Bài giảng phương trình đạo hàm riêng

KHOA TỐN - CƠ - TIN HỌC BỘ MƠN GIẢI TÍCH ——————— Bài giảng Phương trình đạo hàm riêng (MAT 2036) Dư Đức Thắng Hà Nội, ngày 16 tháng năm 2020 Mục lục Chương Giới thiệu phương trình đạo hàm riêng Phương trình cấp 1 1.1 Một số khái niệm 1.2 Một số phương trình đạo hàm riêng tiêu biểu 1.2.1 Phương trình tuyến tính 1.2.2 Các phương trình khơng tuyến tính 1.2.3 Các tốn phương trình đạo hàm riêng 1.3 Phương trình cấp Phương pháp đường đặc trưng 1.3.1 Các phương trình hệ số số 1.3.2 Phương pháp đường đặc trưng 1.3.3 Bài tốn Cauchy phương trình không 12 1.3.4 Phương trình tuyến tính với hệ số biến thiên 15 1.3.5 Ý nghĩa vật lí 17 1.3.6 Phương trình tựa tuyến tính 19 1.4 Bài toán Sturm-Liouville 22 1.5 Tóm tắt lí thuyết Bài tập: Phương trình cấp 24 1.5.1 Tóm tắt lí thuyết 24 1.5.2 Bài tập 24 Chương Mở đầu phương trình cấp hai 29 2.1 Phân loại phương trình cấp hai 29 2.1.1 Trường hợp ẩn hàm hàm hai biến 29 2.1.2 Trường hợp nhiều hai biến số 37 2.2 Một số ví dụ cho ứng dụng thực tiễn 39 2.2.1 Phương trình dao động dây 39 2.2.2 Phương trình truyền nhiệt mơi trường đẳng hướng 41 2.2.3 Phương trình Laplace 43 2.3 Tính đặt chỉnh tốn phương trình đạo hàm riêng 44 2.3.1 Bài toán đặt chỉnh đặt khơng chỉnh Phản ví dụ Hadamard 44 2.3.2 Định lí Cauchy-Kovalevskaia 45 2.4 Bài tập: Phân loại phương trình cấp 46 i ii Chương Bài toán dây rung 51 3.1 Mở đầu 51 3.2 Đặt toán 51 3.3 Tính đặt chỉnh tốn Cauchy 54 3.3.1 Công thức d’Alembert 54 3.3.2 Xác định nghiệm phương pháp trực tiếp 55 3.3.3 Tính ổn định nghiệm 56 3.4 Bài toán dây rung nửa trục 57 3.5 Bài toán dây rung với hai đầu cố định 58 3.6 Trường hợp ngoại lực khác không 60 3.7 Giải toán biên-ban đầu với vế phải khác không 61 3.8 Ý nghĩa vật lý 63 3.9 Một số chủ đề mở rộng 64 3.9.1 Nghiệm phương trình truyền sóng chiều 64 3.9.2 Một số chủ đề liên quan tới phương trình truyền sóng 64 3.10 Bài tập chương 65 Chương Bài toán truyền nhiệt chiều Phương trình parabolic 69 4.1 Mở đầu 69 4.1.1 Thiết lập điều kiện Cauchy điều kiện biên 69 4.1.2 Nguyên lí cực đại cực tiểu 71 4.1.3 Ứng dụng nguyên lí cực đại cực tiểu 73 4.2 Giải toán Cauchy phương pháp tách biến 74 4.3 Bài toán biên ban đầu thứ 77 4.3.1 Bài toán 77 4.3.2 Trường hợp không 78 4.3.3 Trường hợp tổng quát Nguyên lí Duhamel 80 4.4 Ý nghĩa vật lí số gợi ý nghiên cứu 81 4.4.1 Ý nghĩa vật lí 81 4.4.2 Một số mở rộng 81 4.5 Bài tập chương 81 Tài liệu tham khảo 83 Chương Giới thiệu phương trình đạo hàm riêng Phương trình cấp Trong chương giới thiệu số khái niệm phương trình đạo hàm riêng, nghiệm chúng số cách phân loại phương trình Chúng ta làm quen với phương trình đạo hàm riêng cấp 1, phương pháp đường đặc trưng để tìm nghiệm tổng quát chúng trường hợp cho trước điều kiện thời điểm xác định 1.1 Một số khái niệm Phương trình đạo hàm riêng phương trình nêu lên mối quan hệ ẩn hàm hàm nhiều biến, biến độc lập (một số hữu hạn) đạo hàm riêng Ta sử dụng số kí hiệu sau: - Biến độc lập: thường kí hiệu x = (x1 , , xn ) ∈ Rn Người ta dùng biến độc lập kiểu (x, t) = (x1 , x2 , , xn , t) Khi biến t gọi biến thời gian, biến x gọi biến không gian Trong khuôn khổ chương trình học này, xét n = 1, 2, - Ẩn hàm: thường kí hiệu u(x) = u(x1 , , xn ) Trong trường hợp hệ phương trình đạo hàm riêng ta sử dụng kí hiệu U (x) = (u1 (x), , up (x)) ∈ Rp Tuy nhiên, khn khổ chương trình học, khơng đề cập tới vấn đề hệ phương trình - Đạo hàm riêng: Xét α ∈ N số tự nhiên, số (α1 , α2 , , αk ) cho α = α1 + α2 + · · · + αk Ta kí hiệu Dα u = ∂αu , ∂xα1 · · · ∂xαk k gọi đạo hàm riêng cấp α ẩn hàm u Trong trường hợp tổng quát, véc tơ α = (α1 , , αk ), αi = 0, 1, , k số tự nhiên, gọi đa số Khái niệm sử dụng cho hệ phương trình đạo hàm riêng Ta kí hiệu module α đại lượng |α| = α1 + · · · + αk Ta sử dụng khái niệm đạo hàm riêng cấp α vừa định nghĩa Chương 1: Giới thiệu chung Phương trình cấp Với trường hợp k = 1, ta có Du =  ∂u ∂u , , ∂x1 ∂xn  , đạo hàm riêng cấp ẩn hàm u Tùy theo tốn khác nhau, ta cịn viết Du ∇u grad u Để cho thuận tiện, ta sử dụng kí hiệu sau ux = ∂u ∂ 2u ∂u , uy = , uxy = , ∂x ∂y ∂x∂y Ta có định nghĩa sau Định nghĩa 1.1.1 Xét tập Ω ⊂ Rn , số tự nhiên m ∈ N Xét ẩn hàm u : Ω → R (1) Một Phương trình vi phân đạo hàm riêng (gọi tắt Phương trình đạo hàm riêng) cấp m phương trình có dạng F x, u(x), Du, D2 u, , Dm u =
(1.1.1) Ở F hàm nhiều biến thể mối liên hệ ẩn hàm, biến độc lập đạo hàm riêng ẩn hàm, có cấp cao m Trong trường hợp u ∈ R, biến (x, y) ∈ R2 , ta viết phương trình dạng F (x, y, u, Du, D2 u, , Dm u) = Ví dụ 1.1.1 - Phương trình Laplace ∆u = uxx + uyy = 0, phương trình đạo hàm riêng cấp hai Đây phương trình mơ tả phân bố vị đĩa hai chiều (trong R2 ), cho thấy thực tế thời gian đủ dài, phân bố vật chất môi trường không thay đổi (trạng thái tĩnh - stationary) - Phương trình dịch chuyển ut + f (x, t)ux = g(x, t) phương trình đạo hàm riêng cấp Phương trình mơ tả tượng đối lưu (advection) chiều, hay cịn gọi phương trình giao thơng (transport equation) (1) Trong trường hợp hệ phương trình đạo hàm riêng ẩn hàm u ánh xạ từ Ω vào Rp , với p số tự nhiên lớn Chương 1: Giới thiệu chung Phương trình cấp Định nghĩa 1.1.2 (Nghiệm phương trình đạo hàm riêng) Xét tập mở Ω ⊂ Rn hàm v : Ω → R có đạo hàm riêng đến cấp m Hàm v(x) gọi nghiệm phương trình đạo hàm riêng (1.1.1) thỏa mãn F (x, v(x), Dv(x), , Dm v(x)) = 0, với x ∈ Ω Tiếp theo, ta đưa cách phân loại phương trình đạo hàm riêng sau Định nghĩa 1.1.3 - Phương trình (1.1.1) gọi tuyến tính (linear) F hàm tuyến tính ẩn hàm tất đạo hàm riêng ẩn hàm Phương trình tuyến tính cấp hai tổng quát hàm u = u(x, y) có dạng a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + d(x, y)ux + e(x, y)uy + f (x, y)u = g(x, y) - Phương trình tựa tuyến tính gọi nửa tuyến tính (semi-linear) biểu thức chứa đạo hàm riêng cấp cao ẩn hàm tuyến tính.V Ví dụ phương trình Koteweg - de Vries: ut + uux + 6uxxx = f (x, t), phương trình nửa tuyến tính Một ví dụ khác phương trình chuyển động với vế phải phi tuyến ux + ut = u - Phương trình (1.1.1) gọi tuyến tính hay tựa tuyến tính (quasi-linear) tuyến tính đạo hàm riêng cấp cao ẩn hàm, tức hệ số đạo hàm riêng cấp cao ẩn hàm phụ thuộc vào đạo hàm riêng ẩn hàm có cấp thấp cấp phương trình Phương trình tựa tuyến tính cấp hai tổng quát có dạng a(x, y, u, ux , uy ) ∂ 2u ∂2u + 2b(x, y, u, u , u ) x y ∂x2 ∂x∂y + c(x, y, u, ux , uy ) ∂ 2u + d(x, y, u, ux , uy ) = 0, ∂y a, b, c, d hàm phù hợp - Phương trình thuộc dạng cịn lại gọi phi tuyến hoàn toàn phi tuyến (fully non-linear) Một cách hình tượng, ta có bao hàm thức loại phương trình Tuyến tính ( Nửa tuyến tính ( Tựa tuyến tính ( Phi tuyến Chương 1: Giới thiệu chung Phương trình cấp Bên cạnh việc phân loại phương