Bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu

Luận văn : Bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu

Mục lụcMở đầuChơng I. Một số khái niệm cơ bản về giải tích lồi và bài toán qui hoạch tuyến tính.1.1 Một số khái niệm cơ bản .7 1.1.1 Tập afine . . 7 1.1.2 Tập lồi . .8 1.1.3 Tập lồi đa diện .10 1.1.4 Điểm trong và điểm trong tơng tơng đối 131.1.5 Hàm lồi 151.1.6 Tính chất cực trị .151.2 Phơng pháp đơn hình giải bài toán qui hoạch tuyến tính 161.2.1 Mô hình toán học .161.2.2 Mô tả hình học của phơng pháp đơn hình 181.2.3 Nghiệm cơ sở và phơng án cực biên 181.2.4 Thuật toán đơn hình .191.2.5 Công thức đổi cơ sở và bảng đơn hình .261.2.6 Vấn đề cơ sở cực biên và cơ sở xuất phát . .28 1.2.7 Đối ngẫu của qui hoạch tuyến tính 291.3 Kết luận .33Chơng II. Bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu.2.1 Thế nào là bài toán tối u đa mục tiêu 342.2 Mô hình toán học và cấu trúc tập nghiệm .391 2.2.1 Không gian với thứ tự từng phần .402.2.2 Nghiệm hữu hiệu, nghiệm hữu hiệu yếu .412.3 Lý do giải bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu trong không gian giá trị .422.4 Kết luận .43Chơng III. Bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu trong không gian giá trị. 3.1 Tơng đơng hữu hiệu .45 3.2 Cơ sở lý thuyết .473.2.1 Phơng pháp xấp xỉ ngoài .483.2.2 Bài toán tìm đỉnh của tập lồi đa diện .513.2.3 Phơng pháp phân hoạch đa diện thành các đơn hình 60 3.3 Thuật toán xấp xỉ ngoài .72 3.4 Kết luận 75Kết luận chung 76Phụ lục .77Tài liệu trích dẫn . 1092 Mở đầuTrong những năm gần đây, các phơng pháp tối u hoá ngày càng đợc áp dụng sâu rộng và hiệu quả vào các nghành kinh tế, kỹ thuật, công nghệ thông tin và các nghành khoa học khác. Các phơng pháp tối u là công cụ đắc lực giúp ngời làm quyết định có những giải pháp tốt nhất về định lợng và định tính. Một trong những lớp bài toán tối u đầu tiên đợc ngiên cứu trọn vẹn cả về lý thuyết lẫn thuật toán là bài toán qui hoạch tuyến tính (QHTT). Qui hoạch tuyến tính ngay từ khi ra đời (vào cuối năm 30 của thế kỷ XX) đã chiếm vị trí quan trọng trong tối u hoá. Mô hình tuyến tính là mô hình rất phổ biến trong thực tế vì sự phụ phuộc tuyến tính là sự phụ thuộc đơn giản và dễ hiểu nhất. Hơn nữa, về mặt lý thuyết chúng ta biết rằng có thể xấp xỉ với độ chính xác cao các bài toán phi tuyến bởi dãy các bài toán qui hoạch tuyến tính. Nói cách khác, các thuật toán giải QHTT là công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu giải các bài toán phức tạp hơn. Thuật toán đơn hình do Dantzig đề xuất từ 1947, đến nay vẫn là một phơng pháp đ-ợc sử dụng rộng rãi. Mặc dù về lý thuyết đây là phơng pháp có độ phức tạp mũ. Sau lớp bài toán qui hoạch tuyến tính, nhiều hớng nghiên cứu khác nhau xuất hiện nh qui hoạch lồi, qui hoạch toàn cục và lý thuyết điều khiển tối u. Bài toán qui hoạch đa mục tiêu cũng mới đợc phát triển và trở thành một chuyên ngành toán học từ những năm 1950. Giải đáp những câu hỏi đặt ra mà qui hoạch tuyến tính không giải đợc, chẳng hạn nh trong một công ty ngoài việc nâng 3 cao chất lợng sản phẩm thì công ty cũng chú trọng tới đa dạng hoá sản phẩm, già thành rẻ, doanh thu lớn, Khách hàng khi chọn mua hàng thì muốn hàng rẻ, vừa có chất lợng cao, vừa có hình thức đẹp. Tóm lại, mục đích của bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu là tối u đồng thời nhiều hàm mục tiêu độc lập với nhau trên một miền chấp nhận đợc. Do không gian giá trị của lớp bài toán này không đợc sắp thứ tự toàn phần, nên khái niệm nghiệm thông thờng không còn thích hợp. Trong qui hoạch đa mục tiêu, cùng với khái niệm thứ tự từng phần, ta sẽ sử dụng khái niệm nghiệm hữu hiệu.Một phơng án chấp nhận đợc đợc gọi là nghiệm hữu hiệu nếu không tồn tại một phơng án chấp nhận đợc khác tốt hơn nó, ít nhất là theo một mục tiêu, còn các mục tiêu khác không tồi hơn.