Một bộ phận quan trọng của qui hoạch đa mục tiêu là Qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu, trong đó các hàm mục tiêu là tuyến tính và tập ràng buộc X là tập lồi đa diện.
Bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu đợc phát biểu nh sau
Vmax {Cx,x∈X}, (MOLP) trong đó C là ma trận cấp (pìn) với p≥2, với các hàng ci,i=1,2,...,p và X là tập lồi đa diện trong Rn.
Trong bài toán qui hoạch tuyến tính (LP) thông thờng nh xét ở Chơng I, hàm mục tiêu là hàm tuyến tính
c: D⊂ Rn →R
x c,x .
Không gian giá trị (Outcome Space) của nó là R (tập các số thực) nên việc so sánh 2 giá trị c,x′ & c,x′′ nào đó chỉ đơn giản là việc so sánh 2 số thực. Ta luôn có hoặc c,x′ ≤ c,x′′ hoặc c,x′ ≥ c,x′′ .
Nhng với bài toán (MOLP) ta phải xét đồng thời p (p≥2) hàm mục tiêu c1, c2, ,c… p, tức là xét toán tử tuyến tính
C: X ⊂Rn →Rp
x = y=Cx.
Không gian giá trị của bài toán (MOLP) là Rp (p≥2) không đợc sắp thứ tự toàn phần, tức là 2 phần tử v và w bất kỳ thuộc Rp không phải lúc nào cũng đợc so
sánh với nhau. Do đó, nghiệm tối u thông thờng không còn thích hợp. Thay vào đó, ngời ta đa ra khái niệm nghiệm hữu hiệu dựa trên thứ tự từng phần.
2.2.1 Không gian với thứ tự từng phần
a) Quan hệ 2 ngôi: Cho E là một tập hợp bất kỳ. Quan hệ 2 ngôi trên E là một cách chỉ ra phần tử x∈E có quan hệ với phần tử y∈E. Hình thức đó mà nói cho tập con B trong tập EìE, khi đó x có quan hệ với y nếu (x,y)∈B.
Cho B là một quan hệ 2 ngôi trong E ta nói B là i) phản xạ nếu (x,x)∈B với mọi x∈B,
ii) bắc cầu nếu (x,y)∈B và (y,z)∈B thì (x,z)∈B.
b) Thứ tự từng phần: Cho E là một tập khác rỗng. Thứ tự từng phần trên E là một quan hệ 2 ngôi B có tính phản xạ, bắc cầu. Ta sẽ viết x ≥B y hoặc đơn giản
y
x≥ nếu (x,y)∈B với B là thứ tự từng phần trên E. Khi ấy thay vì B ta viết thứ tự ≥ trên E.
Nếu nh E là một không gian tuyến tính và (≥) là một thứ tự từng phần trên
E thì ta nói thứ tự này tuyến tính nếu x≥y kéo theo tx≥ty với mỗi t>0 và
z y z
x+ ≥ + với mỗi z∈E.
Ngời ta thờng dùng thứ tự từng phần sau
y
x≥ nếu xi ≥yi,∀i=1,2,...,p ,
y
x> nếu x ≥y và x ≠y, xy nếu xi >yi,∀i=1,2,...,p.