma trận A cấp n
Tắnh chất 1 Với AT là ma trận chuyển vị của ma trận 4, ta có:
detAT = detA
Chú ý: Do có tắnh chất này, vai trò của dòng và cột như nhau, mỗi
tắnh chất về định thức nếu đúng với dòng thì cũng đúng với cột và ngược
lại
Trang 26CƠ SỞ CỦA TOÁN KINH TE 21
Ở / Ấ / It / HW
D=|@, +0, Qt Qing O44; a a9 Qin a Lin / i
x ` x x 2, x Ay: 8 a ⁄ / i `
mà mọi thành phần ở dòng thứ Ư đều có dạng aƯ; = a;; + a;; thì
D=|ai, Gly Gi; đại Đ|dn đạy đy af 1 in 1 m.|Ợ
Tắnh chất 3 Nếu mọi thành phần ở dòng thứ Ư của D có dạng
ai; = ẹ.0 (c Ạ ứ) thì D = e.D', với D' là định thức có được bằng cách
thay các thành phần dòng Ư bởi Qi; và, các thành phần cồn lại giữ nguyên trong D Tức là
Cũ CGƯ7 Cđ,| Ở C.|đ G7 Gặp, |-
Chú ý: Nếu A là ma trận cấp ụ thì det(À4) = ÀỢdetA
Tắnh chất 4 Trong định thức nếu đổi chỗ hai dòng cho nhau và giữ nguyên các dòng còn lại thì định thức đổi dấu
Tắnh chất 5 Dịnh thức sẽ bằng 0 nếu: () Có hai dịng giống nhau, hoặc
(i) Có hai dịng mà các thành phần ở cùng cột tương ứng tỉ lệ
Tắnh chất 6 Dịnh thức sẽ không thay đổi nếu:
() Nhân một dòng với một số bất kỳ rồi cộng vào dòng khác
(ii) Cộng vào một dòng một tổ hợp tuyến tắnh của các dòng khác Tắnh chất 7 Nếu A và ỷ là hai ma trận vuông cùng cấp thì
det(AB) = detA.detB Dặc biệt: def(A#) = (detA)*,, với mọi k Ạ ứ
1.2.3 Khai triển định thức
Trang 2722 1.2 Định thúc
1 Nếu chọn r dòng i\, ,1Ấ, và cột j\, , JẤ, ÍrỢ < n), thì các thành
phần nằm ở giao của r dòng và r cột ấy lập thành một định thức
kắ hiệu bởi MẨ!*?" và gọi là một định thức con cấp r của D 11
2 Nếu xóa đi r dòng và r cột ấy thì các thành phần cịn lại lập thành
một định thức kắ hiệu bởi Mj-? và gọi là định thức con bù của định thức M?'*ỢỢ 11 ÉẼ
3 Phần bù đại số của M?'"Ợ" kắ hiệu bỏi Aj'"?Ợ xác định bỏi
71. 7r = ?1-È t2z-++71+ -E7r Ấ71 -7+
An ~~ (Ở1) Mỹ
Chú ý 1.3 Mỗi thành phần aƯ; của D là một định thức con cấp một
của D Để đơn giản cách viết, định thức con bù và phần bù đại số của, a;; được kắ hiệu lần lượt là MƯ; (hoặc ãƯ;) và Aj;
2 =1 0
Vắ dụ 1.15 Cho ma trận Á= |1 3 5| Tắnh 4ii,44ia, 42a, 4aa
0 L1 4
Giải Ta cố
3.5 1:8
Ái =(Ở1U*t = 7; Ayg = (Ở1)?* = 1;
na yy w= Ny
2 Ở] 2 Ở]
A 23 = (Ở1) Ở Ở] 2+3 0 => Ở2:A 33 = (Ở1) Ở Ở=l 3+3 1 3 =
Mu trận phụ hợp Ma trận được kắ hiệu bởi A*, định nghĩa như sau:
Án Agi 83 Ana
se Ay Ago sey Ana
A* = [(Aij)n]" = `
Aig Aon ves Aven
Trang 28CƠ SỞ CỦA TOÁN KINH TẾ 23
1 0
A*= Ởa 1
abỞc Ởb 1
Dinh ly 1.2 (Công thức khai triển Laplace) Gzđ sử A Ạ M,,(R) Khi đó,
