c Đề bài Bài 1 (2 điểm) 1) Thực hiện phép tính a) 2 8 2 18 5 32 2 1 b) 5 6 5 7 7 5 7 5 7 1 2) Giải phương trình 15 17 x x Bài 2 (2,5 điểm) Cho biểu thức 2 3 9 3 1 2 2 1[.]
c ĐỀ THI HỌC KÌ I: ĐỀ SỐ MƠN: TỐN - LỚP BIÊN SOẠN: BAN CHUN MƠN LOIGIAIHAY.COM Đề Bài 1: (2 điểm) 1) Thực phép tính: a) b) 18 32 56 7 1 1 5 2) Giải phương trình: x x 15 17 Bài 2: (2,5 điểm) Cho biểu thức P 3x x x 1 x 2 với x 0, x x x 2 x 1 x a) Rút gọn biểu thức P b) So sánh P với c) Tìm x để P với điều kiện P có nghĩa nguyên P Câu 3: (2 điểm) (VD) Cho đường thẳng d1 : y m 1 x 2m a) Tìm m để đường thẳng d1 cắt trục tung điểm có tung độ 3 Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm chứng tỏ giao điểm đồ thị hàm số vừa tìm với đường thẳng d : y x nằm trục hồnh b) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d1 đạt giá trị lớn Bài 4: (3 điểm) Cho điểm M đường trịn tâm O đường kính AB Tiếp tuyến M B O cắt D Qua O kẻ đường thẳng vng góc với OD cắt MD C cắt BD N a) Chứng minh DC DN b) Chứng minh AC tiếp tuyến đường tròn tâm O c) Gọi H chân đường vng góc kẻ từ M xuống AB, I trung điểm MH Chứng minh B, C, I thẳng hàng d) Qua O kẻ đường vng góc với AB, cắt O K (K M nằm khác phía với đường thẳng AB ) Tìm vị trí M để diện tích tam giác MHK lớn Bài 5: (0,5 điểm) Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn x y 3z 20 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A x yz x 2y z -HẾT HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT THỰC HIỆN: BAN CHUYÊN MÔN LOIGIAIHAY.COM LG Giải chi tiết: Bài 1: 1) Thực phép tính: 18 32 a) 1 22.2 32.2 42.2 2 2.3 5.4 2 1 1 2 20 15 18 32 Vậy 1 b) 56 7 1 5 5 7 1 6 5 7. 1 1 15 5 5 Vậy 56 7 1 6 2) Giải phương trình: x x 15 17 ĐKXĐ: x 15 x x 15 17 x 17 x 15 x 17 2 x 17 x 15 x 17 x 34 x 289 x 15 x 17 x 35 x 304 Xét phương trình bậc 2: x2 35x 304 có: 352 4.309 35 19 x1 2.1 Suy phương trình có hai nghiệm phân biệt 35 x2 16 2.1 Vậy phương trình cho có nghiệm x 19 LG Giải chi tiết: Cho biểu thức P 3x x x 1 x 2 với x 0, x x x 2 x 1 x a) Rút gọn biểu thức P ĐKXĐ: x 0, x tm ktm P 3x x x 1 x 2 x x 2 x 1 x 3x x x x 2 3x x x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x x 1 x x x 1 x x 1 x 2 x x 1 x 1 x 2 x 1 x x x 2 x 1 x 2 x 1 x x x 1 x 2 x x3 x 2 x 1 x 2 x 2 x 2 Vậy P x 1 x 1 b) So sánh P với P có nghĩa P với điều kiện P có nghĩa x 1 x x 1 x x 0, x x x x 1 x 1 Xét hiệu: P P P P x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Ta có: x x 1 Mà có: x (cmt) x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x x 1 P P P P với x $$$$ x x 1 x x 1 x x 1 0 c) Tìm x để Xét: x 1 x 1 P nguyên P Để nguyên P x 1 2 1 x 1 x 1 nguyên, suy x 1 x U x ước Mà x 1 x 1; 2 x 1 x 1 x ktm x tm x x Vậy với x nguyên P LG Giải chi tiết: Cho đường thẳng d1 : y m 1 x 2m a) Tìm m để đường thẳng d1 cắt trục tung điểm có tung độ 3 Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm chứng tỏ giao điểm đồ thị hàm số vừa tìm với đường thẳng d : y x nằm trục hồnh Vì d1 cắt trục tung điểm có tung độ 3 , suy 0; 3 nằm đường thẳng d1 m 1 2m 2m m Với m ta có phương trình đường thẳng d1 : y 3x Nhận thấy: A 0; 3 , B 1; nằm đồ thị hàm số Vì hàm số d1 : y 3x hàm số bậc nên đồ thị có dạng đường thẳng, từ ta có đồ thị: Hoành độ giao điểm d1 : y 3x d : y x nghiệm phương trình: x 3x x x 1 y x 1 Vậy giao điểm d1 : y 3x d : y x 1;0 Nhận thấy điểm 1;0 nằm trục hồnh (do có tung độ 0) Vậy ta có điều cần chứng