BÀI TẬP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ I Phương pháp giải 1 Quy tắc thế Quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương Quy tắc gồm hai bước Bước 1 Từ một[.]
BÀI TẬP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ I Phương pháp giải Quy tắc Quy tắc dùng để biến đổi hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương Quy tắc gồm hai bước: Bước 1: Từ phương trình hệ cho (coi phương trình thứ nhất) ta biểu diễn ẩn theo ẩn vào phương trình thứ hai để phương trình (chỉ cịn ẩn) Bước 2: Dùng phương trình để thay cho phương trình thứ hai hệ (phương trình thứ thường thay hệ thức biểu diễn ẩn theo ẩn có bước 1) Tóm tắt cách giải hệ phương trình phương pháp a) Dùng quy tắc biến đổi hệ phương trình cho để hệ phương trình mới, có phương trình ẩn b) Giải phương trình ẩn vừa có, suy nghiệm hệ cho II Bài tập Bài 1: (12/15/SGK, Tập 2) Giải hệ phương trình sau phương pháp thế: x y 3x y a) 7 x y 4 x y b) Giải a) Rút x từ phương trình thứ hệ: x y 3x y Cách 1: Thay x y vào phương trình thứ hai hệ ta có: x y x y x y x 7 3( y 3) y 3 y y y 7 y Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y) (10;7) Cách 2: Rút y từ phương trình thứ hệ: y x y x y x y x 3x y 3x 4( x 3) 3x x 12 x 10 y x y 10 y x 10 x 10 x 10 x y 2 5 x y 11 c) Vậy hệ cho có nghiệm x; y 10;7 Cách 3: Rút x từ phương trình thứ hai hệ: x y x y 3 x y x y Thay x y vào phương trình bậc hệ 4 y y y y 30 x 10 x y x 3 Vậy hệ có nghiệm x; y 10;7 Cách 4: Rút y từ phương trình thứ hai hệ: 4 y 3x y 3x y x 4 Thay x x vào phương trình thứ hệ ta có 3 x 10 x 10 x 10 x x 4 x y x 12 4 3x y 3x y 3.10 y 4 y 28 y 3x y Vậy hệ cho có nghiệm là: x; y 10;7 Qua cách giải hệ phương trình câu a) cho ta thấy: Khi giải hệ phương trình bậc hai ẩn Ta rút ẩn phương trình Nhưng điều phải nhớ, quên là: Nếu rút ẩn x hay ẩn y phương trình thứ phải thay giá trị ẩn vào phương trình thứ hai hệ Điều bạn học sinh phải nhớ không quên 7 x y 4 x y b) Giải hệ phương trình phương pháp thế: y 4 x 7 x y Rút y từ phương trình thứ hai hệ Thay y 4 x vào phương trình thứ hệ, ta có: 11 x x 3( x 2) x 12 x ( 6) 13 x 11 19 4 x y 4 x y 4 x y 11 y 19 11 11 x 19 x 19 44 y 2 y 6 19 19 11 6 ; 19 19 Vậy hệ có nghiệm x; y x y 2 5 x y 11 c) Giải hệ phương trình Rút x từ phương trình thứ hệ, ta có: x 3 y thay x 3 y vào phương trình thứ hai hệ ta có: 5 x y 11 x 3 y x 3 y x 3 y 5(3 y 2) y 11 15 y 10 y 11 19 y 21 25 21 x 3 x x 3 y 19 19 21 y 19 y 21 y 21 19 19 25 21 ; 19 19 Vậy hệ có nghiệm x; y Bài 2: (13/15/SGK, Tập 2) Giải hệ phương trình bậc hai ẩn phương pháp x y 1 b) 5 x y 3x y 11 a) 4 x y x y 3x y 4 c) Giải 3x y 11 4 x y a) Giải hệ phương trình Rút x từ phương trình thứ hệ, ta có: 3x y 11 y Thay x y 3x y y 11 vào phương trình thứ hai hệ ta có: 11 11 5y 3x y 11 44 y 5y 3 3x y 11 44 y 5y 3 11 3x 3x y 2y 11 35 y y 11 3x 21 y 3x y 11 y 35 x 10 y x y 11 Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y x y b) Giải hệ phương trình 5x y 3x y 5x y 7;5 Rút x từ phương trình thứ hệ y 5x y 3x y 5x y y Thay x 3x y y 3x y x vào phương trình hai hệ ta có: 8y 2y 3x y 14 y 3x y 3 21 3x y 2y 3x y x y Vậy hệ cho có hai nghiệm x; y c) Giải hệ phương trình x y 3x y 3 3; Thay x y vào phương trình thứ hai hệ ta có: x y 3(7 y ) y x y y x y 21 y y x y x y x y 5y 25 Vậy hệ có nghiệm x; y 2;5 Bài 3: (14/15/SGK, Tập 2) Giải hệ phương trình sau phương pháp thế: x a) y x 3y b) 30 x y 4x y Giải x a) Giải hệ phương trình y x 3y Rút x từ phương trình thứ hệ x y x 3y y vào phương trình thứ hai hệ, ta có: Thay x x y y 5 x 3y 5 x y y 5y 3y 5 x x 2y x 3y 4x x y 4x (14 y y 4x y ; 4x 4 vào phương trình thứ hệ ta có: 4x 14 x 3 x 12 x 12 y 4x y x 4.1 y 3 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x; y 1; Bài 4: (15/15/SGK, Tập 2) Giải hệ phương trình a) a 4 3) x 5 Rút y từ phương trình thứ hai hệ: y y 5 y b) Giải hệ phương trình: 4x x Vậy hệ có nghiệm x; y Thay y y x (a 3y 1) x 6y 2a b) a trường hợp sau: c) a Giải a) Giải hệ phương trình cho với a vào hệ phương trình: Thay a x 3y (a 1 1) x 6y 2a x Ta có: 3y ( 1)2 1x 6y x 3y 2x y 2( 1) Rút x từ phương trình thứ hệ ta có: x y Thay x y vào phương trình thứ hai hệ, ta có: x 3y 2(1 y ) y x 3y 6y 6y x 3y 0y Hệ cho vô nghiệm b) Giải hệ phương trình x 3y (0 1) x y x x x (a 3y 6y 3y 1) x 6y 2a với a Rút x từ phương trình thứ hệ: x y Thay x y vào phương trình thứ hai hệ: x 3y 3y y x x 3y 3y 0 3 x y y x x 3y 3y 1 1 x y 3y 3 y Vậy hệ phương trình cho có nghiệm nhất: x; y 2; c) Giải hệ phương trình cho với a Thay a vào hệ phương trình cho, ta có: x 3y (1 1) x 6y 2.1 x 3y (1 1) x y x 3y 2x y Rút x từ phương trình thứ hệ: x y Thay x y vào phương trình thứ hai hệ: x 3y 2(1 y ) y x 3y 6y 6y x 3y 0y x y 3y Bài 5: (16/16/SGK, Tập 2) Giải hệ phương trình sau phương pháp 3x a) 5x y y 23 3x y b) 2x y x c) y x y 10 Giải a) Giải hệ phương trình 3x 5x y phương pháp y 23 Rút x từ phương trình thứ hệ: 3x y x y Thay x y 5 vào phương trình thứ hai hệ ta có: 5 x y x y x y x y 3 3 3 5 y y 23 5 y 25 y 69 11 y 44 y 3 3x x x 3 y y y Vậy hệ cho có nghiệm x; y 3; b) Giải