Bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu

Luận văn : Bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu

Mục lục

Mở đầu

Chơng I Một số khái niệm cơ bản về giải tích lồi và bài toán qui hoạch tuyến tính.

1.1 Một số khái niệm cơ bản……… ……… .7

1.1.1 Tập afine……… ……… ……… … 7

1.1.2 Tập lồi……… ……… … 8

1.1.3 Tập lồi đa diện……… ……… .10

1.1.4 Điểm trong và điểm trong tơng tơng đối……… 13

1.1.5 Hàm lồi……… 15

1.1.6 Tính chất cực trị……… 15

1.2 Phơng pháp đơn hình giải bài toán qui hoạch tuyến tính… 16

1.2.1 Mô hình toán học……… 16

1.2.2 Mô tả hình học của phơng pháp đơn hình……… 18

1.2.3 Nghiệm cơ sở và phơng án cực biên 18

1.2.4 Thuật toán đơn hình……… 19

1.2.5 Công thức đổi cơ sở và bảng đơn hình……… 26

1.2.6 Vấn đề cơ sở cực biên và cơ sở xuất phát……… …… 28

1.2.7 Đối ngẫu của qui hoạch tuyến tính 29

1.3 Kết luận 33

Chơng II Bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu 2.1 Thế nào là bài toán tối u đa mục tiêu……… 34

2.2 Mô hình toán học và cấu trúc tập nghiệm……… 39

2.2.1 Không gian với thứ tự từng phần……… 40

2.2.2 Nghiệm hữu hiệu, nghiệm hữu hiệu yếu……… … .41

2.3 Lý do giải bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu trong không gian giá trị 42

2.4 Kết luận 43

Chơng III Bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu trong không gian giá trị

3.2 Cơ sở lý thuyết 47

3.2.1 Phơng pháp xấp xỉ ngoài……… 48

3.2.2 Bài toán tìm đỉnh của tập lồi đa diện……… 51

3.2.3 Phơng pháp phân hoạch đa diện thành các đơn hình… 60

3.3 Thuật toán xấp xỉ ngoài……… 72

3.4 Kết luận 75

Kết luận chung……… 76

Phụ lục……… 77

Tài liệu trích dẫn ……… 109

sự phụ phuộc tuyến tính là sự phụ thuộc đơn giản và dễ hiểu nhất Hơn nữa, vềmặt lý thuyết chúng ta biết rằng có thể xấp xỉ với độ chính xác cao các bài toánphi tuyến bởi dãy các bài toán qui hoạch tuyến tính Nói cách khác, các thuậttoán giải QHTT là công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu giải các bài toánphức tạp hơn Thuật toán đơn hình do Dantzig đề xuất từ 1947, đến nay vẫn làmột phơng pháp đợc sử dụng rộng rãi Mặc dù về lý thuyết đây là phơng pháp có

độ phức tạp mũ Sau lớp bài toán qui hoạch tuyến tính, nhiều hớng nghiên cứukhác nhau xuất hiện nh qui hoạch lồi, qui hoạch toàn cục và lý thuyết điều khiểntối u

Bài toán qui hoạch đa mục tiêu cũng mới đợc phát triển và trở thành mộtchuyên ngành toán học từ những năm 1950 Giải đáp những câu hỏi đặt ra mà quihoạch tuyến tính không giải đợc, chẳng hạn nh trong một công ty ngoài việcnâng cao chất lợng sản phẩm thì công ty cũng chú trọng tới đa dạng hoá sảnphẩm, già thành rẻ, doanh thu lớn,…Khách hàng khi chọn mua hàng thì muốnhàng rẻ, vừa có chất lợng cao, vừa có hình thức đẹp Tóm lại, mục đích của bàitoán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu là tối u đồng thời nhiều hàm mục tiêu độclập với nhau trên một miền chấp nhận đợc Do không gian giá trị của lớp bài toánnày không đợc sắp thứ tự toàn phần, nên khái niệm nghiệm thông thờng không

còn thích hợp Trong qui hoạch đa mục tiêu, cùng với khái niệm thứ tự từng

phần, ta sẽ sử dụng khái niệm nghiệm hữu hiệu.

Một phơng án chấp nhận đợc đợc gọi là nghiệm hữu hiệu nếu không tồn tạimột phơng án chấp nhận đợc khác tốt hơn nó, ít nhất là theo một mục tiêu, còncác mục tiêu khác không tồi hơn

Đầu thế kỷ XX, Pareto đã sử dụng khái niệm này khi ông nghiên cứu phúclợi và thu nhập của dân chúng Ông đã lập luận nh sau: "Nếu thu nhập của mộtnhóm dân c tăng lên, nhng thu nhập của một nhóm khác giảm xuống thì khi đókhông thể so sánh "phúc lợi" của toàn xã hội Đó là trờng hợp không so sánh đợc.Nhng có thể thấy rằng, phúc lợi xã hội sẽ tăng lên nếu thu nhập của ít nhất mộtnhóm ngời nào đó lớn lên, còn thu nhập của những nhóm khác không thấpxuống" Ta nhận thấy rằng, theo quan điểm của toán học, khái niệm nghiệm hữuhiệu mà chúng ta dùng trong qui hoạch đa mục tiêu phù hợp với luận đề Pareto

Khi pp2 hàm mục tiêu đều là hàm tuyến tính và miền ràng buộc là tậplồi đa diện khác rỗng trong n

