Chương 10: Hàm véc tơ Véc tơ tiếp tuyến đơn vị, vận tốc, gia tốc, độ cong. Chương 11: Đạo hàm riêng Đạo hàm riêng cấp 1 và cấp 2 Phương trình mặt phẳng tiếp xúc Gradient, Đạo hàm có hướng Qui tắc dây chuyền (tự xây dựng công thức và tính) Đạo hàm hàm ẩn Cực trị tương đối của hàm hai biến Chương 12: Tích phân bội Xác định cận và tính tích phân bội hai Đổi thứ tự lấy tích phân bội hai Tích phân bội hai trong tọa độ cực Xác định cận và tính tích phân bội ba Đổi biến sang tọa độ trụ và tọa độ cầu tích phân bội ba Ứng dụng của tích phân bội: tính diện tích mặt cong, thể tích vật thể Chương 13: Giải tích véc tơ Trường véc tơ, độ phân kỳ và véc tơ xoáy của trường véc tơ, trường thế Tích phân đường: công thức Green, tích phân đường không phụ thuộc đường đi Tích phân mặt: Thông lượng
Chương VÉCTƠ TRONG MẶT PHẲNG VÀ TRONG KHÔNG GIAN TS Lê Thị Thanh Bộ Mơn Tốn – Khoa Khoa học Ứng Dụng Nội dung chính: 9.1 Véctơ mặt phẳng 9.2 Tọa độ véctơ không gian 9.3 Tích vơ hướng hai véctơ 9.4 Tích có hướng hai véctơ 9.5 Đường thẳng không gian 9.6 Mặt phẳng không gian 9.7 Các mặt bậc 9.1 Véctơ mặt phẳng 9.1.1 Giới thiệu vectơ Một vectơ đại lượng có độ lớn chiều (như vận tốc hay lực…) Vectơ 𝑃𝑄 kí hiệu 𝑃𝑄 có độ dài ∥ 𝑃𝑄 ∥ Một vectơ v với độ lớn gọi vectơ không ký hiệu Vectơ hướng cụ thể quy ước hướng Hai vectơ chiều độ dài gọi hai vectơ 9.1.2 Các phép tốn vectơ + Phép nhân vơ hướng: cho vectơ v s số thực, sv gọi phép nhân vô hướng v + Phép cộng hai vectơ u + v: thực theo qui tắc hình tam giác theo qui tắc hình bình hành Phép cộng hai vectơ có tính giao hốn, tức u + v = v + u + Phép trừ hai vectơ u – v: thực theo qui tắc hình tam giác Biểu diễn hình học vectơ Nếu 𝑃(𝑎, 𝑏) 𝑄(𝑐, 𝑑) điểm mặt phẳng tọa độ vectơ 𝑃𝑄 có biểu diễn thành phần chuẩn 𝑃𝑄 = ⟨𝑐 − 𝑎, 𝑑 − 𝑏⟩ Tính chất: 𝑎1 , 𝑏1 = 𝑎2 , 𝑏2 ⇔ 𝑎1 = 𝑏1 , 𝑎2 = 𝑏2 ; 𝑘⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨𝑘𝑎, 𝑘𝑏⟩, với k tùy ý 𝑎 𝑢1 , 𝑢2 + 𝑏 𝑣1 , 𝑣2 = 𝑎𝑢1 + 𝑏𝑣1 , 𝑎𝑢2 + 𝑏𝑣2 ⟨𝑎, 𝑏⟩ + ⟨𝑐, 𝑑⟩ = ⟨𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑⟩; ⟨𝑎, 𝑏⟩ − ⟨𝑐, 𝑑⟩ = ⟨𝑎 − 𝑐, 𝑏 − 𝑑⟩ Nếu 𝑢 = 𝑢1 , 𝑢2 , độ dài vectơ 𝑢: ∥ 𝑢 ∥= Bất đẳng thức tam giác: 𝑢12 + 𝑢22 ∥ 𝑢 + 𝑣 ∥≤∥ 𝑢 ∥+∥ 𝑣 ∥ với u, v vecto Một vectơ đơn vị vectơ có độ dài vectơ định hướng cho vectơ 𝑣 khác không cho trước vectơ đơn vị 𝑢 hướng với vectơ 𝑣, xác định bởi: 𝑣 𝑢= ∥𝑣∥ Các tính chất phép toán vectơ Cho vecto 𝑢, 𝑣, 𝑤 mặt phẳng vô hướng s t Ta có Tính chất giao hốn: Tính chất kết hợp: 𝑢+𝑣 =𝑣+𝑢 (𝑢 + 𝑣) + 𝑤 = 𝑢 + (𝑣 + 𝑤) Tính chất kết hợp phép nhân: (𝑠𝑡)𝑢 = 𝑠(𝑡𝑢) Tính chất cộng vecto : 𝑢 + = 𝑢 Tính chất phép cộng vecto đối: 𝑢 + (−𝑢) = Tính chất phân phối vectơ: (𝑠 + 𝑡)𝑢 = 𝑠𝑢 + 𝑡𝑢 Tính chất phân phối vô hướng: 𝑠(𝑢 + 𝑣) = 𝑠𝑢 + sv Ví dụ 1: Nếu 𝑢 = ⟨8, −2⟩ 𝑣 = ⟨−3,5⟩, tìm 𝑠 𝑡 cho 𝑠𝑢 + 𝑡𝑣 = 𝑤 biết 𝑤 = ⟨2,8⟩ Ví dụ 2: Con tàu đặc biệt, Earthrace, thu hút ý chuyển động Một sơng rộng dặm chảy hướng nam với tốc độ dòng chảy dặm/ Trong triển lãm, tàu phải chạy thẳng từ đông sang tây, qua điểm quan sát 20 phút Hỏi hướng cần đạt tàu? Giải: Giả sử B vectơ vận tốc tàu theo hướng hợp với phương ngang góc 𝜃 Nếu dịng chảy sơng có vận tốc 𝐶 ∥ 𝐶 ∥= 5(mi/ℎ) 𝐶 hướng nam Hơn nữa, tàu chuyền động từ đông sang tây 20 phút (tức 1/3 giờ), vận tốc hữu dụng tàu vector 𝑉 hướng tây Ta tính ∥ 𝑉 ∥ đề tìm vận tốc hữu dụng tàu tìm độ lớn hướng 𝐵 ∥ 𝑉 ∥ = Độ rộng sông / thời gian chuyền động = = 12(mi/h) 1/3 Vận tốc hữu dụng tàu 𝑉 tổng 𝐵 𝐶 Vì 𝑉 𝐶 vng góc với nhau, theo định lý Pytago ta tìm được: ∥ 𝐵 ∥= ∥ 𝑉 ∥2 +∥ 𝐶 ∥2 = 122 + 52 = 13 Dựa vào hình vẽ, ta có: tan 𝜃 = 12 hay 𝜃 = tan−1 12 ≈ 0.3948 Vậy tàu chuyển động với vận tốc 13mi/h theo hướng hợp với phương ngang góc xấp xỵ 0.3948rad hay 22.62∘ 9.1.3 Phép biểu diễn tắc vectơ mặt phẳng Các vectơ đơn vị 𝑖 = ⟨1,0⟩ 𝑗 = ⟨0,1⟩ chiều dương trục 𝑂𝑥 𝑂𝑦 gọi vectơ sở tắc Bất kỳ vectơ mặt phẳng 𝑣 =< 𝑣1 , 𝑣2 > biểu diễn: 𝑣 = 𝑣1 , 𝑣2 = 𝑣1 ⟨1,0⟩ + 𝑣2 ⟨0,1⟩ = 𝑣1 𝑖 + 𝑣2 𝑗 Ví dụ 3: Hai lực 𝐹1 𝐹2 tác động lên vật thề Giả sử lực 𝐹1 có độ lớn N hướng vectơ (−𝑖), lực F2 có độ lớn N hướng với vectơ 𝑢 = 𝑖 − 𝑗 Tìm lực tác động thêm F3 vào vật đề vật đứng yên Giải: 𝐹1 = −3𝑖; 𝐹2 = 2𝑢 = 𝑖 − 𝑗 5 Để