trình trên, người ta cịn phân loại theo cấp đạo hàm riêng, theo thuộc tính phương trình đặc trưng ứng với nó, phân biệt phương trình hệ phương trình đạo hàm riêng Chú ý việc phân loại theo cách hay cách khác khơng đem lại điều đặc biệt Mặc dù vậy, người ta sử dụng cách phân loại vào mục đích cụ thể, ví dụ cách phân loại theo đặc trưng phương trình Trong khn khổ chương trình học, chủ yếu đề cập đến phương trình tuyến tính cấp hai toán biên tốn giá trị ban đầu tương ứng, thơng qua phương trình đại diện loại: phương trình Laplace, phương trình truyền nhiệt chiều phương trình truyền sóng dây căng thẳng Những kiến thức cao hơn, phức tạp giới thiệu tài liệu tham khảo cuối giảng 1.2 Một số phương trình đạo hàm riêng tiêu biểu Trong mục ta giới thiệu số phương trình đạo hàm riêng tiêu biểu, có ứng dụng thực tiễn ngành khoa học thực nghiệm vật lý, hố học, mơi trường, khoa học trái đất 1.2.1 Phương trình tuyến tính Các phương trình tuyến tính giới thiệu phần phương trình bản, có dạng đơn giản, tắc Phương trình Laplace Laplace đưa vào khoảng năm 1780 ∆u = n X uxi xi = 0, i=1 x ∈ Rn Phương trình Helmholtz Helmholtz nghiên cứu vào năm 1860 −∆u = λu Phương trình chuyển dịch tuyến tính ut + n X bi uxi = i=1 Phương trình Liouville nghiên cứu vào khoảng 1851 ut − n X i=1 (bi u)xi = Chương 1: Giới thiệu chung Phương trình cấp 5 Phương trình truyền nhiệt Fourier công bố năm 1810-1822 ut = ∆u Phương trình Schrodinger mang tên nhà vật lí Schrodinger, nghiên cứu vào năm 1926, lần công bố ơng cịn sinh viên năm thứ ba iut + ∆u = Phương trình truyền sóng d’Alembert đưa năm 1752 utt − ∆u = dạng tổng quát utt − n X aij uxi xj + i=1 n X bi uxi = i=1 1.2.2 Các phương trình khơng tuyến tính Các phương trình khơng tuyến tính có mặt nhiều tốn thực tế Phương trình Poisson phi tuyến ∆u = f (u), x ∈ Rn Phương trình Hamilton - Jacobi ut + H(Du) = 0, Du = (ux1 , , uxn ) đạo hàm riêng theo biến không gian ẩn hàm Phương trình truyền sóng phi tuyến utt + uxx = f (x, t, u) Phương trình Koteweg - de Vries mơ tả chuyển động sóng nước dịng kênh ut + uux + 6uxxx = Phương trình Navier - Stokes cho dịng chất lỏng lý tưởng khơng nén mơ tả tượng chuyển động rối dịng khơng khí phía sau cánh máy bay, chuyển động dòng chất lỏng lý tưởng ut + u · Du − ∆u = −Dp div u = Chương 1: Giới thiệu chung Phương trình cấp Đây tốn vật lý-tốn, có nghiệm thực tiễn, việc chứng minh tồn nghiệm toán lớp hàm bình phương khả tích L2 (Ω), tốn mở Có thể nói giờ, có thành tựu quan trọng, người ta chưa biết nhiều thơng tin tính chất phương trình này, ví dụ tính tồn nghiệm, vấn đề tính nghiệm Có giải thưởng Viện Toán học Clay (Mỹ) trị giá triệu USD dành cho giải vấn đề liên quan đến phương trình Navier - Stokes (tìm hiểu từ khóa "The Millenium Problems" internet) Phương trình mặt cực tiểu (1 + |∇u| )∆u − n X ∂u ∂u i,j=1 ∂ 2u = ∂xi ∂xj ∂xi ∂xj 1.2.3 Các tốn phương trình đạo hàm riêng Tương tự phương trình vi phân thường (Ordinary differential equation), phương trình đạo hàm riêng, có nghiệm, nói chung có vơ số nghiệm Để tìm nghiệm thoả mãn yêu cầu đặt ban đầu, người ta đưa số ràng buộc (gọi điều kiện) định ẩn hàm Điều kiện cho phần (hoặc toàn bộ) biên miền xét (mà ta hay ký hiệu ∂Ω = Γ) tốn khơng phụ thuộc thời gian, cho thời điểm xác định khứ (đối với toán tiến hóa, tức tốn phụ thuộc thời gian) Bài toán biết giá trị ẩn hàm độ biến thiên ẩn hàm biên miền xác định gọi toán biên (boundary-valued problems), toán cho trước giá trị ẩn hàm thời điểm với đạo hàm riêng ẩn hàm gọi toán giá trị ban đầu (initial-valued problems) Bài tốn giá trị ban đầu cịn gọi tên toán Cauchy, tương tự phương trình vi phân thường Đơi người ta xét toán biên-ban đầu (boundary initial-valued problems), bao gồm giá trị cho trước biên giá trị ẩn hàm thời điểm ban đầu 1.3 Phương trình cấp Phương pháp đường đặc trưng Trước bắt đầu làm việc với phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2, ta làm quen với phương trình cấp phương pháp đường đặc trưng để giải phương trình loại Phương trình cấp (trong không gian hai chiều R2 ), phương trình có dạng tổng qt a(x, y, u)ux + b(x, y, u)uy + c(x, y, u)u = d(x, y) Đôi khi, để phân biệt biến thời gian không gian, người ta xét phương trình cấp hai biến (x, t), x ∈ R mơ tả dịch chuyển khơng gian, cịn t ∈ R+ thể biến D(x, y) 6= (7) Hàm ψ chọn cho đơn giản thuận tiện việc tính hệ số sau đổi biến Chương 2: Mở đầu phương trình cấp hai 36 Tính tốn tương tự trường hợp hyperbolic ta thu hệ số a1 , b1 triệt tiêu, c1 không triệt tiêu, cho công thức c1 = a(ηx )2 + 2bηx ηy + c(ηy )2 Khi phương trình tắc phương trình (2.1.2) có dạng uηη = Φ(ξ, η, u, uη , uξ ) (2.1.15) Chú ý trường hợp b = phương trình (2.1.2) có sẵn dạng (2.1.15) Ví dụ 2.1.3 Phân loại đưa dạng tắc uxx + 4uxy + 4uyy + 5ux + uy + 12u = Ta có phương trình đường đặc trưng y ′ − 4y ′ + = có biệt thức ∆ = 0, phương trình parabolic Phương trình đặc trưng có nghiệm y ′ = 2, suy y − 2x = C Xét phép đổi biến ξ = y − 2x, ψ = y Rõ ràng ξ ψ trực giao với Theo phần lý thuyết, hệ số a1 b1 triệt tiêu, cịn c1 = Vậy ta có dạng tắc phương trình cho uηη + 5(−2uξ ) + uξ + uη + 12u = ⇐⇒ uηη − 9uξ + uη + 12u = Nhận xét 2.1.3 Ở ta xét trường hợp hệ số đạo hàm riêng cấp ẩn hàm số Trong trường hợp a, b, c hàm số (phụ thuộc x, y ) cần ý xác định miền mà phương trình thuộc loại Ví dụ phương trình Tricomi uxx + yuyy = 0, có biệt thức δ = −y Thế miền elliptic miền {x ∈ R, y > 0}, miền hyperbolic {x ∈ R, y < 0}, miền parabolic đường thẳng y = 0, tức trục hoành Trong miền, ta lại xác định phương trình tắc phương trình ban đầu, rõ ràng phương trình khác Cũng cần ý thêm hệ số khơng cịn số, đường cong đặc trưng khơng cịn họ đường thẳng, đạo hàm cấp hai phép đổi biến (x, y) → (ξ, η) không bị triệt tiêu Trong thực hành, người học cần ý thành phần để biểu thức phương trình tắc đầy đủ Chương 2: Mở đầu phương trình cấp hai 37 2.1.2 Trường hợp nhiều hai biến số Ta xét ký hiệu toán tử vi phân đạo hàm riêng cấp hai tuyến tính L[u] = n X aij (x) i,j=1 ∂ 2u , ∂xi ∂xj (2.1.16) giả thiết aij (x), i, j = , n, hàm khả vi liên tục đến cấp hai theo biến x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Ω ⊂ Rn , aij = aji Bài toán đặt phân loại đưa phương trình đạo hàm riêng có dạng L[u] + F (x, u, Du) = 0, (2.1.17) dạng tắc (ở F hàm cho trước thích hợp) Ta xét dạng song tuyến tính ứng với toán tử L[u] ω(ξi , ξj ) = n X aij (x)ξi ξj (2.1.18) i,j=1 Sử dụng kết đại số tuyến tính, ta xét ma trận A(x) = (aij (x))i,j=1,n ∈ Rn×n Ở đây, ma trận A đối xứng giả thiết aij = aji Xét điểm x0 = (x01 , , x0n ) cố định Để phân loại phương trình, xét phương trình đặc trưng det(A(x0 ) − λE) = 0, (2.1.19) E ma trận đơn vị, λ đại lượng vơ hướng Ta có định nghĩa sau Định