R , ta nhận đợc bài toán qui hoạch tuyến tính đamục tiêu Cho tới nay, có rất nhiều thuật toán đa ra để xác định một phần hoặctoàn bộ tập nghiệm hữu hiệu của bài toán, chẳng hạn: phơng pháp vô hớng hoá,phơng pháp tham số, phơng pháp đơn hình đa mục tiêu và các dạng cải biên, ph-

ơng pháp nón pháp tuyến (xem [6, 7, 8-9, 12, 17, 19, 21-22, và 24-25])

Tuy nhiên, khối lợng tính toán của các thuật toán này tăng nhanh khi kíchthớc của bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu (tức số ràng buộc của miềnchấp nhận, số chiều của không gian quyết định và số hàm mục tiêu) tăng

Trong những năm gần đây nhiều nhà toán học đã chuyển sang nghiên cứugiải quyết bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu trong không gian giá trị.Trong báo cáo này, em sẽ trình bày thuật toán xấp xỉ ngoài giải bài toán quihoạch tuyến tính đa mục tiêu trong không gian giá trị của H.P Benson, đó là nội

dung bài báo: "Hybrid Approach for Solving Multipe-Objective Linear Programs

in Outcome Space" Jota: Vol 98, NO 1, July, 1998.

Trong báo cáo này ngoài phần mục lục, mở đầu, phụ lục và tài liệu tríchdẫn còn có 3 chơng:

Chơng I: Một số khái niệm cơ bản về giải tích lồi và bài toán qui hoạch

tuyến tính

Chơng II: Bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu.

Chơng III: Bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu trong không gian giá

trị

Nội dung các chơng nh sau:

Chơng I: Giới thiệu một số kiến thức cơ bản về giải tích lồi để áp dụng

cho các phần sau, và phơng pháp đơn hình dùng để giải bài toán qui hoạch tuyếntính

Chơng II: Giới thiệu tổng quát về bài toán qui hoạch đa mục tiêu: mô hình

toán học, khái niệm nghiệm hữu hiệu và hữu hiệu yếu, lý do giải bài toán quihoạch tuyến tính đa mục tiêu trong không gian giá trị

Chơng III: Giới thiệu thuật toán xấp xỉ ngoài giải bài toán qui hoạch

tuyến tính đa mục tiêu trong không gian giá trị

Chơng I

Một số khái niệm cơ bản về giải tích lồi và

bài toán qui hoạch tuyến tính.

Bài toán qui hoạch tuyến tính có vai trò trợ giúp quan trọng trong các bớcgiải bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu Trong chơng này, trớc hết em xinnhắc lại một số khái niệm cơ bản sẽ cần dùng đến trong các phần sau Phần tiếpcủa chơng dành để trình bày phơng pháp đơn hình giải bài toán qui hoạch tuyếntính

1.1 Một số khái niệm cơ bản

1.1.1-Tập affine

* Đờng thẳng đi qua 2 điểm n

R b ,

a  là tập hợp tất cả các điểm x trong R n

có dạng

R ,

b ) 1 ( a

Trong không gian 2- chiều: siêu phẳng là một đờng thẳng, trong không gian3- chiều: siêu phẳng là một mặt phẳng.

* Tập hợp tất cả các điểm x ( x 1 , x 2 , , x n )R n thoả mãn bất phơng trìnhtuyến tính: a , x , a R n \ 0 , R





   đợc gọi là nửa không gian đóng.

* Nửa không gian đợc cho bởi: a , x , a R n \ 0 , R





   đợc gọi là nửa không gian mở.

i 1

 thì x đợc gọi là tổ hợp lồi của

n n

2

1

R x

Định lý 1.1.1 Tập lồi là đóng với phép giao, phép cộng, phép nhân với một số

và phép lấy tổ hợp tuyến tính Nếu A và B là 2 tập lồi trong R n thì các tập sau cũng là lồi:

(i) AB :x : xA , xB (ii) A B :x  a b : aA , bB ,, R

Giao của tất cả các tập lồi chứa tập n

Định lý 1.1.2

Bao lồi của tập n

R

S  chứa tất cả các tổ hợp lồi của các phần tử của nó.

1.1.3- Tập lồi đa diện

* Tập lồi đa diện là giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng.

Nói cách khác, tập lồi đa diện là tập nghiệm của một hệ bất đẳng thức tuyến tính

có dạng

m , , 2 , 1 i b x ,

a i n

 b iR

* Một tập lồi đa diện là bao lồi của một số hữu hạn điểm và một số hữuhạn đoạn thẳng

* Một tập lồi đa diện bị chặn thờng đợc gọi là đa diện lồi.

* Một đa diện lồi là giao của một số hữu hạn điểm

Cho tập lồi đa diện M, tập con F  M đợc gọi là diện nếu:

F b , a F b ) 1 ( ,

1 0

, M b , a , F

* Cho C là một tập lồi đa diện, một điểm x 0C đợc gọi là điểm cực biên

(hay đỉnh) nếu nó không chứa bất kỳ một đoạn thẳng nào của C nhận x 0 làm

điểm trong của đoạn thẳng đó, tức là không tồn tại 2 điểm phân biệt a , bC saocho

1 0

b ) 1 ( a

x 0      với    Với tập lồi đa diện, một đỉnh của diện cũng chính là đỉnh của tập đó

* Một tập hữu hạn n +1 điểm 0 1 n n

R u , , u ,

u  đợc gọi là độc lập affine khi

và chỉ khi

0 n 0 2 0 1

u u , , u u , u

là độc lập tuyến tính

* Nếu n+1 điểm 0 1 n n

R u , , u ,

u  là độc lập affine thì bao lồi của nó đợc

gọi là một n-đơn hình với các đỉnh 0 1 n

u , , u ,

a) b)

Hình 2.

