Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 27 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
27
Dung lượng
459,96 KB
Nội dung
Biên soạn: Huỳnh Quốc Hào http://sites.google.com/site/toantintrangchu/ Trang: 1 CÁC BÀI TỐN PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRONG TỐN HỌC TUỔI TRẺ GẦN ĐÂY I. NHỮNG BÀI TỐN CỦA NĂM 2009 Bài T9/375: - THTT tháng 1/2009 tr24 Cho dãy số ( ) n x (n = 0, 1, 2…) thỏa mãn 0 1 2 1 2 2 ; n n n x x x x . Tính 1 n k k x , trong đó x kí hiệu số ngun lớn nhất khơng vượt q x. Chứng minh quy nạp theo n ta thấy ngay 0 0 , n x n Nhận xét rằng: 1 1 2 1 1 3 1 1 1 1 2 2 2 ( ) n n n n n n n n x x x x và x x x x Từ đó ta có cơng thức truy hồi: 1 1 1 1 1 0 1 1 3 1 , ( ) n n n n x x n x x Do đó với mọi 1 n thì: 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 3 3 . : ( ) n n n n n n n n n x x x Suy ra x x x x x 1 1 1 1 2 3 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 3 1 3 3 3 1 3 2 : , n n n n n n n n n Bởi vậy x n Hệ quả là: 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 n k n n k n x n n n 1 : n k k Suy ra x n Bài T11/376: - THTT tháng 2/2009 tr24 Cho dãy số dương 2 ( ), n u n thỏa mãn hai điều kiện sau: 1 2 1 2 1004 2008 / , . / n n i u u u với số nguyên dương k nào đó k ii u u u Chứng minh rằng trong dãy ( n u ) có thể chọn ra k số hạng sao cho trong k số đó thì số nhỏ nhất lớn hơn một nửa số lớn nhất. Giả sử ngược lại, trong mọi nhóm k số hạng thì số nhỏ nhất khơng lớn hơn một nửa số lớn nhất. Xét các nhóm gồm k số hạng sau: 1 2 2 3 1 1 2 ( , , , ); ( , , , ); ;( , , , ) k k n k n k n u u u u u u u u u , khi đó ta có: 1 2 1 1 2 2 2 k k n k n u u u u u u 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 2008 1004 1004 1 : ( ) . : ( ) n k k n n k i i k k n k Suy ra u u u u u u u u u u suy ra u u u Biên soạn: Huỳnh Quốc Hào http://sites.google.com/site/toantintrangchu/ Trang: 2 1 2 1 1 2 1 1 1004 1004 1 1 1004 2 : : ( ) ( ) ( ) k k k Mặt khác vì u u u nên u u u k u k k k Từ (1), (2) ta thấy có mâu thuẩn. Vậy điều giả sử của ta là sai. Do đó bài tốn được chứng minh. Bài T11/377: - THTT tháng 03/2009 tr24 Cho dãy số ( ) n u được xác định như sau: 1 2 1 1 1 4 5 2 3 ; , , n n n u u u u u n Chứng minh rằng với mọi số thực 5 a , ta đều có: 0 lim n n u a 1 1 1 2 1 1 1 0 5 1 1 2 5 1 4 5 4 5 1 1 5 2 2 4 5 5 * cos . ( ) (cos( ) sin( ) ), : ( ) (cos( ) sin( ) ) ( ) (cos( ) sin( ) ) ( ) (cos .cos sin sin sin .cos cos sin ) ( ) .(c n n n n n n n n Xét mà Đặt v n n n Ta có v v và v v n n n n n n n n 1 2 1 2 2 2 2 3 1 7 1 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 os .cos sin sin sin cos cos .sin ) ( ) cos sin ( ) cos sin ( ) cos sin ( ) cos sin n n n n n n n n n n n n n n n n n v 2 3 4 2 2 1 2 2 5 5 5 5 1 1 0 * ( : cos cos ; sin sin cos ) : , lim lim (cos( ) sin( ) ) n n n n n Chú ý Do đó u v n Bởi vậy với mọi số thực a u n n a a Chú ý: Dãy số trên được tìm ra từ PT đặc trưng: 2 4 5 0 x x Bài T9/380: - THTT tháng 06/2009 tr22 Cho dãy số ( ) n x được xác định như sau: 0 1 2 0 1 2 ; sin , , , ( , ) n n x a x x x n a x Chứng minh rằng tồn tại giới hạn 1 2 lim n n x x x n và tìm giới hạn đó. Đặt 2 sin d x , khi đó rõ ràng ( ) n x là CSC với cơng sai d. Từ đó: 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) . sin : lim lim n n n n n S x x x a d a d a nd na d S a d d d x Do đó n n n Bài T6/384: - THTT tháng 10/2009 tr21 Với mỗi số tự nhiên n, gọi p(n) là ước số lẻ lớn nhất của n. Hãy tính tổng: 4012 2006 ( ) n p n Từ định nghĩa, dễ thấy: 2 2 1 2 1 ( ) ( ); ( ) p n p n p n n Biên soạn: Huỳnh Quốc Hào http://sites.google.com/site/toantintrangchu/ Trang: 3 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 3 5 7 2 1 1 3 5 7 2 1 ( ), : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). : ( ) ( ) k k k k k n k k k k k k k k Đặt S p n ta có S S p k p k p k S p k k p k Vậy S p k S k p k k Đặt u S p k Khi đó u u k Suy ra u u k k k Vậy S p k k D 4012 2 2 2006 2006 2006 2006 2006 1003 4025039: ( ) ( ) . n o đó p n S p Bài T6/385: - THTT tháng 11/2009 tr20 Cho dãy số ( ) n u được xác định như sau: 0 1 1 2 9 161 18 2 3 ; , , n n n u u và u u u n Chứng minh rằng 2 1 5 n u là số chính phương với mọi số tự nhiên n Nhận xét rằng mọi số hạng của dãy đã cho đều ngun. Với n = 0, ta có: 2 2 2 0 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 9 1 16 4 5 5 1 161 1 1 5184 72 5 5 0 1 2 18 9 9 9 9 18 18 1 , : , . , : :( ) ( ) , ( ) n n n n n n n n n n n n n n n n n u u Với n ta có Vậy BT đúng với n Xét n ta có u u u u u u u Từ đây suy ra u u u u hay u u u u u u Lần lượt thay n = 2; 3; ; n vào (1), ta được: 2 2 2 2 1 0 1 0 2 2 3 3 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 18 18 18 18 18 18 n n n n n n u u u u u u u u u u u u u u u u u u Cộng vế theo vế n - 1 đẳng thức trên, ta thu được: 2 2 2 2 1 1 1 0 1 0 2 2 2 2 1 0 1 1 1 18 18 2 9 9 161 2 18 80 1 80 ( ) ( ) ; ( ) : , n n n n n n n n n n n u u u u u u u u u u Thay u u vào được u u u u hay u Do các số hạng của dãy đều ngun nên : 2 2 1 1 1 2 2 9 4 5 9 4 5 9 20 1 5 ( ) . . , : ( ) n n n n n n n u u nên u u và vì vậy u u a a u Suy ra a đfcm Cách khác: Dùng pt đặc trưng: 2 18 1 0 của dãy sai phân để viết dãy dưới dạng tường minh: 1 1 1 9 80 9 80 2 n n n u . Từ đó suy ra: 2 1 1 1 1 9 80 9 80 5 5 n n n u Tiếp theo, sử dụng khai triển nhị thức Newton, ta thu được điều cần cm. Bài T12/386: - THTT tháng 12/2009 tr24 Cho dãy số ( ) n x , n = 1, 2, được xác định như sau: 1 2 2 1 1 1 2 ( ); ; ln , , n n n x a a x x x x n . Đặt 1 2 1 1 2 ( )ln ( ) n n k k S n k x n . Tìm lim n n S n Biên soạn: Huỳnh Quốc Hào http://sites.google.com/site/toantintrangchu/ Trang: 4 Nhận xét rằng: 2 2 1 1 2 1 0 1 ; , , ln , : lim n n x n do suy ra x Tiếp theo, ta chứng minh dãy 2 1 ( ) n x cũng có giới hạn là 1 Xét hàm số ( ) ln f x x x liên tục và đồng biến trong 0 ( ; ), 1 1 0 1 '( ) vì f x với x x * Trước hết ta chứng minh bằng pp quy nạp, dãy 2 1 ( ) n x bị chặn dưới bởi 1. Theo giả thiết thì 1 2 1 2 1 2 3 2 1 1 1 1 1 1 1 . ( ) ( ) ( ) . k k k n x a Giả sử x thì f x f nên hiển nhiên x tức dãy x bò chặn dưới bởi * Tiếp theo ta cm dãy 2 1 ( ) n x là dãy giảm. Thật vậy, do 2 1 2 1 2 3 2 1 2 1 1 0 0 ln ln n n n n n x nên x và vì vậy x x x , tức 2 1 ( ) n x là dãy giảm. Từ đó suy ra 2 1 ( ) n x có giới hạn 2 1 lim n c x Chuyển qua giới hạn dãy sinh bởi hàm ( ) ln f x x x , ta thu được: c = c - lnc 1 c Vậy dãy ( ) n x có giới hạn là 1 Theo định lý Cessaro, ta có: 1 2 2 1 3 2 1 2 4 2 1 1 3 2 3 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 ( ) ( ) lim lim ( ( )ln ( )ln ln lim lim lim n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x hay n n nx n x n x x n n S S a a hay n n Hết năm 2009 Biên soạn: Huỳnh Quốc Hào http://sites.google.com/site/toantintrangchu/ Trang: 5 II. NHỮNG BÀI TỐN CỦA NĂM 2010 Bài T11/387: - THTT tháng 01/2010 tr23 Cho dãy số ( ) n u được xác định như sau: 2 1 1 2 2 5 2 1 1 2 2 1 , ; , , , n n n n n u u u u n u u Tìm 1 2 lim( ) n u u u Trước hết ta có các nhận xét: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 0 1 2 1 2 1 2 5 3 1 3 1 1 0 2 2 1 2 1 2 1 1 2 3 1 2 5 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 3 2 2 2 * ( ) ( ) ( ) * ( ) ( ) * ( ) n n n n n n n n n n n n n n u u u u u u u u u u u u u u u u nếu u vì khi đó u u u u u u u u u u u u u u u Dùng kết quả (3), bằng tính tốn trực tiếp ta có: 6 2 3 1 2 3 4 5 1 2 , , , , , n u n và u Dùng kết quả (2), (3), chứng minh bằng quy nạp theo n = 6, 7, 8, ta nhận được: 1 2 6 , n u n Hệ quả là: 1 2 1 2 * , . : lim( ) n n u u u n n Suy ra u u u Nhận xét: Kết hợp (2), (3) với (1) ta suy ra: 1 2 3 4 5 2 1 1 2, u u u u u 2 2 2 2 2 2 2 5 4 4 2 0 0 1 2 2 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) , u u u u u u u vì u nếu u u u u u u u u 6 7 8 3 1 2 ( ) : Dùng kết quả suy ra u u u Bài T7/388: - THTT tháng 02/2010 tr21 Cho a, b là hai số thực thuộc khoảng (0;1) . Dãy số 0 1 2 ( ), , , , n u n được xác định như sau: 4 4 0 1 2 1 1 2009 0 1 2 2010 2010 ; ; , , , , n n n u a u b u