Một số khái niệm cơ bản
Phương trình đạo hàm riêng mô tả mối quan hệ giữa một hàm nhiều biến, các biến độc lập và các đạo hàm riêng của nó Trong bài viết này, chúng ta sẽ sử dụng một số kí hiệu để minh họa cho khái niệm này.
Biến độc lập, ký hiệu là x = (x₁, , xₙ) thuộc Rⁿ, có thể được biểu diễn dưới dạng (x, t) = (x₁, x₂, , xₙ, t), trong đó t là biến thời gian và x là biến không gian Trong chương trình học này, chúng ta sẽ xem xét các trường hợp với n = 1, 2, 3.
Ẩn hàm thường được ký hiệu là u(x) = u(x₁, , xₙ) Trong trường hợp hệ phương trình đạo hàm riêng, ký hiệu U(x) = (u₁(x), , uₚ(x)) ∈ Rₚ thường được sử dụng, mặc dù trong chương trình học của chúng ta, vấn đề này sẽ không được đề cập tới.
- Đạo hàm riêng: Xétα ∈ N là số tự nhiên, và bộ số (α 1 , α 2 , , α k ) sao choα = α 1 + α 2 + ã ã ã + α k Ta kớ hiệu
∂x α 1 1 ã ã ã ∂x α k k , gọi là đạo hàm riêng cấpαcủa ẩn hàmu.
Trong toán học, véc tơ đa chỉ số được biểu diễn dưới dạng α = (α₁, , αₖ), trong đó các αᵢ là các số tự nhiên từ 0 đến k Khái niệm này thường được áp dụng trong hệ phương trình đạo hàm riêng Độ lớn của véc tơ α được tính bằng công thức |α| = α₁ + α₂ + + αₖ Ngoài ra, khái niệm đạo hàm riêng cấp α cũng được sử dụng theo định nghĩa đã nêu.
Với trường hợp k = 1, ta có
, là đạo hàm riêng cấp 1 của ẩn hàmu Tùy theo các bài toán khác nhau, ta còn viếtDulà
∇ uhoặcgrad u. Để cho thuận tiện, ta sử dụng các kí hiệu sau u x = ∂u
Ta có định nghĩa sau. Định nghĩa 1.1.1 Xét tập Ω ⊂ R n , số tự nhiên m ∈ N Xét ẩn hàm u : Ω → R (1) Một
Phương trình vi phân đạo hàm riêng (gọi tắt là Phương trình đạo hàm riêng) cấp m là phương trình có dạng
F là một hàm nhiều biến, thể hiện mối liên hệ giữa ẩn hàm, các biến độc lập và các đạo hàm riêng của ẩn hàm, với cấp cao nhất là m Khi u thuộc R và biến (x, y) thuộc R², phương trình sẽ được viết dưới dạng.
Phương trình đạo hàm riêng cấp hai ∆u = u xx + u yy = 0 mô tả sự phân bố thế vị trên một đĩa hai chiều trong không gian R² Phương trình này chỉ ra rằng sau một khoảng thời gian đủ dài, phân bố vật chất trong môi trường sẽ đạt trạng thái tĩnh, tức là không còn thay đổi.
- Phương trình dịch chuyển u t + f (x, t)u x = g(x, t) là phương trình đạo hàm riêng cấp một Phương trình này mô tả hiện tượng đối lưu
(advection)một chiều, hay còn gọi là phương trình giao thông (transport equation).
Trong trường hợp hệ phương trình đạo hàm riêng, ẩn hàm u được định nghĩa là một ánh xạ từ Ω vào R^p, với p là số tự nhiên lớn hơn 1 Định nghĩa 1.1.2 về nghiệm của phương trình đạo hàm riêng cho biết rằng, xét tập mở Ω ⊂ R^n và hàm v : Ω → R có đạo hàm riêng đến cấp m, hàm v(x) được coi là nghiệm của phương trình đạo hàm riêng (1.1.1) nếu nó thỏa mãn các điều kiện nhất định.
Tiếp theo, ta đưa ra một cách phân loại các phương trình đạo hàm riêng như sau Định nghĩa 1.1.3.
Phương trình (1.1.1) được gọi là tuyến tính khi F là hàm tuyến tính đối với ẩn hàm và tất cả các đạo hàm riêng của ẩn hàm Phương trình tuyến tính cấp hai tổng quát cho hàm u = u(x, y) có dạng: a(x, y)u xx + 2b(x, y)u xy + c(x, y)u yy + d(x, y)u x + e(x, y)u y + f(x, y)u = g(x, y).
Phương trình tựa tuyến tính được định nghĩa là nửa tuyến tính (semi-linear) khi các đạo hàm riêng cấp cao nhất của ẩn hàm xuất hiện theo cách tuyến tính Một ví dụ tiêu biểu cho loại phương trình này là phương trình Korteweg.
- de Vries: u t + uu x + 6u xxx = f (x, t), là một phương trình nửa tuyến tính Một ví dụ khác là phương trình chuyển động với vế phải phi tuyến u x + u t = u 2
Phương trình (1.1.1) được gọi là á tuyến tính nếu nó tuyến tính đối với đạo hàm riêng cấp cao nhất của ẩn hàm, tức là các hệ số của đạo hàm riêng cấp cao nhất chỉ phụ thuộc vào các đạo hàm riêng của ẩn hàm có cấp thấp hơn Phương trình tựa tuyến tính cấp hai tổng quát có dạng a(x, y, u, u_x, u_y) ∂²u.
∂y 2 + d(x, y, u, u x , u y ) = 0, trong đóa, b, c, dlà các hàm phù hợp.
- Phương trình thuộc dạng còn lại được gọi là phi tuyếnhoặc hoàn toàn phi tuyến (fully non-linear).
Một cách hình tượng, ta có bao hàm thức của các loại phương trình
Tuyến tính(Nửa tuyến tính(Tựa tuyến tính(Phi tuyến
Ngoài việc phân loại phương trình theo các tiêu chí chung, phương trình có thể được phân loại dựa trên cấp độ của đạo hàm riêng, thuộc tính đặc trưng của nó, hoặc phân biệt giữa phương trình và hệ phương trình đạo hàm riêng Mặc dù các phương pháp phân loại này không mang lại điều gì mới mẻ, nhưng mỗi cách phân loại phục vụ cho những mục đích cụ thể, chẳng hạn như phân loại theo đặc trưng của phương trình.
Trong chương trình học, chúng ta sẽ tập trung vào các phương trình tuyến tính cấp hai cơ bản và các bài toán biên hoặc bài toán giá trị ban đầu tương ứng Cụ thể, chúng ta sẽ nghiên cứu các phương trình như phương trình Laplace, phương trình truyền nhiệt một chiều và phương trình truyền sóng trên dây căng thẳng Những kiến thức nâng cao và phức tạp hơn sẽ được cung cấp trong các tài liệu tham khảo ở cuối bài giảng.
Một số phương trình đạo hàm riêng tiêu biểu
Phương trình tuyến tính
Các phương trình tuyến tính được giới thiệu trong phần này là các phương trình cơ bản, có dạng đơn giản, chính tắc.
1 Phương trình Laplacedo Laplace đưa ra vào khoảng năm 1780
2 Phương trình Helmholtzđược Helmholtz nghiên cứu vào năm 1860
3 Phương trình chuyển dịch tuyến tính u t + n
4 Phương trình Liouville được nghiên cứu vào khoảng 1851 u t − n
5 Phương trình truyền nhiệtđược Fourier công bố năm 1810-1822 u t = ∆u.
6 Phương trình Schrodingermang tên nhà vật lí Schrodinger, được nghiên cứu vào năm 1926, lần đầu tiên được công bố khi ông còn là một sinh viên năm thứ ba iu t + ∆u = 0.