hệ phương trình 3x y 2x y phương pháp Rút y từ phương trình thứ hai hệ: y 2 x y x Thay y x vào phương trình thứ hệ ta có: 3x 5(2 x 8) 3 x 10 x 40 13 x 39 x 3 x 3 y 2x y 2x y 2x y 2(3) y Vậy hệ cho có nghiệm x; y 3; x c) Giải hệ phương trình y x y 10 Áp dụng tính chất tỉ lệ thức: Trong tỉ lệ thức ta hốn vị số hạng ngoại tỉ cho hốn vị số hạng trung tỉ Tính ngoại tỉ tích trung tỉ 3x y 3x y x y 10 x y 10 Rút x từ phương trình hai hệ, ta có: y 10 x Thay y 10 x vào phương trình thứ hệ được: 3x 2(10 x) 3 x 20 x 5 x 20 y 10 x y 10 x y 10 x x x y 10 y Vậy hệ cho có nghiệm x; y 4;6 Bài 6: (17/16/SGK, Tập 2) Giải hệ phương trình phương pháp Giải x y a) Giải hệ phương trình x y phương pháp Rút x từ phương trình thứ hai hệ: x y Thay x y vào phương trình thứ hệ, ta có: y y 2 y y y 1 x y x y x y 1 y y 3( 1) x y x ( 1) Vậy hệ cho có nghiệm x; y 1; x 2 y b) Giải hệ phương trình x y 10 1 x y c) x 1 y x 2 y b) x y 10 x y a) x y phương pháp Rút x từ phương trình thứ hệ: x 2 y Thay x 2 y vào phương trình thứ hai hệ, ta có: x 2 y x 2 y x 2 y 4 y 10 y 10 5 y 10 2 y y 10 10 2 3 x 2 x y 10 10 y 2 10 ; 5 Vậy hệ phương trình có nghiệm x; y 1 x y c) Giải hệ phương trình x 1 y Rút y từ phương trình thứ hệ: y 1 x Thay y 1 x vào phương trình thứ hệ, ta có: y 1 x y 1 x y 1 x x x x x 2 2 x 3 3 x x 2 y 1 y 2 3 ; 2 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x; y Bài 7: (18/16/SGK, Tập 2) 2 x by 4 có nghiệm 1; 2 bx ay 5 a) Xác định hệ số a b biết hệ phương trình b) Cũng hỏi vậy, hệ phương trình có nghiệm 1; Giải 2 x by 4 bx ay 5 a) Thay x y 2 vào hệ: 2.1 b.(2) 4 2 2b 4 2b b b a 4 b.1 a(2) 5 b 2a 5 2a b 2a 3 2a 8 b Ta có: a 4 b Vậy hệ a, b hệ phương trình cho 2 x by 4 ta có: bx ay 5 b) Thay x 1 y vào hệ: 2( 1) b 4 2 2b 4 2b 4 2 b( 1) a 5 b b 2a 5 2b b 2a 5 2 2b 2 b 2 a a 5 b( 1) a b Bài 8: (19/16/SGK, Tập 2) Biết rằng: Đa thức P(x) chia hết cho đa thức x a P( x) Hãy tìm giá trị m n cho đa thức sau đồng thời chia hết cho x x P( x) mx3 (m 2) x (3n 5) x 4n Giải Theo đề P( x) ( x 1) P( x) tức x a x 1 P(1) P(1) m (m 2) (3n 5) 4n m m 3n 4n 7 n n 7 P( x) ( x 3) P(3) 27m 9(m 2) 3(3n 5) 4n 27m 9m 18 9n 15 4n 36m 13n Do 36m 13(7) 36m 88 m 22 Vậy n 7 22 ... 6) 13 x 11 19 4 x y 4 x y 4 x y 11 y 19 11 11 x 19 x 19 44 y 2 y 6 19 19 11 6 ; 19 19 Vậy hệ có nghiệm ... 15 y 10 y 11 19 y 21 25 21 x 3 x x 3 y 19 19 21 y 19 y 21 y 21 19 19 25 21 ; 19 19 Vậy hệ có nghiệm ... 4n Giải Theo đề P( x) ( x 1) P( x) tức x a x 1 P(1) P(1) m (m 2) (3n 5) 4n m m 3n 4n 7 n n 7 P( x) ( x 3) P(3) 27m 9( m 2)