1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

Giáo trình toán kinh tế phần 1 (dành cho hệ cao đẳng chuyên ngành kế toán)

146 6 0
Tài liệu được quét OCR, nội dung có thể không chính xác

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 146
Dung lượng 38,4 MB

Nội dung

Trang 1

NGUYEN CAO LUẬN (Chủ biên), HOÀNG VĂN LINH ` GIAO TRINH TOAN KINH TE

(Dành cho hệ Cao đẳng chuyên ngành Kế toán)

aq | zẤ=8 = #a=4 M N ẹ ẹ ~~ \, Ngàn & #a = Q Oo Q #1 $ệ@- Ở sit zy =0

Trang 2

NGUYEN CAO LUAN (Chia biên) - HOÀNG VĂN LINH

GIÁO TRÌNH

TỐN KINH TE

(Dành cho hệ Cao đẳng chuyên ngành Ké toan)

TRƯỜNG CDSP LANG SƠN

THƯ VIÊN

Trang 3

01 Ở 95

` ĐHTN Ở 2021

On

Trang 4

Mục luc

Gi WGL-GSO sca we ee cies Wi wee wie te nh

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ CỦA TOÁN KINH TẾ

11 Matrận Ta

111 Một số khái nệm - Ặ

1.1.2 Các phép toán trên matrận - 113 Ma trận nghịch đão -. Ặ So 1.1.4 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận 1.1.5 Hạng của matrận .-.- Q S SỈ no l2 ĐịnhtHỨC :: cv p2 nhị Bo 8T Ko SỐ Song 121 Dinhnghia .2.0 202-0200

12.2 Tắnh chất của định thức .-.-

1.2.3 Khai triển định thúc -.-

13 hơng BÌaH WEElO si c1 giá eee mime wR we

13.1 Dinh nghia va tinh chat -.-

1.3.2 Kh6ng gian vecté con 2 2 eee ee ee 1.3.3 Sự độc lập tuyến tắnh - Sự phụ thuộc tuyến tắnh

1.3.4 Cơ sổ và số chiều của không gian vectd

1.3.5 Tọa độ của một vectld ề 1.3.6 Hạng của hệ vectơ - Hạng của ma trận trong không

GIB NGON Ídtv ce wid eet ate ale ead ed de ew

14 Anhxatuyéntinh 2.020 00.0000

1.5

1.41 Một số định nghĩa và tắnh chất

1.4.2 Ảnh và hạt nhân của ánh xạ tuyến tắnh

Hệ phương trình tuyến tắnh .-

1.5.1 Dang tổng quát và ma trận của hệ phương trình

tuyến tắnh ng

Trang 5

4 MUC LUC

1.5.3 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tắnh 45

1.5.4 Hệ phương trình tuyến tắnh thuần nhất 50

Bài tấp PhƯỚHE ỳ ề4 Ư Ư Ưsa ko c pc E2 Lo E Q DĐ ng ng á H Gớ go Big 94 CHƯƠNG 2_ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 61 2.1 Bài tốn tối ưu tổng quát và phân loại 61

2.1.1 Bài toán tối ưu tổng quát 62

21.2 Phân loại các bài toán tốiưu 62

2.1.3 Ung dung bai toán tối ưu giải quyết các vấn đề thựctẾ 020.000 0000022 2 eee 63 2.2_ Bài toán quy hoạch tuyến tắnh 77

2.2.1 Bài toán quy hoạch tuyến tắnh tổng quát 77

2.2.2 Dạng chắnh tắc và dạng chuẩn tắc của bài toán quy hoạch tuyến tắnh ee 80 2.2.3 Tinh chat cia bài toán quy hoạch tuyến tắnh 83

2.3 Phương pháp giải bài toán quy hoạch tuyến tắnh 94

2.3.1 Phương pháp hình học 94

2.3.2 Phương pháp đơnhình 96

2.4 Bài toán quy hoạch tuyến tắnh đối ngẫu 112

2.4.1 Cách thành lập bài toán đối ngẫu 112

2.4.2 Các tắnh chất và định lý đối ngẫu 115

2.4.3 Phương pháp đơn hình đối ngẫu 118

2.4.4 Các ứng dụng của cặp bài toán đối ngẫu 124

Bai tap chuong2 2 020202000000 00082 129 CHUGNG 3 UNG DỤNG BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYỂN TÍNH 142 3.1 Bai ton van tai cle See Sb ek ki ng 142 3.1.1 Khái niệm và tắnh chất của bài toán vận tải 142

3.12 Tìm phương án cực biên xuất phát của bài toán WH ĐỂ lắ Ư v 4 2a a tre Nhi c2 g vs DA Da sa 148 3.1.3 Phương pháp thế vị giải bài toán van tai 152

3.1.4 Một số bài toán ứng dụng của bài toán vận tải 159

3.2 Bài toán sản xuất đồng bộ 169

3.2.1 Một số khái nệm 169

Trang 6

MUC LUG 5

3.2.3 Phương pháp nhân tử giải bài toán sẩn xuất đồng

DO 0 eee eee ee 176

3.3 Bài tốn trị chơi malrẬận -.- {SH se 184

3.3.1 Một số khái nệm Ốc S So 184 3.3.2 Phương pháp tìm chiến lược tối ưu cho bài tốn

trị chơi matrận -2-2-2505058 194

Bài tập chương 3_ Oh 201

Hướng dẫn - Đáp số 207

Trang 7

Ky hiéu Viét tat: QHTT Ừ I] N, Z, Q,R, C Munsen(K) rank(A) (r(A)) đetA (|Al) <A> span(A) (c, 2) dimV ~ Homx(V,W) sgn(p) f(A) f-"(B) Imf Ker f

Ky hiéu va viét tat

Quy hoach tuyén tinh

tổng của các số hạng

tắch của các thừa số các tập hợp số

không gian ma trận cd m x ụ trên trường K

hạng của ma trận A

định thức của ma tran A

tập các đa thức có hệ số trong trường số lK tập hợp các tổ hợp tuyến tắnh của,

không gian vectơ sinh bởi hệ 4

tắch vô hướng của vectơ e và, vectƠd #

số chiều của không gian vectơ V đẳng cấu

tập các ánh xạ tuyến tắnh từ không gian vectơ

V đến W trên trường lK _ dấu của phép thế ụ

ảnh của không gian vectơ A

tạo ảnh của không gian vectơ B

ảnh của ánh xạ tuyến tắnh Ặ

Trang 8

Lời nói đầu

Tốn học có nhiều ứng dụng mang tắnh nền tảng trong nghiên cứu

lý thuyết và phát triển kinh tế Toán kinh tế là mơn học đóng vai trò

cơ sở trong chương trình đào tạo các khối ngành kinh tế Tại các trường Cao đẳng, mơn Tốn kinh tế thường sử dụng chung các giáo trình bậc

Dại học Diều đó gây ra một số bất tiện nhất định: thiếu sự đồng bộ về

nội dung môn học; người học và người dạy gặp nhiều khó khăn khi sử

dụng/nghiên cứu nhiều giáo trình khác nhau, Vì vậy, việc biên soạn

giáo trình Tốn kinh tế trình độ cao đẳng dành cho các chuyên ngành

thuộc lĩnh vực kinh tế là rất cần thiết

Nội dung của giáo trình gồm ba chương:

Chương 1 trình bày những kết quả quan trọng của đại số tuyến tắnh:

ma trận, định thức, không gian vếctơ, ánh xạ tuyến tắnh và hệ phương

trình tuyến tắnh

Chương 2 trình bày những khái niệm cơ bản của quy hoạch tuyến

tinh (QHTT): Bài toán tối ưu và ứng dụng; bài toán QHTT; phương

pháp giải bài toán QHTT; bài toán đối ngẫu quy hoạch tuyến tắnh

Chương 3 trình bày một số ứng dụng của bài toán QHTT: bài toán

vận tải, bài toán sản xuất đồng bộ và bài tốn trị chơi ma trận

Mỗi chương đều có hệ thống bài tập ôn tập được sắp xếp từ dễ đến

khó Trước khi giải bài tập, người học cần nghiên cứu để hiểu rõ nội dung

của chương đó Phần cuối mỗi chương trình bày tóm tắt lời giải hoặc đáp số cho các bài tập

Trong quá trình biên soạn, giáo trình chắc chắn không tránh khỏi

những khiếm khuyết Các tác giả mong nhận được nhiều ý kiến của các

chuyên gia, các nhà nghiên cứu và của người đọc để hoàn thiện cuốn sách

được tốt hơn

Xin chân thành cẩm on!

Trang 9

Tài liệu tham khảo

[3] [9] [10]

Nguyễn Duy Thuận, Đại số tuyến tắnh, NXB Dai học Sư phạm, 2004

Đặng Hấn, Quy hoạch tuyến tắnh, NXB Dai học Kinh tế TP.HCM,

1995

Trần Xuân 5inh, Quy hoạch tuyến tắnh, NXB Dại học Sư phạm,

2003

Trần Xuân Sinh, Toán kinh tế, ứXB Dại học Quốc gia Hà Nội, 2007

Trần Vũ Thiệu, Giáo trình tối ưu tuyến tắnh, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2004

Trần Túc, Quy hoạch tuyến tắnh, NXB Dại học linh tế Quốc dân,

2001

Tran Tic, Bai tap quy hoach tuyến tắnh, NXB Thoa học và kĩ thuật 2001

Võ Văn Tuấn Dũng, Giáo trình Quy hoạch tuyến tinh, NXB Thông

kê, 2007

Paul R Thie, Keough G E., An Introduction To Linear Progamming

And Game Theory (3th edition), Jond Wiley & Son, 2008

Hiselt H A., Sandblom C -L., Linear Progamming And Its Ap- plications, ISBN 978-3-540-73670-7 Springer Berlin Heidelberg New York, 2007

Trang 10

TAI LIEU THAM KHAO Soy

[12] Kolman B., Beck R.E., Elementary Linear Programming with Ap-

plications (Second edition), Academic Press New York - London -

Tokyo, 1995

[13] Louis Brickman, Mathematical Introduction to Linear Programming

Trang 11

NHA XUAT BAN DAI HOC THAI NGUYEN

Địa chỉ: Phường Tân Thịnh - Thành phố Thái Nguyên - Tỉnh Thái Nguyên

Điện thoại: 0280 3840023; Fax: 0280 3840017

Website: nxb.tnu.edu.vn * E-mail: nxb.dhtn@gmail.com

GIAO TRINH

TOAN KINH TE

(Danh cho hé Cao dang chuyén nganh Ké toán)

Chu trách nhiệm xuất bản:

TS PHẠM QUÔC TUẦN mg ⁄ 22 tA a

Giám dic - Tong bién tap

Bién tap: NONG THI NINH Thiét ké bia: LE THANH NGUYEN

Trinh bay: NONG THI NINH

Sửa bẳn in: NONG THI NINH

Đối tác liên kết muất bản:

Hoang Van Linh (Dia chi: 215 Lé Lai, Khối 15,

phường Hoàng Văn Thu, thành phé Lang Son, tinh Lang Son)

ISBN: 978-604-9987-45-8

In 100 cuốn, khổ 17 x 24cm, tai Xudng in - Nhà xuất bản Đại học Thái Nguyên

(Địa chỉ: Phường Tân Thịnh - Thành phố Thái Nguyên - Tỉnh Thái Nguyên)

Giấy phép xuất bản số: 2441-2021/CGXBIPH/01-95/ĐHTN Quyết định xuất bản số: 154/QĐĐ-NXBĐHTN, ngày 13/7/2021 In xong và nộp lưu chiểu quý

Trang 13

Chương 1

CO SO CUA TOAN KINH TE

Chương đầu tiên giới thiệu các khái niệm và phương pháp của đại số tuyến tắnh Đây là cơ sở ban đầu giúp người học có thể hiểu và ứng dụng

các bài toán quy hoạch tuyến tắnh Nội dung của chương này được sắp xếp logic các khái niệm, tắnh chất, định lắ và vắ dụ minh họa cho từng

phần, người học cần nắm vững một cách hệ thống các nội dung đó Có

như vậy việc học các chương sau sẽ dễ dàng hơn

1.1 Ma trận

1.1.1 Một số khái niệm

Định nghĩa 1.1 Ma trận là một bằng các số thực được rếp thành mm dờng uà n cột được gọi là ma trận cấp m x n

Kắ hiệu:

đ G12 Bh

A Ở (ij) mxn Ở đ21 đ22 & lấy Ế đ+3Ấ, (11)

Qm1 dạy - Amn

trong dé, i dugc goi là chỉ số dòng, j được goi la chi s6 cot, aj; la phan tử nằm 6 dong i va cét j

Trang 14

CƠ SỞ CỦA TOÁN KINH TẾ 9 12 -1 Z Vắ dụ 1.1 Á= la ma tran cap 2 x 3; 5 3 0ỷ 3

B= | I | lamatran cip3x1; C= (2 Ở6 5 1) la ma tran Ở6

cấp 1 x 4

Trường hợp đặc biệt:

1 Ma trận có số dòng bằng số cột (m = n) được goi la ma tran vudng

cấp n, ký hiệu A = (aij)n va được viết dưới dạng liệt kê

G1 G012 Gy - Qin

621 G22 Gag Qn A=

đại Qn2 - Unj - Ann

Tập các ma trận vuông cấp ụ mà các thành phần thuộc trường số thực IR, được kắ hiệu là 1Ấ(R)

1 4 6

Vi du 1.2 A= (aij)3 = |0 3 Ở2 | là ma trận vuông cấp 3

25 Ở3

2 Ma tran vudng A = (aj;)n dude goi lA ma tran chéo néu aƯ; = 0 với

moi i # 7, ký hiệu A = đig(@11, 822, ., Gan)

0 0 5 0 0

Vắ dụ 1.3 ỏỷ = |0 -3 0|, = |0 5 0 là các ma trận

02 0 0 5

chéo

3 Ma trận chéo cấp ụ có tất cả các phần tử trên đường chéo chắnh

Trang 15

10 1.1 Ma trận 0 0 10 oe 0 0 In = ;Jạ= |0 1 O0]3.-; = 0 1 0 0 1 0 0 1 lần lượt là các ma trận đơn vị cấp 2, cấp 3, , cấp n

4 Ma trận vuông 7' = (a;;)Ấ được gọi là zna trận tam giác trên nếu

a;; = 0 với mọi Ư > j Vậy ma trận tam giác trên 7' được viết dưới dạng liệt kê:

I1 G12 Qin 0 G22 Q2n,

T=

0 0 Ann

5 Ma trận vuông D = (a;;)Ấ được gọi là ma tran tam giác dưới nêu

a¡;; = 0 với mọi Ư < j Vậy ma trận tam giác dưới D được viết dưới

dạng liệt kê:

G11 0 0

G21 22 0

D=

Qni ng - Ann

6 Ma trận cấp mm x n có tất cả các phần tử bằng không, ky hiéu Opxn

(đôi khi là Ó), được gọi là ma trận không 7 Ma trận bậc thang

a) Dịng khơng: Một dòng của ma trận có tất cả các phần tử

đều bằng không được gọi là dịng khơng

b) Phần tử cơ sở của dòng: Phần tử khác không đầu tiên của

đồng tắnh bừ trái sang được gọi là phần tử cơ sở của dòng

c) Ma tran bac thang: Ma tran bac thang là một ma trận khác

không thỏa hai điều kiện sau:

Trang 16

CƠ SỞ CỦA TOÁN KINH TẾ 11

ii Phần tử cơ sở của dòng dưới nằm bên phải phần tử cơ

sở của dòng trên Vi du 1.5 Các ma trận 1 =1 4 3 0 Ở2 1 1 2 -1 EB = ) SỈ (CC 0 =5 0 f 3 3) 0 0 0 6 là các ma trận bậc thang Các ma trận 1 5 2 1 -1 3 04 i M/=|0 0 O|;N= 03 2 7 0 0 0 Ở2 không là ma trận bậc thang

Ma trận bậc thang có các phần tử cơ sở của dòng bằng 1, các phần

tử còn lại bằng 0 được gọi là ma trận bậc thang rút gọn 1.1.2 Các phếp toán trên ma trận

Hai na trận bằng nhau Hai ma trận được gọi là bằng nhau nếu

chúng cùng cỡ và có tắt cả các phần tử tương ứng vị trắ bằng nhau Cho hai ma trận A = (đ¡7)mxẤ và Đ = (b)mxụ Khi đó,

A=B# ay = bj voi moi i =1,m;j =1,n

Nhân một số uới một rnma trận Cho sik Ạ K va ma tran A = (hy lmxeee khi đó:

kA = (Kitz lean

Ky hiéu: ỞA = (-1)A = (Ở4ij)mxn được gọi là ma trận đối của ma trận A

Céng hai ma tran cùng cấp Cho hai ma trận cùng cấp A = (ij) mxn va B = (bi;)mxn- Khi dé

Trang 17

12 1.1 Ma trận

Chú ý 1.1 Một số tắnh chất của phép cộng ma trận và nhân ma trận với một số:

1) A+B=B+A 5) k(A+B) =kA+kB

2) A+(B+C)=(A+B)4+C 6) (k+1)A =kA +1A

3) A+0=0+A=A 7) (kl)A = k(LA)

4 A-A=A+(-4)=0 8) 0.A=0

Vắ dụ 1.6 Thực hiện các phếp tắnh trên ma, trận

Ở2 3 5 3

0b A= [T ):2-[ 2 | Tian P= 24 4-90, 2) Cho Á= |5 -I|;B=[|Ở-3 4 | TinhQ=5AỞ4B

2 3 1 -2 10 15 -4 8 2)7ac Q=5|5 -1|-4|_-3 4 |=|25 -5|+| l2 -16 3 4 5 2 15 20 20 Ở8 6 23 =| 37 =21 Ở5 12

Ma trén chuyén vi Cho ma tran A = (a;;)mxn, ma tran cé cap mxn nhận được tit ma tran A bằng cách đổi dòng thành cột hoặc đổi cột thành

dòng, được gọi là ma trận chuyển vị của A, ký hiệu AT

1 Ở3 Vắ dụ 1.7 Ma trận A=

Trang 18

CO 86 CUA TOAN KINH TE 13

Nhận xét 1.1 Một số kết quả quan trọng ta có thể suy ra từ định nghĩa:

1 (A+B)? = A? + B?, voi moi A, BE Minxn(R)

2 (cA)? = eAT, với mọi cẠ R; A Ạ MIẤxẤ(ứ)

3 (a.A-+ử.B)f =a.AT-+-8.BT, với mọi ơ, 8 ẠR; A, B Ạ MfẤxẤ(ứ)

Phép nhén hai ma trén Cho hai ma tran A = (aix)mxr va B= (bij )rxn- Tich cia ma tran A véi ma tran B, ký hiệu AB, là một ma trận

có cấp mm x n va néu AB = (Ciz)mxn thi ằ;; duge xae dinh bởi công thức

T

Cịj Ỉ 0i Ủy = 01401; + Gindag + + Gx dp 5: k=1

Nhận xét 1.2 Tắch hai ma trận tồn tai khi số cột của ma trận đứng

trước bằng với số dòng của ma trận đứng sau

Ma trận tắch có số dòng bằng số dòng của ma trận đứng trước và có

số cột bằng số cột của ma trận đứng sau

Phép nhân hai ma trận, nói chung, khơng có tắnh giao hoán

Chú ý 1.2 Tắnh chất của tắch các ma trận:

1) A(BC) = (AB)C (tinh két hợp của phép nhân)

2) A(B4+C) = AB+AC (tinh phan phéi trái của phép nhân đối với

phép cộng)

3) (ĐB +Ể)A = BA+CA (tinh phân phối phải của phép nhân đối với phép cộng)

Trang 19

14 1.1 Ma trận Vắ dụ 1.8 Tắnh AB và BA với 1 9 O 19 1) A= ; PB=[ 1l 0 1 -9 1 9 ọ 1 Ở1 3 L 3 =i 2 A= |1 -Ở1 2|; B= |1 -2 -2 1 =1 1 0 2 -8 Giải 1) Ta có 1 9 o\ {7 ồ 10 0 1-9 =1: 0 | 9 0 a 19 0 1 -9 0 e BA= | 1 =|-l1 9 0O L ỞM |] 9 Ở9'.61 ỷ 2) Ta có 1 =1 1 2: = 0 10 Ở8 e AB= |1 Ở1 l1 Ở2 -2|= |0 53 -5|; 1 -1 1 0 2 -ả U 6 -2 1.2 -1 i1: Ở1 ở 2-72 6 e BPÁ= |1 -2 -2 1 Ở=I 2| =|-3 đả -3 0 2 -ả 1 =L il =1 1 1

Nhận xét 1.3 Nếu A Ạ M,,(R) thi A.A luôn luôn tồn tại và khi đó ta định nghĩa 42 = A.A Tương tự, ta định nghĩa A?Ẩ! = A.A với k > 0

và quy ước AP = lạ

1 Ở]

Vi du 1.9 Cho A= (; i ) Tắnh 4?; 4 và từ đó suy ra AỢ

Trang 20

CƠ SỞ CỦA TOÁN KINH TẾ 15 wwe (i 7) ft TĐ -'Ở| 0 1)\o 1 0 1 ể 3 f lat } 0 1/\0 1 0 1 : l1 Ởn

Bằng phương pháp quy nạp ta tắnh được 4Ợ = f )

1.1.3 Ma trận nghịch dao

Định nghĩa 1.2 Cho A Ạ MẤ(ứ), nếu tồn tại một ma trận B Ạ M1Ấ(ứ) sao cho AB = I, = BA thà B được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A, kú hiệu AT, cồn ma trên A được got la ma tran khả nghịch ha ma tran không suụ biến

Nếu không tồn tại ma trận nghịch đảo B của ma trận A thi A goi la ma trận suụ biến 1.,: 2 1 Vắ dụ 1.10 1) Cho hai ma trận A = va B= ( ) Ở-l 2 1 1 1 -l 2 1 1 0 Ta có: ÁB = = 5 =1 2 1 1 0 1 2 1 1 Ởl 1 0 BA= = = AB 1 1 Ở=] 2 0 1