7 Phương trình truyền sóngđược d’Alembert đưa ra năm 1752 u tt − ∆u = 0. và dạng tổng quát của nó u tt − n
Các phương trình không tuyến tính
Các phương trình không tuyến tính có mặt trong nhiều bài toán thực tế.
1 Phương trình Poisson phi tuyến
2 Phương trình Hamilton - Jacobi u t + H(Du) = 0, trong đóDu = (u x 1 , , u x n )là đạo hàm riêng theo các biến không gian của ẩn hàm.
3 Phương trình truyền sóng phi tuyến u tt + u xx = f (x, t, u).
4 Phương trình Koteweg - de Vriesmô tả chuyển động của sóng nước trong một dòng kênh u t + uu x + 6u xxx = 0.
5 Phương trình Navier - Stokes cho dòng chất lỏng lý tưởng không nén đượcmô tả hiện tượng chuyển động rối của dòng không khí phía sau cánh máy bay, hoặc chuyển động của dòng chất lỏng lý tưởng. u t + u ã Du − ∆u = − Dp div u = 0. Đây là một bài toán vật lý-toán, có nghiệm trong thực tiễn, nhưng việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán này trong lớp hàm bình phương khả tích L 2 (Ω), cho đến nay vẫn là một bài toán mở Có thể nói cho đến giờ, mặc dù đã có những thành tựu quan trọng, nhưng người ta vẫn chưa biết được nhiều thông tin về các tính chất của phương trình này, ví dụ về tính tồn tại nghiệm, vấn đề về tính duy nhất nghiệm Có một giải thưởng của Viện Toán học Clay (Mỹ) trị giá 1 triệu USD dành cho ai giải được vấn đề liên quan đến phương trình Navier - Stokes này (tìm hiểu từ khóa "The 7 Millenium Problems" trên internet).
6 Phương trình mặt cực tiểu
Các bài toán trong phương trình đạo hàm riêng
Tương tự như phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng cũng có vô số nghiệm nếu tồn tại Để xác định một nghiệm duy nhất thỏa mãn yêu cầu ban đầu, cần thiết phải áp dụng một số điều kiện nhất định cho ẩn hàm Những điều kiện này có thể được đặt trên một phần hoặc toàn bộ biên của miền được xét (ký hiệu là ∂Ω = Γ) trong các bài toán không phụ thuộc thời gian, hoặc tại một thời điểm xác định trong quá khứ đối với các bài toán tiến hóa Bài toán xác định giá trị hoặc độ biến thiên của ẩn hàm trên biên miền sẽ được gọi là bài toán biên.
Bài toán giá trị ban đầu (initial-valued problems) là loại bài toán trong đó giá trị của ẩn hàm tại một thời điểm cụ thể cùng với đạo hàm riêng của ẩn hàm được cho trước Loại bài toán này còn được gọi là bài toán Cauchy, tương tự như phương trình vi phân thường Ngoài ra, bài toán biên-ban đầu (boundary initial-valued problems) cũng được xem xét, bao gồm cả các giá trị cho trước trên biên và giá trị của ẩn hàm tại thời điểm ban đầu, kết hợp cả hai yếu tố biên và ban đầu để giải quyết bài toán.
Phương trình cấp 1 Phương pháp đường đặc trưng
Các phương trình hệ số hằng số
Đầu tiên ta xét một ví dụ sau
Ví dụ 1.3.1 Xét ẩn hàmu = u(x, t) Tìm nghiệm của phương trình u x + u t = 0 (1.3.2)
Có thể tìm ra nhiều nghiệm cụ thể cho phương trình này, chẳng hạn như u(x, t) = 0, u(x, t) = x − t, và u(x, t) = sin(x − t) Nếu đặt u(x, t) = f(x − t), với f là một hàm khả vi, thì nó sẽ trở thành một nghiệm của phương trình Do f có thể được chọn tùy ý, nên phương trình có vô số nghiệm Để xác định một nghiệm cụ thể, cần áp dụng các điều kiện cụ thể cho ẩn hàm và các đạo hàm riêng của nó Ví dụ, với điều kiện u(x, 0) = e − x², ta có thể tìm ra nghiệm duy nhất u(x, t) = e − (x − t)² Một câu hỏi được đặt ra là liệu biểu thức nghiệm này có duy nhất hay không, và nghiệm tổng quát của phương trình là gì? Có nhiều phương pháp để tìm nghiệm tổng quát, với ý tưởng chính là chuyển đổi về một hệ phương trình vi phân thường tương ứng Ta thực hiện phép đổi biến α = ax + bt, β = cx + dt, trong đó a, b, c, d là các tham số được chọn thích hợp, và từ đó tính toán u x = au α + cu β, u t = bu α + du β.
Từ đó suy ra được
Chọn các giá trị a, b, c, d để một trong hai thành phần của phương trình triệt tiêu Ví dụ, nếu chọn a = 1, b = 0, c = 1, d = 0, ta có u α = 0, tức là u = C(β) Do đó, nghiệm tổng quát của phương trình trở thành u(x, t) = f(x − t).
Trong ví dụ này, chúng ta xem xét một trường hợp đặc biệt với phương trình trong hệ tọa độ R × R, cụ thể là au x + bu y = 0, với (x, y) thuộc R × R Để giải phương trình này, có nhiều phương pháp khác nhau được áp dụng.
Phương pháp hình học (Geometric method) sử dụng đạo hàm định hướng của hàm u theo vector V = (a, b) trong không gian hai chiều R × R, với đại lượng au x + bu y bằng không, cho thấy hàm u(x, y) là hằng số theo chiều vector V Vector (b, −a) vuông góc với vector V, và đường thẳng song song với vector V thỏa mãn phương trình bx − ay = const = C Nhờ đó, nghiệm của u trở thành giá trị hằng số f(C), với C ∈ R là giá trị tùy ý, dẫn đến u(x, y) = f(C) = f(bx − ay) cho mọi giá trị của (x, y).
- Phương pháp tọa độ (Coordinate method): Làm tương tự như ở ví dụ đầu tiên (1.3.2), ta xét phép đổi biến w = ax + by, z = bx − ay
Hình 1.1: Đường đặc trưng và phương pháp tọa độ
Ta có u x = u w w x + u z z x = au w + bu z u y = u w z y + u z z y = bu w − au z
Do đóau x + bu y = a(au w + bu z ) + b(bu w − au z ) = (a 2 + b 2 )u w, do a 2 + b 2 6 = 0nên ta có u w = 0 Từ đó suy ra u(x, y) = f (z) = f(bx − ay).
Nhận xét 1.3.1 Chú ý rằng có nhiều cách lựa chọn phép đổi biến, nhưng ta sẽ ưu tiên các phép đổi biến phù hợp
Phương pháp đường đặc trưng
Ta xét ví dụ mở rộng của Ví dụ (1.3.2) Xét phương trình dịch chuyển có dạng u t + bu x = 0 (1.3.6)
Để xác định nghiệm của phương trình với b là một hằng số cho trước, ta nghiên cứu chuyển động của một chất điểm trong môi trường đồng chất theo đường thẳng có phương (1, b) Khi tham số hóa đường thẳng này bằng x = x(t), ẩn hàm u(x, t) có thể được xem như hàm một biến v(t) = u(x(t), t) Từ đó, ta tính đạo hàm hàm hợp dv(t)/dt = ∂u.
Từ phương trình (1.3.6), ta tìm được (bạn đọc giải thích?) dx dt = b (1.3.7) Đồng thời, từ biểu thức của phương trình ta có hệ thức dv dt = 0.
