Định nghĩa 2.2.1
Một điểm x0∈Rn đợc gọi là nghiệm hữu hiệu của bài toán (MOLP), nếu không tồn tại x∈X sao cho Cx≥Cx0,Cx ≠Cx0.
Một điểm x∈Rn đợc gọi là nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán (MOLP), nếu không tồn tại x∈X saocho Cx Cx.
Kí hiệuXE (t, XWE ) là tập tất cả các nghiệm hữu hiệu (t, hữu hiệu yếu). Gọi
E
X (t, XWE ) là tập nghiệm hữu hiệu (t, tập nghiệm hữu hiệu yếu) của bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu.
Cấu trúc của tập nghiệm hữu hiệu và tập nghệm hữu hiệu yếu đợc mô tả bởi Mệnh đề 2.2.1
Mệnh đề 2.2.1 (Xem Đ.T. Luc [4])
Tập nghiệm hữu hiệu (tập nghiệm hữu hiệu yếu) của bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu là liên thông đờng gấp khúc, bao gồm một số diện đóng của tập lồi đa diện ràng buộc X.
2.3 Lý do giải bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu trong không gian giá trị.
Việc giải bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu trong không gian quyết định (decision space), tức là xác định một phần hoặc toàn bộ tập nghiệm hữu hiệu
XE (hữu hiệu yếu XWE) bằng các phơng pháp toán học mà không có bất cứ sự tham gia nào của ngời ra quyết định.
Cho đến nay, đã có rất nhiều phơng pháp đa ra để giải bài toán này nh: ph- ơng pháp vô hớng hoá, phơng pháp tham số, phơng pháp đơn hình đa mục tiêu và các dạng cải biên, phơng pháp nón pháp tuyến (xem [6, 7, 8-9, 12, 17, 18, 19,… 21-22 và 24-25]).
Nh đã biết (theo Mệnh đề 2.2.1), tập nghiệm hữu hiệu (t, hữu hiệu yếu) tuy luôn là liên thông đờng gấp khúc, bao gồm một số diện đóng của tập lồi đa diện ràng buộc X , nhng nói chung nó là tập không lồi và có cấu trúc rất phức tạp. Đó là lý do dẫn đến:
i) Khối lợng tính toán để sinh ra một phần hoặc toàn bộ tập nghiệm hữu hiệu (t, hữu hiệu yếu) tăng rất nhanh khi kích thớc bài toán (tức số chiều
n trong không gian quyết định Rn, số ràng buộc biểu diễn tập lồi đa diện
X và số hàm mục tiêu p) tăng.
ii) Ngời ra quyết định khó chọn đợc nghiệm thích hợp nhất đối với họ trong tập nghiệm hữu hiệu đã đợc đa ra.
Trong những năm gần đây thay vì việc tìm trực tiếp tập nghiệm hữu hiệu XE
trong không gian quyết định, một số tác giả đã nghiên cứu giải bài toán (MOLP) trong không gian giá trị Rp (xem [11, 27-28 và 32-35]) để tìm tập
{ ∈ = x∈XE} =
= y R y Cx,
Y p
E .
Tiếp cận này dựa trên 3 lí do sau
i) Trong các bài toán thực tế, thông thờng p∨n (tức số chiều không gian giá trị Rpnhỏ hơn nhiều so với số chiều của không gian quyết định Rn). Do đó tập =
E
Y luôn nhỏ hơn và có cấu trúc đơn giản hơn nhiều so với XE
(xem [11, 27-28, 32-35]). Vì vậy, ngời ta hy vọng rằng việc xác định tất cả hay một phần =
E
Y sẽ đơn giản hơn việc xác định tất cả hay một phần
E X .
ii) Kinh nghiệm thực tế cho thấy rằng, ngời ra quyết định sẽ dễ dàng hơn trong việc tìm nghiệm thích hợp với mình trong YE= (xem [26-28]).
iii) ánh xạ C có thể biến nhiều điểm trong XE thành một điểm trong YE=
(xem [36-38]).
2.4 Kết luận
Trong chơng này, em đã trình bày về: mô hình toán học, khái niệm nghiệm hữu hiệu, hữu hiệu yếu của bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu. Lý do giải bài toán (MOLP) trong không gian giá trị. Trong Chơng III, em sẽ trình bày thuật toán xấp xỉ ngoài của H. P. Benson giải bài toán này.
bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu trong không gian giá trị
Chơng này dành để trình bày thuật toán xấp xỉ ngoài do Benson [5] đề xuất để giải bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu trong không gian giá trị.