u u n . chứng minh rằng dãy ( ) n u có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. Xét dãy số (v n ) được xác định như sau: 4 4 0 1 1 2009 2010 2010 min( ; ); , n n n v a b v v v n Vì a, b là hai số thực thuộc khoảng (0;1) nên 4 4 0 1 1 1 2009 0 1 0 1 1 0 1 2010 2010 , : n n n n n v và nếu v thì v v v hay v Theo ngun lý quy nạp, ta có: 0 1, n v n 4 2 4 4 4 1 1 2010 2009 2009 0 : ( ) ( ) ( ) ( )(( )( ) ) n n n n n n n n n n n n n n Do đó v v v v v v v v v v v v v v Như vậy (v n ) là dãy tăng, bị chặn trên bởi 1, nên nó có giới hạn Giả sử 0 1 lim n v c với c 4 4 4 4 1 1 2009 1 2009 2010 2010 2010 2010 : lim lim , n n n Ta có v v v suy ra c c c Biên soạn: Huỳnh Quốc Hào http://sites.google.com/site/toantintrangchu/ Trang: 6 4 24 4 4 2009 0 2009 0 : ( ) ( ) ( )(( )( ) ) Hệ thức trên có thể biến đổi thành c c c c c c c c c c Để ý rằng với 0 1 c , thừa số thứ hai âm, ta được: 1 lim n v c Trở lại dãy (u n ) ta cũng có: 4 4 0 0 1 1 2 1 1 2009 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 2010 2010 , , : n n n n n v và nếu u u và nếu u u thì u u u Theo ngun lt1 quy nạp ta được 0 1, n u n . Tiếp ptheo ta chứng minh 2 2 1 min( ; ) ( ) n n n v u u n Thật vậy, theo cách xác định v 0 , BĐT đúng với n = 0 Giả sử BĐT đúng với n 2 2 1 1 , : ; : n n n n nghóa là v u v u thì 4 4 4 4 2 2 1 2 1 4 4 4 4 2 3 2 2 2 1 1 4 4 1 2 3 1 1 2 2 2 3 1 2009 1 2009 2010 2010 2010 2010 1 2009 1 2009 2010 2010 2010 2010 1 2009 2010 2010 , : : min( ; ) n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n u u u v v v u u u v v Mà v v suy ra u v v v Ta được v u u Theo ngun lý quy nạp ta có: 2 2 1 min( ; ), n n n v u u n 2 2 1 1 1 1 1 ; lim ( ) lim n n n n n n n Như vậy v u v u và v Do đó dãy u có giới hạn và u Nhận xét: Theo đầu bài, (u n ) bị chặn nhưng khơng đơn điệu. Để cm nó có giới hạn, ta đã sử dụng ngun lý kẹp: lim n n n n Nếu a u v và v a thì u a . Đây là 1 kỹ thuật thường dùng để xét giới hạn của một dãy. Bài T11/389: - THTT tháng 03/2010 tr23 Cho dãy số dương ( ) n u . Đặt 3 3 3 3 1 1 1 1 1 2 , , n S u u u u n 1 1 1 1 1 2 3 : (( ) ) , , , n n n n n Giả sử u S u u n S Tìm lim n u Từ giả thiết ta có ngay: 3 1 0 2 3 , , , n n n S S u n ta thu được S n là một dãy tăng. Vậy nên, nếu dãy S n bị chặn trên thì S n là một dãy hội tụ và 3 1 0 lim ( ) n n n u lin S S Xét trường hợp dãy ( n S ) khơng bị chặn trên thì lim n S 1 1 1 2 3 : , , , n n n n n n Từ giả thiết ta có S u u S u u n Từ đây, ta thu được: 1 2 2 1 2 3 , , n n n S u u S u u n Do đó: 1 2 2 1 2 2 1 0 2 3 0 : , , , lim n n n n n n n u S u u S u u u suy ra u n kéo theo u S S S Vậy trong mọi trường hợp ta ln có: 0 lim n u Bài T11/390: - THTT tháng 