Giải phương trình đầu tiên, ta tìm được x(t) = C + bt, từ đó xác định được họ đường cong tích phân ϕ(x, t) = x − bt Khi tích phân phương trình thứ hai, hàm ẩn m là hàm hằng dọc theo đường thẳng C = x(t) − bt, được gọi là các đường đặc trưng Nghiệm tổng quát của phương trình có dạng u(x, t) = f(x − bt), với f(z) là hàm một biến khả vi bất kỳ Việc tìm nghiệm của phương trình (1.3.6) chuyển thành giải phương trình vi phân thường (1.3.7), và đường cong tích phân tổng quát sẽ cung cấp nghiệm cho phương trình ban đầu Nếu biết trạng thái ban đầu tại thời điểm t = 0 là u(x, 0) = φ(x), ta áp dụng biểu thức nghiệm u(x, t) = φ(x − bt).
Nghiệm này là xác định và duy nhất.
Ta xét các ví dụ sau.
Ví dụ 1.3.2 Giải phương trình sau theo các cách khác nhau
Phương pháp hình học cho thấy rằng dọc theo họ đường thẳng với véc tơ chỉ phương (2, 3), nghiệm của phương trình là các hằng số Do đó, nghiệm của nó là một hàm chỉ phụ thuộc vào họ đường thẳng này Từ đó, ta suy ra nghiệm của phương trình là u0(x, y) = ϕ(2x + 3y).
- Phương pháp đổi biến.Thực hiện phép đổi biến w = 2x + 3y, z = y (Chú ý rằng ta có vô số cách đổi biến!) Khi đó ta rút ra x = w − 3z, y = z. Đặtv(w, z) = u(x, y) Thế thì ta có
(Cách đổi biến này giúp ta loại đi được một đạo hàm riêng có mặt trong phương trình). Như vậy phương trình ban đầu sẽ trở thành
Tức là hàmv sẽ KHÔNG phụ thuộc vào biếnz, do đó nó sẽ có dạng v = ϕ(w) Đổi trở lại biến ban đầu ta được u(x, y) = ϕ(2x + 3y).
Ví dụ 1.3.3 Giải bài toán Cauchy u x − u y + 2u = 0, u(x, 0) = x 2
Giải Ở đây xuất hiện hệ số tự do của phương trình, ứng với ẩn hàm u Ta thực hiện phép đổi biến thích hợp w = x + y, z = y ⇒ x = w − z, y = z.
Phương trình khi đó sẽ trở thành (đặtv(w, z) = u(x, y))
Giải phương trình vi phân này với biếnz (cố định biếnw) ta được nghiệm tổng quát v(w, z) = e 2z ϕ(w).
Thay lại biến ban đầu, ta được u(x, y) = e 2y ϕ(x + y).
Tại trạng thái cho trước(x, 0)ta cóu(x, 0) = x 2 , vì thế nghiệm cần tìm của bài toán Cauchy được xét sẽ là u(x, y) = e 2y (x + y) 2 Nghiệm này là duy nhất.
Bài toán Cauchy của phương trình không thuần nhất
Bây giờ ta xét trường hợp không thuần nhất, tức là tìm nghiệm của bài toán Cauchy
Sử dụng phương pháp đặc trưng nêu ở trên, ta dẫn tới hệ phương trình vi phân thường cho ẩn hàmv(x(t), t) dx dt = b, (1.3.9) dv dt = h(x(t), t) (1.3.9b)
Từ (1.3.9) ta tìm được phương trình đường đặc trưng làx(t) − bt = x(0), và bằng cách tích phân phương trình (1.3.9b) ta có biểu thức nghiệm củav là v(t) = v (0) +
Chú ý rằngv(0) = f (x(0)) = f (x(t) − bt), và thực hiện phép đổi biến trong tích phân ta suy ra nghiệm cần tìm của bài toán là u(x, t) = f(x − bt) +
Ta xét ví dụ sau
Ví dụ 1.3.4 Giải bài toán Cauchy u x − u y + 2u = 1, u(x, 0) = x 2
Giải Từ kết quả đã tìm được ở Ví dụ trước, nghiệm tổng quát của bài toán thuần nhất tương ứng là u(x, y) = e 2y ϕ(x + y).
Sử dụng phương pháp biến thiên hằng số giải phương trình (1.3.8) với vế phải bằng 1, ta được v(w, z) = v 0 (w, z) + v ∗ (w, z) = e 2z C(w) + 1
Thay điều kiện đầu vào nghiệm trên ta được u(x, 0) = 1
Khi phương trình đầu tiên được biểu diễn trên một đường thẳng không song song với các trục tọa độ, các đường này được gọi là điều kiện đường bên Khác với bài toán Cauchy, nghiệm của bài toán với điều kiện đường bên không luôn tồn tại và không phải lúc nào cũng duy nhất Dưới đây là một số ví dụ minh họa.
Ví dụ 1.3.5 Tìm nghiệm của bài toán Cauchy u x + 2u y − 4u = e x+y , u(x, 4x + 2) = 0.
Giải Xét phép đổi biến
Có nhiều cách để chọn z, nhưng cần lưu ý rằng vế phải phụ thuộc vào x + y Việc chọn z theo cách này sẽ giúp giải quyết bài toán một cách dễ dàng hơn Phương trình đạo hàm riêng tương ứng sẽ được xác định như sau.
3v z − 4v = e z Nghiệm của phương trình này có dạng (chi tiết xin dành cho bạn đọc,) v(w, z) = − e z + e 4z/3 C(w) ⇒ u(x, y) = − e x+y + e 4(x+y)/3 ϕ(2x − y).
Nếu viết lại4(x + y)/3 = 4x − 4(2x − y)/3thì nghiệm tương ứng của phương trình sẽ là u(x, y) = − e x+y + e 4x ϕ(2x − y).
Bây giờ ta thay giá trị của ẩn hàm utrên đường congy = 4x + 2 để tìm hàmϕ Ta được u(x, 4x + 2) = − e 5x+2 + e 4x ϕ( − 2x − 2) = 0 ⇒ ϕ( − 2x − 2) = e x+2
Vậyϕ(z) = e ( − z+2)/2, từ đó suy ra nghiệm của bài toán Cauchy là u(x, y) = − e x+y + e 4x e − 1 2 (2x − y+2) = − e x+y + e 3x+ 1 2 y+1 Điều kiện đầu của bài toán Cauchy trong ví dụ này được đặt trên một đường không phải là đường đặc trưng, dẫn đến nghiệm tìm được là duy nhất Câu hỏi đặt ra là điều gì sẽ xảy ra nếu điều kiện đầu được lấy trên một đường đặc trưng của phương trình? Chúng ta sẽ xem xét các ví dụ tiếp theo để làm rõ vấn đề này.
Ví dụ 1.3.6 Tìm nghiệm của bài toán Cauchy u x + 2u y − 4u = e x+y , u(x, 2x − 1) = 0.
Giải Nghiệm tổng quát của phương trình đã được xác định ở ví dụ trước u(x, y) = − e x+y + e 4x ϕ(2x − y).
Thay điều kiện ban đầu ta được u(x, 2x − 1) = − e 3x − 1 + e 4x ϕ(1) = 0 ⇒ ϕ(1) = e − x − 1
Rõ ràng, vế trái của phương trình là một hằng số ϕ(1), trong khi vế phải là một hàm phụ thuộc vào x, không phải là một hằng số Do đó, nghiệm của bài toán này không tồn tại.
Khi điều kiện đầu được đặt trên đường đặc trưng, bài toán có thể không có nghiệm Để đảm bảo bài toán có nghiệm, cần xem xét các yếu tố liên quan Nếu bài toán có nghiệm, cần xác định xem nghiệm đó có phải là duy nhất hay không Dưới đây là ví dụ minh họa cho vấn đề này.
Ví dụ 1.3.7 Tìm nghiệm của bài toán u x + 2u y − 4u = e x+y , u(x, 2x) = − e 3x + e 4x , Nghiệm của bài toán có là duy nhất không? Vì sao?