Ta noi A va B là hai ma trận khả nghịch; A là ma trận nghịch đảo của ma trận ỷ, và ngược lại, là ma trận nghịch đảo của ma trận A

-1/2 5/6 -Ở1/6 1 :9':8

2) Cho ma tran P = 0 1/3 -2/3|và@= |2 1 2

1/2 -Ở1/2 1/2 1 Ở1 1

Ta, nói P và @Q là các ma trận nghịch đảo của nhau Nói cách khác

Trang 21

16 1.1 Ma tran

1 Nếu ma trận A khả nghịch thì các ma tran A7~!, AỢ cting kha nghịch và

(A9) '=A;() `=(x9J

2 Néu hai ma tran A,B Ạ 1Ấ(R) khả nghịch thì ma trận tắch 4

cũng khả nghịch và

(AB) '=B At

Tong quat: Néu m ma tran Aj, Ao, ,Am Ạ M,(IR) kha nghich thi ma tran tich A; Ao9 A,, cing kha nghich va

(Ai4s AẤ) Ợ= ASLAET AiT,

1rường hop Ay = "Ay.=Ở.), =A, =A; ta od:

(A")"! Ở Am Ở (A7t)Ỏ,

3 Néu ma tran A kha nghich thi vdi moi k 4 0: kA citing kha nghich va (&A) 1= kỘ1A-1,

1.1.4 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận

Ba phép biến đổi sơ cấp cơ bản trên ma trận: e Dổi chỗ hai dòng (cột) bất kì của ma trận e Nhân một dòng (cột) với một số khác không

e Thêm (hoặc bớt) vào một dòng (cột) một bội của dòng (cột) khác Các phép biến đổi sơ cấp chiếm một vị trắ quan trọng trong biến đổi ma trận vì nó ỘắtỢ làm thay đổi Ộbản chấtỢ của ma trận Do đó, ta thường hay dùng các phép biến đối này để chuyển một ma trận phức tạp về dạng đơn giản hơn, xem xét các đặc điểm của ma trận đơn giản rồi rút ra các

tắnh chất của ma trận ban đầu Vấn đề phát sinh là biến đổi tới đâu thì được xem là Ộđơn giảnỢ?

Trang 22

CƠ SỞ CỦA TOÁN KINH TẾ 17

Vắ dụ 1.11 Dùng các phép biến đổi sơ cấp chuyển ma tran

Ở 1 A= TRƯỜNG CĐSP LẠNG SƠN THU VIEN về dạng bậc thang rút gọn M: 1/0⁄?- ` Giải Ta, có No Re we Ww aD -& l1 1 L 1 1 1 L 1 l1 1 l1 1 123 4| ^^ |0 1 d3Ởd3Ở2d, CS |0-1 3 5 2 3 4 6 0 1 4 0 00 1 1 I1 1 0 210 0 dị >diỞda 0 1 2 0 d,Ở2d,Ởd2 0 1 2 0 caỞ>2caỞecI daỞ>daỞ3da 0 0 01 0 0 0 1 20 0 0 20 0 0 1000 Ạa-*>CaỞC2 dị 3d 0 2 2 0Ì ỞỞỞ |0 2 0 0} Ở 10 1 0 0 doỞ>$ do 0 0 0 00 01 000 1

Ma tran cuối cùng có dạng bậc thang rút gọn nên bài toán được giải

quyết

Nhận xét 1.4 Để tìm ma trận nghịch đảo, ta có thể áp dụng thuật

toán sau:

Cho A Ạ ⁄Ấ(R), để tìm A-, ta thực hiện các bước sau:

- Bước 1: Lập ma trận (A|7Ấ) bằng cách ghép ma trận đơn vị 7Ấ vào bên phải ma trận A

- Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp để đưa ma trận (A|TẤ) về dạng (4/|P), trong đó A' là ma trận bậc thang rút gọn

Néu AỖ = J, thi B = Ar1

Néu AỖ # J, thi ma tran A không khả nghịch nên khơng có ma,

tran nghich dao

H

OF

OF

0

Vi du 1.12 Tim ma tran nghich dao cia ma tran A= | 1

Trang 23

18 1.1 Ma tran 011/10 0 Giải Ta có (AlJ)= |1 01|010 1 1 010 0 1 1 1 dị~>2(dị+da+d2) 1 ss 0 Re oH - Oo FF 0 1 1 1 1/12 172 1/2 0 -1 0|-1/2 1/2 -1⁄2 0 0 -1 | -1/2 -1/2 1/2 dgỞd2Ởd, d3Ởd3Ởd, 100 |]-1/2 1/2 1/2 acerỖ [010] 1/2 -1/2 1/2 daỞ>d2 001 dạỞỪda 1/2 1/2 Ở1/2 1 =1 1 1 Suy ra AT} = 5 1 -1 1 1 1 -l 1.1.5 Hạng của ma trận

Định nghĩa 1.3 Cho ma trộn A Nếu A = O thà hạng của A bằng số

0 Nếu A khác O thà hạng của A chắnh là số dòng khác không của mỗi dạng bậc thung của A Hạng của A thường được ký hiệu là hạng(A) hoặc

rank(A) hay chi don gidn la r(A)

Cách tìm hạng của một ma trận khác khơng:

Để tìm hạng của ma trận khác không 44, trước hết ta dùng các phép

biến đổi sơ cấp trên để đưa nó về dạng bậc thang Sau đó đếm số dịng

khác không của dạng bậc thang ta được hạng của A

Nhận xét 1.5 Nếu A là ma trận cấp ?m x n thì 0 < r(A) < min(m,n)

Trang 24

CƠ SỞ CỦA TOÁN KINH TẾ 19

1.2 Định thức

1.2.1 Định nghĩa

Phép thế

1 Giả sử tập hợp XẤ; = {1,2,3, ,n} Một song ánh ơ: Xa Ở> Xp

được gọi là một phép thê trên tập XẤ

Phép thế ơ : XẤ ỞỈ XẤ được biểu diễn như sau:

= ( 1 2ồ 8B on

~ \o(1) ụ(@) ụ(@)_ ụ(n)

trong dé o(i) là ảnh của phần tử ¡ Ạ XẤ được viết ở dòng dưới, ở

cùng một cột với 2

Tập hợp các phép thế trên tập XẤ được kắ hiệu bởi Sa

2 Một phép thế 7 trên tập XẤ được gọi là một chuyển trắ hai phần

tử ¡,j thuộc XẤ nếu T(j) = Ữj,T(j) = ¡ và T(k) = k, với mọi kẠ XẤ,k #¡,k # j Kắ hiệu (¡, 3)

3 Với i, j Ạ XẤ, Ư # j, ta nói cặp (ụ(),ụ(7)) là một nghịch thê của ơ nếu Ư < j nhưng ơ(¡) > ụ())

4 ơ gọi là một phép thê chấn nêu nó có một số chấn nghịch thế ơ

được gọi là phép thế lẻ nếu nó có một số lễ nghịch thế

1 néu o chan

sgn(ơ) = Ấ

gn42) Ở1 néuo lễ

Định thức Cho ma trận vuông cap n, (vdin > 1) Xét tắch gồm n phần tử của ma trận A, nằm ở n dòng khác nhau và n cột khác nhau

dạng: Q16(1)20(2) -Ano(n), với (ơ(1), ụ(2), , g(n)) là một hoán vị của bộ

2 x * wa

chi s6 1,2, ,n Ta goi tong

D= Ừ sgn(ử)-đ1z(1)82ụ(2)- đáz(á) -ệaụ(n)