04/2010 tr24 Biên soạn: Huỳnh Quốc Hào http://sites.google.com/site/toantintrangchu/ Trang: 7 Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0;1], có dạo hàm trên (0;1) và thỏa mãn điều kiệnf(0) = 0; f(1) = 1. CMR với 2 số thực k 1 , k 2 bất kì, ln tồn tại các số a, b phân biệt thuộc khoảng (0;1) sao cho: 1 2 1 2 / / ( ) ( ) k k k k f a f b Ta sẽ chứng minh kết quả mạnh hơn: Với các số thực dương k 1 , k 2 , , k n bất kì, ln tồn tại các số 1 2 1 1 0 1 1 / ( ) ( ) n n i n i i i i k a a a sao cho k f a Thật vậy, đặt 1 1 2 1 1 2 0 1 , , , , . m n n m i i n n n n S S S S S k m n Ta có S S S S Do đó theo một tính chất quen thuộc của hàm số liên tục (Định lí Bolzano - Cauchy): Tồn tại các số 1 2 1 0 1 1 2 1 ( ) , , , , i n i n S c c c thỏa mãn f c mọi i n S Theo định lý Lagrange tồn tại các số: 1 2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 2 2 / / / , ( ; ), , , ( ; ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( ).( ) ( ) ( ) ( ).( ), , , , n i i i n n n n i i i n i a a a a c c i n xem c c sao cho f c f f a c f f c f a c f c f c f a c c i n 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 0 1 1 / / / / / / / ( ) ; ( )( ); ( )( ), , , , : ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) n i n n i i i n n n n n i n n i i i i n i k k k Bởi vậy f a c f a c f a c c i n S S S k Suy ra f a f a f a và c c c c S f a Từ kết quả trên, ta có (1). Bài T11/391: - THTT tháng 05/2010 tr23 Cho dãy số ( ) n x , n = 0,1,2 được xác định bởi: 0 1 1 1 0 1 1 , , , n n x và x n và x là số cho trước lớn hơn 1. Tìm lim n x Nhận xét rằng với 0 1 0 1 1 2 , , , : n n x thì x và do vậy x n Xét hàm số 1 2 1 1 1 1 1 0 1 8 1 2 1 1 1 / / ( ) ( ). : ( ) ( ) , ( ) n n f x suy ra x f x ta có x f x và f x với x x x Vì f(1) > 1 và f(2) < 2 nên phương trình f(x) = x có nghiệm duy nhất trong khoảng (1;2). Gọi nghiệm đó là L. Theo định lý Lagrange thì với mọi 1 L x tồn tại c > 1 sao cho: / ( ) ( ) ( ). f x f L f c x L Biên soạn: Huỳnh Quốc Hào http://sites.google.com/site/toantintrangchu/ Trang: 8 1 1 0 1 8 1 8 1 1 8 8 : ( ) ( ) ( ) ( ) lim n n n n n n Suy ra f x f L x L và f x f L x L hay x L x L x L Từ đây suy ra x L Vậy ta cần xác định L. Giải phương trình : 3 1 1 1 25 1 2 1 3 3 27 ( ) ( ) ( )f x x x x x x Ta thu được một nghiệm trong (1;2) là 43 177 43 177 1 54 18 54 18 3 L Vậy: 43 177 43 177 1 54 18 54 18 3 lim . n x Bài T8/392: - THTT tháng 06/2010 tr22 Cho dãy số ( ) n x , n = 1,2 được xác định bởi: 2 1 1 5 2 1 , n n x và x x n . Tìm: a/ 1 1 2 lim n n n x x x x b/ 1 1 2 1 2 1 1 1 lim n n x x x x x x 1/ Chọn a là nghiệm lớn của phương trình : 2 5 21 5 1 0 1 2 x x a 