Đầu thế kỷ XX, Pareto đã sử dụng khái niệm này khi ông nghiên cứu phúc lợi và thu nhập của dân chúng. Ông đã lập luận nh sau: "Nếu thu nhập của một nhóm dân c tăng lên, nhng thu nhập của một nhóm khác giảm xuống thì khi đó không thể so sánh "phúc lợi" của toàn xã hội. Đó là trờng hợp không so sánh đợc. Nhng có thể thấy rằng, phúc lợi xã hội sẽ tăng lên nếu thu nhập của ít nhất một nhóm ngời nào đó lớn lên, còn thu nhập của những nhóm khác không thấp xuống". Ta nhận thấy rằng, theo quan điểm của toán học, khái niệm nghiệm hữu hiệu mà chúng ta dùng trong qui hoạch đa mục tiêu phù hợp với luận đề Pareto.Khi ( )2pp hàm mục tiêu đều là hàm tuyến tính và miền ràng buộc là tập lồi đa diện khác rỗng trong nR, ta nhận đợc bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu. Cho tới nay, có rất nhiều thuật toán đa ra để xác định một phần hoặc toàn bộ tập nghiệm hữu hiệu của bài toán, chẳng hạn: phơng pháp vô hớng hoá, phơng 4 pháp tham số, phơng pháp đơn hình đa mục tiêu và các dạng cải biên, phơng pháp nón pháp tuyến .(xem [6, 7, 8-9, 12, 17, 19, 21-22, và 24-25]).Tuy nhiên, khối lợng tính toán của các thuật toán này tăng nhanh khi kích thớc của bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu (tức số ràng buộc của miền chấp nhận, số chiều của không gian quyết định và số hàm mục tiêu) tăng. Trong những năm gần đây nhiều nhà toán học đã chuyển sang nghiên cứu giải quyết bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu trong không gian giá trị. Trong báo cáo này, em sẽ trình bày thuật toán xấp xỉ ngoài giải bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu trong không gian giá trị của H.P. Benson, đó là nội dung bài báo: "Hybrid Approach for Solving Multipe-Objective Linear Programs in Outcome Space". Jota: Vol. 98, NO. 1, July, 1998.Trong báo cáo này ngoài phần mục lục, mở đầu, phụ lục và tài liệu trích dẫn còn có 3 chơng: Chơng I: Một số khái niệm cơ bản về giải tích lồi và bài toán qui hoạch tuyến tính.Chơng II: Bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu.Chơng III: Bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu trong không gian giá trị.Nội dung các chơng nh sau:Chơng I: Giới thiệu một số kiến thức cơ bản về giải tích lồi để áp dụng cho các phần sau, và phơng pháp đơn hình dùng để giải bài toán qui hoạch tuyến tính. Chơng II: Giới thiệu tổng quát về bài toán qui hoạch đa mục tiêu: mô hình toán học, khái niệm nghiệm hữu hiệu và hữu hiệu yếu, lý do giải bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu trong không gian giá trị. 5 Chơng III: Giới thiệu thuật toán xấp xỉ ngoài giải bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu trong không gian giá trị. 6 Chơng IMột số khái niệm cơ bản về giải tích lồi và bài toán qui hoạch tuyến tính.Bài toán qui hoạch tuyến tính có vai trò trợ giúp quan trọng trong các bớc giải bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu. Trong chơng này, trớc hết em xin nhắc lại một số khái niệm cơ bản sẽ cần dùng đến trong các phần sau. Phần tiếp của chơng dành để trình bày phơng pháp đơn hình giải bài toán qui hoạch tuyến tính. 1.1. Một số khái niệm cơ bản 1.1.1-Tập affine* Đờng thẳng đi qua 2 điểm nRb,a là tập hợp tất cả các điểm x trong Rn có dạng R,b)1(ax += mọi với.* Một tập M chứa đờng thẳng đi qua 2 điểm bất kì của nó thì đợc gọi là tập affine.