1. Trang chủ
  2. » Thể loại khác

Bài tập phương trình đạo hàm riêng

8 5 0

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Tiêu đề Bài Tập Phương Trình Đạo Hàm Riêng
Trường học Trường Đại Học
Chuyên ngành Phương Trình Đạo Hàm Riêng
Thể loại Bài Tập
Định dạng
Số trang 8
Dung lượng 480,38 KB

Nội dung

Bài 6. Cho khoảng chia theo là , khoảng chia theo là . Viết chương trình Mathlab tính gần đúng và so sánh với nghiệm chính xác của các bài toán sau, trong đó đạo hàm cấp 1 theo biến thời gian được xấp xỉ bằng công thức sai phân trung tâm

Bài Cho khoảng chia theo x M 20 , khoảng chia theo t N 40 Viết chương trình Mathlab tính gần u( x ,1) so sánh với nghiệm xác tốn sau, đạo hàm cấp theo biến thời gian t xấp xỉ công thức sai phân trung tâm b) utt uxx  sin(2 x )sin(2 t ),0  x  1, t   u(0, t ) 0, t  0,  u(1, t ) 0, t  0, u( x,0) 0,0  x 1  ut ( x ,0) 0,0  x 1 f  x , t  sin(2 x )sin(2 t ) Đặt  0,1 · Cho T  Chia đoạn   thành M đoạn M  điểm chia x i  i  1 h, i 1, , M  , với h M  0,T  · Chia đoạn  thành N đoạn N  điểm chia t j  j  1 k , j 1, , N  ui , j u xi , t j  · Gọi , với k T N  giá trị gần nghiệm điểm nút  x , t  i j i 1, , M  1; j 1, , N  Từ u( x,0) 0,0  x 1 , ta có ui ,1 u( xi , t1 ) 0, i 1, , M  u(0, t ) u  1, t  0,0  t  T ,ta có Từ u1, j u(0, t j ) 0, j 2, , N  1, uM 1 , j u(1, t j ) 0, j 2, , N  Từ utt uxx  f ( xi , t j ),  x  1,  t  T để xấp xỉ đạo (x ,t ) hàm cấp theo biến x t điểm nút i j , ta dùng công thức sai phân trung tâm uxx xi , t j    utt x j , t j    u xi  , t j  2u xi , t j  u xi 1 , t j      u xi , t j    h  2u xi , t j  u xi , t j 1    k2  u i  1, j  2ui , j  ui 1, j h2  u i, j  2ui , j  ui , j 1 k2 Ta có: ui , j 1  ui  1, j      ui , j   ui 1, j  k f xi , t j , i 2, , M ; j 2, , N    (1) Với Từ  k h2 u  x ,0  0,0  x 1 , ta có ui ,1 u  xi ,0  0, i 1, , M  Từ ut  x ,0  0,0  x 1 ut  xi , t1   , ta sử dụng công thức sai phân trung tâm cho đạo hàm cấp u  xi , t2   u  xi , t0  2k Ta ui ,0 ui ,2 , i 1, , M  Từ (1), với j 1 , ta có  ui ,2  ui ,0 2k , i 1, , M  (2) ui ,2  ui  1,1      ui ,1   ui 1,1  ui ,0  k f xi , t j   (3) Thay (2) (3), ta   ui ,2  ui  1,1      ui ,1  ui 1,1  k f xi , t j , i 2, , M 2 Như ta viết lại toán dạng sai phân hữu hạn    ui , j 1  ui  1, j      ui , j   ui 1, j  ui , j  1k f xi , t j , i 2, , M ; j 2, , N  1 I   u1, j 0, j 2, , N  1 II   uM 1, j 0, j 2, , N  1 III   ui ,1   xi  , i 1, , M  1 IV   ui ,2   ui  1,1      ui ,1   ui 1,1  k f xi , t j , i 2, , M  V   2 Tìm nghiệm xác ucx (x,t)   Xét utt uxx ,0  x  1, t  0,  u  0, t  u  1, t  0 Tìm nghiệm dạng: u  x , t   X  x  T  t  0 , Ta có utt  X  x  T ''  t  uxx  X ''  x  T  t    utt uxx Thay vào , ta T ''  t  X  x   X ''  x  T  t  , X ''  x  X  x  T ''  t  T  t   Do đó, ta có X ''  x    X  x  0 T ''  t   T  t  0 u  0, t  0   u  1, t  0 Từ Ta được: X   X  1 0  X   T  t  0   X  1 T  t  0 , Xét toán  X ''  x    X  x  0   X    X  1 0 Áp dụng bảng 8.1, ta có: n n2 X n  x  sin  n x  , n 1,2,3, Tìm nghiệm tốn ban đầu dạng  u  x , t   Tn  t  sin  n x  , n 1 