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 5 1 0 5 2 2 1 1 2 , k k k k k k k Ta có a a x a khi đó x x a a a a a Giả sử x a thế thì x x a a a Theo ngun lý quy nạp ta có: 1 1 2 2 1 , . n n n x a n nguyên dương a 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 : : . : lim lim k k k k k k n n n n n n n n n n n n n Lưu ý a a a a a a a x a a x a a a a ta có a x x x a a x x x a a a a x a Do đó x x x 1 1 2 1 1 21 1 1 . n a a a a a 2/ Với 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 2 * , : . k k k k k k k k x x x x k ta có x x x x x x x x x x x x Thay k lần lượt bằng 1; 2; ; n và rút gọn, ta được: Biên soạn: Huỳnh Quốc Hào http://sites.google.com/site/toantintrangchu/ Trang: 9 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 5 1 5 21 2 2 2 : lim lim n k n n k n x x x x x x x x x x x x Do đó x x x x x x x x x * Chú ý: có thể giải phần 1 của btốn theo cách sau: Chứng minh dãy ( ) n x tăng và 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 4 21 21 lim ; lim ( ) n n n n n n x x x x x x x x x x x x Bài T11/393: - THTT tháng 07/2010 tr24 Cho dãy số ( ) n x , n = 1,2 được xác định bởi: 2 1 1ln( ) , n n x nx n . Tìm: 1 ( ) lim n n n n nx x Với mỗi * n ta đặt 2 1 1( ) ln( ) , n f x x nx x Ta có: 2 2 2 2 1 1 0 0 1 1 1 1 / / ( ) ( ) ; ( ) ; n n x x f x n n f x n x x x Do đó ( ) n f x là hàm số tăng thực sự. Chu 1y : 2 1 1 0 1 0 1 0 ( ) ; ( ) ln( ) n n f f n n suy ra có duy nhất 1 số 1 0 0 ( ) . : n n n n x thỏa f x và x Bởi vậy n 2 1 2 2 1 1 1 1 ( ) ln( ) lim lim lim . .ln( ) n x n n n n n n n n n n nx n x n x x x x 2 1 2 2 0 2 1 1 1 1 1 0 1 lim ln( ) ln( ) ( ) ( ) : ) x n n n x n n n Do x và nx x khi n vì x khi n n nx n Chú ý n khi n x x Bài T10/396: - THTT tháng 10/2010 tr24 Cho dãy số ( ) n u , n = 0, 1,2 được xác định bởi: 0 1 0 2008 0 1 2 2010 , , , n n n u u u n u a/ Chứng minh rằng dãy (u n ) có giới hạn hữu hạn và tìm: lim n n u b/ 0 1 2008 2009 . lim n n n k k T Đặt T Tính u n a/ Trước hết ta chứng minh 1, n u n bằng phương pháp quy nạp. Ta có: 0 0 1 u Giả sử: 1 1 2008 2 1 1 1 1 0 1 2010 2010 ( ) , k k k k k k k u u u k thì u u u u Theo ngun lý quy nạp tốn học ta có: 1, n u n (1) Biên soạn: Huỳnh Quốc Hào http://sites.google.com/site/toantintrangchu/ Trang: 10 * Do 1 1 1 2008 1 0 2 2010 ( )( ) , : ( ) n n n n n n n n u u u nên u u u u u Từ (1) và (2) suy ra dãy số (u n ) là dãy tăng và bị chặn trên, nên nó có giới hạn hữu hạn Giả sử: 2 2008 2009 2008 0 1 2008 2010 lim n L u L thì L L L L hoặc L L 1 1 1 . lim n n Do u nên L Vậy u 1 1 1 1 1 1 1 1 0 2008 2009 2008 2008 2008 2010 2010 1 2 1 2008 2009 2008 2009 1 2 1 2 1 2008 2009 2008 2009 2007 2008 2007 2007 2008 * ( ) / : ( ) ( ) : ( ) ( ) lim k k k k k k k n n n k k k k n n u u b Ta có u u u nên k u u n n Suy ra T u u u u Do u 0 0 0 2 1 0 2009 2007 2008 2009 2007 2009 1 1 2007 2008 2009 2007 ; : lim lim lim ( )( ) ( ) lim ( )( ) n n T n u nên n u n u u n Chú ý: 2 1 2 1 1 1 2009 2008 2009 / : : n n n Dùng CT truy hồi u cũng tìm ra kết quả. 2/ Dùng Đl Stolz bằng cách xét dãy 2009( ) . ( ) lim n n n n v với v n Dãy v tăng và v nên 1 1 1 1 1 2008 2007 lim lim lim n n n n n n n T T T v v v u (tuy nhiên phải cm đl này khi dùng) Bài T12/397: - THTT tháng 11/2010 tr24 Cho dãy số ( ) n x , n = 1,2 được xác định bởi: 2 1 1 2 8 4 2 1 2 , , n n n n x x x x x . Với mỗi số ngun dương n, đặt 2 1 1 1 4 . lim n n n i i y Tìm y x . Nhận xét: Với số thực a > 2 bất kì, ta có: 2 2 1 2 3 2 8 4 2 4 4 2 2 2 2 2 2 1 1: , ( ) a a a a a a a a a Do đó x x x Mặt khác từ CT truy hồi của dãy (x n ) ở giả thiết, ta có: 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 8 4 4 4 4 8 4 8 4 4 3 2 6 4 3 2 3 2 1 1 1 1 2 4 4 4 1 1 1 1 2 2 4 ( ) ( )( ) ( ) ( ) n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x n x x x [...]... Hào http://sites.google.com/site/toantintrangchu/ Trang: 26 MỤC LỤC CÁC BÀI TỐN PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRONG TỐN HỌC TUỔI TRẺ GẦN ĐÂY 1 I NHỮNG BÀI TỐN CỦA NĂM 2009 1 II NHỮNG BÀI TỐN CỦA NĂM 2010 5 III NHỮNG BÀI TỐN CỦA NĂM 2011 13 IV NHỮNG BÀI TỐN CỦA NĂM 2012 20 V NHỮNG BÀI TỐN CỦA NĂM 2013 26 Biên soạn: Huỳnh Quốc Hào http://sites.google.com/site/toantintrangchu/... chính phương 2 2 2 2 / Từ câu 1 / ta có : an 1 4an an 1 an (1)n 5 a2 k 1 4a2 k a2 k 1 a2 k 2 5, k Do đó (a2 k 1 ; a2 k ) là các nghiệm ngun dương của phương trình x 2 4 xy y 2 5 (1) Vì dãy (an) tăng nên các bộ (a2 k 1 ; a2 k ) , k = 1, 2, là khác nhau Do đó phương trình (1) có vơ số nghiệm ngun dương Bài T11/427: - THTT tháng 5/2013 tr23 n 1 1 1 Cho dãy hàm số... 4 Hàm số f(x) = x 1 cos x có f(0) = 0 nên x = 0 là 1 nghiệm của pt(*) Ta thấy khi x < 0 thì f(x) < 0; khi x 2 thì f ( x ) 0 Trong khoảng (0;2), hàm số f(x) liên tục có f '( x ) 1 sin x 0 với x nên f ( x ) đồng biến trong khoảng này Vậy x = 0 là nghiệm duy nhất 2 của pt(*) Biên soạn: Huỳnh Quốc Hào http://sites.google.com/site/toantintrangchu/ Trang: 26 MỤC LỤC CÁC BÀI TỐN PHƯƠNG TRÌNH... 3x Xét hàm số f ( x ) cos x trên 8 2 3 Khi đó un 1 f (un ) (n 1) hàm f ( x ) có đạo hàm trên và : (sin x sin 2 x sin 3x ) 8 5 Theo (1) thì f '( x ) 1, x (2) 16 Vậy nên hàm số g(x) = f(x) -x là hàm nghịch biến trên R vì có g '( x ) f '( x ) 1 0, x f '( x ) Để ý rằng g(o) 11 3 1 0 và g( ) ( )0 40 6 6 8 2 4 Nên phương trình g(x)... Biên soạn: Huỳnh Quốc Hào http://sites.google.com/site/toantintrangchu/ Trang: 25 V NHỮNG BÀI TỐN CỦA NĂM 2013 Bài T9/426: - THTT tháng 4/2013 tr22 Cho dãy số ngun dương (an ) với a1 1; a2 2 và an 2 4an 1 an , n 1 Chứng minh rằng: 1/ an an 2 (1)n 5 ln là một số chính phương với mọi n 1 2/ Phương trình x 2 4 xy y 2 5 có vơ số nghiệm ngun dương 2 2 2 2 1 / Ta có : an 1 an an... thể làm theo cách: phương trình giới hạn x x 2 x2 8x 4 2 x 2 4 ( x 3)( x 2) khơng có nghiệm hữu hạn x > 2 Bài T11/398: - THTT tháng 12/2010 tr23 3 2 Cho dãy số thực ( x n ) , n = 1,2 được xác định bởi: x1 a, x n 1 2 x n 5 x n 4 x n , n 1 Tìm tất cả các giá trị của a để dãy số ( x n ) có giới hạn hữu hạn Hãy tìm giới hạn của dãy trong các TH đó Xét hàm số f (t ) 2t... ai 1 1 i 1 ai 1 i 1 ai 1 1 n 1 2 2 1 lim(S1 S2 ) a1 1 2010 1005 Bài T11/410: - THTT tháng 12/2011 tr23 Cho dãy số (an ) (n 1, 2, ) được xác định như sau: a1 0; a2 38; a3 90 và an 1 19an 1 30an 2 , n 3 Chứng minh a2011 chia hết cho 2011 Xét phương trình đặc trưng của dãy: a3 19 x 30 0 ( x 2)( x 3)( x 5) 0 có 3 nghiệm pb x1 2; x... của các dãy số (an), (bn) ta có: an , bn , n 0 n 1 2 k Từ (2) ta suy ra an 0, n 0 n Từ đó suy ra 2 k (b 9) là số chính phương khi và chỉ khi: n 1 2 n là số ngun dương lẻ k 0 * Nhận xét: Bài dễ nhưng khó là nhận xét được cơng thức lùi (1) Bài T11/422: - THTT tháng 12/2012 tr24 u0 a [0; 2) Cho dãy số (un ) được xác định như sau: Tìm lim (un n ) u2 1 n un n... an 2 2 2 cos n 1 2 Bài T10/403: - THTT tháng 05/2011 tr24 Cho dãy số ( x n ) được xác định như sau: x1 5; x n 1 n ngun dương n, đặt yn i 1 1 2009 i x 7 2010 x n 3x n 16 2009 xn xn 11 , n 1, 2, Với mỗi số Tìm lim yn x m 1 3 x 16 Tính chất của hs f(x) sẽ được dùng x m x 11 x m 1 3 x 16 x m ( x 4) 7( x 4) ( x 4)( x m 7) trong bài tốn này: f ( x ) ... u13 u1 k 7 4 3; ; 1; 3; 7 4 3 6 12 3 Bài T11/406: - THTT tháng 08/2011 tr24 Vì 0 x 1 n Cho dãy số ( x n ) (n 1, 2, ) được xác định như sau: x1 0; x n1 , n 1, 2, 27 Chứng minh dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó x 1 Nhận xét rằng xn 0, n Xét hàm số f ( x ) nghịch biến trong khoảng [0; ) Khi đó: 27 * xn 1 f ( x n . http://sites.google.com/site/toantintrangchu/ Trang: 1 CÁC BÀI TỐN PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRONG TỐN HỌC TUỔI TRẺ GẦN ĐÂY I. NHỮNG BÀI TỐN CỦA NĂM 2009 Bài T9/375: - THTT tháng 1/2009 tr24 Cho dãy số (. ) ( ) '( ) , ( ) n n i đó u f u n hàm f x có đạo hàm trên và f x x x x Theo thì f x x Vậy nên hàm số g(x) = f(x) -x là hàm nghịch biến trên R vì có 1 0 '(. Vậy trong mọi trường hợp ta ln có: 0 lim n u Bài T11/390: - THTT tháng 04/2010 tr24 Biên soạn: Huỳnh Quốc Hào http://sites.google.com/site/toantintrangchu/ Trang: 7 Cho hàm số f(x)