Trang 25

20 1.2 Định thúc

là định thức của ma trận A và kắ hiệu bởi |A| hay detA G14, GQ ề+ AZ ề+ Gin

detA = G1 G2 Aig - GQựn (1.2)

Ant Qn2 + + Ang + + Onn

Trong cách biểu diễn này, ta nói mỗi a¡; là một thành phần, các thành phần a¡, a¡a, , aẤẤ tạo thành dòng thứ Ư, các thành phần a;, aạ;, , qẤ;

.tạo thành cột thú j:của định thúc

Khi ma trận A có cấp nw ta cũng nói |A| là một định thức cap n

Vắ dụ 1.14 1 4 = (a¡¡) là một ma trận vng cấp 1 có định thức cấp một detA = Q11- 2 Dịnh thức cấp 3 Qj, G12 G13 detA = G21 G22 493 đại 432 433 = 011492033 + G12493031 + A13421432 Ở 211423032 Ở (13622641 Ở 012021633 1.2.2 Tắnh chất của định thức Xét định thức D của ma trận A cấp n

Tắnh chất 1 Với AT là ma trận chuyển vị của ma trận 4, ta có:

detAT = detA

Chú ý: Do có tắnh chất này, vai trò của dòng và cột như nhau, mỗi

tắnh chất về định thức nếu đúng với dòng thì cũng đúng với cột và ngược

lại

Trang 26

CƠ SỞ CỦA TOÁN KINH TE 21

Ở / Ấ / It / HW

D=|@, +0, Qt Qing O44; a a9 Qin a Lin / i

x ` x x 2, x Ay: 8 a ⁄ / i `

mà mọi thành phần ở dòng thứ Ư đều có dạng aƯ; = a;; + a;; thì

D=|ai, Gly Gi; đại Đ|dn đạy đy af 1 in 1 m.|Ợ

Tắnh chất 3 Nếu mọi thành phần ở dòng thứ Ư của D có dạng

ai; = ẹ.0 (c Ạ ứ) thì D = e.D', với D' là định thức có được bằng cách

thay các thành phần dòng Ư bởi Qi; và, các thành phần cồn lại giữ nguyên trong D Tức là

Cũ CGƯ7 Cđ,| Ở C.|đ G7 Gặp, |-

Chú ý: Nếu A là ma trận cấp ụ thì det(À4) = ÀỢdetA

Tắnh chất 4 Trong định thức nếu đổi chỗ hai dòng cho nhau và giữ nguyên các dòng còn lại thì định thức đổi dấu

Tắnh chất 5 Dịnh thức sẽ bằng 0 nếu: () Có hai dịng giống nhau, hoặc

(i) Có hai dịng mà các thành phần ở cùng cột tương ứng tỉ lệ

Tắnh chất 6 Dịnh thức sẽ không thay đổi nếu:

() Nhân một dòng với một số bất kỳ rồi cộng vào dòng khác

(ii) Cộng vào một dòng một tổ hợp tuyến tắnh của các dòng khác Tắnh chất 7 Nếu A và ỷ là hai ma trận vuông cùng cấp thì

det(AB) = detA.detB Dặc biệt: def(A#) = (detA)*,, với mọi k Ạ ứ

1.2.3 Khai triển định thức

Trang 27

22 1.2 Định thúc

1 Nếu chọn r dòng i\, ,1Ấ, và cột j\, , JẤ, ÍrỢ < n), thì các thành

phần nằm ở giao của r dòng và r cột ấy lập thành một định thức

kắ hiệu bởi MẨ!*?" và gọi là một định thức con cấp r của D 11

2 Nếu xóa đi r dòng và r cột ấy thì các thành phần cịn lại lập thành

một định thức kắ hiệu bởi Mj-? và gọi là định thức con bù của định thức M?'*ỢỢ 11 ÉẼ

3 Phần bù đại số của M?'"Ợ" kắ hiệu bỏi Aj'"?Ợ xác định bỏi

71. 7r = ?1-È t2z-++71+ -E7r Ấ71 -7+

An ~~ (Ở1) Mỹ

Chú ý 1.3 Mỗi thành phần aƯ; của D là một định thức con cấp một

của D Để đơn giản cách viết, định thức con bù và phần bù đại số của, a;; được kắ hiệu lần lượt là MƯ; (hoặc ãƯ;) và Aj;

2 =1 0

Vắ dụ 1.15 Cho ma trận Á= |1 3 5| Tắnh 4ii,44ia, 42a, 4aa

0 L1 4

Giải Ta cố

3.5 1:8

Ái =(Ở1U*t = 7; Ayg = (Ở1)?* = 1;

na yy w= Ny

2 Ở] 2 Ở]

A 23 = (Ở1) Ở Ở] 2+3 0 => Ở2:A 33 = (Ở1) Ở Ở=l 3+3 1 3 =

Mu trận phụ hợp Ma trận được kắ hiệu bởi A*, định nghĩa như sau:

Án Agi 83 Ana

se Ay Ago sey Ana

A* = [(Aij)n]" = `

Aig Aon ves Aven

Trang 28

CƠ SỞ CỦA TOÁN KINH TẾ 23

1 0

A*= Ởa 1

abỞc Ởb 1

Dinh ly 1.2 (Công thức khai triển Laplace) Gzđ sử A Ạ M,,(R) Khi đó,

e detA = S~ thas Ages = ay An + đa ÂƯa + + đặẤy ẢƯm, 2 = 1,n

=1

(Khai triển theo dòng)

e detA = Ừ dg Ay = Ủ1; Ả1; -È a9; Ao; +o Ohag- AangỪ J = 1,n

i=1

(Khai triển theo cột)

Một số kết quả quan trọng rút ra từ định lý trên: 1) Nếu A = (a;;), 1&8 một ma trận tam giác thì

deLẤ = đit - Q2A22 + + OnnAnn

2) Nếu tồn tại dòng thứ Ư và cột thứ 7 sao cho aj, = 0, vdi moi

k # 7 thì

detA = ty Âu

Nhận xét 1.6 - Dể tắnh định thức đơn giản hơn, ta thường khai

triển định thức theo các dịng (cột) có càng nhiều số 0 càng tốt

2_ 1 ỞI

Vắ dụ 1.17 Tắnh định thức của ma trận Á= | 0 3 Ở4 4

- Giải Khai triển định thức theo dòng 2, ta được:

detA = 0.Ag1 + 3 aa + 0 4aa

2 dl

=3.(-1)ồ? = 18

Trang 29

24 1.2 Dịnh thúc

- Từ công thức khai triển định thức tổng quát, ta có cơng thức tắnh

định thức cấp 3 (quy tắc Sarus):

G11 G12 413

Qo, G22 93) = G11022633 -E 212093031 + 1302132

Q31 232 433

Ở 411093432 Ở 012421233 Ở 413422031

Quy tắc Sarus được minh họa bởi hình vẽ dưới đây, trong đó, mỗi

hạng tử của công thức khai triển định thức là tắch của ba thành phần

nối với nhau bởi một đường nét liền hoặc nét đứt

Các đường nét liền mang dấu dương: +4 411422033; + 012023031; đ1a0siụaa2 Các đường nết đứt mang dẫu âm: Ở đ11623g32; Ở 012621033;

Ở 13622641 | a ẹ @ | aN s N , N 2 | ` eỘ xắ ồồ Vắ dụ 1.18 Tắnh định thức cấp 3: 2 1 0 Ở5 8 1| =2.3.6+1.1.(Ở8)+0.(Ở5).2Ở0.3.(Ở8)Ở1.(Ở5).6Ở2.1.2 = 44 =8 2 6

Định lý 1.3 Ma trận uuông A khả nghịch khi va chi khi detA # 0

Định lý 1.4 Nếu A khả nghịch thà detA~! = (detA)Ợ1!