Giải Nghiệm tổng quát của phương trình có dạng u(x, y) = − e x+y + e 4x ϕ(2x − y).
Thay điều kiện đường bên vào ta được u(x, 2x) = − e 3x + e 4x ϕ(0) = − e 3x + e 4x
Các hàm ϕ(x) thỏa mãn phương trình ϕ(0) = 1 đều cho nghiệm của bài toán, ví dụ như φ(x) = x, φ(x) = cos x, và φ(x) = e^x Tương ứng với các hàm này, ta có các nghiệm u(x, y) như sau: u(x, y) = −e^(x+y) + e^(4x), u(x, y) = −e^(x+y) + e^(4x)cos(2x − y), và u(x, y) = −e^(x+y) + e^(4x)e^(2x − y) Những hàm số này đều là nghiệm của bài toán, cho thấy rằng nghiệm của bài toán không duy nhất.
Chúng ta thay đổi điều kiện bi bên phải của bài toán bằng hàm u(x, 2x) = φ(x) Câu hỏi đặt ra là hàm φ cần thỏa mãn điều kiện gì để bài toán này có nghiệm Để tìm hiểu, ta quay lại nghiệm tổng quát của bài toán u(x, y) = −e^(x+y) + e^(4x)ϕ(2x − y).
Khi thay vào điều kiện đường bên, ta được u(x, 2x) = − e 3x + ϕ(0)e 4x = φ(x).
Hàm φ(x) có dạng nhất định với ϕ(0) = C, một hằng số bất kỳ, là điều kiện cần thiết để bài toán có nghiệm Như đã trình bày trong ví dụ, nghiệm của bài toán không phải là duy nhất.
Phương trình tuyến tính với hệ số biến thiên
Xét phương trình cấp 1 tổng quát với nghiệmu = u(x, y)trongR 2 a(x, y)u x + b(x, y)u y + c(x, y)u = d(x, y), (1.3.10) trong đóa, b, c, d là các hàm số phụ thuộc vào(x, y)được xét trên cùng miền xác định của phương trình.
Hình 1.2: Đường đặc trưng của phương trình với hệ số biến thiên
Mọi phương trình có dạng (1.3.10) có thể được chuyển đổi thành dạng u x + pu y + qu = h (1.3.11), trong đó p, q, h là các hàm trơn thích hợp Thay vì phân tích phương trình (1.3.10), chúng ta sẽ xem xét phương trình (1.3.11) Đầu tiên, khi q = 0, nghiệm của phương trình (1.3.11) là không đổi dọc theo đường cong (ℓ) có véc tơ pháp vuông góc với véc tơ (1, p(x, y)) Điều này cho thấy nghiệm có dạng u = Φ(φ(x, y)), với { φ(x, y) = C } là phương trình của đường cong (ℓ) Việc tìm nghiệm được chuyển thành việc tìm đường cong tích phân ϕ = C Bằng cách tham số hóa đường cong (ℓ) theo dạng y = y(x) và sử dụng đạo hàm hàm ẩn, chúng ta thu được phương trình vi phân tương ứng với (1.3.11) là y' = p(x, y) (1.3.12).
Nghiệm của phương trình (1.3.12) tạo thành một họ đường cong trong mặt phẳng x0y Giải phương trình vi phân này cho phép chúng ta tìm ra tích phân tổng quát φ(x, y) = C, chính là họ đường cong mà chúng ta đang tìm kiếm Chúng ta định nghĩa φ(x, y) là đường cong đặc trưng của phương trình đạo hàm riêng (1.3.11) Do đó, nghiệm tổng quát của phương trình sẽ có dạng u(x, y) = Φ(φ(x, y)), trong đó Φ(·) là một hàm số thích hợp bất kỳ.
Ví dụ 1.3.8 Tìm nghiệm của phương trình u x + xu y = 0.
Ta có phương trình đặc trưng tương ứng là dy dx = x ⇒ y − x 2
Vậy nghiệm cần tìm sẽ là u(x, y) = f y − x 2 2
, trong đóf là hàm một biến bất kì.
Xét trường hợp phương trình hệ số biến thiên không thuần nhất u x + p(x, y)u y = h(x, y).
Sử dụng phương pháp đường đặc trưng, việc tìm các đường cong đặc trưng ϕ(x, y) = C sẽ chuyển đổi phép tham số hóa y = y(x) thành hệ hai phương trình vi phân thường, cụ thể là dy/dx = p(x, y) và du/dx = h(x, y).
Để giải phương trình đầu tiên, chúng ta tìm họ đường cong (ℓ) có dạng ϕ(x, y) = C Sau đó, thay đường cong tích phân vào phương trình thứ hai, chúng ta sẽ giải một phương trình vi phân thường với ẩn hàm (x, y(x)) := u(x, y) Nếu thành công trong việc giải phương trình này, chúng ta sẽ tìm được nghiệm cho phương trình ban đầu.
Việc giải phương trình bậc hai thường gặp khó khăn và không phải lúc nào cũng có thể thực hiện một cách rõ ràng Chỉ trong những trường hợp đơn giản, khi hàm p và hàm h được đưa ra một cách thuận lợi, chúng ta mới có thể tìm được biểu thức nghiệm tường minh của phương trình Các ví dụ dưới đây sẽ minh họa cho điều này.
Ví dụ 1.3.9 Ta xét lại ví dụ ở trên, với vế phải không thuần nhất u x + xu y = f(x, y), Nghiệm của bài toán được tìm dưới dạng u(x, y) = ϕ(y − 1
2 x 2 ) + F (x, y),trong đóF (x, y)là tích phân tương ứng vớif(x, y).
Ý nghĩa vật lí
Ta có thể mô tả phương trình dịch chuyển bằng một số mô hình vật lí sau. a) Chuyển động của dòng chất lỏng một chiều
Xét một dòng chất lỏng chảy trong ống nhỏ có tiết diện A, bị ô nhiễm với mật độ là hàm hai biến u(x, t) phụ thuộc vào vị trí x và thời gian t Tại thời điểm t, lượng chất ô nhiễm đi qua đoạn ống từ vị trí x1 đến x2 được xác định dựa trên mật độ ô nhiễm trong khoảng thời gian và không gian cụ thể.
Tương tự, biểu thức miêu tả lượng chất ô nhiễm đi qua vị tríxtrong khoảng thời gian từt 1 đếnt 2 là
Phương trình cân bằng vật chất sẽ được viết
Trong khoảng thời gian từ t1 đến t2, lượng chất ô nhiễm tại vị trí x2 được xác định bằng tổng lượng ô nhiễm tại thời điểm t1 và sự chênh lệch ô nhiễm giữa hai vị trí x1 và x2 Giả thiết rằng không có nguồn ô nhiễm mới trong ống và không có hiện tượng thẩm thấu ô nhiễm ra ngoài Biểu thức dưới dấu tích phân sẽ được tính toán với A là hàm theo x và v là hàm phụ thuộc vào (x, t) Qua các phép tính đơn giản, chúng ta có thể thu được kết quả cần thiết.
∂ t [u(x, t)Av]dx dt, tức là ta có
Vìx i,t i được chọn bất kì nên ta thu được
∂t = 0. Đây chính là phương trình dịch chuyển một chiều KhiA,v là các hằng số thì phương trình được xét sẽ trở về dạng quen thuộc
Phương trình đối lưu được mô tả bởi công thức u_t(x, t) = − κu_x(x, t) + k(x, t), với κ là tham số dương và k là hàm phụ thuộc vào (x, t) Phương trình này có ứng dụng trong việc mô phỏng sự lan truyền của AIDS, động lực dòng, cũng như chuyển động của chất lỏng và khí Giả thiết rằng gió thổi theo một hướng với tốc độ κ (m/s) theo hướng dương của trục Ox, và gió đã làm bay một khối lượng khói thải từ nhà máy tại điểm gốc O Đặt u(x, t) là mật độ chất thải (số lượng hạt trên một mét) tại thời điểm t, và giả sử các hạt chất thải lắng xuống với tốc độ tỷ lệ r với u(x, t) không đổi Khi đó, hàm số u sẽ thỏa mãn phương trình (1.3.13) với k(x, t) = − ru(x, t) Chúng ta sẽ chứng minh điều này.