* Đoạn thẳng đi qua 2 điểm nRb,a kí hiệu là [ ]b,a, là tập{ }10,b)1(ax:Rxn+= .* Chiều của tập M trùng với chiều của không gian con song song L với nó. nRaaML += với* Cho một tập C bất kì, tập affine nhỏ nhất chứa C đợc gọi là bao affine của C, kí hiệu aff C. 7 * Siêu phẳng là tập có dạng { }{ }R,0\Ra,x,a:RxHnn==. Ngợc lại, tập bất kì có dạng trên là một siêu phẳng.Ví dụ 1.1.1 Trong không gian 2- chiều: siêu phẳng là một đờng thẳng, trong không gian 3- chiều: siêu phẳng là một mặt phẳng.* Tập hợp tất cả các điểm )x, .,x,x(xn21=nR thoả mãn bất phơng trình tuyến tính: { }R,0\Ra,x,an đợc gọi là nửa không gian đóng.* Nửa không gian đợc cho bởi: { }R,0\Ra,x,an< đợc gọi là nửa không gian mở.1.1.2- Tập lồi * Một tập A trong không gian Rn đợc gọi là tập lồi nếu Ab,a , [ ]1,0 thì Ab)1(ax +=.Nói cách khác, nếu A là tập lồi thì nó chứa đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của nó.* Nếu nRx , x==n1iiix, 0i, ==n1ii1 thì x đợc gọi là tổ hợp lồi của nn21Rx, .,x,x .8 Mệnh đề 1.1.1. Tập nRA là lồi khi và chỉ khi nó chứa tất cả các tổ hợp lồi của các phần tử thuộc A.* Tập MRn đợc gọi là một nón với đỉnh a nếu: 0,Mx thì x=M)ax(a +.Định lý 1.1.1 Tập lồi là đóng với phép giao, phép cộng, phép nhân với một số và phép lấy tổ hợp tuyến tính. Nếu A và B là 2 tập lồi trong Rn thì các tập sau cũng là lồi:(i) { }Bx,Ax:x:BA = (ii) { }R,,Bb,Aa:bax:BA +==+.Dễ thấy, giao của một họ bất kỳ các tập lồi cũng là tập lồi.Giao của tất cả các tập lồi chứa tập nRS đợc gọi là bao lồi của tập S và kí hiệu là convS. Rõ ràng, convS là tập lồi nhỏ nhất chứa S.Ví dụ 1.1.2 Cho các tập A, B, C nh Hình 1.Hình 1.Theo định nghĩa { }BAconvX =, convCY =.9 Định lý 1.1.2 Bao lồi của tập nRS chứa tất cả các tổ hợp lồi của các phần tử của nó.1.1.3- Tập lồi đa diện* Tập lồi đa diện là giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng. Nói cách khác, tập lồi đa diện là tập nghiệm của một hệ bất đẳng thức tuyến tính có dạngm, .,2,1i,bx,aii=,trong đó ,Rani Rbi.* Một tập lồi đa diện là bao lồi của một số hữu hạn điểm và một số hữu hạn đoạn thẳng.* Một tập lồi đa diện bị chặn thờng đợc gọi là đa diện lồi.* Một đa diện lồi là giao của một số hữu hạn điểm. Cho tập lồi đa diện M, tập con MF đợc gọi là diện nếu:.Fb,aFb)1(,10,Mb,a,Fx +=<<ax Nói cách khác, F là một diện của M nếu F chứa một điểm trong (hoặc điểm trong tơng đối) của một đoạn thẳng nào đó của M thì F chứa trọn cả đoạn thẳng đó. Một diện có thứ nguyên là 0 đợc gọi là một đỉnh hay điểm cực biên, cạnh là diện có thứ nguyên bằng 1.10 [...]... thể dùng thuật toán đơn hình để giải bài toán này Bài toán này luôn có nghiệm vì hàm mục tiêu luôn bị chặn dới bởi 0 1.2.7 Đối ngẫu của qui hoạch tuyến tính Đối ngẫu là một bài toán khá quan trọng về cả phơng diện lý thuyết lẫn ứng dụng thực tế và giải số ý tởng cơ bản của bài toán đối ngẫu là xây dựng cho bài toán qui hoạch tuyến tính đang xét một bài toán "đối" với nó (gọi là bài toán đối ngẫu) sao... hình giải bài toán qui hoạch tuyến tính: Bài toán qui hoạch tuyến tính là bài toán tìm cực đại (hoặc cực tiểu) một phiếm hàm tuyến tính trên một miền ràng buộc là một tập nghiệm của hệ bất đẳng thức hoặc đẳng thức tuyến tính Cho đến nay, có nhiều thuật toán hữu hiệu để giải bài toán QHTT Nhng thuật toán đơn hình vẫn là một phơng pháp đợc sử dụng rộng rãi nhất Trong mục này em trình bày thuật toán đơn... vì giải bài toán ban đầu ta chỉ cần giải bài toán dối ngẫu Trong nhiều trờng hợp giải quy t bài toán sau dễ dàng hơn nhiều Hơn nữa trong khi nghiên cứu bài toán đối ngẫu, có thể thu nhận đợc những