nghĩa 2.1.1 Xét điểm x0 = (x01 , , x0n ) thuộc miền xác định phương trình (2.1.17) Phương trình (2.1.17) gọi phương trình elliptic điểm x0 điểm tất n nghiệm λ phương trình đặc trưng (2.1.19) khác khơng dấu Khi dạng toàn phương tương ứng dạng xác định (dương âm) phương trình hyperbolic điểm x0 điểm tất n nghiệm λ phương trình đặc trưng (2.1.19) khác khơng, với n − nghiệm dấu phương trình parabolic điểm x0 điểm phương trình đặc trưng tương ứng λ có nghiệm khơng, n − nghiệm cịn lại (2.1.19) khác khơng dấu Khi dạng tồn phương tương ứng dạng xác định (dương âm) Chương 2: Mở đầu phương trình cấp hai 38 Có cách xây dựng dạng tắc tương tự trường hợp hàm hai biến sau Xét phương trình tuyến tính cấp hai nhiều biến dạng tổng quát n X aij uxi xj + i,j=1 n X bi uxi + cu + f = i=1 Xét phép đổi biến x 7→ ξ , hay cụ thể ξk = ξk (x1 , , xn ), k = 1, 2, , n Khi ta có biến đổi tương ứng ux i = ux i x j = n X uξk αik k=1 n X n X uξk ξl αik αjl + k=1 l=1 với αjk = ∂ξk ∂xj n X uξk (ξk )xi xj , k=1 Khi phương trình ban đầu trở thành n X akl uξk uξl + n X bk uξk + cu + f = 0, k=1 k,l=1 akl = bk = n X aij αik αjl , i,j=1 n X bi αik + n X aij (ξk )xi xj i,j=1 i=1 Ta xét dạng song tuyến tính điểm x0 n X a0ij yi yj , i,j=1 Nếu xét phép biến đổi tuyến tính khơng suy biến yi = dạng song tuyến tính n P k=1 n X αi ηk , tức det(αik ) 6= 0, ta a ¯0kl ηk ηl , k,l=1 Sử dụng kết đại số tuyến tính, ta thấy số hệ số đường chéo aii khác khơng dạng song tuyến tính hạng ma trận (a0ij ), số hệ số âm không đổi, đồng thời ta có |¯ a0ii | = 0, a ¯0ij = 0, i 6= j Chương 2: Mở đầu phương trình cấp hai 39 Ta gọi dạng song tuyến tính dạng tắc (8) Dạng tắc tương ứng n X ux x − i=1 n X uxi xi + Φ = 0, dạng elliptic, uxi xi + Φ = 0, dạng hyperbolic, i=2 n−m X (±uxi xi ) + Φ = 0, m > dạng parabolic i=1 2.2 Một số ví dụ cho ứng dụng thực tiễn Mục dành để giới thiệu tới bạn đọc số mơ hình thực tiễn dẫn đến phương trình toán giá trị ban đầu toán biên phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai bản.(9) 2.2.1 Phương trình dao động dây Xét sợi dây căng thẳng theo trục Ox Người ta tác động khiến cho sợi dây dao động Bài toán đặt nghiên cứu quy luật dao động sợi dây Ta có giả thiết: - Sợi dây mảnh khơng cưỡng lại uốn - Có lực căng T tương đối lớn so với trọng lượng dây, tức bỏ qua lượng sợi dây - Ta xét dao động ngang sợi dây, tức dao động, phần tử dây chuyển động theo phương vng góc với trục Ox, không xét dao động dây nằm ngồi mặt phẳng Oux Xét vị trí điểm M sợi dây, ký hiệu độ lệch M so với vị trí cân u, u = u(x, t), với x toạ độ M dây t thời gian Tại thời điểm t = t0 cho trước ta có u = u(x, t0 ) = f (x), tức điểm t = t0 , ta nhận hình dáng dây rung u = f (x) Giả thiết thêm độ lệch dây u(x, t) đạo hàm riêng ux nhỏ đến mức bỏ qua đại lượng (ux )2 Xét đoạn dây giới hạn hai điểm M1 , M2 với hoành độ tương ứng x1 x2 Vì ta bỏ qua đại lượng (ux )2 nên độ dài đoạn dây M1 M2 bằng: ′ l = Z x2 x1 p + (ux )2 dx ≈ x2 − x1 = l, tức độ dài đoạn M1 M2 trạng thái cân bằng, hay độ dài sợi dây khơng đổi dao động Vậy, theo định luật Hooke, lực căng sợi dây không thay đổi (8) dạng (9) Mục tắc: canonical form dành cho độc giả đọc tìm hiểu Có thể xem, ví dụ [1, 4, 7, 2] Chương 2: Mở đầu phương trình cấp hai 40 T = T0 Ta thiết lập phương trình dao động dây dựa vào nguyên lý d’Alembert (10) : "Trong chuyển động đoạn dây, tổng lực tác động vào đoạn dây, kể lực qn tính khơng; tổng hình chiếu lực trục khơng." Ta có hình chiếu lên trục u tổng lực tác dụng lên đoạn dây M1 M2 , bao gồm lực căng dây, ngoại lực tác dụng lực qn tính khơng Khi ta có lực căng dây hướng theo phương tiếp tuyến M1 M2 , T0 Như tổng hình chiếu lực căng M1 M2 lên trục u (2.2.20) Y = T0 [sin α(x2 ) − sin α(x1 )], với α(x) góc hợp với trục Ox véctơ tiếp tuyến điểm x Thay vào (2.2.20), ta ∂u tan α(x) ∂u = q ∂x