* ảnh của tập lồi: Cho n

R

S  và ánh xạ f : S R p Khi đó nếu S là tập lồi

và f là ánh xạ tuyến tính thì ảnh f(S) của S qua ánh xạ f cũng là tập lồi Nhắc lại rằng, ma trận C cấp  m  p chính là ánh xạ tuyến tính từ n p

R

Xét ánh xạ tuyến tính n p

R R :

C  , ta có định lý sau

Định lý 1.1.3 Nếu S là tập lồi đa diện thì C(S) cũng là tập lồi đa diện Hơn

nữa, nếu S là đa diện lồi thì C(S) là bao lồi của ảnh các đỉnh của S.

Ví dụ 1.1.4 Cho 2 2

R R S :

1 C

2

z , z , z , z conv )

Hình 3.

1.1.4- Điểm trong và điểm trong tơng đối

* Cho tập C bất kì, một điểm x gọi là điểm trong của C nếu

x R : x x  C )

, x ( :

Tập hợp các điểm trong của tập C đợc kí hiệu là int C.

* Điểm x 0 đợc gọi là điểm trong tơng đối nếu

, C affC )

, x ( B :

Theo định nghĩa: ,

.x

1

* Giả sử C là tập lồi trong R n , véc tơ y 0 đợc gọi là hớng lùi xa của C nếu

0 ,

j j i

Định nghĩa 1.1.1

i) Ta nói hai tập con khác rỗng n

R D ,

, a inf

D y C

C  đợc gọi là tách mạnh (tách hẳn, tách chặt) bởi siêu

, a inf

D y C

1.1.5 Hàm lồi

* Một hàm f xác định trên tập lồi A đợc gọi là hàm lồi trên A, nếu

1 0

f         

* Hàm f đợc gọi là lồi chặt nếu:

1 0

, A y , x );

y ( f ) 1 ( ) x ( f ) y ) 1 ( x (

f              

* Hàm f đợc gọi là lõm (lõm chặt) nếu –f là lồi (lồi chặtf là lồi (lồi chặt)

* Hàm f đợc gọi là tựa lồi trên A, nếu   R tập mức xA : f ( x ) là

tập lồi Hàm f đợc gọi là tựa lõm nếu –f là lồi (lồi chặt là tựa lồi f

Định lí 1.1.7 Mọi điểm cực tiểu địa phơng của một hàm lồi trên một tập lồi đều

là điểm cực tiểu tuyệt đối

Định lí 1.1.8 Cực đại của một hàm lồi (nếu có) trên một tập lồi có điểm cực

biên bao giờ cũng đạt tại một điểm cực biên

1.2 Phơng pháp đơn hình giải bài toán qui hoạch tuyến tính:

Bài toán qui hoạch tuyến tính là bài toán tìm cực đại (hoặc cực tiểu) mộtphiếm hàm tuyến tính trên một miền ràng buộc là một tập nghiệm của hệ bất

đẳng thức hoặc đẳng thức tuyến tính

Cho đến nay, có nhiều thuật toán hữu hiệu để giải bài toán QHTT Nhngthuật toán đơn hình vẫn là một phơng pháp đợc sử dụng rộng rãi nhất Trong mụcnày em trình bày thuật toán đơn hình do Dintzig đề xuất từ năm 1947

1.2.1 Mô hình toán học

Bài toán QHTT dạng tổng quát có dạng

x c,

min , (LP)với điều kiện

x R : Ax b x 0

: D

với điều kiện

x R : Ax b x 0

: D

1 j j

có thể chuyển về dạng

i n

1 j j

ij x b

bằng cách nhân 2 vế với –f là lồi (lồi chặt1

* Một ràng buộc bất đẳng thức

i n

1 j j

1 j j

ij x u b





với biến phụ u i 0

Không giảm tính tổng quát, ở đây em xin trình bày phơng pháp đơn hìnhgiải bài toán qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc (LP)

1.2.2 Mô tả hình học của phơng pháp đơn hình:

Xuất phát từ một điểm cực biên 0

x của tập lồi đa diện ràng buộc D, các

tr-ờng hợp sau có thể xảy ra:

(i) Trên mọi cạnh của tập lồi đa diện xuất phát từ đỉnh 0

x , hàm mục tiêu đềukhông giảm Do tính chất tuyến tính của hàm mục tiêu, 0

x là một nghiệmtối u

(ii) Có một cạnh vô hạn theo đó hàm mục tiêu giảm Khi đó hàm mục tiêu

giảm đến   theo cạnh này Vậy bài toán không có nghiệm hữu hạn

(iii) Mọi cạnh xuấ phát từ 0

x , theo đó hàm mục tiêu giảm, đều là cạnh hữuhạn Đi theo một cạnh nh thế sẽ đến một đỉnh 1

x , kề với 0

x , tại đó hàmmục tiêu có giá trị nhỏ hơn Quá trình lặp lại với với đỉnh 1

Thuật toán đơn hình chính là sự mô tả ý tởng hình học trên

1.2.3 Nghiệm cơ sở và phơng án cực biên.

Một đỉnh của tập lồi ràng buộc gọi là một phơng án cực biên Do quihoạch tuyến tính có nghiệm tại phơng án cực biên, nên ngời ta quan tâm đến cáctính chất của một phơng án cực biên.