e detA = S~ thas Ages = ay An + đa ÂƯa + + đặẤy ẢƯm, 2 = 1,n
=1
(Khai triển theo dòng)
e detA = Ừ dg Ay = Ủ1; Ả1; -È a9; Ao; +o Ohag- AangỪ J = 1,n
i=1
(Khai triển theo cột)
Một số kết quả quan trọng rút ra từ định lý trên: 1) Nếu A = (a;;), 1&8 một ma trận tam giác thì
deLẤ = đit - Q2A22 + + OnnAnn
2) Nếu tồn tại dòng thứ Ư và cột thứ 7 sao cho aj, = 0, vdi moi
k # 7 thì
detA = ty Âu
Nhận xét 1.6 - Dể tắnh định thức đơn giản hơn, ta thường khai
triển định thức theo các dịng (cột) có càng nhiều số 0 càng tốt
2_ 1 ỞI
Vắ dụ 1.17 Tắnh định thức của ma trận Á= | 0 3 Ở4 4
- Giải Khai triển định thức theo dòng 2, ta được:
detA = 0.Ag1 + 3 aa + 0 4aa
2 dl
=3.(-1)ồ? = 18
Trang 2924 1.2 Dịnh thúc
- Từ công thức khai triển định thức tổng quát, ta có cơng thức tắnh
định thức cấp 3 (quy tắc Sarus):
G11 G12 413
Qo, G22 93) = G11022633 -E 212093031 + 1302132
Q31 232 433
Ở 411093432 Ở 012421233 Ở 413422031
Quy tắc Sarus được minh họa bởi hình vẽ dưới đây, trong đó, mỗi
hạng tử của công thức khai triển định thức là tắch của ba thành phần
nối với nhau bởi một đường nét liền hoặc nét đứt
Các đường nét liền mang dấu dương: +4 411422033; + 012023031; đ1a0siụaa2 Các đường nết đứt mang dẫu âm: Ở đ11623g32; Ở 012621033;
Ở 13622641 | a ẹ @ | aN s N , N 2 | ` eỘ xắ ồồ Vắ dụ 1.18 Tắnh định thức cấp 3: 2 1 0 Ở5 8 1| =2.3.6+1.1.(Ở8)+0.(Ở5).2Ở0.3.(Ở8)Ở1.(Ở5).6Ở2.1.2 = 44 =8 2 6
Định lý 1.3 Ma trận uuông A khả nghịch khi va chi khi detA # 0
Định lý 1.4 Nếu A khả nghịch thà detA~! = (detA)Ợ1!
Định lý 1.5 (Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức) Ểho A Ạ M,,(R), ma tran A kha nghich khi va chỉ khi A không suy biến Hơn
nữa, ma trận nghịch đảo của A là duy nhất va duoc xác định bởi
ể_ detA
*
Trang 30CƠ SỞ CỦA TOÁN KINH TẾ 25
1.3 Không gian vectd
1.3.1 Dinh nghĩa và tắnh chất
Định nghĩa 1.4 G¡ố sử V là một tập hợp mà các phần tử được kắ hiệu bởi ả, 8,3 , K là trường số Trên V có một phép toán goi là phép toán
cộng hai phần tử của V, uà phép toán thú hai gọi là phép nhân một phần
tử của V uới một số thuộc trường K
lập hợp V cùng uới hai phép toán nàu được go+ là một không gian
vecto trên trường lK (hay một lK - không gian 0ectd) nếu các điều kiện
sau duoc théa man déi vdi moi a, B,Y EV va moir,s Ạ K: i,
2
ở
6 7
Tinh két hop: (a+ 3) +ầ=aA+ (+7);
Tinh giao hoén: a + B = B+ a;
Sự tồn tại đồng nhất thúc cộng tắnh: Tồn tại duy nhất phần tử
0 ẠV théa man điều kiện: đ + ỷ = ổ;
Su tồn tại phần tử nghịch đảo: uới mỗi ả Ạ V có một phần tủ, kắ
0;