≈ sin α(x) = p ∂x + tan2 α(x) + ∂u ∂x Y = T0  ∂u ∂x  x=x2 −  ∂u ∂x  x=x1  = T0 Z x2 x1 ∂ 2u dx ∂x2 (2.2.21) Giả sử p(x, t) ngoại lực tác động vào sợi dây, song song với trục u phân phối đơn vị chiều dài Khi hình chiếu trục u ngoại lực tác động lên đoạn dây xét P = Z x2 (2.2.22) p(x, t)dx x1 Gọi tỷ trọng dài sợi dây ρ(x) ( tức mật độ phân bố vật chất theo chiều dài) Khi lực qn tính đoạn dây xét Z=− Z x2 ρ(x) x1 ∂ 2u dx ∂t2 (2.2.23) Từ (2.2.21), (2.2.22), (2.2.23), áp dụng nguyên lý d’Alembert ta  Z x2  2 T0 Y +P +Z = x1 ∂ u ∂ u − ρ(x) + p(x, t) dx ∂x ∂t (2.2.24) Chú ý x1 x2 vị trí bất kỳ, ta suy biểu thức dấu tích phân (2.2.24) phải triệt tiêu, tức ρ(x) ∂ 2u ∂ 2u = T + p(x, t) ∂t2 ∂x2 (2.2.25) Phương trình (2.2.25) gọi phương trình dao động dây Trong trường hợp dây đồng chất, ngoại lực tác động khơng, phương trình (2.2.25) trở thành r 2u ∂ T0 ∂ 2u = a2 , với a = ∂t (10) D’Alembert principle ∂x ρ(x) (2.2.26) Chương 2: Mở đầu phương trình cấp hai 41 Lẽ dĩ nhiên, phương trình (2.2.25) có vơ số nghiệm Nghiệm xác định ứng với số điều kiện cho trước đấy, tương ứng với toán biên toán giá trị ban đầu cho phương trình (2.2.25) Việc nghiên cứu tốn biên tốn giá trị ban đầu đóng vai trị quan trọng nghiên cứu phương trình vi phân đạo hàm riêng Xét không gian 2,3 chiều, ta có tốn truyền sóng tương ứng màng rung (u = u(x, y, t), ví dụ mặt trống) tốn truyền âm khơng gian (u = u(x, y, z, t), với ví dụ tượng truyền sóng ăng ten) Việc thiết lập phương trình tiến hành tương tự cách 2.2.2 Phương trình truyền nhiệt môi trường đẳng hướng Xét vật thể rắn V giới hạn mặt kín trơn S , mà nhiệt độ điểm (x, y, z) thời điểm t hàm u(x, y, z, t) Khi nhiệt độ phần vật thể khác vật thể có trao đổi nhiệt lượng từ phần nóng sang phần lạnh Xét diện tích ∆S vật thể Khi nhiệt lượng ∆Q truyền qua diện tích khoảng thời gian ∆t tỷ lệ với tích ∆S∆t với ∂u ∂n , → vectơ n vectơ pháp phần mặt ∆S hướng theo chiều truyền nhiệt, tức ∆Q = −k ∂u ∆S∆t, ∂n k gọi hệ số truyền nhiệt Vì mơi trường xét đẳng hướng nên hệ số k không phụ thuộc vào phương mảnh ∆S mà phụ thuộc vào (x, y, z) Ta thiết lập thay đổi nhiệt lượng V khoảng thời gian t1 đến t2 bất kỳ, từ thiết lập phương trình truyền nhiệt Gọi γ(x, y, z) nhiệt dung ρ(x, y, z) tỷ khối V điểm (x, y, z), phần thể tích ∆V hấp thụ nhiệt lượng ∆Q1 ∆Q1 = [u(x, y, z, t2 ) − u(x, y, z, t1 )]γ(x, y, z)ρ(x, y, z)∆V Từ suy thể tích V hấp thụ lượng nhiệt ZZZ [u(x, y, z, t2 ) − u(x, y, z, t1 )]γ(x, y, z)ρ(x, y, z)dV Q1 = V hay Q1 = Z t2 dt t1 ZZZ γρ ∂u dV ∂t (2.2.27) V Mặt khác, nhiệt lượng Q1 tổng nhiệt lượng Q2 truyền từ vào qua biên S lượng nhiệt Q3 tự sinh V nguồn nhiệt khác V Ta có Z t2 Z Z ∂u → Q2 = − dt k(x, y, z) dS, ( n pháp tuyến S ) t1 ∂n S (2.2.28) Chương 2: Mở đầu phương trình cấp hai 42 Gọi F mật độ nguồn nhiệt vật thể điểm Khi Q3 = Z t2 dt t1 ZZZ (2.2.29) F (x, y, z, t)dV V Kết hợp (2.2.27), (2.2.28), (2.2.29) hệ thức Q1 = Q2 + Q3 , ta Z t2 dt t1 ZZZ ∂u γρ dV = − ∂t V Z t2 dt t1 ZZ ∂u k(x, y, z) dS + ∂n S Z t2 dt t1 ZZZ F (x, y, z, t)dV V Áp dụng công thức Oxtrogradski, ý ~n pháp tuyến S , ta Z t2 dt t1 ZZZ   −→ ∂u γρ − div(k gradu) − F (x, y, z, t) dV = ∂t V Vì thể tích V lấy bất kỳ, ta có γρ −→ ∂u = div(k gradu) + F (x, y, z, t) ∂t (2.2.30) Phương trình gọi phương trình truyền nhiệt vật thể đẳng hướng không nhất, biểu diễn dạng phân kì (11) Trong trường hợp nhất, hệ số γ , ρ k số, phương trình truyền nhiệt trở thành ∂u = a2 ∂t  ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + + ∂x2 ∂y ∂z  + f (x, y, z, t), với a= r k , γρ f (x, y, z, t) := F (x, y, z, t) γρ Ta thường kí hiệu ∆u = ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + + ∂x2 ∂y ∂z gọi Laplacian hàm u Tương ứng với số chiều không gian hai một, ta nhận phương trình truyền nhiệt mỏng (u = u(x, y, t)) (u = u(x, t)) Tương tự phương trình truyền sóng, ta thiết lập điều kiện ban đầu điều kiện biên để xác định nghiệm phương trình truyền nhiệt, ta dẫn đến tốn giá trị biên-ban đầu phương trình truyền nhiệt tốn Cauchy phương trình truyền nhiệt (11) dạng phân kì: divergent form Chương 2: Mở đầu phương trình cấp hai 43 2.2.3 Phương trình Laplace Ta tiếp tục xét phương trình (2.2.30) Giả sử đến thời điểm đó, điều kiện biên nguồn nhiệt xét tốn truyền nhiệt khơng cịn phụ thuộc thời gian lúc nghiệm tốn truyền nhiệt trạng thái "tĩnh" (12) Khi đó, phân bố nhiệt độ miền xét "ổn định" thời gian, gọi vị nhiệt độ Ta thiết lập phương trình tượng Nhắc lại phương trình "xuất phát" từ phương trình truyền nhiệt, kết hợp với thực tế ẩn hàm không phụ thuộc vào thời gian, ta có phương trình −∆u = (2.2.31) Phương trình gọi phương trình Laplace.(13) Ở ta xét trường hợp khơng có nguồn nhiệt, tức xét vế phải khơng Trong trường hợp có nguồn nhiệt (và nguồn nhiệt khơng phụ thuộc thời gian) ta có phương trình Poisson −∆u = f (x) Cùng phương trình elliptic này, ta thiết lập toán biên, với giá trị biên ∂u cho dạng trực tiếp (u|S = ϕ(P )) gián tiếp ( ∂n |S = ϕ(P )) Bài tốn tìm phân bố nhiệt độ bên vật thể (kín, khơng có tiếp xúc với bên ngồi) biết (đo được) nhiệt độ [toàn bộ] biên gọi Bài toán Dirichlet, theo tên nhà toán học L.Dirichlet người nghiên chứng minh tính nghiệm tốn Bài tốn tìm nghiệm phương trình elliptic biết giá trị biên đạo hàm theo hướng pháp tuyến ẩn hàm gọi Bài toán Neumann Ý nghĩa vật lí điều kiện biên Neumann người ta tìm phân bố nhiệt (thế vị nhiệt) vật thể biết tốc độ phân tán nhiệt độ mơi trường ngồi điểm biên vật thể Bài tốn tìm nghiệm phương trình biết giá trị biên tổng ẩn hàm cần tìm đạo hàm theo hướng pháp tuyến ẩn hàm gọi Bài tốn hỗn hợp hay Bài tốn Robin Bên cạnh đó, ta xét toán mà điều kiện biên Neumann cho phần biên, điều kiện biên Dirichlet cho phần biên lại vật thể Việc nghiên cứu toán nêu khơng có ý nghĩa mặt định tính mà cịn có ứng dụng thực tiễn toán vật lý, hoá học, sinh thái học Có thể nêu ví dụ đơn giản mơ tả chuyển động khơng xốy chất lỏng lý tưởng (thuần nhất, (12) steady-state (13) Bài solutions toán lấy theo tên nhà toán học P-S Laplace Pháp kỉ 18-19, lần đề xuất vào năm 1780 Dạng phân kì (khi mơi trường khơng đồng chất) ∇(a∇u) = Ta sử dụng kí hiệu ∇u tương tự Du, ý ∇2 u = ∆u Chương 2: Mở đầu phương trình cấp hai 44 khơng nén được) mơi trường đồng nhất, vectơ vận tốc v chất