Trong trờng hợp tập lồi ràng buộc đợc cho bởi dạng chính tắc

x R : Ax b x 0

: D

Giả sử x là phơng án cực biên Đặt J * j : x j 0 Theo Mệnh đề 1.2.1 cácvéc tơ A j jJ * là độc lập tuyến tính Cho J  J * sao cho B :A j : jJ là một cơ

sở của A Tức là véc tơ này độc lập tuyến tính và nếu thêm bất kỳ A i , iJ vào B

thì hệ thu đợc sẽ phụ thuộc tuyến tính

Véc tơ x gọi là nghiệm cơ sở, B là cơ sở, J là tập chỉ số cơ sở của x Các

biến x j , jJ, các véc tơ A j : jJ đợc gọi là biến cơ sở và véc tơ cơ sở Các biến

và các véc tơ còn lại đợc gọi là biến phi cơ sở và véc tơ phi cơ sở.

Từ Mệnh đề 1.2.1, thì ta thấy rằng mỗi một nghiệm cơ sở chỉ ứng với mộtphơng án cực biên Tuy nhiên một phơng án cực biên có thể ứng với nhiều

nghiệm cơ sở Một phơng án cực biên đợc gọi là không thoái hóa nếu nó ứng vừa

đúng một nghiệm cơ sở Một tập lồi gọi là không thoái hoá, nếu mọi phơng áncực biên (đỉnh) của nó không thoái hoá

1.2.4 Thuật toán đơn hình

Giả sử ta đã có một phơng án cực biên x Gọi J là tập chỉ số cơ sở của x.

Do hệ A j : jJ là 1 cơ sở, nên mọi cột A k , kJ đều là một tổ hợp tuyến tínhcủa véc tơ A j(j  J) Tức là tồn tại các số thực z jk sao cho:







J j

j jk

j

j A b

x (1.2.2)Giá trị hàm mục tiêu là:

k : z c

z (1.2.4) k z  k c k (1.2.5)Chú ý rằng k 0 nếu k  J Ta sẽ gọi k là các ớc lợng của phơng án cực biên(nghiệm cơ sở của x)

Ta có thể viết các công thức trên dới dạng ma trận Giả sử đã có tập cơ sở

J Ta đa vào các kí hiệu sau:

J J J

k y c :

k y z

z (1.2.8)

Thay A k tõ (1.2.1) vµo (1.2.6) ta cã:

b A z

J j jk n

1 k

j jk

k z A b

y (1.2.9)

Do x lµ ph¬ng ¸n cùc biªn, nªn x 0 , j J x A b

J j j j



.VËy:

1 k

n

1 k k k k

jk j J

n

1 k jk k j

j x c

z Do y lµ 1 ®iÓm chÊp nhËn bÊt k×, nªn x lµ

nghiÖm tèi u

Trong trờng hợp  k 0 với một k nào đó, ta có thể chuyển qua một cơ sở

mới Trong nhiều trờng hợp (ví dụ nh tập lồi đa diện không thoái hoá) nghiệm cơ

sở ứng với cơ sở mới này sẽ cho giá trị tốt hơn Ta có định lí sau:

Định lí 1.2.2

Cho x là một nghiệm cơ sở với cơ sở B Khi đó:

(i) Nếu k :k 0 và z jk 0 ,jJ thì bài toán không có nghiệm hữu hạn (ii) Nếu  k 0 , đều có z jk0 với một j  J , thì tìm đựơc một cơ sở x 1 ứng

j

j A b

x (1.2.10)Theo định nghĩa của z jk ta có







J j

j jk

j jk

k j jk

x (   (1.2.11)

Lấy véc tơ x 1 có các toạ độ đợc cho bởi:

z x

jk j 1



,

nếu nếu

nếu

J j

k j

J j







(1.2.12)

(i) Do z jk 0 ,jJ , và 0 , nên x 10, với mọi  0 Vậy x 1 là phơng án

chấp nhập đợc với mọi  0 Giá trị hàm mục tiêu tại x 1 là:

j k

j jk j 1

T

c c z c

x c

c ) z x ( x





J j

j jk

ta có:

k T

k k T

1 T

x c ) c z ( x c x

Cho    ta thấy hàm mục tiêu giảm đến   Điều đó chứng tỏ trong trờnghợp này bài toán không có nghiệm hữu hạn

ii) Chọn  sao cho x 1 định nghĩa theo (1.2.12) chấp nhận đợc, do (1.2.11)

đúng với mọi  , nên chỉ cần chọn  sao cho x 1 0 , j J

j jk

A và z jk 0 nên B’ là một hệ độc lập tuyến tính Ngoài

ra theo cách chọn  , ta có xj 0 và x r 0 Vậy x là một nghiệm cơ sở của B

Đối với hàm mục tiêu, tơng tự nh trên, ta có:

T k

k k T

T

x c ) c z ( x c x

c          (1.2.14)

Nhận xét:

Qua chứng minh này, ta thấy rằng, nếu x r =0 thì chọn  theo (1.2.13) khi đó

theo (1.2.12) x’=x và do đó c T x ' c T x

 Nh vậy trờng hợp này nghiệm cơ sở

không thay đổi, chỉ có cơ sở thay đổi Tức là nghiệm cơ sở x ứng với với hai cơ sở

B và B’ (x thoái hoá) Nếu  >0, thì theo (1.2.14) c T x ' c T x

 , do đó x ' x

 Hiển

nhiên theo (1.2.13), nếu x j >0 với mọi j  J thì  >0 Tuy nhiên  có thể dơng

ngay cả khi x j =0 với một chỉ số j  J, bởi vì có thể với các chỉ số này z jk 0

Trong chứng minh phần (ii), ta lấy k là một chỉ số bất kì, miễn sao k 0.

Nếu có nhiều chỉ số thoả mãn điều kiện này, thì dĩ nhiên chọn k sao cho hàm mục tiêu giảm nhanh nhất Tức là theo (1.2.14) chọn k sao cho  klớn nhất.Dựa vào định lí trên, thuật toán đơn hình đợc tiến hành theo các bớc sau

j jk

A (1.2.16)b) Tính các ớc lợng:

) J k ( , c c z

J j j jk



Bớc 2:

Nếu k 0 ,k thì x 0 là nghiệm tối u của (2.2.15) Thuật toán kết thúc

Tồn tại k sao cho k 0 Phân biệt 2 trờng hợp:

b1) Tồn tại k 0 và z kj 0 ,jJ: bài toán không có nghiệm hữu hạn Thuậttoán kết thúc

b2) ứng với k 0 đều tồn tại z jk 0 với một j  J Chọn s sao cho s 0

(Để hàm mục tiêu giảm nhanh thờng chọn s sao cho slớn nhất)

Bớc 3: (Chọn phần tử xoay)

rs r

s ss s s

js s j

z x



(1.2.17)

Trở lại bớc 1 với x 0 và J đợc thay bởi x 1 và J 1

Định lí 1.2.3 Nếu tập lồi đa diện ràng buộc không thoái hoá, thì thuật toán

hữu hạn theo nghĩa: sau một số hữu hạn vòng lặp, hoặc thuật toán chỉ ra rằng hàm mục tiêu không bị chặn dới, hoặc tìm đợc một lời giải tối u của (1.2.15).

1.2.5 Công thức đổi cơ sở và bảng đơn hình:

Trong thuật toán đơn hình, qua mỗi vòng lặp, ta chuyển qua một cơ sở mới

kề với một cơ sở đang xét Do hai cơ sở kề nhau chỉ khác nhau bởi một véc tơ,nên từ đại lợng của cơ sở này, dể dàng tính đợc đại lợng của cơ sở kia Giả sử tập

chỉ số của cơ sở đang xét là J và của cơ sở mới là J  và J J \ r  s  Theocông thức (1.2.17) và chú ý s x r / z rs, phơng án cực biên x ứng với J là

nếu

nếu

J j 0

s j ss

z ) rs z / r ( s

s j , J j js

z ) rs z / r ( j x i

j js

r rk j jk j

J j jk

Thay A r từ (1.2.16) vào đây ta đợc:

s rs

rk j rs

rk jk r

j J

j js s

rs

rk j jk

z

z A ) z

z z ( )

A z A

( z

z A z

nếu j s z

/ z

J j r j nếu z ) z / z ( z z

rs rk

js rs rk jk

jk (1.2.17)Sau khi có z jk, ta tính:

s

rs

rk k J

j

k j jk k

z

z c

c z '

f     (1.2.19)Nếu qui ớc rằng: x r z r 0 ,k z 0 k , f ( x )z 00 thì các công thức (1.2.18), (1.2.19) cóthể thống nhất lại trong công thức (1.2.17) với jJ 0

Để việc tính toán thuận lợi hơn, ngời ta thực hiện thuật toán đơn hình theomột bảng sau, gọi là bảng đơn hình Mỗi một nghiệm cơ sở ứng với một bảng

đơn hình Giả sử trong bảng đơn hình dới đây, các cột A 1 , , A m là một cơ sở Cột

A r trong cơ sở sẽ đợc đa ra và thay bởi cột A s ở ngoài cơ sở

k  



1.2.6 Vấn đề phơng án cực biên và cơ sở xuất phát:

Để thực hiện đợc thuật toán đơn hình ta phải có một phơng án cực biên vàcơ sở xuất phát

Khi miền ràng buộc cho bởi:

x R : Ax b x 0

: D

Dễ dàng chứng minh đợc rằng, x là một đỉnh của D khi và chỉ khi (x,0) là

một đỉnh của D Vì vậy để tìm một phơng án cực biên của D ta giải bài toán:

min t 1 +t 2 + …,t t m ,với ràng buộc:

Ax+t=b, (x,t)0.

Đối với bài toán này, ta luôn biết trớc một phơng án cực biên (0,b) và một cơ sở của nó là B=(e 1 , …,t ,e m ), trong đó e i là véc tơ đơn vị thứ i trong R m Vậy ta cóthể dùng thuật toán đơn hình để giải bài toán này Bài toán này luôn có nghiệm vìhàm mục tiêu luôn bị chặn dới bởi 0

1.2.7 Đối ngẫu của qui hoạch tuyến tính.