hiệu bởi Ởỏ, cũng thuộc V théa man diéu kién: a& + (Ởa) Tắnh phân phối hai phia:
"(#+ổ = rỡ + rổ;
(+ s)ở = rỡ + sử; NS
Luật kết hợp vd hướng: (r3) ả = r (sổ);
Tắnh trung hòa của phép nhân uới 0uô hướng: 1.0 = G
đGẠỂV được go! là một 0ectơ, 0 được gọi là vecto khéng, Ởa@ duằc gor
là uectơ đối của đ Tu tiết đ + (-2) =đ-Ở8 (doc la & trit 8)
Phép toán ở + ổ gọi là phép cộng vectơ
Phép toán rở gọi là phép nhân với vô hướng, số r cồn gọi là vô hướng Chú ý 1.4 Khi cho một không gian vectơ mà khơng nói rõ trên trường
Trang 3126 1.8 Khéng gian vecto
gian vectd trên một trường xác định rồi thì các vơ hướng trong các khái
niệm và tắnh chất tiếp theo đó đều phải thuộc trường số đó
Chúng ta có thể dùng định nghĩa của không gian vectơ để kiểm tra các tập hợp cho trong các vắ dụ sau là những không gian vectơ
Vắ dụ 1.19 Tập hợp VW các vectơ OA, OB, OG, chung gốc Ó trong không gian hai chiều hoặc ba chiều cùng với phép cộng hai vectơ và phép
nhân vectơ với một số thực là một không gian vectơ Nó được gọi là
khơng gian uectở hành hoc
Vắ dụ 1.20
a) Mỗi trường IK là một không gian vectơ trên đối với phép cộng và phép nhân trên lK Chẳng hạn:
Không gian vectơ trên R cịn gọi là khơng gian vectơ thực; Không gian vectơ trên C còn gọi là không gian vectơ phức
b) Trường số thực IR là một không gian vectơ trên trường số Q
e) Trường số phức là một không gian vectơ trên trường số thực R và cũng là một không gian vectơ trên trường
Vắ dụ 1.21 Trên KỢ = {(a4, ao, ., dn) |@1, Ủạ, , đẤ Ạ JK}, với mọi đ = (21, @2, -;@n), Ở (bì, bạ, , bẤ), r Ạ TK, ta định nghĩa hai phép toán
đ + B = (ai + bị, a2 + dy, , dn + bp)
đi = (rữ, rữa, , Tạ) -
KỢ cùng với hai phép toán trên là một khơng gian vectơ Nói cách khác, KỢ là một K - không gian veectơ
Vắ dụ 1.22 Tập K[+z| các đa thức có hệ số trong K là một K - không
gian vectơ đối với phép cộng và phép nhân số với đa thức thông thường Tắnh chất của không gian vectơ
Trang 32CƠ SỞ CUA TOÁN KINH TẾ 27
1 _V chả có một uectơ không Ủ duy nhất 9 Với mỗi ả Ạ V, uectơ đối Ởả là duy nhất
3 Với mỗi đ Ạ V,Ở (Ởđ) = a
4 Vad EV, var ẠK,ra = 0 khi va chi khir =0 hoc & =0
5 Vid eV, var ER, ta có: (Ởr) & = Ở (ra) = r (-)
6 Voir Ạ K; ở, ổ EV, ta có: r(d Ở ử)
1.3.2 Khơng gian vectơ con
Định nghĩa 1.5 Giả sử W là một tập con của khong gian vecto V Néu W cững là một không gian 0ectơ đối uới hai phép toán đã cho trong V
thi W duoc gọi là một không gian con của V
Nói cách khác, nếu phép cộng và phép nhân với vô hướng trên không gian vectơ WẶ cảm sinh phép toán tương ứng trên W thì W cùng với hai phép toán cảm sinh đó là một không gian vectơ