kết luận hay, cả về ý nghĩa toán học, lẫn ý nghĩa kỹ thuật hoặc kinh tế Dới đây là các dạng đối ngẫu của bài toán qui hoạch tuyến tính a Dạng bài đối ngẫu của qui hoạch tuyến tính Cho qui hoạch tuyến tính dới... đa mục tiêu 2.1 Thế nào là tối u đa mục tiêu Nh đã biết, nhiều bài toán ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của khoa học kỹ thuật cũng nh thực tiễn cuộc sống của con ngời, có thể mô hình hoá nh bài toán tối u một hàm mục tiêu duy nhất theo những điều kiện nhất định Ví dụ bài toán qui hoạch tuyến tính nh đã mô tả ở Chơng I là tối u một hàm tuyến tính trên một tập lồi đa diện X R n Tuy nhiên, thực... tối u là của bài toán trên là x2=8, x3=7, x4=3, fmin=-18 1.3 Kết luận 33 Trong chơng này, em đã trình bày một số khái niệm cơ bản về giải tích lồi để làm sáng tỏ cho các khái niệm khi đợc đa vào ở các chơng sau Phơng pháp đơn hình là một trong nhiều phơng pháp đợc sử dụng rỗng rãi để giải bài toán qui hoạch tuyến tính cũng đợc trình bày ở đây 34 Chơng Ii bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu 2.1 Thế... toán qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc (LP) 17 1.2.2 Mô tả hình học của phơng pháp đơn hình: Xuất phát từ một điểm cực biên x 0 của tập lồi đa diện ràng buộc D, các trờng hợp sau có thể xảy ra: (i) 0 Trên mọi cạnh của tập lồi đa diện xuất phát từ đỉnh x , hàm mục tiêu đều không giảm Do tính chất tuyến tính của hàm mục tiêu, x 0 là một nghiệm tối u (ii) Có một cạnh vô hạn theo đó hàm mục tiêu giảm... trận cấp ( m ì n ) và c, x R n , b R m 29 Ta gọi bài toán qui hoạch đối ngẫu của bài toán (P) là bài toán QHTT sau max b, y (D) với điều kiện x D := { A * y c, y 0} , trong đó A * là ma trận chuyển vị của A, y R m Cặp bài toán đối ngẫu (P) và (D) có các tính chất sau Định lý 1.2.4 Với mọi phơng án chấp nhận x của bài toán gốc (P) và y của bài toán đối ngẫu (D) ta có (i) c, x b, y , (ii) c, x... với một cặp bài toán QHTT đối ngẫu (P) và (D) chỉ xãy ra một trong ba trờng hợp sau: 1) Cả hai bài toán không có phơng án chấp nhận 2) Cả hai bài toán đều có phơng án chấp: lúc đó cả hai đều có phơng án chấp nhận và giá trị tối u của chúng bằng nhau 3) Một trong hai bài toán qui hoạch có phơng án chấp nhận, qui hoạch kia không: lúc đó qui hoạch này không có phơng án tối u hữu hạn (hàm mục tiêu không... Tuy nhiên, thực tế cùng một lúc ngời ta thờng phải theo đuổi nhiều mục tiêu khác nhau Ví dụ khi lựa chọn mua nhà ở, chúng ta phải tính đến nhiều yếu tố nh giá cả, môi trờng, tiện nghi Thờng nhà rẻ hơn thì môi trờng hoặc tiện nghi kém hơn Điều đó dẫn đến mô hình bài toán tối u nhiều mục tiêu (qui hoạch đa mục tiêu) Để hiểu rõ hơn về bài toán này ta xét 2 ví dụ dới đây Ví dụ 2.1.1.(Tối u phơng án thiết... của cặp QHTT đối ngẫu (P) và (D) tối u là 1) Ax b, y = 0 * 2) c A y, x = 0 b Thuật toán đơn hình đối ngẫu Xét qui hoạch tuyến tính min c, x , (P) với điều kiện x D := { x R n : Ax b, x 0} , trong đó A là ma trận cấp ( m ì n ) và c, x R n , b R m Ta gọi bài toán qui hoạch đối ngẫu của bài toán (P) là bài toán QHTT sau max b, y (D) với điều kiện x D := { A * y c, y 0} , trong đó A * là ma . qui hoạch tuyến tính. Chơng II: Bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu. Chơng III: Bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu trong không gian giá trị.Nội. ...................................................................................................33Chơng II. Bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu. 2.1 Thế nào là bài toán tối u đa mục tiêu ..................342.2 Mô hình toán học và cấu trúc