Giáo trình tôpô đại cương phần 1 ts nông quốc chinh

TS N Ô N G Q U Ố C C H I N H T Ô P Ô Đ Ạ I C Ư Ơ N G NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC s PHẠM M ã số: 01.02 -17/18 - Đ H 2003 M Ụ C LỤC Lời nói đ ầ u C h n g N h ữ n g k i ế n t h ứ c c s ỏ §1 C c p h é p t o n v ề t p hợp §2 Q u a n h ệ t h ứ t ự §3 Tiên đ ề c h n lo C h n g K h ô n g g i a n m ê t r i c 12 §1 K h n g g i a n m ê t r i c , sụ h ộ i trụ o n g k h ô n g g i a n m ê t r i c 12 §2 T ậ p h ợ p m ỏ v t ậ p h ợ p đ ó n g ló §3 Á n h x liên t ụ c g i ữ a c c k h ô n g g i a n m ê t r i c 21 §4 K h n g g i a n m ê t r i c đ ầ y đ ủ 24 §5 T ậ p c o m p c 37 Bài t p 50 C h n g K h ô n g g i a n t ô p ô 34 §1 C ấ u t r ú c t ô p 34 §2 Đ i ể m giới h n , p h ầ n t r o n g , p h ầ n n g o i , b i ê n v bao đ ó n g tập 61 §3 C sở c ủ a k h ô n g g i a n t ô p ô 68 Bài t ậ p 75 C h n g Á n h x liên t ụ c , k h ô n g g i a n c o n , k h ô n g gian tích, k h n g gian t h n g §1 Á n h x liên t ụ c - p h é p đ n g p h i 79 79 §2 So s n h hai t ô p ô 85 §3 T p x c định m ộ t h n h x 86 §4 C c tiên đ ề t c h 89 §5 K h n g gian c o n c ủ a m ộ t k h ô n g gian t ô p ô 97 §6 Tích Đ ề c c c ủ a c c k h ô n g gian t p 102 §7 Tổng trục t i ế p c ủ a m ộ t h k h ô n g gian t ô p ô 114 §8 T p t h n g §9 T p m ê t r i c k h ô n g gian mêtric hoa 117 Bài t ậ p 122 C h n g K h ô n g g i a n c o m p â c , k h ô n g g i a n liên t h n g 127 §1 K h ô n g gian c o m p ổ c 127 §2 K h n g gian c o m p ắ c địa p h n g 136 §3 C o m p c hoa 141 §4 K h n g gian liên t h ô n g 144 Bài t p 153 Lịi n ó i đ u Giáo trình " T p ỏ đ i c n g " trình bày khái n i ệ m tôpô, cách xây dựng tôpô, phân loại k h ô n g gian t ô p ô , đồng phôi khôn", gian tôpô xét trường hợp riêng k h ô n g gian tốpõ không gian compắc, k h ô n g gian liên t h ô n g , k h ô n g gian mêtric, Đ â y kiến thức sở cần thiết cho nhiều lĩnh vực toán hừc khác n h G i ả i tích h m , Lý thuyết đ ộ đo tích phân, T p ỏ đ i số, Hình hừc v i phân, Giáo trình viết c sở giảng cho sinh viên n ă m thứ hệ Cử nhân n g n h T o n sinh viên h ệ Sau đ i hừc n g n h Toán khoa Toán, trường Đ i hừc Sư phạm - Đ i hừc T h i N g u y ê n Giáo trình bao g m c h n g , m ỗ i chương có nêu nhiều ví dụ minh hoa có phần tập đ ể sinh viên tự g i ả i Trong lần xuất đ ầ u tiên n y k h ô n g tránh k h ỏ i thiếu sót Chúng tơi mong nhận g ó p ý bạn đừc TÁC GIẢ C h n g N H Ữ N G KIÊN THỨC c S Ỏ § C Á C PHÉP T O Á N V Ề TẬP H Ợ P Ì Giao, h ợ p , h i ệ u Đ ố i v i tập A , B, c tập hừp X ta có: A u B = B u A, A n B = B n A, A u (B u C) = ( A u B) u c , A n (B n C) = ( A n B) n c , A n (B u C) = ( A n B) u ( A n C), A u (B n C) = ( A u B) n ( A u C), X \ (A u B) = ( X \ A ) n ( X \ B), (Công thức De Morgan) X \ (A n B) = ( X \ A ) u ( X \ B), (Công thức De Morgan) A \ B = A n (X\B), (A\B)\C = A\(BUC), X\(A\B) = BU(X\A) G i ả sử ( A j ) j ( B ) hừp X K h i đ ó : i e k k e K isl keK hai tập tùy ý I íì i U A J x \ n * =fì( iUB ), VksK J isl ksK B A k u A i = p | ( X \ A i ) (Công thức De Morgan m rộng) isi J i€i X \ ỉ P l A i = | J ( X \ A i ) (Công thức De Morgan m rộng) isl / isl Tích Đềcác G i ả sử, X Y tập hợp, X x Y tích Đ ề c c chúng V i u , , ụ c X V , , V j C Y ta có: ( U , x v , ) n ( U X V ) = (U, n U )X(V, n V j ) , 2 ( U , x v ) u ( U X V ) c ( U , u U )X(V, u v ) ẵ 2 2 Ánh xạ Cho ánh xạ f : X - > Y Đ ố i với A , B c X ta c ó : f ( A u B) = f ( A ) u f ( B ) , f ( A n B) c f ( A ) n f ( B ) , f ( A ) \ f(B) c f ( A \ B) Giả sử ( A i ) i e i tập tùy ý tập hừp X K h i đ ó : f(U i) = Ù < i>' i-I i1 A f A f(nA,)cfìf(Aj) L-I Đ ố i với M , N c Y ta có: f ( M u N) = r ' ( M ) u r ' ( N ) , l r ' ( M n