(a) nghiệm tổng quát của phương trình (1.3.13) sẽ có dạng u(x, t) = e − rt f (x − κt),
Hình 1.3 minh họa sự phân bố tại thời điểm giữa hai vị trí x và x + ∆x với f là một hàm bất kỳ Việc chứng minh tính đúng của phương trình chỉ cần thay hàm vào biểu thức và kiểm tra Nếu thành công, người đọc có thể khẳng định rằng ngoài nghiệm đã tìm, phương trình không còn nghiệm nào khác.
Nếu ký hiệu M là số lượng phân tử khí thải trong không khí tại thời điểm t = 0, thì số lượng phân tử tại thời điểm t > 0 sẽ được tính bằng công thức e^(-rt) M Số phân tử này chính là tích phân của hàm mật độ trên toàn trục số từ -∞ đến ∞.
Phương trình tựa tuyến tính
Xét ẩn hàm u = u(x, t) xác định trong miềnΩ ⊂ R × R + Ta xét ví dụ một phương trình tựa tuyến tính như sau u t + uu x = 0 (1.3.14)
Phương trình có thể có dạng phức tạp như u_t + uu_x + u = 0 hoặc dạng tổng quát a(x, t, u)u_t + b(u, t, x)u_x + c(x, t, u) = 0, với a, b, c là các hàm xác định trên miền Ω Để tìm nghiệm, ta sử dụng phương pháp đường đặc trưng, xác định từ phương trình vi phân dx/dt = b(x, t, u) / a(x, t, u) Việc tìm đường cong tích phân là nghiệm tổng quát ϕ(x, t) = C của phương trình vi phân, từ đó có thể viết nghiệm thông qua phương trình vi phân thường, với phép đổi biến w = ϕ(x, t) và z = ψ(x, t), trong đó ψ(x, t) có tính chất phù hợp.
Giải phương trình này, cũng như các phương trình tương tự, thường gặp khó khăn Tuy nhiên, trong khuôn khổ bài học, chúng ta sẽ xem xét một số trường hợp đơn giản Mục tiêu là xác định họ đường cong đặc trưng của phương trình để tìm ra biểu thức nghiệm ban đầu Các phương trình tuyến tính cấp một này có ứng dụng quan trọng trong nghiên cứu các định luật bảo toàn, cho thấy rằng sự chuyển hóa trong hệ kín từ trạng thái này sang trạng thái khác duy trì tính "ổn định" của hệ.
"Hình dáng" của đường đặc trưng đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích và hiểu biết về các hiện tượng Dưới đây là một số ví dụ minh họa từ cuốn sách, từ những khái niệm đơn giản đến phức tạp hơn, giúp làm rõ vai trò của "hình dáng" trong các đường đặc trưng.
Phương trình tìm đường đặc trưng có dạng dx/dt = u, với nghiệm thỏa mãn phương trình du/dt = 0 Điều kiện ban đầu được xác định là u(x(0), 0) = 3x(0) Từ đó, ta có thể suy ra u(x, t) = C = u(x(0), 0) = 3x(0).
Thay giá trị này vào phương trình vi phân đầu tiên, ta được dx dt = 3x 0 ⇒ x = 3x 0 t + x 0 Vậy ta tìm đượcx 0 = 3t+1 x Thay vào biểu thức củauta được u(x, t) = 3x
Vì thời giant được tính từ0nên nghiệm của bài toán xác định trên toàn miền xác định của nó.
Ví dụ 1.3.11 Giải bài toán Cauchhy u t + t 2 uu x = 5, u(x, 0) = x.
Lời giải Phương trình trên được tương đương với hệ phương trình vi phân du dt = 5, u(x(0), 0) = x(0) := x 0 , dx dt = t 2 u.
Từ phương trình thứ nhất và điều kiện ban đầu, ta được u(x, t) = 5t + u(x(0), 0) = 5t + x 0. Thay giá trị này vào phương trình tìm đường đặc trưng dx dt = t 2 u(x, t) = t 2 (5t + x 0 ) ⇒ x = 5
4(t 3 + 3) vào biểu thức của u, ta được nghiệm cần tìm là u(x, t) = 5t + 3(4x − 5t 4 )
Trong hai ví dụ trên, các đường đặc trưng có thể là đường thẳng hoặc đường cong, nhưng thường là liên tục và không bị gián đoạn trong miền xác định Do đó, nghiệm nhận được sẽ là liên tục và khả vi liên tục Tuy nhiên, khi điều kiện ban đầu bị đứt gãy, như trong trường hợp các hàm bậc thang, sẽ xuất hiện những khu vực với vô số nghiệm hoặc hiện tượng sốc Dưới đây là hai ví dụ để minh họa.
Ví dụ 1.3.12 (Hiện tượng đường đặc trưng hình quạt) Xét bài toán giá trị ban đầu sau u t + uu x = 0, u(x, 0) =
Ta xét hệ phương trình vi phân tương ứng du dt = 0, dx dt = u.
Hình 1.4: Các đường đặc trưng dạng quạt (fan-like characteristics)
Phương trình thứ nhất cho nghiệm u(x, t) = const = u(x(0), 0), còn đường cong đặc trưng của phương trình này có dạng x(t) = u(x(0), 0)t + x(0) =
Khi x(0) < 0, đường đặc trưng có hệ số góc bằng 1; ngược lại, khi x(0) > 0, hệ số góc sẽ là 1/2 Tại điểm x(0) = 0, u(x(0), 0) không xác định, dẫn đến việc không có đường đặc trưng nào đi qua điểm t = 0 với x(0) = 0.
Trong khoảng t < x < 2t, giá trị x(0) = 0 và không tồn tại đường đặc trưng nào Nghiệm của phương trình trong khoảng này sẽ có dạng u = x/t Do đó, nghiệm cần tìm của phương trình sẽ là u(x, t) =.
Bài toán Sturm-Liouville
Việc xác định nghiệm tường minh cho các bài toán phương trình đạo hàm riêng thường chỉ khả thi trong những trường hợp đơn giản, liên quan đến dạng phương trình và hình dạng của miền xác định Phương pháp tách biến là một trong những kỹ thuật phổ biến được sử dụng để xây dựng nghiệm cho các bài toán này.
Phương pháp này sẽ dẫn đến việc giải phương trình vi phân cấp hai có dạng
X ′′ (x) + λX(x) = 0, cùng với các điều kiện biên tương ứng Bài toán của phương trình vi phân này được gọi là
Bài toán Sturm-Liouville Người ta chứng minh được rằng bài toán [biên] này có nghiệm
(kí hiệu làX n, được gọi là các hàm riêng), ứng với các giá trịλ n (gọi là các giá trị riêng).
Phương trình truyền nhiệt một chiều được mô tả bởi u_t = a^2 u_xx, với các điều kiện biên và điều kiện ban đầu tương ứng Mục tiêu là tìm nghiệm của bài toán dưới dạng u(x, t).
X n=1 a n X n (x)T n (t), sẽ dẫn đến hệ phương trình vi phân thường
Giả sử ta có điều kiện biên thuần nhất Khi đó, bài toán Sturm-Liouville tương ứng sẽ là
Bài toán Sturm-Liouville là một vấn đề toán học quan trọng trong khoảng (a, b), với các hàm p, q, σ là những hàm khả vi liên tục thích hợp Cụ thể, bài toán này có dạng d/dx [p(x) dX/dx].
+ q(x)X(x) + λσ(x)X(x) = 0, x ∈ (a, b), cùng với các điều kiện biên tương ứng. Định nghĩa 1.4.2 Bài toán Sturm-Liouville được gọi làchính quinếu nó có điều kiện biên dạng
Chú ý 1.4.1 Bài toán Sturm-Liouville được gọi là kì dị (không chính quy-singular) nếu một trong các điều kiện sau thoả mãn
1 Hàmp(x)triệt tiêu tại hai đầu mút.
2 Một trong các hàmp, q, σtiến ra vô cùng ở ít nhất một trong hai đầu mút.
Một số tính chất của bài toán Sturm-Liouville được thể hiện qua định lí sau. Định lý 1.4.1 Ta có các khẳng định sau
2 Tồn tại một số đếm được cỏc giỏ trị λ 1 < λ 2 < ã ã ã < λ n < ã ã ã sao cho λ 1 là nhỏ nhất và n lim →∞ λ n = + ∞
Mỗi giá trị riêng λ n tương ứng với một hàm riêng X n có n − 1 không điểm trong khoảng (a, b) Tập hợp { X n } n tạo thành một hệ cơ sở đầy đủ, cho phép mọi hàm f trơn được biểu diễn dưới dạng chuỗi Fourier tổng quát f(x) ≈.
Bài toán truyền nhiệt 1 chiều Phương trình parabolic 69 4.1 Mở đầu
Thiết lập các điều kiện Cauchy và các điều kiện biên
Giống như trong phương trình hyperbolic, các bài toán Cauchy và bài toán biên-ban đầu của phương trình parabolic được xây dựng thông qua việc thiết lập các điều kiện ban đầu và điều kiện biên Cụ thể, điều kiện Cauchy được xác định theo thời gian, trong đó ẩn hàm u(x, t) tại thời điểm t = t₀ sẽ bằng một hàm g(x) thích hợp, với x thuộc đoạn [0, l], trong đó l có thể là vô hạn Chúng ta xem xét miền đóng Ωₜ = [0, l] × [t₀, T] và miền mở Ω₀ₜ = (0, l) × (t₀, T) Một số phương pháp thiết lập điều kiện biên cho thanh được xem xét.
1 Điều kiên biên Dirichlet: tại các đầu mútx = 0vàx = lta có u(0, t) = à 0 (t), u(l, t) = à l (t), t ∈ [t 0 , T ], với à 0 , à l là cỏc hàm được cho trờn[t 0 , T ] Ở đõy T cú thể bằng vụ hạn Điều kiện biờn Dirchlet cho biết giá trị của ẩn hàm cần tìm tại biên của miềnΩ T được xét.
2 Điều kiện Neumann: tại đầu mútx = 0hoặcx = l, ta có
∂x (l, t) = ν l (t), với ν là các hàm cho trước trên[t 0 , T ] Điều kiện biên Neumann cho biết độ khuếch tán của [dòng] nhiệt độ (1) ra ngoài hệ ở hai đầu mút.
3 Ta có thể thiết lập một số điều kiện biên khác, ví dụ như điều kiện ứng với định luật Newton của hiện tượng truyền nhiệt như sau
∂x (l, t) = − λ[u(l, t) − θ(t)], trong đó θđược cho trước Tại biênx = 0ta có điều kiện tương ứng
4 Nếu giá trị củallà rất lớn và thời gian được xét[t 0 , T ]là nhỏ, ta có thể bỏ qua điều kiện biên để chỉ xét điều kiện ban đầu về thời gian Khi đó ta có điều kiện Cauchy đã nêu ở trên Bên cạnh đó, có thể xét bài toán biên-ban đầu với một đầu rất xa, tức là chỉ có điều kiện biên trên một đầu mút u(0, t) = ϕ(t).
5 Ta cũng có thể xét điều kiện phi tuyến (tuy nhiên điều này không được xét trong khuôn khổ môn học) ví dụ như điều kiện mô tả định luật Stefan-Boltzmanntrong quá trình truyền nhiệt
1 Hàm u được gọi là nghiệm của bài toán biên-ban đầu thứ nhất của phương trình parabolic nếu
(a) nó được xác định trên miền đóngΩ T ,
(b) nó thoả mãn phương trình parabolic trên miền mở Ω 0 T ,
(c) nó thoả mãn các điều kiện ban đầu và điều kiện biên Dirichlet u(x, t 0 ) = φ(x), u(0, t) = à 1 (t), u(l, t) = à 2 (t), sao cho cỏc hàmφ,à i là cỏc hàm liờn tục, thoả món φ(0) = à 1 (t 0 ), φ(l) = à 2 (t 0 ).
2 Khi thay điều kiện Dirichlet bằng điều kiện biên Neumann, ta cóbài toán biên-ban đầu thứ hai; nếu thay bằng điều kiện hỗn hợp, ứng với định luật Newton mà ta nêu ở trên, ta cóbài toán biên- ban đầu thứ ba.
Nguyên lí cực đại cực tiểu
Trong phần này, ta xét phương trình truyền nhiệt có hệ số hằng v t = a 2 v xx + βv x + γv (4.1.2)
Bằng cách đổi biến v = e àx+λt u, à = − β
4a 2 , thì phương trình (4.1.2) sẽ trở về dạng đơn giản u t = a 2 u xx (4.1.3)
Ta có nguyên lí cực đại cực tiểu như sau. Định lý 4.1.1 Giả sử u(x, t) là hàm liên tục trên miền đóng Ω T , và thoả mãn phương trình
(4.1.3) trong miền mở Ω 0 T Khi đó nghiệm u(x, t) đạt giá trị cực đại hoặc cực tiểu của nó tại t = t 0 , x = 0 hoặc x = l
Chú ý rằng bằng các phép dịch chuyển thích hợp, ta có thể coit 0 = 0.
Gọi M là giá trị cực đại của hàm u(x, t) tại t = 0 (0 ≤ x ≤ l) hoặc tại x = 0 hoặc x = l (t > 0) Giả sử hàm u(x, t) đạt giá trị cực đại tại một điểm (x₀, t₀) trong miền Ω₀ T, khi đó ta có u(x₀, t₀) = M + ǫ.
Vì hàm đạt cực đại tại(x 0 , t 0 )nên ta có u x (x 0 , t 0 ) = 0, u xx (x 0 , t 0 ) ≤ 0.
Hơn nữa, vìu(x 0 , t)đạt cực đại tạit ∈ [0, T ]nênu t (x 0 , t 0 ) ≥ 0 Thực chất, ta cóu t (x 0 , t 0 ) = 0 nếut 0 < T vàu t (x 0 , t 0 ) ≥ 0vớit 0 = T.
Bây giờ, ta đi tìm một điểm (x 1 , t 1 ) ∈ (0, l) × (0, T ] sao cho u xx (x 1 , t 1 ) ≤ 0 và u t (x 1 , t 1 ) > 0 Xét hàm v(x, t) = u(x, t) + k(t 0 − t), k ∈R
Khi chọn k > 0 và k < 2Tǫ, ta có giá trị lớn nhất của v(x, t) tại t = 0 (với x ∈ [0, l]) không vượt quá M + 2ǫ Do đó, từ các giả thiết trên, ta suy ra rằng v(x, t) ≤ M + ǫ.
2 , (4.1.4) vớit = 0hoặcx = 0 hoặcx = l Vì hàmv là liên tục trên Ω T nên tồn tại điểm(x 1 , t 1 )sao chov đạt giá trị lớn nhất, tức là v(x 1 , t 1 ) ≥ v(x 0 , t 0 ) = M + ǫ.