Tắnh chất đặc trưng
Định lý 1.7 Giá sử V là mét K - không gian vecto W là một tập con
của V Khả đó W là một không gian con của VỀ khá uà chả khả thoa man
các điều kiện: 1.W#@
2 &+BEW voi moi a,B EW
38 ra EW voi moire K,a ew
Dựa vào tắnh chất trên, muốn chứng tỏ một tập con là một không
Trang 3328 1.8 Không gian vecto
B6 dé 1.1 Tap con W ctia K - khong gian vecto V la khong gian vecto
con néu va chi néu théa man: W 4 ẹ va vdi moi ad, B EW, moir,s EK,
ta cora+sB EW
Vắ dụ 1.23 Với mỗi không gian vecto V, ban than V và tap {ử} là
những không gian con của V Chúng được gọi là những không gian con
tầm thường của, V
Vắ dụ 1.24 Tập PẤ gồm đa thức 0 và các đa thức có bậc bé hơn hoặc
bang n cia K[z] (xem vi du 1.22) là một không gian con của không gian
vectơ IK|z]
Vắ dụ 1.25 Theo vắ dụ 1.21, với = 4 và K = R là trường số thực, thì
Rf là một R - không gian vectơ Tập W = {(ụ,as,0,0)|ai,aƯ Ạ R} là
một không gian con của không gian IR
Thật vậy, W z2 ử vì (0,0,0,0) Ạ W Với & = (a;,a9,0,0),8 =
(b:,bƯ,0,0) thuộc W và r Ạ R, ta có:
a + B= (ai, a2, 0,0) + (bị, b2,0,0) = (a1 + b1, a2 + bo, 0,0) Ạ W,
ra = r(ay, a2, 0,0) = (rai, ra2,0,0) Ạ W
M thỏa mãn các điều kiện trong định lắ 1.7 Vậy W là một không
gian con của RÍ
Khơng gian con sinh bởi một hệ vectơ
Cho 4 = {ổi, đạ, , đẤẤ} là một hệ vectơ của K - không gian vectơ V Khi đó tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tắnh của A, ki higu < A>,
có dạng:
<A> = {r1@y + ree + + m| rƯ Ạ JK, với mọi ý = 1,1m} Định lý 1.8 G¡ảá sử A = {đn, đ;, , đẤ} là một hệ vecto cua K - khong
gian vecto V Khi dd W = < A> là một không gian con của V
Hon nita, khong gian W là không gian con bé nhat chita A
Chú ý 1.5 Trong dinh lắ trên,
Trang 34CƠ SỞ CUA TOÁN KINH TẾ 29
được gọi là hệ sinh của W
- Không gian W sinh bởi một hệ hữu hạn vectơ Ta gọi nó là không gian hữu han sinh Trong giáo trình này ta chỉ xét các không gian vecto
có hệ sinh hữu hạn
Vắ dụ 1.26 Xét không gian con W = {(a;,a2,0,0) | a; Ạ R} cua không gian vectơ R (xem vắ dụ 1.25) Hệ hai vecto Ạ; = (1,0,0,0) , & = (0,1,0,0) của IR là một hé sinh cia W
That vay, mdi vectd @ = (a1, a2,0,0) Ạ W có thể biéu dién:
a = (a1, 0, 0, 0) + (0, ao, 0, 0)
= a, (1,0,0,0) + a2 (0,1, 0,0)
= đ1Ể) + đ2ặà
Vậy {ể¡, đa} là hệ sinh của W
1.3.3 Sự độc lập tuyến tắnh - Sự phụ thuộc tuyến tắnh
Định nghĩa 1.6 Giả sử A = {đi, đạ, , Ấ_Ở1, đẤ} là một hệ u0ectở của
K - không gian 0ectụ V, (m > 0) Khả đó