Ta có  ut  x , t   Tn'  t  sin  n x  n 1  utt  x , t   Tn"  t  sin  n x  n 1  uxx  x , t    n 2 2Tn  t  sin  n x  n 1 Thay vào  utt uxx  sin  2 x  sin  2 t   , ta có  T  t  sin  n x    n  T  t  sin  n x   sin  2 x  sin  2 t  n 1 " n n 1   n 1 n 1 n  Tn"  t  sin  n x    n2 2Tn  t  sin  n x  sin  2 x  sin  2 t   " n 2   T  t   n  T  t   sin  n x  sin  2 x  sin  2 t  sin f  x , t  sin  2 x  sin  2 t  Khai triển Fourier theo biến x n 1 n  sin  2 x  sin  2 t   fn  t  sin  n x  n 1 , với  f2  t  sin  2 t  , n 2   fn  t  0, n 2 u  x ,0  0  Mà ut  x ,0  0 Tn   0, n 1,2,3,  ' T  0,    Ta  n Khi đó, Với n 2 , f2  t  sin 2 t , ta giải toán T2"  t   4 2T2  t  sin 2 t  ' T2   T2   0 " Xét phương trình T2  t   4 T2  t  0 Ta có phương trình đặc trưng y  4 0  k 2 i Vậy phương trình vừa xét có nghiệm tổng quát T20  t  C1 cos  2 t   C2 sin  2 t  Với C1 , C2 số tuỳ ý Sử dụng phương pháp hệ số bất định Ta tìm nghiệm đặc biệt phương trình khơng T2'' (t )  4 2T2 (t ) sin 2 t  0,1   , ta có sin 2 t e 0t  0.cos 2 t  sin 2 t  Với với  0,  2 Nên  i 2 i , nghiệm đặc biệt phương trình có dạng T2p (t ) t  A cos(2 t )  B sin(2 t )  Tìm A B Ta có: T2p '' (t )  4 A sin(2 t )  4 B cos(2 t )  4 2t  A cos(2 t )  B sin(2 t )  p '' p '' Thay T2 (t ) T2 (t ) vào T2 (t )  4 T2 (t ) sin 2 t , ta  4 A sin(2 t )  4 B cos(2 t ) sin(2 t ) Đồng hệ số tương ứng, ta được:   A  4   B 0 t T2p (t )  cos(2 t ) 4 Suy   4 A 1    4 B 0 '' Vậy nghiệm tổng quảt phương trình T2 (t )  4 T2 (t ) sin 2 t T2 (t ) T20 (t )  T2p (t ) C1 cos(2 t )  C2 sin(2 t )  t cos(2 t ) 4 Tìm C1 , C2 Từ T2 (0) 0   ' T2 (0) 0 T2 (t )  C1 0   C2   8  t sin(2 t )  cos(2 t ) 8 4 Suy Vậy nghiệm toán ban đầu  u ( x, t )  Tn (t ) sin(n x ) n 1  t    sin(2 t )  cos(2 t )  (sin 2 x)   sin( n x) 4  8  n 1 n 2 t    sin(2 t )  cos(2 t )  (sin 2 x) 4  8  Viết chương trình Mathlab %Tạo file f.m function a=f(x,t) a=sin(2*pi*x)*sin(2*pi*t); %Tao ham p.m function a=p(t) a=0; %Tao file q.m function a=q(t) a=0; %Tao file phi6b.m function a=phi(x) a=0; %Tao file psi6b.m function a=psi(x) a=0; %Tao file ucx.m function a=ucx(x,t) a=(((1/(8*(pi^2)))*sin(2*pi*t)-(t/(4*pi))*cos(2*pi*t))*sin(2*pi*x)); %Tao file bt6b.m clc clear all M=20; N=40; h=1/M; k=1/N; c=1; lamda=(c*c*k*k)/(h*h); %Tao cac diem nut X=[0:M]*h; T=[0:N]*k; U=zeros(M+1,N+1); %Tu dieu kien bien for j=2:(N+1) U(1,j)=p(T(j)); U(M+1,j)=q(T(j)); end %Tu dieu kien dau for i=1:(M+1) U(i,1)=phi(X(i)); end for i=2:M U(i,2)=(lamda/2)*U(i-1,1)+(1-lamda)*U(i,1)+(lamda/2)*U(i+1,1)+((k^2)/ 2)*sin(2*pi*X(i))*sin(2*pi*T(1)); end %Tinh gan dung u(x,1) for j=2:(N+1) for i=2:M U(i,j+1)=(lamda)*U(i-1,j)+2*(1-lamda)*U(i,j)+(lamda)*U(i+1,j)-U(i,j- 1)+ (k^2)*sin(2*pi*X(i))*sin(2*pi*T(j)); end end %Tao ma tran tam V V=zeros(M+1,1); for i=1:(M+1) V(i)=U(i,N+1); end %Xuat cac gia tri gan dung u(x,1) V %Xuat cac gia tri cua nghiem chinh xac ucx(x,1) Ucx=zeros(M+1,1); for i=1:(M+1) Ucx(i)=ucx(X(i),1); end Ucx L=abs(V-Ucx) %Ve V, Ucx plot(X,V,'b',X,Ucx,'r'); xlabel('x');

Ngày đăng: 19/12/2023, 07:04

w