Đối ngẫu là một bài toán khá quan trọng về cả phơng diện lý thuyết lẫnứng dụng thực tế và giải số ý tởng cơ bản của bài toán đối ngẫu là xây dựng chobài toán qui hoạch tuyến tính đang xét một bài toán "đối" với nó (gọi là bài toán

đối ngẫu) sao cho thay vì giải bài toán ban đầu ta chỉ cần giải bài toán dối ngẫu.Trong nhiều trờng hợp giải quyết bài toán sau dễ dàng hơn nhiều Hơn nữa trongkhi nghiên cứu bài toán đối ngẫu, có thể thu nhận đợc những kết luận hay, cả về ýnghĩa toán học, lẫn ý nghĩa kỹ thuật hoặc kinh tế Dới đây là các dạng đối ngẫucủa bài toán qui hoạch tuyến tính

a Dạng bài đối ngẫu của qui hoạch tuyến tính.

Cho qui hoạch tuyến tính dới dạng chuẩn tắc

x , c

min , (P)với điều kiện

x R : Ax b x 0

: D

max (D) với điều kiện

: D

Cặp bài toán đối ngẫu (P) và (D) có các tính chất sau

Định lý 1.2.4 Với mọi phơng án chấp nhận x của bài toán gốc (P) và y của bài

toán đối ngẫu (D) ta có

(i) c , x  b , y ,

(ii) c , x  b , y khi và chỉ khi x là nghiệm tối u của (P) và y là nghiệm tối u của (D).

Định lý 1.2.5 Đối với một cặp bài toán QHTT đối ngẫu (P) và (D) chỉ xãy ra

một trong ba trờng hợp sau:

1) Cả hai bài toán không có phơng án chấp nhận.

2) Cả hai bài toán đều có phơng án chấp: lúc đó cả hai đều có phơng án chấp nhận và giá trị tối u của chúng bằng nhau.

3) Một trong hai bài toán qui hoạch có phơng án chấp nhận, qui hoạch kia không: lúc đó qui hoạch này không có phơng án tối u hữu hạn (hàm mục tiêu không hữu hạn trên miền chấp nhận đợc).

Định lý 1.2.6 Điều kiện cần và đủ để một cặp phơng án chấp nhận x,y của cặp

QHTT đối ngẫu (P) và (D) tối u là

1) Ax b , y 0

2) c A * y , x 0





b Thuật toán đơn hình đối ngẫu

Xét qui hoạch tuyến tính

x , c

min , (P)với điều kiện

x R : Ax b x 0

: D

max (D) với điều kiện

: D

J j c y ,

, b A x

k

J j j j

Giả sử hệ này có nghiệm là x Ta gọi x là giả phơng án của (P) Các biến x j jJ

gọi là các biến cơ sở của giả phơng án, các biến còn lại là các biến phi cơ sở

THUậT TOáN

Bớc 1 Xuất phát từ một cơ sở với tập chỉ số cơ sở J Xây dựng bảng đơn hình

cho giả phơng án x với tập chỉ số cơ sở J

Bớc 2 Kiểm tra tính chấp nhận đợc của giả phơng án

2a) Nếu x j  0 ,jJ thì x là phơng án tối u Dừng thuật toán

2b) Nếu tồn tại ít nhất x j  0 ,jJ Xãy ra mọt trong hai trờng hợp sau(i) Có jJ , x j 0 và z jk  0kJ Lúc đó hàm mục tiêu của bài toán đối ngẫukhông bị chặn trên (lớn vô cùng) Theo Định lý 1.2.4, qui hoạch gốc không cóphơng án chấp nhận đợc Thuật toán kết thúc

(ii) Với mọi jJ mà x j 0 đều tồn tại k  J sao cho z jk 0 Tiến hành các thủ tụctính toán sau

Tìm véc tơA r để đa ra khỏi cơ sở theo x : minx j : x j 0

J j

Thay A r bằng A s , trong đó s đợc xác định nh sau

rk

k k rs

s s





Cơ sở mới thu đợc bằng cách đa A r ra và đa A s vào cơ sở Lấy

5

j 0 x

10 x

x

8 x x

3 x 2 x x

j

4 3

5 2

5 4 1

8 x

3 x

3 2

1 0 0 1 2

0 1 0 0 1

0 0 1 1 0-3 0 0 0 5 -4-3

1 0 0 1 2

0 1 0 0 1 -1 0 0 0 -2-18 -5 0 0 0 -10

Theo kết quả thu đợc từ bảng đơn hình ta đợc nghiệm tối u là của bài toán

trên là x 2 =8, x 3 =7, x 4 =3,

f min =-18.