vật đứng yên 𝐹1 + 𝐹2 + 𝐹3 = 𝐹3 = −𝐹1 − 𝐹2 = − −3𝑖 − ( 𝑖 − 𝑗) 5 = 𝑖+ 𝑗 5 ∥ 𝐹3 ∥ = + = 145 𝑁 9.6 MẶT PHẲNG TRONG ℝ𝟑 Một mặt phẳng có vecto pháp tuyến (trực giao) 𝐍 = 𝐴𝑖 + 𝐵𝑗 + 𝐶𝑘 chứa điểm 𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 có phương trình sau: Dạng điểm-trực giao: 𝐴 𝑥 − 𝑥0 + 𝐵 𝑦 − 𝑦0 + 𝐶 𝑧 − 𝑧0 = Dạng chuần: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = với 𝐴, 𝐵, 𝐶, D số Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng qua điểm 𝑄(2, −1,3) vng góc với mặt phẳng 3𝑥 − 7𝑦 + 5𝑧 + 55 = Tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng Giải: Từ phương trình mặt phẳng, ta thấy vectơ 𝑁 = 3𝑖 − 7𝑗 + 5𝑘 vectơ pháp tuyến mặt phẳng Vì đường thẳng cần tìm trực giao với mặt phẳng, song song với 𝑁 Khi đó, đường thẳng chứa điểm 𝑄(2, −1,3) có vecto phương (3, −7,5), có phương trình 𝑥−2 𝑦+1 𝑧−3 = = −7 Đề tìm giao đường thẳng với mặt phẳng, ta viết lại đường thẳng dạng phương trình tham số 𝑥 = + 3𝑡, 𝑦 = −1 − 7𝑡, 𝑧 = + 5𝑡 Thế vào phương trình mặt phẳng, ta có 3(2 + 3𝑡) − 7(−1 − 7𝑡) + 5(3 + 5𝑡) = −55 + 9𝑡 + + 49𝑡 + 15 + 25𝑡 = −55 83𝑡 = −83 ⇒ t = −1 Khi đó, giao điểm tìm thay 𝑡 = −1 𝑥 = −1, 𝑦 = 6, 𝑧 = −2 Vậy giao điểm cần tìm (−1,6, −2) Ví dụ 2: Viết phương trình dạng chuẩn mặt phẳng chứa 𝑃(−1,2,1), 𝑄(0, −3,2) 𝑅(1,1, −4) Giải: Vì pháp tuyến 𝑁 mặt phẳng trực giao với vectơ 𝑃𝑅, 𝑃𝑄, ta tìm 𝑁 cách tính tích có hướng 𝑁 = 𝑃𝑅 × 𝑃𝑄 𝑃𝑅 = (1 + 1)𝑖 + (1 − 2)𝑗 + (−4 − 1)𝑘 = 2𝑖 − 𝑗 − 5𝑘 𝑃𝑄 = (0 + 1)𝑖 + (−3 − 2)𝑗 + (2 − 1)𝑘 = 𝑖 − 5𝑗 + 𝑘 𝑖 𝑗 𝑘 𝑁 = 𝑃𝑅 × 𝑃𝑄 = −1 −5 = (−1 − 25)𝑖 − (2 + 5)𝑗 + (−10 + 1)𝑘 = −26𝑖 − 7𝑗 − 9𝑘 −5 Bây giờ, ta tìm phương trình mặt phẳng cách dùng vectơ pháp tuyến điểm mặt phẳng Ta dùng điểm 𝑃(−1,2,1), phương trình mặt phẳng −26𝑥 − 26 − 7𝑦 + 14 − 9𝑧 + = 26𝑥 + 7𝑦 + 9𝑧 + = Ví dụ 3: Viết phương trình đường thẳng qua điểm (−1,2,3) song song với đường giao tuyến mặt phẳng: 3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = Giải: Ta thấy rằng, vectơ pháp tuyến mặt phẳng cho 𝑁1 = 3𝑖 − 2𝑗 + 𝑘 𝑁2 = 𝑖 + 2𝑗 + 3𝑘 Đường thẳng theo u cầu vng góc với vectơ pháp tuyến này, đó: 