1 Hé vecto A duoc goi là phụ thuộc tuyến tắnh nếu có mm số 115725 +) mỞ1;1'm thuộc trường I, không đồng thời bằng 0, sao cho
min + PQ Hes TP ?P'mỞ-1AmỞ1 + thuy Ểm Ở 0
2 Hé vecto A duoc goi la ddc lap tuyén tắnh nếu nó khơng phụ thuộc
tun tắnh; nói cách khác, nếu
7101 + redo + +1 m-1AmỞ-1 + TmAm = 0
thi TỊ Ở= T2 Ở ''' = lm-1 = Tm-
Vắ dụ 1.27 1) Trong không gian vectơ, mỗi vectơ khác 0 đều lập thành
một hệ vectơ độc lập tuyến tắnh
Trang 3530 1.3 Không gian vecto
2) Mọi hệ vecbơ chứa, ỷ đều là phụ thuộc tuyến tắnh Thật vậy, Giả sử {đ:, đạ, , đẤẤ, Ủ} là hệ vecbơ bất kì của khơng gian V
CỌN Pịụ =i#u = == Hy =Ủ,PayL{ = Í, tá đó:
0ối -L 08a + -+- 08, -E 10 = 0
Điều đó chứng tỏ hệ đã cho phụ thuộc tuyến tắnh
3) Trong không gian R, ể¡ = {1,0,0,0},@ = {0,1,0,0},đ = {3,Ở2,0,0} Hệ {ặ¡,ặa,đ} là phụ thuộc tuyến tắnh, còn các hệ
{Ei,ặ2}, {ểi,đ}, {ặa, đ} là độc lập tuyến tắnh
Thật vậy, ở = {3,Ở2,0,0} = 3(1,0,0,0) Ở 2(0,1,0,0) = 3ể¡ Ở 2ẽ;
hay 3ể¡ Ở 28; + (Ở1)đ = 0; nghĩa là hệ {ể¡, ểỈ, #} phụ thuộc tuyến tắnh và ở biểu thị tuyến tắnh qua éj, &9
Xét hệ {ặ¡, đ} Giả sử rịểi + ra = 0, nghĩa là,
(1,0,0,0) + 72 (8,Ở2,0,0) = (0,0,0,0)
hay
(ri,0,0,0) + (3ra, Ở2ra,0,0) = (rị + 3ra,Ở2ra, 0,0) = (0,0,0,0)
?+ạ tổra =0 r, =0
=
Ở2T72 =0 Tạ Ở 0
Vậy hệ {ặ¡, #} độc lập tuyến tắnh
Bằng cách làm tương tự, ta cũng chứng tổ được sự độc lập tuyến tắnh Suy ra
của cả hai hệ {ể¡, ểa}, {ặa, ở}
Tắnh chất Định lý 1.9
1) Mot hé vecto hitu han A = {ổi,đa, , Ấ} (uới m > 1) là phụ
thuộc tuyến tắnh khả va chỉ khả cé mét vecto ctia hé được biểu thị
tuyến qua các uectd cồn, lại
9) Một hệ uectd hữu hạn A = {ỏi, ổa, , đẤ} (uới m > 1) là độc lập
tuyến tắnh khả uà chả khi khơng có một uectơ nào của hệ được biểu
Trang 36CƠ SỞ CỦA TOÁN KINH TE 31
Định lý 1.10 1) Nếu thêm uào một hệ độc lập tuyến tắnh một uectd không biểu thị tuyến tắnh được qua hệ ốụ thà được một hệ độc lập tuyến
tắnh
9) Nếu bớt đi ở một hệ phụ thuộc luyến tắnh một ueclơ không biểu thi
tuyến tắnh được qua các uectơ còn lại thà được rnột hệ phụ thuộc tuyến tắnh
Định lý 1.11 (Bồ đề cơ bản về sự phụ thuộc tuyến tắnh)
Cho A = {G1, G2, ,Am} la mét hé vecto va E = {Ạ1, Ạ5, , En} la mot
hệ vecto độc lập tuyến tinh sao choE C <A> Khidin<m
Cho hệ vectơ Á = {ối, đa, , đẤ} trong không gian vecto V Hé AỖ
được lập nên từ một số vectơ của 4 gọi là hệ con của 4 Khi đó, Á' gọi
là con độc lập tuyến tắnh tối đại của A nếu A! độc lập tuyến tắnh và nếu
bổ sung vào 4? một vectơ bất kì của 4 thì hệ nhận được là phụ thuộc
tuyến tắnh