N) = r ' ( M ) n r ' ( N ) , r ' ( M \ N) = r ' ( M ) \ r ' ( N ) , f(r'(M)) = M n f(X), G i ả sử ( M i ) , r e i tập tùy ý tập hóp Y K h i đó: ' Í U i ì = U (M ), i ì ) i ì í -Ì r ì M ; = n i ' " ( M , ) vi! J isl M r l i § Q U A N HỆ THỨ T ự Quan hệ hai < tập hợp X gừi quan hệ thứ tự điều kiện sau thỏa m ã n : a) Phản xạ: X < X , Vx e X b) Phản đ ố i xứng: Vx, y e X , X < y y < X X = y c) Bắc cầu: Vx, y, z e X , X < y y < z X < z Tập hợp X trang bị m ộ i quan hệ thứ tự < g i tập thứ tự Nếu X < y, ta nói X đứng trước y, hay X nhỏ bang y Khi X < y X + y, tã viết X < y Ta nói hai phần tử X y X so sánh X < y y < X Cho X tập thứ tự Phẩn tử a e x g i phần tử cực tiểu (lương ứng cực đại) X , Vx e X , điều kiện X < a (tương ứng a < X) kéo theo X = a Trong táp thứ tự không nhát thiết phải ln có phần tử cực tiêu (cực đ i ) , có nhiêu s A " = (a, b), đ i ế m a, b điểm biên A : b(A) = {a, b } , m i đ i ể m thuộc tập R \ fa,b] đ i ể m A : extA = R \ [a,b] Định lý2.6 Cho không gian tôpô (X, gr) a) Đ ố i với A c X ta có: X = A°Ub(A) UextA;extA = ( X \ A ) ° C c tập À", extA mở, tập b ( A ) tập đ ó n g b) Tập A tập m lớn A c) Tập A m k h i A = A° d) N ế u B c A c X B° c A°; extA c ext B e) V i m i A , B c X ta có ( A n B)° = A° n B° f) V i m i A c X ta có b ( A ) = b(X \ A ) u Chứng minh a) Hiển nhiên X = A° u b(A) u extA Ta có X € extA tồn lân cận u X cho c X \ A X đ i ể m X \ A hayxe(X\A)° V ậ y extA = ( X \ A ) ° L ấ y ý X € A°, tồn lân cận m u X cho X u c A M ặ t khác m ỏ i phần tử thuộc tập m u đ ề u nhận u làm lân cận n ê n c h ú n g đ ề u đ i ể m tập A => u c A° T đ ó ta có A° lân cận m i điểm thuộc n ó , A° tập mở Ta co extA = ( X \ A)°, nên extA tập mở Do A° u ( X \ A)° = (A° u extA) tập m nên: b(A) = X\(A°UextA) tập b) Giả sử V tập mớ A, V lân cân m i đ i ể m thuộc n ó , nghĩa Vx £ V ta có X e V c A suy Vx e V đ ề u đ i ể m A Vây V c A°, hay A° tập m lớn 64 A c) Sử dụng a), b) ta có tập A m A = A° d) G i ả sử B c A c X Vì B ° c B c A A° tập m lớn A nên B° c A° M ộ t cách tương tự ta có extA c extB e) G i ả sử A , B c X Vì A° n B° tập m A n B, theo b) ta có A° n B° c (A n B)° Ngược l i với X e (A n B ) ° , tồn t i lân cận m Ư X cho u c A n B => u c A u c B => X e A° X e B" V ậ y X e A° n B° => A° n B° = (A n B)° f) Ta có: b(A) = X \ (A° u extA) = X \ ( ( X \ A)° u ext(X \ A ) ) = b(X \ A ) • Định nghĩa 2.8 G i ả sử A tập không gian t ô p ô (X, Ợ) Giao tất tập đ ó n g chứa A g i bao đóng tập A ký hiệu à Theo định lý 2.3 bao đ ó n g tập A tập đ ó n g , tập đóng nhỏ chứa A Định lý2.7 Với A c (X, gr), ta có à = A u A = À" u b(A) d Chứng minh a) Do A c à nên A' c ( à ) Theo định lý (2.4), à tập d đóng nên chứa m i đ i ể m giới hạn Vì A c à T đ ó d suy A u A c à M ặ t k h c theo định lý (2.5), AU A d đóng chứa A , nên b) ứ tập à c A u A" V ậ y à = À u A d Trước hết ta có A° c A , mặt khác m ỗ i điểm biên A thuộc A , đ i ể m g i i hạn A nên b(A) c A V ậ y A°Ub(A)cà Ngược lại theo định X = A° u b(A) u extA, ta có X \ (A° u b(A)) = extA lý (2.6) từ tập mở, nên A° u b ( A ) tập đóng chứa A à c A" u b(A), ta có điều cần 5-TP ~ - 65 chứng minh • Ta d ễ d n g chứng minh định lý sau Định lý 2.8 Cho k h ô n g gian tôpô (X,ư) K h i đ ó khẳng định sau đ ú n g : á) 0=0 b) V i m i A c X ln có A c à c) V i m i A c X ln có A = à d) V i m i A , B c X ln c ó : A U B = à u B ; A D B c à n B e) Tập A đ ó n g k h i k h i A = à g) N ế u A c B à c B • Định nghĩa 2.9 Cho khơng gian tôpô (X, ơ), ánh xạ: ịi: X X ) - > DỌC) cho tương ứng m ỗ i tập A X với bao đóng à n ó gừi toán tử bao đ ó n g X tương thích với tơpơ "J Định lý2.9 Cho tập hợp X k h c rỗng; ký hiệu rp(X) c c tập X Á n h x k i ệ n sau: f : f p ( X ) - >