Định lý 1.5 (Tìm ma trận nghịch đảo bằng định thức) Ểho A Ạ M,,(R), ma tran A kha nghich khi va chỉ khi A không suy biến Hơn

nữa, ma trận nghịch đảo của A là duy nhất va duoc xác định bởi

ể_ detA

*

Trang 30

CƠ SỞ CỦA TOÁN KINH TẾ 25

1.3 Không gian vectd

1.3.1 Dinh nghĩa và tắnh chất

Định nghĩa 1.4 G¡ố sử V là một tập hợp mà các phần tử được kắ hiệu bởi ả, 8,3 , K là trường số Trên V có một phép toán goi là phép toán

cộng hai phần tử của V, uà phép toán thú hai gọi là phép nhân một phần

tử của V uới một số thuộc trường K

lập hợp V cùng uới hai phép toán nàu được go+ là một không gian

vecto trên trường lK (hay một lK - không gian 0ectd) nếu các điều kiện

sau duoc théa man déi vdi moi a, B,Y EV va moir,s Ạ K: i,

2

6 7

Tinh két hop: (a+ 3) +ầ=aA+ (+7);

Tinh giao hoén: a + B = B+ a;

Sự tồn tại đồng nhất thúc cộng tắnh: Tồn tại duy nhất phần tử

0 ẠV théa man điều kiện: đ + ỷ = ổ;

Su tồn tại phần tử nghịch đảo: uới mỗi ả Ạ V có một phần tủ, kắ

0;

hiệu bởi Ởỏ, cũng thuộc V théa man diéu kién: a& + (Ởa) Tắnh phân phối hai phia:

"(#+ổ = rỡ + rổ;

(+ s)ở = rỡ + sử; NS

Luật kết hợp vd hướng: (r3) ả = r (sổ);

Tắnh trung hòa của phép nhân uới 0uô hướng: 1.0 = G

đGẠỂV được go! là một 0ectơ, 0 được gọi là vecto khéng, Ởa@ duằc gor

là uectơ đối của đ Tu tiết đ + (-2) =đ-Ở8 (doc la & trit 8)

Phép toán ở + ổ gọi là phép cộng vectơ

Phép toán rở gọi là phép nhân với vô hướng, số r cồn gọi là vô hướng Chú ý 1.4 Khi cho một không gian vectơ mà khơng nói rõ trên trường

Trang 31

26 1.8 Khéng gian vecto

gian vectd trên một trường xác định rồi thì các vơ hướng trong các khái

niệm và tắnh chất tiếp theo đó đều phải thuộc trường số đó

Chúng ta có thể dùng định nghĩa của không gian vectơ để kiểm tra các tập hợp cho trong các vắ dụ sau là những không gian vectơ

Vắ dụ 1.19 Tập hợp VW các vectơ OA, OB, OG, chung gốc Ó trong không gian hai chiều hoặc ba chiều cùng với phép cộng hai vectơ và phép

nhân vectơ với một số thực là một không gian vectơ Nó được gọi là

khơng gian uectở hành hoc

Vắ dụ 1.20

a) Mỗi trường IK là một không gian vectơ trên đối với phép cộng và phép nhân trên lK Chẳng hạn:

Không gian vectơ trên R cịn gọi là khơng gian vectơ thực; Không gian vectơ trên C còn gọi là không gian vectơ phức

b) Trường số thực IR là một không gian vectơ trên trường số Q

e) Trường số phức là một không gian vectơ trên trường số thực R và cũng là một không gian vectơ trên trường

Vắ dụ 1.21 Trên KỢ = {(a4, ao, ., dn) |@1, Ủạ, , đẤ Ạ JK}, với mọi đ = (21, @2, -;@n), Ở (bì, bạ, , bẤ), r Ạ TK, ta định nghĩa hai phép toán

đ + B = (ai + bị, a2 + dy, , dn + bp)

đi = (rữ, rữa, , Tạ) -

KỢ cùng với hai phép toán trên là một khơng gian vectơ Nói cách khác, KỢ là một K - không gian veectơ

Vắ dụ 1.22 Tập K[+z| các đa thức có hệ số trong K là một K - không

gian vectơ đối với phép cộng và phép nhân số với đa thức thông thường Tắnh chất của không gian vectơ

Trang 32

CƠ SỞ CUA TOÁN KINH TẾ 27

1 _V chả có một uectơ không Ủ duy nhất 9 Với mỗi ả Ạ V, uectơ đối Ởả là duy nhất

3 Với mỗi đ Ạ V,Ở (Ởđ) = a

4 Vad EV, var ẠK,ra = 0 khi va chi khir =0 hoc & =0

5 Vid eV, var ER, ta có: (Ởr) & = Ở (ra) = r (-)

6 Voir Ạ K; ở, ổ EV, ta có: r(d Ở ử)

1.3.2 Khơng gian vectơ con

Định nghĩa 1.5 Giả sử W là một tập con của khong gian vecto V Néu W cững là một không gian 0ectơ đối uới hai phép toán đã cho trong V

thi W duoc gọi là một không gian con của V

Nói cách khác, nếu phép cộng và phép nhân với vô hướng trên không gian vectơ WẶ cảm sinh phép toán tương ứng trên W thì W cùng với hai phép toán cảm sinh đó là một không gian vectơ

Tắnh chất đặc trưng

Định lý 1.7 Giá sử V là mét K - không gian vecto W là một tập con

của V Khả đó W là một không gian con của VỀ khá uà chả khả thoa man

các điều kiện: 1.W#@

2 &+BEW voi moi a,B EW

38 ra EW voi moire K,a ew

Dựa vào tắnh chất trên, muốn chứng tỏ một tập con là một không

Trang 33

28 1.8 Không gian vecto

B6 dé 1.1 Tap con W ctia K - khong gian vecto V la khong gian vecto

con néu va chi néu théa man: W 4 ẹ va vdi moi ad, B EW, moir,s EK,

ta cora+sB EW

Vắ dụ 1.23 Với mỗi không gian vecto V, ban than V và tap {ử} là

những không gian con của V Chúng được gọi là những không gian con

tầm thường của, V

Vắ dụ 1.24 Tập PẤ gồm đa thức 0 và các đa thức có bậc bé hơn hoặc

bang n cia K[z] (xem vi du 1.22) là một không gian con của không gian

vectơ IK|z]

Vắ dụ 1.25 Theo vắ dụ 1.21, với = 4 và K = R là trường số thực, thì

Rf là một R - không gian vectơ Tập W = {(ụ,as,0,0)|ai,aƯ Ạ R} là

một không gian con của không gian IR

Thật vậy, W z2 ử vì (0,0,0,0) Ạ W Với & = (a;,a9,0,0),8 =

(b:,bƯ,0,0) thuộc W và r Ạ R, ta có:

a + B= (ai, a2, 0,0) + (bị, b2,0,0) = (a1 + b1, a2 + bo, 0,0) Ạ W,

ra = r(ay, a2, 0,0) = (rai, ra2,0,0) Ạ W

M thỏa mãn các điều kiện trong định lắ 1.7 Vậy W là một không

gian con của RÍ

Khơng gian con sinh bởi một hệ vectơ

Cho 4 = {ổi, đạ, , đẤẤ} là một hệ vectơ của K - không gian vectơ V Khi đó tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tắnh của A, ki higu < A>,

có dạng:

<A> = {r1@y + ree + + m| rƯ Ạ JK, với mọi ý = 1,1m} Định lý 1.8 G¡ảá sử A = {đn, đ;, , đẤ} là một hệ vecto cua K - khong

gian vecto V Khi dd W = < A> là một không gian con của V

Hon nita, khong gian W là không gian con bé nhat chita A

Chú ý 1.5 Trong dinh lắ trên,

Trang 34

CƠ SỞ CUA TOÁN KINH TẾ 29

được gọi là hệ sinh của W

- Không gian W sinh bởi một hệ hữu hạn vectơ Ta gọi nó là không gian hữu han sinh Trong giáo trình này ta chỉ xét các không gian vecto

có hệ sinh hữu hạn

Vắ dụ 1.26 Xét không gian con W = {(a;,a2,0,0) | a; Ạ R} cua không gian vectơ R (xem vắ dụ 1.25) Hệ hai vecto Ạ; = (1,0,0,0) , & = (0,1,0,0) của IR là một hé sinh cia W

That vay, mdi vectd @ = (a1, a2,0,0) Ạ W có thể biéu dién:

a = (a1, 0, 0, 0) + (0, ao, 0, 0)

= a, (1,0,0,0) + a2 (0,1, 0,0)

= đ1Ể) + đ2ặà

Vậy {ể¡, đa} là hệ sinh của W

1.3.3 Sự độc lập tuyến tắnh - Sự phụ thuộc tuyến tắnh

Định nghĩa 1.6 Giả sử A = {đi, đạ, , Ấ_Ở1, đẤ} là một hệ u0ectở của

K - không gian 0ectụ V, (m > 0) Khả đó

1 Hé vecto A duoc goi là phụ thuộc tuyến tắnh nếu có mm số 115725 +) mỞ1;1'm thuộc trường I, không đồng thời bằng 0, sao cho

min + PQ Hes TP ?P'mỞ-1AmỞ1 + thuy Ểm Ở 0

2 Hé vecto A duoc goi la ddc lap tuyén tắnh nếu nó khơng phụ thuộc

tun tắnh; nói cách khác, nếu

7101 + redo + +1 m-1AmỞ-1 + TmAm = 0

thi TỊ Ở= T2 Ở ''' = lm-1 = Tm-

Vắ dụ 1.27 1) Trong không gian vectơ, mỗi vectơ khác 0 đều lập thành

một hệ vectơ độc lập tuyến tắnh

Trang 35

30 1.3 Không gian vecto

2) Mọi hệ vecbơ chứa, ỷ đều là phụ thuộc tuyến tắnh Thật vậy, Giả sử {đ:, đạ, , đẤẤ, Ủ} là hệ vecbơ bất kì của khơng gian V

CỌN Pịụ =i#u = == Hy =Ủ,PayL{ = Í, tá đó:

0ối -L 08a + -+- 08, -E 10 = 0

Điều đó chứng tỏ hệ đã cho phụ thuộc tuyến tắnh

3) Trong không gian R, ể¡ = {1,0,0,0},@ = {0,1,0,0},đ = {3,Ở2,0,0} Hệ {ặ¡,ặa,đ} là phụ thuộc tuyến tắnh, còn các hệ

{Ei,ặ2}, {ểi,đ}, {ặa, đ} là độc lập tuyến tắnh

Thật vậy, ở = {3,Ở2,0,0} = 3(1,0,0,0) Ở 2(0,1,0,0) = 3ể¡ Ở 2ẽ;

hay 3ể¡ Ở 28; + (Ở1)đ = 0; nghĩa là hệ {ể¡, ểỈ, #} phụ thuộc tuyến tắnh và ở biểu thị tuyến tắnh qua éj, &9

Xét hệ {ặ¡, đ} Giả sử rịểi + ra = 0, nghĩa là,

(1,0,0,0) + 72 (8,Ở2,0,0) = (0,0,0,0)

hay

(ri,0,0,0) + (3ra, Ở2ra,0,0) = (rị + 3ra,Ở2ra, 0,0) = (0,0,0,0)

?+ạ tổra =0 r, =0

=

Ở2T72 =0 Tạ Ở 0

Vậy hệ {ặ¡, #} độc lập tuyến tắnh

Bằng cách làm tương tự, ta cũng chứng tổ được sự độc lập tuyến tắnh Suy ra

của cả hai hệ {ể¡, ểa}, {ặa, ở}

Tắnh chất Định lý 1.9

1) Mot hé vecto hitu han A = {ổi,đa, , Ấ} (uới m > 1) là phụ

thuộc tuyến tắnh khả va chỉ khả cé mét vecto ctia hé được biểu thị

tuyến qua các uectd cồn, lại

9) Một hệ uectd hữu hạn A = {ỏi, ổa, , đẤ} (uới m > 1) là độc lập

tuyến tắnh khả uà chả khi khơng có một uectơ nào của hệ được biểu

Trang 36

CƠ SỞ CỦA TOÁN KINH TE 31

Định lý 1.10 1) Nếu thêm uào một hệ độc lập tuyến tắnh một uectd không biểu thị tuyến tắnh được qua hệ ốụ thà được một hệ độc lập tuyến

tắnh

9) Nếu bớt đi ở một hệ phụ thuộc luyến tắnh một ueclơ không biểu thi

tuyến tắnh được qua các uectơ còn lại thà được rnột hệ phụ thuộc tuyến tắnh

Định lý 1.11 (Bồ đề cơ bản về sự phụ thuộc tuyến tắnh)

Cho A = {G1, G2, ,Am} la mét hé vecto va E = {Ạ1, Ạ5, , En} la mot

hệ vecto độc lập tuyến tinh sao choE C <A> Khidin<m

Cho hệ vectơ Á = {ối, đa, , đẤ} trong không gian vecto V Hé AỖ

được lập nên từ một số vectơ của 4 gọi là hệ con của 4 Khi đó, Á' gọi

là con độc lập tuyến tắnh tối đại của A nếu A! độc lập tuyến tắnh và nếu

bổ sung vào 4? một vectơ bất kì của 4 thì hệ nhận được là phụ thuộc

tuyến tắnh

Hệ quả 1.1 Số 0uectơ trong một hệ con độc lập tuyến tắnh tối đại của

một hệ uectơ là không đổi

Hệ quả 1.2 Mội hệ uectơ độc lập tuyến tắnh trong KPỢ có không quá n

Uecid

Hạng của hệ vectơ

Định nghĩa 1.7

Cho hệ 0ectd Á = {ỏ\i,G;, ,đm} Ta gọi hạng của A, ki hiéu:

hạng() hoặc rank(4), là số uectơ trong một hệ cơn độc lập tuyến tắnh toi dai cua nó

Theo hệ quả 1.1, định lắ 1.11, hạng của rnột hệ uectơ là duy nhất Khái niệm về hệ sinh của một không gian vectơ và hệ vectơ độc lập

Trang 37

32 1.8 Không gian vectd

1.3.4 Cơ sở và số chiều của không gian vectơ

Cơ sở và sự tồn tại cơ sở

Định nghĩa 1.8 72 gọ? một tập con Á của một không gian 0ectơd V khác

{01 là cơ sở của khơng gian đó nếu A độc lập tuyến tắnh uà < ẢA > = V

Vắ dụ 1.28 Trong không gian vectơ ?Ấ gồm đa thức 0 và các đa thức

thuộc K|z] với bậc không quá ụ, hệ vectơ {1,ụ, zỢ, ,zỢ} là một cơ sổ Thật vậy, mỗi đa thức Ặ(z) Ạ ?Ấ đều có dạng Ặ(z) = ao + aẬ# + AntỢ + + azẤzỢ,aƯ G lK, với mọi Ư Ạ {0,1,2, ,ụ} Diều đó chứn tổ