1.3 Kết luận

Trong chơng này, em đã trình bày một số khái niệm cơ bản về giải tích lồi

để làm sáng tỏ cho các khái niệm khi đợc đa vào ở các chơng sau Phơng pháp

đơn hình là một trong nhiều phơng pháp đợc sử dụng rỗng rãi để giải bài toán quihoạch tuyến tính cũng đợc trình bày ở đây

Ví dụ 2.1.1.(Tối u phơng án thiết kế nhà ở)

Giả sử trong thiết kế nhà ở nh Hình 5, cách bố trí các phòng cũng nh một

số thông số và ràng buộc đợc cho trớc Vấn đề phải xác định các thông số còn lạinhằm cực đại diện tích sử dụng và cực tiểu chi phí xây dựng

2.45Phòng ăn

1.83

Wc Phòng ngủ

1

Phòng ngủ2

Chi phí xây dựng đợc cho bảng dới đây

Loại phòng Diện tích min (m2) Diện tích max (m2) Giá (USD)

tøc lµ

305 610 733 1389,7 1284

0 7,33 - 7,33 -

x x x x x 33

, 7

5 4 3 2 1

LËp bµi to¸n:

Kí hiệu x1, x2, x3 là lợng thịt, cá, rau (tính bằng gram) cho mỗi khẩu phần.Hàm lợng dinh dỡng, calo và giá cả của mỗi gram thức ăn nói trên đợc biết nhsau

G     

Gọi C là số calo cho mỗi khẩu phần cung cấp:

3 3 2 2 1

1 x c x c x c

Đối với sự ngon miệng T thờng đợc đánh giá bởi tỷ lệ thịt cá so với rau: Ta nói khẩu phần (x 1 , x 2 , x 3 ) ngon nếu

1 x

x x T 2

3

2 1

0 x x x 2

2 1 3

2 1 3

Khẩu phần (x 1 , x 2 , x 3 ) ngon hơn khẩu phần (y 1 , y 2 , y 3 ) nếu (x 1 -y 1 , x 2 -y 2 , x 3

-y 3 ) bảo đảm tỷ lệ trên.

Những ràng buộc đối với lợng dinh dỡng (D):

- lợng đạm : a 1p 1 x 1p 2 x 2 a 2

- lợng mỡ : b 1 l 1 x 1 l 2 x 2 b

- lợng vitamin: 1 v 1 x 1 v 2 x 2 v 3 x 3  2

Nh vậy chúng ta có bài toán tối u đa mục tiêu sau:

minG, minC, maxT với các ràng buộc D.

2.2 Mô hình toán học và cấu trúc tập nghiệm

Một bộ phận quan trọng của qui hoạch đa mục tiêu là Qui hoạch tuyến

tính đa mục tiêu, trong đó các hàm mục tiêu là tuyến tính và tập ràng buộc X là

tập lồi đa diện

Bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu đợc phát biểu nh sau

Trong bài toán qui hoạch tuyến tính (LP) thông thờng nh xét ở Chơng I,

hàm mục tiêu là hàm tuyến tính

c: D R n R





x  c , x

Không gian giá trị (Outcome Space) của nó là R (tập các số thực) nên việc

so sánh 2 giá trị c , x & c , x nào đó chỉ đơn giản là việc so sánh 2 số thực Ta

Nhng với bài toán (MOLP) ta phải xét đồng thời p ( p2 ) hàm mục tiêu

c 1 , c 2 , …,t ,c p, tức là xét toán tử tuyến tính

C: n p

R R

x  yCx

Không gian giá trị của bài toán (MOLP) là R p ( p2 ) không đợc sắp thứ tự

toàn phần, tức là 2 phần tử v và w bất kỳ thuộc R p không phải lúc nào cũng đợc sosánh với nhau Do đó, nghiệm tối u thông thờng không còn thích hợp Thay vào

đó, ngời ta đa ra khái niệm nghiệm hữu hiệu dựa trên thứ tự từng phần.

2.2.1 Không gian với thứ tự từng phần

a) Quan hệ 2 ngôi: Cho E là một tập hợp bất kỳ Quan hệ 2 ngôi trên E là

một cách chỉ ra phần tử x  E có quan hệ với phần tử y  E Hình thức đó mà nói

cho tập con B trong tập E  E , khi đó x có quan hệ với y nếu ( x , y )B

Cho B là một quan hệ 2 ngôi trong E ta nói B là

i) phản xạ nếu ( x , x )B với mọi x  B,

ii) bắc cầu nếu ( x , y )B và ( y , z )B thì ( x , z )B

Nếu nh E là một không gian tuyến tính và ( ) là một thứ tự từng phần

trên E thì ta nói thứ tự này tuyến tính nếu x  y kéo theo tx  ty với mỗi t  0 và

Cho 2 véc tơ x( x 1 , x 2 , , x p )& y( y 1 , y 2 , , y p ) thuộc R Ta viết

x  đợc gọi là nghiệm hữu hiệu của bài toán (MOLP), nếu

không tồn tại x  X sao cho 0 0

Cx Cx , Cx

Một điểm n

R

x  đợc gọi là nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán (MOLP),

nếu không tồn tại x  X sao cho Cx  C x

Kí hiệuX E (t, X WE ) là tập tất cả các nghiệm hữu hiệu (t, hữu hiệu yếu).Gọi X E (t, X WE ) là tập nghiệm hữu hiệu (t, tập nghiệm hữu hiệu yếu) của bài

toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu

Cấu trúc của tập nghiệm hữu hiệu và tập nghệm hữu hiệu yếu đợc mô tảbởi Mệnh đề 2.2.1

Mệnh đề 2.2.1 (Xem Đ.T Luc [4])

Tập nghiệm hữu hiệu (tập nghiệm hữu hiệu yếu) của bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu là liên thông đờng gấp khúc, bao gồm một số diện đóng của tập lồi đa diện ràng buộc X.