lỏng lý tưởng −→ vectơ thế, tức tồn hàm ϕ(x, y, z) cho ~v (x, y, z) = −gradϕ Khi phương trình chuyển động liên tục cho ta div ~v = 0, hay −→ div gradϕ = 0, tức ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ + + = ∂x2 ∂y ∂z 2.3 Tính đặt chỉnh tốn phương trình đạo hàm riêng 2.3.1 Bài toán đặt chỉnh đặt khơng chỉnh Phản ví dụ Hadamard Trong toán vật lý dẫn đến toán phương trình đạo hàm riêng, vấn đề thực tiễn đặt sai số thực nghiệm, đo đạc số liệu thực tiễn ảnh hưởng đến sai số nghiệm Do việc mơ hình hóa tốn học trình vật lý cần thỏa mãn địi hỏi sau: - Nghiệm tốn phải tồn lớp hàm X - Nghiệm lớp hàm Y - Nghiệm tốn phụ thuộc liên tục vào kiện cho bải toán (điều kiện ban đầu, điều kiện cho biên, số hạng tự do, hệ số phương trình J.S.Hadamard (186-1963) đưa khái niệm tính đặt chỉnh (đặt đắn, đặt tốt – well-posed) toán phương trình vi phân đạo hàm riêng: Một tốn gọi đặt đắn thỏa mãn ba điều kiện Nếu không thỏa mãn ba điều kiện tốn gọi tốn đặt khơng chỉnh (đặt khơng đắn – ill-posed problem) Ví dụ 2.3.1 Xét tốn Cauchy cho phương trình vi phân thường y ′ = f (x, y), y(x0 ) = y0 Người ta chứng minh với f thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo y liên tục theo (x, y) miền chứa (x0 , y0 ) toán đặt đắn Chương 2: Mở đầu phương trình cấp hai 45 Xét tốn giá trị ban đầu phương trình elliptic sau: cho u = u(x, y) xác định R × R+ Bài tốn −∆u = 0, R × R+ , u(x, 0) = g(x), ∂u (x, 0) = ϕ(x) ∂y Cho g(x) = ϕ(x) = sin ax ta nhận nghiệm tốn u(x, y) = sin(ax) sinh(ay) a Rõ ràng kiện Cauchy (g, ϕ) bị chặn theo tham số a, nghiệm u bùng nổ (blow-up) a → ∞ Do nghiệm không phụ thuộc điều kiện ban đầu Thực chất, nghiệm không bị chặn theo chuẩn (ví dụ chuẩn Sobolev hay chun Hăolder) 2.3.2 nh lớ Cauchy-Kovalevskaia Trong mc ny, ta nêu điều kiện cần đủ để tồn nghiệm giải tích(14) tốn Cauchy phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai tổng quát Xét Ω ⊆ Rn miền Rn Ta xét tốn Cauchy tìm nghiệm phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai tổng quát n X i,j=1 n X ∂u ∂ 2u (x) + + a(x)u = f (x), aij (x) ∂xi ∂xj ∂xi (2.3.32) i=1 aij , , a, f hàm đủ trơn Ta nhắc lại tốn tìm nghiệm phương trình thỏa mãn điều kiện ban đầu t = t0 tốn Cauchy(15) Trong phương trình vi phân thường, ứng với trường hợp n = 2, ta có định lý Cauchy khẳng định tốn Cauchy có nghiệm giải tích lận cận t0 , hệ số số hạng tự phương trình hàm giải tích khoảng (a, b) chứa điểm t0 Một cách tự nhiên, ta tìm cách mở rộng kết cho trường hợp phương trình đạo hàm riêng Giả (14) nghiệm (15) Ở giải tích: analytical solution khái niệm Cauchy gắn với điều kiện ẩn hàm cho thời điểm cố định Một cách tổng quát, toán Cauchy cấp m toán mà "điều kiện Cauchy" (Cauchy data) ẩn hàm cho siêu mặt S ⊂ Ω ⊂ Rn cho biểu thức φ(x) = Ở φ(·) hàm có m đạo hàm riêng liên tục siêu mặt S quy, hiểu theo nghĩa Dφ 6= Điều kiện Cauchy cho S phương trình cấp m chứa đạo hàm riêng cấp thấp m, phải thoả mãn điều kiện tương thích (compatibility condition) S Chương 2: Mở đầu phương trình cấp hai 46 sử biến phương trình x = (x1 , x2 , , xn ) viết dạng x = (x′ , t), x′ = (x1 , x2 , , xn−1 ) ∈ Rn−1 , đặt t := xn , t đóng vai trị biến thời gian cịn x′ đóng vai trị biến khơng gian Bài tốn Cauchy phương trình đạo hàm riêng (2.3.32) tìm nghiệm phương trình biết mặt phẳng t = t0 lân cận x0 có điều kiện ban đầu u|t=t0 = u0 (x′ ), ∂u