{1,,?, , +} là một hệ sinh của P,, Mặt khác, nếu ag+aụ#-Eaa#Ỳ-E a,2Ợ = 0 thì từ định nghĩa đa thức suy ra đo = 61 = dạ = = dạ =0,

nghĩa là {1,+,#Ỳ, ,z*} là hệ vectơ độc lập tuyến tắnh Vậy nó là cơ sở

của, Đụ

Vắ dụ 1.29 Trong không gian RẺ, hệ ba vectd

ếị = (1,0,0), ếp = (0,1,0), é3 = (0,0, 1)

là một cơ sở Người ta gọi đây là cơ sở chắnh tắc của RỲ

Định lý 1.12 (Sự tồn bại cơ sổ) Mỗi K - không gian uectơ V # {0} đều có cơ sở

Hệ quả 1.3 Trong không gian 0ectơ, mỗi hệ uectơ độc lập tuyến tắnh

bất kà đều có thể bổ sưng thành một cơ sở

Hệ quả 1.4 Số 0ectơ trong hai cơ sở của một không gian 0ectơd bằng

nhau

Nhận xét 1.7 Từ định nghĩa 1.8 và hệ quả 1.3, ta có thể rút ra kết

luận sau:

Nếu không gian vectơ V có một cơ sở hữu hạn Ạ gdm ụ vectơ thì a) Mọi hệ vectơ độc lập tuyến tắnh trong V có khơng qua n vecto

b) Mọi cơ sổ của V đều có w vectơ

e) Mọi hệ gồm n vectơ độc lập tuyến tắnh của W đều là cơ sở

Người đọc tự chứng minh

Trang 38

CƠ SỞ CỦA TOÁN KINH TẾ 38

Số chiều của không gian vectơ

Định nghĩa 1.9 Số vecto trong một cơ sở của lK - không gian vecto V

được gọi là số chiều của V Kắ hiệu: dimgV

Nếu không cần chỉ rõ trường ]K cụ thể, ta có thể uiết đơn giản là

dimV

Vi du 1.30

1) Không gian V các vectơ hình học trong khơng gian có dưngV' =

2) dimgR? = 3 3) dime P, = n+ 1

1.3.5 Tọa độ của một vectd

Định nghĩa 1.10 Giá sử (ặ) = {ển,Ea, ,ặẤ} là một cơ sở của -

không gian 0ectơ V, ỏđẠ V có cách biểu diễn duy nhất dưới dạng

a= Qy,E} + đ2ặa + + AnEn ; đƯ Ạ K, uới mọt LE {1,2, ,n}

Bộ số (Ủ,dạ, ,dẤ) goi là tọa dé ctia & ddi vdi co sé (e) Ta viet:

G@ (01, Q9, -,An)-

Vắ dụ 1.31 Trong không gian vectơ IRỶ, hệ vectơ (Ạ) = {&,, &, &}, trong

dé & = (1,1,0), & = (0,1,1), & = (1,0, 1), là một cơ sở của Rầ Vectd

ở = 2ễ Ở 5a + Êa có tọa độ đối với cơ sổ (Ạ) là (2, Ở5, 1)

Ta, có thể xác định tọa độ của các vectơ thơng qua các phép tốn tổng các vectơ và tắch vectơ với võ hướng trên trường K

Định lý 1.13 Nếu k Ạ K, ở va Ổ có tọa độ lần lượt là (ma, as, , aẤ) tà

(bị,bạ, bạ) hà:

1) Tọa độ của ả + 8 la (a, + b1, 0ạ + bạ, , đẤ + bn);

2) Tọa dé ctia k& la (kay, kag, ., kan)

Tọa độ của một vectơ đối với hai cơ sở khác nhau có mối liên hệ như

nào Trước hết ta định nghĩa mối quan hệ giữa hai cơ sở thông qua khái

Trang 39

34 1.8 Khéng gian vecto

Ma trận chuyển cơ sở

Đình nghĩa 1.11

Giả sử (e) = {Et, 2, ,Ạn} va (Ạ) = {ậ,És, ,ẠẤ} là hai cơ sở của IK

- không gian 0ectơ V,

Ết = tiiểi + 2iặa + + tuyển Eo = hịzặi + ĐasặỈ + + tuyến

(uà mỗi uectơ Ê; đều biểu thị tuyến tắnh qua cơ sở ())

Ta goi ma tran vudng cap n

ti, tig tin

T Ở toy to9 eee ton

#1 tn? toe tan

la ma tran chuyén tt co sd (Ạ) sang co sé (E)

Vi du 1.32 Xét khong gian vectơ Rệ với hai cơ sở

(ặ) Ở {ặi, Ea, E3}, trong đó ếi Ở (1,0,0), E5 = (0, 1,0), Ạ3 = (0,0, 1), và, (Ạ) = {&i,Ạa,Éa}, trong đó 1 = (1, 1,0), Eo = (0, 1, 1) ) És Ở (1,0, 1)

a) Tìm ma trận chuyển từ cơ sở (e) sang cơ sổ (Ạ) b) Tìm ma trận chuyển từ cơ sở (ặ) sang cơ sổ (e)

&i =(1,0,0)+ (0,1,0) =¡ +

Ạ5 = (0,1,0) + (0,0,1) = ặạ+ ặa

& = (1,0,0) + (0,0,1) =ể¡ +

Vậy ma trận chuyển từ cơ sổ (ặ) sang cơ sở (ặ) là 7' =

Trang 40

CƠ SỞ CUA TOAN KINH TE 35

(1,0,0) = &, = buến nig boi Ạy SẼ Beas (1) (0,1,0) = & = bio, + bay I b3oẠ3 (2)

(0,0, 1) = & = bisé + baséo + b3aẠ3 (3) Dẳng thức (1) cho ta (1, 0,0) = bị1(1, 1,0) + bo1(0, 1, 1) + b31 (1,0, 1) = (by, + b31, B11 + b21, b21 + 031) Suy ra: bit + bs; 1 bị + bay = bo, + b3, =0

Giải hệ này ta tìm được:

1 1 1

bi ==, bại = 11 2? 21 2Ợ b3, = - 31 2

Dẳng thức (2) cho ta một hệ phương trình, giải nó ta tìm được:

1

by = 3 bye, b39 = Ở 5"

Tương tự, nhờ đẳng thức (3) ta tìm được:

1 1

big = ỞỞ, bo3 = Ở = b33 13 97 228 = 5 33

Vậy ma trận chuyển từ cơ sở (ặ) sang cơ sở (ặ) là

1/2 1⁄2 Ở1/2

T'=|-1/2 1/2 1/2

1/2 -1/2 1/2

Định lý 1.14 (Tọa độ của một vectơ trong hai cơ sổ khác nhau) Giả sử (e) = {En,ÊỈ, , E2} 0à (Ạ) = {ft.Ạ3, ÉẤ} là hai cơ sở của K - khong gian vecto V, T = (ti) la ma tran chuyển từ cơ sở (e) sưng

co sé (E) Got (21, 29, ,2n), (Yi, Y2) 5Yn) lan luot la toa độ của uectơ

a déi vdi co sd (Ạ) uà cơ sở (Ạ) Khi do nr

Ngày đăng: 10/10/2023, 18:43