Từ (4.1.4) ta thấy rằng0 < x 1 < l, và0 < t 1 ≤ T Từ đây suy ra v xx (x 1 , t 1 ) = u xx (x 1 , t 1 ) ≤ 0, và v t (x 1 , t 1 ) = u t (x 1 , t 1 ) − k ≥ 0.
Bất đẳng thức cuối cùng chỉ ra rằng tại điểm (x₁, t₁), hàm số u không thoả mãn phương trình parabolic, điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng mọi điểm trong tập mở ΩT đều thỏa mãn phương trình này Để chứng minh điều kiện cực tiểu, cần lưu ý rằng hàm u₁ = -u cũng thỏa mãn phương trình parabolic, và cực đại của hàm u₁ chính là cực tiểu của hàm u.
Trong miền Ω T = R× [0, T ], nếu u(x, t) là nghiệm liên tục của phương trình (4.1.1), thì định lý cực đại cực tiểu áp dụng cho trường hợp miền vô hạn cho biết rằng M và m là cận trên và cận dưới của nghiệm u(x, t) tại thời điểm t = 0.
M = sup x ∈R u(x, 0), m = inf x ∈R u(x, 0). thì trong miền mở Ω T , ta có m ≤ u(x, t) ≤ M.
Ứng dụng của nguyên lí cực đại cực tiểu
Nguyên lý cực đại cực tiểu được ứng dụng để chứng minh tính đặt chỉnh của bài toán Cauchy và bài toán biên-ban đầu của phương trình truyền nhiệt Cụ thể, trong bài toán Cauchy, mục tiêu là tìm hàm u liên tục và giới nội khi t ≥ 0, sao cho hàm này thỏa mãn các điều kiện đã cho.
Khi đó ta có định lí Định lý 4.1.3 Nghiệm giới nội của bài toán(4.1.5)-(4.1.6)là duy nhất, phụ thuộc liên tục vào giá trị ban đầu được cho khi t = 0
Chứng minh Từ nguyên lí cực đại cực tiểu trong miền vô hạn (Định lí 4.1.2) , xét hai nghiệmu(x, t)vàv(x, t)sao cho sup x ∈R | u(x, 0) − v(x, 0) | < ε, (4.1.7) khi đó trong miềnΩ T =R× [0, T ],T < ∞, ta sẽ có
Ta có điều phải chứng minh.
Bài toán biên-ban đầu trong miền bị chặn Ω T được đặt ra nhằm tìm hàm u(x, t) liên tục, xác định trong Ω T, thỏa mãn phương trình u t = a 2 u xx + f(x, t) cho các cặp (x, t) thuộc Ω 0 T Đồng thời, hàm này cũng cần đáp ứng các điều kiện biên-ban đầu, cụ thể là u(x, 0) = ϕ(x) với x trong khoảng (0, l), và các điều kiện biên u(0, t) = à 0 (t), u(l, t) = à l (t) với t trong khoảng (0, T).
Ta có định lí Định lý 4.1.4 Nghiệm liên tục của bài toán biên-ban đầu là duy nhất.
Chứng minh rằng u1 và u2 là nghiệm của bài toán với cùng điều kiện biên-ban đầu Hàm v(x, t) = u1(x, t) − u2(x, t) thỏa mãn phương trình vt = a²vxx và các điều kiện biên-ban đầu thuần nhất Theo Nguyên lý cực đại cực tiểu, hàm v đạt giá trị cực đại tại t = 0 hoặc x = 0 hoặc x = l Tuy nhiên, tại cả ba điểm này, hàm v đều triệt tiêu, do đó suy ra v(x, t) ≡ 0 trong ΩT.
Ω T Ta có điều phải chứng minh.
Giải bài toán Cauchy bằng phương pháp tách biến
Bài toán Cauchy có thể được coi là một bài toán biên-ban đầu trong miền không giới hạn, với độ dài thanh lớn so với khoảng thời gian xét Tuy nhiên, việc xây dựng nghiệm cho bài toán Cauchy có những điểm khác biệt so với bài toán biên-ban đầu nói chung, vì vậy nó được xem như một trường hợp riêng biệt Cụ thể, bài toán Cauchy yêu cầu tìm hàm u(x, t) xác định trong miền không bị chặn R × (0, ∞) thỏa mãn các điều kiện nhất định.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét phương trình (4.2.9) với điều kiện ban đầu u(x, 0) = g(x), trong đó g là hàm liên tục và giới nội Để giải phương trình này, chúng ta áp dụng phương pháp tách biến đã được trình bày trong phần phương trình hyperbolic, nhằm tìm nghiệm riêng giới nội dưới dạng u(x, t) = X(x)T(t).
Từ đó ta có hệ phương trình vi phân thường
Vỡ nghiệm đang tỡm là giới nội nờn à > 0, (2) ta đặt à = λ 2 Thay vào hệ phương trỡnh ta được
Nghiệm của phương trình u λ (x, t) có dạng u λ (x, t) = e − a 2 λ 2 t [A(λ) cos λx + B (λ) sin λx], trong đó các hệ số A và B là các hằng số phụ thuộc vào λ Tích phân theo λ sẽ cho ra nghiệm u(x, t).
Giả sử rằng tích phân trong biểu thức hội tụ đều và có thể đạo hàm hai lần theo x và một lần theo t, hàm số này là nghiệm của phương trình (4.2.9) Để giải bài toán Cauchy (4.2.9)-(4.2.10), cần xác định các hàm A(λ) và B(λ) để thỏa mãn điều kiện ban đầu (4.2.10).
Giả sử rằng ta có thể biểu diễnu(x, 0) = g(x)dưới dạng tích phân Fourier g(x) = 1
Trong (4.2.13) chot = 0và đồng nhất với biểu diễn dưới dạng tích phân Fourier của hàmg ở trên ta tìm đượcA(λ)vàB(λ)có dạng
(2) Cú thể dễ dàng kiểm tra cỏc trường hợp à ≤ 0 để thấy rằng nghiệm sẽ tăng ra vụ cựng khi t tiến ra vụ hạn.
Thay đổi thứ tự lấy tích phân và sử dụng công thức
Công thức (4.2.15) được gọi làcông thức Poisson đối với bài toán Cauchy(4.2.9)-(4.2.10). Đặt
Khi đó công thức Poisson (4.2.15) có dạng u(x, t) =
HàmF (ξ, τ ; x, t)được gọi lànghiệm cơ bản của phương trình truyền nhiệt Chú ý rằng khi
(ξ, τ ) 6 = (x, t), đối với biến (x, t) hàm F thoả mãn phương trình (4.2.9), còn đối với biến (ξ, τ )hàmF thoả mãn phương trình liên hợp với phương trình (4.2.9)
Ta có khẳng định Định lý 4.2.1 Giả sử hàm g(x) liên tục và giới nội Khi đó bài toán Cauchy(4.2.9)-(4.2.10) có nghiệm u(x, t) được xác định bằng công thức(4.2.17).
Để chứng minh định lý này, trước tiên, cần kiểm tra rằng công thức (4.2.17) thỏa mãn phương trình (4.2.9) với t > 0 Lưu ý rằng nghiệm cơ bản (4.2.16) cũng thỏa mãn phương trình (4.2.17) Do đó, nhiệm vụ còn lại là chứng minh rằng có thể đạo hàm dưới dấu tích phân hai lần theo biến x và một lần theo biến t Điều này có nghĩa là cần chứng minh rằng tích phân thu được từ việc đạo hàm hình thức biểu thức dưới dấu tích phân theo x và t là hội tụ trong miền chữ nhật.
