50 bai tap duong tron ngoai tiep duong tron noi tiep co dap an toan 9

BÀI TẬP ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP I Phương pháp giải 1 Định nghĩa * Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác được gọi là đ[.]

Trang 1

BÀI TẬP ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP - ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP I Phương pháp giải

1 Định nghĩa:

* Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác nội tiếp đường tròn

* Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác được gọi là đường tròn nội tiếp tam giác và đa giác được gọi là đa giác ngoại tiếp đường trịn

2 Định lí:

Bất kỳ đa giác nào cũng có một và chỉ một đường trịn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường trịn nội tiếp

II Bài tập

Bài 1: (61 /91 /SGK T2)

a) Vẽ đường trịn tâm O, bán kính 2cm

b) Vẽ hình vng nội tiếp đường trịn (O) ở câu a)

c) Tính bán kính r của đường trịn nội tiếp hình vng ở câu b) rồi vẽ đường trịn  O r;

Giải

a) Vẽ đường tròn O cm; 2 

b) Vẽ hai đường kính AB và CD vng góc với nhau tại O

Nối A, B, C, D với nhau ta được hình vng ABCD nội tiếp đường trịn (O) có bán kính dài 2cm

c) Kẻ đường cao OH ứng với cạnh AB HAB

AOB

 có OAOB R  AOB cân tại O

Lại có ·AOB 90 (vì ACBD theo tính chất đường chéo của hình vng, nên AOB vng cân tại O

 222OBROH  cm Bài 2: (62 /91 /SGK T2)

a) Vẽ tam giác đều ABC cạnh a3cm

Trang 2

d) Vẽ tam giác đều IJK ngoại tiếp được tròn O R; 

Giải

a) Vẽ ABC đều cạnh bằng 3cm

Cách vẽ: Muốn vẽ một tam giác đều ABC có cạnh dài 3cm ta vẽ: - Vẽ đoạn thẳng BC dài 3cm

- Lấy B làm tâm vẽ cung trịn bán kính 3cm - Lấy C làm tâm vẽ cung tròn bán 3cm

- Cũng trên tâm B và cũng trên tâm C cắt nhau tại A

Nối A với B, nối A với C ta được tam giác đều ABC cạnh có độ dài 3cm

b) Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC và các tiếp tuyến tại A, B, C

Cách vẽ:

- Vẽ các đường cao AH, BE ứng với cạnh BC và cạnh AC AH và BE cắt nhau tại O

O chính là tâm đường trịn ngoại tiếp ABC vì O cách đều A, B, C vì tam giác đều ba đường cao đồng thời ba đường trung tuyến, trung trực, phân giác

- Vẽ đường tròn tâm O bán kính OAR Ta có: 223  .3333ABROA AH  cm

c) Vẽ đường tròn nội tiếp tam giác đều ABC

Đường trịn nội tiếp một tam giác có tâm là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác đó

VABC là tam giác nên O là giao điểm của ba đường cao AH, BE, CF đồng thời O cũng là tâm đường tròn nội tiếp tam giác này

Vẽ đường tròn tâm O bán kính OH r là đường trịn nội tiếp ABC

Theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác thì 1

3

OA AH

AHB

 vng tại H (tam giác đều đường phân giác cũng là đường cao) nên:

Trang 3

222243334442aaaaaAH mà 13OH  AH nên: 1. 3 1 3 3.3232aOH  r  (vì 3a cm) 3 2 cm

d) Vẽ IJK đều ngoại tiếp đường tròn O R; 

Biết rằng tam giác ngoại tiếp đường trịn, thì đường trịn nội tiếp tam giác đó Do đó tam giác đều IJK ngoại tiếp đường tròn O R;  thì đường trịn O R;  nội tiếp tam giác này tâm O của O R;  chính là giao điểm của ba đường trung trực, phân giác, đường cao của tam giác đều IJK Từ đó ta có cách vẽ

Vẽ ba đường thẳng ứng với OA, OB, OC tại A, B, C ba đường thẳng này cắt nhau tại I, J, K, IJK chính là tam giác đều phải vẽ

Bài 3: (63/92 /SGK T2)

Vẽ lục giác đều, hình vng, tam giác đều cùng nội tiếp O R;  rồi tính cạnh của các hình đó theo R

Giải

* Vẽ đường tròn tâm O R; 

- Biết rằng lục giác đều nội tiếp đường tròn, nối cạnh là một dây cung căng một cung có số đo là 60 Từ đó suy ra cách vẽ lục giác đều nội tiếp đường tròn O R;  như sau Trên đường tròn O R;  vừa vẽ đặt liên tiếp các cung: AB, BC, CD, DE, EF có các dây căng các cung này có độ dài bằng R

(Đường trịn bảng 360 nên 6 cung thì mỗi cung bằng 60

)

AOB

  là tam giác đều OAOBAB R Mỗi cạnh của lục giác đều ABCDEF có độ dài bằng R

* Vẽ hình vng nội tiếp đường trịn O R; 

Tứ giác lớn AD2R và dây nhỏ BC = R hai cạnh bên AB và CD = R Vậy đáy lớn AD của hình thang cân ABCD chính là đường kính

Vẽ đường kính PQ AD Nối A với Q và A với D; nối D với Q và D với P ta được hình vng AQDP nội tiếp đường trịn O R; 

Trang 4

Biết rằng tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau, khi tam giác đều nội tiếp đường trịn thì ba cạnh là ba dây cung căng ba cung bằng nhau, mỗi cung là 120 Do đó ta có cách vẽ:

Nối A với C, nối C với E, nối E với A được ACE là tam giác đều vì

»»» 120 µ

ACCEEA A nội tiếp chắn CE»120nên µ 60A  Từ đó có Cµ µ  E 60 * Tính cạnh của các hình trên

- Đã biết cạnh của lục giác đều ABCDEF nội tiếp đường tròn O R;  bằng R - Cạnh của hình vng AQDP là AQ

AOQ

 vuông cân tại O nên 22222

AQ OA OQ R R (Định lí Pi-ta-go) 2

22

AQRR



- Tính cạnh của ACE đều

Biết rằng 2 2 3 12.3 3

332 3

OA AH  AC  ACR

Bài 4: (64/ 92/ SGK T2)

Trên đường trịn bán kính R lần lượt đặt theo cùng một chiều, kể từ A ba cung AB, BC, CD sao cho sñ»AB60 ; sñ BC»90 ; sñ CD»120

a) Tứ giác ABCD là hình gì?

b) Chứng minh rằng hai đường chéo của tứ giác ABCD vng góc với nhau c) Tính độ dài các cạnh của tứ giác ABCD theo R

Giải

Đường tròn O R; 

GT sñAB»60 ; sñ»BC90 ; sñ CD»120* ABCD là hình thang cân

KL * ACBD

* Tính độ dài của AB, BC, CD, DA

Chứng minh

a) Chứng minh ABCD là hình thang cân

Muốn chứng minh tứ giác ABCD là hình thang cân

Bước 1: Phải chứng minh được tứ giác ABCD có hai cạnh đối song song Bằng trực giác

Trang 5

Muốn chứng minh dây AB/ / dây CD; ta phải chứng minh ·BAC·ACD

Muốn chứng minh hai góc nội tiếp ·BAC·AOD ta phải chứng minh hai cung bị chắn BC với cung AD bằng nhau

Theo giả thiết: »AB 60 ; cung »BC 90 ;CD»120 AB BC CD»»»    60 90 120 270

»»»··

DA360 270    90 BC AD  90 BAC ACD (Hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau) mà BAC· và ACB· là hai góc ở vị trí so le nên AB/ /CD Tứ giác ABCD là hình thang (Theo định nghĩa: Tứ giác có hai cạnh đối song song là hình thang) (1) · » » sđsđ2AB BC

ADC (Theo định lí góc nội tiếp) mà »BC AD» 90

nên ·ADCBCD· (2)

Từ (1) và (2) ta có: Hình thang ABCD là hình thang cân (Theo định lí: Hình thang cân có hai góc kề với mỗi đáy bằng nhau)

b) Chứng minh ACBD

Có nhiều phương pháp chứng minh hai đường thẳng vng góc với nhau Trong các cách đó có mặt cách chứng minh: Dùng định nghĩa hai đường thẳng vng góc

Gọi giao điểm của AC và BD là H ·

AHD là góc có đỉnh ở trong đường trịn nên:

· » » 

sđsđ

2

AD BC

AHD (Theo định lí: Số đo của góc có đỉnh ở trong đường trịn bằng nửa tổng số đo của hai cung bị chắn giữa hai cạnh của góc) mà

» » 90 sđ·  90 90  18090

22

AD BCAHD

Vậy ACBD (Theo định nghĩa hai đường thẳng vng góc với nhau) c) Tính độ dài các cạnh của tứ giác

Do BC» 90 nên AOC vuông cân tại 222

OBC OB OC (Định lí Pi-ta-go) 22222222BCRRRBCRR Vậy BCADR 2» 60

AB   AOB là tam giác đều ABR » 120