Đang tải... (xem toàn văn)
Chương 10: Hàm véc tơ Véc tơ tiếp tuyến đơn vị, vận tốc, gia tốc, độ cong. Chương 11: Đạo hàm riêng Đạo hàm riêng cấp 1 và cấp 2 Phương trình mặt phẳng tiếp xúc Gradient, Đạo hàm có hướng Qui tắc dây chuyền (tự xây dựng công thức và tính) Đạo hàm hàm ẩn Cực trị tương đối của hàm hai biến Chương 12: Tích phân bội Xác định cận và tính tích phân bội hai Đổi thứ tự lấy tích phân bội hai Tích phân bội hai trong tọa độ cực Xác định cận và tính tích phân bội ba Đổi biến sang tọa độ trụ và tọa độ cầu tích phân bội ba Ứng dụng của tích phân bội: tính diện tích mặt cong, thể tích vật thể Chương 13: Giải tích véc tơ Trường véc tơ, độ phân kỳ và véc tơ xoáy của trường véc tơ, trường thế Tích phân đường: công thức Green, tích phân đường không phụ thuộc đường đi Tích phân mặt: Thông lượng
Chương 9: Vectơ mặt phẳng không gian Mục lục Chương VECTƠ 9.1 VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG 9.1.1 Giới thiệu vectơ 9.1.2 Các phép toán vectơ 9.1.3 Phép biểu diễn tắc vectơ mặt phẳng 10 9.2 TỌA ĐỘ VÀ VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN 15 9.2.1 Hệ tọa độ ba chiều 12 9.2.2 Đồ thị không gian 16 9.2.3 Vectơ không gian 19 9.3 TÍCH VƠ HƯỚNG 21 9.3.1 Định nghĩa tích vơ hướng 21 9.3.2 Góc hai vectơ 22 9.3.3 Cosin định hướng 23 9.3.4 Phép chiếu 24 9.3.5 Cơng tích vơ hướng 25 9.4 TÍCH CĨ HƯỚNG 27 9.4.1 Định nghĩa tích có hướng 27 9.4.2 Biểu diễn hình học tích có hướng 27 9.4.3 Tính chất tích có hướng 29 9.4.4 Tích hỗn tạp thể tích 30 9.4.5 Moment quay 31 9.5 ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 33 9.5.1 Phương trình đường thẳng không gian 33 9.5.2 Phương trình tham số 33 9.5.3 Tham số hóa đường cong 41 9.6 MẶT TRONG KHÔNG GIAN 43 Trang Chương 9: Vectơ mặt phẳng khơng gian 9.6.1 Các dạng phương trình mặt phẳng không gian 43 9.6.2 Phương pháp vectơ đo khoảng cách không gian 49 9.7 CÁC MẶT BẬC HAI 53 9.7.1 Các mặt bậc hai 53 9.7.2 Phương pháp phác họa mặt bậc hai 57 Bài tập chương 65 Trang Chương 9: Vectơ mặt phẳng không gian Chương VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG VÀ TRONG KHÔNG GIAN 9.1 VECTƠ TRONG Nhiều ứng dụng tốn học liên quan đến đại lượng có độ lớn hướng lực, vận tốc, gia tốc xung lượng Vectơ công cụ quan trọng tốn học phần này, chúng tơi giới thiệu thuật ngữ ký hiệu biểu diễn vectơ 9.1.1 Giới thiệu vectơ Một vectơ đại lượng có độ lớn chiều (như vận tốc hay lực) Đôi biểu diễn vectơ đoạn thẳng có định hướng, mũi tên nối từ điểm bắt đầu P đến điểm kết thúc Q Hướng vectơ hướng mũi tên độ lớn chiều dài mũi tên (hình 9.1 a) Chúng ta vectơ cách viết PQ thực hành, nên viết P Q Thứ tự ký tự viết quan trọng, PQ nghĩa hướng vectơ từ P đến Q QP nghĩa hướng vectơ từ Q đến P Ký tự đầu điểm bắt đầu ký tự sau điểm kết thúc Chúng ta ký hiệu độ dài vectơ PQ Hai vectơ gọi chúng có độ lớn chiều (hình 9.1 b) a Vectơ PQ có độ dài PQ b Hai vectơ Trang Chương 9: Vectơ mặt phẳng khơng gian Hình 9.1 Vectơ mặt phẳng Một vectơ v với độ lớn gọi vectơ không ký hiệu Vectơ khơng có hướng cụ thể quy ước hướng 9.1.2 Các phép toán vectơ Nếu vectơ khác vectơ không s số thực vectơ sv gọi phép nhân vơ hướng v Vectơ sv có độ lớn gấp s lần độ lớn vectơ v , hướng với vectơ v s ngược hướng với vectơ v s Ta có PQ QP s0 với s số thực tùy ý Hình 9.2 Một số vector tỷ lệ với vector u Ta định nghĩa vectơ u v tổng vectơ u vectơ v Với cách biểu diễn theo quy tắc tam giác, vectơ u v nối từ điểm bắt đầu vectơ u đến điểm kết thúc vectơ v hình vẽ 9.3a Vectơ u v biểu diễn theo quy tắc hình bình hành hình vẽ 9.3b Phép cộng hai vectơ có tính giao hốn, tức u v v u Ta định nghĩa vectơ u – v vectơ thỏa mãn v u – v u Cách biểu diễn vectơ u – v hình vẽ 9.3c Trang Chương 9: Vectơ mặt phẳng không gian a Quy tắc tam giác b Quy tắc hình bình hành c Quy tắc hiệu Hình 9.3 Biểu diễn hình học vectơ Vectơ v biểu diễn mặt phẳng tọa độ hình vẽ 9.4, với điểm bắt đầu 0, điểm kết thúc v1 , v2 Khi v1 v2 gọi thành phần chuẩn vectơ v ta viết v v1 , v2 Hình 9.4 Các thành phần chuẩn vectơ Nếu P a, b Q c, d điểm mặt phẳng tọa độ vectơ PQ có biểu diễn thành phần chuẩn PQ c – a, d – b Trang Chương 9: Vectơ mặt phẳng khơng gian Hình 9.5 Các phép tốn vectơ biểu diễn dạng thành phần Cụ thể, ta có: a1 , b1 k a,b a2 , b2 a1 b1 , a2 b2 ; ka , kb , với k tùy ý; a , b c , d ac , bd a,b – c,d a – c,b – d Những cơng thức kiểm chứng hình học giải tích Ví dụ, quy tắc nhân vơ hướng thu từ việc sử dụng mối liên hệ mơ tả hình 9.6 a, từ 9.6 b ta thu quy tắc cho phép nhân vectơ Hình 9.6 Ví dụ 9.1 Phép toán vectơ: Cho vectơ u 2, v 1, , tìm a u v Đáp số: a 1, 4 c 3u v b u b / 2, / c 13 / 2, 25 / Trang Chương 9: Vectơ mặt phẳng không gian Vectơ au bv gọi kết hợp tuyến tính vectơ u vectơ v Nếu u u1 , u2 v v1 , v2 au bv a u1 , u2 b v1 , v2 au1 bv1 , au2 bv2 Các phép cộng nhân vectơ vô hướng giống với phép cộng nhân thơng thường Định lý sau trình bày số tính chất hữu ích cho phép tốn vectơ : Định lý 9.1 Các tính chất phép tốn vectơ Cho vectơ u, v, w mặt phẳng vơ hướng s t Ta có Tính chất giao hốn: u v v u Tính chất kết hợp: u Tính chất kết hợp phép nhân: st u Tính đồng phép cộng: u u Tính đảo ngược phép cộng: u Tính chất phân phối vectơ: s Tính chất phân phối vơ hướng: s u v su sv v w u v w s tu u t u su tu Ví dụ 9.2 Sử dụng vectơ chứng minh tính chất hình học Chứng minh đoạn thẳng nối hai trung điểm hai cạnh tam giác song song với cạnh thứ ba có độ dài nửa cạnh thứ ba Hình 9.7 Trang Chương 9: Vectơ mặt phẳng không gian Giải Xét tam giác ABC P, Q trung điểm cạnh AC BC Theo giả thiết AP PQ 1 AC BQ BC , ta cần chứng minh PQ song song với AB 2 1 AB , nghĩa ta cần thiết lập phương trình vectơ PQ AB 2 Ta có AC PQ BQ 1 ( A B BC ) P Q B C A B P Q 2 AB AP PQ QB Vậy ta có AB PQ (Điều phải chứng minh) Khi vectơ u biểu diễn dạng thành phần u u1 , u2 , độ dài vectơ u tính || u || u 12 u 22 Đây ứng dụng đơn giản định lý Pytago hình 9.8a Một mối quan hệ quan trọng liên quan đến độ dài vectơ u, v bất đẳng thức tam giác || u v || || u || || v || Đẳng thức xảy vectơ u v hướng Để thiết lập bất đẳng thức tam giác, ta sử dụng hình 9.8b a Độ dài vector u b Bất đẳng thức tam giác Trang Chương 9: Vectơ mặt phẳng khơng gian Hình 9.8 Đối với dạng thành phần, vectơ thành phần chúng nhau, nghĩa Nếu u u1 , u2 v v1, v2 ta định nghĩa u1 v1 uv u2 v2 Ví dụ 9.3 Nếu u , 2 v 3, , tìm s t cho su tv w biết w 2, Đáp số: s 1, t Ví dụ 9.4 Sử dụng vectơ toán vận tốc Con tàu đặc biệt, Earthrace, thu hút ý chuyển động Một sông rộng dặm chảy hướng nam với tốc độ dòng chảy dặm/ Trong triển lãm, tàu phải chạy thẳng từ đông sang tây, qua điểm quan sát 20 phút Hỏi hướng cần đạt tàu? Hình 9.9 Con tàu Earthrace Giải Trang Chương 9: Vectơ mặt phẳng khơng gian \ Hình vẽ 9.10 Giả sử B vectơ vận tốc tàu theo hướng hợp với phương ngang góc Nếu dịng chảy sơng có vận tốc C C mi / h C hướng nam Hơn nữa, tàu chuyển động từ đông sang tây 20 phút (tức 1/3 giờ), vận tốc hữu dụng tàu vector V hướng tây Ta tính V để tìm vận tốc hữu dụng tàu tìm độ lớn hướng B V = Độ rộng sông / thời gian chuyển động ( m i / h ) 1/3 Vận tốc hữu dụng tàu V tổng B C Vì V C vng góc với nhau, theo định lý Pytago ta tìm || B || || V ||2 || C ||2 12 13 Dựa vào hình vẽ 9.10, ta có ta n 5 h a y ta n ( ) 12 12 Vậy tàu chuyển động với vận tốc 13 mi / h theo hướng hợp với phương ngang góc xấp xỉ 0.3948 rad hay 22.62 o Một vectơ đơn vị vectơ có độ dài vectơ định hướng cho vectơ v khác không cho trước vectơ đơn vị u u hướng với vectơ v, xác định v || v || Trang 10 + (3) + − = √ = √5 d = √ A2 + B + C 12 + 22 + 12 Xấp xỉ bình phương nhỏ liệu Trong ví dụ sau đây, tính tốn áp dụng để giải thích cơng thức sử dụng thống kê nhiều ứng dụng khoa học tự nhiên xã hội Ví dụ 11.7.7.(Xấp xỉ bình phương nhỏ liệu) Giả sử liệu bao gồm n điểm P1 , , Pn biết, muốn tìm hàm f (x) mà tương thích tốt với liệu cách hợp lý Đặc biệt, giả sử muốn tìm đường thẳng y = mx + b mà “phù hợp nhất” với liệu theo nghĩa tổng bình phương khoảng cách thẳng đứng từ điểm liệu đến đường thẳng nhỏ 46 Giải Chúng ta muốn tìm giá trị m b mà cực tiểu tổng bình phương chênh lệch tung độ y đường thẳng y = mx + b Đường thẳng mà tìm kiếm gọi đường hồi quy Giả sử điểm Pk có thành phần (xk , yk ) Bây điểm giá trị đường hồi quy y = mxk + b giá trị điểm liệu yk “Sai số” gây việc sử dụng điểm đường hồi quy so với sử dụng điểm liệu thực tế đo chênh lệch yk − (mxk + b) Các điểm liệu phía đường hồi quy với số giá trị k nằm phía với giá trị k khác Chúng ta thấy cần phải cực tiểu hóa hàm biểu diễn tổng bình phương tất chênh lệch này: F (m, b) = n X [yk − (mxk + b)]2 k=1 Tình mơ Hình 11.40 Vì F hàm hai biến, sử dụng tiêu chuẩn đạo hàm riêng cấp hai: n X Fm (m, b) = [yk − (mxk + b)] (−xk ) k=1 = 2m n X x2k + 2b k=1 n X xk − k=1 Fb (m, b) = n X n X xk y k k=1 [yk − (mxk + b)] (−1) k=1 = 2m n X xk + 2b n X k=1 = 2m n X 1−2 k=1 xk + 2bn − k=1 n X k=1 n X k=1 47 yk yk Cho đạp hàm riêng để tìm giá trị tới hạn (xem Vấn đề 59) n n n n n n n P P P P P P P yk − xk xk y k n xk y k − xk yk xk k=1 k=1 k=1 k=1 k=1 k=1 k=1 m= ,b = n 2 n 2 n n P P P P 2 xk xk n xk − n xk − k=1 k=1 k=1 k=1 Chúng dành cho bạn việc sử dụng tiêu chuẩn đạo hàm riêng cấp hai để chứng tỏ giá trị m b cho giá trị cực tiểu tương đối Hầu hết ứng dụng cơng thức bình phương nhỏ phát biểu Ví dụ liên quan đến việc sử dụng máy tính phần mềm máy tính Nếu bạn sử dụng máy tính, kiểm tra tính tốn chi tiết 11.8 Nhân tử Lagrange Trong giới thực, đối mặt với nhiều vấn đề liên quan đến tối ưu hóa Trong Chương 4, xét cực trị hàm biến, mục mở rộng cơng việc cho hàm hai biến 11.8.1 Phương pháp nhân tử Lagrange Trong nhiều vấn đề ứng dụng, hàm hai biến tối ưu phụ thuộc vào hạn chế hay ràng buộc biến Chẳng hạn, xét thùng đốt nóng theo cách nhiệt điểm (x, y, z) thùng cho hàm T (x, y, z) Giả sử mặt cong z = f (x, y) nằm thùng, muốn tìm điểm z = f (x, y) cho có nhiệt độ lớn Nói cách khác, Giá trị lớn T phụ thuộc vào ràng buộc z = f (x, y) bao nhiêu, giá trị lớn đạt đâu? Định lý 11.8.1 Giả sử f g có đạo hàm riêng cấp liên tục f đạt cực trị P0 (x0 , y0 ) hạn chế lên đường cong ràng buộc trơn g (x, y) = c Nếu ∇g (x0 , y0 ) 6= 0, tồn số λ cho ∇f (x0 , y0 ) = λ∇g (x0 , y0 ) Vấn đề tối ưu có điều kiện Thuật toán tổng quát sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange mơ tả sau Giả sử f g thỏa mãn điều kiện định lý Lagrange, f (x, y) có cực trị phụ thuộc vào ràng buộc g (x, y) = c Khi để tìm giá trị cực trị, bắt đầu sau: 48 Bước 1: Giải đồng thời hệ ba phương trình sau với x, y λ: fx (x, y) = λgx (x, y) fy (x, y) = λgy (x, y) g (x, y) = c Bước 2: Tính giá trị f tất điểm tìm bước tất điểm biên ràng buộc Giá trị cực trị mà cần tìm phải nằm giá trị Ví dụ 11.8.1.(Tối ưu hóa với nhân tử Lagrange) Biết giá trị lớn nhỏ f (x, y) = − x2 − y phụ thuộc vào điều kiện x + y = với x ≥ 0, y ≥ tồn tại, sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange để tìm cực trị Giải Vì điều kiện x + y = 1, đặt g (x, y) = x + y fx (x, y) = −2x, fy (x, y) = −2y, gx (x, y) = 1, gy (x, y) = Thiết lập hệ −2x = λ (1) ← fx (x, y) = λgx (x, y) −2y = λ (1) ← fy (x, y) = λgy (x, y) x + y = ← g (x, y) = c = y 2 2 1 1 − = , =1− f 2 2 Hệ có nghiệm x = Điểm mút đoạn thẳng x + y = với x ≥ 0, y ≥ (1, 0) (0, 1) f (1, 0) = = f (0, 1) Bởi vậy, giá trị cực đại 21 12 , 12 , giá trị cực tiểu (1, 0) và(0, 1) Xem Hình 11.43 để hình dung giá trị cực đại Phương pháp nhân tử Lagrange mở rộng cách tự nhiên cho hàm ba hay nhiều biến Nếu hàm f (x, y, z) có giá trị cực trị phụ thuộc vào điều kiện g (x, y, z) = c, giá trị cực trị xuất điểm (x0 , y0 , z0 ) cho g (x0 , y0 , z0 ) = c ∇f (x0 , y0 , z0 ) = λ∇g (x0 , y0 , z0 ) với số λ Sau ví dụ Ví dụ 11.8.2.(Điểm nóng lạnh đĩa) Một thùng R3 có hình dạng khối lập phương cho ≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ 1, ≤ z ≤ Một phẳng kim loại đặt thùng theo cách chiếm phần mặt phẳng x + y + z = nằm thùng hình lập phương Nếu thùng đốt nóng cho nhiệt độ điểm (x, y, z) cho T (x, y, z) = − 2x2 − y − z theo phần trăm nhiệt độ Celsius, điểm nóng lạnh kim loại Bạn giả thiết nhiệt độ cực trị tồn 49 Giải Hình lập phương kim loại Hình 11.44 Chúng ta sử dụng nhân tử Lagrange để tìm tất điểm tới hạn phần kim loại, sau xem xét biên Để áp dụng phương pháp nhân tử Lagrange, phải giải ∇T = λ∇g, với g (x, y, z) = x + y + z Ta tính đạo hàm riêng Tx = −4x, Ty = −2y, Tz = −2z, gx = gy = gz = Chúng ta phải giải hệ phương trình −4x = λ ← Tx = λgx −2y = λ ← Ty = λgy −2z = λ ← Tz = λgz x + y + z = ← g (x, y, z) = Nghiệm hệ 51 , 25 , 25 Biên phẳng tam giác với đỉnh A (1, 0, 0) , B (0, 1, 0) , C (0, 0, 1) Nhiệt độ dọc theo cạnh tam giác tìm sau: T1 (x) = − 2x2 − (0)2 − (1 − x)2 = − 3x2 + 2x, ≤ x ≤ (AC : x + z = 1, y = 0) T2 (x) = − 2x2 − (1 − x)2 − (0)2 = − 3x2 + 2x, ≤ x ≤ (AB : x + y = 1, z = 0) T3 (y) = − 2(0)2 − y − (1 − y)2 = + 2y − 2y , ≤ y ≤ (BC : y + z = 1, x = 0) Cạnh AC: Lấy vi phân, T (x) = T (x) = −6x + 2, chúng x = 31 Nếu x = 31 z = 32 (vì x+z = 1, y = AC), ta có điểm tới hạn 31 , 0, 23 Cạnh AB: Vì T2 = T1 , ta có x = 31 Nếu x = 13 , y = 23 (x + y = 1, z = AB), có điểm tới hạn khác 31 , 23 , 50 Cạnh BC: Lấy vi phân, T (y) = − 4y, y = 21 Vì y + z = x = 0, ta có điểm tới hạn 0, 21 , 12 Các điểm mút đoạn: (1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1) Bước cuối tính T điểm tới hạn điểm mút: T 51 , 52 , 25 = 35 ; T 13 , 0, 23 = 31 ; T 31 , 23 , = 13 ; T 0, 12 , 21 = 12 ; T (1, 0, 0) = 2; T (0, 1, 0) = 3; T (0, 0, 1) = So sánh giá trị (nhớ nhiệt độ phần trăm độ Celsius), chúng 2 ◦ ta thấy nhiệt độ cao 360 C , , nhiệt độ thấp 200◦ C (1, 0, 0) Chú ý nhân tử dùng cơng cụ trung gian để tìm điểm tới hạn khơng đóng vai trị kết luận cuối cực trị có điều kiện Tuy nhiên, giá trị λ quan trọng vấn đề cụ thể, nhờ thể đưa định lý sau Định lý 11.8.2 (Tốc độ thay đổi giá trị cực trị) Giả sử E cực trị (cực đại cực tiểu) f phụ thuộc điều kiện g (x, y) = c Khi nhân tử Lagrange λ tốc độ thay đổi E theo c, nghĩa là, λ = dE/dc Định lý hiểu nhân tử Lagrange ước lượng thay đổi giá trị cực trị E mà thay đổi có c thay đổi đơn vị Sự thể minh họa ví dụ sau Ví dụ 11.8.3.(Sản lượng tối đa cho hàm sản xuất Cobb-Douglas) Nếu x nghìn đô la sử dụng cho nhân công y nghìn la sử dụng cho trang thiết bị, người ta ước lượng sản lượng nhà máy Q (x, y) = 50x2/5 y 3/5 đơn vị Nếu có 150,000$, nên phân phối số vốn lao động thiết bị để sản lượng đầu lớn có thể? Trong kinh tế, hàm sản xuất tổng quát có dạng Q (x, y) = cxα y 1−α gọi hàm sản xuất Cobb-Douglas Giải Vì x y có đơn vị nghìn la (1,000$), phương trình ràng buộc x + y = 150 Nếu đặt g (x, y) = x + y, muốn cực đại Q với điều kiện g (x, y) = 150 Để áp dụng phương pháp nhân tử Lagrange, trước hết tính Qx = 20x−3/5 y 3/5 , Qy = 30x2/5 y −2/5 , gx = 1, gy = Tiếp theo, giải hệ phương trình 20x−3/5 y 3/5 = λ (1) 30x2/5 y −2/5 = λ (1) x + y = 150 Từ hai phương trình đâu có 20x−3/5 y 3/5 = 30x2/5 y −2/5 20y = 30x y = 1.5x 51