minh b)Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d1 đạt giá trị lớn +) Với x y 2m A 0; 2m 1 giao điểm d1 với trục tung OA 2m +) Với y x OB 2m 1 m 1 2m 1 m 1 2m 1 B ;0 giao điểm d1 với trục hoành m 1 Từ O kẻ đường cao OH với, ta OH khoảng cách từ O tới d1 Xét tam giác vuông OAB vuông O có đường cao OH 1 (hệ thức lượng tam giác vuông) 2 OH OA OB Đặt t ta có: OH t 1 OA OB m 1 2 2m 1 2m 1 m 2m 1 m 4m 4m 2 2 4m t 4mt t m 2m m 4t 1 2m 2t 1 t Coi phương trình bậc ẩn m , phương trình có nghiệm 2t 1 4t 1 t 4t 4t 4t 9t 13t t 13 1 OH 13 OH 13 Dấu “=” xảy phương trình có nghiệm kép b 4t m 2a 4t 1 Vậy m 2 13 4 1 13 giá trị cần tìm LG Giải chi tiết: tm Cho điểm M đường trịn tâm O đường kính AB Tiếp tuyến M B O cắt D Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OD cắt MD C cắt BD N a) Chứng minh DC DN Xét đường trịn O có MD BD tiếp tuyến với B, D tiếp điểm MD DB (tính chất tiếp tuyến) Xét tam giác MOD tam giác BOD có: MD BD (cmt) MO OB (cùng bán kính đường trịn) OD chung MOD BOD MDO BDO OD phân giác MDB Xét tam giác CDN có: OD đường cao (do OD CN ) OD phân giác MDB Suy tam giác CDN cân D, suy CD ND (đpcm) b) CO ON Xét tam giác COA tam giác BON có: CO ON (cmt) OA OB (do bán kính) COA BON (hai góc đối đỉnh) COA BON CAO NBO 90o Xét đường trịn tâm O có AC vng góc với AO, AO bán kính đường trịn, suy AC tiếp tuyến đường tròn (đpcm) c) DM DB cmt DMB DBM Ta có: AB AQ, AB DN AQ / / DN Mà có CQM MBD (so le trong) Lại có: QMC DMB (đối đỉnh) CQM QMC , suy tam giác MCQ cân C, suy QC MC Chứng minh tương tự câu a ta có AC MC (do tính chất tiếp tuyến) Suy QC AC QC QA Xét tam giác BQC có ME song song với QC (cùng vng góc với AB) ME BM (định lí Ta-lét) QC BQ Chứng minh tương tự có Suy MH BM AQ BQ ME MH 1 Mà có QC QA suy ME MH , suy E trung điểm MH QC AQ 2 Mà theo đề có I trung điểm MH, suy I trùng với E, suy B, C, I thẳng hàng (đpcm) d) Qua O kẻ đường vng góc với AB, cắt O K (K M nằm khác phía với đường thẳng AB) Tìm vị trí M để diện tích tam giác MHK lớn Gọi P giao điểm MK AB Khơng tính tổng qt, ta chọn bán kính đường trịn 1, giả sử độ dài đoạn OH a a 1 MH OM OH a Có MH song song với OK (do vng góc với AB) PH MH a2 PH a OP PO OK Ta có hệ: PH PO 1 a PO PH PO OH a PH PH a2 PH a2 PH a a a 1 a 1 OP a a2 Ta có: 1 MH HP OK HP 2 a 1 a a a2 1 a a2 1 a S MHK S MHP S PKH 1 1 a2 1 a a2 a a2 2 1 a 1 Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: a a Dấu “=” xảy a a a cos MOH a2 a2 2 OH MOH 45o R Vậy M điểm nằm đường tròn cho MOH 45o điểm thỏa mãn yêu cầu toán LG Giải chi tiết: Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x y 3z 20 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A x yz x 2y z Ta có: A x y z 1 3 4 3 1 x x y y z z x 2y z x 2y z 4 4 2 Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho số dương ta có: 3 3 ) x x x x ) 9 y 2 y 3 2y 2y 4 ) z z z z A 20 x y 3z 13 4 3 4 x x x 1 Dấu “=” xảy y y 2y 2 z 1 z z 4 ... x ? ?1 x ? ?1 x ? ?1 x ? ?1 x ? ?1 x ? ?1 x ? ?1 x ? ?1 Ta có: x x ? ?1 Mà có: x (cmt) x ? ?1 x ? ?1 x ? ?1 x ? ?1 x ? ?1 x x ? ?1 x ? ?1 x ? ?1 x ? ?1 x ? ?1 x ? ?1 x x ? ?1 x x ? ?1 P... 1? ?? x x ? ?1 x x ? ?1 0 c) Tìm x để Xét: x ? ?1 x ? ?1 P nguyên P Để nguyên P x ? ?1? ?? 2 1? ?? x ? ?1 x ? ?1 nguyên, suy x ? ?1 x U x ước Mà x ? ?1 x ? ?1; 2 x ? ?1 x ? ?1. .. ? ?1 5 5 7 ? ?1 6 5 7. ? ?1 ? ?1 15 5 5 Vậy 56 7 ? ?1 6 2) Giải phương trình: x x 15 17 ĐKXĐ: x 15 x x 15 17 x 17