𝑖 𝑗 𝑘 𝑁1 × 𝑁2 = −2 = (−6 − 2)𝑖 − (9 − 1)𝑗 + (6 + 2)𝑘 = −8𝑖 − 8𝑗 + 8𝑘 Suy vecto phương đường thẳng theo yêu cầu đề −8, −8,8 = −8⟨1,1, −1⟩ Phương trình đường thẳng cần tìm 𝑥+1 𝑦−2 𝑧−3 = = 1 −1 Ví dụ 4: Viết phương trình dạng chuẩn mặt phẳng xác định đường thẳng cắt 𝑥−2 𝑦+5 𝑧+1 𝑥+1 𝑦 𝑧 − 16 = = = = −2 −1 Giải: Các vectơ phương hai đường thẳng 𝑣1 = 3𝑖 − 2𝑗 + 4𝑘, 𝑣2 = 2𝑖 − 𝑗 + 5𝑘 Vectơ pháp tuyến mặt phẳng theo yêu cầu trực giao với 𝑣1 , 𝑣2, đó: 𝑖 𝑗 𝑘 𝑁 = 𝑣1 × 𝑣2 = −2 = (−10 + 4)𝑖 − (15 − 8)𝑗 + (−3 + 4)𝑘 −1 = −6𝑖 − 7𝑗 + 𝑘 Ta có thề sử dụng điểm thuộc mặt phẳng (2, −5, −1) (−1,0,16) giao điềm hai đường thẳng Và thu phương trình mặt phẳng −6(𝑥 − 2) − 7(𝑦 + 5) + (𝑧 + 1) = hay 6𝑥 + 7𝑦 − 𝑧 + 22 = Khoảng cách từ điềm đến mặt phẳng ℝ𝟑 Khoảng cách từ điểm 𝑃 đến mặt phẳng cho |𝑄𝑃 𝑁| 𝐴0 𝑥0 + 𝐵0 𝑦0 + 𝐶𝑧0 + 𝐷 𝑑= = ∥𝑁∥ 𝐴2 + 𝐵2 + 𝐶 Trong 𝑄 điểm mặt phẳng cho 𝑁 vecto trực giao với mặt phẳng cho Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách từ điểm 𝑃 đến đường thẳng 𝐿 cho công thức 𝑑= ∥ 𝑣 × 𝑄𝑃 ∥ ∥𝑣∥ v vectơ song song với L Q điểm L Ví dụ Viết phương trình mặt cầu có tâm 𝐶(−3,1,5) tiếp xúc với mặt phẳng 6𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = (hình vẽ) Giải: Bán kính 𝑟 mặt cầu khoảng cách từ tâm 𝐶 đến mặt phẳng cho, biều diễn hình vẽ bên: 𝑟= 6(−3) + (−2)1 + 3(5) − 62 + (−2)2 + 32 = −14 =2 Do đó, phương trình mặt cầu (𝑥 + 3)2 + (𝑦 − 1)2 + (𝑧 − 5)2 = 22 Ví dụ Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo 𝐿1 : x = + 2𝑠, 𝑦 = −1 + 𝑠, 𝑧 = + 4𝑠 𝐿2 : x = −2 + 4𝑡, 𝑦 = −3𝑡, 𝑧 = −1 + 𝑡 Giải: Hai đường thẳng chéo nhau: không giao không song song, nằm hai mặt phẳng song song Khi đó, khoảng cách 𝑑 đường thẳng 𝐿1 𝐿2 với khoảng cách hai mặt phẳng song song 𝑝1 , 𝑝2 chứa chúng Xem hình vẽ bên Ý tưởng tìm khồng cách 𝑑 xác định khoảng cách từ điểm 𝑄 𝑝1 đến mặt phẳng 𝑝2 Trước tiên, tìm điểm 𝑄 𝑝1 : cho 𝑠 = phương trình tham số 𝐿1 Khi 𝑥 = 1, 𝑦 = −1, 𝑧 = 2, 𝑄(1, −1,2) điểm Kế tiếp, vectơ 𝑣1 = ⟨2,1,4⟩ 𝑣2 = ⟨4, −3,1⟩ song song với 𝑝2 , 𝑝1 tương ứng, tích có hướng 𝑁 = 𝑣1 × 𝑣2 trực giao với 𝑝1 𝑝2 Ta tìm 𝑖 𝑗 𝑘 𝑁 = = 13𝑖 + 14𝑗 − 10𝑘 −3 Với 𝑡 = 0, ta thấy điểm 𝑃(−2,0, −1) thuộc 𝑝2 , phương trình 𝑝2 12(𝑥 + 2) + 14(𝑦 − 0) − 10(𝑧 + 1) = 13𝑥 + 14𝑦 − 10𝑧 + 16 = Khoảng cách 𝑑 𝐿1 , 𝐿2 khoảng cách từ điểm 𝑄 đến 𝑝2 , 𝑑= |13(1) + 14(−1) − 10(2) + 16| 132 + 142 + (−10)2 = 465 ≈ 0.2319 Ví dụ Tìm khoảng cách từ điềm 𝑃(3, −8,1) đến đường thẳng 𝑥−3 = 𝑦+7 −1 = 𝑧+2 Giải: Ta cần tìm điểm 𝑄 đường thằng Ta thấy điểm 𝑄(3, −7, −2) nằm đường thẳng 𝑄𝑃 = ⟨0, −1,3⟩ Một vectơ song song với 𝐿 𝑣 = ⟨3, −1,5⟩, 𝑖 𝑗 𝑣 × 𝑄𝑃 = −1 −1 𝑘 = 2𝑖 − 9𝑗 − 3𝑘 Do ∥ 𝑣 × 𝑄𝑃 ∥ 𝑑= = ∥𝑣∥ 22 + (−9)2 + (−3)2 32 + (−1)2 + 52 = 94 35 ≈ 1.64 9.7 Các mặt bậc Mặt bậc hai đồ thị phương trình bậc hai, ba biến 𝑥, 𝑦, 𝑧 Tổng quát phương trình có dạng: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷𝑥𝑦 + 𝐸𝑦𝑧 + 𝐹𝑧𝑥 + 𝐺𝑥 + 𝐻𝑦 + 𝐼𝑧 + 𝐽 = 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐺, 𝐻, 𝐼, 𝐽 số Tuy nhiên, phép biến hình ta chuyển chúng dạng chuẩn sau 𝑧 = 𝑀𝑥 + 𝑁𝑦 𝑃𝑥 + 𝑄𝑦 + 𝑅𝑧 = 𝑆 𝑀, 𝑁, 𝑃, 𝑄, 𝑅, 𝑆 số Các mặt bậc hai thường gặp: • Mặt nón ellip: 𝑧2 𝑥2 𝑎2 𝑦2 𝑏2 Phương trình: = + Trục đối xứng hình nón trục 𝑧 • Mặt nón trịn: dạng đặc biệt hình nón ellip với 𝑎 = 𝑏 = 𝑟 2 𝑥 𝑦 𝑧2 = + 𝑟 𝑟 Trục đối xứng hình nón trục 𝑧 • Mặt hyperbol nhánh: Phương trình: 𝑥2 𝑦2 𝑧2 + − = 𝑎2 𝑏2 𝑐 Trục đối xứng hình trục O𝑧 • Mặt hyperbol hai nhánh: Phương trình: 𝑥2 𝑦2 𝑧2 + − = −1 𝑎2 𝑏2 𝑐 Trục đối xứng trục 𝑧 • • Mặt ellip: Phương trình: 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 + 𝑧2 𝑐2 Mặt cầu: dạng đặc biệt mặt ellip với 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 𝑟 Phương trình: 𝑥 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑟2 =1 • Mặt parabol ellip: 𝑥2 𝑦2 𝑧= 2+ 𝑎 𝑏 • Mặt parabol hyperbol (mặt "yên ngựa"): 𝑦2 𝑥2 𝑧= 2− 𝑏 𝑎 Ví dụ Nhận biết mặt bậc hai a) 7𝑥 + 4𝑦 − 28𝑧 = b) 3𝑥 + 5𝑦 − 15𝑧 = Giải: a) Viết lại phương trình ta được:7𝑥 + 4𝑦 − 28𝑧 = ⇔ 28𝑧 = 7𝑥 + 4𝑦 ⇒ 𝑧 2= 𝑥2 + 𝑦2 So sánh với bảng ta thấy mặt nón ellip b) Viết lại phương trình ta được: 3𝑥 + 5𝑦 − 15𝑧 = ⇔ 15𝑧 = 3𝑥 + 5𝑦 𝑥2 𝑦2 𝑧= + So sánh với bảng ta thấy mặt ellip parabol ... +