Xét bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu
Vmax {Cx,x∈X}, (MOLP) trong đó: C là ma trận cấp (pìn) với p≥2,
X ⊂ Rnlà đa diện khác rỗng (tức tập lồi đa diện bị chặn), {x R Ax b,x 0}
X = ∈ n = ≥ ,
A là ma trận cấp (mìn), b∈Rm.
Tập giá trị (outcome set) của X trong không gian giá trị Rp là
{y R y Cx, x X}
Y= = ∈ p = ∈ . (1) Khi đó Y= là đa diện khác rỗng (xem [43]).
Định nghĩa 3.1.1
Một điểm y0 ∈Rp đợc gọi là giá trị hữu hiệu của bài toán (MOLP) nếu
0 0
0 Y , y Y y y ,y y
y ∈ = và khôngtồn tại ∈ = saocho ≥ ≠ . Kí hiệu =
E
Y là tập tất cả các giá trị hữu hiệu của bài toán (MOLP). Ta gọi =
E Y
là tập giá trị hữu hiệu.
Mệnh đề 3.1.1 Nếu X là đa diện khác rỗng thì = ≠∅
E
Y và đợc xác định bởi
{y Rp y Cx, X }
3.1. Tơng đơng hữu hiệu Xét tập Y⊂ Rp đợc xác định nh sau {y R yˆ y Cx x X} Y = ∈ p ≤ ≤ vớimỗi ∈ , trong đó p p 2 1,yˆ,...,yˆ ) R yˆ (
yˆ= ∈ là véc tơ thoả mãn { ∈ =}
<min y ,y Y
yˆi i , với i=1, 2, , p… .
Ví dụ 3.1.1:
Xét Rp =R2, giả sử ta có tập Y= =conv{A,B,C,D,E,F}.
Hình 6.
Ta xây dựng đợc tập Y =conv{A,B,C,G,H,K}nh Hình 6 thoả mãn {y R yˆ y Cx x X}
Y = ∈ 2 ≤ ≤ vớimỗi ∈ , ở đây yˆ<y =(miny1,miny2).
Một điểm y∈Rp đợc gọi là điểm hữu hiệu của Y khi y∈Y và không tồn tại y y , y y Y y∈ saocho ≥ ≠ .
Kí hiệu là YE là tập tất cả các điểm hữu hiệu của Y. Kết quả sau đây rất hữu ích cho việc xác định tập giá trị hữu hiệu YE (xem [32]).
Định lý 3.1.1
Tập Y là một đa diện khác rỗng trong không gian R , với thứ nguyên đầy p (dimY=p). Hơn nữa,
E E Y Y= = .
Vì YE= =YE nên ta gọi đa diện Y là tơng đơng hữu hiệu với đa diện Y=. Theo Định lý 3.1.1, Y là một đa diện khác rỗng trong Rp, về lý thuyết thì luôn tồn tại ma trận D cấp (rì p) và véc tơ d∈Rp, r≥ p+1 sao cho
{y R Dy d 0}
Y = ∈ p − ≤ . (3)
Giả sử ta biết đợc biểu diễn của Y theo (3) thì có thể áp dụng đợc các thuật toán giải bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu đã có (xem [8-9, 12, 15, 18, 22 và 25]) giải bài toán
Vmax{y, y∈Y} (*) để tìm YE =YE=.
Tuy nhiên, nói chung ta không xác định đợc ma trận D và véc tơ d nh ở biểu diễn (3). Vì vậy, việc giải bài toán (*) theo hớng này vẫn là một câu hỏi.
Phần còn lại của chơng này dành để trình bày thuật toán xấp xỉ ngoài giải bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu trên Y= để tìm =
E Y . Đặt = ex Y (t, Yex) là tập tất cả các đỉnh của Y= (t, Y). Khi đó Định lý 3.1.2 (Xem Benson [32]) Đặt {y Y y yˆ} E= ∈ ex > . Khi đó E Y YE= ∩ ex= = . Nhận xét 3.1.1
Theo Định lý 3.1.2 nếu biết đợc tập tất cả các đỉnh Yexcủa Y thì dễ dàng nhận đợc tập tất cả các đỉnh hữu hiệu của tập giá trị hữu hiệu Y= trong bài toán (MOLP). Để làm điều đó, đơn giản là loại trừ từ tập đỉnh Yexcủa tập Y những điểm
y sao cho có ít nhất một yi =yˆi với i=1,..,p.
Từ nhận xét này đa đến việc xây dựng thuật toán xấp xỉ ngoài tìm tập đỉnh giá trị hữu của bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu.