Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn I Lý thuyết Cho đường thẳng và đường tròn (O; R) Gọi OH là khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng Ta có ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường tr[.]
Vị trí tương đối đường thẳng đường trịn I Lý thuyết Cho đường thẳng đường tròn (O; R) Gọi OH khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng Ta có ba vị trí tương đối đường thẳng đường tròn sau: Trường hợp 1: Nếu khơng cắt (O) OH > R ; (O) khơng có điểm chung Ta nói đường thẳng ∆ đường trịn (O) khơng giao Trường hợp 2: Nếu (O) tiếp xúc OH = R; (O) có điểm chung Điểm chung H Khi đó, tiếp tuyết đường tròn (O) Trường hợp 3: Nếu (O) cắt OH < R; (O) có hai điểm chung A B Khi đó, ta gọi đường thẳng cát tuyến đường tròn (O) 2 Định nghĩa tiếp tuyến Nếu đường thẳng đường tròn (O) có điểm chung ta nói tiếp tuyến đường trịn (O) Điểm chung gọi tiếp điểm Định lý tiếp tuyến Nếu đường thẳng tiếp tuyến đường tròn vng góc với bán kính qua tiếp điểm đường trịn Có tiếp tuyến đường trịn (O) điểm H, OH ⊥ H II Các dạng tập Dạng 1: Cho biết bán kính đường trịn khoảng cách từ tâm đến đường thẳng, xác định vị trí tương đối đường thẳng đường tròn Phương pháp giải: Gọi khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng d; bán kính R ta so sánh d với R dựa vào kiến thức vị trí tương đối đường thẳng đường tròn để kết luận + Nếu d > R thù đường thẳng đường trịn khơng cắt + Nếu d = R đường thẳng đường trịn tiếp xúc + Nếu d < R đường thẳng đường trịn cắt Ví dụ 1: Cho điểm B(2;4) Hãy xác định vị trí tương đối đường trịn (B; 3) với hai trục Ox; Oy Lời giải: Vẽ BC ⊥ Oy BC = Vẽ BD ⊥ Ox BD = Vì BC < R (2 < 3) nên đường tròn cắt trục Oy hai điểm E F hay (B) cắt trục Oy Vì BD > R (4 > 3) nên đường tròn trục Ox khơng có điểm chung hay (B) Ox khơng cắt Ví dụ 2: Điền vào chỗ chấm biết R bán kính đường trịn d khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng R 5cm d 6cm Vị trí tương đối đường thẳng với đường tròn …………………… 6cm … 11cm 5cm 7cm 11cm …………………… Đường thẳng đường tròn tiếp xúc …………………… Lời giải: R 5cm 6cm 7cm 11cm d 6cm 5cm 7cm 11cm Vị trí tương đối đường thẳng với đường trịn Đường thẳng khơng cắt đường trịn Đường thẳng cắt đường tròn Đường thẳng đường tròn tiếp xúc Đường thẳng đường tròn tiếp xúc Dạng 2: Xác định vị trí tâm đường trịn có bán kính cho trước tiếp xúc với đường thẳng cho trước Phương pháp giải: Xác định khoảng cách từ tâm đường trịn đến đường thẳng cho trước sử dụng tính chất điểm cách đường thẳng cho trước khoảng cách khơng đổi Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng a b song song với cách khoảng 4cm Lấy điểm O a vẽ đường tròn (O; 4cm) Chứng minh O tiếp xúc với b Lời giải: Vì O a nên O cách b khoảng 4cm Mà bán kính đường trịn 4cm (O;4cm) tiếp xúc với b Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng d1 d song song với cách khoảng 6cm Vẽ đường trịn (O;4cm) có tâm O nằm đường thẳng song song với d1 d cách d1 4cm cách d 2cm Chứng minh (O;4cm) tiếp xúc với d1 cắt d Lời giải: Gọi G hình chiếu O lên d OG khoảng cách từ O đến d Vì O nằm đường thẳng song song với d cách d khoảng 2cm nên OG = 2cm Ta có: OG < R (2 < 4) nên (O;4cm) cắt d Gọi I hình chiếu O lên d1 OI khoảng cách từ O đến d1 Vì O nằm đường thẳng song song với d1 cách d1 khoảng 4cm nên OI = 4cm Ta có: OI = R = 4cm nên (O;4cm) tiếp xúc với d1 Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng d1 d song song với cách khoảng 6cm Một đường tròn tâm O tiếp xúc với hai đường thẳng d1 d Hỏi tâm O nằm đường Lời giải: Vẽ OG ⊥ d1 OG khoảng cách từ O đến d1 Vẽ OE ⊥ d OE khoảng cách từ O đến d Vì (O) tiếp xúc với d1 d OG = OE = R (với R bán kính đường trịn) Mà d1 d cách khoảng 6cm Do OG = OE = 3cm Vậy tâm O nằm đường thẳng cách d1 d 3cm Đường thẳng song song với d1 d Ví dụ 4: Cho hình vng ABCD Trên đường chéo BD lấy H cho BH = AB Qua H kẻ đường thẳng vng góc với BD cắt AD cắt AD O a) So sánh OA; OH HD b) Xác định vị trí tương đối BD với (O; OA) Lời giải: a) Xét OAB OHB có: OB chung AB = BH (giả thuyết) OAB = OHB = 90 Do OAB = OHB (cạnh huyền – cạnh góc vng) OA = OH (hai cạnh tương ứng) (1) Xét tam giác OHD vng H có ODH = 45 (do BD đường chéo hình vng ABCD) OHD tam giác vuông cân H OH = HD (2) Từ (1) (2) OH = HD = OA b) Vì OA = OH OH ⊥ BD nên BD tiếp tuyến đường tròn (O;OA) Vậy BD tiếp xúc với (O;OA) Dạng 3: Bài tốn liên quan đến tính độ dài Phương pháp giải: Nối tâm với điểm vận dụng định lí tính chất tiếp tuyến định lý Py – ta – go Ví dụ 1: Cho đường trịn tâm O bán kính 8cm điểm A cách O 10cm Kẻ AB tiếp tuyến, B tiếp điểm Tính AB Lời giải: Vì AB tiếp tuyến (O), B tiếp điểm nên AB ⊥ OB Xét tam giác OAB vng B ta có: OB2 + AB2 = OA (định lý Py – ta – go) Thay OA = 10cm; OB = 8cm ta có: 82 + AB2 = 102 64 + AB2 = 100 AB2 = 100 − 64 AB2 = 36 AB = Vậy AB = 6cm Ví dụ 2: Cho đường trịn (O;8), Từ M ngồi (O) vẽ hai tiếp tuyến AM BM cho AM ⊥ BM M với A, B hai tiếp điểm a) Tính AM BM b) Gọi I giao điểm OM với (O) (I nằm O M) Tại I kẻ tiếp tuyến với (O) cắt OA, OB C D Tính CD Lời giải: a) Vì A, B tiếp điểm nên OA ⊥ AM OB ⊥ BM OBM = OAM = 90 Lại có: MA ⊥ MB AMB = 90 Xét tứ giác OBMA có: OBM = OAM = AMB = 90 tứ giác OBMA hình chữ nhật Lại có OB = OA = R Do tứ giác OBMA hình vng OA= OB = MA = MB Mà OA = OB = R = Nên MA = MB = (đơn vị độ dài) b) Vì OBMA hình vng nên OM đường phân giác góc O AOM = BOM = 45 Vì CD tiếp tuyến; I tiếp điểm nên CD ⊥ OI Xét tam giác OIC vng I ta có: COI = 45 tam giác OIC cân tạI I (tính chất) IC = IO = R = Xét tam giác OID vng I ta có: DOI = 45 Tam giác OID cân I ID = IO = Ta có: CD = ID + IC = + = 16 (đơn vị độ dài) III Bài tập tự luyện Phần 1: Trắc nghiệm Câu 1: Câu sau A Đường thẳng tiếp xúc với đường trịn đường thẳng có giao điểm với đường tròn B Đường thẳng cắt đường tròn đường thẳng có giao điểm với đường trịn C Đường thẳng khơng cắt đường trịn khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng nhỏ bán kính D Khoảng cách từ tâm đường trịn đến đường thẳng nhỏ R đường thẳng tiếp xúc với đường tròn Câu 2: Cho (O;6cm) đường thẳng a Gọi d khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a Điều kiện để a cắt O là: A Khoảng cách d < 6cm B Khoảng cách d = 6cm C Khoảng cách d > 6cm D Khoảng cách d 6cm Câu 3: Cho điểm A(3;4) Khi đường trịn (A;4) có vị trí với hai trục Ox; Oy A Cắt Ox tiếp xúc với Oy B Cắt Ox Oy C Cắt Oy tiếp xúc với Ox D Tiếp xúc với Ox không giao với Oy Câu 4: Cho đường thẳng d Tâm đường trịn có bán kính tiếp xúc với d nằm đường nào? A Một đường thẳng song song với d cách d khoảng 1cm B Một đường thẳng song song với d cách d khoảng 2cm C Hai đường thẳng song song với d cách d khoảng 1cm D.Hai đường thẳng song song với d cách d khoảng 2cm Phần 2: Tự luận Bài 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(2;5) Vẽ đường trịn (A;3) Xác định vị trí tương đối (A;3) với hai trục Ox; Oy Bài 2: Xác định tâm đường trịn có bán kính 5cm tiếp xúc với đường thẳng d nằm đường Bài 3: Cho đường tròn (O;R) dây AB = R , vẽ tiếp tuyến song song với AB, cắt tia OA, OB M N Tính diện tích tam giác OMN theo R Bài 4: Cho đường trịn (O) đường kính AB = 2R Bán kính OC vng góc với AB Lấy điểm F thuộc đoạn OB Kẻ CF cắt đường tròn (O) D vẽ tiếp tuyến đường tròn D cắt AB E Chứng minh EF = ED Bài 5: Cho điểm A cách đường thẳng xy 12cm a) Chứng minh (A;13cm) cắt đường thẳng xy hai điểm phân biệt b) Gọi giao điểm (A;13cm) với xy C D Tính độ dài đoạn thẳng CD Bài 6: Cho đường trịn (O) đường kính AB Một điểm M thay đổi đường tròn (M khác A B) Vẽ đường tròn (M) tiếp xúc với AB H Từ A B kẻ hai tiếp tuyến AC, BD đến đường tròn (M) a) Chứng minh: CD tiếp tuyến đường tròn (O) b) Chứng minh AC + BD khơng đổi c) Tính giá trị lớn AC.BD Bài 7: Cho đường tròn (O;R) đường kính AB Trên tia đối tia AB lấy điểm C Từ C kẻ tiếp tuyến CD với (O) Kẻ DH ⊥ AB H Chứng minh: CH.CO = CA.CB Bài 8: Cho nửa đường trịn (O), đường kính AB Lấy điểm C thuộc (O) gọi d tiếp tuyến qua C với (O) Kẻ AE BF vng góc với d; CH vng góc với AB a) Chứng minh: CE = CF CH = AE.BF b) Khi C di chuyển nửa đường tròn, tìm vị trí C để EF lớn Đáp án trắc nghiệm Câu 1: A Câu 2: A Câu 3: C Câu 4: D ... 11cm Vị trí tương đối đường thẳng với đường trịn Đường thẳng khơng cắt đường trịn Đường thẳng cắt đường tròn Đường thẳng đường tròn tiếp xúc Đường thẳng đường tròn tiếp xúc Dạng 2: Xác định vị trí. .. khoảng cách từ tâm đường trịn đến đường thẳng d; bán kính R ta so sánh d với R dựa vào kiến thức vị trí tương đối đường thẳng đường tròn để kết luận + Nếu d > R thù đường thẳng đường trịn khơng... điểm đường trịn Có tiếp tuyến đường tròn (O) điểm H, OH ⊥ H II Các dạng tập Dạng 1: Cho biết bán kính đường tròn khoảng cách từ tâm đến đường thẳng, xác định vị trí tương đối đường thẳng đường