2.3 Lý do giải bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu trong không gian giá trị.

Việc giải bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu trong không gian quyết

định (decision space), tức là xác định một phần hoặc toàn bộ tập nghiệm hữu hiệu X E (hữu hiệu yếu X WE) bằng các phơng pháp toán học mà không có bất cứ sựtham gia nào của ngời ra quyết định

Cho đến nay, đã có rất nhiều phơng pháp đa ra để giải bài toán này nh:

ph-ơng pháp vô hớng hoá, phph-ơng pháp tham số, phph-ơng pháp đơn hình đa mục tiêu vàcác dạng cải biên, phơng pháp nón pháp tuyến…(xem [6, 7, 8-9, 12, 17, 18, 19,21-22 và 24-25])

Nh đã biết (theo Mệnh đề 2.2.1), tập nghiệm hữu hiệu (t, hữu hiệu yếu) tuyluôn là liên thông đờng gấp khúc, bao gồm một số diện đóng của tập lồi đa diện

ràng buộc X , nhng nói chung nó là tập không lồi và có cấu trúc rất phức tạp Đó

là lý do dẫn đến:

i) Khối lợng tính toán để sinh ra một phần hoặc toàn bộ tập nghiệm hữu

hiệu (t, hữu hiệu yếu) tăng rất nhanh khi kích thớc bài toán (tức số

chiều n trong không gian quyết định R n, số ràng buộc biểu diễn tập lồi

đa diện X và số hàm mục tiêu p) tăng.

ii) Ngời ra quyết định khó chọn đợc nghiệm thích hợp nhất đối với họ

trong tập nghiệm hữu hiệu đã đợc đa ra

Trong những năm gần đây thay vì việc tìm trực tiếp tập nghiệm hữu hiệu

X E trong không gian quyết định, một số tác giả đã nghiên cứu giải bài toán

(MOLP) trong không gian giá trị R p (xem [11, 27-28 và 32-35]) để tìm tập

    x XE





, Cx y R y

Tiếp cận này dựa trên 3 lí do sau

i) Trong các bài toán thực tế, thông thờng pn (tức số chiều không gian

ii) Kinh nghiệm thực tế cho thấy rằng, ngời ra quyết định sẽ dễ dàng hơn

trong việc tìm nghiệm thích hợp với mình trong 

Trong chơng này, em đã trình bày về: mô hình toán học, khái niệm nghiệm

hữu hiệu, hữu hiệu yếu của bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu Lý do giải

bài toán (MOLP) trong không gian giá trị Trong Chơng III, em sẽ trình bày thuật

toán xấp xỉ ngoài của H P Benson giải bài toán này

Chơng III

bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu

trong không gian giá trị

Chơng này dành để trình bày thuật toán xấp xỉ ngoài do Benson [5] đề xuất

để giải bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu trong không gian giá trị

Xét bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu

Định nghĩa 3.1.1

Một điểm y  0 R p đợc gọi là giá trị hữu hiệu của bài toán (MOLP) nếu

0 0

cho sao tại

Y là tập giá trị hữu hiệu

Mệnh đề 3.1.1 Nếu X là đa diện khác rỗng thì   

1 , y ˆ , , y ˆ ) R y

ˆ ( y

Ta xây dựng đợc tập Y  convA , B , C , G , H , K nh Hình 6 thoả mãn

Tập Y là một đa diện khác rỗng trong không gian p

R , với thứ nguyên đầy (dimY=p) Hơn nữa,

Giả sử ta biết đợc biểu diễn của Y theo (3) thì có thể áp dụng đợc các thuật

toán giải bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu đã có (xem [8-9, 12, 15, 18,

22 và 25]) giải bài toán

Tuy nhiên, nói chung ta không xác định đợc ma trận D và véc tơ d nh ở

biểu diễn (3) Vì vậy, việc giải bài toán (*) theo hớng này vẫn là một câu hỏi

Phần còn lại của chơng này dành để trình bày thuật toán xấp xỉ ngoài giải

Đặt Y ex (t, Y ex ) là tập tất cả các đỉnh của Y (t, Y) Khi đó

Định lý 3.1.2 (Xem Benson [32]) Đặt

E  ex  Khi đó

E Y

Y E  ex 

.

Nhận xét 3.1.1

Theo Định lý 3.1.2 nếu biết đợc tập tất cả các đỉnh Y ex của Y thì dễ dàng

nhận đợc tập tất cả các đỉnh hữu hiệu của tập giá trị hữu hiệu 

Y trong bài toán(MOLP) Để làm điều đó, đơn giản là loại trừ từ tập đỉnh Y ex của tập Y những

điểm y sao cho có ít nhất một y  i y ˆ i với i=1, ,p

Từ nhận xét này đa đến việc xây dựng thuật toán xấp xỉ ngoài tìm tập đỉnhgiá trị hữu của bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu

Việc xác định tập dỉnh Y ex của Y đợc tiến hành nhờ các kỹ thuật chính sau

- Kỹ thuật xấp xỉ ngoài

- Kỹ thuật tìm tập đỉnh của một đa diện mới, đa diện này nhận đợc từ đa diện cũtrớc đó (đã biết toàn bộ tập đỉnh) bằng cách thêm một ràng buộc mới

- Kỹ thuật phân hoạch đa diện bởi các đơn hình

3.2.1 Kỹ thuật xấp xỉ ngoài.