Trong khoảng thời gian 0 ≤ t₀ ≤ t ≤ T và với mọi giá trị dương của N, điều này cho thấy rằng hàm giới nội tồn tại Hàm x m e^(-ax²) giảm về 0 nhanh hơn mọi hàm đa thức khi x → ∞, và do đó, hàm dưới dấu tích phân không lớn hơn C/(1 + ξ²) Điều này cho phép chúng ta sử dụng tính hội tụ của tích phân từ 0 đến ∞.
Căn cứ vào tiêu chuẩn Weierstrass, tích phân \( \int_{1}^{\xi^2} d\xi \) hội tụ đều, điều này cần được chứng minh Tiếp theo, chúng ta chứng minh rằng hàm được xác định bởi công thức (4.2.17) có giới hạn nội trong miền \( t > 0 \) Điều này dễ dàng suy ra từ tính chất giới hạn của hàm.
Cuối cùng ta dễ dàng chứng minh rằng hàm cho bởi công thức (4.2.17) thoả mãn điều kiện ban đầu, tức là t lim → 0 u(x, t) = g(x) (4.2.19)
Ta có điều phải chứng minh.
Dựa vào Định lý 4.1.3 và Định lý 4.2.1, ta có thể suy ra Định lý 4.2.2 Nếu nghiệm được tìm trong lớp hàm giới nội với dữ kiện ban đầu cũng là giới nội, thì bài toán Cauchy (4.2.9)-(4.2.10) cho phương trình truyền nhiệt trong miền x ∈ R, t > 0 được xác định một cách hợp lệ.
Nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt có khả năng khả vi mọi cấp trong miền t > 0 và mọi x ∈ R, điều này không phụ thuộc vào việc hàm g có đạo hàm trên R hay không Tính chất này là điểm khác biệt giữa phương trình truyền nhiệt và phương trình truyền sóng.
Bài toán biên ban đầu thứ nhất
Trong phần này, chúng ta sẽ xây dựng nghiệm cho bài toán biên ban đầu thứ nhất với điều kiện biên Dirichlet trong miền bị chặn Ω T Việc áp dụng điều kiện biên Dirichlet chủ yếu nhằm mục đích đơn giản hóa các phép tính.
Xét bài toán biên ban đầu thứ nhất không có vế phải
Hàm ϕ(x) được giả định là liên tục và khả vi từng khúc với điều kiện ϕ(0) = ϕ(l) = 0 Để giải bài toán, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp tách biến Fourier Giả sử nghiệm giới nội của bài toán có dạng u(x, t) = X(x)T(t) Khi thay vào phương trình, chúng ta thu được kết quả cần thiết.
Từ đó suy ra một hệ phương trình vi phân thường sau
T ′ (t) + λa 2 T (t) = 0 (4.3.21) Làm tương tự bài toán hỗn hợp hyperbolic ta được λ k = k 2 π 2 l 2 k = 1, 2, 3,
Từ đó suy ra dạng nghiệm của phương trình là
, là nghiệm của phương trình Với việc khai triển hàmϕ(x)theo hệ sin kπ l x , ta tìm được hệ sốC k của biểu thức nghiệmu(x, t)từ hệ thức ϕ(x) = u(x, 0) =
Chúng ta có thể chứng minh rằng với các giả thiết của hàm ϕ, biểu thức u(x, t) là nghiệm thực sự của bài toán Để làm rõ điều này, cần chỉ ra tính hội tụ đều của chuỗi, từ đó cho phép khả vi từng phần của chuỗi theo x và t.
4.3.2 Trường hợp không thuần nhất
Xét bài toán biên ban đầu thứ nhất với vế phải khác 0
Tương tự như các lập luận của phần bài toán biên-ban đầu của phương trình hyperbolic, ta tìm nghiệm giới nội của bài toán dưới dạng u(x, t) =
Nghiệm của bài toán phụ thuộc nhiều vào loại điều kiện biên được áp dụng, ví dụ như điều kiện biên Dirichlet cho cả hai đầu mút.
Thay vào phương trình ta được
Vì sin kπ l x là hệ trực chuẩn, nên đẳng thức trên xảy ra tương đương với hệ phương trình vi phân thường
Giải phương trình trên ta được
Tức là ta có biểu thức nghiệm cần tìm sẽ là u(x, t) =
, hoặc khi thay giá trị củaf k vào, ta được u(x, t) =
G(x, ξ, t − τ)f (ξ, τ )dξdτ vớiG(x, ξ, t − τ )là hàm Green của bài toán, được cho theo công thức
4.3.3 Trường hợp tổng quát Nguyên lí Duhamel Để giải các bài toán Cauchy hoặc bài toán biên ban đầu cho các phương trình parabolic (3) , người ta đưa raNguyên lí Duhamel, mang tên nhà kỹ sư Anh những năm thế kỷ thứ XVIII như sau:Xét bài toán u t − u xx = f (x, t), 0 < x < ℓ, t > 0, (4.3.22) u(x, 0) = 0, 0 < x < ℓ, (4.3.23) u(0, t) = u(ℓ, t) = 0 (4.3.24) Đặt u(x, t) =
V (x, t; τ)dτ trong đóV (x, t; τ )là nghiệm của bài toán đã biết
Ta cũng tìm nghiệm bằng phương pháp tách biến, nhưng đặt
V (x, t; τ ) = X(x)T (t, τ) trong đóτ đóng vai trò như một tham số cố định Khi đó ta sẽ dẫn đến hệ phương trình vi phân thường đối vớiX vàT như sau:
(4.3.28) với các điều kiện biên tương ứngX(0) = X(ℓ) = 0 Làm tương tự như đã biết, ta sẽ suy ra biểu thức nghiệm của bài toán sẽ có dạng
, (4.3.29) trong đóA k (τ)sẽ được xác định từ biểu thức
(3) Nguyên lí này đã được trình bày một cách tương tự ở phần Phương trình hyperbolic Ta cũng có thể áp dụng nó cho phương trình elliptic.
Trong nhiều trường hợp, việc tìm ra biểu thức nghiệm tường minh cho mỗi bài toán là không khả thi Điều này phụ thuộc vào dạng phương trình, miền tích phân và số chiều của không gian.
Trong trường hợp vế phải và các điều kiện biên, ban đầu không triệt tiêu, chúng ta sẽ áp dụng nguyên lý chồng chất nghiệm để phân rã bài toán thành các bài toán đơn giản hơn Phương pháp này tương tự như cách chúng ta đã xử lý với các phương trình hyperbolic trước đó.
Ý nghĩa vật lí và một số gợi ý nghiên cứu
Nghiệm của bài toán Cauchy mô tả sự phân bố nhiệt độ trên một thanh dài vô hạn cách nhiệt với môi trường xung quanh, dựa trên phân bố nhiệt độ ban đầu Theo lý thuyết, chỉ sau một khoảng thời gian rất ngắn, nhiệt độ ở mọi điểm của thanh sẽ thay đổi so với trạng thái ban đầu Mặc dù điều này có vẻ không thực tế, nhưng khi xem xét tại những điểm xa gốc quan sát và trong khoảng thời gian nhỏ, nó gần như phù hợp với thực tế Do đó, công thức Poisson được xem là một biểu diễn tốt cho quy luật truyền nhiệt trên thanh.
1 Tìm hiểu về hàm Green của phương trình parabolic
2 Bài toán biên-ban đầu thứ hai, bàn toán biên-ban đầu trên nửa đường thẳng
3 Phương pháp nghiệm cơ bản (fundamental solution method)
4 Bài toán trong không gian nhiều chiều:
(a) Hiện tượng truyền nhiệt trên mặt phẳng
(b) Hiện tượng khuếch tán vật chất trong không gian Ứng dụng trong bài toán tìm nguồn khuếch tán (bài toán ngược).
Bài tập chương 4
2 Tìm nghiệm không giới nội của bài toán
3 Giải bài toán biên ban đầu