Hệ quả 1.1 Số 0uectơ trong một hệ con độc lập tuyến tắnh tối đại của
một hệ uectơ là không đổi
Hệ quả 1.2 Mội hệ uectơ độc lập tuyến tắnh trong KPỢ có không quá n
Uecid
Hạng của hệ vectơ
Định nghĩa 1.7
Cho hệ 0ectd Á = {ỏ\i,G;, ,đm} Ta gọi hạng của A, ki hiéu:
hạng() hoặc rank(4), là số uectơ trong một hệ cơn độc lập tuyến tắnh toi dai cua nó
Theo hệ quả 1.1, định lắ 1.11, hạng của rnột hệ uectơ là duy nhất Khái niệm về hệ sinh của một không gian vectơ và hệ vectơ độc lập
Trang 3732 1.8 Không gian vectd
1.3.4 Cơ sở và số chiều của không gian vectơ
Cơ sở và sự tồn tại cơ sở
Định nghĩa 1.8 72 gọ? một tập con Á của một không gian 0ectơd V khác
{01 là cơ sở của khơng gian đó nếu A độc lập tuyến tắnh uà < ẢA > = V
Vắ dụ 1.28 Trong không gian vectơ ?Ấ gồm đa thức 0 và các đa thức
thuộc K|z] với bậc không quá ụ, hệ vectơ {1,ụ, zỢ, ,zỢ} là một cơ sổ Thật vậy, mỗi đa thức Ặ(z) Ạ ?Ấ đều có dạng Ặ(z) = ao + aẬ# + AntỢ + + azẤzỢ,aƯ G lK, với mọi Ư Ạ {0,1,2, ,ụ} Diều đó chứn tổ
{1,,?, , +} là một hệ sinh của P,, Mặt khác, nếu ag+aụ#-Eaa#Ỳ-E a,2Ợ = 0 thì từ định nghĩa đa thức suy ra đo = 61 = dạ = = dạ =0,
nghĩa là {1,+,#Ỳ, ,z*} là hệ vectơ độc lập tuyến tắnh Vậy nó là cơ sở
của, Đụ
Vắ dụ 1.29 Trong không gian RẺ, hệ ba vectd
ếị = (1,0,0), ếp = (0,1,0), é3 = (0,0, 1)
là một cơ sở Người ta gọi đây là cơ sở chắnh tắc của RỲ
Định lý 1.12 (Sự tồn bại cơ sổ) Mỗi K - không gian uectơ V # {0} đều có cơ sở
Hệ quả 1.3 Trong không gian 0ectơ, mỗi hệ uectơ độc lập tuyến tắnh
bất kà đều có thể bổ sưng thành một cơ sở
Hệ quả 1.4 Số 0ectơ trong hai cơ sở của một không gian 0ectơd bằng
nhau
Nhận xét 1.7 Từ định nghĩa 1.8 và hệ quả 1.3, ta có thể rút ra kết
luận sau:
Nếu không gian vectơ V có một cơ sở hữu hạn Ạ gdm ụ vectơ thì a) Mọi hệ vectơ độc lập tuyến tắnh trong V có khơng qua n vecto
b) Mọi cơ sổ của V đều có w vectơ
e) Mọi hệ gồm n vectơ độc lập tuyến tắnh của W đều là cơ sở
Người đọc tự chứng minh
Trang 38CƠ SỞ CỦA TOÁN KINH TẾ 38
Số chiều của không gian vectơ
Định nghĩa 1.9 Số vecto trong một cơ sở của lK - không gian vecto V
được gọi là số chiều của V Kắ hiệu: dimgV
Nếu không cần chỉ rõ trường ]K cụ thể, ta có thể uiết đơn giản là
dimV
Vi du 1.30
1) Không gian V các vectơ hình học trong khơng gian có dưngV' =
2) dimgR? = 3 3) dime P, = n+ 1
1.3.5 Tọa độ của một vectd
Định nghĩa 1.10 Giá sử (ặ) = {ển,Ea, ,ặẤ} là một cơ sở của -
không gian 0ectơ V, ỏđẠ V có cách biểu diễn duy nhất dưới dạng
a= Qy,E} + đ2ặa + + AnEn ; đƯ Ạ K, uới mọt LE {1,2, ,n}
Bộ số (Ủ,dạ, ,dẤ) goi là tọa dé ctia & ddi vdi co sé (e) Ta viet:
G@ (01, Q9, -,An)-
Vắ dụ 1.31 Trong không gian vectơ IRỶ, hệ vectơ (Ạ) = {&,, &, &}, trong
dé & = (1,1,0), & = (0,1,1), & = (1,0, 1), là một cơ sở của Rầ Vectd
ở = 2ễ Ở 5a + Êa có tọa độ đối với cơ sổ (Ạ) là (2, Ở5, 1)
Ta, có thể xác định tọa độ của các vectơ thơng qua các phép tốn tổng các vectơ và tắch vectơ với võ hướng trên trường K
Định lý 1.13 Nếu k Ạ K, ở va Ổ có tọa độ lần lượt là (ma, as, , aẤ) tà
(bị,bạ, bạ) hà:
1) Tọa độ của ả + 8 la (a, + b1, 0ạ + bạ, , đẤ + bn);
2) Tọa dé ctia k& la (kay, kag, ., kan)
Tọa độ của một vectơ đối với hai cơ sở khác nhau có mối liên hệ như
nào Trước hết ta định nghĩa mối quan hệ giữa hai cơ sở thông qua khái
Trang 3934 1.8 Khéng gian vecto
Ma trận chuyển cơ sở
Đình nghĩa 1.11
Giả sử (e) = {Et, 2, ,Ạn} va (Ạ) = {ậ,És, ,ẠẤ} là hai cơ sở của IK
- không gian 0ectơ V,
Ết = tiiểi + 2iặa + + tuyển Eo = hịzặi + ĐasặỈ + + tuyến
(uà mỗi uectơ Ê; đều biểu thị tuyến tắnh qua cơ sở ())
Ta goi ma tran vudng cap n
ti, tig tin
T Ở toy to9 eee ton
#1 tn? toe tan
la ma tran chuyén tt co sd (Ạ) sang co sé (E)
Vi du 1.32 Xét khong gian vectơ Rệ với hai cơ sở
(ặ) Ở {ặi, Ea, E3}, trong đó ếi Ở (1,0,0), E5 = (0, 1,0), Ạ3 = (0,0, 1), và, (Ạ) = {&i,Ạa,Éa}, trong đó 1 = (1, 1,0), Eo = (0, 1, 1) ) És Ở (1,0, 1)
a) Tìm ma trận chuyển từ cơ sở (e) sang cơ sổ (Ạ) b) Tìm ma trận chuyển từ cơ sở (ặ) sang cơ sổ (e)
&i =(1,0,0)+ (0,1,0) =¡ +
Ạ5 = (0,1,0) + (0,0,1) = ặạ+ ặa
& = (1,0,0) + (0,0,1) =ể¡ +
Vậy ma trận chuyển từ cơ sổ (ặ) sang cơ sở (ặ) là 7' =
Trang 40CƠ SỞ CUA TOAN KINH TE 35
(1,0,0) = &, = buến nig boi Ạy SẼ Beas (1) (0,1,0) = & = bio, + bay I b3oẠ3 (2)
(0,0, 1) = & = bisé + baséo + b3aẠ3 (3) Dẳng thức (1) cho ta (1, 0,0) = bị1(1, 1,0) + bo1(0, 1, 1) + b31 (1,0, 1) = (by, + b31, B11 + b21, b21 + 031) Suy ra: bit + bs; 1 bị + bay = bo, + b3, =0
Giải hệ này ta tìm được:
1 1 1
bi ==, bại = 11 2? 21 2Ợ b3, = - 31 2
Dẳng thức (2) cho ta một hệ phương trình, giải nó ta tìm được:
1
by = 3 bye, b39 = Ở 5"
Tương tự, nhờ đẳng thức (3) ta tìm được:
1 1
big = ỞỞ, bo3 = Ở = b33 13 97 228 = 5 33
Vậy ma trận chuyển từ cơ sở (ặ) sang cơ sở (ặ) là
1/2 1⁄2 Ở1/2
T'=|-1/2 1/2 1/2
1/2 -1/2 1/2
Định lý 1.14 (Tọa độ của một vectơ trong hai cơ sổ khác nhau) Giả sử (e) = {En,ÊỈ, , E2} 0à (Ạ) = {ft.Ạ3, ÉẤ} là hai cơ sở của K - khong gian vecto V, T = (ti) la ma tran chuyển từ cơ sở (e) sưng
co sé (E) Got (21, 29, ,2n), (Yi, Y2) 5Yn) lan luot la toa độ của uectơ
a déi vdi co sd (Ạ) uà cơ sở (Ạ) Khi do nr